5.1图(经典运筹学)
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第四节用LINGO软件求解动态规划问题
精品课程《运筹学》
图5.4.2
B2 5 ，C2 6 ，D2 7 ，A3 8，B3 9 ，
C3 10 ，A4 11 ，B4 12，C4 13 ，A5 14 ， B5 15 ，A6 16 。 1.模型输入 使用LINGO求解此动态规划问题，LINGO程 序如下(参见图5.4.1)：
精品课程《运筹学》
精品课程《运筹学》
3 A0 4
6
2
A2 8
A1 3 6
3 B2 5
8 B1 7
16
3 C2 3
8
D2 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 A3 2 B3 1 2
3 C3 3
图5.1.1
A4 3 5
5 B4 2
6 6
C4
A5 3
A6 5 B5
令n表示由某点至终点A6之间的阶段数。例如从A0至 A6是6个阶段，从A1至A6是5个阶段。
用lingo软件求解动态规划问题用lingo求解例511如图511给定一个网络从点铺设一条煤气管道到点必须经过五个中间站第一站可以在中选择其余类似
第四节 用LINGO软件求解动态 规划问题
精品课程《运筹学》
用LINGO求解 ：
例5.1.1 如图5.1.1，给定一个网络，从点铺设 一条煤气管道到点，必须经过五个中间站，第 一站可以在中选择，其余类似。能用管道相连 的两站之间的距离已经给定；如果两点之间没 有连线，则表示这两点之间不能铺设管道。要 求选择一条由到的管道铺设路线，使总距离最 短。
令s表示在任一阶段所处的状态， s称为状态变量。例
如若在第三阶段的开始点是A2则称所处的状态为A2 。
精品课程《运筹学》
令xn(s)为决策变量，它表示当状态处于s，还有n个阶 段时所选择的一个决策。在各个阶段上选择的决策组
运筹学PPT完整版
线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 27
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
Page 2
运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
Page 3
运筹学的主要内容
Page 4
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
Page 5
❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 27
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
Page 2
运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
Page 3
运筹学的主要内容
Page 4
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
Page 5
❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社
运筹学作业解答
运筹学作业解答1.1 现有一家公司准备制定一个广告宣传计划来宣传开发的新产品，以使尽可能多的未来顾客特别是女顾客得知。
现可利用的广告渠道有电视、广播和报纸，根据市场调查整理得到下面的数据：该企业计划用于此项广告宣传的经费预算是80万元，此外要求：①. 至少有200万人次妇女接触广告宣传；②. 电视广告费用不得超过50万元,③. 电视广告至少占用三个单元一般时间和两个单元黄金时间,④. 广播和报纸广告单元均不少于5个单元而不超过10个单元。
试为该企业制定广告计划，使得广告所接触的未来顾客总数尽可能多，建立线性规划数学模型。
解：设一般时间、黄金时间、广播、报纸广告单元数分别新x1、x2、x3、x4，则线性规划模型为：1.2 某公司一营业部每天需从A、B两仓库提货用于销售，需提取的商品有：甲商品不少于240件，乙商品不少于80台，丙商品不少于120吨。
已知：从A仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品4件，乙商品2台，丙商品6吨，运费200元/每部；从B仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品7件，乙商品2台，丙商品2吨，运费160元/每部。
问：为满足销售量需要，营业部每天应发往A、B两仓库各多少部汽车，并使总运费最少。
解：依题意有设营业部每天发往A、B两仓库X1、X2部汽车，则线性规划模型为Max Z = 200X1＋160X2s.t. 4X1＋7X2 ≥2402X1＋2X2 ≥806X1＋2X2 ≥120X j≥0，j=1,2，且为整数用图解法得最优解为：X* = (10, 30)TZ* = 6800答案：最优解为X*＝(15/4 , 3/4 , 0 , 0 )T，Z* ＝33/41.4 用二阶段法求下列线性规划问题，并用图解法说明二个阶段各步迭代与图解的基本解点的对应关系。
Min Z = 2x1 ＋4x2s.t.x1 ＋5x2 ≤ 804x1 ＋2x2 ≥ 20x1 ＋x2 = 10x1、x2 ≥ 0答案：最优解为X* = (10，0)T，Z* = 201.5判断下列说法是否正确? 为什么?(1) 在单纯形法迭代中，任何从基变量中替换出来的变量在紧接着的下一次迭代中可能会再进入基变量。
运筹学课件PPT课件
整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。
5.1图(经典运筹学)
v6
e6 e5
v1 e1
e8 e7
v2
e2
5 v
e10
e9
e4
v4
v3 e
3
e6
v1 e1
e8 e7
v2
e7
v1
e8
v 6
e5
5 v
e10
e4
G
把C3从C 2的v1点处插入 C 2，得一简单回路 C，
G
v4
5 v
G
e4
, e5 , v6 , e6 , v1, e7 , v5 , e4 , v4 , e8 , v1 , e1 , v 2 } {v
对vi V
vi 每出现一次，必关联两 条边 若vi 是C的中间点， 如C： 1 , e1 , v2 , e2 , v3 , vi 1 , ei 1 , vi , ei , vi 1 ,, v1 } {v ，即 vi 为偶点 d (vi )为偶数
vi 若vi 是C的起点，也是C的终点，必关联两条边 vi
v1
vs
4 3 4
4
2
v4
7 2
2
6
v2
2
5 3
v5
vt
1
1
最大 流问 题
v3
v 6
5.1 基本概念
