1.2 余弦定理 学案 高中数学 必修五 苏教版 Word版
高中数学苏教版必修五学案：1.2 余弦定理(二)
学习目标1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解决简单的实际问题.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一已知两边及其中一边的对角解三角形思考在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，可以先用正弦定理b sin B ＝c sin C 求出sin C ＝32.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？梳理已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：设在△ABC 中，已知a ，b 及A 的值．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可求得sin B ＝b sin A a .(1)当A 为钝角时，则B 必为锐角，三角形的解唯一； (2)当A 为直角且a >b 时，三角形的解唯一；(3)当A 为锐角时，如图，以点C 为圆心，以a 为半径作圆，三角形解的个数取决于a 与CD 和b 的大小关系： ①当a <CD 时，无解； ②当a ＝CD 时，一解；③当CD <a <b 时，则圆与射线AB 有两个交点，此时B 为锐角或钝角，此时B 的值有两个． ④当a ≥b 时，一解．(4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．知识点二判定三角形的形状思考1三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定？思考2△ABC中，sin2A＝sin2B，则A，B一定相等吗？梳理判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．知识点三证明三角形中的恒等式思考前面我们用正弦定理化简过a cos B＝b cos A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？梳理证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异．类型一用余弦定理解决实际问题例1一商船行至某海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军舰艇在A处获悉后，即测出该商船在北偏东45°，距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行，舰艇立即以21海里/时的速度前去营救．求舰艇靠近商船所需要的最短时间及所经过的路程．反思与感悟解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．跟踪训练1某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？类型二利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2在△ABC中，有(1)a＝b cos C＋c cos B；(2)b＝c cos A＋a cos C；(3)c＝a cos B＋b cos A，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．反思与感悟证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．跟踪训练2在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，求证：cos B cos C ＝c －b cos Ab －c cos A .类型三利用正弦、余弦定理判断三角形形状 引申探究若将本例中的条件(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc 改为(b 2＋c 2－a 2)2＝b 3c ＋c 3b －a 2bc ，其余条件不变，试判断△ABC 的形状．例3在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试判断△ABC 的形状．反思与感悟(1)判断三角形的形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，进而作出判断．(2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc 等等．跟踪训练3在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．1．在△ABC 中，若b 2＝a 2＋c 2＋ac ，则B ＝________.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是________三角形．3.如图，两座相距60m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20m 、50m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．4．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为________．1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实现边、角转换．2．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．3．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．答案精析问题导学 知识点一思考能．在余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 中，已知三个量AC ＝b ，AB ＝c ，cos B ，代入后得到关于a 的一元二次方程，解此方程即可． 知识点二思考1不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c ，可用a 2＋b 2－c 2来判断cos C 的正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说． 思考2∵A ，B ∈(0，π)， ∴2A,2B ∈(0,2π)， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2.知识点三思考由余弦定理得a a 2＋c 2－b 22ac ＝b b 2＋c 2－a 22bc ，去分母得a 2＋c 2－b 2＝b 2＋c 2－a 2，化简得a ＝b . 题型探究例1解如图，若舰艇以最短时间在B 处追上商船，则A ，B ，C 构成一个三角形． 设所需时间为t 小时，则AB ＝21t ，BC ＝9t .又AC ＝10，依题意得∠ACB ＝120°. 根据余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB . 所以(21t )2＝102＋(9t )2－2×10×9t cos120°， 所以(21t )2＝100＋81t 2＋90t ， 即360t 2－90t －100＝0， 所以t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以AB ＝21×23＝14(海里)．故舰艇靠近商船所需要的最短时间为23h ，共航行了14海里．跟踪训练1解如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船， 则CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9，∠ACB ＝75°＋45°＝120°，由余弦定理， 得(14x )2＝92＋(10x )2－2×9×10x cos120°， 化简得32x 2－30x －27＝0， 即x ＝32或x ＝－916(舍去)，所以巡逻艇需要1.5小时才追赶上该走私船． 所以BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21， 在△ABC 中，由正弦定理，得 sin ∠BAC ＝BC sin120°AB＝1521×32＝5314. 所以∠BAC ＝38°13′，或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)， 所以38°13′＋45°＝83°13′.所以巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船． 例2证明方法一(1)由正弦定理，得 b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴b cos C ＋c cos B ＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B ＝2R (sin B cos C ＋cos B sin C ) ＝2R sin(B ＋C ) ＝2R sin A ＝a . 即a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A . 方法二(1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2a 22a＝a .∴a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A . 跟踪训练2证明方法一左边＝a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab ＝b (a 2＋c 2－b 2)c (a 2＋b 2－c 2)，右边＝c －b ·b 2＋c 2－a 22bcb －c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b (a 2＋c 2－b 2)c (a 2＋b 2－c 2)， ∴等式成立．方法二右边＝2R sin C －2R sin B cos A2R sin B －2R sin C cos A＝sin (A ＋B )－sin B cos Asin (A ＋C )－sin C cos A＝sin A cos B sin A cos C ＝cos Bcos C＝左边，∴等式成立．例3解由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ， 得b 2＋2bc ＋c 2－a 2＝3bc ， 即b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.又sin A ＝2sin B cos C ， ∴由正弦、余弦定理，得 a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a，∴b 2＝c 2，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形． 引申探究 解由(b 2＋c 2－a 2)2 ＝b 3c ＋c 3b －a 2bc ，得∴(b 2＋c 2－a 2)2＝bc (b 2＋c 2－a 2)，∴(b 2＋c 2－a 2)(b 2＋c 2－a 2－bc )＝0， ∴b 2＋c 2－a 2＝0或b 2＋c 2－a 2－bc ＝0， ∴a 2＝b 2＋c 2或b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由a 2＝b 2＋c 2，得A ＝90°； 由b 2＋c 2－a 2＝bc ，得cos A ＝12，∴A ＝60°.∴△ABC 为等边三角形或等腰直角三角形．跟踪训练3解方法一根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ， ∴⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos60°，整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2c ，即b ＝c . ∴△ABC 是等边三角形． 方法二根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C . 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°， ∴C ＝120°－A ，∴2sin60°＝sin A ＋sin(120°－A )， A ∈(0°，120°)， 整理得sin(A ＋30°)＝1， A ＋30°∈(30°，150°)，∴A ＋30°＝90°，∴A ＝60°，C ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形． 当堂训练1．120°2.等腰3.45°4.35。
