北师大版-数学-八年级上册-《立方根》典型例题
《立方根》典型例题
例1 求下列各数的立方根：
（1）27，（2）－125，（3）0.064，（4）0，（5）.343
8 解 （1）2733= ，∴27的立方根是3，记作.3273=
（2）125)5(3-=- ，∴－125的立方根是－5，记作.51253-=-
（3）064.04.03= ，∴0.064的立方根是0.4，记作4.0064.03=．
（4）003= ，∴0的立方根是0，记作.003=
（5）3438)72
(3= ，∴3438的立方根是72，记作.7
234383= 例2 求下列各式中的x ：
（1）012583=+x （2）()343143
=-x ； （3）064252=-x ； （4）02713=+x ．
分析：将方程整理转为求立方根或平方根的问题.
解答：（1）∵012583=+x ，∴12583-=x ，
即81253-=x ，∴38125-=x ，即2
5-=x ； （2）∵()343143=-x ，∴334314=-x ，即714=-x ，∴2=x ；
（3）∵064252=-x ，∴64252=x ，∴64
25±=x ，即85±=x ； （4）∵02713=+x ，∴2713
-=x ，∴3271-=x ，即31-=x ． 说明：求解过程中注意立方根和平方根的区别，最终结果解的个数不同.
例3 圆柱形水池的深是1.4m ，要使这个水池能蓄水80吨（每立方米水有1吨），池的底面半径应当是多少米？（精确到0.1米）．
分析 圆柱的体积h r V ?=2
π，由于蓄水80吨，每吨水的体积是1立方米，因此水池的体积至少应为80立方米．
解 4.1,80,2==?=h V h r V π，
∴3.4,4.114.3802≈??=r r （米）（负值舍去）．
答：水池底面半径为4.3米．
例4 阅读下面语句：
①1-的k 3次方（k 是整数）的立方根是1-．
②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数或者是1，或者是0．
③如果0≠a ，那么a 的立方根的符号与a 的符号相同．
④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数．
⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数．
在上面语句中，正确的有（ ）
A ．1句
B ．2句
C ．3句
D ．4句
分析：当1=k 时，3331)1(-=-k ，而当2=k 时，11)1()1(33633==-=-k ，可见①不正确；1)1(3-=-，这说明一个数的立方根等于它本身时，这个数有可能等于1-，所以②不正确；当0>a 时，3a 是正数，当0=，这个例子足以说明一个正数的算术平方根未必小于原来的数，3001.0的情况与此相同；课本中写到：“如果0>a ，那么33a a -=-”，这个关系式对 0 解答 B 说明 考查立方根的定义及性质． 例5 设8 27- =x ，则2x ，3x ，32x 分别等于（ ） A ．8 9,23,827-- B ．89,23,827- C ．49,23,827- D ．49,23,827-- 分析 64 729)827(2=-， ∵,64 729)827(2= ∴ 827)827(2=-． ∵ 8 27)2 3(2-=，∴233-=x ． ∵647292=x ，64729)49(3=，∴4932=x ． 解答 C 说明 考查平方根、立方根的求法． 例6 有下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0． 其中错误的是 A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④ 分析 一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数；0的立方根是0．立方根等于本身的数有0，1和1-．所以①、②、④都是错的，只有③正确． 解答 B 说明 立方根性质与平方根性质既有联系又有区别，不能混淆． 例7 下列语句正确的是（ ） A ．64的立方根是2 B ．-3是27的负立方根 C ．216125的立方根是6 5± D ．2)1(-的立方根是1- 分析 A 中64=8，它的立方根是2，对；B 中27只有一个正的立方根，没有负的立方根，错；C 中正数的立方根应只有一个，错；D 中2 )1(-=1，它的立方根是1，而不是1-． 解答 A 说明 注意立方根意义 例8 下列语句对不对？为什么？ （1）0.027的立方根是0.3． （2）3a 不可能是负数． （3）如果a 是b 的立方根，那么0≥ab ． （4）一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1． 分析 立方根的定义是解题的基础，一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立 方根．因为开立方与立方互为逆运算，我们知道正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是零．也就是说，一个数的立方根是惟一的，这是与平方根的最主要的区别．从这些出发考虑问题，上述题不难解答． 解答 （1）正确．因为027.0)3.0(3 =，所以0.027的立方根是0.3． （2）不正确．当a 是负数时，就有一个负的立方根，即3a 就是负数． （3）正确．如果b 是正数，它的立方根a 也是正数；如果b 是负数，它的立方根a 也是负数；如果b 是零，它的立方根是零，所以0≥ab ． （4）不正确．一个正数的平方根均有两个，而立方根只有一个，通常不可能相等．而平方根只有一个的数是0，0的立方根也恰是零．因此一个数的平方根与立方根相同，这个数只能是零． 说明 立方根与平方根有相似之处，但也有区别，主要是：一个数的立方根是惟一的，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，不注意这一点，往往容易出错． 例9 一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，它是由三层完全相同的小正方体组成的，体积为216立方厘米，求组成它的每个小正方体的棱长． 分析 立方体的体积等于棱长的立方，所以这是一个求立方根的问题． 解答1：∵21663=，∴62163=，即这种玩具的棱长为6厘米，所以每个小正方体的棱长为236=÷（厘米） 解答2：设小正方体的棱长为a 厘米，则玩具的棱长为a 3厘米，由题意得 216)3(3 =a ，∴216273=a ，83=a ，2=a （厘米）． 解答3：设小正方体的棱长为a 厘米．则玩具的棱长为a 3厘米，由题意得216)3(3=a ，∴621633==a ，∴2=a （厘米）． 实数(二)立方根 重点：1、开立方与立方的互逆运算关系并能灵活运用 2、理解立方根的概念，会用立方运算求某些数的立方根 3、明确平方根与立方根的区别 难点：明确立方根与平方根的区别，知道立方根定义与空间形体有密切的联系 知识点： 1、立方根的概念： ，表示为 2、立方根的性质：正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0。