山西省重点中学高三数学理
【解析版】山西省长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中2013届高三第四次四校联考数学(理)试题
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，则=N M ( )A ．),1[+∞-B ．]2,1[-C ．),2[+∞D ．φ2.下列说法错误．．的是( ) A ．“1sin 2θ=”是“30θ= ”的充分不必要条件 B ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠” C ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+=，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠ D ．若命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题3.函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<图象的一条对称轴在(,)63ππ内，则满足此条件的一个ϕ值为( )A ．12πB ．6πC ．3πD ．65π4.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为()5.若实数x ，y 满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数 24z x y =+的最大值为( )A ．10B ．12C ．13D ．14【答案】C 【解析】6.运行下图所示框图的相应程序,若输入,a b 的值分别为2log 3和3log 2,则输出M 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．－17.已知数列{}n a 满足3311log log ()n n a a n N +++=∈，且4269a a a ++=，则()15793log a a a ++的值是( )A ．15 B ． 15- C ． 5 D ．5- 【答案】D8.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )A ．36B ．312C ． 318D ． 3249.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c 且a=1，B=45°，ABC S ∆=2，则b 等于( )A ．5B ．25C ．41D ．2510.已知函数1)(+-=mx e x f x的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线x y 21=垂直的切线，则实数m 的取值范围是( )A ．2≤mB ．2>mC ．21-≤m D ．21->m11.若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程()x x f 3log =的零点个数是( )A ．2个B ．3个C ． 4个D ．多于4个12.已知A B P 、、是双曲线22221x y a b-=上的不同三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB 、的斜率乘积23PA PB k k ⋅=，则该双曲线的离心率e =( )A D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.若函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象过点（2，－1），且函数)(x f y =的图像与函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图像关于直线xy =对称，则)(x f = ．14.i 为虚数单位，则复数i i43105-+的虚部是 ．15.某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有．【答案】216【解析】16.已知函数M,最小值为m,则mM= ．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知点A （4，0）、B （0，4）、C （ααsin 3,cos 3）（1）若),0(πα∈α的大小；（2）⊥，求αααtan 12sin sin 22++的值．试题解析：（1）由题意可得(3cos 4,3sin ),(3cos ,3sin 4)AC BC αααα=-=-，又AC BC = ，18.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取12件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：（ （2）当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75，该产品为优等品，①用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；②从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其期望．19.如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点. 将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM . （I ）求证：BM AD ⊥ ；（II ）若点E 是线段DB 的中点，求二面角D AM E --的余弦值.20.已知21,F F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左，右焦点，M 为椭圆上的动点，且21MF MF ⋅的最大值为1，最小值为-2.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过点),(056-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于N M ,两点，A 为椭圆的左顶点。
山西省忻州市第一中学2015届高三上学期第一次四校联考理科数学试卷(解析版)
山西省忻州市第一中学2015届高三上学期第一次四校联考理科数学试卷（解析版）一、选择题1．设全集为R ，集合}1log {},4{22≥=>=x x N x x M ，则=N M （ ）A ．[-2，2]B ．)2,(--∞C ．),2(+∞D ．),2(+∞- 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，得{2M x x =<-或}2x >，{}2N x x =≥，所以=N M ),2(+∞，选C ．考点：1、一元二次不等式的解法；2、对数不等式解法；3、集合的运算. 2．已知i 是虚数单位，则复数2)i1i 2(-的值为 （ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 【答案】D 【解析】试题分析：由已知得，2212i i i-====--． 考点：复数的运算.3．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x 的值为（ ）A ．2B ．2±C ．－2或－3D ．2或－3 【答案】D 【解析】试题分析：该程序框图表示分段函数2,1f(x)1,1x x x x ⎧≥=⎨-<⎩，当4y =时，2x =或3-．考点：程序框图.4．实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x ，则y x z -=的最大值是（ ）A ．－1B ．0C ．3D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数y x z -=变形为y x z =-，当z 取最大值时，直线y x z =-的纵截距最小，故将直线平移到点(3,0)B 时，z 取到最大值为3．