2014年高考数学真题分类汇编理科-平面向量(理科)
2014年全国高考理科数学试题选编7.平面向量试题解析
2014年全国高考理科数学试题选编七.平面向量试题1.全国课标Ⅰ.15．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若()12AO AB AC =+则AB 与AC 的夹角 为__________．2.(课标全国Ⅱ，3)设向量a ，b满足|+|=a b||-a b ，则a ·b ＝( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．53.(大纲全国.4)若向量a ，b 满足：|a |＝1， (a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )． A ．2 BC ．1 D．24. (天津.8)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上， BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若1AE AF ⋅=，23CE CF ⋅=-，则λ＋μ＝( )．A ．12B ．23C ．56D ．7125.(安徽.10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量 a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满 足2()OQ =+a b ． 曲线C ＝{|P OP ＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ＜2π}， 区域{|0||}P r PQ R r R Ω=<≤≤<，．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )． A ．1＜r ＜R ＜3 B ．1＜r ＜3≤R C ．r ≤1＜R ＜3 D ．1＜r ＜3＜R6.(理福建8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )． A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)7.(浙江8)记,,max{},,x x y x y y x y ≥⎧⎨<⎩，=,,min{},,y x y x y x x y ≥⎧⎨<⎩，=设a ，b 为平面向量， 则( )．A ．min{|a ＋b|，|a －b|}≤min{|a|，|b|}B ．min{|a ＋b|，|a －b|}≥min{|a|，|b|}C ．max{|a ＋b|2，|a －b|2}≤|a|2＋|b|2D ．max{|a ＋b|2，|a －b|2}≥|a|2＋|b|2 8.(广东5)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )． A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1) D ．(－1,0,1)9.(四川7)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)， c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于 c 与b 的夹角，则m ＝( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．210.(重庆4)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )． A ．92-B ．0C ．3D ．15211.北京.10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________. 12.(山东12)在△ABC 中，已知tan AB AC A ⋅=， 13.（陕西13)设π0<<2θ，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝_____. 14.(湖北.11)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)． 若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________. 15.(江西14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α， 且1cos 3a =，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2 的夹角为β，则cos β＝__________.16.(湖南16)在平面直角坐标系中，O 为原点， A (－1,0)，B ，C (3,0)，动点D满足||1CD =，则||OA OB OD ++的最大 值是__________．17.（理15)已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成．记S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4＋x 5·y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)． ①S 有5个不同的值②若a ⊥b 则S min 与|a |无关 ③若a ∥b ，则S min 与|b |无关 ④若|b |＞4|a |，则S min ＞0 ⑤若|b |＝2|a |，S min ＝8|a |2，则a 与b 的夹角为π418.(陕西18满分12分)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． (1)若PA PB PC ++=0，求||OP ；(2)设OP mAB nAC =+(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．七.平面向量试题解析1.全国课标Ⅰ.15．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若()12AO AB AC =+则AB 与AC 的夹角 为__________． 解析：由()12AO AB AC =+可得O 为BC 的中点，则BC 为圆O 的直径，即∠BAC ＝90°，故AB 与AC 的夹角为90°. 2.(课标全国Ⅱ，3)设向量a ，b满足|+|=a b||-a b ，则a ·b ＝( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：∵|+|=a b (a ＋b )2＝10， 即a 2＋b 2＋2a ·b ＝10.①∵||-a b ，∴(a －b )2＝6， 即a 2＋b 2－2a ·b ＝6.② 由①②可得a ·b ＝1.故选A.3.(大纲全国.4)若向量a ，b 满足：|a |＝1， (a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )． A ．2 BC ．1 D解析：∵(a ＋b )⊥a ，|a |＝1，∴(a ＋b )·a ＝0，∴|a |2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1. 又∵(2a ＋b )⊥b ， ∴(2a ＋b )·b ＝0.∴2a ·b ＋|b |2＝0. ∴|b |2＝2.∴||b = B.4. (天津.8)已知菱形ABCD 的边长为2， ∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上， BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若1AE AF ⋅=，23CE CF ⋅=-，则λ＋μ＝( )．A ．12B ．23C ．56D ．712解析：由于菱形边长为2，所以BE ＝λBC ＝2λ，DF ＝μDC ＝2μ，从而CE ＝2－2λ，CF ＝2－2μ.由1AE AF ⋅=，得()()AB BE AD DF +⋅+＝AB AD AB DF BE AD BE DF ⋅+⋅+⋅+⋅ ＝2×2×cos 120°＋2·(2μ)＋2λ·2＋2λ·2μ·cos 120° ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1，所以4(λ＋μ)－2λμ＝3.由23CE CF ⋅=-，得 12(22)(22)23λμ⎛⎫-⋅-⋅-=- ⎪⎝⎭，所以23λμλμ-=+，因此有44()2()33λμλμ-+=++，解得56λμ=+，故选C.5.(安徽.10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满 足2()OQ =+a b ．曲线C ＝{|P OP ＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ＜2π}， 区域{|0||}P r P Q Rr R Ω=<≤≤<，．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )． A ．1＜r ＜R ＜3 B ．1＜r ＜3≤R C ．r ≤1＜R ＜3D ．1＜r ＜3＜R 解析：由于|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，所以|||2()|2OQ =+==a b ，因此点Q 在以原点为圆心，半径等于2的圆上．又|||cos sin |OP θθ==＋a b 1=，因此曲线C 是以原点为圆心，半径等于1的圆． 又区域{|0||}P r PQ R r R Ω=<≤≤<，， 所以区域Ω是以点Q 为圆心，半径分别为r 和R 的两个圆之间的圆环，由图形可知，要使曲线C 与该圆环的公共部分是两段分离的曲线， 应有1＜r ＜R ＜3.6.(理福建8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )． A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)解析：由平面向量基本定理可知，平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示，A 中e 1＝0·e 2，B 中e 1，e 2为两个不共线向量，C 中e 2＝2e 1，D 中e 2＝－e 1.故选B. 7.(浙江8)记,,max{},,x x y x y y x y ≥⎧⎨<⎩，=,,min{},,y x y x y x x y ≥⎧⎨<⎩，=设a ，b 为平面向量， 则( )．A ．min{|a ＋b|，|a －b|}≤min{|a|，|b|}B ．min{|a ＋b|，|a －b|}≥min{|a|，|b|}C ．max{|a ＋b|2，|a －b|2}≤|a|2＋|b|2D ．max{|a ＋b|2，|a －b|2}≥|a|2＋|b|2 解析：根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知min{|a ＋b |，|a －b |}与min{|a |，|b |}的大小关系不确定，故A ，B 选项错误． 当a ，b 中有零向量时，显然max{|a ＋b |2，|a －b |2}＝|a |2＋|b |2成立． 由于|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 〈a ，b 〉，|a －b |2 ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |cos 〈a ，b 〉， 若a ≠0，b ≠0， 则当0°≤〈a ，b 〉＜90°时，显然|a ＋b |2＞|a －b |2，且|a ＋b |2＞|a |2＋|b |2； 当〈a ，b 〉＝90°时，显然|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2； 当90°＜〈a ，b 〉≤180°时，显然|a ＋b |2＜|a －b |2，而|a －b |2＞|a |2＋|b |2.故总有max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2成立． 故选D.8.(广东5)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )． A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1) D ．(－1,0,1)解析：对于A 中的向量a 1＝(－1,1,0)，1111cos ||||2⋅===-〈，〉a a a a a a ，a 1与a的夹角为120°，不合题意；对于B 中的向量a 2＝(1，－1,0)，2221cos ||||2⋅===〈，〉a a a a a a ，a 2与a 的夹角为60°，符合题意；对于C 中的向量a 3＝(0，－1,1)，3331cos ||||2⋅===-〈，〉a a a a a a ，a 3与a 的夹角为120°，不合题意；对于D 中的向量a 4＝(－1,0,1)，444cos 1||||⋅===-〈，〉a a a a a a ，a 4与a 的夹角为180°，不合题意，故选B. 9.(四川7)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)， c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于 c 与b 的夹角，则m ＝( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，∴c ＝m (1,2)＋(4,2)＝(m ＋4,2m ＋2)． 又∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， ∴cos 〈c ，a 〉＝cos 〈c ，b 〉．∴·||||||||⋅=c a c bc a c b .=解得m ＝2.10.(重庆4)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )． A ．92-B ．0C ．3D ．152解析：由已知(2a －3b )⊥c ，可得(2a －3b )·c ＝0， 即(2k －3，－6)·(2,1)＝0，展开化简得4k －12＝0， 所以k ＝3，故选C.11.