1.2余弦定理(3)教案 高中数学 必修五 苏教版(word版)
听课随笔第6课时 余弦定理（3）【学习导航】知识网络⎩⎨⎧判断三角形的形状平面几何中的某些问题余弦定理 学习要求1．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3．进一步运用余弦定理解斜三角形．【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B ac c a b cos 2222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=.(2) 变形：bc2a c b A cos 222-+=，ac2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=2．判断该三角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路.【精典范例】【例1】在∆ABC 中，求证：（1）;sin sin sin 222222CBA c b a +=+ （2）)cos cos cos (2222C abB ca A cb c b a ++=++ 分析：【解】（1）根据正弦定理，可设 Aa sin = Bb sin = Cc sin = k显然 k ≠0，所以 左边=C k Bk A k c b a 222222222sin sin sin +=+ =CBA 222sin sin sin +=右边 （2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc bc a c b 2222-++ca cab ac 2222-++ababc b a 2222-+) =(b 2+c 2-a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2) =a 2+b 2+c 2=左边【例2】在ABC ∆中，已知acosA = bcosB用两种方法判断该三角形的形状. 分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。
【解】方法1o（余弦定理）得a ⨯bc a cb 2222-+=b ⨯cab ac 2222-+∴c 44222)(b a b a -=-=))((2222b a b a -+∴22222b a c b a +==或∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.方法2o（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B, ∴2A=2B,或2A+2B=180︒ ∴A=B 或A+B=90︒∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.点评: 判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。
(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.2 余弦定理(第1课时)教案 苏教版必修5
1.2余弦定理第1课时余弦定理(1)(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；(2)能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；(3)通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一．2.过程与方法利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．3．情感、态度与价值观(1)培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；(2)通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．●重点、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用．难点：向量方法证明余弦定理．为了突出重点、分解难点，可引导学生把两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角．再由边长的几种求法引出向量(向量的模就是线段的长度)．(教师用书独具)●教学建议1．本节课教学时应始终注意培养学生的问题意识．课题引入中提出在三角形中两边及夹角时，如何解三角形．随着问题的解决而引出本节研究的余弦定理，然后再通过向量知识给予证明，引起学生对应用向量知识解决问题的兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处．2．在运用向量的方法证明余弦定理的同时，还应注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第6页)课标解读1.了解向量法证明余弦定理的过程．(难点)2．掌握余弦定理，会用余弦定理解决一些简单的三角形问题．(重点)余弦定理[问题导思] △ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，C ＝60°. 1．能否直接利用正弦定理求AB? [提示] 不能．2．能否利用平面向量求边AB ？怎么求？ [提示] 能． 因AB →＝AC →＋CB →，∴|AB →|2＝|AC →|2＋|CB →|2＋2AC →·CB →＝|AC →|2＋|CB →|2－2|AC →||CB →|cos ∠ACB ＝4＋9－2×2×3 cos 60°＝7. ∴|AB →|＝7.3．根据问题2的推导方法，能不能用b ，c ，A 表示a? [提示] 能． 1．余弦定理(1)三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(2)余弦定理也可以写成如下形式：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.2．余弦定理的应用利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题： (1)三边，求三个角；(2)两边和它们的夹角，求第三边，进而求出其他两角.(对应学生用书第7页)三角形三边，解三角形△ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角．[思路探究] 判断最大内角→利用余弦定理求余弦→由余弦求角 [自主解答] ∵c ＞a ，c ＞b ，∴角C 最大．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－3722×3×4＝－12，∴C ＝120°，∴△ABC 的最大内角为120°.1．三角形三边求三内角，应用的是余弦定理的变形形式，本例中“求最大内角〞，应依据“大角对大边〞确定．2．应用余弦定理求三角形内角时，与利用正弦定理有所不同，由于y ＝cos x 在(0，π)内单调，因此角由余弦值惟一确定，不需要分类讨论．△ABC 中，假设sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角为________． [解析] ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，∴a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴角C 为最大内角，且cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－12，∴C ＝120°. [答案] 120°两边及其夹角，解三角形在△ABC 中，a ＝2，b ＝22，C ＝15°，解此三角形．[思路探究] 15°＝45°－30°→求cos 15°，sin 15°→余弦定理求c →正弦定理求A →求角B[自主解答] cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin 15°＝6－24. 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22(6＋2)＝8－43， ∴c ＝8－43＝6－ 2. 由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°. ∵b ＞a ，∴B ＞A .∴A ＝30°，B ＝180°－(A ＋C )＝135°.1．本例解法不只一个，求出边长c 后，也可利用余弦定理求角A ，避免角的取舍． 2．两边及其夹角，三角形惟一确定，不存在解的个数的讨论．在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，求b 及A .[解] 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×(6＋2)×23×cos 45°＝8， ∴b ＝2 2.下面用两种方法求A . 法一 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝222＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A ＝60°. 法二 由正弦定理，得sin A ＝a b sin B ＝2322sin 45°＝32，∵(6＋2)2＝8＋43，(23)2＝12，∴6＋2＞23，∴c ＞a ，∴0＜A ＜90°，∴A ＝60°.余弦定理的变形及应用在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，角B ，角C 所对的边，b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求角A 的大小及b sin Bc.[思路探究] 对条件进行转化，对cos A 的表达式进行整体代换，求角A . [自主解答] 由b 2＝ac 及a 2－c 2＝ac －bc 得b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa， 又∵b 2＝ac ，A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin A ac ＝sin 60°＝32.1．当条件中出现关于边的二次式时，经常对条件转化变形，以便于利用余弦定理求解三角形．2．利用等式时，应注意对原式变换，整体代换，简化运算．(2013·某某高二检测)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，那么A 的取值X 围是________．[解析] 由及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc . 由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，即cos A ≥12.又0＜A ＜π，所以角A 的取值X 围为(0，π3]．[答案] (0，π3](对应学生用书第8页)忽略构成三角形的条件而致误在△ABC 中，三边的长为连续的自然数，且最大角为钝角，求这个三角形的三边的长．[错解] 设a ＝k ，b ＝k ＋1，c ＝k ＋2(其中k ∈N *)，由题意知cos C ＜0. 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＜0， 即k 2＋(k ＋1)2－(k ＋2)2＜0. ∴k 2－2k －3＜0，解得－1＜k ＜3. 又∵k ∈N *，∴k ＝1或k ＝2. 当k ＝1时，三边长分别为1,2,3； 当k ＝2时，三边长分别为2,3,4.∴这个三角形的三边的长分别为1, 2,3或2,3,4.