考点：线性规划. 5．二项式102)2(x x +展开式中的常数项是（ ） A ．180 B ．90 C ．45 D ．360【答案】A 【解析】试题分析：102)2(x x +展开式的通项为551021101022()2k k k k k kk T C C x x--+==，令5502k -=，得2k =，故常数项为22102180C =．考点：二项式定理.6．三棱锥的三视图如图，正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为 （ ）A【答案】B【解析】2的等腰直角三角形，三棱锥21132V=⨯⨯=考点：三视图.7．已知双曲线)0,0(12222>>=-babyax的离心率为26，则此双曲线的渐近线方程为（）A．x2y±= B．xy2±= C．xy22±= D．xy21±=【答案】C【解析】试题分析：由已知得，22222232c a bea a+===，故ba=，所以双曲线的渐近线方程为xy22±=．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质.8．等比数列}{na的前n项和为nS，若0323=+SS，则公比q=（）A．－2 B．2 C．3 D．－3【答案】A【解析】试题分析：由已知得，312123()0a a a a a++++=，所以312440a a a++=，1211440a a q a q++=，即侧视图正视图俯视图2440q q ++=，所以q =－2．考点：等比数列前n 项和与通项公式.9．点D C B A ,,,均在同一球面上，且AB 、AC 、AD 两两垂直，且，1=AB ，2=AC3=AD ，则该球的表面积为（ ）A ．π7B ．π14C ．27π D ．3147π【答案】B【解析】试题分析：以A 为顶点构造长方体，则该球为长方体的外接球，故2R =R =π14． 考点：外接球.10．若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数⎩⎨⎧>≤+++=0202)()(2x x x b a x x f ，，，则关于x 的方程x x f =)(解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】试题分析：由已知得，lg 4x x =-，104x x =-，在同一坐标系中作出10xy =，lg y x=以及4y x =-的图象，其中10xy =，lg y x =的图象关于y x =对称，直线y x =与4y x =-的交点为（2，2），所以4a b +=， 2420()20x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，，，当0x ≤时，242x x x ++=，1x =-或2-；当0x >，2x =，所以方程x x f =)(解的个数是3个．考点：1、指数函数、对数函数的图象；2、分段函数.11．抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ， M 为抛物线C 上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切（O 为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则=p （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B 【解析】试题分析：设OFM ∆的外接圆圆心为P ，且半径为3，由已知得点P 到抛物线准线的距离等于PF ，故点P 在抛物线上，且点P 的横坐标为4p ，由抛物线定义得，342p p+=，所以4p =考点：抛物线的标准方程和定义.12．已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对于任意R x ∈都)3()()6(f x f x f +=+成立；当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)()(2121>--x x x f x f ．给出下列四个命题：①0)3(=f ；②直线6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴； ③函数)(x f y =在]6,9[--上为增函数；④函数)(x f y =在]2014,0[上有335个零点． 其中正确命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】试题分析：令3x =-，得(3)(3)(3)f f f =-+，又)(x f y =是偶函数，故0)3(=f ，①正确；因为(6)()f x f x +=，所以)(x f y =是周期为6的周期函数，因为0x =是一条对称轴，故6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴，②正确；函数)(x f y =在]6,9[--上的单调性与[3,0]-的单调性相同，因为函数在[0,3]单调递增，故在[3,0]-单调递减，③错误；)(x f y =在每个周期内有一个零点，区间[0,6),[6,12)[2004,2010)分别有一个零点，共有335个周期，在区间[2010,2014]内有一个零点为2013，故零点共有336个，④错误，综上所述，正确的命题为①②． 考点：周期函数的图象与性质.二、填空题13．已知b a ⊥，2=a ，3=b ，且b a 2+与b a-λ垂直，则实数λ的值为 .【答案】92． 【解析】试题分析：由已知得，(2)()0a b a b λ+⋅-=，则有22(21)20a a b b λλ+-⋅-=，又因为b a ⊥，则0a b ⋅=，所以4180λ-=，92λ=．考点：平面向量的数量积运算.14．数列}{n a 的前n 项和记为n S ，11=a ，)1(121≥+=+n S a n n ，则}{n a 的通项公式为 . 【答案】3n n a = 【解析】试题分析：当2n ≥时，121n n a S -=+，所以12n n n a a a +-=，13n n a a +=（2n ≥），且21213a S =+=，又11=a ，故213a a =，所以数列}{n a 是等比数列，故}{n a 的通项公式为3n n a =．考点：等比数列的定义及通项公式. 15．函数)432(31sin 232sin3)(2ππ≤≤-=x x x x f 的最小值是 .1 【解析】 试题分析：由已知得，21c o s 2223()3s i n23s i333x f x x x -=-=+-2s i n (x 36π=+-， 当324x ππ≤≤时，22x 2363πππ≤+≤2sin(x )136π≤+≤1． 考点：1、降幂公式；2三角函数的最值.16．在等比数列}{n a 中，1041=<<a a ，则能使不等式0)1()1()1(2211≤-+⋅⋅⋅+-+-nn a a a a a a 成立的最大正整数n 是 . 【答案】7 【解析】试题分析：设等比数列公比为q ，由已知得311a q =，且1q >12121212111111()()()=()()n n n na a a a a a a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-++-++…+=1111[1()](1)0111n n a q a qq q---≤--，化简得34n qq --≤，则34n -≤-，7n ≤．考点：等比数列前n 项和.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且S a c b 334222=-+. （1）求A ；（2）若35=a ，54cos =B ，求c . 【答案】（1）060=A ；（2）3+【解析】 试题分析：（1）观察已知式子结构，用面积公式展开，利用余弦定理变形得A bc A bc sin 21334cos 2⋅=，进而求A ；（2）结合第一问结论，此时三角形中知道两角一边，利用正弦定理求c ，关键是求sin C ，可利用三个内角的关系转化求得． 