北京.10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)， 且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.解析：|=λa ＋b ＝0，得b ＝－λa ，故|b |＝|－λa |＝|λ||a |，所以||||||λ===b a 12.(山东12)在△ABC 中，已知tan AB AC A ⋅=，当π6A =时，△ABC 的面积为__________． 解析：由tan AB AC A ⋅=，可得cos tan AB AC A A=.因为π6A =，所以323AB AC ⋅= 即23AB AC =.所以1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅12112326=⨯⨯=. 13.（陕西13)设π0<<2θ，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝_____. 解析：由a ∥b ，得sin 2θ＝cos 2θ，即2sin θcos θ＝cos 2θ，因为π0<<2θ， 所以cos θ≠0，整理得2sin θ＝cos θ. 所以1tan 2θ=. 14.(湖北.11)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)． 若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________. 解析：由题意得(a ＋λb )·(a －λb )＝0， 即a 2－λ2b 2＝0，则a 2＝λ2b 2.∴22221892λ====a b . ∴λ＝±3.15.(江西14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α， 且1cos 3a =，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2 的夹角为β，则cos β＝__________.解析：由已知得cos ||||β⋅=a b a b22∵e 1与e 2是单位向量，其夹角为α，且1cos 3a =，∴|e 1|2＝|e 2|2＝1，12121||||cos 3a ⋅==e e e e .∴1992cos β-⨯+16.(湖南为原点， A (－1,0)，B ，C (3,0)，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的最大值是__________．解析：设动点D (x ，y )，则由||1CD =，得(x －3)2＋y 2＝1，D 点轨迹为以(3,0)为圆心， 半径为1的圆．又=(1,OA OB OD x y ++-，所以||=(OA OB ODx ++-， 故||OA OB OD ++的最大值为点(3,0)与(1,之间的距离与1的和， 11=17.（理15)已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成．记S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4＋x 5·y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)． ①S 有5个不同的值②若a ⊥b 则S min 与|a |无关 ③若a ∥b ，则S min 与|b |无关 ④若|b |＞4|a |，则S min ＞0⑤若|b |＝2|a |，S min ＝8|a |2，则a 与b 的夹角为π4答案：②④解析：S 有3种结果： S 1＝a 2＋a 2＋b 2＋b 2＋b 2， S 2＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＋b 2，S 3＝ab ＋ab ＋ab ＋ab ＋b 2，①错误． ∵S 1－S 2＝S 2－S 3 ＝a 2＋b 2－2a ·b ≥a 2＋b 2－2|a ||b | ＝(|a |－|b |)2≥0， ∴S 中最小为S 3.若a ⊥b ，则S min ＝S 3＝b 2与|a |无关，②正确． 若a ∥b ，则S min ＝S 3＝4a ·b ＋b 2与|b |有关，③错误．若|b |＞4|a |，则S min ＝S 3＝4|a ||b |cos θ＋b 2＞－4|a ||b |＋b 2＞－|b |2＋b 2＝0，④正确．若|b |＝2|a |，则S min ＝S 3＝8|a |2cos θ＋4|a |2＝8|a |2， ∴2cos θ＝1.∴π3θ=，⑤错误 18.(陕西18满分12分)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． (1)若PA PB PC ++=0，求||OP ；(2)设OP mAB nAC =+(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．分析：在(1)问中，解法一利用坐标运算，可求得P 点坐标，进而结合向量模的运算，求得||OP .解法二结合向量的几何运算，把已知向量用OA ，OB ，OC 和OP 来表示，进而利用OA ，OB ，OC 把OP 表示出来，即可达到求||OP 的目的．在(2)问中，结合题目要求，借助于向量运算，利用y －x 将m －n 表示出来，从而转化为线性规划问题，画出可行域可得出m －n 的最大值． 解：(1)解法一：∵PA PB PC ++=0， 又PA PB PC ++＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )， ∴630,630,x y -=⎧⎨-=⎩解得x ＝2，y ＝2.即(2,2)OP =，故||22OP =. 解法二：∵PA PB PC ++=0，则()()()OA OP OB OP OC OP -+-+-=0， ∴1()(2,2)3OP OA OB OC =++=，∴||22OP=.(2)∵OP mAB nAC=+，∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，∴2,2. x m n y m n=+⎧⎨=+⎩两式相减得m－n＝y－x，令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.。
理 2014高考数学(理科)真题-大纲卷
2014高考数学（理科）真题-大纲卷1.（5分）（2014•广西）设z=，则z的共轭复数为（）A.﹣1+3iB.﹣1﹣3iC.1+3iD.1﹣3i【答案】D【解析】∵z==，∴．2.（5分）（2014•广西）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A.（0，4]B.[0，4）C.[﹣1，0）D.（﹣1，0]【答案】B【解析】集合．由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，又N={x|0≤x≤5}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）．3.（5分）（2014•广西）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.c＞a＞b【答案】C【解析】三角函数的求值．由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a4.（5分）（2014•广西）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A.2B.C.1D.【答案】B【解析】平面向量及应用．由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，则||=，5.（5分）（2014•广西）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A.60种B.70种C.75种D.150种【答案】C【解析】排列组合．根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；6.（5分）（2014•广西）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l 交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1【答案】A【解析】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．∵△AF1B的周长为4，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．7.（5分）（2014•广西）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A.2eB.eC.2D.1【答案】C【解析】导数的概念及应用．求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．函数的导数为f′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，8.（5分）（2014•广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A. B.16π C.9π D.【答案】A【解析】计算题；空间位置关系与距离．设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．9．（5分）（2014•广西）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆锥曲线的定义、性质与方程．根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===，10．（5分）（2014•广西）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A.6B.5C.4D.3【答案】C【解析】等差数列与等比数列．由等比数列的性质可得a1•a8=a2•a7=…a4•a5=10，由对数的运算性质，整体代入计算可得．∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，∴a4•a5=2×5=10，∴数列{lga n}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8=lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4=4lg（a4•a5）=4lg10=411．（5分）（2014•广西）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，∵AB⊥l，∴∠BAE=60°，又∠ACD=135°，∴∠EAF=45°，在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===．12．（5分）（2014•广西）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A.y=g（x）B.y=g（﹣x）C.y=﹣g（x）D.y=﹣g（﹣x）【答案】D【解析】函数的性质及应用．设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得．设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）13．（5分）（2014•广西）的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）【答案】70【解析】二项式定理．先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r••=•（﹣1）r••，令8﹣=﹣4=2，求得r=4，故展开式中x2y2的系数为=70，14．（5分）（2014•广西）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为_______．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．15．（5分）（2014•广西）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【答案】．【解析】直线与圆．设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的变角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，16．（5分）（2014•广西）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是_______．【答案】（﹣∞，2]．【解析】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．17．（10分）（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B【答案】∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【解析】解三角形．由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．18．（12分）（2014•广西）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=10，a2为整数，且S n≤S4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】（Ⅰ）由a1=10，a2为整数，且S n≤S4得a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得﹣≤d≤﹣，∴d=﹣3，∴{a n}的通项公式为a n=13﹣3n．（Ⅱ）∵b n==（﹣），∴T n=b1+b2+…+b n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=．【解析】等差数列与等比数列．（Ⅰ）由题意得a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得d=﹣3，即可写出通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法求数列和即可．19．