第二章图论基础
2.1 图的基本概念
4、割集——定义
割集S是连通图G的一个边的集合，把S从G中移去， 将使图G成为分离的两部分，但如少移去S中的一条边，则 图G仍是连通的。
常用虚线画出的闭合面表示割集。被每个虚线面切割 的边组成一个割集，如S1={a, c, e, g}，S2={b, c, e, g}等。
割集是图G所含边的一种最小集合。即只要少移去其中 一条边，图G仍将是连通的；另外，如果移去某些边后，使 图分成两个以上部分，此边集也不是割集。
2.1 图的基本概念
2、道路与回路
平面图：如能把图G画在平面上，使其各边为简单曲 线，且除节点外任意两边均不相交，则称G为平面图。 网孔：平面图G中有许多自然网眼(边包围的一个区域)， 其内部既不含图的节点，也不含图的边，这样的自然网眼 称为图G的网孔，亦称为面，记作f。网孔的边界就是包围 它的诸边所构成的回路。 欧拉公式：一个连通的平面图为(m,n)图 ，假定图G的外部无限区域构成的无限范围也算作一个 网孔，则 f mn 2 就是著名的欧拉公式。如果不计外部面，则连 通平面团的内部回路数为：
2.1 图的基本概念
1、图
图是指某类具体事物和这些事物间联系的抽象 描述。可由一个点的集合和线段的集合构成。这些 点称为顶点或节点，线段称为边或分支。
[定义2-1] 一个图G定义为一个偶对(V，E)，记 作G＝(V，E)，其中： V是图G的节点的集合。m=是节点数。 E是图G的边的集合。n＝是图G的边数。
2.1 图的基本概念
1、图
图中节点的个数称为图的阶，用nv表示。每一对不 同节点间均有一条边相连的简单图称为完全图，图 G2就是一个4阶的完全图。m阶完全图的边数等于 v v e m(m-1)/2。 e v
1 9 1
e1 v2 e3 e5 v3
e2
4
v4
e4 e7
v2
e4 e3
v4
1
e5 v3
e6 e8
[定义 2-2] 若图 G （V , E ) 和 G ' (V ' , E ' ) 的 V 和 V 及 E 和 E 之间在保持关联性质的条件下一一对 应，则 G 和 G 称为同构。可表达为 G
/ /
/
G。
/
同构的图被认为是等价的。因此，在研究通风 问题时，只要保持同构，即可根据需要和方便，把 通风系统图绘成简明清晰的通风网络图。
v1 0 A 0 0 0 v2 1 0 0 0 v3 1 1 0 0 v4 0 1 1 0 v1 v2 v3 v4
简单有向图的节点邻接矩阵是对角元素为零的不对称 方阵。其总非零元素数目表示图的分支数；某行非零元素 数目表示从该行对应节点流出的分支数；某列非零元素数 目表示该列对应节点的流入分支数。
v2
e7 e6 e2 e3 e4 v6 v3
e6 v5
e1
e2
v5 e5 v1
图中与节点vi关联的边的条数称为vi点的线度，记作 d(vi)。对有向图，进入节点的为负线度，离开节点的 为正线度。显然，任一图G中各节点的线度之和等于 其边数的2倍。
2.1 图的基本概念
1、图
同一个图的图解又可有不同的画法，但只要它 们“同构”，均表示同一个图。
4、割集——基本割集
设S是图G＝(m，n)的一个割集，T是G的一棵生成树， 如果S中恰好含有T的一个树枝，则称S为G的关于生成树T 的基本割集，记作Sf。因T有m-1条树枝，可确定m-1个基 本割集。这m-1个基本割集称为图G的生成树T的一个基本 割集组。
a d c b
f e
g
图中，取T=(a, b, d, f)，G关于T的基本割集组是S1＝ (a, c, e, g)，S2＝(b, c, e, g)，S3＝(d, e, g)，S4＝(f, g)， 可以看出，基本割集组是线性无关的。
2.1 图的基本概念
1、图
v2 e1 v4 e4 e3
e9
e5 v3 e6 v4 e8
v1
e1 v2
e2 v1
e7 e6 e2 e3 e4 v6 v3
v5 e5
图 G2， G3是有向图。图解中用带箭头的线段表 示有向边，箭头从始点指向终点，始终点为有序偶 对。为区别起见，一般用圆括号表示有序偶对，用 尖括号表示无序偶对。
一个连通图的生成树是连通这个图的全部节点的边数 最少的集合，而割集则是分割—个图的节点为不相连的二 个节点子集的边数最少的集合，因此，一个图的生成树与 割集间存在着一定的联系。 [定理] 连通图G的一个割集S至少包含图G的生成树的 一条树枝。因为单纯余树弦是不能将图G分成两部分的。