试题解析：（1）由已知得：A bc A bc sin 21334cos 2⋅=4分 3tan =∴A 5分由A 是内角，∴060=A 6分 （2）由54cos =B 得53in =B s 7分 ∴10343c 23sin 21)3(si inC +=+=+=osB B B n s π10分 由正弦定理得：343sin sin +==ACa c 12分考点：1、正弦定理和余弦定理；2、三角形面积公式；3、两角和的正弦公式.18．如图，在四棱锥ABCD P -中， ABCD PA 面⊥，BC AD //， ︒=∠90BAD ，2,1,===⊥PA AD BC BD AC ，F E ,分别为AD PB ,的中点.（1）证明：EF AC ⊥；（2）求直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值.CD【答案】（1）详见解析 ；（2）15【解析】 试题分析：（1）要证明直线和直线与直线垂直，可以转化为证明直线和平面垂直，本题可以取线段AB 中点M ，连接EM ，易证明直线AC ⊥面EMF ，从而EF AC ⊥，或者可以建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点，通过证明两条直线的方向向量,AC EF 垂直即可；（2）求直线和平面所成的角，通过建立空间直角坐标系，求平面PCD 的法向量和直线EF 方向向量所成角的余弦值，即所求角的正弦值． 试题解析：（1）易知AB ，AD ，A P 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB t =，则相关各点的坐标为：(0,0,0)A ，(,0,0)B t ，(,1,0)C t ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(,0,1)2tE (0,1,0)F . 2分x从而(,1,1)2t EF =--，AC ＝(,1,0)t ，BD ＝(,2,0)t -．因为AC BD ⊥，所以AC ·BD ＝2200t -++=.解得t =t =． 4分于是EF＝（2-，1，－1），AC 1，0）． 因为AC ·EF ＝－1＋1＋0＝0，所以AC ⊥EF ，即AC EF⊥． 6分 （2）由（1）知，PC 1，-2），PD ＝（0，2，-2）． 设(,,)x y z =n 是平面PCD 的一个法向量，则0,0,PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,220.y z y z+-=-=⎪⎩令z =n ＝（1． 9分设直线EF 与平面PCD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，EF 〉|＝|EF EF⋅⋅n n |＝15. 即直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值为15. 12分 考点：1、直线与直线垂直；2、直线和平面所成的角.19．为迎接高一新生报到，学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者.统计如下：为了更进一步了解志愿者的来源，采用分层抽样的方法从上述四个班的志愿者中随机抽取50名参加问卷调查.（1）从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名，求这两名来自同一个班级的概率；（2）在参加问卷调查的50名志愿者中，从来自甲、丙两个班级的志愿者中随机抽取两名，用X 表示抽得甲班志愿者的人数，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）27；（2）分布列见解析，期望为1.2 【解析】试题分析：（1）分层抽样是按比例抽样，故首先确定抽样比为13，从而可确定从每个班抽取的人数分别为15，20，10，5，从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名共有2501225C =，其中来自同一个班级分为四种情况，共有215C +220C +210C +25C =350种，带入古典概型的概率公式计算；（2）首先确定随机变量X 的所有可能取值，并计算相应的概率，写成分布列求期望即可． 试题解析：（1）由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为15，20，10，5 2分从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名的取法共有2501225C =种，这两名志愿者来自同一班级的取法共有215C +220C +210C +25C =350. 5分∴721225350p ==. 6分 （2）由（1）知，在参加问卷调查的50名志愿者中，来自甲、丙两班的人员人数分别为15，10. X 的可能取值为0,1,2， 8分==)0(X P 203225210=C C ， 21)1(225110115===C C C X P ， 207)2(225215===C C X P .()317012 1.220220E X =⨯+⨯+⨯= 考点：1、古典概型；2、分布列和期望.20．已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>为半径的圆与直线0x y -=相切．B A 、是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线)0(>=k kx y 与椭圆相交于F E 、两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值．【答案】（1）2214y x +=；（2）2. 【解析】试题分析：（1）确定椭圆方程需要两个独立条件，首先由c e a =＝2，得224a b =，其次利用直线和园相切的条件得1b =，从而可求24a =，进而求得椭圆方程；（2）解析几何中的最值问题，往往要通过选取变量，将目标函数用一个变量表示，进而转化为函数的最值问题处理，本题需要将AEBF 的面积表示出来，可以表示为AEF ∆和BEF ∆的面积之和，其中1212AEF S y y ∆=-，12122BEF S x x ∆=⨯-，将直线)0(>=k kx y 与椭圆联立，用根与系数的关系将面积用k 表示，进而求函数的最大值．试题解析：（1）由题意知：c e a =＝2∴222222c a b e a a -===34，∴224a b =. 2分又∵圆222x y b +=与直线0x y -=相切， ∴1b =，∴24a =， 3分故所求椭圆C 的方程为2214y x += 4分 （2）设1122()()E x kx F x kx ，，，，其中12x x <，将y kx =代入椭圆的方程2214y x +=整理得：22(4)4k x +=， 故21x x =-=．① 5分又点E F ，到直线AB的距离分别为1h ==2h ==AB ==分所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+12==分===≤ 11分 当24(0)k k =>，即当2k =时，上式取等号．所以当四边形AEBF 面积的最大值时，k =2. 12分 考点：1、椭圆的标准方程和简单几何性质；2、函数的最值. 21．已知函数)1ln()1()(--=x x x f .（1）设函数)()1()(x f x a x g +--=在区间]1,2[2+e 上不单调，求实数a 的取值范围； （2）若Z k ∈，且0)2(1)(>---+x k x x f 对2>x 恒成立，求k 的最大值. 【答案】（1）)3,1(；（2）3. 【解析】试题分析：（1）函数()y g x =在区间]1,2[2+e 不单调，等价于函数的极值点是区间]1,2[2+e 的内点．故求)1ln(1)(-++-='x a x g ，令'()0g x =，得11a x e -=+，则12211a e e -<+<+，解不等式得实数a 的取值范围；（2）恒成立问题经常用到的方法是参变分离，转化为求确定函数的最值问题．