高数A复习试题及答案

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高等数学A复习资料及参考解答

C. x 1是 f ( x)的可去间断点 D. x 2是 f ( x)的第一类间断点
4. 为使 f ( x)
1 cos x x2 , x 0
在 x 0 处连续， a =（ A ）
a,
x0
1
A.
2
B. 2
C. 1
1
5. 取 x 为积分变量，定积分
ydy =（ C ）
0
D. 0
4
x
A.
(1
) dx
B.
(1 x) y
1 ex
x
x
利用常数变易法求解，其对应的齐次方程为：
(1 x)
y
y0
x
其通解为： y c ex x
常数变易，令 y u( x) ex ，代入到原方程得： u (x) 1 x
两边积分得： u(x) x c
故原方程的通解为： y x c ex x
13.设函数 f ( x) 有连续的导数， f (0) 0 且 f (0) b ，
0
0
8
3
8
V4
1 ydy
(1 y) 2
1
3
13
6 ．设函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导。证明：在 ( a, b) 内至少存在一点
，使得
bf (b) af (a) [ f ( ) f ( )]( b a)
证明：构造辅助函数
dx 13． 3 2 x2 =
1
14． 2x 1dx = 2
1
2
arctan( x) c
6
3
13
2
三、计算题 :
1. 已知函数 f ( x) 2x3 6 x2 a 在闭区间 [ 2,2] 上的最大值为 3，求 f ( x) 在 [ 2,2] 上的最小值 . 解： f (x) 6x2 12x