2.1 图的基本概念
如图G2中边
e1 v1 , v2
e2 v2 , v3
2.1 图的基本概念
1、图
联接同一条分支的两点称为邻接点，有共同节 点的两边称为邻接边。即一条边与它的节点关联。 就是说，关联反映点、边间的联接关系，而邻接则 反映节点间或分支间的联接关系。 v v
1
e1 v2 e3 e5 v3
2.1 图的基本概念
1、图
子图：对于图 H 和图 V，如果 V H V G 、 E H E G ，且 H 中边的重数不超过 G 中对应边的 重数，图 H 是图 G 的子图，记作 H G 。
真子图：若 H G ，且 V H V G 或 E H E G ，或 H 中至少有一个边的重数小于 G 中对应 边的重数，则称 H 为 G 的真子图。换言之，图 G 的一部分称为它的真子图。
2.1 图的基本概念
3、树——生成树和余树
生成树：如果T是图G的一个生成子图且又是一棵树时， 则称T是G的一棵生成树。一个图的生成树不是唯一的。任 何连通图均有生成树。生成树是连通一个图的全部节点的 极小边集合。
余树：图G中去掉生成树T后，剩下的边构成的子图， 称为余树(或称连枝)。余树含的边称为余树弦或余树边。可 以看出，余树既可含回路，也可不连通。 连通图的树枝数与余树弦数之和等于边数。一个(m,n) 图的余树弦数为n-m+1。
C n m 1
2.1 图的基本概念
3、树——定义
不含回路的连通图，称为树，记作T。组成树 的边称为树枝 。
F C A D B
E
设T是有m个节点的图，下述每条均可描述树： (1) T连通且无回路； (2) T连通且有m-1条边； (3) T的每一对节点间有唯一的—条路； (4) T无回路，但T中加上一条边恰有一个回路；
2.1 图的基本概念
3、树——基本回路
设T是连通图G的一棵生成树，由一条余树弦和T的树 枝构成的回路，称为图G关于生成树T的基本回路。由nm+1条余树弦形成的n-m+1个基本回路，称为关于树T的基 本回路组。基本回路是线性无关的，亦称独立回路。 图的生成树不是唯一的，因而一个图的基本回路组也 不是唯一的。 对有向图，可给基本回路定义一个正方向。通常由余 树弦的方向作为回路的正方向。回路内其他边的方向，凡 与余树弦相同者为正，反之为负。
e2 v4 e4 e6 v5 e7 e1 v2
v4 e4 e3 e5 v3 e6
e9
1
v4 e8
e1
v2 e7 e6 e2 e3 e4 v6
e2
v5 e5
v1
v3
在有向图中，连接两个相同节点、方向也相同的分支称 为平行边，即重边。始终点重合的分支构成圈。没有圈又不 含平行边的图称为简单图。两节点间有平行边的图称为多重 图。连按两个相同节点的重边数叫做边的重数。
图中，v1至v3间的基本道路有v1e5v3、v1e1v2e6v3、 v1 e1v2e7v3、v1e1v2e2v4e8v3、v1e1v2e2v4e3v5e4v2 等五条。
v1
赋权图G中，两节点间每条道路内各边的权 之和称为道路的权。所有道路中，权最大 者，称为最长路；权最小者称为最短路。
e5 v3 e4 v5
2.1 图的基本概念
3、树——基本回路
a d c b
f e
g
图中，取T=(a, b, d, f)，G关于T的基本回路组是C1＝ (a, b,c)，C2＝(a,b,d,e)，C3＝(a,b,d,f,g)，可以看出，基本 回路组是线性无关的。
2.1 图的基本概念
3、树——最大树与最小树
赋权图中，一棵生成树所有树枝上权的总和称为生成 树的权。图G的所有生成树中权最小者，称为最小树，记作 Tmin；图G的所有生成树中权最大者，称为最大生成树，记 作Tmax。
e1
e6
e7
v2 e2
e8
e3 v4
2.1 图的基本概念
2、道路与回路
回路:始点和终点重合的基本链称为回路。图中e1e5e6、 v e1e2e3e4e5、e6e7等均是一个。
1
e5
e1 e6 e7 e8
v3
v2
e2
e4 v5
e3
v4
图的连通性:图G＝(V，E)中，若任意两节点间至少存 在一条路，则称图G为连通图。在有向图G中，若任意两节 点(vi,vj)间至少存在着从vi到vj的一条道路，称此图为单向连 通图；若从vi到vj和从vj到vi均至少有一条道路，则称该图 为强连通图。
1 5
e1