本题参变分离为21)1ln()1(--+--<x x x x k ，记=)(x u 21)1ln()1(--+--x x x x ，利用导数确定函数的最小值，使得min [()]k u x <，从而可确定k 的最大整数值.试题解析：（1）)1ln(1)(-++-='x a x g 在),1(+∞上递增 1分由已知，有⎩⎨⎧>+-=+'<+-='03)1(01)2(2a e g a g 解得31<<aa ∴的取值范围为)3,1(. 4分（2）由题知21)1ln()1(--+--<x x x x k 对2>x 恒成立. 5分令=)(x u 21)1ln()1(--+--x x x x 则=')(x u 2)2(3)1ln(--+--x x x令3)1ln()(-+--=x x x v 12111)(--=--='x x x x v 0)(2>'∴>x v x 即)(x v 在),2(+∞上递增 8分 又022ln 2)5(,013ln )4(>+-=<+-=v v)5,4(0∈∃∴x ，使得0)(0=x v 即0)(0='x u∴)(x u 在),4(0x 上递减，在)5,(0x 上递增. 10分 2)1()1ln()1()()]([00000min --+--==∴x x x x x u x u)4,3(12)1()3)(1(00000∈-=--+--=x x x x x1)]([0min -=<x x u k又k Z k ∴∈,的最大值为3. 12分考点：1、导数在单调性上的应用；2、利用导数求函数的极值、最值.22．如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点E D 、，若102==PB PA .（1）求证：AB AC 2=； （2）求DE AD ⋅的值. 【答案】（1）答案详见解析；（2）50. 【解析】试题分析：（1）将线段,AC AB 置于ABP ∆和CAP ∆中，利用已知条件可证明ABP ∆∽CAP ∆，故根据相似三角形对应边成比例得2==PBAPAB AC ，从而得证；（2）由圆的相交弦定理得AD DE CD DB ⋅=⋅，故只需计算CD DB ⋅即可，由三角形内角平分线定理2==DB CDAB AC ，结合切割线定理可分别计算,CD DB ，从而得解． 试题解析：（1）∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角 ∴ABP ∆∽CAP ∆ 2分 ∴2==PBAPAB AC ∴AB AC 2= 4分 （2）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2 ∴20=PC又PB=5 ∴15=BC 6分 又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴2==DBCDAB AC ∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD 8分又由相交弦定理得：50=⋅=⋅DB CD DE AD 10分考点：1、三角形相似；2、圆的相交弦定理和切割线定理；3、圆的切割线定理. 23．已知直线l ：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t为参数，α为l 的倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 为：05cos 62=+-θρρ. （1）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；（2）设曲线C 上任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x +的取值范围. 【答案】（1）656ππ或；（2）[]223,223+- 【解析】试题分析：（1）将直线l 的参数方程化为普通方程为0sin cos sin =+-αααy x ，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为05622=+-+x y x ，利用直线和圆相切的条件，列方程求α的值；（2）利用圆的参数设θθsin 2,cos 23=+=y x ，从而将y x +用角θ表示，转化为三角函数的取值范围问题．试题解析：（1）曲线C 的直角坐标方程为05622=+-+x y x 即4)3(22=+-y x 曲线C 为圆心为（3，0），半径为2的圆. 直线l 的方程为:0sin cos sin =+-αααy x 3分∵直线l 与曲线C 相切 ∴2cos sin |sin sin 3|22=++αααα即21sin =α 5分 ∵ α∈[0，π） ∴α=656ππ或 6分（2）设θθsin 2,cos 23=+=y x则 y x +=θθsin 2cos 23++)4sin(223πθ++= 9分∴ y x +的取值范围是[]223,223+-. 10分 考点：1、直线的参数方程；2、圆的极坐标方程和参数方程.24．不等式选讲已知正实数b a 、满足：ab b a 222=+. （1）求ba 11+的最小值m ; （2）设函数)0(|1|||)(≠++-=t tx t x x f ，对于（1）中求得的m ，是否存在实数x ，使得2)(mx f =成立，说明理由. 【答案】（1）2；（2）不存在 【解析】试题分析：（1）本题体现了基本不等式和与积转化的作用，先由222a b ab +≥，得1a ≤b ，而11a b +≥，从而建立起已知和结论之间的联系，进而求得b a 11+的最小值；（2）由绝对值三角不等式求得函数()f x 的最小值为2，故不存在实数x ，使得2)(mx f =成立． 试题解析：（1）∵ab b b 2a a 222≥+= 即ab ≥ab ∴1a ≤b 2分 又2ab211≥≥+b a 当且仅当b =a 时取等号 ∴m =2 5分 （2）2|1||1|||)(f ≥+≥++-=tt t x t x x 9分 ∴满足条件的实数x 不存在. 10分考点：1、基本不等式；2、绝对值三角不等式.。
2025届山西省晋中市重点中学高三下学期一模考试数学试题含解析
2025届山西省晋中市重点中学高三下学期一模考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()()52122x x --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．402．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ） A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>3．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．354．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞5．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．256．已知全集为R ，集合122(1),{|20}A x y x B x x x -⎧⎫⎪⎪==-=-<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则()A B =R （ ）A ．(0,2)B ．(1,2]C ．[0,1]D ．(0,1]7．已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．88．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．3210．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2B ．2C ．0D ．1或212．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)[5,)+∞B ．6(0,)[5,)5+∞C ．(1,5]D ．6(,5]5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省山大附中2012—2013学年度高三10月份考试理科数学试题
