(完整版)华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案

第 11 章（之1）（总第59次）

教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题：

**（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-2

2

1连续区域是 ??????? ． 答：x y 2

2

1+>

**（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=?

??

?

?22

2222000

， 则（ ）

(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续

(C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ）

**2. 画出下列二元函数的定义域： （1）=

u y x -；

解：定义域为：{

}

x y y x ≤)

,(，见图示阴影部分：

（2）)1ln(),(xy y x f +=；

解：{}

1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）．

（3）y

x y

x z +-=

． 解：()()?

?

?-≠≥????≠+≥+-?≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000．

***3. 求出满足2

2,

y x x y y x f -=??

? ??+的函数()y x f ,. 解：令??

?

??=+=x y

t y x s ， ∴??

???+=+=t st y t s x 11

∴()()

()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22

222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限：

()()

2

2

0,0,11lim

y

x xy y x +-+→．

解：()(

)(

)

(

)(

)

2

222

2

22

2

112111110y

x xy y x y

x xy xy

y

x xy ++++≤

+++=

+-+≤

()

01

122

2→+++=

xy y x （()()0,0,→y x ） ∴

()()

011lim

2

2

0,0,=+-+→y

x xy y x ．

**5. 说明极限()()2

22

20,0, lim y x y x y x +-→不存在．

解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同．

首先，0=x 时，极限为()()1lim 22

22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ，

其次，0=y 时，极限为()()1lim 22

22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ，

故极限()()2

22

20,0,y y lim +-→x x y x 不存在．

**6. 设1

12sin ),(-+=

xy x y y x f ，试问极限

),(lim )

0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？

解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数

1

12sin ),(-+=

xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．

***7. 试讨论函数z x y

xy

=+-arctan

1的连续性． 解：由于arctan x y

xy

+-1是初等函数，所以除xy =1以外的点都连续，但在xy =1上的点处不连续．

**8. 试求函数f x y xy

x y

(,)sin sin =

+22ππ的间断点．

解：显然当(,)(,),x y m n m n Z =∈时，f x y (,)没定义，故不连续． 又f x y xy

x y

(,)sin sin =

+22

ππ是初等函数． 所以除点(,)m n （其中m n Z ,∈）以外处处连续．

第 11 章（之2） （总第60次）

教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.1]

**1.解下列各题： （1）函数3

2),(y x y x f +=

在)0,0(点处 （ ）

（A ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都存在； （B ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都不存在； （C ）)0,0(x f '存在，但)0,0(y f '不存在； （D ）)0,0(x f '不存在，但)0,0(y f '存在． 答：（D ）．

（2） 设z x y x

y

=+-()arcsin

2，那么

??z y (!,)

2= （ ）

(A) 0 ； (B) 1； (C)

π2

； (D)

π4

． 答：(D)．

（3）设()xy y x f =

,，则=)0,0('x f ______，=)0,0('y f __________．

解：由于0)0,(=x f ，0)0,0('=∴

x f ，同理 0)0,0('=y f ．

**2. 设z x y x y e xy =-+++2322ln ， 求 z z x y ,． 解：z x x y ye x xy

=+++1322， z y x y

xe y xy =-+++2322

．

**3. 求函数x

y

z arctan =对各自变量的偏导数. 解：2

222,y x x

z y x y z y

x +=+-=．

**4. 设f x y x x y x y x y (,)ln()

=++≠+=??

?222222200

，求f f x y (,),(,)0000．

解：f x x x x x (,)lim

ln 000022==→， f y

y y (,)lim 0000

00=-=→．

***5. 求曲线?

??=+-=12

2x y xy x z 在()1,1,1点处切线与y 轴的夹角．

解：由于曲线在平面1=x 内，故由 ()()()121,11,1=+-=y x z y ，

得切线与y 轴的夹角为 4

1arctan π

=

．[也可求出切向量为{}1,1,0]

∴夹角={}{}4

22arccos

12

110,1,01,1,0arccos 22π

==+．

***6. 设函数?(,)x y 在点)0,0(连续，已知函数f x y x y x y (,)(,)=-?在点)0,0(偏导数

)0,0(x f '存在，

（1）证明?(,)000=； （2）证明)0,0(y f '也一定存在．

解：（1）lim

(,)(,)

lim (,)???????x x f x f x x x x

→→-=0

00000?， 因为)0,0(x f '存在，所以 lim (,)lim (,)

????????x x x x x x x x

→+→-?=-?0000??

