初中奥数讲义_配方法的解题功能附答案
配方法的解题功能 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．
运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．
例题求解
【例1】已知有理数x ，y ，z 满足)(2121z y x z y x ++=
-+-+，那么(x —yz)2的值为 ． (北京市竞赛题) 思路点拨 三元不定方程，尝试从配方法人手．
【例2】 若32211-=+=
-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) A ．3 B ．1459 C ．2
9 D ．6 (武汉市选拔赛试题)
思路点拨 通过引参，设k z y x =-=+=-3
2211，把x ，y ，z 用k 的代数式表示，则222z y x ++转化为关于k 的二次三项式，运用配方法求其最小值．
【例3】怎样的整数a 、b 、c 满足不等式：c b ab c b a 233222++<+++．
(匈牙利数学奥林匹克试题)
思路点拨 一个不等式涉及三个未知量，运用配方法试一试．
【例4】 求方程m 2－2mn+14n 2
=217的自然数解． (上海市竞赛题)
思路点拨 本例是个复杂的不定方程，由等式左边的特点，不难想到配方法．
【例5】求实数 x 、y 的值，使得(y －1)2+(x+y －3)2+(2x+y －6)2达到最小值．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 展开整理成关于x(或y)的二次三项式，从配方的角度探求式子的最小值，并求出最小值存在时的x 、y 的值．
【例6】 为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABCD ，AB=10m ，BC=20m)上进行绿化，中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求AC ＝AH=CF=CG ，那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH (中间种花的一块)
面积最大?若存在，请求出该设计中AE 的长和四边形EFGH 的面积；若不存在，请说明理由．
(2温州市中考题)
思路点拨 这是一道探索性几何应用题，解题的关键是代数化．设AE=AH=CF=CG=xm ，则BE=DG=(20－x)m ，四边形E FGH 的面积可用x 的代数式表示，利用配方法求该代数式的最大值．
注 配方的对象具有多样性，数，字母、等式、不等式都可以配方；同一个式于可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式．
配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质：
(1)若有限个非负数的和为0，则每一个非负数都为零；
(2)非负教的最小值为零．
学历训练
1．若03)(2222=+++-++c b a c b a ，则=-++abc c b a 3333 ．
(2江西省中考题)
2．设2122+=-b a ，2122-=-c b ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值等于 ．
( “希望杯”邀请赛试题)
3．分解因式：32422+++-b a b a = ．
4，已知实数 x 、y 、z 满足5=+y x ，92-+=y xy z ，那么z y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)
5．若实数x 、y 满足052422=+--+y x y x ，则x
y y x 23-+的值是（ ） A ．1 B ．223
+ C ．223+ D ．232
6．已知20001999+=x a ，20011999+=x b ，20021999+=x c ，则多项式ac bc ab c b a ---++222的值为( )
A ．0
B ．1
C ． 2
D ．3
(全国初中数学竞赛题)
7．整数x 、y 满足不等式y x y x 22122+≤++，则x+y 的值有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 ( “希望杯”邀请赛试题)
8．化简312213242--+为( )
A ．5－43
B ． 43－l
C ．5
D ． 1 (2003年天津市竞赛题)
9．已知正整数 a 、b 、c 满足不等式c b ab c b a 8942222++<+++，求a 、b 、c 的值．
(江苏省竞赛题)
10．已知x 、y 、z 为实数，且满足⎩⎨⎧=+-=-+3
262z y x z y x ，求222z y x ++的最小值． (第12届“希望杯”邀请赛试题)
11．实数x 、y 、z 满足⎩⎨⎧
=+-+-=0223362z xy y x y x ，则z y x +2的值为 ． 12．若52
1332412---=----+c c b a b a ，则a+b+c 的值为 ． 13．x 、y 为实数，且y xy y x 2422
2
+≤++，则x 、y 的值为x= ，y= ． 14．已知941012422+++-=y y xy x M ，那么当x= ，y= 时，M 的值最小，M 的最小值为 ．
15．已知4=-b a ，042=++c ab ，则a+b ＝( )
A ．4
B ．0
C ．2
D ．－2
(重庆市竞赛题)
16．设0.>>b a ，ab b a 322=+，则b
a b a -+的值为( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 (江苏省竞赛题)
17．若 a 、b 、c 、d 是乘积为l 的4个正数，则代数式cd bd bc ad ac ab d c b a +++++++++2222 的最小值为( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．10
18．若实数a 、b 、c 满足9222=++c b a ，代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是( )