一、图的概念
图 ------由若干个点和连接这些点的某些连 线所组成的图形 代表具 代表事物 体事物 G——一个图 之间的联 vi——图中的点，称为顶点。 系 v3 ,v5 ei——图中的连线，称为边。ek vi , v j v3 e1 e e 6 v5 记V={vi}，E= {ei}, 2 v1 e e 3 e5 G=（V，E） v4 4 v 2 m(G)=|E|——G的边数，简记为m G 简记为n n(G)= |V|——G的顶点数， m=6, n=5
运筹学第五章 目标规划
第五章 目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征 （1）目标规划的基本概念。
当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。
无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。
目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。
在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。
（2）模型特征。
目标规划的一般模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+-rk rk ωω,为目标权系数，+-k k d d ,为偏差变量。
1）正、负偏差变量,i i d d +-。
正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。
因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。
2）硬约束和软约束。
硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。
我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。
3）优先因子与权系数。
一个规划问题通常有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或缓急之分的。
运筹学-图论
初等链：链中所含的点均不相同, 也称通路；
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称为闭链或 回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点均不相
同的圈；
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 , v7 , v5 )
v1
初等圈： (v1 , v2 , v3 , v5 , v4 , v1 )
图的基本概念
图论中的图是由点、点与点之间的线所组成的。通常， 我们把点与点之间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫 做弧。
如果一个图是由点和边所构成的，那么称为无向图，
记作G=(V，E)，其中V表示图G 的点集合，E表示图G的
边集合。连接点vi , vj V 的边记作[vi , vj]，或者[vj , vi]。 如果一个图是由点和弧所构成的，那么称为它为有向
v2 （3） v3 （3）
（2）
v5
（4）
v1
v4（6）
多重图
以点v为端点的边的个数称为点v的度（次），记 作 d(v), 如 图 5.4 中 d(v1)=3 ， d(v2 )=4 ， d(v3 )=4 ， d(v4 )=3。
度为零的点称为弧立点，度为1的点称为悬挂点。 悬挂点的边称为悬挂边。度为奇数的点称为奇点， 度为偶数的点称为偶点。
郑州
济南 徐州
青岛 连云港
重庆
武汉 南京
上海
图5.3
例5.2 有六支球队进行足球比赛，我们分别用
点v1 ，…，v6表示这六支球队，它们之间的比赛情 况，也可以用图反映出来，已知v1队战胜v2 队，v2 队战胜v3 队，v3 队战胜v5队，如此等等。这个胜负
情况，可以用图5.3所示的有向图反映出来
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称为闭链或 回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点均不相
同的圈；
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 , v7 , v5 )
v1
初等圈： (v1 , v2 , v3 , v5 , v4 , v1 )
图的基本概念
图论中的图是由点、点与点之间的线所组成的。通常， 我们把点与点之间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫 做弧。
如果一个图是由点和边所构成的，那么称为无向图，
记作G=(V，E)，其中V表示图G 的点集合，E表示图G的
边集合。连接点vi , vj V 的边记作[vi , vj]，或者[vj , vi]。 如果一个图是由点和弧所构成的，那么称为它为有向
v2 （3） v3 （3）
（2）
v5
（4）
v1
v4（6）
多重图
以点v为端点的边的个数称为点v的度（次），记 作 d(v), 如 图 5.4 中 d(v1)=3 ， d(v2 )=4 ， d(v3 )=4 ， d(v4 )=3。
度为零的点称为弧立点，度为1的点称为悬挂点。 悬挂点的边称为悬挂边。度为奇数的点称为奇点， 度为偶数的点称为偶点。
郑州
济南 徐州
青岛 连云港
重庆
武汉 南京
上海
图5.3
例5.2 有六支球队进行足球比赛，我们分别用
点v1 ，…，v6表示这六支球队，它们之间的比赛情 况，也可以用图反映出来，已知v1队战胜v2 队，v2 队战胜v3 队，v3 队战胜v5队，如此等等。这个胜负
情况，可以用图5.3所示的有向图反映出来
运筹学-约束最优化方法
若AT的各个行向量线性无 关.根据Kuhn-Tucker条件, 在该线性规划的最优点y* 处存在乘子向量x*≥0,使得
即Ax*=b 对偶规划约束条件 及(ATy*-c)T x*=0 线性规划互补松弛条件
29
5.1.3 一般约束问题的最优性条件
定理1.3.1 在上述问题中,若 (i)x*为局部最优解, 有效集I*={i|ci(x*)=0,i∈I}; (ii)f(x),ci(x)(1≤i≤m)在x*点可微; (iii)对于i∈E∪I*, 线性无关, 则存在向量l*=(l1*,· · · ,lm*)使得
解:本问题是求点(1,1)T到如图三角形区域的最短 距离.显然唯一最优解为x*=(1/2,1/2)T.