（12分）（2014•广西）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【答案】（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，由三垂线定理可得AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，由三垂线定理可得A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【解析】空间位置关系与距离．（Ⅰ）由已知数据结合三垂线定理可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．20．（12分）（2014•广西）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【答案】（Ⅰ）D=，P（B）=0.6，P（C）=0.4，P（A i）=所以P（D）=P（）=P（A 1•B•C）+P（A2•B）+P（）=0.31（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2【解析】概率与统计．记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）P（D）=P（），代入计算即可，（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX i，再利用数学期望公式计算即可．记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备21．（12分）（2014•广西）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【答案】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|=4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2++=，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x﹣+y﹣1=0．【解析】圆锥曲线中的最值与范围问题．（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，求得m的值，可得直线l的方程．22．（12分）（2014•广西）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n≤．【答案】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，②当a=2时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，即f（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，f（x+1）＞，下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立，①当n=1时，由已知，故结论成立．②假设当n=k时结论成立，即，则当n=k+1时，a n+1=ln（a n+1）＞ln（），a n+1=ln（a n+1）＜ln（），即当n=k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．【解析】导数的综合应用．（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值服务，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．。
2014年高考理科数学全国卷2(含答案解析)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|(1)4,}M x x x =-<∈R ,{1,0,1,2,3}N =-,则MN = ( )A .{0,1,2}B .{1,0,1,2}-C .{1,0,2,3}-D .{0,1,2,3} 2.设复数z 满足(1i)2i z -=,则z =( )A .1i -+B .1i --C .1i +D .1i -3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知32110S a a =+,59a =,则1a =( )A .13B .13-C .19D .19-4.已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥,l ⊥n ,l α⊄,l β⊄,则( )A .αβ∥且l α∥B .αβ∥且l β⊥C .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l5.已知5(1)(1)ax x ++的展开式中的2x 的系数为5,则a = ( )A .4-B .3-C .2-D .1-6.执行如图的程序框图,如果输入的10N =,则输出的S = ( ) A .11112310++++B .11112!310++++！！C .11112311++++ D .11112311++++！！！7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )8.设3log 6a =,5log 10b =,7log 14c =,则( )A .c b a >>B .b a c >>C .a c b >>D .a b c >>9.已知0a >,x ,y 满足约束条件1,3,(3).x x y y a x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥若2z x y =+的最小值为1,则a = ( )A .14B .12C .1D .210.已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是( )A .0x ∃∈R ,0()0f x =B .函数()y f x =的图象是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D .若0x 是()f x 的极值点,则0()0f x '=11.设抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,||5MF =.若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A .24y x =或28y x =B .22y x =或28y x =C .24y x =或216y x = D .22y x =或216y x =12.已知点(1,0)A -,(1,0)B ,(0,1)C ,直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( )A .(0,1)B .21(1,)22-C .21(1,]23-D .11[,)32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =________. 14.从n 个正整数1,2,,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________.15.设θ为第二象限角,若π1tan()42θ+=,则sin cos θθ+=________. 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知100S =,1525S =,则n nS 的最小值为________.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC △在内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos sin a b C c B =+.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =,求ABC △面积的最大值. 18.（本小题满分12分） --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________如图,直棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别是AB ,1BB 的中点,122AA AC CB AB ===. （Ⅰ）证明：1BC ∥平面1A CD ； （Ⅱ）求二面角1D AC E --的正弦值.19.（本小题满分12分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X (单位：t ,100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的频率),利润T 的数学期望.20.（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M :22221(0)x y a b a b+=>>右焦点的直线30x y +-=交M 于A ,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.（Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）C ,D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AD ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()e ln()xf x x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时,证明:()0f x >.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按做的第一题积分.作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为ABC △外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,E ,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC AE DC AF =,B ,E ,F ,C 四点共圆.（Ⅰ）证明：CA 是ABC △外接圆的直径；（Ⅱ）若DB BE EA ==,求过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P ,Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上,对应参数分别为=t α与=2t α(02π)α<<,M 为PQ 的中点.（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲设a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=.证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥.2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】解不等式2(14)x -<，得13x <<-，即|13{}M x x =<<-，而1,0,1,,3{}2N =-，所以0,}2{1,M N =，故选A ．【提示】求出集合M 中不等式的解集，确定出M ，找出M 与N 的公共元素，即可确定出两集合的交集．【考点】集合的基本运算（交集），解一元二次不等式． 2.【答案】A【解析】2i 2i 1i 22i 1i 1i 1i 21+i z (+)-+====-(-)(+)-． 【提示】根据所给的等式两边同时除以1i -，得到z 的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果． 【考点】复数代数形式的四则运算． 3.【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则由59a =，得19a =，此时327S =，而219+109a a =，不满足题意，因此1q ≠.∵1q ≠时，33111(1)1+10a S a a q q q --==，∴3+0111q qq =--，整理得29q =.（步骤1） ∵4519a a q ==，即1819a =，∴119a =．（步骤2） 【提示】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可求出． 【考点】等比数列的通项和前n 项和． 4.【答案】D【解析】因为m α⊥，l m ⊥，l α⊄，所以l α∥．同理可得l β∥．又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D ．【提示】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【考点】直线与平面的位置关系． 5.【答案】D【解析】因为5(1+)x 的二项展开式的通项为5C 0)5(r rr r x ≤≤∈Z ，，则含x 2的项为221552C +C )0+5(1x ax x a x =，所以10+55a =，1a =-.【提示由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中2x 的系数为221552C +C )0+5(1x ax x a x =，由此解得a 的值．【考点】二项式定理 6.【答案】B【解析】由程序框图知，当1k =，0S =，1T =时，1T =，1S =；当2k =时，12T =，11+2S =； 当k =3时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当k =4时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；；（步骤1）当k =10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，1111+2!3!10!S =+++，k 增加1变为11，满足k N >，输出S ，所以B 正确．（步骤2）【提示】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能． 【考点】循环结构的程序框图． 7.