新-第5章之二-三维图形生成和变换技术-2
三维投影变换大致分类如图所示。
计算机图形学
平行投影是将物体上所有点都沿着一组平行线投影到投影 平面，而透视投影是所有点沿着一组汇聚到一个称为投影中 心的位臵的线进行投影，两种方法如图所示。
投影平面 投影平面
(a)平行投影 图 5.26 平行和投影平面
(b)透视投影
计算机图形学
1．正平行投影变换 投影方向垂直于投影平面时称正平行投影。 （l）正投影变换 在工程上将三维坐标系OXYZ中的三个坐标平面分别为H 面（XOY平面）、V面（XOZ平面）和W面（YOZ平面）。如 图所示。
计算机图形学
所以，要求得一个三维实体在V面上的三视图，必须将 三维实体上各点分别乘以新的变换矩阵TV,TH,TW即：
1 0 TV 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 TH 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
计算机图形学
对正六面体进行正轴测投影变换如下图所示：
(a)空间立体图
(b)立体正轴测图
图 5.30 立体正轴测投影
计算机图形学
如图所示，进行轴测投影变换后，立体上原来的坐标轴 OX，OY，OZ 变 换 成 轴 测 图 上 轴 测 O′X′，O′Y′， O′Z′。下面我们讨论变换的轴向变形系数和轴间角。
1 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 cos90 sin90 0 0 sin90 cos90 1 0 0 0
0 0 0 1
计算机图形学
所谓正投影就是三维图形上各点分别向某一坐标平面作垂线 ，其垂足便称为该三维点投影点，将所有投影点按原三维图形 中点与点之间的对应关系一一连起来便得到了一平面图形，这 一平面图形称为三维图形在该平面上正投影。 如图所示。在V面上的投影图形称主视图，在H面上的投影图 形称俯视图，在W面上的投影图形称侧视图。
图 5.31 轴向变形系数和轴间角
计算机图形学
a．轴向变形系数 取三根坐标轴上的点，它们的齐次坐标分别为 A[l 0 0 1]，B［0 1 0 1］，C［0 0 1 1］， 对它们分别进行正轴测投影变换得：
cos si n A1 0 0 1 0 0 cos 0 si n si n x 'a
0 0 0 0 1
si n si n cos si n cos 0
0 0 0 1
y' a
z 'a
1 A'
计算机图形学
0 si n si n cos si n 0 cos si n B0 1 0 1 0 0 cos 0 0 0 si n 0 cos si n 1 x 'b
计算机图形学
④ 三视图
上面投影后的三面投影图仍位于空间，根据工程中 需要还须将V面，H面，和W面上得到的三个正投影以一 定方式展平在同一平面上而得到三个视图，习惯上是放 在V面上。
为了在V面上构成三视图，使V面上投影保持不变， 而使H面上正投影绕X轴逆转90˚到V面，为了防止与原V 面上投影发生拥挤现象，再让它向轴方向平移一段距离 n。同样，使w面上正投影绕Z轴正转90˚，再向轴方向移 一段距离l。
0
计算机图形学
A′,B′,C′分别位于轴测轴 O′X′, O′Y′, O′Z′
上，故各轴的轴向变形系数为：
O' A' x OA
x z 1
'2 b
'2 a
'2 a
cos2 si n2 si n2 si n2 cos2 si n2
O' B' x z y OB 1 O' C ' z z 'c cos OC
2 cos 2 cos 2 0
在 正 轴 测 投 影 变 换 中 一 般 90o , 即 cos2 0, ， cos 2 0 2 90
45
取
45
计算机图形学
将 45 代 入si n2 cos2 si n2 cos2 中 得 1 1 1 si n2 cos2 si n2 2 2 3 si n 3 3 取 将
计算机图形学
因此将绕Z轴旋转变换矩阵TZ，绕X轴旋转的变换矩阵 TX 和向V面作正投影的变换矩阵 TV 连乘，即得到正轴测变 换矩阵：
cos sin T正 TZ TX TV 0 0 cos 0 sin sin sin 0 cos sin 0 0 cos 0 0 0 0 0 cos 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 sin 0 0 1 0 cos sin 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
