计算方法习题
绪论
(一)考核知识点
误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
(二)复习要求
1.知道产生误差的主要来源。
2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3.知道四则运算中的误差传播公式。
一、重点内容
一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等，其差称为误差。引起误差的原因是多方面的，主要有：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差。在计算方法中主要讨论的是截断误差和舍入误差。
误差：设精确值x*的近似值为x，差e＝x－x*称为近似值x的误差(绝对误差)。
误差限近似值x的误差限ε是误差e的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。
相对误差e r是误差e与精确值x*的比值，。常用计算。
相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。
有效数字如果近似值x的误差限ε是它某一个数位的半个单位，我们就说x准确到该位。从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x的有效数字。
二、难点内容
(1)设精确值x*的近似值x，x＝±0.a1a2…a n×10m，a1，a2，…，a n是0～9之中的自然数，且a1≠0，|x －x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n。则x有l位有效数字。
(2)设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m有n位有效数字，则其相对误差限
(3)设近似值x＝±0.a1a2…a n×10m的相对误差限不大于则它至少有n位有效数字。
(4)要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4位小数。
三、例题
例1设x*=π=3.1415926…
近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的误差是0.0015926…，有
即n=3，故x=3.14有3为有效数字。x=3.14准确到小数点
，
后第2位。
即m=1,n 近似值x=3.1416，它的误差是0.0000074…，有
，
＝5，x=3.1416有5位有效数字。
近似值x=3.1415，它的误差是0.0000926…，有
即m=1，n＝4，x=3.1415有4位有效数字。
这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有s位或s－1位有效数字。
例2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：
2.0004 －0.00200 9000 9000.00
解因为x1=2.0004＝0.20004×101,它的误差限0.00005=0.5×101―5，即m=1,n=5,故x=2.0004有5位有
效数字.相对误差限
x2=－0.00200，误差限0.000005，因为m=－2，n=3，x2=－0.00200有3位有效数字。
相对误差限εr=0.00005/0.00200=0.25%。
x3=9000，绝对误差限为0.5，因为m=4,n=4,x3=9000有4位有效数字，相对误差限
εr＝0.5/9000=0.0056%
x4=9000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，n=6，x4=9000.00有6位有效数字，相对误差限为
εr=0.005/9000.00=0.000056%
由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的。
例3ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？
解精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.05,故至少要保留小数点后三位才可以。Ln2≈0.693。
例4如何去设计一个好的算法？
答：一个好的算法必须满足：1、计算步骤简化以减少运算次数及误差积累；2、避免两个相同号数数值相近的数相减；3、计算若干同号数时的和,按绝对值增大的顺序相加；4、避免乘除法中数值绝对值过大或过小；5、防止大数吃掉小数；6、选用数值稳定性好的算法。
四、练习题
1.设某数x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是___________________________。
2.设某数x*,它的精确到10－4的近似值应取小数点后____位。
3.()的3位有效数字是0.236×102。
(A)235.54×10－1(B)235.418(C)2354.82×10－2(D)0.0023549×103
4.设a*=2.718181828…，取a=2.718,则有(),称a有四位有效数字。
(A)
(B)(C)
(D)
5.设某数x*,对其进行四舍五入的近似值是(),则它有3位有效数字，绝对误差限是
。