图中，v4e3v5e4v3e8v4e2v2e7v3是—条 e 链，也是一条简单链，但不是基本链； v5e4v3e6v2e7v3e8v4e3v5是一条闭链。 v
5
v3
e6
e7
v2 e2
4
e8
e3 v4
2.1 图的基本概念
2、道路与回路
一条不闭合的简单链称为路，记作L。对有向图，若 一条路中所有边的方向均一致，则称为道路，或称通路。 不含重复节点的道路称为基本道路。
图论基础_ls_6.2-6.3(全)
定义 6.14 设无向图 G = < V, E >, u, v V, 若 u 与 v 之间存在通路，则称 u 与 v 是连通的。 规定 u 与自身总是连通的。 任意两个顶点都是连通的图称为连通图。否 则称为非连通图。 平凡图是连通图。 连通关系（等价关系）： R = { <u, v>| u, vV 且 u 与 v 连通 }。
= v0e1v1e2…elvl ② 用边序列表示： = e1e2…el
③ 简单图中，用顶点序列表示：
= v0v1…vl
4
(2) 初级通路（回路）是简单通路（回路）, 但反之不真。
初级通路 简单通路
初级回路
简单回路
5
6.2.1 通路与回路
定理 6.3 在 一个n 阶图中，若从顶点 u 到 v（u v）
8
连通关系： R = { <u,v> | u, vV 且 u 与 v 连通 }。
连通分支： V 关于 R 的等价类的导出子图。
设 V/R = {V1,V2,…,Vk }，
G 的连通分支为 V1,V2,…,Vk 的导出子图：
G[V1]，G[V2]，…，G[Vk]
连通分支数记为： p(G)=k 。
G是连通图 p(G)=1
– 有向图中的通路数与回路数 • 6.3.4 有向图的可达矩阵
若 u 不可达 v，规定 d <u, v> = ∞.
性质： d<u, v> 0，且 d<u, v> = 0 u = v d <u, v> + d<v, w> d<u, w>
注意: 距离没有对称性。
19
6. 3 图的矩阵表示
电网络理论 第二章图论
电网络理论第二章图论第二章图论图论是电网络理论的重要分支，主要研究对象是图。
图是由节点和边构成的一种抽象模型，被广泛应用于计算机科学、数学和其他相关领域。
本章将介绍图论的基本概念、常用算法以及在电网络中的应用。
1. 图的定义和表示方式图由节点（也称为顶点）和边组成。
节点表示图中的元素，边表示节点之间的关联关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边有方向性，表示从一个节点到另一个节点的单向关系。
无向图中的边没有方向性，表示节点之间的无序关系。
图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，用于表示节点之间的关系。
邻接表则是由链表构成的数组，每个节点对应一条链表，链表中记录了该节点与其他节点的关系。
2. 图的基本术语和性质图论中有一些基本的术语和性质，包括：- 路径：指从一个节点到达另一个节点所经过的一系列边和节点。
- 简单路径：路径中不含有重复节点的路径。
- 环：起点和终点相同的路径。
- 连通图：图中任意两个节点之间都存在路径的图。
- 强连通图：有向图中任意两个节点之间都存在路径的图。
- 子图：由图中部分节点和对应的边组成的图。
- 度：节点所连接的边的数量。
- 入度和出度：有向图中节点的入边和出边的数量。
3. 常用图论算法图论中有许多重要的算法，下面介绍其中几个常用算法：- 广度优先搜索（BFS）：用于查找图中从起点到终点的最短路径，同时可以用于遍历图的所有节点。
- 深度优先搜索（DFS）：用于遍历图的所有节点，通过递归的方式沿着路径向前搜索，直到没有未访问的节点。
- 最小生成树（MST）：通过连接图中的所有节点，使得生成的树具有最小的总权重。
- 最短路径算法：例如迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法，用于查找图中两个节点之间的最短路径。
- 拓扑排序：用于对有向无环图进行排序，使得图中的节点满足一定的顺序关系。
4. 图论在电网络中的应用图论在电网络领域有广泛的应用，包括：- 网络拓扑分析：通过图论算法可以对电网络的拓扑结构进行分析，了解网络中节点之间的连接关系。
图论 第二章 树(tree)