（任意数都有立方根，且只有一个） 例题： 例1：求下列各数的立方根： ⑴-64；⑵0.125；⑶-27 512；⑷64 例2：求下列各式的值： ⑴327--； ⑵3343125- ； ⑶3729.0-； ⑷333643218164+ ---+-； ⑸327 102-- 例3：若A=323+-+b a b a 是b a 3+的算术平方根，B=1221---b a a 为21a -的立方根，试求A+B 的平方根 例4：⑴填写下表： 上表中已知数点a 的小数点的移动与它的立方根3a 的小数点的移动间有何规律？这个规律用倍数关系的语言应怎样叙述？ ⑵利用规律计算：已知的值求n m n m b b ,,12000,012.0,1233=== ⑶如果x b x 求,1003= 练习： 1．下列各式中正确的是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 2． 的立方根是（ ）． （A ）－4 （B ）±4 （C ）±2 （D ）－2 3． ，则 的值是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 4．下列四种说法中：（1）负数没有立方根；（2）1的立方根与平方根都是1；（3） 的平方根是 ；（4） ．共有（ ）个是错误的． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5．下列说法正确的是（ ） （A ）27的立方根是3±（B ）27102 -的立方根是3 4- （C ）2是-8的立方根（D ）-27的三次方根是3 6．下列说法：（1）只有正数才有平方根；（2）负数没有立方根；（3）一个数的立方根不是正数就是负数；（4）任何数的立方根都只有一个。其中正确的说法的个数有（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．若一个数的算术平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ） （A ）1 （B ）0或1 （C ）0 （D ）非负数 8．若 ，则 叫做 的__________，记作___________． 《平方根》典型例题及练习 平方根练习题 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），算术平方根 2、平方根的性质：（1）一个正数有 个平方根，它们 （2）0的平方根 是 ；（3） 没有平方根． 3、重要公式： （1）=2 )( a （2）{==a a 2 4、平方表： 5.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 6.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 7.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 8. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.1827 26 的立方根是________. 例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 例2、 36的平方根是（ ） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义？ （1） 5 （2）2- （3）4- （4） 2 )3(- （5） 310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．1 2+a D ．12+± a 强化训练 一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B 4 2 2． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．14 3．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 25 1625162 =? ?? ? ? ?-- 4．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、 7是2 )7(-的平方根，即 7)7(2=- C 、7±是49的平方根， 即7 49=± D 、7±是49的平方根，即749±= 5．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根； (4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个 6．下列说法正确的是（ ） A ．任何数的平方根都有两个 B ．只有正数才有平方根 《立方根》典型例题 例1 求下列各数得立方根: (1)27,(2)－125,(3)0、064,(4)0,(5) 解:(1),∴27得立方根就是3,记作 (2),∴－125得立方根就是－5,记作 (3),∴0、064得立方根就是0、4,记作. (4),∴0得立方根就是0,记作 (5),∴得立方根就是,记作 例2 求下列各式中得: (1) (2); (3); (4). 分析:将方程整理转为求立方根或平方根得问题、 解答:(1)∵,∴, 即,∴,即; (2)∵,∴,即,∴; (3)∵,∴,∴,即; (4)∵,∴,∴,即. 说明:求解过程中注意立方根与平方根得区别,最终结果解得个数不同、 例3圆柱形水池得深就是1、4m,要使这个水池能蓄水80吨(每立方米水有1吨),池得底面半径应当就是多少米？(精确到0、1米). 分析:圆柱得体积,由于蓄水80吨,每吨水得体积就是1立方米,因此水池得体积至少应为80立方米. 解:, ∴(米)(负值舍去). 答:水池底面半径为4、3米. 例4 阅读下面语句: ①得次方(k就是整数)得立方根就是. ②如果一个数得立方根等于它本身,那么这个数或者就是1,或者就是0. ③如果,那么a得立方根得符号与a得符号相同. ④一个正数得算术平方根以及它得立方根都小于原来得数. ⑤两个互为相反数得数开立方所得得结果仍然互为相反数. 在上面语句中,正确得有( ) A.1句 B.2句 C.3句 D.4句 分析:当时,,而当时,,可见①不正确;,这说明一个数得立方根等于它本身时,这个数有可能等于,所以②不正确;当时,就是正数,当时,就是负数,所以③就是正确得;,这个例子足以说明一个正数得算术平方根未必小于原来得数,得情况与此相同;课本中写到:“如果,那么”,这个关系式对时也就是正确得,只不过相当于等式两边调换了位置,所以⑤就是正确得. 解答: B 说明:考查立方根得定义及性质. 例5 设,则,,分别等于( ) A. B. C. D. 分析:, ∵∴ . ∵ ,∴. ∵,,∴. 解答: C 说明:考查平方根、立方根得求法. 