大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

大学数学A （1）课后复习题第一章一、选择题1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（） A .2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B .0)(,1)(x x g x f ==C .1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f ==2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（）. A .)1ln()(2++=x x x f B .||)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1sin )1()(2--=x xx x f3.极限⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（） A ．0 B ．1 C ．21D ．∞ 4.极限xxx x sin lim+∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（）A ．0B ．1C ．2D ．∞5.当0→x 时，下列各项中与 23x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（）A ．)1(3-xe x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=xx f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要8.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤≤≤-=01,110,21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（）A ．在0=x ,1=x 处间断B ．在0=x ,1=x 处连续C ．在0=x 处间断，在1=x 处连续D ．在1=x 处间断，在0=x 处连续 9.极限xx x 10)1(lim -→-的值为.. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（）A ．1B ．e -C ．e1D ．e 二、填空题10.函数ln y x =的定义域为（用区间表示） . 11. 函数xxy -+=11的定义域为（用区间表示） . 12. 已知x xx f +=1)(，则=))((x f f . 13. 函数x x y 2353+-=的反函数为 .14. =→xx x 1sin lim 20 .15. 当________=α时，αx 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小.16. 设21)1(lim e kx xx =+→，则=k .17. 设1sin lim0-=→xkxx ，则=k .18. =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→11232lim x x x x .9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x xx x f 在点0=x 处连续，则=a . 三、解答与证明题20. 求下列数列极限（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n （2）)12(lim +-+∞→n n n n （3）⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n n n 22221lim （4）n n n nx 10...21lim +++∞→ 21. 求下列函数极限（1）15723lim 2323+++-∞→x x x x x （2）134lim 22++∞→x x x（3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x （4）11lim 31--→x x x （5）28lim 32--→x x x （6）)1311(lim 31x x x ---→ （7）)1(lim x x x -++∞→ （8）xx x x ln )1(lim1-→（9）xx x sin ln lim 0→ （10）x xx 3sin 2sin lim 0→（11）30sin tan lim xx x x -→ （12）x x x 10)51(lim -→ 22. 若432lim23=-+-→x ax x x ，求a 的值. 23. 若已知411lim21=-++→x b a x x ，求a,b 值. 24. 当 a 取何值时，函数)(x f 在 x =0 处连续：（1）⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=0),cos(0,11)(x x a x xx x f . 25. 证明（1）方程01423=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根.（2）方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、设函数)(x f 在点0x 可导，则=-+→hx f h x f h )()2(lim000( )．（A ） )(0x f '-； (B) )(0x f '； (C) )(20x f '； (D) )(20x f '-． 2、设函数)(x f 是可导函数，且13)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率是 ……………………………………………( )． (A) 3； (B) 1- ； (C) 13 ； (D) 3-．3、设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则)(a f '= ………( )． (A) )(a ϕ ； (B)0； (C)a ； (D))(a a ϕ．4、若0x 为函数)(x f 的极值点，则…………………………………………( )． (A)0)(0='x f ； (B)0)(0≠'x f ； (C)0)(0='x f 或不存在； (D))(0x f '不存在．5、设)0)(1ln(≠+=a ax y ，则y ''= ( )．(A)22)1(ax a +； (B)2)1(ax a +； (C)22)1(ax a +-； (D)2)1(ax a +-． 6、由方程5ln =-y xe y 确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy( )． (A)1-y y xe e ； (B)y y xe e -1； (C)yy e xe -1； (D)y y e xe 1-．7、)2sin sin (lim xx x x x +∞→＝ ……………………………………… ( )．(A)2； (B)1； (C)3； (D)极限不存在．8、设x x y =)0(>x 则='y ( )．(A)x x ； (B) x x x ln ； (C) 1-x x ； (D))1(ln +x x x ．9、曲线x y sin 1+=在点)1,0(处的切线方程是…………………………( )． (A)01=--y x (B)01=+-y x (C)01=++y x (D)01=-+y x 10．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是……………………( )(A) 2(),[0,3]f x x x =∈ (B) 21(),[1,1]f x x x=∈-(C) (),[1,1]f x x x =∈-(D) ()[0,3]f x x =∈ 二、填空题11、设x x y 2sin 2+=，则=dy ．12、已知x x y n ln )3(=-，(N n n ∈≥,3)，则)(n y ＝．13、已知过曲线24y x =-上点P 的切线平行于直线x y =，则切点P 的坐标为 . 14. 已知2)1(='f ，则=-+-→2)1()(lim31x x f x f x .15. 设x a y =(0>a 且1≠a ),则=)(n y .16. 曲线3)1(-=x y 的拐点是． 17.设函数)(x f 在0x 处可导，则xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000= ．18.设⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ，当a =_____时，)(x f 在x = 0处可导．19.若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，则a 的取值范围为．20. 设由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x (其中0>a )确定的函数为)(x y y =，则=dxdy. 三、解答与证明题21.设e x x e y +=，求y '． 22.求下列函数的二阶导数.(1) 设x e y x sin =，求y ''. (2) 设1arctan1xy x-=+，求y ''23. 求曲线21x y =在点（4，2）处的切线方程和法线方程． 24. 讨论下列函数在点0=x 处的连续性和可导性：（1） 0 0 )1ln()(⎩⎨⎧<≥+=x x x x x f ，（2） 0 tan 01sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x xx x f ． 25. 求由方程ln xy x y x e -=所确定的隐函数y 的导数dxdy． 26. 求极限：（1）]1)1ln(1[lim 0x x x -+→；（2）30sin tan lim xx x x -→；（3）)arctan 2(lim x x x -+∞→π；（4）x x x +→0lim ；（5）)1sin 1(lim 0x x x -→；（6）200sin lim xdt t xx ⎰→． 27. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求22dx yd ．28.求函数()(f x x =-. 29. 求函数32332y x x x =-++的凹凸区间、拐点． 30. 已知点)3,1(为曲线1423+++=bx ax x y 的拐点. (1) 求b a ,的值； (2)求函数1423+++=bx ax x y 的极值. 31. 设11xy x-=+，求()n y 32．设b a <<0，证明：a b ab ba a --<+ln ln 222. 33. 