定义2.2.2 如果在图G中去掉一个顶点（自然同 时去掉与该顶点相关联的所有边）后图的分 支数增加，则称该顶点为G的割点。
定理2.2.1 当且仅当G的一条边e不包含在G 的 圈中时，e才是割边。
u x
e
v
Hale Waihona Puke yCG推论2.2.1 当且仅当连通图G的每一条边均为 割边时，G才是一棵树。
对割边有下面的等价命题：
推论2.1.3 设G的边数为q，顶点数为p,如果 G无圈且q=p-1，则G是一棵树。
推论2.1.4 在树中至少存在两个度为1的顶点。
关于树有下列的等价命题：
（1）G是一棵树 （2）G的任意两个顶点由唯一道路联结 （3）G是连通的，且q=p-1 （4）G是无圈的，且q=p-1 （5）G无圈，且若G的任意两个不邻接的顶点 联一条边e，则G+e中恰有一个圈。
A directed graph is Eulerian if it is connected and can be decomposed into arc-disjoint directed cycles.
An undirected graph is traversable if it is connected and at most two vertices in the graph are of odd degree
条包含G的所有边的闭链； ❖ （4）两个欧拉图的环和仍是欧拉图。
理定3.1.2和推论3.1.1反映了图的一 个重要性质，即图的连绘性。一个连 绘的图是指这个图可以用一笔画成而 没有重复的笔划。换句话说就是在这 个图中存在一条能过每条边的链。
3.3 哈密顿图
1856 年 hamilton 周游世界的游戏，十 二面体，有20个顶点，三十条边，十二 个面
图论的基础概念和算法
图论的基础概念和算法图论是数学的一个分支，研究的对象是图。
图是由一组互不相连的节点（顶点）和连接这些节点的边（边）组成的数学结构。
图论的基础概念包括顶点、边、路径、环、度数等。
本文将介绍图论的基础概念以及常用的图算法。
一、基础概念1. 图的定义和表示图由顶点集合和边集合组成。
顶点集合用V表示，边集合用E表示。
图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，用来表示图中顶点之间的连接关系。
邻接表是一个链表数组，用来表示每个顶点相邻顶点的列表。
2. 顶点和边顶点是图的基本组成单位，用来表示图中的一个节点。
边是连接两个顶点的线段，用来表示两个顶点之间的关系。
3. 路径和环路径是由一系列相邻顶点连接而成的顶点序列。
路径的长度是指路径上经过的边的数目。
环是起点和终点相同的路径。
4. 度数顶点的度数是指与其相邻的边的数目。
入度是指指向该顶点的边的数目，出度是指由该顶点指向其他顶点的边的数目。
图中顶点的度数可以用来判断顶点的重要性。
二、常用算法1. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种用来遍历和搜索图的算法。
从一个起始顶点开始，逐层扩展，先访问距离起始顶点最近的顶点，然后访问它们的相邻顶点，并逐渐向外扩展。
广度优先搜索可以用来计算两个顶点之间的最短路径。
2. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是另一种常用的图遍历算法。
从一个起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入地访问图，直到不能再继续深入为止，然后回溯到上一个顶点，继续探索其他路径。
深度优先搜索可以用来计算连通分量、拓扑排序和寻找环等。
3. 最小生成树最小生成树是指图中通过连接所有顶点的子图，并且该子图的边权重之和最小。
常用的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法从一个顶点开始，逐步扩展最小生成树的边，直到包含所有顶点为止。
Kruskal算法则是从边的权重最小的边开始，逐步增加边到最小生成树中，直到包含所有顶点为止。
4. 最短路径算法最短路径算法用来计算两个顶点之间的最短路径。
图论-图的基本概念
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
图论基础知识PPT课件
.