A ．27 D ．18 C ．15 D ．12
19．已知x+y+z=1，求证：3
1222≥++z y x ． (苏奥尔德莱尼基市竞赛题)
20．已知a>b ，且243)()(=+-+++b
a b ab a b a ，a 、b 为自然数，求a 、b 的值． 21．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足
b a a =+22
12，c b b =+22
12，a c c =+22
12，试求 △ABC 的面积． 22．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产晶是第k 档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，求k 的值． (山东省竞赛题)。
初三年级奥数知识点：用配方法求解一元二次方程
初三年级奥数知识点：用配方法求解一元二次方程 1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、配方法的应用对所有一元二次方程都适用，但特别对于二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程用配方法会更为简单。
【配方法】一般步骤：第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项;第二步：方程两边同时除以二次项系数;第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为的形式;第四步：用直接开平方解变形后的方程.习题用配方法解下列方程1. x2-2x-3=02. 2x2+12x+10=03. x2-4x+3=04. x2/4 +x-3=05. 9x2-6x-8=06. x2+12x-15=07. 2x2+1=3x8. 3x2-6x+4=09. 3x2+6x-4=010. 4x2-6x-3=0配方技巧一：公式法利用一些现有公式对某一类型的代数式直接配方如：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2二：函数法数学中的很多东西都是交集的，对于某些特定的二次函数(只有一个顶点，且该定点在x轴上)，令其顶点坐标为(a,0),则该函数对应的关于自变量的代数式就能够配方为(x-a)2配方法对于代数式x2-2x+1能够配方为(x-1)2。
最全最新初中数学竞赛——配方法
初中数学竞赛专题讲解配方法把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。
配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。
运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。
熟悉以下基本等式：1.222)(2b a b ab a ±=+±2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++；3.[]222222)()()(21a c c b b a ca bc ab c b a ±+±+±=±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 一、基础过关：1.因式分解：44x +=________________________________________2.=_______________________________3.代数式222a a +-的最小值为多少？4.求方程222450x y x y ++-+=的解,x y5.已知20172018a x =+，20172019b x =+，20172020c x =+，则多项式 222a b c ab bc ca ++---的值为多少？6.若12123y z x +--==，则222x y z ++的最小值为多少? 二、例题讲解例1.因式分解：222241a b a ab b -+-+练习1：在ABC ∆中，,,a b c 为ABC ∆的三条边，且满足444222212a b c a c b c ++=+，试判断ABC ∆的形状练习2：因式分解 ①4224x x y y ++ ； ②222669x xy y x y -+-++； ③42221x x ax a +--+例2.化简下列二次根式： ①347+； ②32-； ③223410+-.练习2：（1）化简： （2练习3：如果a =45x <<时，求a 的值练习4：若152a b c +-=-，则a b c ++的值为多少？例3.求下列代数式的最大或最小值：①22101x x ++； ②2112x x -+-练习1：已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为练习2：设,a b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值是多少？练习3：若,,a b c 满足2229a b c ++=，代数式()()()222a b b c c a -+-+-的最大值是 多少？练习4：正实数,,x y z 满足10xy yz +=，则22254x y z ++的最小值为多少练习5：已知实数,,x y z 满足2623x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩求222x y z ++的最小值例4.解下列方程：①422210x x xy y -+++=； ②222624100x xy x y y +++++=练习1：已知24,40a b ab c -=++=，则a b c ++的值为多少？练习2：已知,,,a b c d 都为正数，且满足44444a b c d abcd +++=，求证：a b c d ===练习3：已知实数,,x y z 满足25,9x y z xy y +==+-，求23x y z ++的值练习4：已知,,a b c 是ABC ∆的三边长，且满足222222222,,111a b c b c a a b c ===+++，试求ABC ∆的面积练习5：已知,x y 为实数，且22422y x xy y ++≤+，求x y +的值练习6：已知0a b >>，且226a b ab +=，则a b a b+-的值为多少？例5：求方程22410160x y x y +-++=的整数解练习1：已知a 是正整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的最大值。