【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图象为下图：第7题图则它在平面zOx 上的投影即正视，故选A ．【提示】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx 平面为投影面，则得到正视图即可． 【考点】空间直角坐标系，三视图． 8.【答案】D【解析】根据公式变形，lg6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg5lg5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7lg 5g 3l >>，所以lg2lg2lg2lg7lg5lg3<<，即c b A <<．故选D ． 【提示】利用log ()log log (0)a a a xy x y x y =+>、，化简a ，b ，c 然后比较3log 2，5log 2，7log 2大小即可．【考点】对数函数的化简和大小的比较． 9.【答案】B【解析】由题意作出1,3x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2+1x y =，因为直线2+1x y =与直线1x =的交点坐标为(1,)1-，结合题意知直线(3)y a x =-过点(1,)1-，代入得12a =，所以12a =．第9题图【提示】先根据约束条件画出可行域，设2z x y =+，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线2zx y=+过可行域内的点B 时，从而得到a 值即可． 【考点】二元线性规划求目标函数的最值．10.【答案】C【解析】由于2()32f x x ax b '=++是二次函数，()f x 有极小值点0x ，必定有一个极大值点1x ，若10x x <，则()f x 在区间0(,)x -∞上不单调递减，C 不正确．【提示】利用导数的运算法则得出()00f x '∆>∆≤，分与讨论，即可得出． 【考点】利用导数求函数的极值． 11.【答案】C【解析】设点M 的坐标为00(,)x y ，由抛物线的定义，得052|+MF x p ==|，则052x p =-．（步骤1）又点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为00+0()()2p x y x x y y ⎛⎫⎪-- ⎝⎭-=.（步骤2）将0x =，2y =代入得00+840px y -=，即02+2480y y -=，所以04y =. 由0202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2p =，或8p =.（步骤3）所以C 的方程为24y x =或216y x =．故选C ．【提示】已知抛物线焦点到抛物线上点的线段的距离和以这条线段为直径的圆上的一点，求出抛物线的方程．【考点】抛物线的定义和抛物线的标准方程． 12.【答案】B【解析】根据题意画出图形，如图（1），由图可知，直线BC 的方程为1x y +=．由1,,x y y ax b +=⎧⎨=+⎩解得1,11b a b M a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭． 可求()0,N b ，,0b D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线y ax b =+将△ABC 分割为面积相等的两部分，∴12S S =△△BDM ABC ．又12BOC ABC S S =△△，CMN ODN S S ∴=△△，即111(1)221b b b b a a -⎛⎫⨯-⨯=-⨯ ⎪+⎝⎭．整理得22(1)1b b a a -=+． 22(1)1b ab a-+∴=，11b ∴-=，11b =即b =，可以看出，当a 增大时，b 也增大．当a →+∞时，12b →，即12b <．当0a →时，直线+y ax b =接近于y b =．当y b =时，如图（2），2222(1)112CDM ABC S CN b S CO -===△△．1b ∴-1b =1b ∴>-． 由上分析可知1122b -<<，故选B ．第12题图（1） 第12题图（2）【提示】已知含有参数的直线将三角形分割为面积相等的两部分和点的坐标，求出参数的取值范围．【考点】函数单调性的综合应用．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】2【解析】以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则1(),2AE =，)2(2,BD =-，所以2AE BD =．第13题图【提示】结合几何的关系，求出向量的数量积． 【考点】平面向量的数量积运算． 14.【答案】8【解析】从1，2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以221C 14n =，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8n =.【提示】列出从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为114列式计算n 的值． 【考点】古典概型，排列组合的应用．15.【答案】 【解析】由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得tan 13θ=-，即1s 3in cos θθ-=．（步骤1）将其代入22sin +cos 1θθ=，得210cos 19θ=．因为θ为第二象限角，所以10cos θ-=0in 1s θ=，sin +cos 5θθ=-．（步骤2）【提示】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan θ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin cos θθ与的值，即可求出sin cos θθ+的值．【考点】两角和与差的正切，同角三角函数的基本关系． 16.【答案】49-【解析】设数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，则110110910+210+450S a d d a =⨯==，① 1151151415215+10525a d a d S =⨯==+.②（步骤1） 联立①②，得13a =-，23d =，所以2(1)211032333n n n n n n S -=-+⨯=-．（步骤2）令()n f n nS =，则32110()33f n n n =-，220()3f n n n '=-．令()0f n '=，得0n =或203n =．（步骤3）当203n >时，()0f n '>，200<<3n 时，()0f n '<，所以当203n =时，()f n 取最小值，而n ∈N ＋，则(6)48f =-，(7)49f =-，所以当7n =时，()f n 取最小值－49.（步骤4）【提示】已知等差数列前10项和与前15项和，求出n 与前n 项和乘积的最小值． 【考点】等差数列的前n 项，利用导数求函数的最值． 三、解答题 17.【答案】（1）π4（2【解析】（1）由已知及正弦定理得sin sin cos +sin sin A B C C B =．①又()+A B C π=-，故sin sin +sin cos +co )s i (s n A B C B C B C ==．②由①，②和π()0,C ∈得sin cos B B =，即tan 1B =，又π()0,B ∈，所以π4B =．（步骤1） （2）△ABC的面积1sin 2S ac B ==． 由已知及余弦定理得22π2cos 44+ac a c =-．（步骤2）又22+2a c ac ≥，故ac ≤，当且仅当a c =时，等号成立．因此△ABC．（步骤3）【提示】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tan B 的值，由B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（2）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积，把sin B 的值代入，得到三角形面积最大即为ac 最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac 的最大值，即可得到面积的最大值．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦． 18.【答案】（1）连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则1BC DF ∥．因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD ．（步骤1） （2）由AC CB AB ==，得AC BC ⊥ 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．设2CA =，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，12,()0,2A ，(1),1,0CD =，(0),2,1CE =，12,0,2()CA =． 设111,(),n x y z =是平面A 1CD 的法向量，则10,0,n CD n CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111+0,2+20.x y x z =⎧⎨=⎩ 可取1),(,11n =--．（步骤2）同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则10,0,m CE m CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩可取2,1(),2m =-．（步骤3）从而3cos ,3||||n m m n n m <>==，故6sin ,3m n <>= 即二面角D －A 1C －E ．（步骤4）第18题图（1）【提示】（1）通过证明1BC 平行平面1ACD 内的直线DF ，利用直线与平面平行的判定定理证明11BC ACD 平面∥ （2）．由AC CB AB ==，得AC BC ⊥以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．设2CA =，111,(),n x y z =是平面A 1CD 的法向量，同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，由3cos ,3||||n m m n n m <>==，故6sin ,3m n <>=【考点】直线与平面的判定，空间直角坐标系，空间向量及其运算．19.【答案】（1）80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩ （2）0.7（3）59400【解析】（1）当100[),130X ∈时，50030013()080039000T X X X =--=-，当130[],150X ∈时，50013065000T =⨯=. 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩（步骤1）（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤.由直方图知需求量120[],150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7（步骤2）（3所以450000.1+530000.2+610000.3+650000.459400ET =⨯⨯⨯⨯=.（步骤3）【提示】（1）由题意先分段写出，当100[),130X ∈时，当130[],150X ∈时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ≤≤再由直方图知需求量120[],150X ∈的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值．（3）利用利润T 的数学期望=各组的区间中点值x 该区间的频率之和即得．【考点】频率分布直方图，分段函数的模型，离散型随机变量的数学期望．20.【答案】（1）22163x y +=（2 【解析】（1）设11(),A x y ，22(),B x y ，00(),P x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，21211y y x x -=--，由此可得22121221211b x x y y a y y x x (+)-=-=(+)-． 因为120+2x x x =，120+2y y y =，0012y x =，所以222a b =（步骤1）又由题意知，M的右焦点为，故223a b -=. 因此26a =，23b =.所以M 的方程为22163x y +=．（步骤2） （2）由220,1,63x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因此||AB =．（步骤3） 由题意可设直线CD的方程为3y x n n ⎛=+-<< ⎝，设33(),C x y ，44(),D x y ．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得223+4+260x nx n -=.于是3,4x （步骤4） 因为直线CD 的斜率为1，所以43|||x x CD - 由已知，四边形ACBD 的面积186||||29S CD AB ==．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为．所以四边形ACBD ．（步骤5）【提示】（1）把右焦点(,0)c 代入直线可解得C ．设11(),A x y ，22(),B x y ，线段AB 的中点00(),P x y ，利用“点差法”即可得到a ，b 的关系式，再与222a bc =+联立即可得到a ，b ，c ．（2）把直线0x y +=与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长||AB ，由CD AB ⊥，可设直线CD 的方程为y x n =+，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长||CD ．