补充：运筹学经典案例
简单的运筹学实际应用案例
简单的运筹学实际应用案例运筹学（Operations Research）是一门研究如何有效利用有限资源进行决策的学科，它通过数学、统计学和经济学等方法，帮助管理者做出最佳决策。
下面将介绍几个简单的运筹学实际应用案例。
1.生产线优化假设一公司拥有多条生产线，每条生产线对应不同的产品。
公司希望通过优化生产线的调度，以达到最大的产出和利润。
运筹学可以通过数学模型和算法，对生产线进行优化调度。
例如，可以使用线性规划模型来确定每条生产线的产量和调度，以最大化总利润；也可以使用整数规划模型来考虑生产线的限制和约束条件。
2.物流网络设计一家物流公司需要设计其物流网络，以最小化成本并满足客户对快速物流的需求。
运筹学可以通过数学模型和算法，帮助物流公司优化物流网络的设计。
例如，可以使用网络流模型来确定货物在物流网络中的最佳路线和节点，以最小化总运输成本；也可以使用线性规划模型来决定在不同节点上的仓库和货物库存量，以满足客户的需求。
3.航班调度问题一家航空公司需要制定最佳航班调度计划，以最大化航班利润并排除延误风险。
运筹学可以通过数学模型和算法，帮助航空公司优化航班调度。
例如，可以使用线性规划模型来决定不同航班的起降时间和机型，以最大化航班利润；也可以使用排队论模型来评估航班的延误风险，并制定相应的调度策略。
4.人员调度问题一家超市需要制定最佳的员工调度计划，以最大化服务质量和节约人力成本。
运筹学可以通过数学模型和算法，帮助超市优化员工调度。
例如，可以使用整数规划模型来决定不同时间段需要多少员工，并考虑员工的技能匹配和工作时间的合理安排；也可以使用模拟仿真方法来评估不同调度策略的效果，并做出相应的决策。
以上是几个简单的运筹学实际应用案例，运筹学在实际生产和管理中有着广泛的应用。
通过数学模型和算法的应用，可以帮助企业优化资源配置、提高效率和决策质量，从而实现最佳的经济效益。
管理运筹学的部分案例分析
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管理运筹学
12
案例分析—如何合理使用技术培训
因培训而产生的增加值
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管理运筹学
13
案例分析—光明制造厂经营报告书
Y2＝10X0＋（0.08X1＋0.085X2＋0.09X3＋0.105X5）×700
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管理运筹学
14
案例分析—光明制造厂经营报告书
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管理运筹学
2
案例分析—北方化工厂月生产计划
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管理运筹学
3
案例分析—北方化工厂月生产计划
X2≦0.05∑xi
X3+X4 ≦X1
Y3 ≦4000
Xi≧0
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管理运筹学
4
案例分析—监理工程师配置问题
• 目标函数 • 约束条件 • 决案例分析—监理工程师配置问题
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15
案例分析—北方食品公司投资方案规划
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案例分析—北方食品公司投资方案规划
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案例分析—北方食品公司投资方案规划
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案例分析—北方食品公司投资方案规划
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案例分析
• 1、北方化工厂月生产计划 • 2、石华建设监理公司监理工程师配置
问题
• 3、北方印染公司就如何合理使用技术 培训费
• 4、光明制造厂经营报告书 • 5、北方食品公司投资方案规划
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管理运筹学
1
案例分析—北方化工厂月生产计划
1、目标函数 2、成品率问题如何处理 3、约束条件
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运筹学案例集
运筹学案例集常州宝菱重工机械有限公司孔念荣收集整理运筹学的一些典型性应用•合理利用材料问题：如何在保证生产的条件下，下料最少•配料问题：在原料供应量的限制下，如何获取最大收益•投资问题：从投资项目中选取最佳组合，使投资回报最大•产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大•劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要•运输问题：如何制定最佳调运方案，使总运费最少一、生产计划问题案例1（2-4）、某工厂用A、B、C、D四种原料生产甲、乙两种产品，生产甲和乙所需各种原料的数量以及在一个计划期内各种原料的现有数量见下表所示。
又已知每单位产品甲、乙的售价分别为400元和600元，问应如何安排生产才能获得最大收益？已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？案例3（2-25）、某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。
