对数函数复习
对数函数分类专题复习
对数函数分类专题复习1. 什么是对数函数？对数函数是一种特殊的数学函数，常用来描述指数和底数之间的关系。
它们具有以下形式：y = log<sub>b</sub>(x)，其中b是对数的底数，x是函数的自变量。
2. 对数函数的分类2.1. 自然对数函数自然对数函数是一种以常数e（欧拉数，约等于2.）为底数的对数函数，记作ln(x)。
2.2. 常用对数函数常用对数函数是一种以底数10为底数的对数函数，记作log(x)。
2.3. 一般对数函数一般对数函数是一种以任意正数b为底数的对数函数，记作log<sub>b</sub>(x)。
3. 对数函数的性质对数函数具有以下性质：- 对数函数的定义域是正数集合（对于自然对数函数和常用对数函数）或正数与零的集合（对于一般对数函数）。
- 对数函数的值域是实数集合。
- 对数函数是严格递增函数，即随着自变量增大，函数值也会增大。
- 对数函数在x轴的渐近线是y=0，即当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷大。
4. 对数函数的应用对数函数在数学和科学领域有广泛的应用，常见的应用包括：- 解决指数方程和指数不等式。
- 含有指数函数的微积分问题。
- 概率和统计分布中的应用。
- 在金融领域中的应用，如复利计算和投资分析等。
5. 总结对数函数是一种重要的数学工具，具有多种分类和应用。
了解对数函数的定义、分类、性质和应用，可以帮助我们更好地理解和解决各种数学和科学问题。
以上为对数函数分类专题的复习内容，希望能对你的学习有所帮助！。
对数及对数函数要点及解题技巧讲解
的最大值与最小值之差为12，则 a 等于( )
人
A. 2
B．2 或12
教
B
版
C．2 2
D．4 或14
分析：∵a>1 与 0<a<1 时，f(x)的单调性不同，∴最
小值、最大值也不同，故需分类讨论．
第2章 函数
高考数学总复习
解析：当 0<a<1 时，f(x)在[a,2a]上单调递减，由题意
得，logaa－loga2a＝12，∴loga2＝－12，∴a＝14.
人 教
B
当 a>1 时，∴f(x)＝logax 在[a,2a]上为增函数，
版
∴loga2a－logaa＝12，解得 a＝4，故选 D.
答案：D
第2章 函数
(2011·江苏四市联考)已知函数 f(x)＝|log2x|，正实 数 m、n 满足 m<n，且 f(m)＝f(n)，若 f(x)在区间[m2，
高考数学总复习
二、对数函数的图象与性质
定义
y＝logax(a>0，a≠1)
人 教
B
版
图象
第2章 函数
高考数学总复习
(1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R
(3)过点(1,0)，即当 x＝1 时，y＝0.
人
性质 (4)当 a>1 时，在(0，＋∞)是增函数；
教
B
当 0<a<1 时，在(0，＋∞)上是减函数．
B
版
(2)原式＝llgg23＋llgg29·llgg34＋llgg38
＝llgg23＋2llgg23·2llgg32＋3llgg32＝32llgg23·56llgg32＝54.
答案：(1)2
对数函数-高中数学总复习课件
范围是（
）
A. [－1，2]
B. [0，2]
C. [1，＋∞）
D. [0，＋∞）
解析： 当 x ≤1时，由21－ x ≤2得1－ x ≤1，∴0≤ x ≤1；当 x ＞1
1
时，由1－log2 x ≤2得 x ≥ ，∴ x ＞1.综上， x 的取值范围为[0，＋
2
∞）.故选D.
1
log a （2 a ）＜0，所以0＜ a ＜1，且2 a ＞1，所以 ＜ a ＜1.故 a 的取值
2
范围是
1
，1
2
.
目录
高中总复习·数学
解题技法
求解对数不等式的两种类型及方法
（1）log ax＞log ab：借助 y ＝log ax的单调性求解，如果 a 的取值不确
定，需分 a ＞1与0＜ a ＜1两种情况讨论；
图象如图所示，又 f （ a ）＝ f （ b ）且0＜ a ＜ b ，
∴0＜ a ＜1， b ＞1且 ab ＝1，∴ a 2＜ a ，当 a 2≤ x
≤ b 时，由图知， f （ x ）max＝ f （ a 2）＝｜log2 a
2｜＝－2log
1
1
2 a ＝2，∴ a ＝ 2 ，∴ b ＝2.∴ ＋ b ＝4.
0＜ a ＜1，A正确.
