2022-2023学年四川省广安二中高二(上)期末数学试卷(理科)(含答案解析)

2022-2023学年四川省广安二中高二（上）期末数学试卷（理科）1. 已知直线l过A(−1,1)、B(−1,3)两点，则直线l的倾斜角的大小为( )A. 不存在B. π3C. π2D. 3π42. 在空间直角坐标系中，已知点A(4,−3,5)，B(−2,1,−7)，则线段AB的中点坐标是( )A. (2,−2,−2)B. (1,−1,−1)C. (1,1,1)D. (2,2,2)3. 已知数据x1，x2，…x n是某市n(n≥3,n∈N∗)个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是( )A. 年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B. 年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大C. 年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变D. 年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变4. 如图是一个程序框图，若输入的a，b分别为8，4，则输出的n等于( )A. 2B. 3C. 4D. 55. 与圆C：(x+2)2+(y−2)2=1关于直线x−y+1=0对称的圆的方程为( )A. (x−1)2+(y+1)2=1B. (x+1)2+(y+1)2=1C. (x−1)2+(y−1)2=1D. (x+1)2+(y−1)2=16. 已知两个变量x和y之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组x，y的样本数据如表所示：根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是( )A. y=0.21x+0.53B. y=0.25x+0.21C. y=0.28x+0.16D. y=0.31x+0.117. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则点C的轨迹为( )A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线8. 下列叙述中正确的是( )A. 若a、b、c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”B. 集合{x|ax2+bx+c=0,x∈R}的元素个数有两种可能性C. 命题“x=1或y>2”的否定是“x≠1且y≤2”D. 若a、b、c∈R，则“不等式ax2+bx+c≥0对一切实数x都成立”的充分条件是“b2−4ac≤0”9. 设F1、F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=3a2上一点，△F2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则E的离心率为( ) A. 12B. 23C. 34D. 4510. 已知O为坐标原点，F1，F2分别是双曲线x24−y23=1的左、右焦点，点P为双曲线左支上任一点(不同于双曲线的顶点).在线段PF2上取一点Q，使PQ=PF1，作∠F1PF2的平分线，交线段F1Q于点M，则|OM|=( )A. 12 B. 2 C. 4 D. 111. 在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，在边CD 上随机取一点P ，则使△APB 的最大边是AB 的概率是( )A.4−√74B. √74 C. 3√78D.√7−2212. 设拋物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点是F ，直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，且∠PFQ =2π3，线段PQ 的中点A 到拋物线C 的准线的距离为d ，则(|PQ|d )2的最小值为( )A. √3B. √33 C. 3 D. 1313. 从800名同学中，用系统抽样的方法抽取一个20人的样本，将这800名同学按1∼800进行随机编号，若第一组抽取的号码为3，则第五组抽取的号码为______.14. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a −b|≤1，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为______.15. 直线l：y=kx+2与双曲线C：x2−y2=3的左支交于两点，则直线l的斜率k的取值范围为______.16. 已知曲线C的方程为x2+4|y|=4，则下列说法正确的是______.①曲线C关于坐标原点对称；②y的取值范围是[−1,1]；③曲线C是一个椭圆；④曲线C围成区域的面积小于椭圆E:x 24+y2=1围成区域的面积．17. 垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措．住建部于6月28日拟定了包括我市在内的46个重点试点城市，要求这些城市在2020年底基本建成垃圾分类处理系统，为此，我市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值，并估计测试的平均成绩；(2)学校要求对不及格(60分以下)的同学进行补考，现按分层抽样的方法在[50,70)的同学抽取5名，再从这5名同学中抽取2人，求这2人中至少有一人需要补考的概率．