利用1||||2ACBD S AB CD =四边形即可得到关于n 的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．【考点】椭圆的方程、椭圆的简单几何性质、点差法的应用和直线与椭圆的位置关系． 21.【答案】（1）1()e x f x x m=-+． 由0x =是()f x 的极值点得(0)0f '=，所以1m =.于是ln +)1(()xf e x x =-，定义域为()1,+-∞，1()e 1xf x x =-+．（步骤1）函数1()e 1x f x x =-+在()1,+-∞单调递增，且(0)0f '=.因此当,0()1x ∈-时，()0f x '<； 当+()0,x ∈∞时，()0f x '>.所以()f x 在()1,0-单调递减，在(0,+)∞单调递增．（步骤2）（2）当2m ≤，,()+x m ∈-∞时，l ()()n +ln +2x m x ≤，故只需证明当2m =时，()0f x >. 当2m =时，函数1()e 2x f x x =-+在()2,+-∞单调递增． 又1()0f '-<，(0)0f '>，故()0f x '=在()2,+-∞有唯一实根x 0，且0)0(1,x ∈-．（步骤3） 当2+(),x ∈-∞时，()0f x '<；当0(),+x x ∈∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由0()0f x '=得001e 2x x =+，00ln +2()x x =-，故200000()()+11022f x f x x x x x ≥)=+++=(>. 综上，当2m ≤时，()0f x >.（步骤4）【提示】（1）求出原函数的导函数，因为0x =是函数()f x 的极值点，由极值点处的导数等于0求出m 的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间； （2）证明当2m ≤时，()0f x >，转化为证明当2m =时()0f x >求出当2m =时函数的导函数，可知导函数在(2,)-+∞上为增函数，并进一步得到导函数在(1,0)-上有唯一零点0x ，则当0x x =时函数取得最小值，借助于0x 是导函数的零点证出0()0f x >，从而结论得证． 【考点】利用导数求函数的单调区间和极值，利用导数解决不等式问题． 22.【答案】（1）因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF △∽△，所以DBC EFA ∠=∠．（步骤1）因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒．所以90CBA ∠=︒，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．（步骤2）（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB BE =，有CE DC =，又222BC DB BA DB ==，所以222 2.4+6CA DB BC DB ==而2223DC DB D CE DA B ===，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12． （步骤3）第22题图【提示】（1）已知CD 为ABC △外接圆的切线，利用弦切角定理可得DCB A ∠=∠，及BC DCFA EA=，可知CDB AEF △∽△，于是DBC EFA ∠=∠．利用B 、E 、F 、C 四点共圆，可得CFE DBC ∠=∠，进而得到90EFA CFE ∠=∠=︒即可证明CA 是ABC △外接圆的直径；（2）要求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B 、E 、F 、C 四点的圆的直径为CE ，及DB BE =，可得CE DC =，利用切割线定理可得222BC DB BA DB ==，222 2.4+6CA DB BC DB ==，都用DB 表示即可．【考点】弦切角，圆内接四边形的性质．23.【答案】（1）cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩0()2παα<<为参数， （2）d (02π)α<< M 的轨迹过坐标原点【解析】（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2,2si 2()n Q αα，因此cos +cos2,sin +i ()s n2M αααα．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩0()2παα<<为参数，．（步骤1）（2）M 点到坐标原点的距离d =(02π)α<<．当πα=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（步骤2）【提示】（1）根据题意写出P ，Q 两点的坐标：2cos (n )2si P αα，，2cos2,2si 2()n Q αα，再利用中点坐标公式得PQ 的中点M 的坐标，从而得出M 的轨迹的参数方程；（2）利用两点间的距离公式得到M 到坐标原点的距离d 证当πα=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点． 【考点】参数方程，轨迹方程．24.【答案】（1）由22+2b a ab ≥，22+2b c bc ≥，22+2c a ca ≥，得222++++a b c ab bc ca ≥．（步骤1）由题设得21)++(a b c =，即222+++2+2+21a b c ab bc ca =.所以3+(+)1ab bc ca ≤，即1++3ab bc ca ≤．（步骤2） （2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a+≥，故222(++(2))a b c a b c a b c b c a +++++≥，（步骤3）即222++a b c a c a c b b ++≥． 所以2221a b c b c a++≥（步骤4）【提示】（1）依题意，由21)++(a b c =，即222+++2+2+21a b c ab bc ca =，利用基本不等式可得3+(+)1ab bc ca ≤，从而得证；（2）利用基本不等式可证得：22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，三式累加即可证得结论．【考点】不等式证明，均值不等式．。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题5：向量2(平面向量与三角的综合)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题5：向量（平面向量与三角的综合）填空题1．（2014•山东理）若ABC ∆中，已知tan AB AC A =，当6A π=时，ABC ∆的面积为16． 【考点】三角形的面积公式；平面向量数量积的性质及其运算 【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得23AB AC =，再根据ABC ∆的面积为1sin 2AB AC A ，计算求得结果． 【解答】解：ABC ∆中，cos tan AB AC AB AC A A ==，∴当6A π=时，有33AB AC=23AB AC =， ABC ∆的面积为11211sin 22326AB AC A =⨯⨯=，故答案为：16． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式，属于基础题． 2．（2014•陕西文）设02πθ<<，向量(sin 2,cos )a θθ=，(1,cos )b θ=-，若0a b =，则tan θ=12． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算【分析】由条件利用两个向量的数量积公式求得22sin cos cos 0θθθ-=，再利用同角三角函数的基本关系求得tan θ 【解答】解：22sin 2cos 2sin cos cos 0a b θθθθθ=-=-=，02πθ<<，2sin cos 0θθ∴-=，1tan 2θ∴=， 故答案为：12． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题． 3．（2014•陕西理）设02πθ<<，向量(sin 2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，若//a b ，则tan θ=12． 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出． 【解答】解：//a b ，向量(sin 2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，2sin 2cos 0θθ∴-=， 22sin cos cos θθθ∴=，02πθ<<，cos 0θ∴≠．2tan 1θ∴=，1tan 2θ∴=． 故答案为：12．4．（2015•江苏）设向量(cos 6k k a π=，sin cos )(066k k k ππ+=，1，2，⋯，12)，则110()k k k a a +=∑的值为 【考点】平面向量数量积的性质及其运算；两角和与差的三角函数【分析】利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 【解答】解：1(1)(1)(1)cos cos (sin cos )(sin cos )666666k k k k k k k k a a ππππππ++++=+++ (1)(1)(1)(1)(1)coscos sin sin sin cos cos sin cos cos6666666666k k k k k k k k k k ππππππππππ+++++=++++ 21121cossin(cos cos )66266k k ππππ++=+++321121sin cos2626k k ππ++=+， ∴1110357911132313579111323()12(sin sin sin sin sin sin sin sin )(cos cos cos cos cos cos cos cos )66666666266666666kk k aa ππππππππππππππππ+==+++++++⋯+++++++++⋯+∑00=+=故答案为：【点评】本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解答题1．（2014•辽宁文理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC =，1cos 3B =，3b =，求： （Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；两角和与差的三角函数；余弦定理【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简2BA BC =，将cos B 的值代入求出6ac =，再利用余弦定理列出关系式，将b ，cos B 以及ac 的值代入得到2213a c +=，联立即可求出ac 的值；（Ⅱ）由cos B 的值，利用同角三角函数间基本关系求出sin B 的值，由c ，b ，sin B ，利用正弦定理求出sin C 的值，进而求出cos C 的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（Ⅰ）2BA BC =，1cos 3B =， cos 2c a B ∴=，即6ac =①， 3b =，∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，即2294a c =+-，2213a c ∴+=②，联立①②得：3a =，2c =；（Ⅱ）在ABC ∆中，sin B ===，由正弦定理sin sin b cB C=得：2sin sin 3c C B b === a b c =>，C ∴为锐角，7cos 9C ∴===，则1723cos()cos cos sin sin 393927B C B C B C -=+=⨯+=． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．2．（2014•山东理）已知向量(,cos2)a m x =，(sin 2,)b x n =，函数()f x a b =，且()y f x =的图象过点(12π，和点2(3π，2)-． （Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图象，若()y g x =图象上的最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；正弦函数的单调性；函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】（Ⅰ）由题意可得 函数()sin 2cos2f x m x n x =+，再由()y f x =的图象过点(12π和点2(3π，2)-，解方程组求得m 、n 的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()2sin(2)6f x x π=+，根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()2sin(22)6g x x πϕ=++的图象，再由函数()g x 的一个最高点在y 轴上，求得6πϕ=，可得()2c o s 2g x x =．令222k x k πππ-剟，k Z ∈，求得x 的范围，可得()g x 的增区间． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 函数()sin 2cos 2f x a b m x n x ==+，再由()y f x =的图象过点(12π和点2(3π，2)-，可得12122m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩．解得m ，1n =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1()2cos22cos2)2sin(2)26f x x x x x x π+=+=+． 