八年级数学竞赛讲座配方法的解题功能附答案
第二十四讲 配方法的解题功能 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．例题求解【例1】已知有理数x ，y ，z 满足)(2121z y x z y x ++=-+-+，那么(x —yz)2的值为 ． (北京市竞赛题) 思路点拨 三元不定方程，尝试从配方法人手．【例2】 若32211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) A ．3 B ．1459 C ．29 D ．6 (武汉市选拔赛试题)思路点拨 通过引参，设k z y x =-=+=-32211，把x ，y ，z 用k 的代数式表示，则222z y x ++转化为关于k 的二次三项式，运用配方法求其最小值．【例3】怎样的整数a 、b 、c 满足不等式：c b ab c b a 233222++<+++．(匈牙利数学奥林匹克试题)思路点拨 一个不等式涉及三个未知量，运用配方法试一试．【例4】 求方程m 2－2mn+14n 2=217的自然数解． (上海市竞赛题)思路点拨 本例是个复杂的不定方程，由等式左边的特点，不难想到配方法．【例5】求实数 x 、y 的值，使得(y －1)2+(x+y －3)2+(2x+y －6)2达到最小值．(全国初中数学联赛试题)思路点拨 展开整理成关于x(或y)的二次三项式，从配方的角度探求式子的最小值，并求出最小值存在时的x 、y 的值．【例6】 为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABCD ，AB=10m ，BC=20m)上进行绿化，中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求AC ＝AH=CF=CG ，那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH (中间种花的一块)面积最大?若存在，请求出该设计中AE 的长和四边形EFGH 的面积；若不存在，请说明理由．(2温州市中考题)思路点拨 这是一道探索性几何应用题，解题的关键是代数化．设AE=AH=CF=CG=xm ，则BE=DG=(20－x)m ，四边形E FGH 的面积可用x 的代数式表示，利用配方法求该代数式的最大值．注 配方的对象具有多样性，数，字母、等式、不等式都可以配方；同一个式于可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式．配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质：(1)若有限个非负数的和为0，则每一个非负数都为零；(2)非负教的最小值为零．学历训练1．若03)(2222=+++-++c b a c b a ，则=-++abc c b a 3333 ．(2江西省中考题)2．设2122+=-b a ，2122-=-c b ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值等于 ．( “希望杯”邀请赛试题)3．分解因式：32422+++-b a b a = ．4，已知实数 x 、y 、z 满足5=+y x ，92-+=y xy z ，那么z y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)5．若实数x 、y 满足052422=+--+y x y x ，则xy y x 23-+的值是（ ） A ．1 B ．223+ C ．223+ D ．2326．已知20001999+=x a ，20011999+=x b ，20021999+=x c ，则多项式ac bc ab c b a ---++222的值为( )A ．0B ．1C ． 2D ．3(全国初中数学竞赛题)7．整数x 、y 满足不等式y x y x 22122+≤++，则x+y 的值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ( “希望杯”邀请赛试题)8．化简312213242--+为( )A ．5－43B ． 43－lC ．5D ． 1 (2003年天津市竞赛题)9．已知正整数 a 、b 、c 满足不等式c b ab c b a 8942222++<+++，求a 、b 、c 的值．(江苏省竞赛题)10．已知x 、y 、z 为实数，且满足⎩⎨⎧=+-=-+3262z y x z y x ，求222z y x ++的最小值． (第12届“希望杯”邀请赛试题)11．实数x 、y 、z 满足⎩⎨⎧=+-+-=0223362z xy y x y x ，则z y x +2的值为 ． 12．若521332412---=----+c c b a b a ，则a+b+c 的值为 ． 13．x 、y 为实数，且y xy y x 24222+≤++，则x 、y 的值为x= ，y= ． 14．已知941012422+++-=y y xy x M ，那么当x= ，y= 时，M 的值最小，M 的最小值为 ．15．已知4=-b a ，042=++c ab ，则a+b ＝( )A ．4B ．0C ．2D ．－2(重庆市竞赛题)16．设0.>>b a ，ab b a 322=+，则ba b a -+的值为( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 (江苏省竞赛题)17．若 a 、b 、c 、d 是乘积为l 的4个正数，则代数式cd bd bc ad ac ab d c b a +++++++++2222 的最小值为( )A ．0B ．4C ．8D ．1018．若实数a 、b 、c 满足9222=++c b a ，代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是( )A ．27 D ．18 C ．15 D ．1219．已知x+y+z=1，求证：31222≥++z y x ． (苏奥尔德莱尼基市竞赛题)20．已知a>b ，且243)()(=+-+++ba b ab a b a ，a 、b 为自然数，求a 、b 的值． 21．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足b a a =+2212，c b b =+2212，a c c =+2212，试求 △ABC 的面积． 22．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产晶是第k 档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，求k 的值． (山东省竞赛题)。
