椭圆的定义及标准方程(动态课件)
02猜想探究 instructional strategies
01 01 教学分析 情景引入
02 02 教学策略 02 猜想探究 教学策略
03 03 教学过程 课堂小结
04 04 教学效果 课后作业
观察：
2. 在画椭圆的过程中，绳子的 长度变了没有？ 说明了什么？？
02猜想探究 instructional strategies
02 02 教学策略 02 猜想探究 教学策略
03 03 教学过程 课堂小结
04 04 教学效果 课后作业
猜想： （2）由观察到的椭圆的特点椭圆 怎么定义？
02猜想探究 instructional strategies
01 01 教学分析 情景引入
02 02 教学策略 02 猜想探究 教学策略
03 03 教学过程 课堂小结
01 01 教学分析 情景引入
02 02 教学策略 02 猜想探究 教学策略
03 03 教学过程 课堂小结
04 04 教学效果 课后作业
观察：
3. 在画椭圆的过程中，绳子长度与两定 点距离大小有怎样的关系？
02猜想探究 instructional strategies
01 01 教学分析 情景引入
03 03 教学过程 课堂小结
04 04 教学效果 课后作业
猜想： （1）椭圆怎么画出来的
02猜想探究 instructional strategies
01 01 教学分析 情景引入
02 02 教学策略 02 猜想探究 教学策略
03 03 教学过程 课堂小结
04 04 教学效果 课后作业
观察：
1. 在画椭圆的过程中，细绳的 两端的位置是固定的还是运动的？
01 01 教学分析 01 情景引入 教学分析
01 02 02 教学策略 情景引入 猜想探究
03 01 03 教学过程 情景引入 课堂小结
04 01 04 教学效果 情景引入 课后作业
（3）想一想
a.圆是怎么画出来的？
01情景引入 Teaching analysis
01 01 教学分析 01 情景引入 教学分析
练习：
03课堂小结 teaching process
01 01 教学分析 情景引入
02 02 教学策略 猜想探究
03 03 教学过程 03 课堂小结 教学过程
04 04 教学效果 课后作业
1.椭圆的初步探究
2.椭圆的定义 3.椭圆在x轴上的标准方程
04课后作业 Teaching effect
01 01 情景引入 教学分析
04 04 教学效果 课后作业
猜想： （3）椭圆的标准方程又是怎样的
椭圆的标准方程(焦点在x轴上) y
o
02猜想探究 instructional strategies
01 01 教学分析 情景引入
02 02 教学策略 02 猜想探究 教学策略
03 03 教学过程 课堂小结
04 04 教学效果 课后作业
祁阳县中等专业学校
TOPIC:
ellipse
椭
圆
01情景引入 Teaching analysis
01 01 教学分析 01 情景引入 教学分析
02 02 教学策略 猜想探究
03 03 教学过程 课堂小结
04 04 教学效果 课后作业
（1）做一做：
用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌 面上，水平面是什么形状．当端起水杯喝水 时，水杯倾斜，再观察水平面
01 02 02 教学策略 情景引入 猜想探究
03 01 03 教学过程 情景引入 课堂小结
04 01 04 教学效果 情景引入 课后作业
（3）想一想
b.圆的定义是什么？ 平面内到定点的距离为定长的点 的轨迹叫做圆。
01情景引入 Teaching analysis
01 01 教学分析 01 01 情景引入 教学分析
01 02 02 教学策略 情景引入 猜想探究
03 01 03 教学过程 情景引入 课堂小结
04 01 04 教学效果 情景引入 课后作业
（3）想一想
c.圆的标准方程是什么形式的？
y b
a r
o
x
02猜想探究 instructional strategies
01 01 教学分析 情景引入
02 02 教学策略 02 猜想探究 教学策略
01情景引入 Teaching analysis
01 01 教学分析 01 情景引入 教学分析
01 02 02 教学策略 情景引入 猜想探究
03 01 03 教学过程 情景引入 课堂小结
04 01 04 教学效果 情景引入 课后作业
（2）生活中的椭圆
椭圆轨道
椭圆形状
01情景引入 Teaching analysis
练习：
例2.已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为12， 椭圆上的点到两个焦点的距离之和为20， 求椭圆的标准方程
02猜想探究 instructional strategies
01 01 教学分析 情景引入
02 02 教学策略 02 猜想探究 教学策略
03 03 教学过程 课堂小结
04 04 教学效果 课后作业
02 02 教学策略 猜想探究
03 03 教学过程 课堂小结
04 04 教学效果 04 课后作业 教学效果
1.已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为24，椭 圆上的点到两个焦点的距离之和为26，求 椭圆的标准方程
谢谢您的聆听，再见！
练习：
例1.已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8， 椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10， 求椭圆的标准方程
02猜想探究 instructional strategies
01 01 教学分析 情景引入
02 02 教学策略 02 猜想探究 教学策略
03 03 教学过程 课堂小结
04 04 教学效果 课后作业
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椭圆的课件ppt
$y=bsintheta$。
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。
2.1.1 第一课时 椭圆的定义及标准方程的求法 课件(人教A选修1-1)
[自主解答] ∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋ |AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a， ∴△ABF2的周长为4a.