设0,()(0)0,x f x f ≥=连续，0'()x f x >当时,存在且'()f x 单调增加，证明：当0x >时函数()f x x 单调增加.34. 证明：当0>x 时，x x x x<+<+)1ln(1． 35. 证明:当0x >时,有1x x x e xe <-<成立.第三章一、选择题：1．下列凑微分正确的一个是（） A ．)2(sin cos x d xdx = ； B. )11(arctan 2xd xdx += C ．)1(ln x d xdx = D. )1(12x d dx x -=2．若⎰+=,)(c x dx x f 则⎰-dx x f )32(= （）A ．2-3x+c ； B. c x +-31； C. x+c ； D. c x +-2)32(213．在以下等式中，正确的一个是（） A ．⎰=')()(x f dx x f B. ⎰=')(])([x f dx x f C ．⎰=)(])([x f dx x f d D. ⎰='')(])([x f dx x f 4. 设x x f 3sin )(='，则⎰dx x f )(是（）A ．cos3x ； B. cos3x+c ； C.c x +-3cos 31； D.2193sin c x c x++- 5. 若,0(),0x x x f x e x ≥⎧=⎨<⎩，则21()d f x x -=⎰（）. A. 13e -- B. 13e -+ C. 3e - D. 3e + 6. 下列定积分是负数的是（）（A ）dx x ⎰20sin π(B)dx x ⎰20cos π(C)dx x ⎰ππ2sin (D)dx x ⎰ππ2cos7. 若4)12(1=+⎰dx x a，则a = ( )(A) 3 (B) 2 (C) 0 (D) 48.若⎰∞-=31dx e kx ，则k=( ) (A)31 (B)-31(C) 3 (D)-3 9.=+⎰)1(212x dt t t dx d （）（A ）x x+12(B) 212-+x x(C) 241x x + (D) 2512x x +10.若,21)(21)(0-=⎰x f dt t f x且1)0(=f ，则=)(x f （） (A)2x e (B)x e 21 (C)x e 2 (D)x e 221 二、填空题： 1．x d xdx 3(arcsin ________312=-）.2．⎰=+________________912dx x .3．若⎰+=,3cos )(c x dx x f 则f （x ）= .4. ⎰='____________________)()(22dx x f x xf . 5. F(x ) =dt t x ⎰+223,则=')1(F _________.6. 极限020cos d limxx t t x→⎰= ；7. 23423sin 1x e xdx x x -++⎰= 8．设()f x 连续，(0)1f =，则曲线0()d xy f x x =⎰在()0,0处的切线方程是；三、解答题：1、2x dx 2、⎰-+322x x dx3、⎰+dx x x214、422331.1x x dx x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭⎰ 5、cos 2.cos sin xdx x x -⎰6、dx x x ⎰-42 7、⎰-+211xdx8、⎰xdx x arctan 29、1x ⎰10、10d e ex xx-+⎰11、10x ⎰12、22()e d xx x x --+⎰；13．40d 1cos2xx xπ+⎰；14.41x ⎰；15.1d ln x x x+∞⎰16.2203sin d limx x t t x→⎰；17.求曲线xxe y e y -==,及直线1=x 所围成的平面图形的面积.18. 求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积19. 由曲线2y x =和2x y =所围成的图形绕y 轴旋转后所得旋转体体积. 20. 计算曲线)3(31x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧的弧长大学数学A （1）复习题参考答案第一章一、选择题1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、A8、C9、D二、填空题10、]3,0( 11、)1,1[- 12、x x21+ 13、)23(2353≠-+=x x x y 14、0 15、1 16、2 17、-1 18、e 19、0三、解答与证明题20（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n )1113121211(lim +-++-+-=∞→n n n 1)111(lim =+-=∞→n n . （2）2111211lim12lim )12(lim=+++=+++=+-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . （3）因为 1212222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ，而 11lim lim 2222=+=+∞→∞→n n n n n n n ，所以121lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n nn . （4）因为n nn n n nn n n nn 101010...101010...211010=+++<+++<=，110lim 10lim 1==∞→∞→nn nn ，故1010...21lim =+++∞→n n n n n .21（1）15723lim2323+++-∞→x x x x x 33115723lim x xx x x +++-=∞→53=.（2）331341lim 134lim 2222=++=++∞→∞→xx x x x x . （3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x 503020122332lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→x x x x 503020)02()03()02(++-=3023⎪⎭⎫⎝⎛=. （4）11lim31--→x x x 1)1)(1(lim333231-++-=→x x x x x 3)1(lim 3321=++=→x x x .（5）12)42(lim 28lim2232=++=--→→x x x x x x . （6）112lim 131lim )1311(lim 2132131-=+++-=--++=---→→→xx x x x x x x x x x . （7）)1(lim x x x -++∞→011lim=++=+∞→xx x .（8）11)1(lim ln )1(lim11=--=-→→x x x x x x x x .（9）0sin lim ln sin lnlim 00==→→xxx x x x . （10）x xx 3sin 2sin lim0→3232lim 32lim 00===→→x x x x . （11）30sin tan limx x x x -→30)cos 1(tan lim x x x x -⋅=→3202lim x x x x ⋅=→21=. （12）xx x 1)51(lim -→ xt 51-== tt t 511lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+511lim -∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t 5-=e .22 解由题意知 0)2(lim 23=+-→a x x x ，即06232=+⨯-a ，从而3-=a .23 解因1→x 时, 012→-x , 而函数极限存在, 则)1(0→→++x b a x即 0lim 1=++→b a x x从而01=++b a （1）故原式=)1)(1)(1(1lim 11lim121a a x x x x x a a x x x ++++--=-+-+→→ aa a x x x +=++++=→141)1)(1(1lim1即41141=+a（2）由（1）（2）解得1,0-==b a .24 解（1）因为 a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 0，1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，而 ,)0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 1=a .所以当且仅当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续．（2）因为 21111lim 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x xx x f x x x ， a x a x f x x cos )cos(lim )(lim 00=+=--→→，而 ,cos )0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 21cos =a ，即32ππ±=k a )(Z k ∈. 所以当且仅当32ππ±=k a )(Z k ∈时，函数)(x f 在0=x 处连续．25 证（1）令14)(23+-=x x x f ，则)(x f 在[0,1]上连续，且,02)1(,01)0(<-=>=f f由零点定理知，),1,0(∈∃ξ使,0)(=ξf 即01423=+-ξξ，所以方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个根.（2）设x e x f x3)(-=，则)(x f 在]1,0[上连续，且03)1(,01)0(<-=>=e f f ，故由零点定理知方程在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、C2、D3、A4、C5、C6、B7、A8、D9、B 10、D 二、填空题11、dx x x )2cos 2(2+ 12、21x -13、)415,21(- 14、1215、n x a a )(ln 16、(1,0) 17、)(20x f ' 18、1． 19、),31(+∞ 20、t tcos 1sin -.三、解答与证明题21、解：1-+='e x ex e y ．22、解：(1)(sin cos )xy e x x '=+，(sin cos )(cos sin )2cos x x x y e x x e x x e x ''=++-=．