6
图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
连通图：如果一个无向图中，任意两个顶点之间
都是连通的，则称该无向图为连通图。否则称为非连通图；左图为一个连通图。
强连通图：在一个有向图中，对于任意两个顶点U和V，都存在着一条从U到V的
有向路径，同时也存在着一条从V到U的有向路径，则称该有向图为强连通图；右 图不是一个强连通图。
深度优先遍历与宽度优先遍历的比较：
深度优先遍历实际上是尽可能地走“顶点表”； 而广度优先遍历是尽可能沿顶点的“边表”进行访问， 然后再沿边表对应顶点的边表进行访问，因此，有关边表 的顶点需要保存(用队列，先进先出)，以便进一步进行广度 优先遍历。
下面是广度优先遍历的过程：
.
14
图论算法与实现
一、图论基础知识
简单路径：如果一条路径上的顶点除了起点和终点可以相同外，其它 顶点均不相同，则称此路径为一条简单路径；起点和终点 相同的简单路径称为回路（或环）。
.
4
图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
路径和简单路径的举例：
左图1—2—3是一条简单路径，长度为2， 而1—3—4—1—3就不是简单路径；
一、图论基础知识
2、图的基本概念： 路径：对于图G=（V，E），对于顶点a、b，如果存在一些顶点序列
x1=a,x2,……,xk=b(k>1)，且（xi,xi+1）∈E，i=1,2…k-1，则称 顶点序列x1,x2,……,xk为顶点a到顶点b的一条路径，而路径上边 的数目（即k-1）称为该路径的长度。 并称顶点集合{x1,x2,……,xk}为一个连通集。
边集数组
邻接表
优点
图论第二章(1)
m=|E1|+|E2| ≤ n1(n1-1)/2+ n2(n2-1)/2 ≤(n-1)(n1-1)/2+(n-1)(n2-1)/2 ≤(n-1)(n-2)/2， ，
2.2
道路与回路的判定
1.判定各点对间是否有道路相通:邻接矩阵方法 1.判定各点对间是否有道路相通: 判定各点对间是否有道路相通
有向图或无向图)的 设A＝(aij)n×n是图 有向图或无向图 的 ＝ × 是图G(有向图或无向图 邻接矩阵， 的长度为1的道路 邻接矩阵，则aij是vi到vj的长度为 的道路 (边)的条数。 的条数。 边 的条数 一般地， 一般地，设Ak＝( aij(k) )n×n ，则aij(k)是vi到 × vj的长度恰为 的道路的条数 k=1,2,…。 的长度恰为k的道路的条数 的道路的条数, 。 这可用数学归纳法予以证明： 这可用数学归纳法予以证明： 因为 Ak＝ Ak-1A, 所以
16
定义道路矩阵 定义道路矩阵P=(pij) n×n ，其中 道路矩阵 × , v 路 通 1 若 i , v j 有 相 pij = , v 路 通 0 若 i , v j无 相 则 P=A∨A(2)∨A (3)∨…∨A (n) ∨ ∨ (布尔运算 布尔运算) 布尔运算
17
v1
例 v2
命题：若简单 1 命题： 图G的每个结点 的每个结点 的度数≥ ， 的度数≥3，则G 中必含带弦的回 路。 5
3
4
6
证明： 证明：设 P=(e1,e2,…,ek)是G的一条最长 是 的一条最长 的初级道路， 的初级道路，e1=(v0,v1)。由于 为最长的 。由于P为最长的 初级道路，所以与v 初级道路，所以与 0有边相边的结点都在 P上。( 否则与 是最长的假设矛盾 否则与P是最长的假设矛盾 是最长的假设矛盾) 上 v0至少有三个相邻结点 1, vi, vj,它们与 1 至少有三个相邻结点v 它们与v 它们与 相连的边e 中最多有两个在P中 即 相连的边 1, e’, e”中最多有两个在 中,即 中最多有两个在 其中至少有一边不在P上 此边就是C的 其中至少有一边不在 上，此边就是 的 一条弦 一条弦。 v1 e2 e1 v0 e” e’
图论
图论内容提要第一章图的基本概念图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩阵与邻接矩阵。
路、圈与连通图；最短路问题。
树及其基本性质；生成树；最小生成树。
第二章图的连通性割点、割边和块；边连通与点连通；连通度；Whitney定理；可靠通信网络的设计。
第三章匹配问题匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配；指派问题与最大权匹配。
第四章欧拉图与哈密尔顿图欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问题。
第五章支配集、独立集、覆盖集与团支配集、点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念及其求法。