例 6 有下列命题:①负数没有立方根;②一个实数得立方根不就是正数就就是负数;③一个正数或负数得立方根与这个数同号,0得立方根就是0;④如果一个数得立方根就是这个数本身,那么这个数必就是1与0. 其中错误得就是 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 分析:一个正数得立方根就是一个正数,一个负数得立方根就是一个负数;0得立方根就是0.立方根等于本身得数有0,1与.所以①、②、④都就是错得,只有③正确. 解答:B 实数知识点总结 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8 等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数 小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性： a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个 平方根练习题 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），算术平方根 2、平方根的性质：（1）一个正数有 个平方根，它们 （2）0的平方根是 ；（3） 没有平方根． 3、重要公式： （1）=2 )( a （2） { ==a a 2 4、平方表： { 5.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 6.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 7.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 8. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是27 26 的立方根是________. 例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ ^ ⑤ 是的算术平方根； ⑥ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 例2、 36的平方根是（ ） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义 （1） 5 （2）2- （3）4- （4） 2 )3(- （5） 310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） - A ．()1+a B ．()1+±a C ．12 +a D ．1 2 +±a 强化训练 一、选择题 1．下列说法中正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B 4 2 2． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．14 3．下列结论正确的是（ ） \ A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 25 1625162 =? ?? ? ? ?-- 4．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、 7是2 )7(-的平方根，即 7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即7 49=± D 、7±是49的平方根，即749±= 5．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根； (4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个 《实数》易错题和典型题 一、平方根、算术平方根、立方根的基本概念和区别 1.25的平方根是±5的数学表达式是（ ） A.525±= B.525= C.525±=± D.525-= 2.81的算数平方根是 ；16的平方根是 ，=338- ，64-的立方根是 。 3.如果x 是23-）（的算数平方根，y 是16的算数平方根，则1xy x 2++= 。 4.若2x =729，则x= ；若2x =2 4-）（，则x= 。 5.已知2x-1的负的平方根是-3，3x+y-1的算数平方根是4，求x+2y 的平方根。 6.一个数的平方根等于这个数，那么这个数是 。 7.下列语句及写成的式子正确的是（ ） A.8是64的平方根，即864= B.864648=±的平方根，即是 C.864648±=±的平方根，即是 D.88-8-822=）（的算数平方根，即）是（ 9.已知有理数m 的两个平方根是方程4x+2y=6的一组解，则m= 。 10.已知=±x 11-x 232，则的平方根是）（ 。 二、对21-a ） （ 的化简：去绝对值符号 1.化解=22-1）（ ；=23-2） （ ；=22-3）（ 。 2.如果4m 2=，则m= ；如果1-a 1-a 2=）（，则a 的取值范围是 。 3.已知b a a -b b -a 10b 6a 2 +===，则且，= 。 4.实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化解233c -a b a -b -c a ）（）（+++ 三、被开方数的小数位移动与结果的关系 1.已知==200414.12，那么 ；=0 2.0 。 2.已知==23604858.0236.0，那么（ ） A.4858 B.485.8 C.48.58 D.4.858 3.若===x 68.28x 868.26.233,3，那么， 。 4.已知853.32.57,788.172.58301.0572.033,3===，，，则=357200 ；=300572.0 ； =35720 ；3572 。 《立方根》典型例题 例1 求下列各数的立方根： （1）27，（2）－125，（3）0.064，（4）0，（5） .343 8 例2 求下列各式中的x ： （1）012583=+x （2）()343143=-x ； （3）064252=-x ； （4）02713=+x ． 例3 圆柱形水池的深是1.4m ，要使这个水池能蓄水80吨（每立方米水有1吨），池的底面半径应当是多少米？（精确到0.1米）． 例4 阅读下面语句： ①1-的k 3次方（k 是整数）的立方根是1-． ②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数或者是1，或者是0． ③如果0≠a ，那么a 的立方根的符号与a 的符号相同． ④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数． ⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数． 在上面语句中，正确的有（ ） A ．1句 B ．2句 C ．3句 D ．4句 例5 设8 27-=x ，则2x ，3x ，32x 分别等于（ ） A ．