(A)0.315 (B)0.03150 (C)0.0315 (D)0.00315
6.以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为。
(A)0.01234 (B)–12.34 (C)–2.20 (D)0.2200
五、练习题答案
该数有效数字第四位的一半。2.四 3.(A) 4.(B) 5.(C) 6.(D)
方程求根
(一) 考核知识点
二分法；迭代法――牛顿法；弦截法。
(二)复习要求
1.知道有根区间概念，方程f (x )=0在区间(a ,b )有根的充分条件。
2.掌握方程求根的二分法；二分法及二分次数公式，迭代法及其收敛性。
3.熟练掌握牛顿法，掌握初始值的选择条件。
4.掌握弦截法。
一、重点内容
1.二分法:设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内有根，用二分有根区间的方法，得到有根区间序列：x *≈
x n =(a 0＝a ，b 0＝b )，n ＝0，1，2，…
有误差估计式：∣x *－x n ∣≤，n ＝0，1，2，…，二分区间次数：
2.牛顿法：用切线与x 轴的交点，逼近曲线f (x )与x 轴的交点。迭代公式为
（n ＝1，2，…），选初始值x 0满足f (x 0)f "(x 0)＞0，迭代解数列一定收敛。
3.弦截法:用两点连线与x 轴交点逼近曲线f (x )与x 轴的交点。迭代公式为
(n ＝1，2，…)
二、难点内容：
（1）、迭代法概念:若方程f (x )＝0表成x ＝?(x )，于是有迭代格式：x n ＝?(x n －1)（n ＝1，2，…），
，
x *≈x n ，存在0＜λ＜1,|'?(x )|≤λ，在区间[a ,b ]内任一点为初始值进行迭代，迭代数列收敛。
（2）定理一：设)(x φ在区间【a,b 】上具有一阶连续的导数，且满足如下两个条件：①当],[b a x ∈时，],[)(b a x ∈φ；②存在正常数L<1，使得对任意],[b a x ∈有L x ≤')(φ。则
① 方程f(x)=0在区间【a,b 】上有唯一根；
② 对任意],[0b a x ∈，迭代格式x ＝?(x )收敛，且*lim x x n n =∞
→； （3）定理二：设方程f(x)=0在区间【a,b 】内有根x *,且当],[b a x ∈时，1)(≥'x φ，则对任意初始值
],[0b a x ∈，且*≠x x 0，迭代格式x ＝?(x )发散。
(4)定理三（局部收敛）：设方程x ＝?(x )有根x *,且在x *的某个邻域δ≤-=*
x x x S 内?(x )存在一阶连续的导数，则①当1)(*<'x ?时，迭代公式)(1n n x x φ=+局部收敛；②当1)(*>'x ?时，迭代公式
)(1n n x x φ=+发散。
(5)迭代序列收敛阶的概念
若存在0＜λ＜1，|'?(x)|≤λ，在区间[a,b]内任一点为初始值进行迭代，迭代数列收敛。设迭代序列{}n x 收敛于*x ，如果存在实数1≥p 与正常数c ，使得c x x x x p n n n =--**
+∞→1lim ,则称序列{}n x 是p 阶收敛于*x 。特
别地，当1=p 时，称序列{}n x 为线性（一次）收敛；{}n x 为线性收敛时，必须要求1 x 的误差缩减越快，也就是序列{}n x 收敛越快。 (6)定理四：若?(x )在x * 附近的某个邻域内有)1(≥p p 阶连续导数，且0)(,0)(,,0)(,)(**)1(***≠=='=-x x x x x p p ????ΛΛ，且对一个任意靠近x *的初始值，迭代公式)(1n n x x φ=+是p 阶收敛的。 三、例题 例1证明方程1－x －sin x ＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭 代多少次？ 证明令f (x )＝1－x －sin x ， ∵f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根。 又f 1(x )=-1－c os x <0(x ∈[0.1]),故f (x )＝0在区间[0，1]内有唯一实根。 给定误差限ε＝0.5×10－4，有 2877.1312 ln 10ln 45.0ln 12ln ln )ln(=-+-=---≥εa b n ，只要取n ＝14。 例2用迭代法求方程x 5－4x －2＝0的最小正根，计算过程保留4位小数。 [分析]容易判断[1，2]是方程的有根区间。 若建立迭代格式))2,1((14 5)(,42)(,424 55∈>='-=-=x x x x x x x ??即，此时迭代发散。 建立迭代格式))2,1((5 42454 )(,24)(,244455∈<+='+=+=x x x x x x x ）（??，此时迭代收敛。 解建立迭代格式，552+4=2+4=x x x x )(,?， 1=21∈5 4<2+454 ='04x x x x 取初始值)),,(()(?，0 1.4316245501≈=+=x x ， 1 1.505724.7245512≈=+=x x ，5 1.5160204.8245523≈=+=x x ，2 1.518066.8245534≈=+=x x ， 1.51850728.8245545≈=+=x x 。取≈*x 1.5185。 例3试建立计算3a 的牛顿迭代格式，并求3791411.的近似值，要求迭代误差不超过10－6。 [分析]首先建立迭代格式.确定取几位小数，求到两个近似解之差的绝对值不超过10－6 。 