第六章图的着色问题点着色；边着色；平面图；四色猜想；色多项式；色数的应用。
第七章网络流理论有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割定理；求最大流的标号算法；最小费用流问题；最小费用最大流；网络流理论的应用。
主要参考书[1] J.A. Bondy and U.S. Murty, Graph theory with applications, 1976, 有中译本（吴望名等译）。
[2] B.Bollobas, Modern graph theory (现代图论)，科学出版社，2001。
[3] 蒋长浩，图论与网络流，中国林业出版社，2001。
[4] 田丰，马仲蕃，图与网络流理论，科学出版社，1987。
[5] 徐俊明，图论及其应用，中国科技大学出版社，1998。
[6] 王树禾，图论及其算法，中国科技大学出版社，1994。
[7] 殷剑宏，吴开亚，图论及其算法，中国科技大学出版社，2003。
第一章 图的基本概念§1.1 图的基本概念1. 图(graph)：一集元素及它们之间的某种关系。
具体地说，图是一个二元组),(E V ，其中集合V 称为顶点集，集合E 是V V ⨯的一个子集（无序对，元素可重复），称为边集。
例1.1.1 ),(E V G =，其中},,,,{54321v v v v v V =，)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(55515153433221v v v v v v v v v v v v v v E =。
图论课件第二章_树
图论及其应用
应用数学学院
1
第二章 树
本章主要内容
一、树的概念与性质
二、生成树
三、最小生成树
2
本次课主要内容
(一)、树的概念与应用 (二)、树的性质 (三)、树的中心与形心
16
2 m ( G ) d ( v ) k 1 kn 2 ( k ) 2 n 1 2 n 2
v V ( G )
所以，有：m (G)>n-1,与G是树矛盾！ 例10 设G是森林且恰有2k个奇数顶点，则在G中有k条 边不重合的路P1, P2 ,…, Pk,使得：
v2 e2 e5 v1 v4 e4 e3 e6 v3
e1
7
该问题归结于在图中求所谓的最小生成树问题。或 称为赋权图中的最小连接问题。 例4 化学中的分子结构与树 例如：C4H10的两种同分异构结构图模型为： h h h h h h h h h h h h h h
h h h
h
h
h
8
例5 电网络中独立回路与图的生成树 早在19世纪，图论还没有引起人们关注的时候，物理学 家克希荷夫就已经注意到电路中的独立回路与该电路中的所 谓生成树的关系。即：如果电路是(n, m)图，则独立回路的 个数为m-n+1.并且，生成树添上生成树外的G的一条边，就 可以得到一独立回路。 例6 通信网络中的组播树 在单播模型中，数据包通过网络沿着单一路径从源主机向 目标主机传递，但在组播模型中，组播源向某一组地址传递数 据包，而这一地址却代表一个主机组。为了向所有接收者传 递数据，一般采用组播分布树描述IP组播在网络里经过的路 径。组播分布树有四种基本类型：泛洪法、有源树、有核树 和Steiner树 。
第二章(1)电路基本分析方法
I3
U s1
R1
R2
I2
②
U s3
R3
①
1
3
2
②
2.1.1 电路图与拓扑图
②
R2
① R3
R4
R5
③
R6 ④
U s1
R1
实际电路图
②
2
4
①
5
③
3
6
④
1
对应的线图
线图是由点（节点）和线段（支路）组成，反映实际 电路的结构（支路与节点之间的连接关系）。
有向图
如果线图各支路规定了一个方向（用 箭头表示，一般取与电路图中支路电流 方向一致），则称为有向图。
回路2：I3×R3＋US3－I4×R4＋I2×R2=0
回路3：I4×R4＋I6×R6－I5×R5=0
网孔回路电压方程必为独立方程。
网孔回路电压方程数=b（支路数）－n（节点数）＋1
解出支路电流
4>. 由n1个节点电流方程和bn+1个网孔电压方程（共b
个方程）可解出b个支路电流变量。
R3
I 3
U s3
第二章(1) 电路基本分析方法
本章内容
1.网络图论初步 2.支路电流法 3.网孔电流法 4.回路电流法 5.节点电压法
2.1 网络图论的概念
图的概念：对于一个由集中参数元件组成的电网络，
若用线段表示支路，用黑圆点表示节点，由此得到一
个由线条和点所组成的图形，称此图为原电网络的拓
扑图，简称为图。
I1 ①
－ I1 ＋ I2 － I3 =0
I1 －10＋3× I2 =0 3×I2 ＋2× I3 －13=0
解得： I1 =1A， I2 =3A， I3 =2A