即 ??(,)(,)0000=-， 故 ?(,)000=．

（2）由于?(,)x y 在点)0,0(连续，且?(,)000=，所以0→?y 时，),0(y ??是无穷小量，

而y

y ??是有界量，所以0),0(lim )

0,0(),0(lim

00

=???=?-?→?→?y

y y y f y f x y ?，即0)0,0(='y f ．

第 11 章（之3） （总第61次）

教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.2 ~ 11.2.4]

**1. 求函数()x y z x z y x f sh ch ,,-=的全微分，并求出其在点()2ln ,1,0=P 处的梯度向量．

解：()()()x y d z x d z y x df sh ch ,,-=

()zdz

x xdy dx x y z xdx

y xdy zdz x zdx sh sh ch ch ch sh sh ch +--=--+=

∴()()dx z y x df 41,,2ln ,1,0=

， ()()?

?????=?0,0,41,,2ln ,1,0z y x f ． **2.求函数xy

y

x z -+=1arctan

的全微分： 解：xy

y

x d dz -+=1arctan

)arctan (arctan y x d +=

2

211)(arctan )(arctan y dy x dx y d x d ++

+=

+=

**3. 设z xy xy =-sec ()ln()

21，求d z ．

解：2

22)]

1[ln()]1d[ln()(sec )](d[sec )]1[ln(d ----=xy xy xy xy xy z

)]d d (1)(sec )d d )(tan()(sec 2)1[ln()]

1[ln(122

2

y x x y xy xy y x x y xy xy xy xy +--+--= )

1(ln )(cos )1()

d d ](1)1)(tan()1ln(2[22--+---=

xy xy xy y x x y xy xy xy ．

**4. 利用df f ≈?，可推出近似公式：()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈?+?+， 并利用上式计算

()()2203.498.2+的近似值．

解：由于()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈?+?+， 设()22,y x y x f +=

，03.0,02.0,4,3=?-=?==y x y x ，

于是 ()2

2

2

2

,y

x y y x x y

x ydy xdx y x df +?+?=

++=

，

()()2

2

,,y

x y y x x y x f y y x x f +?+?+

≈?+?+，

∴

()()()()

012.54

303.0402.034303.498.22

2

222

2=++-+

+≈+．

***5．已知圆扇形的中心角为ο

60=α，半径为cm r 20=，如果α增加了ο1，r 减少了1cm ，试用全微分计算面积改变量的近似值． 解：180

212πα

r

S =

， ))(2(360

2ααπ

d r dr dS +=

，

∴ )(4533.17)360

1

)20(360)1(60202(

22cm dS S -=?+-???=≈?π．

***6. 计算函数()()z y x z y x f 32ln ,,++=在点()0,2,1=P 处沿给定方向 k j i l ?

???-+=2

的方向导数P

l

f

???．

解：z

y x f z

y x f z

y x f z y x 323

,

322

,

321

++=

++=

++=

，

??????-=61,6

1

,62l e ?，

∴ 65161,6

1

,6253,52,51=

?????

?-???????=??=??l P

e f l

f

?

?．

***7. 函数z x

y

=++arctan 11在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数的值． 解：

??z x

x y y

(,)

(,)

002

0011111112

=

+++?? ????

+=

， ??z y

x y x y (,)

(,)

()0022001

1111112

=

+++?? ??

??-++??

????=-，

{}{}??αααα?z l =+-=-?=1212121122cos ()sin ,cos ,sin cos ， 其中?为{}?l =cos ,sin αα与?g =-????

??

1212,的夹角，

所以?=0时，即?

l 与?

g 同向时，方向导数取最大值??z l =22

．

**8. 对函数 xyz

e z y x

f =),,( 求出 ),,(z y x f ? 以及 )3,2,1(f ?.

解： {

}

xyz xyz xyz

xye xze yze f ,,=?，{}2,3,6)3,2,1(6e f =?．

**9. 求函数z y x z y x f 1)(),,(+=在点)2

1,21,21(

-+=e e P 处的梯度． 解：??

?