(2) 2111111x y x x x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()()2222(1)1(1)(1)(1)1x x x x x x -+--+=⋅+++- 22212(1)(1)x x --==++()1211y x -'⎡⎤''=-+⎢⎥⎣⎦()()22222121x x x x -=+⋅=+23、解：2121-='x y ，所以4121)4(421=='=-x x y ，所以切线方程为)4(412-=-x y ，法线方程为)4(42--=-x y ． 24、解：（1）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．10lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=++→→+x x x f x f f x x ，10)1ln(lim 0)0()(lim )0(00'=--+=--=+-→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处可导．（2）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．01sin lim 001sinlim 0)0()(lim )0(0200'==--=--=+++→→→+xx x x x x f x f f x x x ， 10tan lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=--→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处不可导．25、解：两边同时对x 求导得，11ln ()xy y x y e y xy x ''--=+，所以，1ln xyxy yye x y x xe--'=+． 26、解：（1）原式＝)1ln()1ln(limx x x x x ++-→＝20)1ln(lim xx x x +-→＝xx x 2111lim 0+-→＝)1(21lim 0x x +→＝21．（2）30sin tan lim x x x x -→=30)1cos 1(sin lim xx x x -→=x x x x x cos )cos 1(sin lim 30⋅-→121lim 320⋅⋅=→x x x x =21．（3）)arctan 2(lim x x x -+∞→πx x x 1)arctan 2(lim -=+∞→π22111limxx x -+-=+∞→11lim 22=+=+∞→x x x .（4）xx x +→0lim =xx xx x x eeln lim ln 00lim +→+=→，0ln lim 0=+→x x x ，所以原极限10=e ．（5）)1sin 1(lim 0x x x -→ x x x x x sin sin lim 0-=→20sin lim xx x x -=→x x x 2cos 1lim 0-=→2sin lim 0x x →=0=．（6）2sin lim x dt t x x ⎰→=x x x 2sin lim 0→=21．27、解：22111221dy dy t dt t dx t dx dt t -+===+, 22221()12241d dy d y t dt dx dx t dx t dt t +===+.28、解：函数定义域为),(+∞-∞.'()f x =，令'()0f x =，得驻点1=x ，1x =-为不可导点.由上表可以看出，函数在),1(),1,(+∞--∞上单调上升,函数在(1,1)-上单调下降；函数在1-=x 处取得极大值0)1(=-f ，在1=x 处取得极小值343)1(-=f ， 29、解：函数定义域为),(+∞-∞.2363y x x '=-+,666(1)y x x ''=-=-，令0y ''=,得x =1.当1x >时，0y ''>；当1x <时，0y ''<，所以函数的拐点为（1，3），在（-∞，1）上是凸的；在（1，+∞）上是凹的． 30、解：(1)b ax x y ++='232,a x y 26+=''.由条件，有⎩⎨⎧+=+++=ab a 2601413，解得9,3-=-=b a .(2)149323+--=x x x y ，函数定义域为),(+∞-∞.)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，)1(666)(-=-=''x x x f .令0)(='x f ，得稳定点 11-=x ，32=x . 又012)1(<-=-''f ，012)3(>=''f故149323+--=x x x y 在点1-=x 处取极大值，极大值为19)1(=-f ，在点3=x 处取极小值，极小值为13)3(-=f .31. 解：122111x y x x--+==-+++()2121(1)y x '=-+，()()()312121y x ''=--+ ()()()41212(3)1y x '''=---+…… ()n y()()1121!1nn n x +=-+32. 证明：令x x f ln )(=，则)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.所以由Lagrange 中值定理知，),(b a ∈∃ξ，使)()()(ξf ab a f b f '=--，即ξ1ln ln =--a b a b .又由),(b a ∈ξ，故22211ba ab +>>ξ.. 即222ln ln ba aa b a b +>--. 33. 证明：1）令()(0)f x F x x x=>()2'()()(2)'()xf x f x F x x-=2(0)0'()[()(0)]f xf x f x f x =-- 2'()'()(0)xf x xf x xξξ-<<微分中值定理 '()'()f x f xξ-=当0x >时，'()f x 单调增加 ∴'()'(),'()'()0f f x f x f ξξ<->即故有()'()0.(0,)f x F x x>+∞即在单调增加 34. 证明：令)1ln()(u u f +=，则)(u f 在],0[x 上满足Lagrange 中值定理条件，故),0(x ∈∃ξ，使)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即)0(11)01ln()1ln(-+=+-+x x ξ，即ξ+=+1)1ln(x x . 又由),0(x ∈ξ，故x xx x <+<+ξ11，即x x xx <+<+)1ln(1. 35. 证明：令()[],0,t f t e t x =∈,()t f t e =在[]0,x 应用拉格朗日中值定理 ()00,0x e e e x x ξ-=-<ξ<x e 是单调增函数，0x e e e ξ∴<<，故有1xxx e xe <-<,0x > 证毕第三章一、选择题1-5 DCBDA 6-10 CBCDC 二、填空题 1．3 2． 11arctan 33x C + 3. -3sin3x 4． 221()+C 4f x5． -2 6． -1 7． 0 8．y x =三、解答题1. 572222=557x dx x dx dx x x C --=-+⎰⎰2.2111=23(3)(1)41311ln ||43dx dx dx dx x x x x x x x Cx ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭-=++⎰⎰⎰⎰3. 22221(1)1=ln |1|+C 1212x d x dx x x x +=+++⎰⎰ 4. 42232233113arctan .11x x dx x dx x x C x x ⎛⎫++⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰5.22cos 2cos sin (cos sin )sin cos .cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x-==+=-+--⎰⎰⎰ 6.dx x x ⎰-42=c xx +--)2arccos 24(tan 227.⎰-+211xdx =cxx x +-+-211arcsin8.⎰xdx x arctan 2=c x x x x +++-)1ln(6161arctan 312239．令t x tan =，则1x ⎰=3344111cos d ln sin 21cos t t t t ππππ-=+⎰=10. 10d e e x x x -+⎰=112200e 1d de e 1e 1x x x x x =++⎰⎰1arctan(e )arctan e 4xπ==-11.10x ⎰=102⎰2121216π===⎰12. 22()e d xx x x --+⎰=22220002e d 2de 2e2e d xxx x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰262e =-13.40d 1cos2x x x π+⎰=442001d d tan 2cos 2x x x x x ππ=⎰⎰ 444000111ln 2tan tan d lncos 228284x x x x x πππππ=-=+=-⎰14. 41x⎰412ln x =⎰4112x x ⎤=-⎥⎦⎰124ln 2x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 14218ln 22d x x -=-⎰8ln24=-15. ee 11d d(ln )ln(ln )ln ln e x x x x xx +∞+∞+∞===+∞⎰⎰ 16. 22220322000sin d 2sin 22(2)8=333lim lim lim x x x x t t x x x x x →→→==⎰17.如图所示，解方程组xxy e y e -⎧=⎨=⎩，得交点(0,1)，所求面积为11100()d []2x x x x A e e x e e e e---=-=+=+-⎰18.解：∵1D ：⎩⎨⎧+<<<<)cos 2(200θπθa r∴12220141122[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a ππθθπθθθπ==+=+++=⎰19. 思路：该平面图形绕y 轴旋转而成体积V 可看作1D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤yx y 010绕y 轴旋转而成的体积1V ，减去2D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤2010y x y 绕y 轴旋转而成的立体体积2V 所得，见图解： πππ103)()(102221021=-=-=⎰⎰dy y dy y V V V20.解：12y '==， ∴3432322(21)214)1(113123313122-=+=+=-+='+=⎰⎰⎰x x dx x x dx x x dx y s ba。