y' z ' 1
变换后点A′坐标为：
x' x cos y sin ,
y' 0
计算机图形学
z ' ( x sin sin y cos sin ) z cos
将θ和φ值代入正轴测变换矩阵T正，再将立体顶点 位臵矩阵乘此变换矩阵T正，可获得立体顶点正轴测图位 臵矩阵，最后依次将各顶点连线，即可得到立体的正轴 测图。选用不同θ和φ值，可以产生不同的正轴测图。 工程中常用的有正等测图、正二测图。
计算机图形学
② 水平面（H面）投影俯视图变换 水平面投影是物体在XOY平面上投影，使物体的z坐标 都等于零，x和y坐标不变，其变换矩阵是：
1 0 TH 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
x
y z 1 TH x x' x , y' y
0 0 0 1 0 0 0 n
0 0 0 1
1 1 TW 0 l
计算机图形学
（2）正轴测投影变换 ①正轴测投影变换矩阵 若将空间立体绕某个投影面所包含的两个轴向旋转 ，再向该投影面作正投影，即可获得立体正轴测图。通 常选用V面（XOZ坐标平面）为轴测投影面，所以将立体 绕Z轴正向旋转θ角，再绕X轴反向旋转φ角，最后向V面 作正投影。
计算机图形学
再向轴方向移 使w面上正投影 一段距离l。 绕Z轴正转90˚ Z 以上立方体为例，V面 上投影保持不变 E H面上正投影绕X 轴逆转90˚到V面 X C D 为了防止与原V面上投影 Y 发生拥挤现象，再让它向 轴方向平移一段距离n。
计算机图形学
G
F H
变换矩阵为：
1 0 TV 0 0 1 0 TH 0 0
y 0 1 x' y' z' 1 z' 0
即
计算机图形学
③
侧面（ W面）投影侧视图变换 侧面投影是物体在YOZ平面上投影，使物体的x坐标 都等于零，y和z坐标不变，其变换矩阵是
0 0 0 0 0 1 0 0 TW 0 0 1 0 0 0 0 1 x y z 1 TW 0 y z 1 x' y' z' 1 即 x' 0, y' y z' z
cos90 sin90 sin90 cos90 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
1 0 0 l
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
得出三视图除上述方法外，还可以先将立方体绕坐标轴 X（或Z）旋转90˚，再平移n(或l)，最后作正投影变换 。其实两种方法得到结果是一样。
计算机图形学
① 正面（V面）投影主视图变换 正面投影是物体在XOZ平面上的投影，使物体的y坐标 都等于零，x和z坐标不变，其变换矩阵是：
1 0 TV 0 0 x y 即 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 z 1 TV x 0 z 1 x' y' z' 1 x' x , y' 0 z' z
计算机图形学
对于立体上任一顶点A(x,y,z)正轴测变换投影结果为：
cos 0 sin sin 0 sin 0 cos sin 0 A T正 x y z 1 0 0 cos 0 0 0 0 1 x cos y sin 0 x sin sin y cos sin z cos 1 x'
z 'b
图 5.31 轴向变形系数和轴间角
计算机图形学
②正等测投影变换 正等测投影为三根轴上变形系数相等的正轴测投影，即 由此可得：
由 cos2 sin2 sin2 sin2 cos2 sin2 cos2 cos2 sin2 sin2 sin2 cos2 sin2 (cos2 sin2 ) sin2 (cos2 sin2 ) 0 cos 2 1 sin2 0 可得： 所以
C 0 0 x 'c
0 0 0 1
y' b
z 'b
0 1 1 cos y' c z 'c
1 B' cos si n 0 0
1 1 C'
0 0 0 0
si n si n cos si n cos 0
0 0 0 1
3516'
3516'
‘ 45， 3516
维图形生成三维图形的方法技巧
网格表示法
使用三维网格来表示三维 图形，网格由多个小立方 体或三角形等基本单元组 成。
二维与三维之间的转换关系
投影转换
截面转换