19
例题(Fritz-John条件)
min f(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 s.t. c1(x1,x2)=(1-x1-x2)3≥0 c2(x)=x1≥0 c3(x)=x2≥0 即
35
惩罚函数法
惩罚是手段，不是目的
KT条件中li*ci(x*)=0 称为互补松弛条件. 它表明li*与ci(x*)不能 同时不为0.
28
线性规划情形
对于线性规划问题 min f(y)=-bTy s.t. -ATy≥-c 其中 y∈Rm,A∈Rm×n, b∈Rm,c∈Rn 问题有n个约束条件. 各个约束条件关于y 的梯度为-AT的行向 量(-pi).
借助于Farkas引理,可推出存在li*≥0(i∈I*), 使得
类似与Fritz-John条件的证明,可以证明KuhnTucker条件. 有效约束函数的梯度线性无关称为KuhnTucker约束规范. 如果该约束规范不满足,最优点不一定是KT点.
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5
e1
e6
v5
d (v1 ) 3, d (v2 ) 1, d (v3 ) 4 d (v4 ) 3, d (v5 ) 0, d (v6 ) 1,
v 2、v6为悬挂点， 2、e5为悬挂边， e v5为孤立点， v v1、v 2、v 4、v6为奇点，5、v3为偶点
v2
v6
e4
v 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d (vi )为偶数 ，即 vi 为偶点
充分性： 若无向连通图G=(V,E)中无奇点，则G为欧拉图
d 例： G连通， (vi )为偶数
v1 e1
e8 e7 e5
v6
e6
v2
e2
5 v
e10
e9
e4
v4
v3 e
3
G
任取一点，如 v3， 找一个以 v3为起点的一个简单回路 C1
简单回路 C1： 3 , e3 , v4 , e9 , v 2 , e2 , v3 } {v
iV2
d (v )为偶数
i 1 V i
而V1是奇点的集合, d (vi )(i V1 )均为奇数
只有偶数个奇数相加才能得到偶数
所以 V1中的点，即奇点的个数 为偶数
四、链： 对无向图 G V，E） （
（ 1、链的定义： 在图 G V，E）中，一个点与边的交 错序列 {vi 0 , ei1 , vi1 , ei 2 , vik 2 , eik 1 , vik 1 , eik , vik }, 且eit (vit 1 , vit )(t 1,2, k ), 则称这个点边序列为 连接 vi 0与vik的一条链 , 简记为 {vi 0 , vi1 ,，vik 2 , vik 1 , vik }
{v5 , e4 , v4 , e9 , v2 , e2 , v3 , e3 , v4 , e8 , v1},
链 开链 : 链中的起点与终点不同
闭链 : 链中的起点与终点重合
圈或回路 道路
简单圈 在圈中，所含的边均不相同 初等圈 在圈 中，除起点和终点重合 外，
没有相同的顶点和相同 的边
六、赋权图（网络）
对图G=（V，E），
e的权
若对每一条边e，都有一个实数w(e)与之对应， 则称图G=（V，E）为赋权图 ，或网络 权w(e)通常表示距离、费用、容量等 如公路交通图： Vi表示 城市， i表示公路 e w(ei）表示公路ei的长度
e2
v1
v6
e6 e5
e1
e8
v2
e3
e7
e9
e2
v2
3
5 v
e6
e4
e3
v3
e4
v4
v 3 v 3 e
e2
v1
e1 e3
v2
v 4
存在v2到v4的 一条欧拉道路：
存在 v3到v4的 一条欧拉道路：
任两点之间都不 存在条欧拉道路
{v2 , e1 , v1 , e5 , v4 , e3 , v3 , e2 , v2 , e6 , v5 , e4 , v4 }
2、相邻点和相邻边：
一条边的两个端点称为 相邻点，简称邻点， 端点落在同一个顶点的 边称为相邻边，简称邻 边 e1 1 3、多重边与环： 具有相同端点的边称为 多重边或平行边； e2 两个端点落在同一个顶 点的边称为环。
v1
e3
e6
4、多重图和简单图：
v2
含有多重边的图称为多 重图； 无环也无多重边的图称 为简单图。
对vi V