[错因分析] 由于三边的长为连续的自然数，所以三边长分别用k ，k ＋1，k ＋2(k ∈N *)来表示，但解题时忽略了k，k＋1，k＋2能否构成三角形，只考虑到大边对大角，用余弦定理求解，从而产生错误．[防X措施] 在三角形中隐含条件较多，可能会因为不用心而导致错误，在利用余弦定理求三角形的三边时，先要判断一下三边能否构成三角形．[正解] 设a＝k，b＝k＋1，c＝k＋2(k∈N*)．由a＋b＞c，知k＋(k＋1)＞k＋2，即k＋1＞2，得k＞1，①由cos C＜0，得a2＋b2－c2＜0，即k2－2k－3＜0.解得－1＜k＜3，②由①②知1＜k＜3，又k∈N*，∴k＝2，∴a＝2，b＝3，c＝4，∴这个三角形的三边的长分别为2,3,4.1．基础知识：(1)余弦定理；(2)利用余弦定理解三角形．2．基本技能：(1)三边解三角形；(2)两边及其夹角，解三角形；(3)余弦定理的变形及应用．3．思想方法：(1)转化与化归思想；(2)三角代换；(3)边角互化.(对应学生用书第8页)1．在△ABC 中，假设a ＝c ＝2，B ＝120°，那么边b ＝________. [解析] b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋22－2×2×2cos 120°＝2 3. [答案] 2 32．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .a 2＝b 2－bc ＋c 2，那么A ＝________. [解析] ∵a 2＝b 2－bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°. [答案] 60°3．三角形的三边分别为4,6,8，那么此三角形为________． [解析] 设边长为8的边所对角为θ，那么cos θ＝42＋62－822×4×6＜0，∴θ为钝角，∴此三角形为钝角三角形．[答案] 钝角三角形4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设c ＝2，b ＝6，B ＝120°，求a .[解] ∵a 2＋c 2－b 2＝2ac ·cos B ，∴a 2＋2－6＝22a ·(－12)，∴a 2＋2a －4＝0，∵Δ＝2＋16＝18＞0，∴a ＝－2±182，∵a ＞0，∴a ＝ 2.(对应学生用书第81页)一、填空题1．在△ABC 中，b ＝43，c ＝23，角A ＝120°，那么a ＝________. [解析] a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝84，∴a ＝221. [答案] 2212．(2013·如皋检测)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶1∶2，那么B 为________．[解析] cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋32－122×2×3＝32，∴B ＝30° [答案] 30°3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，那么AB →·BC →＝________.[解析] cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝7×5×cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.[答案] －194．(2013·某某高二检测)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．[解析] 设底边长为1，那么每腰长为2，由余弦定理得 cos θ＝4＋4－18＝78.[答案] 785．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，那么sin Bsin C 的值为________．[解析] 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A . 即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°， ∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.[答案] 356．(2013·某某高二检测)在△ABC 中，B ＝120°.AC ＝7，AB ＝5，那么△ABC 的面积为________．[解析] 由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°，即49＝25＋BC 2＋5BC ，∴BC ＝3或BC ＝－8(舍去)，故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝1534. [答案]15347．(2012·某某高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，那么角C ＝________.[解析] ∵(a ＋b )2－c 2＝ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴c ＝120°. [答案] 120°8．(2012·高考)在△ABC 中，假设a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，那么b ＝________.[解析] 由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b 2＝22＋c 2－2ac ×(－14)，∴b 2＝4＋(7－b )2＋(7－b )，∴b ＝4. [答案] 4 二、解答题9．△ABC 中，边AB ＝3，AC ＝5且A ＝60°，求sin B 的值． [解] ∵BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60° ＝32＋52－2×3×5×12＝19，∴BC ＝19.∵AC sin B ＝BC sin A ，∴sin B ＝53857.10．在△ABC 中，假设c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 的长为72，求边长a .[解] 设BC ＝a ＝2x (x ＞0)，那么由余弦定理知cos ∠ADC ＝x 2＋722－722x ×72， cos ∠ADB ＝x 2＋722－422x ×72.∵∠ADC ＋∠ADB ＝π，∴cos ∠ADC ＋cos ∠ADB ＝0，即x 2＋722－727x ＋x 2＋722－427x＝0. 整理得(2x )2＝81即2x ＝9，故边长a 为9.11．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac .(1)求角B 的大小；(2)假设c ＝3a ，求tan A 的值．[解] (1)由余弦定理， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， ∵0＜B ＜π，∴B ＝π3. (2)法一 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714， ∵0＜A ＜π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114， ∴tan A ＝sin A cos A ＝35. 法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a ，由正弦定理，得sin B ＝7sin A .∵B ＝π3，∴sin A ＝2114. 又b ＝7a >a ，∴B >A ，∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.(教师用书独具)△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，求角C 的取值X 围．[思路探究] 不妨设边AC ＝x ，由余弦定理建立关于x 的二次方程，根据二次方程根的X 围建立不等关系求cos C 的X 围进而求C 的X 围．[自主解答] 设AC ＝x ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜1＋2，x ＞2－1，∴1＜x ＜3.由余弦定理得x 2＋4－4x cos C ＝1，即x 2－4x cos C ＋3＝0.①∵方程①在(1,3)内有解，令f (x )＝x 2－4x cos C ＋3， ∴f (1)·f (3)＜0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＞0，f 3＞0，1＜4cos C 2＜3，Δ≥0，② 由①得48(1－cos C )2＜0，无解．由②得cos C ≥32，又0＜C ＜π，∴0＜C ≤π6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c. (1)求B 的大小；(2)假设b ＝13，a ＋c ＝4，求a 的值．[解] (1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴原式化为a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c， 整理得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12， 又0＜B ＜π，∴B ＝2π3. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2π3代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，13＝a 2＋(4－a )2－2a (4－a )·cos 2π3， 即a 2－4a ＋3＝0.解得a ＝1或a ＝3.拓展探究正弦定理、余弦定理的关系正弦定理和余弦定理从不同的角度刻画了三角形边角之间的数量关系，它们是解决斜三角形问题的两个最重要的定理．在同一个三角形中，这两个定理又是等价的命题，即由正弦定理可以推出余弦定理，由余弦定理同样也可以推出正弦定理．(1)由正弦定理推导余弦定理在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，那么 b 2＋c 2－2bc cos A ＝4R 2(sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A )＝4R 2[sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C cos(B ＋C )]＝4R 2[(sin 2B －sin 2B sin 2C )＋(sin 2C －sin 2B sin 2C )＋2sin B cos B sin C cos C ]＝4R 2(sin 2B cos 2C ＋cos 2B sin 2C ＋2sin B cos B sin C cos C )＝4R 2sin 2(B ＋C )＝4R 2sin 2A ＝a 2.其中R 是△ABC 外接圆的半径．同理可证得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(2)由余弦定理推导正弦定理在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么a sin A ＝a1－cos 2A＝a 1－b 2＋c 2－a 224b 2c 2 ＝2abc 4b 2c 2－b 2＋c 2－a 22 ＝2abc a ＋b ＋c b ＋c －a a －b ＋c a ＋b －c. 同理可得bsin B＝2abc b ＋c ＋a b ＋c －a a －b ＋c a ＋b －c ， c sin C ＝2abc c ＋a ＋bb ＋c －a a －b ＋c a ＋b －c ， 所以asin A ＝b sin B ＝c sin C. 综上所述，正弦定理与余弦定理是等价的命题．因此，在解三角形中，凡是能用正弦定理求解的三角形，必能用余弦定理求解，反之亦然．但是在遇到解三角形问题时，应首先分析条件，看该问题究竟属于哪一种类型，以决定采用哪一个定理，这样可以避免解题的盲目性，优化解题过程．所以，熟悉这两个定理所适用的解三角形的类型是很有必要的，这样就可以把解三角形问题解决得很好，在提高自身数学素养的同时更彰显特色．。
苏教版必修五1.2《余弦定理》word教学设计