配方法的题及其答案（精选3篇）
配方法的题及其答案（精选3篇）以下是网友分享的关于配方法的题及其答案的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
篇一配方法及其应用初一（）班学号：_______ 姓名：____________一、配方法：将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。
配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。
配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b ) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：222a 2＋b 2＝(a ＋b ) 2－2ab ＝(a －b ) 2＋2ab ；b 2⎛3⎫2⎛a ＋ab ＋b ＝(a ＋b ) －ab ＝(a －b ) ＋3ab ＝a ＋＋ b ⎪；⎝2⎭⎝2⎭2222a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝[(a ＋b ) 2＋(b ＋c ) 2＋(c ＋a ) 2]．下面举例说明配方法的应用：一、求字母的值【例1】已知a ，b 满足a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，求a ＋2b 的值．分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式, 从而求出两个未知数的值. 解：∵a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，∴a ＋b －2ab ＋b －2b ＋1＝0，∴(a －b ) ＋(b －1) ＝0.∵(a －b ) ≥0，(b －1) ≥0，∴a －b ＝0，b －1＝0，∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋2b ＝1＋2×1＝3，∴a ＋2b 的值是3.变式练习：1、已知x 2y 2+x 2+4xy +13=6x , 则x,y 的值分别为[1**********]122、已知a ＋b ＋4a －2b ＋5＝0，则3a ＋5b －4的值为___ ___.4. 已知x 2+2xy +y 2-6x -6y +9=0，则x +y 的值为5、若a 、b 为有理数，且2a 2-2ab +b 2+4a +4=0，则a 2b +ab 2的值为___ ___.6、已知a 、b 、c 满足a 2+2b =7，b 2-2c =-1，c 2-6a =-17，则a +b +c 的值为______．7、已知a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -6c +9=0，则abc 的值为___ ___.228. 已知a +b +1=ab +a +b ，则3a -4b 的值为___ ___. 2222二、证明字母相等【例2】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac =0, ，判断这个三角形的形状．分析:等式两边乘以2, 得2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ac =0, 配方，得(a 2-2ab +b 2)+(b 2-2bc +c 2)+(c 2-2ca +a 2)=0,即(a -b )+(b -c )+(c -a )=0. 222由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b,b=c,c=a,即a=b=c.故△ABC 是等边三角形.变式练习：1、已知3a 2+b 2+c 2=(a +b +c )，求证：a =b =c 2()44442、已知：a ＋b ＋c ＋d ＝4abcd ，其中a ，b ，c ，d 是正数，求证：a=b=c=d。
配方法的应用含答案
（1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出 x、y 的值，然后代入代数式计算即可；
（2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出 a、b 的值， 然后利用三角形的三边关系即可求解．
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=（a+2）2-9.故选 D．
3. 设 A＝2a+3，B＝a2-a+7，则 A 与 B 的大小关系是（ ）
A. A＞B
B. A＜B
C. A≥B
D. A≤B
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式的加减，配方法的理论依据是公式
a2±2ab+b2=（a±b）2，通过作差法和配方法比较 A 与 B 的大小．
D. (a＋2)2－9
【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改
变式子的值．若二次项系数为 1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数
不为 1，则可先提取二次项系数，将其化为 1 后再计算．
【解答】
解：a2+4a-5
=a2+4a+4-4-5
配方法的应用
一、选择题