通过投影将三维图形转换为二维图形，常 用的投影方式包括正交投影和透视投影。
通过截取三维图形的某个截面来获得二维 图形，截面可以是平面或曲面。
旋转转换
拉伸转换
将二维图形绕某个轴旋转一定角度，从而 生成三维图形。旋转可以围绕x轴、y轴或z 轴进行。
灵活的动画和动力学模拟
提供了灵活的动画工具和动力学模拟 功能，可以实现复杂的动画效果。
跨平台兼容性
Blender 是一款跨平台的软件，可以 在 Windows、Mac 和 Linux 等操 作系统上运行。
07
总结与展望
当前存在的问题和挑战
1 2 3
真实感与计算效率的平衡
生成高度真实的三维图形往往需要大量的计算资 源，如何在保证图形质量的同时提高计算效率是 一个重要挑战。
掌握将二维图形生成三维图形的 方法技巧对于相关领域从业人员
具有重要意义。
三维图形的应用领域
影视特效
电影、电视中的特效制作广泛 应用三维图形技术，如角色动 画、场景建模等。
建筑设计
建筑师使用三维图形技术来创 建建筑模型，进行可视化设计 和分析。
计算机游戏
游戏中的场景、角色和道具等 大量使用三维图形技术，以提 供更逼真的游戏体验。
05
三维图形的优化技
术
模型简化
顶点聚类
将相近的顶点合并为一个代表点， 减少顶点数量。
边折叠
将一条边的两个顶点合并为一个 顶点，同时保持模型的拓扑结构。
面片简化
通过合并相邻面片或删除不重要 的面片来简化模型。
三维几何变换-Read
第五章三维几何变换三维的几何变换是在二维的基础上增加子坐标的考虑而得到的，平衡、缩放较简单，但旋转则要复杂一些。
旋转：1、绕三个坐标轴的二维旋转的复合据给定轴的方向和旋转角度建立的旋转阵§1、平移tx,ty,tz,为x,y,z坐标平移的距离空间的点用齐次坐标表示（）列向量§2、旋转物体旋转时，必须指定一个旋转轴和旋转角度二维旋转，旋转轴为子轴三维旋转，可能指定为围绕空间任意直线进行，平行于坐标轴的旋转是其中最简单的。
通常沿坐标轴的正半轴向原点作观察，绕坐标轴的逆时针旋转为正向旋转。
这与二维旋转是一致的。
如绕子轴的旋转的齐次坐标变换绕x轴绕y轴△一般三维旋转1、绕过原点的直线的旋转设直线l过原点，且表示它的单位向量，绕l旋转角，角为+，观察者的目光与e的方向相反，逆时针方向。
顺时针方向，从几何上考虑， BP’垂直于，也垂直于绕坐标轴的旋转成为特例绕z轴（0，0，1）绕y轴（0，1，0）绕x轴（1，0，0）2、绕空间任一直线的旋转直线l过点P0(X0，Y0，Z0)，方向（）可通过变换的合成1）P2）绕过原点方向为的直线旋转3）（0，0，0）→P§3、缩放相对于坐标原点的缩放变换相对于绽点的缩放变换三个变换的合成§4、反射和错切一、反射三维反射可以是关于给定反射轴的或者是关于反射平面的1、关于给定轴的反射等价于绕此轴的旋转180度2、关于某点的反射P （）1）平移P0（x0，y0，z0）→（0，0，0）2）关于原点的反射R P3）平移（0，0，0）→（）3、关于平面的反射设平面过P 过，转向为关于点的反射，可看成为二、错切错切变换将改变物体的形状，也用于获得一般投影变换的三维观察中。
如子轴错切效果用一个与子值成比例的数值来改变x和y的坐标值，同时保持子坐标不变。
对其它x轴，y轴可类似地定义关于平面§5、复合变换运用变换矩阵的左乘形成复合变换阵首先设置一个单位阵§6、坐标系变换观察坐标系统变化1）平移2）旋转R物体在xyz坐标系下致到期坐标系下的变换阵R将功赎罪分别变到轴上第六章二、三维观察变换§1、二维观察二维观察操作（变换）将世界坐标平面上的点变换到输出设备平面中的象素位置，经过平移、旋转、缩放、裁剪等操作。
新-第5章之二-三维图形生成和变换技术-2
z 'b
图 5.31 轴向变形系数和轴间角
计算机图形学
②正等测投影变换 正等测投影为三根轴上变形系数相等的正轴测投影，即 由此可得：
由 cos2 sin2 sin2 sin2 cos2 sin2 cos2 cos2 sin2 sin2 sin2 cos2 sin2 (cos2 sin2 ) sin2 (cos2 sin2 ) 0 cos 2 1 sin2 0 可得： 所以
y' z ' 1
变换后点A′坐标为：
x' x cos y sin ,
y' 0
计算机图形学
z ' ( x sin sin y cos sin ) z cos