1.2 余弦定理南京师范大学附属中学 张跃红教学目标：1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．教学重点：重点是余弦定理及其证明过程．教学难点：难点是余弦定理的推导和证明．教学过程：1. 创设情景，提出问题．问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A ，B 两点间的距离（如图1）．请想办法解决这个问题．设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容．2. 构建模型，解决问题．学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C ，然后量出AC ，BC 的长度，再测出∠ACB ．△ABC 是确定的，就可以计算出AB 的长．接下来，请三位板演其解法．法1：（构造直角三角形）如图2，过点A 作垂线交BC 于点D ，则｜AD ｜＝｜AC ｜sin C ，｜CD ｜＝｜AC ｜cos C ，｜BD ｜＝｜BC ｜－｜CD ｜＝｜BC ｜－｜AC ｜cos C ，所以， 22||||||BD AD AB += C BC AC BC AC cos ||||2||||22⋅⋅-+=．C法2：（向量方法）如图3，因为AB AC CB =+，所以，22()AB AC CB =+222cos(),AC CB AC CB C π=++⋅⋅- 即 C BC AC BC AC AB cos ||||2||||||22⋅⋅-+=．法3：（建立直角坐标系） 建立如图4所示的直角坐标系，则A （｜AC ｜cos C , ｜AC ｜sin C ），B （｜BC ｜, 0），根据两点间的距离公式，可得22)0sin |(||)|cos |(|||-+-=C AC BC C AC AB ，所以，C BC AC BC AC AB cos ||||2||||||22⋅⋅-+=．活动评价：师生共同评价板演．3. 追踪成果，提出猜想．师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边长，则有C ab b a c cos 2222-+=成立．类似的还有其他等式， A cb b c a cos 2222-+=，B ca a c b cos 2222-+=．正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯．学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C 进行分类讨论，即分角C 为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程．教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点C间的距离公式来解决，等等．4. 探幽入微，深化理解．问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？学生活动：勾股定理是余弦定理的特例． 反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C 为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 222c b a >+，222c b a <+；C ab b a c cos 2222-+=是边长a 、b 、c 的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等．教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）．问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”．学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=． 5. 学以致用，拓展延伸．练习：1．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，求角C ．2．（1）在△ABC 中，若045,6,13==+=A c b ，解这个三角形．（2）在△ABC 中，1,60,30===c B b ，求a ．学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形式abc b a C 2cos 222-+=；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决． 思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．。
苏教版高中数学必修5第1章1.2余弦定理导学案设计(部分答案)
余弦定理导学案一、知识回顾余弦定理：余弦定理变形形式：余弦定理的本质二、例题分析题型一：解三角形例1(1)在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝37，则最大角为________；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝3a，则cos A＝________.方法归纳：已知三边解三角形的策略(1)已知三角形三边求角时，直接利用余弦定理的变形形式求出所求角的余弦值。
(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．对题练习1：在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，求△ABC的最大内角的正弦值．例2（1）在△ABC中，已知b＝3，c＝23，A＝30°，解三角形（2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，解三角形．方法归纳：已知两边及一角解三角形的策略(1)利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，然后利用正弦定理和三角形内角和定理求出另外两个角．(2)直接用正弦定理，先求角再求边，但要注意解的取舍题型二：判断三角形形状例3（1）在△ABC 中，若2sin A cos B ＝sin C ，则△ABC 的形状为________．变式：在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．方法归纳：判断三角形形状的两条途径(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．对题练习2 在△ABC 中，已知cos 2A 2＝b ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC 的形状．题型三：解决实际问题例4.在长江某渡口处，江水以5km/h 速度向东流。
【精品学案】2018-2019学年高中数学苏教版必修5学案：1.2.1 余弦定理(1) Word版含解析
1.2 余弦定理第1课时 余弦定理(1)1．掌握余弦定理的两种形式及证明余弦定理的向量方法．(重点) 2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 余弦定理阅读教材P 13“思考”以上部分，完成下列问题．三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，A ＝π6，则a ＝________. 【解析】 a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1. 【答案】 12．在△ABC 中，若a ＝5，c ＝4，cos A ＝916，则b ＝________. 【解析】 由余弦定理可知 25＝b 2＋16－2×4b cos A ， 即b 2－92b －9＝0，解得b＝6.【答案】 6教材整理2余弦定理的变形阅读教材P13“思考”以下内容～P14，完成下列问题．1．余弦定理的变形cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ca，cos C＝a2＋b2－c22ab.2．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C 为锐角．1．在△ABC中，a＝3，b＝7，c＝2，则B＝________.【解析】cos B＝a2＋c2－b22ac＝9＋4－712＝12，∴B＝60°.【答案】60°2．在△ABC中，若b2＋c2－a2<0，则△ABC必为________三角形.【导学号：91730008】【解析】∵cos A＝b2＋c2－a22bc<0，∴A∈(90°，180°)．∴△ABC必为钝角三角形．【答案】钝角[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，解此三角形． 【精彩点拨】 法一：直接利用余弦定理求边、求角；法二：先利用正弦定理求角，再利用余弦定理求边．【自主解答】 法一：由余弦定理知 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴2＝3＋c 2－23·22c ， 即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22.当c ＝6＋22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.故c＝6＋22，A＝60°，C＝75°或c＝6－22，A＝120°，C＝15°.法二：由正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝a sin Bb＝3·sin 45°2＝32.又∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或120°. 当A＝60°时，得C＝75°.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝3＋2－2×6×6－24＝2＋3，∴c＝2＋3＝6＋2 2.或用正弦定理求边c，由csin C＝bsin B得c＝b sin Csin B＝2·sin 75°sin 45°＝2×6＋2422＝6＋22.当A＝120°时，得C＝15°，同理可求c＝6－22，故A＝60°，C＝75°，c＝6＋22，或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.已知两边及一角，求第三边和其他角，存在两种情况：(1)已知两边及其中一边的对角，可利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用方程的思想求得第三边，再求出其他角，可免去判断取舍的麻烦．(2)已知两边及其夹角，直接利用余弦定理求出第三边，然后利用正弦定理求出另外两角．[再练一题]1．在△ABC 中，若b ＝3，c ＝33，B ＝30°，解此三角形.【导学号：91730009】【解】 法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°， ∴C ＝120°；当a ＝6时，由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1，∴A ＝90°， ∴C ＝60°.法二 由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解． 由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°. 当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6； 当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3.综上所述，当a ＝3时，A ＝30°，C ＝120°；当a ＝6时，A ＝90°，C ＝60°.【精彩点拨】 设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k ，代入cos A ，cos B ，cos C 求解．【自主解答】 设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k >0)，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋(3＋1)2k 2－4k 226(3＋1)k 2＝22，∴A ＝45°.