1. 不论 x、y 为什么实数，代数式
的值（ ）
A. 总不小于 2 B. 总不小于 7 C. 可为任何实数 D. 可能为负数
【答案】A
【解析】[分析]
把代数式 x2+y2+2x-4y+7 根据完全平方公式化成几个完全平方和的形式，再进行求解．
[详解]
x2+y2+2x-4y+7=（x+1）2+（y-2）2+2≥2，
北师大版九年级数学上思维特训(五)含答案：配方法的妙用
思维特训(五) 配方法的妙用1．配方法是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式的恒等变形，是一种很重要、很基本的数学方法，如能灵活运用，可以得到多种配方形式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ；②a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝(a －b )2＋3ab ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫32b 2；③a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ac ＝12[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]． 2．配方的方法技巧：配方的目标是出现完全平方式，有时需要在代数式中拆项、添项、分组才能写出完全平方式．常用以下三种形式：(1)由a 2＋b 2配上2ab ，(2)由2ab 配上a 2＋b 2，(3)由a 2±2ab 配上b 2.同一个式子可以有不同的配方法和配方结果．类型一 完全平方式1．若4x 2＋kxy ＋y 2表示一个完全平方式，则k 的值为( )A ．4B ．±4C ．±8D ．82．已知9x 2＋18(n －1)x ＋18n 是完全平方式，求常数n 的值．3．若x 2－6x ＋1＝0，求x 2＋1x 2－1的值．4．已知a ，b ，c 为整数，且满足a 2＋b 2＋c 2＋3<ab ＋3b ＋2c ，求(1a ＋1b ＋1c)abc 的值．类型二 最大(小)值5．已知多项式p ＝a 2＋2b 2＋2a ＋4b ＋5，则p 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．多项式－x 2－12x ＋14取得最大值时，x 的值为( ) A ．－14 B ．－12 C.12 D.147．无论x 取何值，二次三项式－3x 2＋12x －11的值都不超过________．8．对关于x 的二次三项式x 2＋4x ＋9进行配方得x 2＋4x ＋9＝(x ＋m )2＋n .(1)求m ，n 的值；(2)当x 为何值时，x 2＋4x ＋9有最小值？最小值是多少？9．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4.∵(y＋2)2≥0，∴(y＋2)2＋4≥4，∴y2＋4y＋8的最小值是4.(1)求代数式m2＋m＋4的最小值；(2)求代数式4－x2＋2x的最大值；(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20 m的栅栏围成．如图5－S－1，设AB＝x m，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？图5－S－1类型三非负数的和为010．已知a，b，c满足a2＋2b＝7，b2－2c＝－1，c2－6a＝－17，则a＋b＋c的值等于() A．2 B．3 C．4 D．511．已知4x2－4x＋1＋3y－2＝0，求x＋y的值．12．若a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断△ABC的形状．13．已知代数式(x－a)(x－b)－(x－b)(c－x)＋(a－x)(c－x)是一个完全平方式，试问以a，b，c为三边长的三角形是什么三角形？详解详析1．B [解析] 若4x 2＋kxy ＋y 2表示一个完全平方式，则可以配成(2x ±y )2的形式，则k ＝±4.2．解：根据题意，得18(n －1)＝±2×3×18n .化简，得n －1＝±2n .两边平方，得n 2－2n ＋1＝2n ，解得n ＝2± 3.3．解：∵x 2－6x ＋1＝0，∴x －6＋1x＝0， ∴x ＋1x＝6， 两边平方，得x 2＋2·x ·1x ＋1x 2＝36， ∴x 2＋1x 2＝36－2＝34， ∴x 2＋1x 2－1＝34－1＝33. 4．解：由a ，b ，c 均为整数，a 2＋b 2＋c 2＋3<ab ＋3b ＋2c ，得a 2＋b 2＋c 2＋3≤ab ＋3b ＋2c －1，∴4a 2＋4b 2＋4c 2＋12≤4ab ＋12b ＋8c －4，(4a 2－4ab ＋b 2)＋(3b 2－12b ＋12)＋(4c 2－8c ＋4)≤0，(2a －b )2＋3(b 2－4b ＋4)＋4(c 2－2c ＋1)≤0，(2a －b )2＋3(b －2)2＋4(c －1)2≤0，∴2a －b ＝0，b －2＝0，c －1＝0，解得a ＝1，b ＝2，c ＝1，∴⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c abc ＝254. 5．B [解析] p ＝a 2＋2b 2＋2a ＋4b ＋5＝(a ＋1)2＋2(b ＋1)2＋2≥2.故选B.6．A [解析] －x 2－12x ＋14＝－(x ＋14)2＋516， ∵－(x ＋14)2≤0，∴－(x ＋14)2＋516≤516， ∴当x ＝－14时，多项式－x 2－12x ＋14取得最大值． 故选A.7．1 [解析] ∵－3x 2＋12x －11＝－3(x 2－4x ＋4)＋12－11＝－3(x －2)2＋1≤1，∴无论x 取何值，二次三项式－3x 2＋12x －11的值都不超过1.8．解：(1)∵x 2＋4x ＋9＝(x ＋m )2＋n ＝x 2＋2mx ＋m 2＋n ，∴2m ＝4，m 2＋n ＝9，解得m ＝2，n ＝5.(2)∵m ＝2，n ＝5，∴x 2＋4x ＋9＝(x ＋m )2＋n ＝(x ＋2)2＋5，∴当x ＝－2时，x 2＋4x ＋9有最小值，最小值是5.9．