解令0=-==33a x x f a x )(,，求x 的值.牛顿迭代格式为 ),...,,()()(10=3+32=3--='-=2231+k x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k 。迭代误差不超过10－6，计算结果应保留小数点后6位。 当x =7或8时，x 3=343或512，0>8''80<7''7)()(,)()(f f f f 而,取x 0=8,有 078 7.47883791.4118323322 2001≈?+?=+=x a x x 956 7.439478078 .73791.411478078.73233222212≈?+?=+=x a x x ，0381220=-21.x x 7.439760439956 .73791.411439956.73233222223≈?+?=+=x a x x ，0001960=-32.x x 7.439760439760.73791.411439760.73233222334≈?+?=+=x a x x 于是，取≈*x 7.439760 例4用弦截法求方程x 3－x 2 －1＝0，在x =1.5附近的根.计算中保留5位小数点. [分析]先确定有根区间.再代公式. 解f (x )=x 3－x 2－1，f (1)=－1，f (2)=3，有根区间取[1,2]。 迭代公式为)()()()(1-1-1+--- =n n n n n n n x x x f x f x f x x (n =1,2,…) 取x 1=2, 251≈1?43-2=-+--1---=0120302131213112.)(x x x x x x x x x x 1.37662)225.1(2 225.125.1125.125.125.12323233≈-?+-----=x 1.48881)25.137662.1(25.125.137662.137662.1137662.137662.137662.12 323234≈-?+-----=x 1.46348)37662.148881.1(37662 .137662.148881.148881.1148881.148881.148881.12323235≈-?+-----=x 1.46553)48881.146348.1(48881 .148881.146348.146348.1146348.146348.146348.12323236≈-?+-----=x 取≈*x 1.46553，f (1.46553)≈－0.000145 例4选择填空题 1.设函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，若满足_____________，则方程f (x )=0在区间[a ,b ]一定有实根。 答案：f (a )f (b )<0 2.用简单迭代法求方程f (x )=0的实根，把方程f(x )=0表成x =?(x ),则f (x )=0的根是() (A)y =x 与y =?(x )的交点 (B)y =x 与y =?(x )交点的横坐标 (C)y =x 与x 轴的交点的横坐标 (D)y =?(x )与x 轴交点的横坐标 答案：(B) 3.为求方程x 3―x 2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式， 迭代公式不收敛的是( )。 (A)11:,1 112-=-=+k k x x x x 迭代公式 (B)21211:,11k k x x x x +=+=+迭代公式 (C)3/12123) 1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式 (D)11:,122123+++==-+k k k k x x x x x x 迭代公式 答案：(A) 解答： 在(A)中,075828.1)16.1(21)1(21)(,1 1)(,112/32/32=->--='-=-=x x x x x x ??故迭代发散。 在(B)中1901.03.112),11)(,113 322<=<-='+=+=x x x x x x ??，故迭代收敛。 在(C)中，15515.0) 3.11(36.12)1(32),,1)(3/223/2232<≈+?<+='+=x x x x x ??，故迭代收敛。 在(D)中，类似证明，迭代收敛. 4．牛顿切线法是用曲线f (x )上的_____________与x 轴的交点的横坐标逐步逼近f (x )＝0的解；而弦截法是用曲线f (x )上的__________________与x 轴的交点的横坐标逐步逼近f (x )＝0的解。 答案：点的切线；两点的连线 四、练习题 1.用二分法求方程f (x )=0在区间[a ,b ]内的根x n ，已知误差限ε，确定二分的次数n 是使()。 (A)b －a ≤ε (B)∣f (x )∣≤ε (C)∣x *－x n ∣≤ε (D)∣x *－x n ∣≤b －a 2.设方程f (x )=x －4＋2x =0，在区间[1,2]上满足_____________,所以f (x )=0在区间[1,2]内有根。建立 迭代公式x x 2-4=，因为__________________，此迭代公式发散。 3.牛顿切线法求解方程f (x )=0的近似根，若初始值x 0满足()，则解的迭代数列一定收敛。 (A))()(0x f x f ''<0 (B))()(0x f x f ''>0 (C))()(0x f x f ''≤0 (D))()(0x f x f ''≥0 4.