vi 每出现一次，必关联两 条边 若vi 是C的中间点， 如C： 1 , e1 , v2 , e2 , v3 , vi 1 , ei 1 , vi , ei , vi 1 ,, v1 } {v ，即 vi 为偶点 d (vi )为偶数
vi 若vi 是C的起点，也是C的终点，必关联两条边 vi
v1
vs
4 3 4
4
2
v4
7 2
2
6
v2
2
5 3
v5
vt
1
1
最大 流问 题
v3
v 6
5.1 基本概念
一、图的概念
图 ------由若干个点和连接这些点的某些连 线所组成的图形 代表具 代表事物 体事物 G——一个图 之间的联 vi——图中的点，称为顶点。 系 v3 ,v5 ei——图中的连线，称为边。ek vi , v j v3 e1 e e 6 v5 记V={vi}，E= {ei}, 2 v1 e e 3 e5 G=（V，E） v4 4 v 2 m(G)=|E|——G的边数，简记为m G 简记为n n(G)= |V|——G的顶点数， m=6, n=5
1
4 2
1
v0
1 3
4 4
1
5
4 5
3
5
1
2
1 2
v0
1
1
3
2
2
2
3、选址问题 已知一个地区的交通网络如下图所示，其中点代表 居民小区，边表示公路，问区中心医院应建在哪个 小区，可使离医院最远的小区居民就诊时所走的路 程最近？ v5 即求图的中心
v3
v6
e6 e5
v1 e1
e8 e7
v2
e2
5 v
e10
e9
e4
v4
v3 e
3
e6
v1 e1
e8 e7
v2
e7
v1
e8
v 6
e5
5 v
e10
e4
G
把C3从C 2的v1点处插入 C 2，得一简单回路 C，
G
v4
5 v
G
e4
v4
C： 2 , e10 , v5 , e5 , v6 , e6 , v1, e7 , v5 , e4 , v4 , e8 , v1 , e1 , v 2 } {v
e3
v3 v 6
5 v
e10
e4
G
v4
5 v
G
e4
v4
简单回路 C1： 3 , e3 , v4 , e9 , v 2 , e2 , v3 } {v 简单回路 C 2： 2 , e10 , v5 , e5 , v6 , e6 , v1 , e1 , v2 } {v
简单回路 C3： 1 , e7 , v5 , e4 , v 4 , e8 , v1 } {v
e6
v2
e4
e5
v 4
v3
v3
e4=（ v3， v4） ≠（ v4， v3） e5=（ v4， v3）≠（ v3， v4）
e4=（ v3， v4） v4， v3） =（ e5=（ v3， v4） =（ v4， v3）
二、常用名词： 1、端点和关联边：
若ek vi , v j E , 则称点 vi、v j 是边 ek的端点， 边ek 是点 vi 和v j的关联边
简单链：在链中，所含的边均不相同 初等链：在链 中，所含的顶点、边均 不相同
v1
v6
e6 e5
e1
e8
v2
e2
e7
e9
5 v
e4
v4
e3
v3
{v6 , e5 , v5 , e7 , v1 }
初等 链
不是链
{v6 , e7 , v1 , e8 , v4 }
简单链
连接 v5与v1的一条链
有向图 ——边e=（vi, vj）有方向 vi为始点，vj为终点 图 此时（vi, vj）≠ （vj,vi） 无向图 ——边e=（vi, vj）无方向
此时（vi, vj）= （vj, vi）
e1
有 向 图
e1
e2
v1
e3
e6
v2
e4
e5
v 4
e2
v1
e3
无 向 图
{v3 , e3 , v4 , e2 , v2 , e1 , v1 , e4 , v4 }
欧拉回路：
v1
欧拉图
圈
设G是一个无向连通图，若 存在一个回路，经过 G中的 每一条边一次且仅一次 ，则称这个回路为欧拉 回路
e1
e6 e5
v2
e2
存在欧拉回路：
{v1 , e1 , v2 , e2 , v3 , e3 , v4 , e7 , v2 , e5 , v5 , e4 , v4 , e6 , v1}
记G G C1 V ，E ），E E E1，V 是E 中边的端点 （ 在G 中，以 G 与C1的公共顶点 v2为起点取一个简单回路 C 2
简单回路 C 2： 2 , e10 , v5 , e5 , v6 , e6 , v1 , e1 , v2 } {v
记G G C2 V ，E ），E E E1，V 是E 中边的端点 （
{v1 , e8 , v4 , e9 , v2 , e2 , v3 }为一条道路
初等圈
五、连通图：图G中任意两点之间至少有 一条链相连 .