???????++-++=?--)ln()(,)(1,)(12

1

1111y x z y x y x z y x z f z z z ， {}

24,2,2)2

1,21,21(

e e e e e

f -=-+?．

***10. 讨论函数?????=+≠+++=0

,

00,1sin ),(22222

2

2

2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处的连

续性，可导性和可微性．

解：因为 lim (,)lim sin

(,)x y x y f x y x y x y f →→→→=++==00

00

22

22

1

000，

所以f x y (,)在点（0，0）连续．

因为 lim

(,)(,)lim sin ()???????x x f x f x x x x →→+-=0

02

00001， 极限不存在，f x y (,)在（0，0）处不可导，从而在（0，0）处不可微．

第 11 章（之4）（总第62次）

教材内容：§11.3 复合函数微分法；§11.4 隐函数微分法

**1.解下列各题：

（1） 若函数),(v u f 可微，且有x x x x x f ++=3

422),(及122),(22 +-='x x x x f u ，则

),(2 x x f v '= ( )

(A) 1222

++x x

(B) x

x x 21322

+

+ (C) 1222

+-x x

(D) 1322

++x x

答：(A)

（2）设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2

=++所确定，则

??z

y

=_________． 答： 21

12

xyz xy

-- ．

（3）方程

y

z

x z ??=??3，在变量代换y x u 3+=，y x v +=3下，可得新方程为_______. 答：0=??u

z

．

**2. 设u x y z x r y r z r =++===222

,cos sin ,sin sin ,cos θ?θ??求

????θ???

u r u u ,,．

解：

()??θ?θ??u

r

x y z r =++=2222cos sin sin sin cos ，

0)sin cos (2]sin )sin ([2=+-=?θθ??θ

?r y r x u

，

0sin 2)cos sin (2)cos cos (2=-+=??θ?θ??

?r z r y r x u

．

**3. 一直圆锥的底半径以3s cm /的速率增加，高h 以5s cm /的速率增加，试求r=15cm ，h=25cm 时其体积的增加速率． 解：h r V 2

3

1π=

， s cm h r dt

dV

dt

dh

r dt dr rh dt dh h V dt dr r V dt dV /112525

15313232πππ===+=???+???=

*4. 设,3y e z x -=而4

,sin t y t x ==，求

dt

dz

． 解：3

2334cos y t t e dt

dy z dt dx z dt dz x

y x -=+=．

**5. 若)

(2

2y x f xy z -=

，证明：z y z x y z y x x z xy 2

222+=??+??． 解：2

2222,2f

f xy xf z f f y x yf z y x '

+='-=， 则 z y z x f

y x xy yz x z xy y x 22222

2

)

(+=+=

+． **6. 设 )cos ,,(2

x xy ye xe f u x y =，求

du y

u

x u ,,????． 解：

3221)2sin cos (f x xy x y f ye f e x

u

x y -++=?? ， 3221cos xf x f e f xe y

u

x y ++=??， [][]

dy xf x f e f xe dx f x xy x y f ye f e du x y x y 32213221cos )2sin cos (+++-++=．

**7. 求由方程

y

z z x ln =所确定的函数),(y x z z =的偏导数y z x z ????,．

解：z

x z

yz y z

x z

Fz Fx z x +=-

--=-=21

，yz xy z z z x y Fz Fy z y +=---=-=2211

．

**8. 设,0),,(=+xz z y xy F 试求

dz y

z

x z ,,????． 解：,0),,(=+xz z y xy F 两边对x 求导，得 0)(321=+++x x xz z F F z yF ， 解得 3

23

1xF F zF yF z x ++-

=，

两边对y 求导，得 0)1(321=+++y y xz F z F xF ． 解得3221xF F F xF z y ++-

= ，所以

dy xF F F xF dx xF F zF yF dz 3

22

13231++-++-=．

***9. 函数z z x y =(,)由方程F x x y z z xy (,,)+++=1所确定，其中F 具有连续一阶偏导数，F F 230+≠，求

??z x 和??z y

． 解：F x x y z F z y x x y F 1230d (d d d )(d d d )++++++=，

d ()d ()d z F F yF x F xF y

F F =-

+++++1232323

，

??z x F F yF F F =-+++12323， ??z y F xF F F =-++2323

． ***10. 求由方程z xyz a

a 3

3

30-=≠()所确定的隐函数z z x y =(,)在坐标原点处沿由向

量{}?

a =--12,所确定的方向的方向导数． 解：当x y ==00,时，z a 00=≠．

0,

0)

0,0(2)0.0()

0,0(2)0.0(=-=

=-=

xy

z xz y

z xy

z yz x

z ????，0=??∴

a

z

．

***11. 设)0(,1,02

2≠+=+=-y x xv yu yv xu 求

y

v y u x v x u ????????,,,． 解： ???????=??+??+=??-??+00x v x x u y v x

v y x u x u ???????+--=??++-=???2222y x yu xv x v y x yv xu x u

类似地 ???????=??+??+=??--??00y v x y u y u y v y v y u

x ????