设函数f (x )在区间[a ,b ]内有二阶连续导数，且f (a )f (b )<0,当__________时，则用弦截法产生的解数列收敛到方程f (x )=0的根。 5.用二分法求方程x 3－x －1=0在区间[1.0,1.5]内的实根,要求准确到小数点后第2位。 6.试用牛顿切线法导出下列各式的迭代格式： (1)c 1不使用除法运算；(2)c 1不使用开方和除法运算。 五、练习题答案 1.(C) 2.0>20<1)(,)(f f ;3861≈22>22-='.ln ln )(x x ?>1 3.(B) 4.f '(x )≠0 5.1.32 6.(1)31215.05.1)2(,2n n n n n n cx x x cx x x -=-=++ 线性方程组的数值解法 (一)考核知识点 高斯顺序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯――赛德尔迭代法；消去法消元能进行到底的条件，迭代解数列收敛的条件。 (二)复习要求 1.知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。 2.掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法。 3.知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，知道迭代解数列收敛概念和上述两种迭代法的收敛性的充分条件。 一、重点内容 1.高斯消去法：解线性方程组AX ＝b ，对增广矩阵顺序作初等行变换，使矩阵A 化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解。要求作初等行变换消元过程中， 。注意：本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性。 2.列主元消去法：在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元，(k ＝1，2，3，…，n －1)把第r 行作为主方程，做第k 次消元。把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解。 3.LU 公式法 LU A = 其中 ????????????????=????????????????=nn n n n n u u u u u u u u U l l l L M O ΛΛΛΛ ΛO M M M O 2232211312112121111 ???? ???????+=∑-==+=∑-=====-=-=n ,...,k i ,u u l a l n ...,,k ,n ,...,k ,k j ,u l a u n ,...,i ,u a l n ,...,j ,a u kk k j jk ij ik ik k i ij ki kj kj i i j j 132132************ 4.雅可比迭代法：解线性方程组AX ＝b 的雅可比迭代法公式为 (k＝0，1，2，…) 4.高斯――赛德尔迭代法：解线性方程组AX＝b的高斯――赛德尔迭代法公式为 (i＝1，2，…，n；k＝0，1，2，…) 二、难点内容：解的收敛性定理 （1）高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AX＝b 能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0。 （2）(迭代法基本定理)：设线性方程组X＝BX＋f对于任意初始向量X(0)及任意f，对应此方程组的迭 其中λi(i＝1，2，…，n)为迭代矩阵B的特代公式：X(k＋1)＝B(k)X＋f，收敛的充分必要条件是 , 征根。当λi为复数时，|λi|表示λi的模。 （3）(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组AX＝b，(1)若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法收敛；(2)若A为对称正定矩阵，则高斯――赛德尔迭代法收敛。 注：设矩阵A＝[a ij]n，若则称矩阵A是严格对角占优矩阵。 三、例题 例1用顺序消去法解线性方程组 解顺序消元 于是有同解方程组 回代得解：x3=－1,x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X＝(1,1,－1)T。 例2取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组 解建立迭代格式：(k=1,2,3,…) 第1次迭代,k=0：X(0)＝0，得到X(1)＝(1,3,5)T, X(2)＝(5,－3,－3)T；第2次迭代，k=1： ， 第3次迭代，k =2：， X (3)＝(1,1,1)T ； 第4次迭代，k =3：， X (4)＝(1,1,1)T ； 例3填空选择题： 1.用高斯列主元消去法解线性方程组 ?????=--=++=++2333220221 321321x x x x x x x x 作第1次消元后的第2，3个方程分别为。 解选a 21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x 1+2x 2+3x 3=3，消元得到 ???