将θ和φ值代入正轴测变换矩阵T正，再将立体顶点 位臵矩阵乘此变换矩阵T正，可获得立体顶点正轴测图位 臵矩阵，最后依次将各顶点连线，即可得到立体的正轴 测图。选用不同θ和φ值，可以产生不同的正轴测图。 工程中常用的有正等测图、正二测图。
计算机图形学
因此将绕Z轴旋转变换矩阵TZ，绕X轴旋转的变换矩阵 TX 和向V面作正投影的变换矩阵 TV 连乘，即得到正轴测变 换矩阵：
cos sin T正 TZ TX TV 0 0 cos 0 sin sin sin 0 cos sin 0 0 cos 0 0 0 0 0 cos 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 sin 0 0 1 0 cos sin 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
现代设计方法三维图形的几何变换
a13 a23 a33 a43
a14
a24 a34 a44
透视投影
总体比例
平移
17
（6）三维复合变换 三维复合变换是指图形作一次以上的变换，变换 结果是每次变换矩阵相乘。
18
a. 相对任一参考点的三维变换
相对于参考点F(xf, yf, zf)作比例、旋转、错切等 变换的过程分为以下三步：
将参考点F移至坐标原点
灭点 灭点 灭点 灭点 灭点
(a)一点透视
一个主灭点，即投影面 与一个坐标轴正交，与 另外两个坐标轴平行。
(b)二点透视 投影面与两个坐标轴相交，
灭点
(c)三点透视
投影面与三个坐标 轴都相交
37
与另一个坐标轴平行。
透视投影
时为正三测。
32
z
投影平面
O
z
投影平面
O
z
投影平面
O
z
O
z
O
z
O
(a)正等测
(b)正二测
(c)正三测
正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图
33
二、斜投影 斜投影图
——即斜轴测图，是将三维形体向一个单一的
投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影 面所得到的平面图形。 常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。
21
2.4.3 图形的投影变换
问题：在二维屏幕上如何显示三维物体？ 显示器屏幕、绘图纸等是二维的 显示对象是三维的
解决方法----投影
投影变换 —— 就是把三维立体（或物体）投
射到投影面上得到二维平面图形。
22
平面几何投影可分为两大类 透视投影 ——投影中心到投影面之间的距离是有限的 平行投影 ——投影中心到投影面之间的距离是无限的
三维图形变换
三维图形变换是在二维方法基础上增加了对z坐标的考虑得到的。
与二维变换类似，引入齐次坐标表示，即：三维空间中某点的变换可以表示成点的齐次坐标与四阶的三维变换矩阵相乘。
一、平移变换二．比例变换例如：对长方体进行比例变换，三、旋转变换跟二维的相同四、对称变换有关于坐标平面、坐标轴的对称变换（1）关于坐标平面的对称绕哪个面变换，那个面不变变换矩阵为：其它均类似（2）关于坐标轴变换6.2 投影变换投影变换就是把三维物体投射到投影面上得到二维平面图形两种投影法的本质区别在于：透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的；而另一个的距离是无限的。
一、中心（透视）投影特点：投影线均通过投影中心，物体的投影视图由计算投影线与观察平面交点而得在投影中心相对投影面确定的情况下，空间的一个点在投影面上只存在唯一一个投影。
透视投影生成真实感视图，但不保证相关比例。
二、平行投影1、把透视投影的中心移至无穷远处，则各投影线称为相互平行的直线，这种投影2、分为正投影和斜投影3、特点：保持物体的有关比例不变三、平面集合投影的分类6.3 三视图一、1、根据投影面与坐标轴的夹角可分为两类：三视图和正轴侧图。
当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图，这是投影方向与这个坐标轴的方向一致；否则，得到的投影为正轴侧图2、三视图包括主、侧、俯视图三种，投影面分别于x/y/z轴垂直3、优点：反映形体的实际尺寸，工程制图中常用三视图来测量形体间的距离、角度以及相互位置关系。