高数A试题及答案[1]

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln lnx+2x-2x+22-x2．()002lim1cos tt xx e e dtx-→+-=-⎰（）A ．0B ．1C ．-1D ．∞3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导 5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________.7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞=9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________. 12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6aa π==⎰则___________. 14.设2cos xz y=则dz= _______.15.设{}2(,)01,01y DD x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.a ⎰20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。

高等数学A(二)(答案及得分详解)

高等数学A （二）带答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B A A D B C C BA 得分1、设三个向量,,a b c 满足关系式0a b c ++= ，则a b ⨯= （）。

(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯2、函数()22,y x y x f +=在点)2,1(处沿向量→l =（）的方向导数最大。

(A) )2,1( (B) )4,2( (C) )4,4( (D) )2,2(3、函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数都存在且连续是()y x f ,在该点处可微的（）条件。

(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要4、空间曲线3,1,1t z tt y t t x =+=+=在对应于1=t 的点处的切线方程是（）。

(A) 12142121-=--=-z y x (B) 121411-=--=z y x (C) 02184=-+-z y x (D) 0284=++-z y x 5、取}01),({22>≤+=x y x y x D ，，则下面二重积分中其值为0的是（）。

(A) ()σd y x D ⎰⎰+22 (B) ()σd xy x D⎰⎰+23(C) ()σd y x D ⎰⎰+33 (D) σd y x D ⎰⎰sin cos6、()=+⎰ds y x L22（），其中L 为圆周222=+y x 。

(A) π2- (B) π24 (C) 238π (D) 17、设曲面∑为上半球面2222x y z R ++=0)z ≥（，曲面1∑是曲面∑第一卦限的部分，则下面等式成立的是（）。

(A) 14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(B)14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C) 14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(D) 14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 8、下列级数中，绝对收敛的是（）。

上海交通大学第一学期高数a类期末考试题及答案解析

上海交通大学第一学期高数a类期末考试题及答案解析一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知 x=0 是 f\left( x \right) =\frac{x+b\ln\left( 1+x \right)}{ax-\sin x} 的可去间断点，则 a,b 的取值范围是（）解：2. 下列反常积分中，收敛的是（）解：3. 设函数 f(x) 在区间 [-a,a] 上二阶可导，且 f\left( x \right) >0,f'\left( x \right) >0,f''\left( x \right) <0 ，下列函数中，在区间 [-a,a] 上恒正、单调递减且为下凸函数的是（）解：4. 积分 \int_0^{\pi}{|\sin \left( 4x+1 \right)|\mathrm{d}x}= （）解：5. 设函数 f(x) 在 R 上连续， g\left( x \right)=\int_0^{x^2}{\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t} .对于两个命题：①若 f(x) 为偶函数，则 F\left( x \right)=\int_0^x{f\left( t \right) g\left( t \right)\mathrm{d}t} 为奇函数；②若 f(x) 为单调递增函数，则 G\left( x \right)=\int_0^x{\left( f\left( x \right) -f\left( t \right) \right) g\left( t \right) \mathrm{d}t} 存在极小值.下列选项正确的是（）解：二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设 f\left( x \right) =x\mathrm{e}^x, 则曲线 y=f(x) 的拐点是_____________.解：7. 直线 L_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{-4}=\frac{z+3}{1} 和 L_2:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{-1} 的夹角为_____________.解：8. 设函数 f\left( x \right) =\mathrm{arctan} x ，常数a>0 ，若 f\left( a \right) -f\left( 0 \right)=f'\left( \xi \right) a\,\,, 则 \underset{a\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\xi ^2}{a^2}= _____________.解：9. 极坐标曲线 r=2cos3\theta 上对应于\theta=\frac{5}{6}\pi 的点处的切线方程为_____________.解：10. 一阶常微分方程 y'\left( x \right) =\frac{y}{x+y^2} 的通解为_____________.解：视为关于 x 的一阶线性微分方程，然后利用公式直接求解即可：\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{x}{y}+y\Rightarr ow x=y^2+Cy三、（本大题共8分）11. 设 y=y(x) 是由方程 y^3-2x\int_0^y{\sin^2t\mathrm{d}t=x+\pi ^3} 所确定的可导函数，求\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mid_{x=0}^{} .解：。

高数A2复习试题及答案

高数A2复习试题及答案一、单项选择题1．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则xb x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→= 。

A 、 0； B 、),2(b a f x ； C 、),(b a f x ； D 、),(2b a f x 。

2．设曲面),(y x f z =与平面0y y =的交线在点)),(,,(000y x f y x o 处的切线与x 轴正向所成的角为6π，则。

A 、236cos ),(00==πy x f x ； B 、21)62cos(),(00=-=ππy x f y ； C 、336),(00==πtg y x f x ； D 、3)62(),(00=-=ππtg y x f y 。

3．0lim =∞→n n u是级数∑∞=0n n u 发散的。

A 、必要条件； B 、充分条件； C 、充要条件； D 、既非充分又非必要。

4．在区域D ：220x R y -≤≤上的σd xy D⎰⎰2值为。

A 、2R π；B 、24R π；C 、332R π； D 、0。

5．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解。

A 、x y 2=；B 、2x y =；C 、x y 2-=；D 、2x y -=。

二、是非判断题（15分） 1．⎰+-L y x ydx xdy 22=0，其中L 为圆周122=+y x 按逆时针转一周（） 2．如果x ∂∂ϕ，y∂∂ϕ均存在，则),(y x ϕϕ=沿任何方向的方向导数均存在（） 3．以),(y x f 为面密度的平面薄片D 的质量可表为σd y x f D ⎰⎰),(。

