多元函数微分学复习题及答案
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多元函数微分学复习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答
一、选择题 1.极限
lim x y x y
x y →→+00
242
=
（ B ）
(A)等于0； (B)不存在； (C)等于 1
2； (D)存在且不等于0或12
（提示：令2
2
y k x =）
2、设函数f x y x y y x
xy xy (,)sin sin
=+≠=⎧
⎨⎪⎩⎪1100
，则极限lim (,)x y f x y →→00
=
（ C ）
(A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2
（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧
⎨⎪
⎩
⎪22
2222000
，则
(,)
f x y
（ A ）
(A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续；
(C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续
（提示：①在2
20
x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,
x y →→ ，令y kx =，22
2
2
2
0(0,0)
1x x y f x k x
k
→→→===++ ，故在
220
x y +=，函数亦连续。所以，(,)f x y 在整个定义域内处
处连续。）
4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 0
处具有偏导数是它在该点存
在全微分的 （ A ）
(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；
(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5
、
设
u y
x
=arctan
，则
∂∂u x
=
（ B ） (A) x x y 22+； (B) -
+y x y 22
； (C)
y x y 22
+ ；
(D) -+x x y 22
6
、
设
f x y y x
(,)arcsin
=，则
f x '(,)21=
（ A ）
（A ）-14； （B ）14； （C ）-1
2； （D ）12
7、若
)
ln(y x z -=，
则
=∂∂+∂∂y
z y x z x
（ C ）
（A ）y
x +
； （B ）y
x -
； （C ）2
1； （D ）2
1-．
8、设y
x z arctan
=，
v
u x +=，v
u y -=，则=+v u z z
（ C ）
（A ）2
2
v u v u --； （B ）2
2
v u u v --； （C ）2
2
v
u v
u +-； （D ）2
2
v
u u
v +-． 9、若f x x x x f x x x x (,),(,)'23261
2=+=+，则
f x x y '(,)
2=
（ D ） (A)
x +
3
2
； (B)
x -
32
； (C)
21
x +； (D)
-+21
x 10、
设
z y x
=，
则
(
)(,)∂∂∂∂z x z
y
+=21
（ A ） (A) 2 ； (B) 1+ln2 ； (C) 0 ；
(D) 1 11、设函数z x y =-+122
，则点
(,)
00是函数 z 的
（ B ）
（A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点；
（C ）极小值点但非最小值点； （D ）
极小值点且是最小值点。
12、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 0
(,)处，
有 （ C ）
2
)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则
（A ）点P 0
是函数z 的极大值点； （B ）点P 0
是函数z 的极小值点；
（C ）点P 0
非函数z 的极值点； （D ）
条件不够，无法判定。 二、填空题
1、极限lim sin()x y xy x →→0π
= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：π
2、极限lim
ln()x y x y e x y
→→++01
2
2
2
=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：ln 2
3、函数z x y =
+ln()
的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：x y +≥1
4、函数z x
y
=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：-≤≤11x ，y ≠0
5、设函数f x y x
y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
2
2，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：
k f x y 2⋅(,)
6、设函数f x y xy
x y
(,)=
+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。答：
22
2x y x
-
（
22
()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x
+--+-==
++-Q ）
7、设z x y y =-+sin()3，则∂∂
z
x
x y ===
21
_________ 。答：3cos5