89,23,827-- B ．8 9,23,827- C ．49,23,827- D ．4 9,23,827-- 例6 有下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0． 其中错误的是 A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④ 例7 下列语句正确的是（ ） A ．64的立方根是2 B ．-3是27的负立方根 C ．216125的立方根是6 5± D ．2)1(-的立方根是1- 例8 下列语句对不对？为什么？ （1）0.027的立方根是0.3． （2）3a 不可能是负数． （3）如果a 是b 的立方根，那么0≥ab ． （4）一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1． 例9 一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，它是由三层完全相同的小正方体组成的，体积为216立方厘米，求组成它的每个小正方体的棱长． 立方根专题复习（教师版） 【学习目标】 1. 了解立方根的含义； 2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 【要点梳理】 要点一、立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果 3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点诠释：一个数a 的立方根，用3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 要点二、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质 3 3a a -=- 33 a a = () 3 3 a a = 要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，30.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝. 【典型例题】 类型一、立方根的概念 1、下列结论正确的是（ D ） A ．64的立方根是±4 B ．12- 是1 6 -的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1 D 332727-= 举一反三： 【变式1】下列说法正确的是（ B ） A ．一个数的立方根有两个 B ．一个非零数与它的立方根同号 C ．若一个数有立方根，则它就有平方根 D ．一个数的立方根是非负数 【变式2】下列说法正确的是（ D ） A ．﹣4的立方是64 B ． 0.1的立方根是0.001 C ． 4的算术平方根是16 D ． 9的平方根是±3 类型二、立方根的计算 （4）《实数》知识点总结及典型例题练习题 第一节、平方根 1. 平方根与算数平方根的含义 平方根：如果一个数的平方等于a ，那么数x 就叫做a 的平方根。即a x =2，记作x=a ± 算数平方根:如果一个正数x 的平方等于a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，即x 2=a ，记作x=a 。 ２.平方根的性质与表示 ⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根：a ±（根指数２省略） ０有一个平方根，为０，记作00= 负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算 开平方：求一个数a 的平方根的运算。 a a =2==???-a a 0<≥a a ()a a =2 （0≥a ） ⑷a 的双重非负性：0≥a 且0≥a （应用较广） 例：y x x =-+-44 得知0,4==y x ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。 区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=４开平方后，得____ (6)若0>>b a ，则b a > (7)() ) 0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a 典型习题： （1）求算数平方根与平方根 1:求下列数的平方根 36 0.09 （-4）2 0 10 2:求eg1中各数的平方根 （2）解简单的二次方程 3:2 81250x -= 4 :4(x+1)2=8 （3）被开方数的意义 5:若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1) 6:实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a （4）:有关x 的取值范围目前中考的所有考点 考点： 例题：求使得下列各式成立的x 的取值范围 7:53-x 8: 当______m 时，m -3有意义；当______m 时，3 3-m 有意义 9: x -11 10.等式1112-=+?-x x x 成立的条件是（ ）. A 、1≥x B 、1-≥x C 、11≤≤-x D 、11≥-≤或x (5)非负性 知识点：总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用． 典型例题一 例01 判断正误 1．8的立方根是2± 2．0.27的立方根是0.3． 3．-4是64的立方根． 4．-125的立方根是-5． 5．-2是-4的平方根． 6．a 表示a 的平方根． 7．525±=． 8．9813=． 9．-0.5是-0.125的立方根． 10．3273-=- 解：1．∵8只有一个立方根2，∴本题结论是错误的． 2．∵027.0)3.0(3=，∴本题的结论是错误的． 3．∵ 64)4(3-=-，∴-4是-64的立方根，故本题结论是错误的． 4．∵ 125)5(3 -=-，∴ 本题结论正确． 5．∵ 负数没有平方根，∴ 本题结论是错误的． 6．∵ a 只表示a 的算术平方根，∴本题的结论也是错误的． 7．∵ 525=，∴ 本题结论也是错误的． 8．∵ 9是81的算术平方根，不是81的立方根，∴ 本题的结论是错误的． 9．∵ 125.0)5.0(3 -=-，本题结论正确． 10．∵ 27)3(3-=-，∴本题结论正确． 说明： ①命题目的：这组判断很好，它从各个侧面考查学生掌握立方根与平方根的概念． ②解题关键：对概念的灵活运用． ③错解剖析：如认为525±=是正确的，产生这种原因的主要问题在于对25的意义理解不透． 典型例题二 例02．阅读下面语句： ①1-的k 3次方（k 是整数）的立方根是1-． ②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数或者是1，或者是0． ③如果0≠a ，那么a 的立方根的符号与a 的符号相同． ④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数． ⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数． 