=+--=-5 .35.125.15.03232x x x x 是应填写的内容。 2.用选主元的方法解线性方程组A X ＝b ，是为了( )。 (A)提高计算速度 (B)减少舍入误差 (C)减少相对误差 (D)方便计算 答案：选择(B) 3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组 ?????=++=++=-+5223122321 321321x x x x x x x x x 式中＝(k =0,1,2,…) 的迭代格 答案： 1211225++--k k x x 解答：高斯——赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x 2的值时应该用x 1的新值。 4.当a ()时，线性方程组的迭代解一定收敛。 (A)>6 (B)=6 (C)<6 (D)>∣6∣ 答案：(D) 解答：当∣a ∣>6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由定理6，迭代解一定收敛。 12 1125++--k k x x 四、练习题 1.用高斯列主元消去法解线性方程组 2.用高斯－赛德尔迭代法求解线性方程组 取初始值(4.67，7.62，9.05)T，求二次迭代值。 3.证明线性方程组 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 计算分析题解答参考 1.1．某厂三个车间一季度生产情况如下： 计算一季度三个车间产量平均计划完成百分比和平均单位产品成本。 解：平均计划完成百分比＝实际产量/计划产量＝733/（198/0.9+315/1.05+220/1.1） ＝101.81% 平均单位产量成本 X=∑xf/∑f=(15*198+10*315+8*220)/733 =10.75(元/件) 1.2．某企业产品的有关资料如下： 试分别计算该企业产品98年、99年的平均单位产品成本。 解：该企业98年平均单位产品成本 x=∑xf/∑f=(25*1500+28*1020+32*980)/3500 =27.83(元/件) 该企业99年平均单位产品成本x=∑xf /∑(m/x)=101060/(24500/25+28560/28+48000/32) =28.87(元/件) 年某月甲、乙两市场三种商品价格、销售量和销售额资料如下： 1.3．1999 解：三种商品在甲市场上的平均价格x=∑xf/∑f=(105*700+120*900+137*1100)/2700 =123.04(元/件) 三种商品在乙市场上的平均价格x=∑m/∑(m/x)=317900/(126000/105+96000/120+95900/137) =117.74(元/件) 2.1．某车间有甲、乙两个生产小组，甲组平均每个工人的日产量为22件，标准差为 3.5件；乙组工人日产量资料： 试比较甲、乙两生产小组中的哪个组的日产量更有代表性？ 解：∵X 甲=22件 σ甲=3.5件 ∴V 甲=σ甲/ X 甲=3.5/22=15.91% 列表计算乙组的数据资料如下: ∵x 乙=∑xf/∑f=(11*10+14*20+17*30+20*40)/100 =17(件) σ乙= √[∑(x-x)2 f]/∑f =√900/100 =3(件) ∴V 乙=σ乙/ x 乙=3/17=17.65% 由于V 甲＜V 乙,故甲生产小组的日产量更有代表性。 2.2．有甲、乙两个品种的粮食作物，经播种实验后得知甲品种的平均产量为998斤，标准差为162.7斤；乙品种实验的资料如下： 试研究两个品种的平均亩产量，确定哪一个品种具有较大稳定性，更有推广价值？ 解：∵x 甲=998斤 σ甲=162.7斤 ∴V 甲=σ甲/ x 甲=162.7/998=16.30% 列表计算乙品种的数据资料如下: 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。 2002-2003 第一学期 一．计算及推导（ 5*8） 1．已知 x* 3.141, x ，试确定 x * 近似 x 的有效数字位数。 * * * 0.100 * * * 2．有效数 x 1 3.105, x 2 0.001, x 3 1 x 2 3 ，试确定 x x 的相对误差限。 3．已知 f ( x) 0.5 x 3 0.1x 2 ，试计算差商 f 0,1,2,3 4．给出拟合三点 A (0,1), B (1,0) 和 C (1,1) 的直线方程。 5．推导中矩形求积公式 b (b a) f ( a b ) 1 f '' ( )(b a)3 f (x)dx a 2 24 b n f (x)dx A i f ( x i ) a 6．试证明插值型求积公式 i 0 的代数精确度至少是 n 次。 7．已知非线性方程 x f (x) 在区间 a, b 内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代 公式。 8．用三角分解法求解线性方程组 1 2 1 x 1 0 2 2 3 x 2 3 1 3 0 x 3 2 二．给出下列函数值表 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x i 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 f ( x i ) 要用二次插值多项式计算 f (0.63891) 的近似值，试选择合适的插值节点进行计 算，并说明所选用节点依据。 （保留 5 位有效数字）（12 分） 三． 