将()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后，得到函数()2sin[2()]2sin(22)66g x x x ππϕϕ=++=++的图象，显然函数()g x 最高点的纵坐标为2．()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，故函数()g x 的一个最高点在y 轴上， 2262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈，结合0ϕπ<<，可得6πϕ=，故()2sin(2)2cos22g x x x π=+=．令222k x k πππ-剟，k Z ∈，求得2k x k πππ-剟，故()y g x =的单调递增区间是[2k ππ-，]k π，k Z ∈．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题． 3．（2015•广东理）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量2(m =，，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．（1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角 【分析】（1）若m n ⊥，则0m n =，结合三角函数的关系式即可求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值． 【解答】解：（1）若m n ⊥， 则2(2m n=，(sin x，cos )0x x x ==，x x = sin cos x x =，即tan 1x =；（2）2||()12m ==，2||sin 1n x =，2(2m n =，(sin x ，cos )x x x =， ∴若m 与n 的夹角为3π，则1||||cos 32m n m n π==，即1222x x -=， 则1sin()42x π-=，(0,)2x π∈． (44x ππ∴-∈-，)4π． 则46x ππ-=即54612x πππ=+=． 【点评】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础． 4．（2017•江苏）已知向量(cos ,sin )a x x =，(3,3)b =-，[0x ∈，]π． （1）若//a b ，求x 的值；（2）记()f x a b =，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）根据向量的平行即可得到tan x =，问题得以解决， （2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出 【解答】解：（1）(cos ,sin )a x x =，(3,3)b =-，//a b ，3sin x x =，当cos 0x =时，sin 1x =，不合题意，当cos 0x ≠时，tan x =， [0x ∈，]π， 56x π∴=，（2）1()3cos sin ))26f x a b x x x x x π===-=+， [0x ∈，]π， [66x ππ∴+∈，7]6π，1cos()6x π∴-+剟 当0x =时，()f x 有最大值，最大值3，当56x π=时，()f x 有最小值，最小值- 【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题。
三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析 专题05平面向量解析版 Word版含解析
三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第五章 平面向量一、选择题1. 【2014，安徽理10】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q满足)OQ a b =+．曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤ ，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C Ω 为两段分离的曲线，则( )A ．13r R <<<B ．13r R <<≤C ．13r R ≤<<D ．13r R <<< 【答案】A ．考点：1．平面向量的应用；2．线性规划．【名师点睛】对于平面向量应用性问题，常常要利用向量的坐标运算，当题中出现明显的垂直和特征长度特征，优先考虑建立平面直角坐标系，用图形表示出要题中给定的条件，再利用几何意义进行求解.尤其要与平面几何结合考虑.2．【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅=（D ）()4C a b +⊥B【答案】D【考点定位】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点.当出现线性运算问题时，注意两个向量的差OA OB BA -= ，这是一个易错点，两个向量的和2OA OB OD+=（D 点是AB 的中点）.另外，要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量,AB AC，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.3. 【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ） （A ）4（B ）–4（C ）94（D ）–94【答案】B 【解析】试题分析：由43m n = ，可设3,4(0)m k n k k ==>，又()n tm n ⊥+ ，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+= 所以4t =-，故选B. 考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从()n tm n ⊥+出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.4. 【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =- ，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D 【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=- ，由(a b )b +⊥ 得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.考点： 平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：5.【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（ ） （A ）232a - （B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a【答案】D 【解析】因为()B DC D B D B ⋅=⋅=+⋅()22223c o s 2BA B C +⋅=+故选D.【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.6. 【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】B【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．【名师点晴】本题主要考查的是向量的模和向量的数量积，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“不”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数量积，即cos ,a b a b a b ⋅=，22a a = ．7.【2014新课标，理3】设向量a,b 满足|a+b |a-b a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 5 【答案】A 【解析】因为22||()a b a b +=+=r u r r r 222a b a b++⋅r r r r =10，22||()a b a b -=-=r u r r r 2226a b a b +-⋅=r r r r ，两式相加得：228a b +=r r ，所以1a b ⋅=r r ，故选A.【考点定位】向量的数量积.【名师点睛】本题主要考查了向量数量积运算，本题属于基础题，解决本题的关健在于掌握向量的模与向量数量积之间的关系，还有就是熟练掌握数量积的运算性质与运算律.8. 【2014四川，理7】平面向量(1,2)a = ，(4,2)b =，c ma b =+ （m R ∈），且c 与a的夹角等于c 与b的夹角，则m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】 D.【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.【名师点睛】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.9. 【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC = ，2DN NC = ，则AM NM ⋅=（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+，所以221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯= ，选C.【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB = ，4AD = 故可选,AB AD作为基底.10. 【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+(B)1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =-【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A.【考点定位】平面向量的线性运算【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数与向量的积的法则与运算性质，是基础题，解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量AD表示为AC CD + ，再用已知条件和向量减法将CD 用,AB AC表示出来.11. 【2016高考新课标3理数】已知向量1(2BA =uu v ，1)2BC =uu u v，则ABC ∠=（ ）(A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒ 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．考点：向量夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有|a ·cos a ba bθ=，·0a b a b ⇔⊥ ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．12. 【2014年.浙江卷.理8】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b为平面向量，则（ ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+答案：Ｄ考点：向量运算的几何意义.【名师点睛】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将 a b a b a b +-，，， 放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有有效的方法.13. 【2016年高考北京理数】设a ，b 是向量，则“||||a b = ”是“||||a b a b +=-”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积.【名师点睛】由向量数量积的定义θcos ||||⋅⋅=⋅(θ为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.14. 【2014高考重庆理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥ ，则实数k =（ ）9.2A -.0B .C 3 D.152【答案】C考点：1、平面向量的坐标运算；2、平面向量的数量积.【名师点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的条件，属于基础题，利用向量垂直的条件的坐标条件可将两向量垂直的条件转化为所求实数k 的方程，解之即得结果.15. 【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2π C 、34πD 、π【答案】A【解析】由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，即223cos 20a a b b θ--= ，所以23(2033θ⨯--=，cos 2θ=，4πθ=，选A . 【考点定位】向量的夹角.【名师点晴】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的垂直，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.16. 【2014高考广东卷.理.5】已知向量()1,0,1a =- ，则下列向量中与a 成60的是( )A .()1,1,0-B .()1,1,0-C .()0,1,1-D .()1,0,1- 【答案】B【考点定位】本题考查空间向量数量积与空间向量的坐标运算，属于基础题.【名师点晴】本题主要考查的是空间向量数量积的坐标运算，属于中等题．解题时要抓住关键字眼“成60”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是空间向量数量积的坐标运算，即若()111,,a x y z =，()222,,b x y z = ，则cos ,a b =．