v1
v6
e6 e5
e1
e8
v2
e2
v1
e3
e1
e7
e9
5 v
e4
v4
e1
e6
v5
d (v1 ) 3, d (v2 ) 1, d (v3 ) 4 d (v4 ) 3, d (v5 ) 0, d (v6 ) 1,
v 2、v6为悬挂点， 2、e5为悬挂边， e v5为孤立点， v v1、v 2、v 4、v6为奇点，5、v3为偶点
v2
v6
e4
v 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d (vi )为偶数 ，即 vi 为偶点
充分性： 若无向连通图G=(V,E)中无奇点，则G为欧拉图
d 例： G连通， (vi )为偶数
v1 e1
e8 e7 e5
v6
e6
v2
e2
5 v
e10
e9
e4
v4
v3 e
3
G
任取一点，如 v3， 找一个以 v3为起点的一个简单回路 C1
简单回路 C1： 3 , e3 , v4 , e9 , v 2 , e2 , v3 } {v
iV2
d (v )为偶数
i 1 V i
而V1是奇点的集合, d (vi )(i V1 )均为奇数
只有偶数个奇数相加才能得到偶数
所以 V1中的点，即奇点的个数 为偶数
四、链： 对无向图 G V，E） （
（ 1、链的定义： 在图 G V，E）中，一个点与边的交 错序列 {vi 0 , ei1 , vi1 , ei 2 , vik 2 , eik 1 , vik 1 , eik , vik }, 且eit (vit 1 , vit )(t 1,2, k ), 则称这个点边序列为 连接 vi 0与vik的一条链 , 简记为 {vi 0 , vi1 ,，vik 2 , vik 1 , vik }
{v5 , e4 , v4 , e9 , v2 , e2 , v3 , e3 , v4 , e8 , v1},
链 开链 : 链中的起点与终点不同
闭链 : 链中的起点与终点重合
圈或回路 道路
简单圈 在圈中，所含的边均不相同 初等圈 在圈 中，除起点和终点重合 外，
没有相同的顶点和相同 的边
六、赋权图（网络）
对图G=（V，E），
e的权
若对每一条边e，都有一个实数w(e)与之对应， 则称图G=（V，E）为赋权图 ，或网络 权w(e)通常表示距离、费用、容量等 如公路交通图： Vi表示 城市， i表示公路 e w(ei）表示公路ei的长度
e2
v1
v6
e6 e5
e1
e8
v2
e3
e7
e9
e2
v2
3
5 v
e6
e4
e3
v3
e4
v4
v 3 v 3 e
e2
v1
e1 e3
v2
v 4
存在v2到v4的 一条欧拉道路：
存在 v3到v4的 一条欧拉道路：
任两点之间都不 存在条欧拉道路
{v2 , e1 , v1 , e5 , v4 , e3 , v3 , e2 , v2 , e6 , v5 , e4 , v4 }
2、相邻点和相邻边：
一条边的两个端点称为 相邻点，简称邻点， 端点落在同一个顶点的 边称为相邻边，简称邻 边 e1 1 3、多重边与环： 具有相同端点的边称为 多重边或平行边； e2 两个端点落在同一个顶 点的边称为环。
v1
e3
e6
4、多重图和简单图：
v2
含有多重边的图称为多 重图； 无环也无多重边的图称 为简单图。
对vi V
vi 每出现一次，必关联两 条边 若vi 是C的中间点， 如C： 1 , e1 , v2 , e2 , v3 , vi 1 , ei 1 , vi , ei , vi 1 ,, v1 } {v ，即 vi 为偶点 d (vi )为偶数
vi 若vi 是C的起点，也是C的终点，必关联两条边 vi
v1
vs
4 3 4
4
2
v4
7 2
2
6
v2
2
5 3
v5
vt
1
1
最大 流问 题
v3
v 6
5.1 基本概念
一、图的概念