解：(1)m 2＋m ＋4＝(m ＋12)2＋154. ∵(m ＋12)2≥0，∴(m ＋12)2＋154≥154， 则代数式m 2＋m ＋4的最小值是154.(2)4－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋5.∵－(x －1)2≤0，∴－(x －1)2＋5≤5，则代数式4－x 2＋2x 的最大值为5.(3)由题意，得花园的面积是x (20－2x )＝－2x 2＋20x ，∵－2x 2＋20x ＝－2(x －5)2＋50，－2(x －5)2≤0，∴－2(x －5)2＋50≤50，∴－2x 2＋20x 的最大值是50，此时x ＝5，则当x ＝5时，花园的面积最大，最大面积是50 m 2.10．B [解析] 由a 2＋2b ＝7，b 2－2c ＝－1，c 2－6a ＝－17得a 2＋2b ＋b 2－2c ＋c 2－6a ＋11＝0，∴(a －3)2＋(b ＋1)2＋(c －1)2＝0，∴a ＝3，b ＝－1，c ＝1，∴a ＋b ＋c ＝3.故选B.11．解：4x 2－4x ＋1＋3y －2＝0，即(2x －1)2＋3y －2＝0.∵(2x －1)2≥0，3y －2≥0，∴2x －1＝0且3y －2＝0，∴x ＝12，y ＝23， 则x ＋y ＝12＋23＝76. 12．解：由已知条件可把原式变形为(a －3)2＋(b －4)2＋(c －5)2＝0.∵(a －3)2≥0，(b －4)2≥0，(c －5)2≥0，∴a －3＝0，b －4＝0，c －5＝0，即a ＝3，b ＝4，c ＝5，故△ABC 为直角三角形．13．解：原式＝x2－(a＋b)x＋ab＋x2－(b＋c)x＋bc＋x2－(a＋c)x＋ac＝3x2－(2a＋2b＋2c)x＋ab＋bc＋ac，∵结果为完全平方式，即Δ＝(2a＋2b＋2c)2－4×3(ab＋bc＋ac)＝0，∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，即2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc＝0，∴(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，即a＝b＝c，则以a，b，c为三边长的三角形是等边三角形．精品Word 可修改欢迎下载。
人教版 初二数学 竞赛专题：配方法(包含答案)
人教版 初二数学 竞赛专题：配方法（含答案）【例1】 已知实数x ，y ，z 满足25,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ 【例2】 若实数a ，b ， c 满足2229a b c ++= ，则代数式222()()()a b b c c a -+-+- 的最大值是 ( )A 、27B 、18C 、15D 、12【例3】 已知152a b c +-=-， 求a + b + c 的值.【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．【例6】 已知自然数n 使得21991n n -+ 为完全平方数，求n 的值.能力训练1=_________.2、已知2222()30a b c a b c ++-+++= ，则3333_________a b c abc ++-=.3、x ，y 为实数，且22422y x xy y ++≤+ ，则x + y 的值为__________.4、当x ＞2，得___________.5、已知224121049m x xy y y =-+++ ，当x =________，y =______时，m 的值最小. 6、若22221076,51M a b a N a b a =+-+=+++ ，则M －N 的值 ( )A 、负数B 、正数C 、非负数D 、可正可负7的值为 ( )A 、1 BC、 D、8、设a ，b , c 为实数，2222,2,2362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，则x ，y ，z 中至少有一个值 ( )A 、大于零B 、等于零C 、不大于零D 、小于零9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数)的是( )A 、2333n n -+B 、2444n n ++C 、2555n n -+ D 、2777n n -+ E 、2111111n n -+10、已知实数a ，b ， c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=- ，则a + b + c 的值等于 ( )A 、2B 、3C 、4D 、5 解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：设x 1，x 2，x 3,… x n 为实数.(1) 若120n x x x ⋅⋅⋅=L 则x 1，x 2，x 3,… x n 中至少有(或存在)一个为零； (2) 若120n x x x +++>L ，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若120n x x x +++<L ，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个小于零.11、解方程组222222212121z x z x y x y z y⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩12、能使2256n+ 是完全平方数的正整数n 的值为多少？13、已知b a >，且()()243aa b a ab b b+++-+= ，a ，b 为自然数，求a ，b 的值.13、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ ，求a ，b 的值.14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y 与房间单价x 之间存在如图所示的一次函数关系.(1) 根据图象求y 与x 之间的函数关系式(0＜x ＜160)；(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？