（） 4．)(x f 在],0(π上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且],0[π上收敛于)(x f 。

（）1．微分方程的通解包含了所有的解。

（）三、计算题（16分）1．设),(22xye y xf -=μ，其中f 具有一阶连续偏导数，求x ∂∂μ，y x ∂∂∂μ2。

高数试题A卷试题及答案

４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）
内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）
① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数
ｄｐ
② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ ───
ｄｙ
ｄｐ
③ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───
３．下列说法正确的是（）
①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导
②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续
③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在
④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导
_______
R √R2－ｘ2
８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋Ｙ2 ）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为
____________。
0 0
n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，
１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１
高数试题 A卷
一、填空题（每小题１分，共１０分）
________ １
１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域为
_________
３
ｘｙ
１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ ───── ＝（）
x→0 ｘ2＋ｙ2

高数A1考试复习题

一、选择题：（每题2分，共24分）1．以下说法不正确的是（ C ）A ．两个奇函数之和为奇函数B ．两个奇函数之积为偶函数C ．奇函数与偶函数之积为偶函数D ．两个偶函数之和为偶函数 2．若极限A )(lim 0=→x f x 存在，下列说法正确的是（ D ）A ．左极限)(lim 0x f x -→不存在 B ．右极限)(lim 0x f x +→不存在C ．左极限)(lim 0x f x -→和右极限)(lim 0x f x +→存在，但不相等D. A )(lim )(lim )(lim 0===→→→-+x f x f x f x x x 3． n m nxmxx ,(sin sin lim0→为正整数）等于（A ）A ．n m B ．mnC ．n m n m --)1(D ．m n m n --)1(4．已知1tan lim230=+→xx bax x ，则（ B ） A ．0,2==b a B ．0,1==b a C ．0,6==b a D ．1,1==b a 5．极限xx xx x cos cos lim+-∞→( A )A ．等于1B ．等于0C ．为无穷大D ．不存在6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=01001sin )(x e x x x x f x 则=→)(lim 0x f x ( D )A ．1B ．0C ．1-D ．不存在7．当∞→x 时,函数x x)11(+的极限是( A )A ．eB ．e -C ．1D ．1-8．已知a xax x x 则,516lim21=-++→的值是( B ) A ．7 B ．7- C ． 2 D ．39．设分段函数⎩⎨⎧<+≥+=011)(2x x x x x f ,则)(x f 在0=x 点( C ) A ．不连续 B ．连续且可导 C ．不可导 D ．极限不存在10．函数2x y e x z y-+=的间断点是( D )A ．)1,1(),1,1(),0,1(--B ．是曲线y e y -=上的任意点C ．)1,1(),1,1(),0,0(-D ．曲线2x y =上的任意点 11．设2)1(42-+=xx y ,则曲线( C ) A ．只有水平渐近线2-=y B ．只有垂直渐近线0=x C ．既有水平渐近线2-=y ,又有垂直渐近线0=x D ．无水平,垂直渐近线 12．当0→x 时,将下列函数与x 进行比较,与x 是等价无穷小的为( D ) A ．x 3tan B ．112-+x C ．x x cot csc - D ．xx x 1sin 2+ 13．若e cos x y x =，则'(0)y =( B )A ．0B ．1C ．1-D ．2 14．设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则)0('f 等于（B ） A ．0 B ．6- C ．1 D ．3 15．若==',y x y x 则( D )A ．1-⋅x x xB ．x x x lnC ．不可导D ．)ln 1(x x x + 16．处的导数是在点22)(=-=x x x f ( D )A ．1B ．0C ．1-D ．不存在 17．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,且,0)()(<b f a f 则 ( C ) A ．)(x f 在),(b a 内必有最大值或最小值 B ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(,=ξξf 使 C ．)(x f 在),(b a 内至少存在一个0)(,=ξξf 使 D ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(',=ξξf 使 18．数()e x f x x =-的单调区间是( C ) ．A ．在),(+∞-∞上单增B ．在),(+∞-∞上单减C ．在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减D ．在(,0)-∞上单减，在(0,)+∞上单增19. 数3422)(x x x f -=的极值为（A ）． A ．有极小值为(3)f B ．有极小值为(0)f C ．有极大值为(1)f D ．有极大值为(1)f -20．线)0,1()1(2在-=x y 点处的切线方程是( D )A ．1+-=x yB ．1--=x yC ．1+=x yD ．1-=x y 21．曲线)(x f y =在点x 处的切线斜率为,21)('x x f -=且过点(1,1),则该曲线的方程是( A )A ．12++-=x x yB ．12-+-=x x yC ．12++=x x yD ．12-+=x x y22．若函数)(x f 在0=x 处的导数,0)0('=f 则0=x 称为)(x f 的( D ) A ．极大值点 B ．极小值点 C ．极值点 D ．驻点 23．曲线)1ln()(2+=x x f 的拐点是( B )A ．)1ln ,1(与)1ln ,1(-B ．)2ln ,1(与)2ln ,1(-C ．)1,2(ln 与)1,2(ln -D ．)2ln ,1(-与)2ln ,1(-- 24．下列结论正确的有( C )A ．0x 是)(x f 的驻点,则一定是)(x f 的极值点B ．0x 是)(x f 的极值点,则一定是)(x f 的驻点C ．)(x f 在0x 处可导,则一定在0x 处连续D ．)(x f 在0x 处连续,则一定在0x 处可导 25．由方程y x e xy +=确定的隐函数)(x y y ==dxdy( B ) A ．)1()1(x y y x -- B ．)1()1(y x x y -- C ．)1()1(-+y x x y D ．)1()1(-+x y y x26．=+=x y y xe y ',1则( A )A ．y y xe e -1B ．1-y y xe eC ．yyxee -+11 D ．y e x )1(+ 27．设,2sin x e y =则=dy （ B ） A ．x d e x 2sin B ．x d e x 2sin sin 2C ．xxd e x sin 2sin 2sin D ．x d e x sin 2sin28．若函数)(x f y =有dy x x x x f 处的微分该函数在时则当00,0,21)('=→∆=是( B )A ．与x ∆等价的无穷小量B ．与x ∆同阶的无穷小量C ．比x ∆低阶的无穷小量D ．比x ∆高阶的无穷小量 29．给微分式21xxdx -,下面凑微分正确的是( C )A ．221)1(x x d ---B ．221)1(xx d -- C ．2212)1(xx d ---D ．2212)1(xx d --30．下面等式正确的有( A )A ．)(sin sin x x x x e d e dx e e =B ．)(1x d dx x=-C ．)(222x d e dx xe x x -=-- D ．)(cos sin cos cos x d e xdx e x x = 31．设)(sin x f y =,则=dy ( C )A ．dx x f )(sin 'B ．x x f cos )(sin 'C ．xdx x f cos )(sin 'D ．xdx x f cos )(sin '- 32．可导函数)(F x 为连续函数)(x f 的原函数，则( B )A ．0)('=x fB ．)()(F'x f x =C ．0)(F'=xD ．0)(=x f 33．若函数)(F x 和函数)(x Φ都是函数)(x f 在区间I 上的原函数，则有(D ) A ．I x x x ∈∀=Φ),(F )(' B ．I x x x ∈∀Φ=),()(FC ．I x x x ∈∀Φ=),()(F'D ．I x C x x ∈∀=Φ-,)()(F34．有理函数不定积分2d 1x x x⎰+等于（C ）． A ．2ln 12x x x C ++++ B ．2ln 12x x x C --++C ．2ln 12x x x C -+++D ．2ln 122x xx C -+++35．不定积分22d 1x x-⎰-等于（B ）．A ．2arcsin x C +B ．2arccos xC + C ．2arctan x C +D ．2cot arc x C +36．不定积分2e e (1)d xxx x-⎰-等于（ C ）．A ．1e x C x -++ B ．1e x C x -+ C ．1e x C x ++ D ．1e x C x--+37．函数x e x f 2)(=的原函数是( A )A ．4212+x eB ．x e 22C ．3312+x eD ．x e 23138．⎰xdx 2sin 等于( B )A ．c x +2sin 21 B ．c x +2sin C ．c x +-2cos2 D ．c x +2cos 2139．若⎰⎰-=xdx x x dx x xf sin sin )(,则)(x f 等于（C ） A ．x sin B ．x x sin C ．x cos D ．xxcos 40．设 x e -是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )('（ B ）A ．c x e x +--)1(B ．c x e x ++--)1(C ．c x e x +--)1(D ． c x e x ++-)1( 41．设,)(x e x f -= 则⎰=dx x x f )(ln ' ( B ) A ．c x+-1B ．c x +1C ．c x +-lnD ．c x +ln42．设)(x f 是可导函数，则()')(⎰dx x f 为（A ）A ．)(x fB ．c x f +)(C ．)('x fD ．c x f +)(' 43．以下各题计算结果正确的是( C ) A ．⎰=+x x dx arctan 12 B ．c xdx x +=⎰21C ．⎰+-=c x xdx cos sinD ．⎰+=c x xdx 2sec tan 44．在积分曲线族⎰dx x x 中,过点(0,1)的积分曲线方程为( B )A ．12+xB ．1)(525+xC ．x 2D ．1)(255+x45．⎰dx x31=( B ) A ．c x +--43 B ．c x +-221 C ． c x +-221 D ．c x +-221 46．设)(x f 有原函数x x ln ,则⎰dx x xf )(=( B )A ．c x x ++)ln 4121(2B ．c x x ++)ln 2141(2 C ．c x x +-)ln 2141(2 D ．c x x +-)ln 4121(247．⎰=xdx x cos sin ( A )A ．c x +-2cos 41B ．c x +2cos 41C ．c x +-2sin 21D ．c x +2cos 2148．积分=+⎰dx x ]'11[2( B ) A ．211x+ B ．c x ++211 C ．x tan arg D ．c x +arctan 49．下列等式计算正确的是( A )A ．⎰+-=c x xdx cos sinB ．c x dx x +=---⎰43)4(C ．c x dx x +=⎰32D ．c dx x x +=⎰22二、填空题(每小题2分，共20分)。