17.【2014天津，理8】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD? ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF?，23CE CF?-，则l m += （ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712【答案】C ． 【解析】试题分析：cos 120,120 2.AB ADAB AD BE BC BAD l ?鬃==Ð-=\，()(),.1,1AE AB AD AF AB AD AE AFAB AD ABADl m l m \=+=+?\+?=，即3222l m l m +-=①，同理可得23l m l m --=-②，①+②得56l m +=，故选C ． 考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，运用向量的加法、减法正确表示向量，利用向量的数量积求值，本题属于基础题.解决向量问题有两种方法，第一种是本题的做法，借助向量的几何意义，利用加法、减法、数乘、数量积运算，借助模运算解题，另一种方法是建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解题.18. 【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BCAB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（ ） （A ）85- （B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．19. 【2014上海,理16】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=⋅→→i AP AB i 的不同值的个数为（ ）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】A【解析】如图，AB 与上底面垂直，因此i AB BP ⊥(1,2,)i = ，cos 1i i i AB AP AB AP BAP AB AB ⋅=∠=⋅=．【考点】数量积的定义与几何意义． 【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos <a ，b> ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．20. 【2014上海,理17】已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解 【答案】B【解析】由题意，直线1y kx =+一定不过原点O ，,P Q 是直线1y kx =+上不同的两点，则OP 与OQ 不平行，因此12210a b a b -≠，所以二元一次方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩一定有唯一解．【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．【名师点睛】可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y 的二元一次方程组：ax by cdx ey f +=⎧⎨+=⎩,当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
2014高考真题向量专题练习(答案版)
平面向量专题练习 一、平面向量的概念及其线性运算1．[2014·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM→ B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 答案：D [解析] 如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD→. 在△OAC 中，OA→＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →. 在△OBD 中，OB→＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →， 所以OA→＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.2．[2014·江西卷] 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13.若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a|＝________．答案：3 [解析] 因为|a|2＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9×1－12×1×1×13＋4×1＝9，所以|a|＝3. 3．[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(非p)∧(非q)D ．p ∨(非q)答案：A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．4．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →＝( ) A.AD → B.12AD → C.12BC → D.BC → 答案：A [解析] EB ＋FC ＝EC ＋CB ＋FB ＋BC ＝12AC ＋12AB ＝AD.5．[2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝ma ＋b(m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．答案：2 [解析] c ＝ma ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a·c |a|·|c|＝b ·c |b|·|c|，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.二、平面向量基本定理及向量坐标运算6．[2014·北京卷] 已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( )A ．(5，7)B ．(5，9)C ．(3，7)D ．(3，9) 答案：A [解析] 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)． 7．[2014·广东卷] 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( )A ．(－2，1)B ．(2，－1)C ．(2，0)D ．(4，3) 答案：B [解析] b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．8．[2014·湖北卷] 若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB→|＝________． 答案：25 [解析] 由题意知，OB→＝(3，1)或OB ＝(－3，－1)，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4)或AB ＝(－4，2)，所以|AB|＝22＋42＝25.9．[2014·山东卷] 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m)，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3答案：B [解析] 由题意得cos π6＝a·b |a||b|＝3＋3m 29＋m 2，即32＝3＋3m29＋m 2，解得m ＝ 3.10．[2014·陕西卷] 设0＜θ ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a·b ＝0，则tan θ＝______.答案：.12 [解析] 由a·b ＝0，得sin 2 θ＝cos 2θ.又0<θ<π2，∴cos θ≠0，∴2sin θ＝cos θ，则tan θ＝12.11．[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在 △ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP→＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)． (1)若m ＝n ＝23，求|OP→|； (2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解： (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)， ∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)， ∴|OP→|＝22＋22＝2 2. (2)∵OP→＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减，得m －n ＝y －x.令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.12． [2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝ma ＋b(m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________． 答案：2 [解析] c ＝ma ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a·c|a|·|c|＝b ·c |b|·|c|，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.三、 平面向量的数量积及应用13．[2014·湖北卷] 若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB→|＝________． 答案：25 [解析] 由题意知，OB→＝(3，1)或OB ＝(－3，－1)，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4)或AB ＝(－4，2)，所以|AB|＝22＋42＝25.14． [2014·江苏卷] 如图1-3所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．图1-3答案：22 [解析] 因为CP ＝3PD ，AP·BP ＝2，所以AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋14AB ，BP ＝BC ＋CP ＝AD －34AB ，所以AP·BP ＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB ·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD －34AB ＝AD 2－12AD ·AB －316AB 2＝2.又因为AB ＝8，AD ＝5，所以2＝25－316×64－12AB ·AD ，故AB·AD ＝22 .15．[2014·全国卷] 已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b)·b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案：B [解析] 因为a ，b 为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a －b)·b ＝2a·b －b 2＝2|a||b|cos 60°－|b|2＝0.16．[2014·重庆卷] 已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b ＝________．答案：10 [解析] ∵|a|＝（－2）2＋（－6）2＝210， ∴a·b ＝|a||b|cos 60°＝210×10×12＝10.17．[2014·山东卷] 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m)，若向量a ，b的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3答案：B [解析] 由题意得cos π6＝a·b |a||b|＝3＋3m 29＋m 2，即32＝3＋3m29＋m2，解得m ＝ 3. 18．[2014·天津卷] 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．答案：2 [解析] 建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－3)，C(1，0)，D(0，3)．设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，由BC→＝3BE →，得(1，3)＝3(x 1，y 1＋3)，可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233；由DC →＝λDF →，得(1，－3)＝λ(x 2，y 2－3)，可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ，3－3λ.∵AE ·AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－233·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋1，3－3λ＝103λ－23＝1，∴λ＝2.19．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5答案：A [解析] 由已知得|a ＋b|＝10，|a －b|2＝b ，两式相减，得a·b ＝1. 四、 单元综合20．[2014·浙江卷] 设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋ta|的最小值为1( )A ．