凡涉及椭圆上的点与椭圆焦点距离的问题，均可 考虑定义，本例说明过椭圆的焦点的弦的两端点与另 外一焦点所构成的三角形的周长为定值4a.
[例 3] 求经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)的椭圆的标准方程． [自主解答] 法一：若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a>b>0)． 由已知条件得aa4122＋ ＋b4212b4＝2＝1， 1，解得ab1122＝ ＝1814， . 所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
2．根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上 任意一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭 圆经过点(－32，52)；
解：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4. ∴b2＝a2－c2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
3．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时， 把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形 式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；② 不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．
若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)． 由已知条件得bb4122＋＋a4212a4＝2＝1，1，解得ab1122＝＝1418.， 即 a2＝4，b2＝8，则 a2<b2，与题设中 a>b>0 矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
凡涉及椭圆上的点与椭圆焦点距离的问题，均可 考虑定义，本例说明过椭圆的焦点的弦的两端点与另 外一焦点所构成的三角形的周长为定值4a.
[例 3] 求经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)的椭圆的标准方程． [自主解答] 法一：若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a>b>0)． 由已知条件得aa4122＋ ＋b4212b4＝2＝1， 1，解得ab1122＝ ＝1814， . 所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
2．根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上 任意一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭 圆经过点(－32，52)；
解：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4. ∴b2＝a2－c2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
3．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时， 把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形 式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；② 不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．
若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)． 由已知条件得bb4122＋＋a4212a4＝2＝1，1，解得ab1122＝＝1418.， 即 a2＝4，b2＝8，则 a2<b2，与题设中 a>b>0 矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件3.1.1椭圆的标准方程
又由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4.
在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,
即4=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos 60°,
即4=16-3|PF1|·|PF2|.
1
= ,
4
1
= 2.
2
故椭圆的标准方程为 4
+
2
=1.
2
+
2
=1.
4
角度2定义法
【例2】一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求
这个动圆圆心的轨迹方程.
分析 设出动圆的圆心及半径,利用两圆相切的几何条件列式求解.
解 两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.
2 2
+
4
3
=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且
∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是
√3
.
分析结合∠F1PF2=60°,借助椭圆的定义及余弦定理求出|PF1|·|PF2|后,利用
三角形的面积公式求解.
解析 由椭圆的标准方程知 a=2,b=√3,
∴c= 2 - 2 =1,∴|F1F2|=2.
圆的条件是 m>n>0,其表示焦点在 y 轴上的椭圆的条件是 n>m>0.
(2)若给出椭圆方程 Ax2+By2=C,则应先将该方程转化为椭圆的标准方程的形
式
2
+
椭圆的标准方程ppt课件
则: MF1 + MF2 =2a 即: (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
04:07
所以 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2
两边平方得: (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
F1 O
x2 y2 1(a b 0)
F2 x
a2 b2
根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，
c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此
椭圆的标准方程为
x2
y2
1
04:07
2.25 0.81
例4、将圆x2+y2=4上的点的横坐标 保持不变，纵坐标变为原来的一 半，求所得曲线的方程，并说明 它是什么曲线.