山西省山大附中2012—2013学年度高三10月份考试数学（理）试题一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.i 是虚数单位，=-ii25 A ．i 21+ B ．i 21--C ．i 21-D ．i 21+-2．设变量x ，y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ．则目标函数z=2x+3y 的最小值为A ．6B ．7C ．8D ．233．命题“存在R x ∈0，020≤x ”的否定是 A ．不存在R x ∈0, 020>xB ．存在R x ∈0 02≥xC ．对任意的R x ∈, 02≤xD ．对任意的R x ∈, 02>x4．设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f 则)(x f y = A ．在区间),1(),1,1(e e 内均有零点。
B ．在区间),1(),1,1(e e 内均无零点。
C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点。
D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间),1(e 内有零点。
5．右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是A ．12 B ．23 C ．34 D ．456．在等差数列}{n a 中，已知56=a ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，则11S =A ．45B ．50C ．55D ．607．已知函数)0,)(4sin()(>∈+=ωπωR x x x f 的最小正周期为π，为了得到函数x x g ωcos )(=的图象，只要将)(x f y =的图象 A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度8已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若)()2(2a f a f >-则实数a 的取值范围是 A ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(1,2)-C ．(2,1)-D ．(,2)(1,)-∞-⋃+∞9．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与抛物线12+=x y 只有一个公共点，则双曲线的离心率为A ．54B ．5C ．D10．在区间]1,1[-上随机取一个数x ,2cosxπ的值介于0到21之间的概率为A ．13B ．2π C ． 12 D ．2311．已知球的直径4SC =，,A B是该球面上的两点，AB =30ASC BSC ∠=∠=，则三棱锥S ABC - 的体积为（ ）A． B． CD．212．设抛物线x y 22=的焦点为F ，过点)0,3(M 的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于C ，2||=BF ，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比ACFBCFS S ∆∆=A ．45B ．23C ．47D ．12侧视图正视图二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．）13．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积为：_______14．8822183)1()1()1()2()1(-+⋅⋅⋅+-+-+=-++xaxaxaaxx,则______6=a。
山西省忻州一中高三数学试题第一次月考 理【会员独享】
忻州一中高三第一次月考数学（理）试题注意事项：1．满分150分，考试时间120分钟。
2．交卷时只交试卷和机读卡，不交试题，答案写在试题上的无效。
一.选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号)1.已知全集U R =，集合2{|20}A x x x =->，{|lg(1)}B x y x ==-，则()U C A B 等于(A).{|20}x x x ><或 (B).{|12}x x <<(C).{|12}x x <≤ (D).{|12}≤≤x x2.下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)”的函数是(A).f (x )＝－x ＋1 (B) f (x )＝2x (C). f (x )＝x 2－1 (D).f (x )＝ln(－x )3.下列命题中为真命题的是(A).命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题(B).命题“x >1，则x 2>1”的否命题(C).命题 “若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题(D).命题“若x 2>x ，则x >1”的逆否命题4.命题“所有能被2整除的整数是偶数”的否定是(A).所有不能被2整除的整数都是偶数(B).所有能被2整除的整数都不是偶数(C).存在一个不能被2整除的整数都是偶数(D).存在一个能被2整除的整数不是偶数5.若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是①1ab ≤； 2a b ③222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤112a b +≥ 所有正确命题是(A). ①②③ (B). ①②④ (C). ①③⑤ (D). ③④⑤6.若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f 2x ln x的定义域是 (A).(0,1) (B).[0,1) (C).[0,1)∪(1,4] (D).[0,1]7.函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是8.对于函数f(x)=a sinx+bx+c(其中a,b R,c Z),选取a,b,c 的一组值计算f(1)和f(-1)所得出的正确结果一定不可．．能．是 (A).4和6 (B).1和2 (C).2和4 (D). 3和19.命题p ：,R x ∈∀使得x x >3；命题q ：若函数)1(-=x f y 为奇函数，则函数)(x f y =的图像关于点)0,1(成中心对称.(A). q p ∨真 (B). q p ∧真 (C). p ⌝真 (D). q ⌝假10.设f(x)是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有f(x-2)=f(x+2)，且当x ∈[−2,0]时，f(x)=(12)x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f(x)－log a (x+2)=0(a>1)恰有3个不同的实根，则a 的取值范围是(A).(1, 2) (B).( √43, 2) (C).（1，√43） (D).(2,+∞）11.函数f(x)是定义在()+∞,0上的非负可导函数，且满足()()0/≤+x f x xf ，对任意正数a 、b ，若a< b,则必有(A). ()()a bf b af ≤ (B). ()()b af a bf ≤ (C). ()()b f a af ≤ (D). ()()a fb bf ≤12.已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集为 (A).),1()2,(+∞⋃--∞(B).)2,1()2,(⋃--∞ (C) ),2()0,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ (D).),3()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.