目录
高中总复习·数学
（2）已知函数 f （ x ）＝｜log2 x ｜，实数 a ， b 满足0＜ a ＜ b ，且 f
1
2
（ a ）＝ f （ b ），若 f （ x ）在[ a ， b ]上的最大值为2，则 ＋
b＝
4 .
解析：∵ f （ x ）＝｜log2 x ｜，∴ f （ x ）的
人教A版数学必修第一册期末复习：对数与对数函数课件
技巧点拨
➢ 无论题型如何变化，都是围绕对数函数的单调性
方法
总结
➢ 弄清对数函数的单调性是解题的关键
➢ 注意有时需对底数字母参数进行讨论
过关检测
1．设a，b，c均为正数，且2a＝
的大小关系是 ( A )
A．a＜b＜c
C．c＜a＜b
a＞0
b＞0
c＞0
2a＞1
0＜
1
2
1
>0
2
,
在 , 单调递减
×
×
常考题型
1
例 4 当 0＜x≤2时，4x＜logax，则 a 的取值范围是( B )
题
型
二
对
数
函
数
的
图
象
及
应
用
A. 0，
2
2
B.
C．(1， 2)
2，1源自2D．( 2，2)
易知0＜a＜1
依图知需满足 >
>
＜a＜1
当0＜x＜1时，y＜0
当0＜x＜1时，y＞0
核心考点
1．换底公式的两个重要结论
常
用
结
论
(1)logab＝
1
log
(2)log =
log
其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m≠0，n∈R.
核心考点
2．对数函数的图象与底数大小的比较
常
用
结
论
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应
对数函数-高考数学复习
解析
当
当
当
1
1
logm7=log ,logn7=log ,
7
7
1
1
1<m<n 时,0<log7m<log7n,所以
>
,即 logm7>logn7;
log7
log7
1
1
0<m<n<1 时,log7m<log7n<0,所以log > log ,即 logm7>logn7;
函数y=loga|x|与y=|logax|(a>0,a≠1)的性质
y=loga|x|
函数
a>1
0<a<1
定义域 (-∞,0)∪(0,+∞)
R
值域
奇偶性 偶函数
在(0,+∞)内单调递增; 在(-∞,0)内单调递增;
单调性
在(-∞,0)内单调递减 在(0,+∞)内单调递减
图象
y=|logax|
a>1
0<a<1
1.函数f(x)=log3(x-1)是对数函数.( × )
2.若logax>1,则x>a.( × )
3.函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)在其定义域上是单调递增函数.(
4.函数 y=|lo1 x| 的单调递减区间是(1,+∞).( × )
2
)
题组二 回源教材
5.(人教A版必修第一册习题4.4第1题改编)函数 y= 0.5 (4-3) 的定义域
对数函数复习
（1） y log2 3 2x x2
（2）
y
log0.3
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2
（3） y log2 3x 1
（4） y loga 4 x2 a 0且a 1
合作探究
（二）单调性
例 3．（1）若函数 f x log2 (x2 2ax 1 a) 在区间 ,1 上递减，则 a 的取值范
围为
（一）知识梳理 1．对数函数的概念：
2．对数函数的图象与性质：
自主复习
a>1
图象
0<a<1
(1)定义域：
(2)值域：
(3)过定点
，即 x＝1 时，y＝
性质
(4)当 x>1 时，
(5)当 x>1 时，
当 0<x<1 时，
当 0<x<1 时，
(6)在(0，＋∞)上是
(7)在(0，＋∞)上是
合作探究
题型一：对数函数的图像及其应用
．
（2）已知函数 f x loga (3 ax) ①当 x 0,2 时，函数 f x 恒有意义，求实数 a 的取值范围． ②是否存在这样的实数 a ，使得函数 f x 在区间1,2 上为减函数，并且最大值为
1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由．
点拨提升 课堂小结
作业：
例 1．（1） 对数函数的图象过点 M 16,4 ，则此对数函数的解析式为
（2） log2 5
log2 8 ; log1.1 0.7
l o 1g. 2 0 ；. 7
（3）方程 log2(x 4) 2x 0 的根的个数为
合作探究
题型二：对数函数的性质及其应用 （一）定义域和值域
对数函数复习
对数函数复习1.定义：一般地，当0>a 且1≠a 时，形如____________的函数，叫做对数函数 自变量是x ； 函数的定义域是____________2.函数()10log ≠>=a a a y x 且的图形和性质例1：求下列函数的定义域：2log a y x =； log (3)a y x =-； 2log (9)a y x =-巩固练习：1.求下列函数的定义域：（1） 0.2log (6)y x =--；（2）y = （3）y =2、（1）已知函数()x f y 2=的定义域为[-1,1]，则函数()x f y 2log =的定义域为_______________（2）已知函数()x f 定义域是[-3,2],求()x f y 3log =的定义域3、已知函数)23lg()(2+-=x x x f 的定义域是F ,函数)2lg()1lg()(-+-=x x x g 的定义域是N ,确定集合F 、N 的关系？类型二、比较大小 例2：比较大小：（1）ln3.4,ln8.5；（2）0.70.7log 1.6log 1.8和；（3）0.30.2log 4log 0.7和； （4）23log 3log 2和；（5）2log 0.4和3log 0.4练习：1.已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小：3log m ＜3log n ； 3.0log m ＞3.0log n ； a log m ＞a log n (a ＞1) 2. 