在上面语句中，正确的有（ ） A ．1句 B ．2句 C ．3句 D ．4句 分析：当1=k 时，3331)1(-=-k ，而当2=k 时，11)1()1(336 33==-=-k ，可 见①不正确；1)1(3-=-，这说明一个数的立方根等于它本身时，这个数有可能行装于1-，所以②不正确；当0>a 时，3a 是正数，当0=，这个例子足以说明一个正数的算术平方根未必小于原来的数， 3 001.0的情况与此相同；课本中写到：“如果0>a ，那么33a a -=-”，这个关系式对 0 平方根与立方根典型题大全 一、填空题 1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________ 2．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 3．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 4.x ==则 ，若,x x =-=则 。 4．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ； 5．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义； 6．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 7．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 二、选择题 8.若2x a =，则（ ） A.0x > B. 0x ≥ C. 0a > D. 0a ≥ 8．2)3(-的值是（ ）． A ．3- B ．3 C ．9- D ．9 9．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） A 、1 B 、9 C 、4 D 、5 10．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 11．一个等腰三角形的两边长分别为25和32， 则这个三角形的周长是（ ） A 、32210+ B 、3425+ C 、32210+或3425 + D 、无法确定 12.若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤ 13.若n 为正整数,则2 ） A ．-1 B.1 C.±1 D.21n + 14.若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A.01a << B.0a > C. 1a < D. 1a > 三、解方程 12. 8)12(3-=-x 13．4(x+1)2=8 14. 2(23)2512x x -=- 四、解答题 15．已知：实数a 、b 满足条件0)2(12=-+-ab a 试求)2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab ΛΛ的值 立方根 典型例题 例1 求下列各数的立方根： （1）27，（2）－125，（3）0.064，（4）0，（5）.3438 解：（1）2733= ，∴27的立方根是3，记作.3273= （2） 125)5(3-=- ，∴－125的立方根是－5，记作.51253-=- （3）064.04.03= ，∴0.064的立方根是0.4，记作4.0064.03=． （4）003= ，∴0的立方根是0，记作.003= （5） 3438)72(3= ，∴3438的立方根是72，记作.7234383= 例2 求下列各式中的x ： （1）012583=+x （2）()343143 =-x ； （3）064252=-x ； （4）02713 =+x ． 分析：将方程整理转为求立方根或平方根的问题. 解答：（1）∵012583=+x ，∴12583-=x ， 即81253- =x ，∴38125-=x ，即25-=x ； （2）∵ ()343143=-x ，∴334314=-x ，即714=-x ，∴2=x ； （3）∵064252=-x ，∴64252=x ，∴6425±=x ，即85±=x ； （4）∵02713=+x ，∴2713- =x ，∴3271-=x ，即31-=x ． 说明：求解过程中注意立方根和平方根的区别，最终结果解的个数不同. 例3 圆柱形水池的深是1.4m ，要使这个水池能蓄水80吨（每立方米水有1吨），池的底面半径应当是多少米？（精确到0.1米）． 分析：圆柱的体积 h r V ?=2π，由于蓄水80吨，每吨水的体积是1立方米，因此水池的体 积至少应为80立方米． 解： 4.1,80,2==?=h V h r V π， ∴3.4,4.114.3802≈??=r r （米）（负值舍去）． 答：水池底面半径为4.3米． 例4 阅读下面语句： ①1-的k 3次方（k 是整数）的立方根是1-． ②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数或者是1，或者是0． ③如果0≠a ，那么a 的立方根的符号与a 的符号相同． ④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数． ⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数． 在上面语句中，正确的有（ ） A ．1句 B ．2句 C ．3句 D ．4句 分析：当1=k 时，3331)1(-=-k ，而当2=k 时， 11)1()1(33633==-=-k ，可见①不正确；1)1(3-=-，这说明一个数的立方根等于它本身时，这个数有可能等于1-，所以 ②不正确；当0>a 时，3a 是正数，当0=，这个例子足以说明一个正数的算术平方根未必小于原来的数，3001.0的情况与此相同；课本中写到：“如果0>a ，那么33a a -=-”，这个关系式对 0 平方根 算术平方根 立方根三说 一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要 1. 平方根、算术平方根的概念与性质 如果一个数x 的平方等于a （即x a 2=），那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根），记作：x a =±，这里a 是x 的平方数，故a 必是一个非负数即a ≥0；例如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，表示为()a a ≥0，例如16的算术平方根是164=，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①a ≥0；②a ≥0。 2. 