间数（个）yx0 50 100540990 单价（元）答案例 1 10 提示：x =5-y 代入z 2=xy +y −9，然后配方.例2 A 提示：原式=3(a 2+b 2+c 2)−(a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ).例 3 a+b+c =20 提示：将等式整理，得(a −1−2√a −1+1)+(b −2−4√b −2+4)+12(c −3−6√c −3+9)=0即(√a −1−1)2+(√b −2−2)2+12(√c −3−3)2=0例 4 原式=44⋯44 ⏟ n+188⋯88⏟ n+1+1=44⋯44 ⏟ n+100⋯00⏟ n+1+88⋯88⏟ n+1+1=4×11⋯11 ⏟ ×n+110n+1 +8×11⋯11 ⏟n+1+1=4()2211111111119111118111113611111211111611111n n n n n n ++++++⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯++⨯+=⨯+⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L L L 12312312312312314243 例5 已知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设住S 层的人乘电梯，而住t 层的人直接上楼，S ＜t ，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少.设电梯停在第x 层，在第一层有y 人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为： ()()()31233312122S x y x y =+++-++++++++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L L L=()()()()()333343121222x x y y x y x y ⨯--+----++=()222102231684x y x y y -++++ =()221021215180306848y x y y +⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=()2210212631631648y x y +⎛⎫-+-+≥ ⎪⎝⎭又当x=27，y=6时，=316S 最小值.故当电梯停在第27层时，总分最小，最小值为316分.例6 若2n 19n 91-+为完全平方数，则()24n 19n 91-+也是完全平方数.设()224n 19n 91=m -+（m 为自然数）配方得()222n 193=m -+，0 50 100单价（元）∴（m+2n-19）（m-2n+19）=3于是219=3219=1219=1219=3m n m n m n m n +-+--+-+⎧⎧⎨⎨⎩⎩或 解得：=2=2=10=10m m n n ⎧⎧⎨⎨⎩⎩或故当n=9或10时2n 19n 91-+是完全平方数. 能力训练1.4+ 2. 0 3. 6 4.5. -3，-2, 56. B7. C8. A 提示：()()()222x y z=a 1b 1c 13π++-+-+-+-大于0 . 9. B 提示：取n=2和3可否定A 、C 、D 、E ，而()224n 4n 4=4n n 1++++，()222n n n 11n <++<+，故2n n 1++不是完全平方数. 10. B11. （x ，y ，z ）=（0,0,0）或（1,1,1） 提示：取倒数. 12. 提示：当n<8时，(22222=01+ab a b =m--，若它是完全平方数，则n 必为偶数.若n=2，则22256265n +=⨯；若n=4，则42256217n +=⨯；若n=6，则6225625n +=⨯；若n=8，则8225622n +=⨯.所以当n ≤8时，2256n +都不是完全平方数.当n>8时，8n 822562(21)n -+=+，若它是完全平方数，则n 821-+为一奇数的平方，设()2n 82121k -+=+（k 为自然数），则()n 10211k k -+=+，由于k 和k+1一奇一偶，∴k=1，于是n 1022-=，故n=11.13. 提示：设a=kb （k 为正整数），则()222124327339k b +==⨯=⨯，解得542428a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 14. 由()222292a b =5093k +⨯，得到2a+b=509k ，b=509k-2a ，代入原式得()224a 511509k 2a =5093k +-⨯，()k 5119k a=2-，因为a 为质数，故有以下情况：⑴当k=1时，5119a==2512-，为质数，b=509k-2a=7. ⑵当k=2时，a=511-18=493=17×29，不为质数，舍去. ⑶当k>2且k 为奇数时，5119k a=k 2-•为质数且k>2，则5119k=12-，此方程无整数解，舍去.⑷当k>2且k 为偶数时，()k a=5119k 2-为质数，且k12>，则511-9k=1，此方程无整数解，舍去.综上所述，a=251，b=7.15. 提示：⑴ y=-9x+1440 （0<x<160）.⑵每周的住宿收入是S 元，则()()22914409144098057600S x x x x x =-+=-+=--+ 当x=80时，57600S =最大元.。
配方法的解题功能
望子成龙春季班初一数学专用资料第三讲：配方法的解题功能一、知识纵横：把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法。
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值，解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛应用。
运用配方法解题的关键是恰当的“配凑”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式。