已知n log 5 >m log 5，试确定m 和n 的大小关系 3. 比较大小：（1）6log 7 7log 6； （2）3log 1.5 2log 0.8 类型三、函数图象例3.画出下列函数的图象（1）|lg |x y =；（2）||lg x y =；（3）|||lg |x y =；(4)()1lg +=x y ； （5）()1lg +=x y ；(6)()1lg +=x y ；(7) ()1lg +=x y 练习：1、当1>a 时，在同一坐标系中，函数x a y =与()10log ≠>=a a a y x 且的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2、当10<<a 时，在同一坐标系中，函数x a y -=与x y a log =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 3、函数1)1(log --=x y a )10(≠>a a 且的图象必经过点（ ） A ．)1,2(- B ．)1,2( C ．)1,0(- D ．)1,0( 类型四、求值域例4.求下列函数的值域 1、]2,1[log )(2∈=x x x f 2、]2,1[log )(∈=x xx f a3、)2(log )(22+=x x f练习1.求下列函数的值域： （1）2log )(22+=x x f （2）21log )(22+=x x f2、函数()1log 22≥+=x xy 的值域为（ ）A.(2,+∞)B.(－∞,2)C.[2,+∞)D.[3,+∞) 类型五、解不等式：例5.求不等式154log <a 的解集练习：1.不等式21log 4>x 的解集是（ ）A.(2,+∞)B.(0,2)C.(21,+ ∞) D.(0,+∞)2.已知a log （3a －1）恒为正数，求a 的取值范围3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．类型六、函数的单调性 例、已知函数)12(log )(2-=-x x f .（1）求)(x f 的定义域，值域. (2)若0)(<x f ，求x 的范围. (3)判断并证明)(x f 的单调性.例6．求函数)2(log 22x x y +=的单调递增区间、值域。
高三复习对数函数知识点
高三复习对数函数知识点高三是每个学生都要经历的一段艰苦的时光。
对于理科生来说，高三的数学复习尤其重要，而其中一个需要掌握的关键知识点就是对数函数。
在这篇文章中，我将深入探讨高三复习对数函数的相关知识点，希望能对学生们的备考有所帮助。
一、对数函数的定义及性质对数函数是数学中的重要概念，它相当于指数运算的逆运算。
对数函数的底数是一个常数，大于1，并且对数函数的定义域是正实数集。
对数函数的定义可以表示为：如果 x = a^y，那么 y 就是以 a 为底的对数函数。
对数函数有一些重要的性质。
首先，对数函数的图像呈现出曲线状，且经过点 (1,0)。
其次，对于任意正数 a 和 b，以 a 为底的对数函数总是要比以 b 为底的对数函数更大。
再次，对数函数的值域是全体实数集。
二、对数函数的公式与变换对数函数有一些常见的公式与变换。
首先，对于以 10 为底的对数函数，我们常用 log 表示。
例如，log10(x) 就表示以 10 为底的x 的对数。
同时，我们还常使用自然对数函数ln(x)，以e 为底。
对于以其它数为底的对数函数，我们可以通过换底公式进行转换。
对数函数还可以进行一些常见的变换。
例如，平移变换可以使对数函数的图像在横轴和纵轴方向上移动。
横向平移可以表示为loga(x-h)，其中 h 表示横向平移的距离。
纵向平移可以表示为loga(x)+k，其中 k 表示纵向平移的距离。
另外，对数函数还可以进行压缩和拉伸变换，这些变换可以通过改变底数和系数进行实现。
三、对数函数的应用对数函数在现实生活中有很多应用。
其中一个常见的应用就是解决指数增长问题。
对数函数可以将指数增长转换为线性增长，从而更容易进行分析和计算。
例如，对于人口增长问题，我们可以使用对数函数来研究不同地区的人口变化趋势。
对数函数还被广泛应用于科学和工程领域。
例如，声音的强度和地震的震级都是使用对数函数进行测量和表达的。
此外，对数函数还可以用于解决复杂的计算问题，如指数方程和指数不等式。
对数函数复习
loge N 简记作lnN。
loge 10简记作ln10 （6）底数a的取值范围： (0,1) (1,) 真数N的取值范围 : (0,)
练习：已知a、b、c 0，且3 4 6 ， 2 1 2 求证： a b c
a b c
问题1：你能说明函数y=2x+1是否有反函数？
1
aHale Waihona Puke 0 且a0 都有 a 1 loga 1 0 1
a a loga a 1
⑶对数恒等式
如果把
a N 中的
b
b写成
则有
a
loga N
N
loga N
⑷常用对数： 通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作lgN。 例如： log10 5 简记作lg5；log10 3.5 简记作lg3.5. ⑸自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。 为了简便，N的自然对数 例如： loge 3简记作ln3 ;
有，求出反函数
问题2：通过求y=2x+1的反函数过程，你能否 总结出求反函数步骤。 步骤1.求出原函数的定义域，值域；
2.反解出x； 3.交换x与y； 4.得出反函数（写出定义域）。
例1.解方程：log2x=－x+1
y y=log2x
(1,0)
0
x y=－x+1
变式：log2x＞－x+1
总结：
1.同底的对数函数与指数函数互为反函数。 一般地，对数函数y loga x(a 0且a 1) 和 x 指数函数 y a (a 0且a 1) 互为反函数。 2.互为反函数的两个图象关于直线y=x对称。 点P(a,b)关于直线y＝x的对称点P’(b,a)。