平方根、算术平方根的区别与联系 区别：①定义不同； ②个数不同； ③表示方法不同； ④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。 联系：①它们之间具有包含关系； ②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数； ③0的平方根以及算术平方根均为0。 3. 立方根的定义与性质 如果一个数x 的立方等于a （即x a 3 =），那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根），记作：x a =3。 立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 二、解题中常见的错误剖析 例1. 求()-32 的平方根。 错解：() -=392 ()∴-32 的平方根是-3 剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而()-=392是一个正数，故它的平方根应有两个即±3。 例2. 求9的算术平方根。 错解： 392= ∴9的算术平方根是3 剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而导致误解，事实上本题9就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。 93=，而3的算术平方根为3，故9的算术平方根应为3。仿此你能给出64的平方根的结果吗？ 三、典型例题的探索与解析 例3. 已知：M a a b =++-82是a +8算数平方根，N b a b =--+324是b -3立方根，求M N +的平方根。 分析：由算术平方根及立方根的意义可知a +≥80 a b a b +-=<>-+=<>22 12432 联立<1><2>解方程组，得：a b ==13， 立方根-知识讲解-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 立方根 【学习目标】 1. 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根； 2. 了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根； 3. 会用计算器求立方根. 【要点梳理】 要点一、立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，记作3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数.符号“3”读作“三次根号”. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点诠释：开立方和立方互为逆运算. 要点二、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质 33a a -=- 33a a = ()33a a = 要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，30.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝. 【典型例题】 类型一、立方根的概念 1、下列结论正确的是（ ） A ．64的立方根是±4 B ．12-是16-的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1 D 332727-= 【答案】D ； 【解析】64的立方根是4；12-是18 -的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1. 【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同； 33a a -=-. 举一反三： 【变式】下列说法正确的是（ ） A ．一个数的立方根有两个 B ．一个非零数与它的立方根同号 C ．若一个数有立方根，则它就有平方根 D ．一个数的立方根是非负数 【答案】B ； 提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根. 类型二、立方根的计算 2、求下列各式的值： （1）3 27102 -- （2）3235411+? （3）3364 18-? （423327(3)1---（5）10033)1(4 12 )2(-+÷-- 【答案与解析】 解：（1）310227--（23321145?+ （3）331864 -3642743 ==33=116425=729=9?+ 1=241=2???- ???- （4）23327(3)1--- =331=1-++ （5）310031(2)2 (1)4-- 3=21247=1=33÷++ 教学目标 1. 了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质； 2. 会求一个非负数的平方根、算术平方根； 3. 掌握立方根的意义，会求一个数的立方根； 4. 理解开立方与立方的关系。 重点、难点 重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。 难点：算术平方根与平方根的区别与联系。 考点及考试要求 以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主 教 学 内 容 第一课时 平方根与立方根知识梳理 1、求下列各数的算术平方根： ⑴100 ⑵6449 ⑶9 7 1 ⑷0001.0 ⑸0 2、求下列各式的值： （1）4 （2）81 49 （3）2)11(- （4）26 3、算术平方根等于本身的数有 。 4、求下列各数的算术平方根. 0025.0， 121， 24， 2)21(-，16 9 1 5、已知,011=-++b a 求b a 2+的值. 课前检测 一. 平方根： 1. 算术平方根的概念及表示方法 如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。当0a ≥时，a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。 2. 平方根的概念及其性质 （1）平方根的定义 如果一个数的平方等于a ，即2x a =，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。即如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根。 （2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。当0a ≥时，a 的平方根表示为a ±。 （3）求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。 3. 