Y M 求椭圆的方程
F1
O
F2 X YM
F1
O
F2 X
如图所示： F1、F2为两定点，且 F1F2 =2c， 求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a （2a>2c)的动点M的轨迹方程。
04:07
Y M (x,y)
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点 为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、 F设2的M坐（标x,y分)为别所为求(-c轨,0迹)、上(c的,0任)。意一点，
a2 16,b2 8
c2 a2 b2 16 8 8
c 2 2 2c 4 2
焦点为：F1(1, 0), F2 (1, 0)
焦距为： 2
焦点为：F1(0, 2 2), F2(0, 2 2) 焦距为： 4 2
04:07
所以 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2
两边平方得: (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
F1 O
x2 y2 1(a b 0)
F2 x
a2 b2
根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，
c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此
椭圆的标准方程为
x2
y2
1
04:07
2.25 0.81
例4、将圆x2+y2=4上的点的横坐标 保持不变，纵坐标变为原来的一 半，求所得曲线的方程，并说明 它是什么曲线.
Y M 求椭圆的方程
F1
O
F2 X YM
F1
O
F2 X
如图所示： F1、F2为两定点，且 F1F2 =2c， 求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a （2a>2c)的动点M的轨迹方程。
04:07
Y M (x,y)
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点 为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、 F设2的M坐（标x,y分)为别所为求(-c轨,0迹)、上(c的,0任)。意一点，
a2 16,b2 8
c2 a2 b2 16 8 8
c 2 2 2c 4 2
焦点为：F1(1, 0), F2 (1, 0)
焦距为： 2
焦点为：F1(0, 2 2), F2(0, 2 2) 焦距为： 4 2
椭圆及其标准方程ppt课件
依题意有
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
椭圆ppt课件
02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
椭圆的定义与标准方程(公开课)课件
2、写出适合条件 P（M） ;
3、用坐标表示条件P（M），列出方程 ;
4、化方程为最简形式。
2021/2/4
1
18
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
y
M
F2
M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的
因此 c4,a5, b 2 a 2 c 2 2 5 1 6 9所求方程为 x2 y2 1
25 9
2021/2/4
1
30
练习3.已知方程 x 2 + y表2 =示1 焦点在x轴
4m
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4.)
变1：已知方程
x2 + y2 = 1 m -1 3- m
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值
直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)
2021/2/4
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y
设P (x, y)是椭圆上任意一点，
Ｐ(x , y)
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)， 则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . F1 0 P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
x F2
由椭圆的定义得，限制条件： |P1|F |P2F |2 a
个轴20上21/2/。4 并且哪个大1哪个就是a2
23
♦再认识！
标准方程
不
图形
同
点
x2
y2 +
=1a>b>0
a2 b2
3、用坐标表示条件P（M），列出方程 ;
4、化方程为最简形式。
2021/2/4
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♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
y
M
F2
M
F1 O O OF2 x x x
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的
因此 c4,a5, b 2 a 2 c 2 2 5 1 6 9所求方程为 x2 y2 1
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练习3.已知方程 x 2 + y表2 =示1 焦点在x轴
4m
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4.)
变1：已知方程
x2 + y2 = 1 m -1 3- m
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值