若正实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．14.与直线2x －y －4＝0平行且与曲线x y 5=相切的直线方程是 ．15.已知函数⎩⎨⎧≤>+=--,2,2,2,1)2(2x x x x f x 则)1(f = ． 16.函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]则b －a 的最小值为________．三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.(本题满分12分）1{24}32x A x -=≤≤，{}012322<--+-=m m mx x x B . （1）当x ∈N 时，求A 的非空真子集的个数；（2）若B A ⊇，求实数m 的取值范围.18.(本题满分12分）已知函数122()log 1ax f x x -=-(a 为常数). （1）若常数2a <且0a ≠,求()f x 的定义域;（2）若()f x 在区间(2,4)上是减函数,求a 的取值范围19.(本题满分12分）二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.（1）求f (x )的解析式；（2）在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图像恒．在y ＝2x ＋m 的图像上方，试确定实数m 的范围．20.(本题满分12分）已知函数f (x )=(13)x ,x ∈[−1,1]; 函数g(x)= [f(x)]2−2af (x )+3的最小值为h(a). （1）求h(a)；（2）是否存在实数m 、n 同时满足下列条件：①m>n>3;②当h(a)的定义域为[m,n]时，值域为[n 2,m 2]?若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由。
山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第三次四校联考数学理试题
2013届高三年级第三次四校联考数学试题（理科）命题：临汾一中 忻州一中 康杰中学 长治二中（考试时间120分钟 满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合{}|02P x Z x =∈≤<，{}4|2≤∈=x Z x M ，则P M 等于 A.{}1B. {}1,0C. )2,0[D. ]2,0[2. 某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有 A. 474种B. 77种C. 462种D. 79种3. 复数z 1=3+i,z 2=1-i,则复数21z z 的虚部为 A. 2B. -2iC. -2D. 2i4. 过点(2,0)M 作圆221x y +=的两条切线MA ,MB (A ,B 为切点)，则MA MB ⋅=A.2B.52 C.2D.32 5. 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像A.关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.关于直线12x π=对称C.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.关于直线512x π=对称 6. 如图所示的算法流程图中输出的最后一个数为-55，则判断框中的条件为A.?11<nB. ?11≥nC.?10<nD. ?10≥n7. 点P 为双曲线1C ：和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为D.2 8. 若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形， 则该几何体的外接球的表面积为 A.10π B.50π C.25π D.100π9. 对于下列命题：①在△ABC 中，若sin2sin2A B =,则△ABC为等腰三角形；②已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若2a =，5b =，6A π=,则△ABC 有两组解；③设2012sin3a π=，2012cos 3b π=，2012tan 3c π=,则a b c >>；④将函数2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向左平移6π个单位，得到函数2cos 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象.其中正确命题的个数是A.0B.1C. 2D.310. 已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC的体积为A ．B.C.D. 111. 函数()cos f x x π=与函数()2log 1g x x =-的图像所有交点的横坐标之和为 A ．2B. 4C. 6D. 812. 函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为 （ ）A ．[)+∞,12B ．[]3,0C ．[]12,3D ．[]12,0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在正三角形3AB =中，D 是AB 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅=.14. 实数对(,)x y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则目标函数z=kx －y 当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k 的取值范围是 .15．已知xxx f ln )(=，在区间[]3,2上任取一点0x ，使得0'()0f x >的概率为 . 16．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n n S an n=⨯+（其中n S 为{}n a 的前n 项和）,则=+)()(65a f a f . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若nb na )21(2=，设nn n a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）某中学参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示． （1）求合唱团学生参加活动的人均次数；（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．19．（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，PM ∥BC ，1,2PM BC ==．又1AC =，120,ACB AB PC ∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒．（1）求证：PC AC ⊥；（2）求二面角M AC B --的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知椭圆,22)0(1:2222=>>=+e b a by a x C 的离心率左、右焦点分别为F 1、F 2，点)3,2(P ，点F 2在线段PF 1的中垂线上。
山西省朔州市重点中学2024届高三高考数学试题系列模拟卷(7)