用计算器求一个正数的算术平方根 用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。 二. 立方根： 1. 立方根的概念及表示方法 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。即如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根，记作3a 。正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0。 2. 开立方的概念 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。 3. 用计算器求立方根 很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。 第二课时 平方根与立方根典型例题 知识点一：算术平方根 例1. 下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。 （1）81； （2）16-； （3）0； 典型例题 知识梳理 【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即： 如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2 个正数x 叫做a 的算术平方根．a “根号a”，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x = 。 （2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如错误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x = a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x （6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a 初一数学下册知识点《立方根》经典例题及解析 一、选择题（本大题共72小题，共216.0分） 1.下列说法： ①实数和数轴上的点是一一对应的； ②无理数是开方开不尽的数； ③负数没有立方根； ④16的平方根是±4，用式子表示是=±4； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0， 其中错误的是（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】【分析】 此题考查了实数，数轴，相反数，绝对值，平方根及立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．解题时，根据实数，相反数，绝对值，平方根及立方根，的概念对各说法进行判断即可. 【解答】 解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确； ②无理数不一定是开方开不尽的数，例如π，错误； ③负数有立方根，错误； ④16的平方根是±4，用式子表示是±=±4，错误； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，正确， 则其中错误的是3个. 故选D． 2.在实数： 3.14159，，1.010010001…，，π，中，无理数有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了无理数的概念：无限不循环小数叫无理数．常有三种表现形式：字母π等；开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如0.1010010001…等．故选：B． 可化为4，根据无理数的定义即可得到无理数为1.010010001…，π． 【解答】 解：∵=4， ∴无理数有：1.010010001…，π． 故选B． 3.64的立方根是（） A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8 【答案】A 【解析】解：∵4的立方是64， ∴64的立方根是4． 故选：A． 如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可． 立方根 【学习目标】 1. 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根； 2. 了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根； 3. 会用计算器求立方根. 【要点梳理】 要点一、立方根的定义 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说， 表示，其中a是被开方数，3是根指数.. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点诠释：开立方和立方互为逆运算. 要点二、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质 = a = 3 a = 要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左 移动1位.0.060.6660.【典型例题】 类型一、立方根的概念 1、下列结论正确的是（） A．64的立方根是±4 B． 1 2 -是 1 6 -的立方根 C．立方根等于本身的数只有0和1D=【答案】D； 【解析】64的立方根是4； 1 2 -是 1 8 -的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1. 【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；=举一反三： 【变式】下列说法正确的是（ ） A ．一个数的立方根有两个 B ．一个非零数与它的立方根同号 C ．若一个数有立方根，则它就有平方根 D ．一个数的立方根是非负数 【答案】B ； 提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根. 类型二、立方根的计算 2、求下列各式的值： （1）3 27102 -- （2）3235411+? （3）3364 18-? （4 （5）10033)1(4 12 )2(-+÷-- 【答案与解析】 解：（1 ）（2 （3 ） 43== =9 1=241=2 ???- ???- （4 ）=331 =1 -++ （5 ） 3=21247=1=33 ÷++ 【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方. 举一反三： 【变式】（2015春?武汉校级期末）计算= ．立方根典型例题重难点和练习
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