直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)
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y
设P (x, y)是椭圆上任意一点，
Ｐ(x , y)
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)， 则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . F1 0 P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
x F2
由椭圆的定义得，限制条件： |P1|F |P2F |2 a
个轴20上21/2/。4 并且哪个大1哪个就是a2
23
♦再认识！
标准方程
不
图形
同
点
x2
y2 +
=1a>b>0
a2 b2
2.2.1椭圆及其标准方程含动画PPT课件
感谢你的到来与聆听
学习并没有结束，希望继续努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个 轴上
♦再认识！
标准方程
图形
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2 y P
F1 O F2
x
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2 y
F2 P
O
x
F1
不同点
相同点
焦点坐标 定义
F1 -c , 0，F2 c , 0
2.如果把细绳的两端拉 开一段距离，分别固定在图 板的两点处，套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，画出的 又是什么图形？这一过程中， 笔尖（动点）满足什么几何 条件？
(1)取一条细绳， (2)把它的两端固定在板
上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖（M）把细
绳拉紧，在板上慢慢移 动看看画出的 图形
焦点在分母大的那个轴上。
例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）已知两个焦点的坐标分别是(-3,0)、(3,0)，椭圆上一
点P到两焦点距离的和等于8；
x2 y2 1
16 7
（2）两个焦点的坐标为(0，-4)、(0，4)，并且椭圆经过 ( 3, 5)
y2 x2 1
20 4
求椭圆标准方程的解题步骤：
再平方化简，得
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
两边同时除以 a2 a2 c2 ，得
x2 a2
a2
y2 c2
椭圆动态ppt课件
详细描述
汽车轮胎设计成椭圆形，可以更好地适应汽车行驶过程中产 生的动态变化，提高轮胎与路面的接触效果，从而提高汽车 的操控性能和行驶稳定性。同时，椭圆形轮胎的设计也有助 于减少轮胎磨损和延长使用寿命。
艺术创作灵感
总结词
椭圆的形状和特性为艺术家提供了丰富的创作灵感。
详细描述
椭圆作为一种具有独特美感和视觉效果的形状，经常被艺术家用于创作中。在绘 画、雕塑、建筑设计等领域，艺术家们利用椭圆的特性来表达不同的主题和情感 ，创造出令人惊叹的艺术作品。
椭圆的几何性质
总结词
椭圆的几何性质包括其形状、大小和位置关系等，需要掌握这些性质以便更好地应用椭 圆。
详细描述
椭圆的几何性质包括其长短轴、离心率、焦点位置等。这些性质决定了椭圆的基本形状 和大小，以及与其他几何形状的关系。例如，离心率越大，椭圆越扁平；焦点位置决定 了椭圆的位置关系，可以用于解决一些实际问题，如行星轨道计算、光学仪器设计等。
椭圆在现实生活中的应用实例
卫星轨道设计
总结词
椭圆在卫星轨道设计中具有重要应用，是卫星轨道的基本形状。
详细描述
卫星轨道通常设计成椭圆形，这是因为椭圆轨道可以确保卫星在地球周围稳定运行，同 时能够实现覆盖更广泛的区域。通过调整椭圆轨道的偏心率和倾角，可以满足不同卫星
的任务需求，如通信、气象观测和地球观测等。
工程设计
总结词
在工程设计中，椭圆经常被用于建筑、机械和航空等领域的设计和计算。
详细描述
工程师利用椭圆的性质和特点，可以更加精确地计算和设计各种工程结构和机械部件，以确保其稳定性和安全性 。同时，椭圆在建筑设计中也常被用来创造独特的视觉效果和美学价值。
数学教育
总结词
在数学教育中，椭圆是几何学中的重要 概念之一，也是学生需要学习和掌握的 重要知识点。
汽车轮胎设计成椭圆形，可以更好地适应汽车行驶过程中产 生的动态变化，提高轮胎与路面的接触效果，从而提高汽车 的操控性能和行驶稳定性。同时，椭圆形轮胎的设计也有助 于减少轮胎磨损和延长使用寿命。
艺术创作灵感
总结词
椭圆的形状和特性为艺术家提供了丰富的创作灵感。
详细描述
椭圆作为一种具有独特美感和视觉效果的形状，经常被艺术家用于创作中。在绘 画、雕塑、建筑设计等领域，艺术家们利用椭圆的特性来表达不同的主题和情感 ，创造出令人惊叹的艺术作品。
椭圆的几何性质
总结词
椭圆的几何性质包括其形状、大小和位置关系等，需要掌握这些性质以便更好地应用椭 圆。
详细描述
椭圆的几何性质包括其长短轴、离心率、焦点位置等。这些性质决定了椭圆的基本形状 和大小，以及与其他几何形状的关系。例如，离心率越大，椭圆越扁平；焦点位置决定 了椭圆的位置关系，可以用于解决一些实际问题，如行星轨道计算、光学仪器设计等。
椭圆在现实生活中的应用实例
卫星轨道设计
总结词
椭圆在卫星轨道设计中具有重要应用，是卫星轨道的基本形状。
详细描述
卫星轨道通常设计成椭圆形，这是因为椭圆轨道可以确保卫星在地球周围稳定运行，同 时能够实现覆盖更广泛的区域。通过调整椭圆轨道的偏心率和倾角，可以满足不同卫星
的任务需求，如通信、气象观测和地球观测等。
工程设计
总结词
在工程设计中，椭圆经常被用于建筑、机械和航空等领域的设计和计算。
详细描述
工程师利用椭圆的性质和特点，可以更加精确地计算和设计各种工程结构和机械部件，以确保其稳定性和安全性 。同时，椭圆在建筑设计中也常被用来创造独特的视觉效果和美学价值。
数学教育
总结词
在数学教育中，椭圆是几何学中的重要 概念之一，也是学生需要学习和掌握的 重要知识点。