18. 已知方程x2m +y24−m=1(m∈R)表示双曲线．(1)求实数m的取值集合A；(2)关于x不等式x2−(2a+1)x+a(a+1)<0的解集记为B，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19. 已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点P(m,2)到其焦点F的距离为4.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．20. 已知圆O：x2+y2=r2(r>0)与直线3x−4y+15=0相切．(1)若直线l：y=−2x+5与圆O交于M，N两点，求|MN|；(2)已知A(−9,0)，B(−1,0)，设P为圆O上任意一点，证明：|PA||PB|为定值21. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B1，下顶点为B2，△B1FB2为等腰直角三角形，且直线FB1与圆x2+y2=1相切．(1)求椭圆C的方程；(2)过P(0,2)的直线l交椭圆C于D，E两点(异于点B1，B2，直线B1E，B2D相交于点Q.证明：点Q在一条平行于x轴的直线上．22. 经过抛物线y2=2px(p>0)外的一点A(−2,−4)且倾斜角为45∘的直线l与抛物线分别交于M1，M2.如果|AM1|，|M1M2|，|AM2|，成等比数列，(1)写出直线l的参数方程(2)求p的值．23. 已知函数f(x)=|x−1|−|x+2|.(1)求不等式f(x)<2x的解集；(2)记函数f(x)的最大值为M.若正实数a，b，c满足a+b+4c=13M，求证：1a+1b+1c≥16.答案和解析1.【答案】C【解析】解：直线l过A(−1,1)、B(−1,3)两点，.直线AB的斜率不存在，即直线l的倾斜角为π2故选：C.根据已知条件，结合直线AB垂直x轴，即可求解．本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：在空间直角坐标系中，点A(4,−3,5)，B(−2,1,−7)，则线段AB的中点坐标是(1,−1,−1).故选：B.利用中点坐标公式直接求解．本题考查线段的中点坐标的求法，考查中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：因为数据x1，x2，x3，…，xn是普通职工n(n≥3,n∈N∗)个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，中位数可能不变，也可能稍微变大，由于数据的集中程度也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大．故选：B.根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入x n+1后，数据的变化特征，易得年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，方差会变大．本题主要考查了一组数据的平均数及中位数，方差的特征，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：当n=1时，a=8+4=12，b=8，此时a>b，当n=2时，a=12+6=18，b=16，此时a>b，当n=3时，a=18+9=27，b=32，此时a<b，所以n=3，故选：B.根据程序框图，分别求出n =1，n =2，n =3时a ，b 的值，比较大小即可判断求解． 本题考查了程序框图的应用，考查了学生的识图能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：圆C ：(x +2)2+(y −2)2=1的圆心坐标为C(−2,2)，半径为1. 设点C(−2,2)关于直线x −y +1=0对称的点C′(m,n)，则{n−2m+2=−1m−22−n+22+1=0，解得m =1，n =−1.∴与圆C ：(x +2)2+(y −2)2=1关于直线x −y +1=0对称的圆的方程为(x −1)2+(y +1)2=1. 故选：A.求出已知圆的圆心坐标，进一步求得已知圆心关于直线x −y +1=0对称的点，代入圆的标准方程得答案．本题考查圆关于直线的对称圆的求法，着重考查点关于直线的对称点的求法，是基础题．6.【答案】C【解析】解：x −=1+2+3+4+55=3，y −=0.5+0.6+1+1.4+1.55=1，根据线性回归方程必过样本的中心(3,1)， 而A 、B 、D 选项均不过(3,1)，C 选项过(3,1). 故选：C.利用公式求出b ̂，a ̂，即可得出结论．本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．7.【答案】A【解析】解：在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点， 不妨设A(−a,0)，B(a,0)，设C(x,y)， 因为AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1， 所以(x +a,y)⋅(x −a,y)=1， 解得x 2+y 2=a 2+1， 所以点C 的轨迹为圆． 故选：A.