已知方程 x ln x 0 在 (0,1) 内有一实根 （ 1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似 x 0 (0,1) 迭代法都收 敛，并证明其收敛性。 （ 2） x 0 0.5 试用构造的迭代公式计算 的近似值 x n ，要求 x n x n 1 10 3 。 四． 设有方程组 关于地方时的计算 一．地方时计算的一般步骤： 1．找两地的经度差： (1)如果已知地和要求地同在东经或同在西经，则： 经度差=经度大的度数—经度小的度数 (2)如果已知地和要求地不同是东经或西经，则： 经度差=两经度和（和小于180°时） 或经度差=（180°—两经度和）。（在两经度和大于180°时） 2．把经度差转化为地方时差，即： 地方时差=经度差÷15°/H 3．根据要求地在已知地的东西位置关系，加减地方时差，即：要求点在已知点的东方，加地方时差；如要求点在已知点西方，则减地方时差。 二．东西位置关系的判断： （1）同是东经，度数越大越靠东。即：度数大的在东。 （2）是西经，度数越大越靠西。即：度数大的在西。 （3）一个东经一个西经，如果和小180°，东经在东西经在西；如果和大于180°，则经度差=（360°—和），东经在西，西经在东；如果和等于180，则亦东亦西。 三．应用举例： 1、固定点计算 【例1】两地同在东经或西经 已知：A点120°E,地方时为10：00，求B点60°E的地方时。 分析：因为A、B两点同是东经，所以，A、B两点的经度差=120°－60°=60° 地方时差=60°÷15°/H=4小时 因为A、B两点同是东经，度数越大越靠东，要求B点60°E比A点120°E小，所以，B点在A点的西方，应减地方时差。 所以，B点地方时为10：00—4小时=6：00 【例2】两地分属东西经 A、已知:A点110°E的地方时为10:00,求B点30°W的地方时. 分析:Ａ在东经，Ｂ在西经，110°+30°=140°＜180°，所以经度差=140°，且A点东经在东，B 点西经在西，A、B两点的地方时差=140°÷15°/H=9小时20分，B点在西方， 所以，B点的地方时为10：00—9小时20分=00：40。 B、已知A点100°E的地方时为8：00，求B点90°W的地方时。 分析：A点为东经，B点为西经，100°+90°=190°＞180°， 则A、，B两点的经度差=360°—190°=170°，且A点东经在西，B点西经在东。 所以，A、B两点的地方时差=170°÷15°/H=11小时20分，B点在A点的东方， 所以B点的地方时为8：00+11小时20分=19：20。 C、已知A点100°E的地方8：00，求B点80°W的地方时。 分析：A点为100°E，B点为80°W，则100°+80°=180°，亦东亦西，即：可以说B点在A 点的东方，也可以说B点在A点的西方，A，B两点的地方时差为180÷15/H=12小时。 所以B点的地方时为8：00+12小时=20：00或8：00—12小时，不够减，在日期中借一天24小时来，即24小时+8：00—12小时=20：00。 2、变化点计算 【例1】一架飞机于10月1日17时从我国上海（东八区）飞往美国旧金山（西八区），需飞行14小时。到达目的地时，当地时间是（） A. 10月2日15时 B. 10月2日3时 C. 10月1日15时 D. 10月1日3时 计算方法考试题（一） 满分70分 一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分） 1、将A 分解为U L D A --=，其中),,(2211nn a a a diag D =，若对角阵D 非奇异（即),1,0n i a ii =≠，则b Ax =化为b D x U L D x 1 1)(--++=（1） 若记b D f U L D B 111 1),(--=+= （2） 则方程组（1）的迭代形式可写作 ) 2,1,0(1 )(1)1( =+=+k f x B x k k （3） 则（2）、（3）称 【 】 (A)、雅可比迭代。(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。 2、记*x x e k k -=，若0lim 1≠=+∞→c e e p k k k （其中p 为一正数）称序列}{k x 是 【 】 (A)、p 阶收敛； (B)、1阶收敛； (C)、矩阵的算子范数； (D)、p 阶条件数。 3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】 (A)、 ) () (1k x f x f x x k k k '- =+ (B)、 )()())((111--+--- =k k k k k k k x f x f x x x f x x 1 )() ()1()()()(x x f x f x f k i k i k i ??+=+ (D)、 )() ()()1(k k k x f x x -=+ 二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分） 1、设0)0(f =，16)1(f =，46)2(f =，则一阶差商 ，二阶差商=]1,2,0[f ，)x (f 的二次牛顿 插值多项式为 2、 用二分法求方程 01x x )x (f 3 =-+=在区间]1,0[内的根，进行第一步后根所在的区间为 ，进行第二步后根所在的区间 为 。 