4、缺点：三视图上只有物体一个面的投影，只有将三个图放在一起，才能综合物体的空间形状二、三视图的计算1>确定三维物体上个点的位置坐标2>引入齐次坐标，求出所做变换相应的变换矩阵3>将所做变换用矩阵表示，通过运算求得三维物体上各点经变换后的点坐标值4>由变换后得到的二维点绘出三维物体投影后的三视图三、1>主视图：将三维物体xoz面（又称v面）做垂直投影，得到主视图2>俯视图：将三维物体xoy面（又称h面）做垂直投影，得到俯视图为了让其与主视图在一个平面内，让俯视图绕x轴旋转90°。
三维变换
投影线
投影面
A A'
投影中心
B'
B
A'
投影中心在
无穷远处
B'
A B
平行投影
•正投影与斜投影
6.3.2 正投影——三视图的形成
• 将三个投影面画在一个平面上：
（1）V面投影图保持不变（称正投影面，主视图）； （2）H面绕OX轴向下翻转90度（称水平投影面，俯视图）； （3）W面绕OZ轴向后翻转90度（称侧投影面，左视图）； （4）省去投影面的边框和投影轴。见下页。
(x’, y’, z’)
(x’’, y’’, z’’)
1 2
(x, y, z)
x
z
6.2.2 三维几何变换
• 旋转变换
– 绕y轴
y
cos 0 sin 0
Ry
(
)
0
sin
1
0
cos
0 0
0 0 0 1
(x’, y’,
z’)
(x, y, z)
x
z
6.2.2 三维几何变换
• 旋转变换
– 绕z轴
cos
A B
D
x
C
图1
P(2，-2，0)
Y
C(0，2，0)
y
A(2，0，0)
B(2，2，0)
X
图2
随堂练习
4. 假定空间直线AB两端点坐标为A(0,0,0)B(2,2,2)，
试写出绕AB轴旋转30度的三维复合变换矩阵。(问：
方向数为？？)
Y
1) （毋需）
2)AB绕X轴旋转α角，使之落到ZX平面上；
3)将AB绕Y轴旋转β角，使之与Z轴重合；
三维图形观察与变换-Read
三维观察概念
☆三维主要问题 ☆三维观察变换 ● 三维观察概念 ● 三维观察特点 ● 三维观察流程 ● 观察流程示意 ☆三维几何变换 ☆观察坐标系 ☆平面几何投影 ☆一般观察投影 ☆三维裁剪问题 • 三维景物视图的计算机生成类似照片拍摄：
• • 首先，用景物的一特殊点给相机定位； 然后，确定相机方向、相机朝向及绕视线的旋转；
☆观察坐标系 ☆平面几何投影 ☆一般观察投影
三维坐标系定义
☆三维主要问题 ☆三维观察变换 ☆三维几何变换 ● 三维坐标系定
义 ● 三维坐标表示 ● 三维缩放变换 ● 三维旋转变换 ◘ 坐标轴旋转 ◘ 任意轴旋转 ◘ 任意旋转矩阵 ◘ 坐标对齐矩阵 ● 三维反射变换 ● 三维错切变换 ● 三维坐标系变 换
• 右手坐标系
– 右手的四个手指按照x轴向y轴旋转90度的方向握住 z轴，大拇指所指的方向与z轴正向一致。
– 一般地，当拇指与某一坐标轴同向时，四指所指的 方向为绕该轴的正向旋转方向。
x轴：y→z；
y轴：z→x；
z轴：x→y。
Y Z Y Z X y
•
最后，按下快门。
– 拍摄时，可以走动，并以任何角度、各种距离和方 向。 – 景物按相机镜头的大小来修剪，光线从可视表面投 影到相机胶片上。在取景器中出现的都被投影到胶 片上； – 相机镜头的类型和大小决定景物出现在最终相片中 的部分。
三维观察与变换特点
☆三维主要问题 ☆三维观察变换 ● 三维观察概念 ● 三维观察特点 ● 三维观察流程 ● 观察流程示意 ☆三维几何变换 ☆观察坐标系 ☆平面几何投影 ☆一般观察投影 ☆三维裁剪问题 • 对三维图形应用而言，照相机“照相”概念思想渗入三 维图形包中，但图形包生成景物的视图有更大的灵活性 和更多的选择。
第5章图形变换2
2015/12/17
计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C)
23
5.3.1 投影变换分类(Projection transformation classification) 在投影变换中，观察平面称为投影面(projection plane )。 将三维图形投影到投影面上，有两种基本的投影方式，即平 行 投 影 (parallel projection) 和 透 视 投 影 (perspective projection)。在平行投影中，图形沿平行线变换到投影面上； 对透视投影，图形沿收敛于某一点的直线变换到投影面上， 此点称为投影中心(center of projection)，相当于观察点，也 称为视点(viewing position)。投影线与投影面相交在投影面 上形成的图象即为三维图形的投影。 平行投影和透视投影区别在于透视投影的投影中心到投 影面之间的距离是有限的，而平行投影的投影中心到投影面 之间的距离是无限的。当投影中心在无限远时，投影线互相 平行，所以定义平行投影时，给出投影线的方向就可以了， 而定义透视投影时，需要指定投影中心的具体位置。