设出A、B、C的坐标，利用已知条件，转化求解C的轨迹方程，推出结果即可．本题考查轨迹方程的求法，向量的数量积的应用，考查计算能力．8.【答案】C【解析】解：对于A，由a>c，不能推出ab2>cb2(当b=0时不能成立)，由ab2>cb2，根据不等式的性质可得a>c，所以a>c是ab2>cb2的必要不充分条件，故错误；对于B，当a=b=c=0时，则有{x|ax2+bx+c=0,x∈R}=R；当a=b=0，c≠0时，{x|ax2+ bx+c=0,x∈R}=⌀；当a=0，b≠0，c≠0时，方程ax2+bx+c=0，只有一个解为x=−cb，所以，{x|ax2+bx+c=0,x∈R}={−cb}；当a≠0，Δ<0时，{x|ax2+bx+c=0,x∈R}=⌀；当a≠0，Δ=0时，方程ax2+bx+c=0只有一个解，{x|ax2+bx+c=0,x∈R}的元素只有一个；当a≠0，Δ>0时，方程ax2+bx+c=0有两个解，{x|ax2+bx+c=0,x∈R}的元素只有一个；综上所述，集合{x|ax2+bx+c=0,x∈R}的元素个数为0个、1个、2个、无数个，故错误；对于C，命题“x=1或y>2”的否定是“x≠1且y≤2”，故正确；对于D，不等式ax2+bx+c≥0对一切实数x都成立，则有{a>0Δ=b2−4ac≤0，即b2−4ac≤0且a>0，故错误．故选：C.对于A，由不等式的性质及充要条件的定义判断即可；对于B，分情况求解方程ax2+bx+c=0的根的个数即可判断；对于C，根据命题的否定即可判断；对于D，由一元二次不等式恒成立求解即可．本题考查了不等式的性质、充要条件的定义、分类讨论思想、一元二次不等式恒成立问题，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵△F2PF1是底角为30∘的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=3a2上一点∴2(32a−c)=2c∴e=ca=34故选：C.利用△F2PF1是底角为30∘的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=3a2上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由双曲线定义可知PF2−PF1=2a=4，由PF1=PQ可得F2Q=4，又PF1=PQ，PM平分∠F1PF2，∴M为F1Q的中点，又O是F1F2的中点，∴OM=12F2Q=2.故选：B.根据PF1=PQ可知M为F1Q的中点，于是OM=12F2Q.本题考查双曲线的简单性质，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：由图形的对称性和题意知，当BE=AF=4，即EF=4−2(4−√42−32)=2√7−4，点P应在E，F之间时，△APB的最大边是AB.由几何概型可知，在边CD上随机取一点P，则使△APB的最大边是AB的概率为p=EFCD =√7−22，故选：D.由对称性知当BE=AF=AB=4时，E、F是P的临界位置，再根据几何概型的公式计算即可．本题主要考查了几何概型的概率公式，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：设|PF|=m，|QF|=n，过点P，Q分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P′，Q′，如下所示：则|PP′|=m ，|QQ′|=n ，因为点A 为线段PQ 的中点，根据梯形中位线定理可得，点A 到抛物线C 的准线的距离为d =|PP′|+|QQ′|2=m+n2，因为∠PFQ =2π3，所以在△PFQ 中，由余弦定理得|PQ|2=m 2+n 2−2mncos2π3=m 2+n 2+mn ，所以(|PQ|d )2=|PQ|2d2=4(m 2+n 2+mn)(m+n)2=4[(m+n)2−mn](m+n)2=4[1−mn (m+n)2]，又因为(m +n)2≥4mn ，所以mn(m+n)2≤14，当且仅当m =n 时，等号成立(m,n 显然存在)，所以(|PQ|d)2≥4(1−14)=3，则(|PQ|d)2的最小值为3. 故选：C.设出线段FP ，FQ 的长度，用余弦定理求得PQ 的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，从而(|PQ|d )2转化为m ，n 的关系式，再结合不等式即可求得其最小值．本题考查抛物线中的最值问题，处理问题的关键是充分利用抛物线的定义，还要注意到不等式的应用，属于中档题．13.【答案】163【解析】解：组距为80020=40，所以第五组抽取的号码是3+(5−1)×40=163. 故答案为：163.根据系统抽样的知识求得正确答案．本题主要考查了系统抽样的定义，属于基础题．14.【答案】49【解析】解：由题意可知，试验发生的所有事件是从1，2，3，4，5，6任取两个数，有6×6=36种不同的结果，则满足|a −b|≤1的情况有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)共16种， 所以他们“心有灵犀”的概率为49. 故答案为：49.由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从1，2，3，4，5，6任取两个数，由分步计数原理知共有6×6=36种不同的结果，再列举出满足|a −b|≤1的情况，结合古典概型的概率公式求解即可．