第四单元 未确知集

第四单元 未确知集第一章 未确知集有关概念§1 问题的提出随机性和模糊性是人们广泛接触到的两种不同的不确定性，除此之外，还是否存在着另外的、不同的不确定性呢？王光远教授举出下面的例子：去找老李，老李不在，问老李的去处。

这是已发生的一次性事件，所以没有随机性；事实上老李的去处是确定的，到哪儿就是到哪儿，不存在边界不清的问题，因而没有模糊性；但是，对于决策者来说，老李究竟去哪儿？毕竟不确切知道。

这样，在决策者的“心目中”产生了一种认识上的不确定性。

当然，对老李的去处决策者也不是一元所知，根据他对老李的了解，对老李此时的去处他有自己的猜测和估计，但毕竟不确切知道。

王光远教授称这种因信息量不够，不足以确定事物的真实的数量关系或真实状态，因而在决策者心目中产生一种纯属主观的、认识上的不确定性叫做“未确知性”，具有未确知性的信息叫做未确知信息。

显然，未确知性是一种不同于随机性与模糊性的一种新的不确定性，并且这种不确定性到处可见。

对具有未确知性的信息的处理不能按确知信息去处理 ，而必须把它当做不确定性信息去处理，由于它不同于随机信息和模糊信息，因而不能硬套随机信息与模糊信息的处理方法。

那么，如何表达未确知信息，建立处理未确知信息处理的相应理论与方法，显然是一个具有新意的问题。

§2 未确知程度的度量与可测空间由于对事物具有的性质或所处状态的真实情况不确切知道，要具体地定量描述事物具有某种性质或处于某种状态的程度就决然离不开必要的先验知识，其中包含着决策者个人的猜测和偏好，这和相对客观的Laugh Set 是本质不同的，因为要定量描述的是决策者心目中认识上的不确定性，体现着强烈的主观性特征。

需要决策者根据确知部分的信息及某些先验知识去选择——判断——量化。

记论域{}n x x x U ,,,21 =，i x 表示第i 个研究对象；我们感兴趣的是研究对象x 具有某性质或处于某种状态的程度。

设对象具有的性质或状态记作F ，则F 是普通集合，在此称F 为性质（或状态）空间，若() ,2,1=i F i 是F 中的第i 种具体性质或状态，记作F F i ∈，显然i F 也是通常集合，即性质（或状态）集合，空间F 是以集合为元素构成的全集。

设由F 的所有子集构成的集合为E ，如果E A ∈∀，则E A ∈-1，即E 对补运算是封闭的；并且若()k i E A i ,,2,1 =∈，则 ki i E A 1=∈，即E 对于有限个集合的并运算是封闭的，则称E 为代数，是由F 生成的代数。

若E 是代数，表明E 对于补运算和有限集合的并运算是封闭的。

若再假设E 对可列个集合的并也是封闭的，即若∈i A E ，则∞=∈1i i E A则称E 是σ代数。

显见，若E 是σ的代数，则E 中任意集合的补集在E 中，且E 中可列个集合的并集也在E 中。

定义2.1 若{}n x x x U ,,,21 =为对象空间，F 是U 上的性质空间，E 是F 的σ代数，则称()E F ,是U 上的可测空间。

我们不在F 上而是在F 的σ代数E 上讨论问题，是因为在E 上作补运算和可列个并集运算，其结果还在E 中，而性质空间F 则不具备此种性质。

定义2.2 若F 是论域U 上的性质空间，() ,2,1=∈i F F i 满足：()j i F F j i ≠=φF Fi i=∞= 1则称{} ,,21F F 是性质空间F 的一种划分。

特别是当存在自然数k ，{}k F F F ,,,21 是F 的一种划分，则称{}k F F F ,,,21 为F 的一种有限划分。

若{}k F F F ,,,21 是F 的一种有限划分，并且i F 好（强）于1+i F （比如i F 是第i 个质量等级），则记作i F >1+i F ()1,,2,1-=k i ，此时称{}k F F F ,,,21 为F 的一种有序划分。

划分是否有序对分类的识别有着不同的作用。

如果给定性质空间F 的一种划分，则由划分容易生成F 的σ代数，为此有下面定理。

定理2.1 若U 为论域，F 是U 上的性质空间，{}k F F F ,,,21 是F 的一种划分，E 为：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤∈===k i F F F F F E E E k l il l i i 1,,,,,,211 φ则E 是F 上的σ代数。

容易验证上式定义的集合E 是F 上的代数（即对补及有限并运算来说E 是封闭的），当划分有限时F 的代数就是F 的σ代数。

此定理说明，当给定性质空间F 的一种划分就意味着F 的σ代数已经存在，可测空间()E F ,已经存在。

因而，可以在可测空间()E F ,上考虑测量问题。

§3 未确知测度与未确知集设U 为论域，F 是U 上的性质空间，{}k F F F ,,,21 是F 的一划分，U 中对象x 具有的性质或状态。

通常受多种因素的影响，称这些影响因素为属性或指标。

若有m 种具体属性m I I I ,,,21 影响着对象x 的性质或状态，则称{}m I I I I ,,,21 =为论域U 上的属性空间。

任给U x i ∈，对象i x 关于第j 种属性j I 的观测值是可以具体测量的，并记作ij x 。

我们的问题是：具有观测值ij x 的对象i x 具有性质k F 程度，并且如何定量描述这种程度。

诚然，在信息不完整条件下，或说在未确知条件下，要决策者准确地量化这种程度是困难的，甚至是不可能的。

但是，决策者根据问题的背景、已有的先验知识，根据实测数据ij x 用估计、统计或其它方法是可以具体量化这种程度的。

事实上，程度不同体现了数量不同，数量不同就可以进行测量（是一种间接测量），要进行测量首先需建立可测空间，并按着测量准则在可测空间上进行测量，即构造某种“测度”用以表示对“程度”的测量结果。