同理可得cos B ＝12，B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝75°.1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．2．若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边解三角形．[再练一题]2．已知△ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角． 【解】 ∵c >a ，c >b ，∴角C 最大．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12. ∵0°<C <180°，∴C ＝120°. ∴△ABC 的最大内角为120°.[探究共研型]探究1 【提示】 若△ABC 是锐角三角形，则⎩⎨⎧cos A >0，cos B >0，cos C >0，即⎩⎨⎧a 2＋b 2>c 2，b 2＋c 2>a 2，a 2＋c 2>b 2.探究2 若a 2＋b 2<c 2，则△ABC 是什么三角形．反之呢？ 【提示】 若a 2＋b 2<c 2，则△ABC 是钝角三角形，反之不成立．若钝角△ABC 的三边长分别为a ，a ＋1，a ＋2，求实数a 的取值范围．【精彩点拨】 首先a ，a ＋1，a ＋2需满足构成三角形的条件，其次要满足a ＋2对应的角为钝角．【自主解答】 由题意知，a ＋2是三角形的最大边， 故⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋(a ＋1)>a ＋2，a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)<0，即⎩⎨⎧a >0，a >1，a 2－2a －3<0，解得1<a <3.用余弦定理判断三角形的形状1．在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则0°<A <90°；反之，若0°<A <90°，则a 2<b 2＋c 2.2．在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则A ＝90°；反之，若A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2.3．在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则90°<A <180°；反之，若90°<A <180°，则a 2>b 2＋c 2.提醒：①判断三角形形状时，要灵活选用公式，做到事半功倍．②注意题目中的隐含条件，防止增解或漏解．[再练一题]3．若2,3，x 是锐角三角形的三边，求实数x 的取值范围．【解】由题意可知⎩⎨⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，1<x <5，即⎩⎨⎧－13<x <13，x >5或x <－5，1<x <5，∴5<x <13.[构建·体系]1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝________.【解析】 由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝25＋9－492×5×3＝－12.∵0<∠BAC <π，∴∠BAC ＝23π.【答案】 23π2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝________. 【解析】 ∵c 2＝1＋4－2×1×2cos 60° ＝1＋4－2 ＝3， ∴c ＝ 3. 【答案】33．若△ABC 的三边长为2,3,4，则该三角形是______三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”)【解析】 ∵22＋32－42＝4＋9－16<0，∴该三角形是钝角三角形．【答案】钝角4．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝______.【导学号：91730010】【答案】 15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＋c2＝a2＋3bc，求：(1)A的大小；(2)2sin B cos C－sin(B－C)的值．【解】(1)由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝b2＋c2－a22bc＝3bc2bc＝32，所以A＝π6.(2)2sin B cos C－sin(B－C)＝2sin B cos C－(sin B cos C－cos B sin C) ＝sin B cos C＋cos B sin C＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A＝1 2.我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为________． 【解析】 ∵c <b <a ，∴角C 最小， ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32，又C ∈(0°，180°)． ∴C ＝30°. 【答案】 30°2．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B ＝________.【解析】 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a22a ·2a＝34.【答案】 343．三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.【解析】 ∵5x 2－7x －6＝0的两根为－35，2，设已知两边夹角为C ，则cos C ＝－35(∵cos C ＝2>1，舍去)．∴sin C ＝1－cos 2C ＝45，∴S △ABC ＝12×3×5×45＝6 cm 2.【答案】 64．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．【解析】 设顶角为C ，∵l ＝5c ，∴a ＝b ＝2c ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78. 【答案】 785．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________．【解析】 由题可知，边长为7的边所对角为中间角，设为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12， ∴θ＝60°，∴最大角＋最小角＝120°.【答案】 120°6．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.【解析】 由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b 2＝22＋c 2－2ac ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，∴b 2＝4＋(7－b )2＋(7－b )， ∴b ＝4.【答案】 47．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝______，sin A ＝________.【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，把a ＝1，b ＝2，cos C ＝14代入可得c ＝2.因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.再由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，解得sin A ＝158.【答案】 2 1588．(2016·南京高二检测)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.【导学号：91730011】【解析】 ∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，∴3c ＝7b ，∴a ∶b ∶c ＝5∶3∶7.设a ＝5x ，b ＝3x ，c ＝7x ，则cos C ＝25x 2＋9x 2－49x 22×(5x )×(3x )＝－12.又C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.【答案】 2π3二、解答题9．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的大小；(2)求AB 的长．【解】 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c ＝2，a cos B－b cos A ＝72.(1)求b cos A 的值；(2)若a ＝4，求△ABC 的面积．【解】 (1)∵a cos B －b cos A ＝72，根据余弦定理得，a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝72，∴2a 2－2b 2＝7c ，又∵c ＝2，∴a 2－b 2＝7，∴b cos A ＝b 2＋c 2－a 22c ＝－34.(2)由a cos B －b cos A ＝72及b cos A ＝－34，得a cos B ＝114.又∵a ＝4，∴cos B ＝1116，∴sin B ＝1－cos 2B ＝31516，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3154.[能力提升]1．(2016·无锡高二检测)在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．【解析】 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得a 2＋c 2－b 22ac ＝32×cos B sin B ，即cos B ＝32×cos B sin B ，∴sin B ＝32，又∵B 为△ABC 的内角，∴B 为π3或2π3.【答案】 π3或2π32．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，cos C ＝34，则BC →·CA→＝________. 【解析】 在 △ABC 中，由余弦定理得|A B →|2＝|CA →|2＋|CB →|2－2|CA →|·|CB →|cos C ，即2＝|CA →|2＋1－2|CA →|×34， ∴|CA →|2－32|CA →|－1＝0，∴|CA →|＝2， ∴BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos(180°－C )＝－|BC→||CA →|cos C ＝－1×2×34＝－32.【答案】 －323．若△ABC 是钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是________．【解析】 ∵b >a ，∴A 不可能为钝角．当B 为钝角时，⎩⎨⎧ a ＋c >b ，b 2>a 2＋c 2，即⎩⎨⎧ 3＋x >4，x 2<7，解得1<x <7；当C 为钝角时，⎩⎨⎧ a ＋b >c ，c 2>a 2＋b 2，即⎩⎨⎧3＋4>x ，x 2>25，解得5<x <7. 综上，x 的取值范围是(1，7)∪(5,7)．【答案】 (1，7)∪(5,7)4．已知四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝4，AD ＝6，且D ＝60°，试求四边形ABCD 的面积．【解】 连结AC ，在△ACD 中，由AD ＝6，CD ＝4，D ＝60°，可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝62＋42－2×6×4cos 60°＝28，在△ABC 中，由AB ＝2，BC ＝4，AC 2＝28，可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝22＋42－282×2×4＝－12.又0°<B<180°，故B＝120°.所以四边形ABCD的面积S＝S△ACD＋S△ABC＝12AD·CD sin D＋12AB·BC sin B＝12×6×4sin 60°＋12×2×4sin 120°＝8 3.。