山西省朔州市重点中学2024届高三高考数学试题系列模拟卷（7）注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）A ．2B 1CD ．1 3．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -= C ．22123x y -= D ．22132y x -= 5．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2π C ．76π D ．π6．半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．2037．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ）A ．10B ．16C ．20D ．248．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．49- B ．23 C ．32或49- D ．32 9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．28210．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -11．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin 3）＜f （cos 3） C ．4433f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）12．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1 B ．23- C ．13- D ．34- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省省级重点中学06-07学年高三第一次三校联考(数学文)
山西省省级重点中学2006-2007学年高三第一次三校联考数学试题（文）（平遥中学、忻州一中、康杰中学）2006.12.5本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.本试题满分共150分．考试时间120分钟．第I 卷（60分）一、选择题（5⨯12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答卷纸的相应位置上。
）1．已知1)(2-+=x x x f ，集合)}(|{)},(|{x f y y N x f x x M ====，则 A ．M=NB ．M=RC ．M ∩N=φD ．M ∪N=N2．下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A ．x x f =)(与2)()(x x g = B ．||)(x x x f =与⎪⎩⎪⎨⎧-=22)(xxx g )0()0(<>x xC ．||)(x x f =与33)(x x g = D ．11)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t t g3．z y x lg ,lg ,lg 成等差数列是z y x ,,成等比数列的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知函数xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21)(，其反函数为)(x g ，则)(2x g 是A ．偶函数,在区间)0,(-∞上单调递增B ．奇函数,在区间)0,(-∞上单调递减C ．奇函数,在区间),0(+∞上单调递减D ．偶函数,在区间),0(+∞上单调递增 5．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是ABCD6．已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a 等于A ．0B ．1C ．－1D ．±17．设集合{|72,*,200}nM m m n n N m ==+∈<且，则M 中所有元素的和为A ．273B ．275C ．450D ．762 8．设等差数列}{n a 的公差为2，前n 项的和为n S ，则下列结论中正确的是A ．2(1)n n S na n n =--B ．2(1)n n S na n n =+-C ．(1)n n S na n n =+-D ．(1)n n S na n n =-- 9．已知0ω>,若函数()4sincos22xxf x ωω=在[,]43ππ-上单调递增,则ω的取值范围是 A ．2(0,)3 B ．3(0,]2C ．(0,2]D ．[2,)+∞10．设︒+︒=13cos 13sin a ,︒+︒=17cos 17sin b ,︒+︒=15cos 15sin c ,则c b a ,,的大小关系是A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D c a b << 11．设)(x f 是定义在R 上的奇函数当0<x 时，0)('>x f 且0)2(=-f ，则不等式0)(>⋅x f x 的解集是A ．(-2,0)∪(0,+∞)B ．(-2,0)∪(0,2)C ．(-∞,-2)∪(2,+∞)D ．(-∞,-2)∪(0,2) 12．化简8cos 228sin 12++-等于A ．4cos 44sin 2-B ．4cos 44sin 2--C ．4sin 2-D ．4sin 24cos 4-第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
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山西省重点中学 2013届高三3月月考
数学（理）试题
1.
A 2．设A ＝（ A ．
B ．
C ．
D 3．右图中，321为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当5.8,9,621===p x x 时，3x 等于（ ） D ．7
域为R ，乙：函数
）
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．规定记号“”表示一种运算，即：2
2
2b ab -，设函数2)(⊗=x x f 。
且关互不相等的实数根1234,,,x x x x ，则
D ．8-
，0b >）的两个焦点，A 和B 是以O 为
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则该双
C. 2 7时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数A ．偶函数且图像关于点(,0)π对称
C
8．过点(11,2)A 作圆 ）
A.16条 D. 34条
9．在平面斜坐标系xoy 中0
45=∠xoy ，点P 的斜坐标定义为：“若2010e y e x OP +=（其
中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量），则点P 的坐标为),(00y x ”．若
),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M
满足，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程
A
B
C D 10R ∈)(x A ．2013
2013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<> B ．2013
2013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<<
C ．2013
2013(2013)(0),(2013)(0)e
f f f e f ->>
D ．
20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->< 11．设O 是锐角三角形ABC 的外心，由O 向边AB CA BC ,,引垂线，垂足分别是F E D ,,,
给出下列命题：①0OA OB OC ++=
；②
0OD OE OF ++= ；③||OD ：||OE ：||OF =A cos ：B cos ：C cos ;④R λ∃∈，使得AD =λ.