本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．15.【答案】(1,√213)【解析】解：联立方程{y =kx +2x 2−y 2=3，消去y 并整理得(1−k 2)x 2−4kx −7=0，(∗) 若直线y =kx +2与双曲线x 2−y 2=3的左支交于不同的两点， 则方程(∗)有两个不相等的负根，所以{ Δ=16k 2+28(1−k 2)>0x 1x 2=−71−k 2>0x 1+x 2=4k 1−k2<0，解得1<k <√213. 故答案为：(1,√213).联立直线与双曲线的方程，得到(1−k 2)x 2−4kx −7=0，(∗)，由题意可知(∗)有两个不相等的负根，列出不等式组求解k 即可．本题考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．16.【答案】①②④【解析】解：曲线C 的方程为x 2+4|y|=4，可变为x 24+|y|=1.①设点A(x 0,y 0)，满足x 02+4|y 0|=4，则点A 关于原点对称的点为A′(−x 0,−y 0)，因为(−x 0)2+4|−y 0|=x 02+4|y 0|=4，所以点A′也在曲线C 上，即曲线C 关于坐标原点对称．故①正确；②因为x 2≥0，所以|y|=1−x 24≤1，则y 的取值范围是[−1,1]，故②正确；③y ≥0时，曲线C 的方程可化为y =1−x 24，其中−2≤x ≤2，y <0时，曲线C 的方程可化为12，其中−2≤x ≤2，所以曲线C 的图形是两个抛物线的部分组成的，不是椭圆．故③不正确；④当y≥0时，−2≤x≤2，设y1=1−x 24,y2=√1−x24,t=1−x24，则0≤t≤1，y1−y2=t−√t=√t(√t−1)≤0，当且仅当t=0或t=1时等号成立，所以在第一象限内，椭圆的图形在曲线C的上方．根据曲线C和椭圆的对称性可得椭圆的图形在曲线C的外部(四个顶点都在曲线C上)，所以曲线C围成区域的面积小于椭圆E:x 24+y2=1围成区域的面积．故④正确．故答案为：①②④．①在曲线C上任取一个点，找到它关于原点对称的点，判断是否也在曲线C上即可．②把y用x表示，借助x的范围即可得y的取值范围．③分析曲线C的图形是两个抛物线的部分组成的即可．④在第一象限内，分析椭圆的图形与曲线C的图形的位置关系即可判断．本题主要考查曲线与方程，涉及椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题意得(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1，解得a=0.005，平均成绩为：55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=75.5；(2)由题意知抽取的5人中，(50,60)(不及格)有两人，记为a，b；(60,70)有 3 人，记为A，B，C.随机试验的所有可能结果有：ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共 10 个，其中至少有 1 人需要补考的结果有：ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC共 7 个，所以所求概率为P=710.【解析】(1)根据频率分布直方图可求出a及平均值；(2)由分层抽样抽出样本编号，列出所有基本事件，根据古典概型求解．本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题．18.【答案】解：(1)已知方程x2m +y24−m=1(m∈R)表示双曲线，则m(4−m)<0，即m<0或m>4，即集合A={m|m<0或m>4}；(2)由题意可得B={x|a<x<a+1}，又x∈B是x∈A的充分不必要条件，则B⫋A，即a≥4或a+1≤0，即实数a的取值范围为{|a≥4或a≤−1}.【解析】(1)已知方程x 2m +y24−m=1(m∈R)表示双曲线，则m(4−m)<0，然后求解即可；(2)由题意可得B={x|a<x<a+1}，又x∈B是x∈A的充分不必要条件，则B⫋A，即a≥4或a+1≤0，然后求解即可．本题考查了充分必要条件，重点考查了双曲线的性质，属基础题．19.【答案】解：(1)由已知及抛物线定义可得2+p2=4，∴p=4，∴抛物线C的方程为x2=8y.(4分)(2)由(1)可得F(0,2)，∴l：y=x+2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将l方程代入C方程整理得y2−12y+4=0，∴y1+y2=12，∴|AB|=y1+y2+p=16，原点O到直线l的距离为d=√2，∴△OAB的面积S=12|AB|d=8√2.(10分)【解析】(1)利用抛物线的定义，求解p，得到抛物线方程．(2)求出直线方程，设出A、B坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式结合点到直线的距离，求解三角形的面积即可．本题考查抛物线的简单性质以及抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意知，圆心O到直线3x−4y+15=0的距离d=√9+16=3=r所以圆O：x2+y2=9又圆心O到直线l：y=−2x+5的距离d1=√4+1=√5所以|MN|=2√9−d12=4，(2)证明：设P(x0,y0)，则x02+y02=9，所以|PA||PB|=√(x0+9)2+y2√(x0+1)+y0=√x2+18x0+81+y2√x0+2x0+1+y0=√18x0+902x0+10=3为定值．