苏教版高中数学(必修5)1.2《余弦定理》word教案
B1.2 余弦定理（2）【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.正弦定理的内容？2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？ 二、研探新知1．余弦定理的向量证明：方法1：如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ．∵−→−AC +=−→−AB −→−BC ， ∴⋅−→−AC −→−AC +=−→−AB (⋅−→−)BC +−→−AB ()−→−BC −→−=AB2⋅+−→−AB 2+−→−BC −→−BC2−→−=AB2⋅+−→−||2AB )180cos(||0B BC -−→−+−→−BC222cos 2a B ac c +-= 即 B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=．方法2：建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b ．所以2222222222(cos )(sin )cos sin 2cos 2cos a c A b c A c A c A bc A b b c bc A=-+=+-+=+-，同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=注意：此法的优点在于不必对A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论．于是得到以下定理 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
苏教版数学高二苏教版必修5学案 1.2 余弦定理(二)
明目标、知重点 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C . 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．三角变换公式(1)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (2)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (3)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.探究点一 余弦定理在实际问题中的应用例1 在长江某渡口处，江水以5 km/h 的速度向东流．一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1 h 后到达江北岸B 码头，设AN →为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东15°的方向上，并与A 码头相距1.2 km.该渡船应按什么方向航行？速度是多少？(角度精确到0.1°，速度精确到0.1 km/h)解 如图，船按AD →方向开出，取AC →方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ACBD ，其中AB ＝1.2(km)，AC ＝5×0.1＝0.5(km)，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝1.22＋0.52－2×1.2×0.5cos(90°－15°)≈1.38， 所以AD ＝BC ≈1.17(km)因此，船的航行速度为1.17÷0.1＝11.7(km/h)． 在△ABC 中，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC sin ∠BAC BC ＝0.5sin 75°1.17≈0.412 8，所以∠ABC ≈24.4°.所以∠DAN ＝∠DAB －∠NAB ＝∠ABC －15°≈9.4°.答 渡船应按北偏西9.4°的方向，并以11.7 km/h 的速度航行．反思与感悟 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解． 跟踪训练1 某巡逻艇在A 处发现北偏东45°相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 解 如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9， ∠ACB ＝75°＋45°＝120°，由余弦定理，得(14x )2＝92＋(10x )2－2×9×10x cos 120°，化简得32x 2－30x －27＝0，即x ＝32或x ＝－916(舍去)，所以巡逻艇需要1.5小时才追赶上该走私船． 所以BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21， 在△ABC 中，由正弦定理，得sin ∠BAC ＝BC sin 120°AB ＝1521×32＝5314.∴∠BAC ＝38°13′，或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)， ∴38°13′＋45°＝83°13′.答 巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船． 探究点二 利用余弦定理判断三角形形状例2 在△ABC 中，已知sin A ＝2sin B cos C ，试判断该三角形的形状． 解 由正弦定理和余弦定理，得 sin A sin B ＝ab ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ， 所以a b ＝2·a 2＋b 2－c 22ab ，整理，得b 2＝c 2.因为b >0，c >0，所以b ＝c ， 因此△ABC 为等腰三角形．反思与感悟 题中边的大小没有明确给出，而是通过三个角的关系式来确定的，因此利用正、余弦定理将角的关系转化为边的关系来判断．跟踪训练2 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． 解 方法一 根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2c ，即b ＝c . ∴△ABC 是等边三角形． 方法二 根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C . 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.∴C ＝120°－A ， ∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )， 整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴A ＝60°，C ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形．1．若平行四边形两邻边的长分别是3和6，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是________． 答案3和15解析 两条对角线的长分别为(3)2＋(6)2－2×3×6×cos 45°＝3和 (3)2＋(6)2－2×3×6×cos 135°＝15.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是________三角形． 答案 等腰解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ， ∴2×a 2＋c 2－b 22ac ×a ＝c ，∴a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．答案 π6解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.∴B ＝π6.4.如图，已知四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝4，DA ＝6，且D ＝60°，试求四边形ABCD 的面积．解 连结AC ，在△ACD 中， 由AD ＝6，CD ＝4，D ＝60°， 可得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos D＝62＋42－2×6×4cos 60°＝28，在△ABC 中，由AB ＝2，BC ＝4，AC 2＝28， 可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝22＋42－282×2×4＝－12.又0°<B <180°，故B ＝120°.所以四边形ABCD 的面积 S ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12AD ·CD sin D ＋12AB ·BC sin B＝12×6×4sin 60°＋12×2×4sin 120° ＝8 3.[呈重点、现规律]1．已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单． 2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．一、基础过关1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段能组成________三角形． 答案 锐角解析 因三角形最大边对应的角的余弦值cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形．2．在△ABC 中，若c ＝2，b ＝2a ，且cos C ＝14，则a ＝________.答案 1解析 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4a 2－222a ×2a＝14，得a ＝1.3．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________三角形． 答案 锐角解析 设直角三角形的三边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，增加的长度为x ， 则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2 ＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角为锐角．4．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C ＝________.答案 13解析 由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3， 可得a ∶b ∶c ＝3∶2∶3.不妨设a ＝3，b ＝2，c ＝3，则cos C ＝32＋22－322×3×2＝13.5．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 答案 30°解析 由sin C ＝23sin B ， 根据正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.6．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边边长，那么a 的取值范围是________． 答案 (2,8)解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边长为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2，化简得0<a <8. 又∵a ＋2a －1>2a ＋1，∴a >2，∴2<a <8.7.如图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．解 依题意得，CD ＝30 km ， ∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°，∠DAC ＝45°. 在△BDC 中，由正弦定理得BC ＝DC sin ∠BDC sin ∠DBC ＝30sin 30°sin 120°＝10(km)．