以上命题正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4；
12．在正方体1111ABCD A B C D -
中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面
11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1
D A
E ，则1A
F 与平面11BCC B 所成角
A
13．已知不等式组2
y x
y x x ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域为M ，直线y x =与曲线面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为 . 14．对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：
根据上述分解规律，则, 若的分解中最小的数是73，则的值为 .
15．抛物线2
8x y =的准线与y 轴交于点A ，点B 在抛物线对称轴上，过A 可作直线交抛
物线于点M 、N ，使得MN MN BM 2
1
=⋅的取值范围是 ．
16. 给出以下四个命题：
① 若cos cos 1αβ=，则② 已知直线x m =与函数N M ,，则
||MN 的最大值为
m 3*
()m m N ∈2513579=++++3413151719=+++337911=++3235=+241357=+++23135=++2213=+n m 2
③ 为单调递增数列，则λ取值范围是2λ<-； ④ ，前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值为12．
其中正确命题的序号为 ． 17项1,n n a a +是关于x 的方程
对任意的n N *∈都成立，求t 的取 18．（本小题满分12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标
准》.其中规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5
（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X ，求X 的分布列及数学期望)(X E ．
19分）如图，四边形ABCD 中，为正三角形，，
将ACD ∆沿边AC 折起，使D 点至P 点，已知PO ，且P 点在平面ABCD 内的射影落在ACD ∆内．
（Ⅱ）若已知二面角的余弦值为，求
θD PB A --2==AB AD BCD ∆
20．（本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为
一个焦点 和抛物线x y 42
-=的焦点重合,过直线4:=
x l 上一点M 条切线，切点分别是B A ,. （Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）若在椭
点()00,y x 处的椭圆的切线方程是
:
直线AB 恒过定点C ；并出求定点C 的坐标. （Ⅲ）是否存在实数λ，(点C 为直线AB 恒过
的定点)若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。
21．（本小题满分12分）已知函数错误！未找到引用源。
,其中错误！未找到引用源。
.
（I ）若函数错误！未找到引用源。
在区间(1,2)上不是单调函数,试求错误！未找到引用源。
的取值范围;
（II ）已知错误！未找到引用源。
,如果存在错误！未找到引用源。
,使得函数错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
处取得最小值,试求错误！未找到引用源。
的最大值.
请考生在第22、23题中任选一题作答。
若多做，则按所做的第一题计分。
22．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩
⎨⎧==ϕϕ
sin cos b y a x
（0>>b a ，ϕ为参数），
在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经
过极点的圆．已知曲线1C
上的点与曲线2C （I
（II ）若点),(1θρA ，在曲线1C 上，求
23. 已知函数1)(-=x x f
(I)求不等式01)(2
>-+x x f 的解集;
(II)设m x x g ++-=3)(，若关于x 的不等式)()(x g x f <的解集非空，求实数m 的取值范围.
参考答案
（2）
（3）
综上所述，的取值范围为 （12分）
18．【解】：（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米． ………4分
（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为
7.50.122.50.337.50.252.50.267.50.182.50.140.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方
米）．
因为40.535>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
分 ”，
……12分 （II …………8分 （III ”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；
分
（理）【解析】：(Ⅰ)易知为的中点， 则，又，
又，平面，
PBD ,BD PO ⊂BD PO O = AC PO ⊥AC BD ⊥BD O
（6分）
法向量为的焦点是()0,1-，
……6分
由错误！未找到引用源。
,得错误！未找到引用源。
,
因为错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
……3分
令错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
,故错误！未找到引用源。
在区间(1,2)上是增函数,
所以其值域为错误！未找到引用源。
,从而错误！未找到引用源。
的取值范围是错误！未找到引用源。
………………………5分 （II ）错误！未找到引用源。
,
由题意知错误！未找到引用源。
对错误！未找到引用源。
恒成立, 即错误！未找到引用源。
对错误！未找到引用源。
恒成立,
即错误！未找到引用源。
①对错误！未找到引用源。
恒成立 ………7分
当错误！未找到引用源。
时,①式显然成立;
………8分 当错误！未找到引用源。
时,①式可化为错误！未找到引用源。
②,
令错误！未找到引用源。
,则其图象是开口向下的抛物线,所以错误！未找到引用源。
………9分
即错误！未找到引用源。
,其等价于错误！未找到引用源。
③ ,
因为③在错误！未找到引用源。
时有解,所以错误！未找到引用源。
,解得错误！未找到引用源。
.
从而错误！未找到引用源。
的最大值为错误！未找到引用源。
(12)
(。