图 ------由若干个点和连接这些点的某些连 线所组成的图形 代表具 代表事物 体事物 G——一个图 之间的联 vi——图中的点，称为顶点。 系 v3 ,v5 ei——图中的连线，称为边。ek vi , v j v3 e1 e e 6 v5 记V={vi}，E= {ei}, 2 v1 e e 3 e5 G=（V，E） v4 4 v 2 m(G)=|E|——G的边数，简记为m G 简记为n n(G)= |V|——G的顶点数， m=6, n=5
1
4 2
1
v0
1 3
4 4
1
5
4 5
3
5
1
2
1 2
v0
1
1
3
2
2
2
3、选址问题 已知一个地区的交通网络如下图所示，其中点代表 居民小区，边表示公路，问区中心医院应建在哪个 小区，可使离医院最远的小区居民就诊时所走的路 程最近？ v5 即求图的中心
v3
v6
e6 e5
v1 e1
e8 e7
v2
e2
5 v
e10
e9
e4
v4
v3 e
3
e6
v1 e1
e8 e7
v2
e7
v1
e8
v 6
e5
5 v
e10
e4
G
把C3从C 2的v1点处插入 C 2，得一简单回路 C，
G
v4
5 v
G
e4
v4
C： 2 , e10 , v5 , e5 , v6 , e6 , v1, e7 , v5 , e4 , v4 , e8 , v1 , e1 , v 2 } {v
e3
v3 v 6
5 v
e10
e4
G
v4
5 v
G
e4
v4
简单回路 C1： 3 , e3 , v4 , e9 , v 2 , e2 , v3 } {v 简单回路 C 2： 2 , e10 , v5 , e5 , v6 , e6 , v1 , e1 , v2 } {v
简单回路 C3： 1 , e7 , v5 , e4 , v 4 , e8 , v1 } {v
e6
v2
e4
e5
v 4
v3
v3
e4=（ v3， v4） ≠（ v4， v3） e5=（ v4， v3）≠（ v3， v4）
e4=（ v3， v4） v4， v3） =（ e5=（ v3， v4） =（ v4， v3）
二、常用名词： 1、端点和关联边：
若ek vi , v j E , 则称点 vi、v j 是边 ek的端点， 边ek 是点 vi 和v j的关联边
简单链：在链中，所含的边均不相同 初等链：在链 中，所含的顶点、边均 不相同
v1
v6
e6 e5
e1
e8
v2
e2
e7
e9
5 v
e4
v4
e3
v3
{v6 , e5 , v5 , e7 , v1 }
初等 链
不是链
{v6 , e7 , v1 , e8 , v4 }
简单链
连接 v5与v1的一条链
有向图 ——边e=（vi, vj）有方向 vi为始点，vj为终点 图 此时（vi, vj）≠ （vj,vi） 无向图 ——边e=（vi, vj）无方向
此时（vi, vj）= （vj, vi）
e1
有 向 图
e1
e2
v1
e3
e6
v2
e4
e5
v 4
e2
v1
e3
无 向 图
{v3 , e3 , v4 , e2 , v2 , e1 , v1 , e4 , v4 }
欧拉回路：
v1
欧拉图
圈
设G是一个无向连通图，若 存在一个回路，经过 G中的 每一条边一次且仅一次 ，则称这个回路为欧拉 回路
e1
e6 e5
v2
e2
存在欧拉回路：
{v1 , e1 , v2 , e2 , v3 , e3 , v4 , e7 , v2 , e5 , v5 , e4 , v4 , e6 , v1}
记G G C1 V ，E ），E E E1，V 是E 中边的端点 （ 在G 中，以 G 与C1的公共顶点 v2为起点取一个简单回路 C 2
简单回路 C 2： 2 , e10 , v5 , e5 , v6 , e6 , v1 , e1 , v2 } {v
记G G C2 V ，E ），E E E1，V 是E 中边的端点 （
{v1 , e8 , v4 , e9 , v2 , e2 , v3 }为一条道路
初等圈
五、连通图：图G中任意两点之间至少有 一条链相连 .
v1
v6
e6 e5
e1
e8
v2
e2
v1
e3
e1
e7
e9
5 v
e4
v4