在△ADC 中，由正弦定理得AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC ＝30sin 60°sin 45°＝35(km)．在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝(35)2＋(10)2－2×35×10cos 45°＝25. 所以AB ＝5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5 km. 二、能力提升8.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．答案66解析 设AB ＝a ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝2BD ＝4a 3， cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a 22a 2＝13， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝223.由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66.9．已知三角形ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，则△ABC 的最大内角为________． 答案 120°解析 ∵c >a ，c >b ，∴角C 最大． 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12.∵0°<C <180°，∴C ＝120°. ∴△ABC 的最大内角为120°.10．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝______.答案 4解析 在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14， 整理得15b －60＝0.∴b ＝4.11.如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解 设BD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理有 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ， 即142＝102＋x 2－20x cos 60°， ∴x 2－10x －96＝0，∴x ＝16(x ＝－6舍去)，即BD ＝16.在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b cos C＝(2a－c)cos B.(1)求角B的大小；(2)若b2＝ac，试确定△ABC的形状．解(1)由已知及正弦定理，有sin B cos C＝(2sin A－sin C)cos B，即sin B cos C＋cos B sin C＝2sin A cos B.∴sin(B＋C)＝2sin A cos B.∵sin(B＋C)＝sin A≠0，∴2cos B＝1，即cos B＝12，∴B＝60°.(2)由题设，b2＝ac.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴ac＝a2＋c2－2ac cos 60°，即a2＋c2－2ac＝0.∴(a－c)2＝0.从而有a＝c.由(1)知B＝60°，∴A＝B＝C＝60°.∴△ABC为正三角形．三、探究与拓展13．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，∴需要的时间t ＝3030＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时．。
—学数学苏教版必修5同步教学案第1章解三角形§1.2 余弦定理
§1.2余弦定理(一)课时目标1.熟记余弦定理及其推论；2.能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形任何一边的______等于其他两边的________的和减去这两边与它们的______的余弦的积的______．即a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________.2．余弦定理的推论cos A＝______________；cos B＝______________；cos C＝______________.3．在△ABC中：(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝________；(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝________；(3)若c2＝a2＋b2＋2ab，则C＝________.一、填空题1．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________.2．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝______________.3．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为________．4．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B＝____________.5．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于________．7．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为________．8．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．9．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为________．10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.二、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．能力提升13．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是____________．14．在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断三角形的形状．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．§1.2 余弦定理(一)答案知识梳理1．平方 平方 夹角 两倍 b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C 2.b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab3．(1)90° (2)60° (3)135° 作业设计 1．120° 2. 3 3.π6解析 ∵a>b>c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6.4．2解析 b cos C ＋c cos B ＝b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.5．30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12， ∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a<c ，∴A<60°，A ＝30°.6.34解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a·2a ＝34.7．直角三角形解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形． 8．120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°.9．45°解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ， ∴C ＝45° . 10．－2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.11．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49⇒x ＝7. 所以，所求中线长为7.12．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos (A ＋B)＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b)2－ab ＝10， ∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32.13. 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC·sin C ＝ 3. 14．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得 a·b 2＋c 2－a 22bc ＋b·a 2＋c 2－b 22ac ＋c·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．§1.2余弦定理(二)课时目标1.熟练掌握正弦定理、余弦定理；2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝______. (2)a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________.(3)sin A ＝__________，sin B ＝__________，sin C ＝__________. (4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝________. 2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝________________. (2)cos A ＝________________. (3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为______；c 2>a 2＋b 2⇔C 为______；c 2<a 2＋b 2⇔C 为______． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝______，A ＋B2＝____________.(2)sin(A ＋B )＝________，cos(A ＋B )＝________，tan(A ＋B )＝________.(3)sin A ＋B 2＝__________，cos A ＋B 2＝__________.一、填空题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为________．2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是________． 3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为________．4．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形的形状是________． 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a 与b 的大小关系是______．7．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________． 8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．