二、例题分析例1、（1）、多项式52454222-+-++y x y xy x 的最小值是多少？此时y x ,的值分别是什么？（2）、已知有理数z y x ,,满足)(213222z y x z y x ++=-++， 求、3)(-++z y x 的值。
例2、如果,32211-=+=-z y x 问、z y x ,,分别为何值时，222z y x ++有最小值，最小值是多少？例3、怎样的整数c b a ,,满足不等式： .233222c b ab c b a ++≤+++例4、求方程21714222=+-n mn m 的自然数解。
例5、已知z y x ,,满足⎩⎨⎧=+-=-+3262z y x z y x ，求222z y x ++的最小值。
三、基础巩固：1、若,03)(2222=+++-++z y x z y x 则=-++xyz z y x 3433 ，2、若,3,22222=-=-c b b a 则=---++222222444a c b c b a c b a ，3、若z y x ,,满足,5=+y x ,92-+=y xy z 那么=++z y x 32 ，4、两个多项式之积是,32422+++-b a b a 则这两个多项式分别是：、 ， 5、已知,052422=+--+y x y x 则12---+y x y x 的值是 。
(完整版)初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)
初中数学竞赛专题［配方法］一、内容提要1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2土2ab+b2写成完全平方式(a土b) 2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a +b配上2ab, ②由 2 ab 配上a +b ,③由a2土2ab配上b2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：①用完全平方式来因式分解例如：把x4+4因式分解.2 2 2 2 2母乱=x +4 + 4x — 4x =(x +2) — 4x = ...........这是由a2+b2配上2ab.②二次根式化简常用公式：福|a ,这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简、一5一2 6.我们把5-2*写成2 - 2逐+ 3=(克V - ^ 2^3 + (V3)2=(V2 —V3 ).这是由2 ab配上a2+b2.③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即a >0, .,•当a=0时, a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a — 2的最值... a2+2a— 2= a2+2a+1 - 3=(a+1) 2- 3当a=— 1时,a +2a— 2有最小值—3.这是由a2土2ab配上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如：：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x, y.解：方程x2+y2+2x-4y+1 + 4= 0.配方的可化为(x+1) 2+(y - 2) 2=0.要使等式成立，必须且只需x 1 0y 2 0x 1 y2解得此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题2 2 2 2例 1.因式分解：a b —a +4ab— b +1.解：a b — a +4ab — b +1 = a b +2ab+1+( — a +2ab — b ) (折项，分组)=(ab+1 ) 2 - (a - b)：(配方)= (ab+1+a-b ) (ab+1-a+b) (用平方差公式分解)本题的关键是用折项，分组，树立配方的思想^例2.化简下列二次根式：①J7 5 ；②*2焰；③了10时3 2豆. 解：化简的关键是把被开方数配方①(7 4>/3 = J4 2 2/3 3 = J(2 V3)2=2 < 3 = 2 + 43.②户=居=疗=\吁<2（73 1）=无V2 2 . 2③\；10 4^3 2龙=寸10 4》（。
配方法因式分解例题及答案
配方法因式分解例题及答案引言在代数学中，因式分解是一种将多项式表达式分解为多个乘积的过程。
因式分解在代数方程、多项式简化和多项式求解中起着重要的作用。
其中一种常见的因式分解方法是配方法。
配方法通过寻找两个数的乘积等于首项和末项乘积，并将多项式进行重写，使得其能够进行因式分解。
本文将介绍配方法因式分解的基本原理，并提供一些例题及其详细的解答，以帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
配方法因式分解的基本原理配方法的核心思想是通过适当的变换，将多项式转化为可被因式分解的形式。
一般来说，配方法适用于满足以下条件的多项式：1.多项式为二次多项式，即其中包含一个二次项（二次项的最高次数为2）。
2.多项式的首项和末项可以进行因式分解。
基于上述条件，配方法的基本步骤如下：1.把多项式写成ax2+bx+c的形式，其中a、b、c为常数。
2.计算并确定ac的因子对，使得其乘积等于ac的值，同时求出b的值。
3.将b分解为两个数的和，这两个数就是求得的因子对的一部分。
通过将多项式进行变换，将其转化为可分解的形式。
4.使用因子分解的方式将多项式进行分解。
下面将通过例题更详细地介绍配方法的步骤。
例题1将多项式2x2+5x+3进行因式分解。
解答：首先，我们可以看到这个多项式满足配方法的条件：是一个二次多项式，并且首项和末项可以进行因式分解。
按照配方法的步骤，我们依次进行如下计算：1.将多项式写成ax2+bx+c的形式。
给定多项式为2x2+5x+3，所以a=2, b=5, c=3。
2.计算ac的因子对，并求出b的值。
ac=(2)(3)=6，因子对有(1,6)和(−1,−6)，而b=5。
3.将b分解为两个数的和。
由于(1,6)是6的一个因子对，我们可以将5分解为1+4。
4.进行变换，将多项式转化为可分解的形式。
将2x2+5x+3变为2x2+1x+4x+3。
5.使用因子分解方法将多项式进行分解。
对2x2+1x+4x+3，我们可以进行分组因式分解，即x(2x+1)+4(2x+1)。