三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分） 1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。试分别指出试用抛物插值计算115的近似值，并估计截断误差。 3、确定系数101,,A A A -，使求积公式 ) ()0()()(101h f A f A h f A dx x f h h ++-≈? -- （1） 具有尽可能高的代数精度，并指出所得求积公式的代数精度。 数学运算:盈亏问题计算公式 把若干物体平均分给一定数量得对象，并不就是每次都能正好分完。 如果物体还有剩余，就叫盈; 如果物体不够分，就叫亏。 凡就是研究盈与亏这一类算法得应用题就叫盈亏问题。 盈亏问题得常见题型为给出某物体得两种分配标准与结果，来求物体数量与参与分配得对象数量。由于每次分配都可能出现刚好分完、多余或不足这三种情况，那么就会有多种结果得组合，这里以一道典型得盈亏问题对三种情况得几种组合加以说明。 注意：公司中两次每人分配数得差也就就是大分减小分 一、基础盈亏问题 1、一盈一亏（不够）【一次有余（盈），一次不够（亏）】可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数得差）=人数。例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友与多少个桃子？” 解：（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数 10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子 或8×8+7=64+7=71（个）（答略) 测试：如果每人分9 个苹果，就剩下10 个苹果;如果每人分12 个苹果，就少20 个苹果。 2、两次皆盈（余），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数得差）=人数。 例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？” 解：（680-200）÷（50-45）=480÷5=96（人） 45×96+680=5000（发）或50×96+200=5000（发）（答略） 测试：如果每人分8 个苹果，就剩下20 个苹果;如果每人分7 个苹果，就剩下30 个苹果。 3、两次皆亏（不够），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数得差）=人数。 例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生与多少本本子？”解：（90-8）÷（10-8）=82÷2=41（人）10×41-90=320（本）（答略） 测试：如果每人分11 个苹果，就少10 个苹果;如果每人分13 个苹果，就少30 个苹果。 4、一盈一尽（刚好分完），可用公式：盈÷（两次每人分配数得差）=人数。 测试：如果每人分6 个苹果，就剩下40 个苹果;如果每人分10 个苹果，就刚好分完。 5、一亏一尽（刚好分完），可用公式：亏÷（两次每人分配数得差）=人数。 测试：如果每人分14 个苹果，就少40 个苹果;如果每人分10 个苹果，就刚好分完。 由上面得问题，我们归纳出盈亏问题得公式： 【提示】解决这类问题得关键就是要抓住两次分配时盈亏总量得变化，经过比对后，再来进行计算。 【例题1】某班去划船，如果每只船坐4 人，就会少3 只船;如果每只船坐6 人，还有2 人留在岸边。问有多少个同学? （） A、30 B、31 C、32 D、33 解析：此题答案为C。 设小船有x 只，根据人数不变列方程：4(x+3)=6x+2，解得x=5。 所以有同学6×5+2=32 人。 盈亏问题例题讲解： 《计算方法》期末考试试题 一 选 择（每题3分，合计42分） 1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈（三位有效数字），则 ≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤，减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x ?及常向量g ?，迭代过程g x B x k k ? ??+=+)() 1(收敛的充分必要条件是_ _。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)( 三重积分的计算方法： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲 《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)＝2,f (2)＝3,f (4)＝5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 计算方法模拟试题 一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（ ）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。《数值计算方法》试题集及答案(1-6) 2
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