二、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cos B=35，且·AB →·BC →＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是________． 14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．1．解斜三角形的常见类型及解法(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．§1.2 余弦定理(二)答案知识梳理1．(1)2R (2)2R sin A 2R sin B 2R sin C (3)a 2R b 2R c 2R(4)a ∶b ∶c 2.(1)b 2＋c 2－2bc cos A (2)b 2＋c 2－a 22bc (3)直角 钝角 锐角 3.(1)π π2－C 2(2)sin C －cos C －tan C(3)cos C 2 sin C 2作业设计1．120°解析 ∵(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， ∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°. 2．等腰三角形解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin (A ＋B)，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin (A －B)＝0，∴A ＝B.3.60°解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12. ∴C ＝120°.∴最小外角为60°. 4.19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c ＝19.5．等边三角形解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c)2，又b 2＝ac ，即(a －c)2＝0.∴a ＝c.∴2b ＝a ＋c ＝2a.∴b ＝a ，即a ＝b ＝c.6．a>b解析 在△ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab.∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab.∴a 2－b 2＝ab>0，∴a 2>b 2，∴a>b.7．锐角三角形解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b)x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c)x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角变为锐角．8．2<a<8解析 ∵2a －1>0，∴a>12，最大边为2a ＋1. ∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2化简得：0<a<8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1，∴a>2，∴2<a<8.9．12解析 S △ABC ＝12AB·AC·sin A ＝12AB·AC·sin 60°＝23，∴AB·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB·AC ＝(AB ＋AC)2－3AB·AC ，∴(AB ＋AC)2＝BC 2＋3AB·AC ＝49，∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10.13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4， 由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13，∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393， ∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 11．证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C＝sin A sin C ·cos B －sin B sin C ·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c2＝左边． 所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C. 12．∵AB →·BC →＝－21，·BA →·BC →＝21.·BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝ac cos B ＝21.∴ac ＝35，∵cos B ＝35，∴sin B ＝45. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×35×45＝14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝b sin B . ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22. ∵c<b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C ＝45°.13．0<C ≤π6解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A ∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1， ∴0<sin C ≤12.∵AB<BC ，∴C<A ，∴C 为锐角， ∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6. 14．解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74. 由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C. 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2 B＝sin B sin 2 B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca·cos B ＝32， 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2. 由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac·cos B ＝5，∴(a ＋c)2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。
苏教版数学高二必修五导学案余弦定理2(第3课时)
1.1.2 余弦定理2 (第3课时) **学习目标**1．能灵活运用正余弦定理判断三角形的形状； 2．能结合正余弦定理进行三角形面积的计算。
**要点精讲**1．余弦定理：222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧⎪=+-+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩2．在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为钝角三角形；若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为直角三角形；若a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形**范例分析**例1．（1）△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为 ( )A 直角三角形B 等腰直角三角形C 等边三角形D 等腰三角形 （2）已知锐角三角形的边长分别为2,3,x ，则第三边x 应适合（ ）Ａ、15x << Ｂ、513x << Ｃ、135x << Ｄ、15x <<引申：若三角形为钝角三角形，则第三边x 的取值范围是 。
例2．在△ABC 中已知a ＝2b cos C ，求证：△ABC 为等腰三角形例3．已知三角形的一个角为60°，面积为103c ｍ2，周长为20c ｍ，求此三角形的各边长例4．如图，半圆O 的直径MN =2，OA =2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作正三角形ABC ，问B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？最大面积是多少？MONABC**规律总结**1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：（1）化边为角；（2）化角为边 具体方法：①通过正弦定理，②通过余弦定理，③通过面积公式。
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余弦定理（2）学案
班级学号姓名
一.学习目标
1.熟记余弦定理，明确余弦定理适用的范围；
2.能熟练选用余弦定理解决各类三角形问题；
3.能运用余弦定理解决一些实际问题，培养学生的数学应用意识．
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二. 基础知识
1. 正弦定理： ；
变式::a b c = .
2. 余弦定理：2a = ；2
b = ；2
c = ；cos A = ；
cos B = ；cos C = .
3. 三角形面积公式ABC S D = ．
三.典型例题
例1.在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东15 ，并与A 码
头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到0.1 ，速度精确到
0.1/km h ）？
例2.在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状．
例3．如图，AM 是ABC ∆中BC
边上的中线，求证：AM =
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四、反馈练习
1. 在ABC ∆中，如果C B A sin :sin :sin ＝２∶３∶４，那么cos C = ．
2. 在ABC D
中，已知222a b c +=+，则C 等于 ．
3. 在ABC D 中，已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ．
4. 在ABC D 中，已知137,8,cos ,14
a b C ===则最大角的余弦值是 .
5. 在ABC D 中，已知6a =，7b =，8c =，则AB 边上的中线长为 .
6. 在ABC D 中，已知cos cos b C c B b +=，则ABC ∆为 三角形．
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7. 在ABC ∆中，已知2cos c a B =，则ABC ∆为 三角形．
8. 在ABC D 中，已知sin 2sin cos A B C =，则ABC ∆为 三角形．
9. 在ABC ∆中，边长,a b 是方程2520x x -+=的两个根，120,C = 则边长c = .
10. 在ABC ∆中，设CB a =u u r r ，AC b =uu u r r ，且||2a =r
，||b =
r
a b ?-r r AB 的长．
11. 在平行四边形ABCD 中，已知12AB cm =，10BC cm =，60A =o ，求平行四边形两条对
角线的长．
12. 在ABC D 中，已知4a =，5b =
，ABC S D =c ．
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13. 如图，已知圆内接四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==，如何求四边形
ABCD 的面积.
6。