若θ确定，则|a|唯一确定B ．若θ确定，则|b|唯一确定C ．若|a|确定，则θ唯一确定D ．若|b|确定，则θ唯一确定答案：B [解析] |b ＋ta|≥1，则a 2t 2＋2|a||b|tcos θ＋b 2的最小值为1，这是关于t 的二次函数，故最小值为4a 2b 2－4（|a||b|cos θ）24a 2＝1，得到4a 2b 2sin 2θ＝4a 2，故|b|sin θ＝1.若|b|确定，则存在两个θ满足条件，且两个θ互补；若θ确定，则|b|唯一确定．故选B. 21．[2014·安徽卷] 设a ，b 为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6 D ．0答案：B [解析] 令S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，则可能的取值有3种情况：S 1＝2＋2，S 2＝＋＋2a·b ，S 3＝4a ·b.又因为|b|＝2|a|.所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2()a －b 2>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a·b ＝(a －b)2>0，S 2－S 3＝(a －b)2>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝4.设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4＝8|a|2cos θ＝4|a|2，所以cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.22．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4，6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]答案：D [解析] 由|CD→|＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D(3＋cos α，sin α)，所以OA→＋OB →＋OD →＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA →＋OB →＋OD→|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin(α＋φ)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2∈[8－27，8＋27]，即|OA →＋OB →＋OD →|∈[7－1，7＋1]．。
2014年全国高考真题(理科数学)分类汇编九、立体几何(逐题详解)
2014年高考题专题整理 --立体几何第I 部分1.【2014年陕西卷（理05）】已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D【解析】D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π2.【2014年重庆卷（理07）】某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.72【答案】B【解析】在长方体中构造几何体'''ABC A B C -,如右图所示，4,'5,'2,3AB A A B B AC ====，经检验该几何体的三视图满足题设条件。
其表面积'''''''''ABC ACC A ABB A BCC B A B C S S S S S S ∆∆=++++，3515615146022=++++=，故选择B3.【2014年安徽卷（理07）】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为俯视图左视图正视图3245C'B'A'C BA（A ）321+ （B ）318+（C ）21（D ）18【答案】A【解析】此多面体的直观图如下图所示表面积为61121622⨯⨯⨯-⨯⨯ 3212)2(432+=⨯⨯+第（7）题图4.【2014年福建卷（理02）】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）A ． 圆柱B ．圆锥C ． 四面体D ．三棱柱【答案】A【解析】圆柱的正视图为矩形，故选：A5.【2014年湖南卷（理07）】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示. 将该石材切割、打磨，加工成球，则能得到最大球的半径等于A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则2286862r r r -+-=+⇒=，故选B6.【2014年辽宁卷（理04）】已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的正（主）视图侧（左）视图俯视图111111111111是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【解析】A ．若m ∥α，n ∥α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错；D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α或n ⊥α，故D 错．故选B7.【2014年全国大纲卷（08）】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π【答案】A【解析】设球的半径为R ，则∵棱锥的高为4，底面边长为2， ∴R 2=（4﹣R ）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A8.【2014年四川卷（理08）】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。
专题05.平面向量(2005—2014十年高考理科数学新课标2学生版)
※知识点※1 角平分线定理
1 2 1 1 CD CB BD a BA a (b a) a b 3 3 3 3 【曹亚云·解析 7】排除法 由角平分线的性质可知，
CD
1 1 a b |a| |b|
第五章
一．基础题组
平面向量
1 【2012 全国，理 6】 ABC 中，AB 边的高为 CD．若 CB a ， CA b ， a b 0 ， | a | 1 ，
| b | 2 ，则 AD (
1 1 A． a b 3 3
二．能力题组
)
2 2 B． a b 3 3
3 3 C． a b 5 5
2 a b 0 a b 2 因为 a b 2 未必成立，所以排除选项 A
同理，可排除选项 C、D 2 2 1 4 2 1 2 2 2 1 B 选项 因为 CD a b ，所以 ( a b) (b 2a) 0 a b a b b a 0 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 显然 0 0 成立，故选 B 【曹亚云·解析 6】直接法 因为 CD 平分∠ACB，所以
D B C
CD CB BD
1 a BA 3 1 a (b a) 3 2 1 a b 3 3
※知识点※1 向量的分解；2 向量的加法 ※知识点※1 共线定理 ※知识点※1 向量的减法 ※知识点※1 合并同类项（初中）
【曹亚云·解析 2】在解析 1 的基础上， CD CA AD 【曹亚云·解析 3】在解析 1 的基础上， CD BD BC 【曹亚云·解析 4】在解析 1 的基础上， CD AD AC 【曹亚云·解析 5】因为 cos CD , CA
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一、 选择题
1.（2014 安徽理 10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,a b ，1==a b ，=0⋅a b ，点Q 满足()2OQ =+a b .曲线{}
cos sin 02πC P OP θθθ==+<，…a b ，区域{}0P r PQ R r R Ω=<<<≤，.若C Ω为两段分离的曲线，则（ ）.
A. 13r R <<<
B. 13r R <<…
C. 13r R <<…
D. 13r R <<<
2.（2014 大纲理 4） 若向量,a b 满足：1=a ，()+⊥a b a ，()2+⊥a b b ，
则=b （ ）.
A ．2
B
C ．1
D 3.（2014 福建理 8）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是（ ）.
A.()()120,0,1,2==e e
B.()()121,2,5,2=-=-e e
C.()()123,5,6,10==e e
D.()()122,3,2,3=-=-e e
4.（2014 广东理 5）已知向量()1,0,1,=-a 则下列向量中与a 成60︒夹角的是（ ）.
A ．()1,1,0- B. ()1,1,0- C. ()0,1,1- D. ()1,0,1-
5.（2014 辽宁理 5）设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0⋅=a b ，0⋅=b c ，则0⋅=a c ；命题q ：若//a b ，//b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）.
A ．p q ∨
B ．p q ∧
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()p q ∨⌝
6.（2014 四川理 7）平面向量()1,2=a ，()4,2=b ，m =+c a b ()m ∈R ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =( ).
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
7.（2014 天津理 8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD
?，点,E F 分别在边,BC DC 上， BE BC λ=，DF DC μ=.若1AE AF ?，23CE CF ?-，则λμ+=（ ）. A.12 B.23 C.56 D.712
8.（2014 新课标2理3）设向量,a b 满足+=a b -=a b ，则⋅=a b （ ）.
A.1
B.2
C.3
D.5
9.（2014 浙江理 8）记{},max ,,x x y x y y x y ⎧=⎨
<⎩…，{},min ,,y x y x y x x y ⎧=⎨<⎩…，设,a b 为平面向量，则（ ）.
A.{}{}min ,min ,a b a b a b +-…
B. {}
{}min ,min ,a b a b a b +-… C.{}2222max ,a b a b a b +-+… D.{}2222max ,a b a b a b +-+… 10.（2014 重庆理 4）已知向量()()(),3,1,4,2,1k ===a b c ，且()23-⊥a b c ，则实数k =
( ). A. 92-
B. 0
C. 3
D. 152
二、填空题 1.（2014 北京理 10）已知向量a ，b 满足
1=a ，()2,1=b ，且()λλ+=∈0R a b ，则λ=________.
2.（2014 湖北理 11）设向量()3,3=a ，()1,1=-b ，若()()λλ+⊥-a b a b ，则实数λ=________.
3.（2014 湖南理 16）在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -
，(0B ,()30C ，，动点D 满足1CD =，则OA OB OD ++的最大值是________.
4.（2014 江苏理 12）如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则A B A D ⋅的
值是 ．
5.（2014 江西理 14）已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232=-a e e 与123=-b e e 的夹角为β，则cos β= .
6.（2014 山东理 12）在ABC △中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uuu r ，当π6
A =时，ABC △的面积为 .
7.（2014 陕西理 13） 设π02
θ<<，向量()()sin 2,cos ,cos ,1θθθ==a b ，若//a b
，A
则=θtan _______.
8.（2014 新课标1理15）已知,,A B C 是圆O 上的三点，若()
12AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .
三、解答题
1.（2014 辽宁理 17）（本小题满分12分）
在ABC △中，内角,,A B C 的对边,,a b c ，且a c >.已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =.求：
（1）a 和c 的值；
（2）()cos B C -的值.
2.（2014 山东理 16）（本小题满分12分）
已知向量()(),cos2,sin 2,m x x n ==a b ，函数()f x =⋅a b ，且()y f x =的图像过
点π12⎛ ⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
. （1）求,m n 的值；
（2）将()y f x =的图像向左平移()0πϕϕ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.
3.（2014 陕西理 18）（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，已知点()()()1,12,3,3,2A B C ，点(),P x y 在ABC △三边围成的区域（含边界）上.
（1）若PA PB PC ++=0，求OP ；
（2）设(),OP mAB nAC m n =+∈R ，用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.。