计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C)
18
5.2.4 对称变换(Reflection) 三维对称变换可以是关于给定对称轴的或者是关 于给定对称平面的变换。关于给定对称轴的对称变换 等价于绕此轴旋转 180°，可以直接使用已讨论过的 相对于轴线的旋转变换公式。关于给定对称平面的对 称变换其最简单的是对称于坐标平面的变换。比如， 空间一点 P(x,y,z) 对XY 坐标平面对称变换时，只需改 变z 坐标的正负号，其它两坐标不变，因此，其变换 的矩阵表示为：
二维三维图形的变换原理和算法
图形变换的基本原理
采用了齐次坐标表示法以后，我们可以把二维 的线性变换表示成如下规格化的形式：
a1 a2 0 ［x* y* 1］＝［x y 1］ b1 b2 0
其中： a1 a2 0
图形变换的基本原理
从图形上来看，两种表示方法是没有实质性差别 的。但却为后面矩阵运算的实现提供了可行性和 方便。
Z Z=1
Y X
图形变换的基本原理
这种用三维的向量来表示一个二维向量， 进一步推广来说，用一个 n+1维的向量来 表示 n 维向量的方法，叫做齐次坐标表示 法。（注意，增加的一维是常数 １）
比例变换
比例变换
– 下面讨论缩放因子a1，b2 对图形变换的影响：
• a1 = b2 = 1, 为恒等变换，即变换后点的坐标不变。 • a1 = b2 ≠1，则为等比例变换。
–a1 = b2 >1，图形沿 x 和 y 两个方向等比例放大。 –0 < a1 = b2 <1，图形沿 x 和 y 两个方向等比例例缩小。
0 01
错切变换
错切变换
Y
Y
– 沿 x 向错切变换结果：
x* = x + b1y
y* = y
X
– 从以上结果(a可) 以原看图 到：
X
(b) 沿x方向错切
• 新有图值形的各基顶础点上的增加y 坐了标一图没个6有增-7变量，△错而x，切x这变坐个换标增是量在是原坐
标值 y 的正比例函数（△x = b1y）。所以使得整 个图形在等高的前提下，沿 x 向发生了倾斜，倾 斜角度 （ tan = b1y/y =b1）。
三维几何变换
三维几何变换利用3×3矩阵，可以实现部分三维变换，如绕X轴、Y轴、Z 轴旋转的变换矩阵为Tx=[1 0 0 ][0 cosθ sinθ][0 -sinθ cosθ]Ty=[cosθ 0 -sinθ][ 0 1 0 ][sinθ 0 cosθ]Tx=[cosθ sinθ 0 ][-sinθ cosθ 0][ 0 0 1]但是，利用齐次坐标变换更方便。
三维空间点[X Y Z]用四维齐次坐标表示为[X Y Z]或[X’Y’ Z’ H]，因此三维空间点的变换可写为[X Y Z H]T=[X’ Y’ Z’H]=[X’/H Y’/H Z’/H1]=[X’ Y’ Z’ 1]式中T为变换矩阵，与二维变换矩阵对应，三维变换矩阵为4×4方阵，即T=[a b c|p][d e f|q][h i j|r][-------|-][l m n|s]=[3×3|3×1][----|----][1×3|1×1]此方阵也可以分为4个部分，由二维变换可知，其中3×3矩阵起比例变换，映射变换，错切变换和旋转变换的作用，1×3矩阵起平移变换的作用，3×1矩阵起透视变换的作用，而1×2矩阵起比例变换的作用，下面通过具体图例说明各部分算子的作用，也就是基本三维几何变换。
1、三维比例变换在3×3矩阵中，主对角线上算子a、e、j控制比例变换，令其他算子为零，则三维点[X Y Z]的比例变换写为[X Y Z 1]·S=[X Y Z 1][[a 0 0 0][0 e 0 0][0 0 j 0][0 0 0 1]]=[aX eY jZ 1]=[X* Y* Z* 1]由上式可知，a、e、j分别控制X、Y、Z的比例变换，若令a=e=j=1,则算子S可使整个图形按同一比例放大或缩小。
[X Y Z 1][[1 0 0 0][0 1 0 0][0 0 1 0][0 0 0 1]]=[X Y Z S]=[X/S Y/S Z/S 1]=[X* Y* Z* 1]上式中，若S>1，则整个图形缩小；若S<1，则整个图形放大。