??

?++-=??+--=???2222y x yv xu y

v y x xv yu y u

第 11 章 （之5）（总第63次）

教材内容：§11.5 多元函数微分法在几何上的应用

**1. 曲面x y z xyz x z 2

2

2

2426-+--+=在点)2,1,0(=A 处的切平面方程为 （ ） （A ）31223110()()x y z -+--+= （B ）3234x y z +-= （C ）

03

2

213=--+-+z y x （D ）x y z 31223=-=

-- 答：(A)．

**2.设函数F x y z (,,)可微，曲面F x y z (,,)=0过点)0,1,2(-=M ，且

F F F x y z (,,),(,,),(,,)210521022103-=-=--=-.过点M 作曲面的一个法向量，已

知与x 轴正向的夹角为钝角，则与z 轴正向的夹角γ=______ ． 答：π

3

．

***3. 设曲线x t y t z t =+=-=+213122

3

,,在t =-1对应点处的法平面为S ，则点

)1,4,2(-=P 到S 的距离d =______ ．

答：2．

**4. 求曲线ct z t b y t a x L ===,sin ,cos :在点)2,0,(0c a M π=处的切线和法平面方程． 解：

,0sin 00=-===t t t a dt dx

,cos 0

0b t b dt dy t t =-=== c

dt

dz

t ==0．

∴切线方程为：???

??-==?-=-=-c c z b

y a

x c c z b y a x ππ2200，

法平面方程为：0)2(=-+c z c by π．

***5. 求曲线6,

11:==++xyz zx yz xy L 在点)3,2,1(0=M 处的切线和法平面方程．

解：设 11),,(-++=zx yz xy z y x F ，6),,(-=xyz z y x G ，

)()()(),(),(2x y z z x yz z y xz xz yz z x z

y y x G F +-=+-+=++=

??，

)()()(),(),(2z y x y x xz z x xy xy zx x y z x z y G F -=+-+=++=??，

)()()()

,(),(2x z y z y xy y x zy zy

xy z y y x x z G F -=+-+=++=

??．

∴

8)

,()

,(,

1)

,(),(,

9)

,(),(0

=??-=??-=??M M M x z G F z y G F y x G F ，

∴切线方程为

9

3

8211--=

-=--z y x ， 法平面方程为 ()()()()()0948211=--+-+--z y x ，

即 01298=-+-z y x ．

***6. 求曲面4416222

x y z ++=在点1,22,1(-=P )处的法线在yOz 平面上投影方程．

解：曲面在点1,22,1(-=P ）处的法线方向向量

{}{}

2,2,248,24,8-=-=→

n ，

法线方程为：

x y z -=-=

+-12222

1

2．

法线在yOz 平面上投影方程为21

2

220-+=

-=z y x ．

***7.求曲线x t y t z t ===32

23,,上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面

x y z +-=21．

解：设所求的点对应于t t =0，则对应的切线方向向量为： {

}

3,4,302

0t t s =→

．

因为→s 垂直于平面法向量{

}1,2,1-=→n ，所以038302

0=-+=?→

→t t n s ， 解得：t 013

=和t 03=-．所求点为：127291,,?? ?

??和(,,)--27189．

**8．求曲面xy

z 6

=

上平行于平面.06236=+--z y x 的切平面方程． 解：

26

,6

xy

y z xy

x z -=??-=??， ∴由条件，得：??

?

??-=-==???

??

?????

-=--=-=-

3

21

213666

22z y x k k x y k y

x

∴切平面方程为：,0)3(2)2(3)1(6=+-+--z y x 即 018236=---z y x ．

***9.求函数2

2y x e

z +=在点),(000y x M =沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数．

解：等值线方程为x y x y 2

2

02

02

+=+, 在),(000y x M =处的法线斜率为 00x y k =

，即法线方向向量为 },1{0

0x y n =ρ

或},{00y x ，

方向余弦为：cos cos αβ=

+=

+x x y

y x y

00

20

200

20

2,

??z

n e x x x y e y y x y x y x y =??++??

+++020202022200020200020

2=?++20202

020

2

e x y x y ．

***10. 求函数z y x =

+sin 在??