4.4-对数函数课件-2025届高三数学一轮复习
2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图4.4-4
（4）．
图4.4-4
log 2 x + 1 + 2 x ≥ 0 ,
方法2y =∣ log 2 x + 1 ∣ +2 =
−log 2 x + 1 + 2 −1 < x < 0 ,
分别作出函数在 −1,0 和[0, +∞)上的两段图象即得y = |log 2 (x + 1)| + 2的图象
x
2
+ 1 的定义域为(
1
2
B.[1, +∞)
C.(− , 0]
C)
D.[0, +∞)
【解析】要使函数f x 有意义，则log 0.5 4x − 3 ≥ 0，得0 < 4x − 3 ≤ 1，得
3
4
3
4
3
x
4
2
1
的定义域为(− , 0]．
2
1
4
x
2
< x ≤ 1，即函数f x 的定义域为( , 1]，由 < + 1 ≤ 1，得− < ≤ 0，得
慢
长
2.函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)或y＝xn(n>0)增长速度的对比
(1)对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，
ax的增长
无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于________快于
xn的增长
ax>xn
________，因此总存在一个
【解析】当0 < x < x1 时，g x > f x ；
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1-8对数与对数函数
知 识 梳 理
1．对数的概念
如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中叫做对数的底数，叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
几个恒等式(M ，N ，a ，b 都是正数，且a ，b ≠1)
①＝；②log a a N ＝；③log b N ＝log a N log
a b ；④＝
⑤log a b ＝，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .
(2)对数的运算法则(a >0，且a ≠1，M >0，N >0)
①log a (M ·N )＝；②log a M N
＝；③log a M n ＝(n ∈R )；④log a n M ＝. 3．对数函数的图象与性质
(1)定义域：
考点一 对数的运算
例1． (1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋
n ＝________. (2)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝________.
变式1：（1）已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛21；当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)＝( )．A.124B.112 C.18D.38
（2）设2a =5b =m ，且
211=+b
a ，则m=
考点二 对数函数的图象及其应用
例2当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )．
A.⎝⎛⎭⎫0，22
B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2) D ．(2，2)
变式2：（1）设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( )．
A ．x 1x 2＜0
B ．x 1x 2＝1
C ．x 1x 2＞1
D ．0＜x 1x 2＜1
（2）.已知函数y=f(x) x ∈R ，f(x+2)=f(x),当x ∈[-1,1]时，f(x)=x 2,则y=f(x)与y=log 7x
的图象的交点个数为
考点三 对数函数的性质及其应用
【例3】函数
;单调区间为
变式3：（1）已知y=log a (2－ax)在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是 ．
y =
(2)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．
A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞c ＞b
D ．a ＞b ＞c
（3）若x ∈(1e -，1)，a ＝ln x ，b ＝x ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛x ，c ＝e ln x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )．
A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞b ＞c
D ．b ＞a ＞c
【例4】解不等式：(1)2log )1(1+x )26(log 1x -≥ (2)log x 32>1
变式4：（1）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2
x ，x ＞0，log 12
(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1)
（2）.a>0,a ≠1,函数y=a
)32lg(2+-x x 有最大值，①求函数f(x)=log a （3-2x-x 2）的单调区间 ②解不等式log a (x 2-5x+7)>0。