高数A(一)第一章习题答案

《高等数学教程》第一章习题答案习题1-1 (A)1.(1)),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞ (2)]1,0()0,1[⋃-(3)),1()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ (4)πk x ≠且),2,1,0(2±±=+≠k k x ππ (5)),2,1,0()352,32( ±±=++k k k ππππ(6)]3,1[- 2.202)(6,916,6h x +++ 3.0,22,22,21 5.(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数(6)当)(x f 为奇函数或偶函数时，该函数为偶函数；当)(x f 为非奇非偶函数时，该函数为非奇非偶函数. (7)偶函数 (8)奇函数6.(1)是周期函数，π2=T (2)是周期函数，4=T (3)是周期函数，4=T (4)不是周期函数7.(1)a cx b dx y -+-=(2)2arcsin 31xy = (3)21-=-x e y (4)xxy -=1log 2(5)2xx e e y --=8.(1)2,x a u u y -== (2)2,x u e y u == (3)cos ,lg ==u u y (4)x v tgv u u y 6,,2=== (5)21,,cos ,xw e v v u arctgu y w -==== (6)22,ln ,ln ,x w w v v u u y ====9.(1)]1,1[- (2) zk k k ∈+])12(,2[ππ (3)]1,[a a --(4)若210≤<a ,则]1,[a a D -=；若21>a ，则=D Ф. 10.4)]([x x =ϕϕ，xx 22)]([=ψψ，x x 22)]([=ψϕ，22)]([x x =ϕψ. 11.1,4-==b a12.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([x x x x g f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=-1,1,11,)]([1x e x x e x f g13.)20(,])2([22r h h r h V <<-=π14.πααπααππ20,4)2(242223<<--=r V 15.),2(,])[(32232+∞--=r r r h h r V π16.(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<⋅--≤≤=1600,751600100,01.0)100(901000,90x x x x p(2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600,151600100,01.0311000,30)60(2x x x x x x x x p p(3)21000=p (元)习题1-1 (B)1.)(x f 为偶函数.2.41)1(,2)(222-+=--=xx xx f x x f 3.⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x g f ，⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x f g4.22123x x ++ 8.⎩⎨⎧-≤-<<--=-1,101,1)(x x e x f x9.]0,(,)1ln()(-∞-=x x g10.奇函数，偶函数，偶函数，偶函数. 12.1)2005(=f习题1-2 (A)1.(1)121+n ,0 (2)11)1(1+-+n n ,0 (3)2+n n,1 (4)1)1()1(+-⋅+n n ,没有极限(5)222)1(1)1(2)1(1+++++++n n n n ,21 (6)2)2)(1()1(++-n n ,没有极限.2.(1)17; (2)24; (3)]3[ε3.0,]1[ε习题1-3 (A)3.0002.0=δ4.397≥Z6.1)(lim )(lim 00==+-→→x f x f x x ,1)(lim 0=→x f x 1)(lim 0-=-→x x ϕ,1)(lim 0=+→x x ϕ,)(lim 0x x ϕ→不存在.习题1-4 (A)3.(1)0; (2)0; (3)04.0lim 1=-→y x ; ∞=→y x 1lim 习题1-4 (B)3.x x y cos =在),(+∞-∞上无界，但当+∞→x 时，此函数不是无穷大. 5.当1,0==b a 时，)(x f 是无穷小量；当b a ,0≠为任意实数时，)(x f 是无穷大量.习题1-5 (A)1.(1)0; (2)1; (3)1; (4)103; (5)231aa -; (6)23x ; (7)34; (8)1-. 2.(1)43-; (2)0; (3)∞; (4)41-;(5)503020532⋅; (6) 41-.3.(1)⎪⎩⎪⎨⎧>-=<<1,11,010,1a a a ; (2)3; (3)34; (4)21-4.(1)10; (2)2)(m n mn -; (3)n m; (4)0; (5)0; (6)21; (7)43; (8)21.习题1-5 (B)1.(1)2; (2)21-; (3)561-; (4)2)13(2-a (5)23; (6)⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>2,2,12,0k k k ; (7)2; (8)0 .2.1,1-==βα3.9=a4.1,1-==b a5.不一定.习题1-6 (A)1.(1)2; (2)3; (3)21; (4)-1; (5)a cos ； (6)2π; (7)1; (8)2; (9)1; (10)x . 2.(1)1-e ; (2)2e ; (3)2-e ; (4)2-e ; (5)1-e ; (6)2e .习题1-6 (B)1.(1)21; (2)π2; (3)1; (4)0;(5)0; (6)1; (7)0; (8)1-e . 2.(4)3; (5)251+. 习题1-7 (A)1. 当0→x 时，34x x -比32x x +为高阶无穷小.2. (1)同阶，但不是等价； (2)同阶，且为等价.3.21=α 4.m =α6.(1)23; (2)⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<nm n m nm ,,1,0; (3)21;(4)21; (5)b a ; (6)41.习题1-7 (B)1.(1)32; (2)2e ; (3)21; (4)0; (5)1; (6)41-; (7)∞; (8)1. 5.x x x x p 32)(23++=. 6.a A ln .习题1-8 (A)1.1=a2.)(x f 在0=x 处连续3.(1)1=x 为可去间断点，补充2)1(-=f2=x 为第二类间断点(2)0=x 和2ππ+=k x 为可去间断点，补充0)2(,1)0(=+=ππk f f ；)0(≠=k k x π为第二类间断点.(3)1=x 为第一类间断点 (4)0=x 为第二类间断点.4.(1)1=x 为可去间断点，补充32)1(=f ;(2)0=x 为可去间断点，补充21)0(=f ；(3)1=x 为可去间断点，补充2)1(π-=f ；0=x 为第二类间断点；(4)2=x 为可去间断点，补充41)2(=f ；0=x 为第一类间断点；2-=x 为第二类间断点. (5)0=x 为第一类间断点； (6)a x =为第一类间断点; (7)1=x 为第一类间断点; (8)1-=x 为第二类间断点.习题1-8 (B)1. 1±=x 为第一类间断点.2. 1,0==b a3. 25=a 4. ),2,1,0(22 ±±=-=n n a ππ5. 0,=-=b a π6. (1)当1,0≠=b a 时，有无穷间断点0=x ； (2)当e b a =≠,1时，有无穷间断点1=x .习题1-9 (A)1.连续区间为：),2(),2,3(),3,(+∞---∞21)(l i m 0=→x f x ，58)(lim 3-=-→x f x ，∞=→)(lim 2x f x .2.连续区间为：),0(),0,(+∞-∞.3. (1) -1; (2) 1; (3) h ; (4) -1; (5) 22-; (6) -2; (7) 1; (8) 1; (9) ab ; (10) 5e ; (11) -1; (12) 2. 4. 1=a 5. 1=a习题1-9 (B)1. (1)0=x 为第一类间断点； (2)1-=x 为第一类间断点； (3)0=x 为第一类间断点; (4)1±=x 为第一类间断点; (5)无间断点.2. 1,0==b a3. (1)1-e ; (2)21-e ; (3)a e cot ; (4)0;(5)0; (6)-2; (7)21; (8)82π.4.21总复习题一一. 1. D 2. D 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 8. C 9. D 10. D二.1. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=-0,0,)(22x x x x x x f2. ]2,2[,)1arcsin(2--x3. －14. 必要，充分5. 必要，充分6. 充分必要7.21 8. b a = 9.56 10. 第二类，第一类三. 1. 11)(-+=x x x ϕ 2. 20051,20052004=-=βα 3. 1lim =∞→n n x 4. 4 5. 4e 6. －50 7.a ln 218. 当0≤α时，)(x f 在0=x 处不连续；当1,0-=>βα时，)(x f 在0=x 处不连续；当1,0-≠>βα时，)(x f 在0=x 处不连续. 9. 82-部分习题选解习题1-2 (B)1. 根据数列极限的定义证明：(1))0(1lim 时>=∞→a a nn证明：(ⅰ) 0>∀ε当1>a 时，令)0(1>+=n n n h h a n nn n n n n nh h h n n nh h a >++-++=+=∴ 22)1(1)1( εεan na h n ><<<∴0∴取1][+=εaN ，当N n >时，有ε<<=-nah a n n 1，即1lim =∞→n n a(ⅱ)当1=a 时，显然成立. (ⅲ)当10<<a 时，令11>=ab ∴11lim lim ==∞→∞→nn nn ab∴1lim =∞→nn a 综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，∴当0>a 时，有1lim =∞→nn a . 习题1-6 (B)3.设0,00>y x ，n n n y x x =+1，21nn n y x y +=+. 证明：n n n n y x ∞→∞→=lim lim 证明：2nn n n y x y x +≤),2,1,0(011 =≤≤∴++n y x n nnnn n n n nn n n n n y y y y x y x x x y x x =+≤+==≥=∴++2211),2,1,0( =n 由此可知数列}{n x 单调增加，数列}{n y 单调减少，又011110y y y y x x x x n n n n ≤≤≤≤≤≤≤≤≤++ ∴}{n x 与}{n y 都是有界的.由“单调有界数列必有极限”准则， ∴}{n x ，}{n y 都收敛.设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim由21n n n y x y +=+，2lim lim n n n n n y x y +=∴∞→∞→ b a b a b =⇒+=∴2即n n n n y x ∞→∞→=lim lim . 习题1-10 (B)3.设函数)(x f 在]1,0[上非负连续，且0)1()0(==f f ，试证：对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=. 证明：令)1,0(,)()()(∈∀+-=l l x f x f x F )(x f 在]1,0[上连续，)(l x f +在]1,[l l --上连续， )(x F ∴在]1,0[l -上连续.又 0)1()1()1()1(0)()()0()0(≥-=--=-≤-=-=l f f l f l F l f l f f F )0)((≥x f 0)1()0(≤-⋅∴l F F(ⅰ)若0)0(=F ，取00=x ，即)()0(l f f = (ⅱ)若0)1(=-l F ，取l x -=10，即)1()1(f l f =- (ⅲ))01(,0)0(≠-≠l F F 0)1()0(<-⋅∴l F F 由零点存在定理，必存在一点]1,0[0l x -∈，使0)(0=x F ，即)()(00l x f x f +=.综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=.总复习题一三.11.设)(x f 在],[b a 上连续，且)(x f 在],[b a 上无零点. 证明)(x f 在],[b a 上不变号.证明：(反证法)假设)(x f 在],[b a 变号，即],[,21b a x x ∈∃，使0)(,0)(21<>x f x f 即0)()(21<⋅x f x f )(x f 在],[b a 上连续，∴)(x f 在],[21x x 上连续. 由零点存在定理知，),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ，使0)(=ξf 即ξ是)(x f 在],[b a 上的一个零点. 这与)(x f 在],[b a 上无零点矛盾， )(x f ∴在],[b a 上不变号.。