? ??=1,2πP 点沿?a 方向的方向导数，其中?

a 为曲线

x t y t ==22sin ,cos π在t =

π

6

处的切向量（指向t 增大的方向）． 解：tan d d sin cos αππππ=

=-=-=

=y x

t t

t t 6

6

222，

1

sin 1

1

cos 2

2

+-=

+=

ππ

απα，，

2

21sin 210sin 2cos 1,21,21,21,2=

+=

=+=

??

? ????

? ????

? ????

? ??ππππ????x

y y

z x

y x x

z ，

，

所以 ??πππz a =?++?-+011122122()()1

222+-=ππ．

***11. 设f y z g z (,),()都是可微函数，求曲线x f y z y g z ==???

(,)

()在对应于z z =0点处的切线方

程和法平面方程．

解：z z =0对应点()f g z z g z z [(),],(),0000， 对应的切线方向向量：

{}

S f g z z g z f g z z g z y z ='+'[(),]()[(),],(),0000001．

切线方程：

x f g z z f g z z g z f g z z y g z g z z z y z -'+=-'=-[(),][(),]()[(),]()

()

0000000000，

法平面方程： {}

{}f g z z g z f g z z x f g z z y z [(),]()[(),][(),]0000000'+-

+'-+-=g z y g z z z ()[()]()0000．

****12. 在函数y

x u 1

1+=

的等值线中哪些曲线与椭圆16822=+y x 相切？

解：对等值线 y x u 1

10+= 两边微分得 022=--y

dy x dx ， 即 22x y dx dy -=， 同样对1682

2=+y x 两边微分，有

y

x dx dy 8-=， 令y x

x

y 822-=-，得 y x 2=，

代入1682

2=+y x ，得 3

2,3

4±

=±

=y x ，

∴ 4

3

3110±

=+=y x u ．

***13. 试证明曲面3

a xyz =上任一点处的切平面在三个坐标轴上截距之积为定值．

解：由3

a xyz =， 得 xy

a z 3

=，

∴在点),,(000z y x 处法向量为：??

?

???????-1,,020302

03x y a y x a

， ∴切平面为：

0)()(002

0300

2

03=-+-+

-z z y y y x a x x y x a ，

又 ∵3000a z y x =， ∴ 切平面方程化为：

13330

00=++z z

y y x x ， ∴ 截距之积为： 30002727a z y x =（定值）．

***14. 证明曲面0,=??

?

??----c z b y c z a x F 的所有切平面都通过一个定点，这里F u v (,)具有一阶连续偏导数．

解：曲面上点(,,)x y z 000处的切平面法向量：

[]F z c F z c z c x a F y b F =-----+-??????

10200201021

,,()()()

[]{}=

-----+-1

02

01020102()(),(),()()z c z c F z c F x a F y b F ．

切平面方程为： ()()()()z c F x x z c F y y 010020--+--

[]0)()()(02010=--+--z z F b y F a x ．

易知x a y b z c ===,,满足上述方程，即曲面的所有切平面都通过定点(,,)a b c ．

第 11 章 （之6）（总第64次）

教学内容：§11.6泰勒展开

1．填空：

*（1）设u xy y

x

=+，则??22u x =________ ．

答：

32x

y

． *（2）设u x xy =ln ，则???2u

x y

= _________．

答：

y

1． *（3）设u x y y x =+2

2

sin cos ，则???2u

x y

= _________ ．

答： x y y x sin 2cos 2-．

*（4）设u x y

xy

=+-arctan 1，则???2u x y =_______ ．

答：0 ．

**（5）设z e y e y x

x

=+-sin cos ，则????2222z x z

y

+= _________．

答：0．

**2．设z f x u =(,)具有连续的二阶偏导数，而u xy =，求??22z

x

．

解:z f yf x x u =+， z f yf y f xx xx xu uu =++22

．

**3．设z x xy =ln()，求???32z

x y

．

解一： z x y

y =

， z y

yx =

1

， z yx 20=．

解二： z xy x =+ln()1， z x

x 21

=， z yx 20=．

**4．设)2,2

1(),()(4

322xy z y x xf xy f y z 求+=． 解：)(3)()('43434324y x f y x y x f xy f y z x ++=，

,

4)("3)('124)('2)(")('43

3

4

3

4

3

4

3

3

3

3

3432423y

x y x f y x y x f y x x y y x f yx xy f y xy f y z xy ?++?+?+=

∴)2("24)2('12)2('4)2("32)2('32)2,2

1

(f f f f f z xy ++++= )2("56)2('48f f +=．

**5．函数y y x =()由方程x xy y 2

2

21+-=所确定，求2

2d d x

y

． 解：

x

y y

x y x y x x y -+=-+-=2222d d ，

2

22)

()

)(1())(1(d d x y y x y x y y x y -+-'--'+= 3

22)

()

2(2x y y xy x --+-=3)(2y x -=. ***6．求方程 z

y e

z x +=+ 所确定的函数),(y x z z =z=z(x,y)的所有的二阶偏导数.