【解析】(1)利用直线与圆相切，列出方程求出圆的半径，即可得到圆的方程．然后利用圆心距半径半弦长的关系求解弦长．(2)设出P的坐标，利用距离公式化简求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，点到直线的距离公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．21.【答案】解：(1)由题可知，F(c,0)，B1(0,b)，ΔB1FB2为等腰直角三角形，则b=c，又直线FB1与圆x2+y2=1相切，所以原点O到直线FB1的距离为1，直线FB1的方程为xc +yb=1，即bx+cy−bc=0，所以1=√b +c 2，而b =c ，解得b =c =√2， 又a 2=b 2+c 2=4，所以椭圆C 的标准方程为：x 24+y 22=1； (2)证明：由(1)可得B 1(0,√2)，B 2(0,−√2)，由过P(0,2)的直线l ，可设其直线方程为y =kx +2，设E(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)， 联立{y =kx +2x 2+2y 2=4，整理可得：(1+2k 2)x 2+8kx +4=0， Δ>0，即k 2>12， 且x 1+x 2=−8k 1+2k2，x 1x 2=41+2k2，直线B 1E 的方程为y =y 1−√2x 1x +√2， 直线B 2D 的方程为y =y 2+√2x 2x −√2，设直线B 1E 和B 2D 的交点为Q(x,y)，则√2y−√2=12√2)x (y 1−√2)=12√2)x 1kx x +(2−√2)x把x 1=−8k 1+2k2−x 2，x 1x 2=41+2k2，代入上式，得4k1+2k2+(2+√2)(−8k1+2k2−x 2)4k 1+2k2+(2−√2)x =√2)−(2+√2)(1+2k 224k+(2−√2)(1+2k 2)x =√2)(1+2k 22√2)]4k+(2−√2)(1+2k 2)x =−(3+2√2)，整理得y =1，故点Q 在一条平行于x 轴的直线y =1上，得证．【解析】(1)由题意可得b =c ，再由直线FB 1与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，可得b ，c 的值，进而求出a 的值，求出椭圆的方程；(2)设直线l 的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线B 1E ，B 2D 的方程，两式联立可得Q 的纵坐标为定值1，可证得Q 在平行于x 轴的直线上． 本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)直线l 过点A(−2,−4)且倾斜角为45∘，则直线l 的参数方程为{x =−2+t ⋅cos45∘y =−4+t ⋅sin45∘，(t 为参数)，即直线l 的参数方程为{x =−2+√22ty =−4+√22t (t 为参数).(2)将直线l 的参数方程代入y 2=2px ，化为t 2−2√2(4+p)t +8(4+p)=0，由根与系数的关系，得到t 1+t 2=2√2(4+p)，t 1t 2=8(4+p)， ∵|M 1M 2|2=|AM 1|⋅|AM 2|，根据参数的意义可得(t 1−t 2)2=|t 1|⋅|t 2|=t 1t 2， ∴(t 1+t 2)2=5t 1t 2，代入可得[2√2(4+p)]2=5×8(4+p)， 化为4+p =5，解得p =1.【解析】(1)直线l 过点A(−2,−4)且倾斜角为45∘，可得直线l 的参数方程为{x =−2+tcos45∘y =−4+tsin45∘(t 为参数)，化简即可得出结论．(2)将直线l 的参数方程代入y 2=2px ，得到t 2−2√2(4+p)t +8(4+p)=0.根据已知可得|M 1M 2|2=|AM 1|⋅|AM 2|，把根与系数的关系代入即可得出结论．本题考查了直线的参数方程、抛物线的标准方程及其性质、方程思想方法、等比数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)当x ≤−2时，f(x)<2x 可化为1−x +x +2<2x ，即x >32，结合x ≤−2知此时无解；当−2<x <1时，f(x)<2x 可化为1−x −x −2<2x ，即x >−14，结合−2<x <1得−14<x <1； 当x ≥1时，f(x)<2x 可化为x −1−x −2<2x ，即x >−32，结合x ≥1得x ≥1. 综上，x >−14，故不等式f(x)<2x 的解集为：(−14,+∞)；(2)f(x)=|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)|=3，当x ≥1时等号成立，故f(x)的最大值M =3，于是a +b +4c =13M =1，故由柯西不等式可得：1a +1b +1c =(1a +1b +1c )(a +b +4c)≥(√a √a +√b √b √c ⋅2√c)2=16.【解析】(1)根据零点分段去掉绝对值，分别求出x 的取值范围，可得不等式的解集；(2)由绝对值三角不等式求出f(x)的最大值为M ，将其代入化简，根据柯西不等式求出最值，并写出取等条件．本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式在求最值中的应用，属于中档题．。