南林高数a2期末试题及答案

南林高数a2期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 + 3x + 2，则f'(x)等于（）。

A. 2x + 3B. 2x + 6C. x^2 + 3D. x^2 + 3x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为（）。

A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 设函数f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则f(g(x))等于（）。

A. e^(ln(x))B. ln(e^x)C. xD. e^x * ln(x)答案：A4. 曲线y = x^3 - 3x + 2在点(1, 0)处的切线斜率为（）。

A. 0B. 3C. -2D. 1答案：B5. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a3的值。

A. 5B. 9C. 17D. 33答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，则f'(x) = ________。

答案：3x^2 - 12x + 117. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x) = ________。

答案：cos(x) - sin(x)8. 若数列{an}是等比数列，且a1 = 2，q = 3，则a5 = ________。

答案：4869. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。

答案：1/x10. 曲线y = x^2 + 4x + 4在x = 2处的切线方程为y = ________。

答案：8x三、解答题（每题10分，共60分）11. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的极值点。

答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，令f'(x) = 0，解得x =1/3 或 x = 2。

检查二阶导数f''(x) = 6x - 6，当x = 1/3时，f''(x) < 0，此时为极大值点；当x = 2时，f''(x) > 0，此时为极小值点。

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高数A2复习试题及答案
一、单项选择题
1．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则x
b x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→= 。

A 、 0； B 、),2(b a f x ； C 、),(b a f x ； D 、),(2b a f x 。

2．设曲面),(y x f z =与平面0y y =的交线在点)),(,,(000y x f y x o 处的切线与x 轴正向所成的角为
6π，则。

A 、236cos
),(00==πy x f x ； B 、21)62cos(),(00=-=ππy x f y ； C 、336),(00==πtg y x f x ； D 、3)6
2(),(00=-=ππtg y x f y 。

3．0lim =∞→n n u 是级数∑∞=0
n n u 发散的。

A 、必要条件；
B 、充分条件；
C 、充要条件；
D 、既非充分又非必要。

4．在区域D ：220x R y -≤≤上的σd xy D
⎰⎰2值为。

A 、2R π；
B 、24R π；
C 、332R π；
D 、0。

5．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解。

A 、x y 2=；
B 、2x y =；
C 、x y 2-=；
D 、2x y -=。

二、是非判断题（15分）
1．⎰+-L
y x ydx xdy 22=0，其中L 为圆周122=+y x 按逆时针转一周（） 2．如果x
∂∂ϕ，y ∂∂ϕ均存在，则),(y x ϕϕ=沿任何方向的方向导数均存在（）
3．以),(y x f 为面密度的平面薄片D 的质量可表为σd y x f D
⎰⎰),(。

（）
4．)(x f 在],0(π上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且],0[π上收敛于)(x f 。

（）
1．微分方程的通解包含了所有的解。

（）
三、计算题（16分）
1．设),(22xy
e y x
f -=μ，其中f 具有一阶连续偏导数，求x ∂∂μ，y x ∂∂∂μ2。

2．已知1=++xy zx yz ，确定的),(y x z z =，求dz 。

四、（10分）求⎰⎰⎰Ω
+dxdydz y x )(22的值，其中Ω为曲面z y x 222=+和平面2
=z 所围成的区域。

五、（12分）验证：22y
x ydx xdy +-在右半平面)0(>x 内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。

六、（10分）求dxdy z dydz x 22+⎰⎰∑
，其中∑为22y x z +=和1=z 所围立体边界
的外侧。

七、（12分）求微分方程⎪⎩
⎪⎨⎧='==++''1)(1)(02sin ππy y x y y 的特解。

八、（10分）求∑∞
=+01n n
n x 的和函数。

参考答案
一、单项选择题（15分，每题3分）
1、 D ；
2、C ；
3、A ；
4、D ；
5、B 。

二、是非判断题（15分，每题3分）
1、×；
2、×； 3∨、； 4、∨； 5、×。

三、计算题（16分）
1．xy ye f x f x
u 212'+⋅'=∂∂……4分 xy xy xy xy xy xye f e f xe f y f ye xe f y f x y
x u 22222112112])2([])2([2'+'+''+-''+⋅''+-''=∂∂∂ 2222221212211
222f xye f e f xye f e y f e x f xy xy xy xy xy xy '+'+''+''-''+''-=……10分 2．1-++=xy zx yz F ……1分
⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=x
y F x z F y z F z y x ……3分
x
y y z F F x z z x ++-=-=∂∂∴ x
y x z F F y z z y ++-=-=∂∂∴……5分 ])()[(1dy z x dz z y y
x dz ++++-=∴……6分四、(10分)dz d d dxdydz y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+Ω202
2
320222)(ρπρρθ……6分
3
16π=……10分五、（12分）22y x y P +-= 22y x x +=θ =+-=∂∂2
222
2)(y x x y y P x ∂∂θ……4分在右半平面内恒成立，因此在右半平面内2
2y x ydx xdy +-是某个函数的全微分……6分
⎰+-=),()0,1(22),(y x y
x ydx xdy y x u ……8分
x y arctg y x y arctg y
x xdy y
==+=⎰0022……12分六、（10分）dxdy z dydz x 22+⎰⎰∑dxdydz z x )22(⎰⎰⎰Ω+=……4分
⎰⎰⎰+=1
1020)cos (2r dz z r rdr d θθπ……8分 3
2π=……10分七、（12分）012=+r i r ±=∴……2分
设此方程的特解为：x B x A y 2sin 2cos *+=代入原方程得 x x B x A 2sin 2sin 32cos 3-=-- ⎪⎩
⎪⎨⎧==∴310B A ……6分故此方程的通解为：x x c x c y 2sin 31sin cos 21++=……10分代入初始条件 31,121-=-=c c ∴ 特解为：x x x y 2sin 31sin 31cos +--=……12分
八、（10分）121lim =++=∞
→n n n ρ 1=∴R ……2分从而收敛域为)1,1[- 设∑∞
=+=01)(n n
n x x S =∴)sin(x x ∑∞
=++01
1n n n x ='∴))((x xS x
x n n -=
∑∞=110 )1(<x )1ln(11)(0x dx x
x xS x
--=-=∴⎰ )11(≤≤-x ……8分 ∴ 当0≠x 时，有)1ln(1)(x x x S --=
1)()0(lim 0
==→x S S x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--=0
,1)1,0()0,1[),1ln(1)(x x x x x S ……10分。