解：x

z e x z z y ???=??+

+1， ∴ 11

-=??+z

y e x z ．

3

222

)1()1(--=-???

-=

??++++z y z

y z

y z y e e e x z

e x z

， 因为 )1(y z e y z z

y ??+=??+， ∴z

y z y z y e e e y z +++-+-=-=??1111． 则 3

222)

1()1()

1(

z y z y z y z y e e e y

z

e y z ++++-=-+??=??， 3

22)1()1()

1(

z y z y z y z y e e e y

z

e y

x z ++++--=

-+??-=???， 3

22)1()1(-=-??=???++++z y z y z y z

y e e e x z

e x y z ．

***7．对于由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x z =，试求 22x

z ??．

解：由公式

z

x F F x z

-=??两边对x 求偏导数，得

。

一般约定)()()(2)()()()()()(3

223

222

22

2zx xz z

xx

z zz x xz z x z

z

x xz xx z x zz zx z x z

z z

x

xz xx z x zz

zx x z zz zx x z xz

xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F x

z F F F F x z F F x z =--=

+--=-+--+=??+-??+-=??

***8．设xx tt u a u at x at x u 2),()(=-++=验证ψ?．

解：)(')('at x at x u x -++=ψ?,

2

2

2

)](')("[))((')("))((')(')

('')(''a at x at x a at x a at x u a at x a at x u at x at x u tt t xx -++=--+?+=--+?+=-++=ψ?ψ?ψ?ψ?

∴ xx tt u a u 2=．

第 11 章 （之7）（总第65次）

教学内容：§11.7.1 多元函数的极值

1．选择题： *(1) 设函数z x y =-

+122，则点(,)00是函数z 的 ( )

（A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点；

（C ）极小值点但非最小值点； （D ）极小值点且是最小值点．

答：(B)

**(2) 设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在点),(000y x P =处，有 f P f P f P f P f P f P x y xx yy xy yx (),(),()(),()()0000000002======，则( ) （A ）点P 0是函数z 的极大值点； （B ）点P 0是函数z 的极小值点； （C ）点P 0非函数z 的极值点； （D ）条件不够，无法判定．

答：(C)

**（3）“),(00y x f 同时是一元函数),(0y x f 与),(0y x f 的极大值”是“),(00y x f 是二元函数),(y x f 的极大值”的 （ ） （A ）充分条件，非必要条件； （B ）必要条件，非充分条件；

（C ）充分必要条件； （D ）既非必要条件，又非充分条件． 解：（B ）

**2. 设函数z z x y =(,)由方程

12

355242

2x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z 的驻点是 ________ ． 答：（115-，11

20

）

**3.求函数z x xy y x y =-++-+2324312

2

的极值．

答：由??

?=-+-==+-=03430

434y x z y x z y

x ，得驻点 )0,1(-．

74

33

4=--==

yy yx

xy xx

z z z z D 0>，

04)0,1(>=-xx z ．

所以函数在点)0,1(-处取极小值1)0,1(-=-z ．

***4. 求函数 2

222224),(y x xy y x xy y x f -+-= 的极值． 解：

222244xy y xy y x

f

-+-=??， y x xy x x y f 222424-+-=??，

2

2

224y y x

f

--=??， xy y x y x f

44442-+-=???， 22

224x x y f -=??．

令?????=-+-=-+-0

24240

22442

222y x xy x x xy y xy y ，解得驻点：()()()()()2,2,2,0,0,2,0,0,1,1---．

()02,042

0021,1>=>==

-A H ，∴()1,1-为极小值点，()11,1-=-f ．

类似可求其他各点处的H 值：

()()()

()

。

016,016,016,0162,22,00,20,0<-=<-=<-=<-=--H

H

H H ∴ ()()()()2,2,2,0,0,2,0,0-- 为鞍点．