第二节中已论述过，给定性质空间F 的一种划分便可生成F 的σ代数E ，这样，便可在可测空()E F ,上构造符合测量准则的某种测度以定量描述观测对象具有E 中某种具体性质的程度。

因此，能否合理地度量这种“可能性程度”，关键在于能否在可测空间（F ，E ）上构造符合测量准则的某种侧度。

设U 为对象空间，F 是U 上的性质空间，{}k F F F ,,,21 是F 的一种划分，E 是由划分生成的σ代数，即()E F ,是U 上的可测空间；{}m I I I I ,,,21 =是U 上的属性空间，ij x 是i x 关于j I 的观测值，为定量描述具有观测值ij x 的对象i x 具有性质E A ∈的程度，给出下述测度的定义。

定义3.1 对任意固定的对象U x i ∈和任意固定的属性j I ，ij x 为i x 关于j I 的观测值，若存在映射μ对任意E A ∈，满足()10≤≤ij A x μ（1） ()()∑===11l ijA ijA x x ll lμμ（2）()1=ij F x μ（3）其中,,2,1,,2,1,,2,1 =∈==l E A m j n i l ，，，；则称()ij A x μ是可测空间()E F ,上的未确知测度函数，简称测度。

上式（1）为测度的非负有界性；（2）式称做测度的“可加性”；（3）式称做测度的“归一性”。

显见上述关于测度的三条限制条件是通常测量必须恪守的准则，有悖于三种准则中任何一条的测量结果，其正确性是值得怀疑的。

在测度μ前冠以“未确知”是由于决策者经常是在信息不够完整条件下具体构造测度函数，这中间除了必需的先验知识外，还包含着决策者个人的偏好、需求等主观因素，从本质上讲，测度是具有观测值ij x 的对象i x 具有性质E A ∈的程度在决策者心目中的比例分配，这种既运用确知信息又包含了主观需求所确定的测度，称做未确知侧度。

定义 3.2 若U 为论域，F 是U 上的性质空间，()E F ,是U 上的可测空间，()x A μ，()E A U x ∈∈,是可测空间()E F ,上的未确知测度函数，则称()()x E F A μ,,为论域U 上的未确知测度空间，简称为测度空间。

定义3.3 若U 为论域，()()x E F A μ,,是U 上的未确知测度空间，则以()x A μ为隶属度函数确定了论域U 关于σ代数E 的一个未确知子集A ~。

A ~(){}E A U x x x A ∈∈∀≤≤=,,10μ()(){}E A U x x x A S A ∈∈∀≤=,,10~μ称()A S ~为A ~的支架集，若∈x ()A S ~，称x 是A ~的支持点，称A 为A ~在E 上的原像集。

对任意给定的E A ∈，A ~可看作是论域U 上的一个模糊子集，对任意固定的U x ∈，()x A μ是σ代数E 上的函数，所以()x A μ是定义在E U ⨯上的二元函数。

并且对任意U x ∈，有1)(0≤≤x A μ，对任意固定的x ，及任意k i E A i ,,2,1, =∈，()x i A μ满足：()()∑==kl A A x x lkll1μμ，()j i A A ji ≠=,φ()1=x F μ所以，()x A μ对σ代数E 满足可加性准则；对空间E F ∈，()x A μ满足“归一性”准则。

§4 未确知集的运算由定义3.2知，未确知集A ~是把未确知测度函数()x A μ作为隶属度函数确定的论域U 上的不确定性集合，对给定的E A ∈，()x A μ是论域U 上的一元函数，对给定的E x ∈，()x A μ是σ代数E 上的函数。

它定量描述了对象x 具有性质A 的程度。

当E A ∈固定，()x A μ作为x 的函数确定了论域U 上的一个未确知子集。

显见A ~是以U 中对象x 为元素的集合，且x 以隶属度()x A μ属于A ~。

由于()10≤≤x A μ，所以A ~是一个不确定性集合。

若()x A μ=1，说明x 完完全全在A ~中；含意是x 只具有性质A ，不具有E 中的其它性质。

若()x A μ=0，表示x 完全不在A ~中；含意是x 完完全全不具有性质A 。

若0<()x A μ<1，表明x 以()x A μ的程度在A ~中，即以()x A μ的程度具有性质A ，言外之意，x 以1-()x A μ的程度具有A 以外的性质，即具有性质A E -。

在此应该注意：A ~的原像集A ，E A ∈是一个确定性集合，A ~是U 中使()x A μ>0的那些x 构成的集合，这些x以()x A μ的程度具有性质A ；所以A ~是一个不确定性集合，而A 是通常的属性集合。

由于未确知集A ~是U 中元素构成的不确定性集合，对于U 上的不同未确知集可以建立未确知集合之间的运算。

1. 子集设U 为论域，F 是U 上的性质空间，E 是F 的σ代数，()()x E U A μ,,是未确知测度空间，E A E A ∈∈21,,以()x A 1μ为隶属度函数确定了U 上的未确知子集1~A ，以()x A 2μ为隶属度函数确定了U 上的未确知子集2~A ，若21A A ⊆，则称1~A 是2~A 的子集，记成1~A ⊆2~A 。