该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。
甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量，数据如下表所示。
问题：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？案例4（2-28）、永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B两道工序加工。
设有两种规格的设备A1、A2能完成A工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成B 工序。
Ⅰ可在A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设备上加工，数据如下表所示。
问题：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？案例5、某造纸厂用原材料白坯纸生产原稿纸、笔记本和练习本三种产品。
该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为3万公斤。
已知工人的劳动生产率为：每人每月生产原稿纸30捆，或生产日记本30打，或练习本30箱。
运筹学案例
运筹学案例
嘿，朋友们！今天咱就来聊聊超级有意思的运筹学案例。
比如说，咱们出去旅游的时候要怎么规划路线呢，这可就是个典型的运筹学问题呀！
想象一下，你要去一个陌生的城市玩三天。
你是不是得考虑第一天去哪儿玩能让自己尽快熟悉这个城市，第二天怎么安排才能玩得尽兴又不那么累，第三天又怎样利用时间去一些特别的地方呢？这就像在下一盘棋，每一步都得精心谋划。
再看看快递行业，他们怎么做到让包裹那么快就送到我们手里呢。
这不就跟物流公司要给货车司机规划最优路线一样嘛！要让货车像赛车一样在公路上飞驰，又快又稳地把东西送到目的地。
“哎呀，要是没有运筹学，咱们得等多久才能收到快递呀！”
还有那些大工厂，生产线上的安排也是一门学问呢！怎么让工人和机器配合默契，高效地生产出产品呢。
“这要是没安排好，那不得乱套啦！”
运筹学在我们生活中的应用简直无处不在呀！从小小的旅行计划，到庞大的物流网络，再到复杂的工业生产。
它就像是一个神奇的魔法，让一切都变得井井有条。
咱就说，运筹学是不是超级重要啊！它让我们的生活变得更有序，更高效，也让我们能更好地享受这个美好的世界呀！所以呀，别小看这看似深奥的运筹学，它可是大有用处呢！。
运筹学典型题型案例集
运筹学典型题型案例集第一章线性规划1 生产计划问题（（摘自王治祯环境应用数学309页））某企业为了搞好综合利用，用三种废品生产三种副产品，生产情况和利润见下表，求最佳利润。
解：设ABC三种产品的产量为X1X2X3Max Z =5X1+8X2+2X310X1+5X2+3 X3<=4006X1+10X2+2 X3<=4004X1+5X2+4X3<=200经过求解X1=34.23，X2=8.19X3=5.37最大利润为274.412 投资问题解：用Xij表示第i年初（i=1，2，3）给项目j（A，B，C，D）的投资金额。
第一年资金量：30万，可投项目：A、B；故：X1A+X1B＜=30。
第二年资金量：1.2*X1A，可投项目：A、C；故：X2A+X2C＜=1.2*X1A。
第三年资金量：1.2*X2A+1.5*X1B，可投项目：A、B、D；故：X3A+X3B+X3D＜=1.2*X2A+1.5*X1B。
其它条件：X1B＜=20；X2C＜=15；X3D＜=10。
目标：第三年底收益最大。
因投资X3B在第3年底不能收回，故无收益。
则目标函数为：f(x)=0.2*（X1A+ X2A + X3A）+0.5*X1B+0.6* X2C+0.4* X3D LINGO Model如下：max =0.2*(X1A+ X2A + X3A)+0.5*X1B+0.6* X2C+0.4* X3D;X1A+X1B<=30;X2A+X2C<=1.2*X1A;X3A+X3B+X3D<=1.2*X2A+1.5*X1B;@bnd(0,X1B,20); @bnd(0,X3B,20); @bnd(0,X2C,15); @bnd(0,X3D,10);运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 27.50000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1A 12.50000 0.000000X2A 0.000000 0.6000000E-01X3A 16.25000 0.000000X1B 17.50000 0.000000X2C 15.00000 -0.1000000X3D 10.00000 -0.2000000X3B 0.000000 0.2000000Row Slack or Surplus Dual Price1 27.50000 1.0000002 0.000000 0.80000003 0.000000 0.50000004 0.000000 0.2000000投资计划解释：第一年年初投资A项目12.5万元，投资B项目17.5万元；第二年年初投资C项目15万元；第三年年初投资A项目16.25万元，投资D项目10万元；第三年年年末可获最大收益27.5万元。
运筹学经典案例
摘要
• 利用整数规划方法解决了场主在现有条件下，如何分配有 限的现金和劳动力使明年年底能够拥有最多的现金的问题 。得出结论： • 1.在明年种植414亩大豆，42亩玉米，100亩小麦；饲养 42头牛，2000只鸡可获得最大货币资产102811.0美元 。 • 2.通过分情况讨论，发现不管天气情况如何，购买尽可能 多的牛能赚更多的钱。所以普拉夫家族应该购买牛至42头 (最大容量)；至于作物的种植量，普拉夫家族可以先去咨 询当地的气象站再根据实际情况作出决定，当得知未来可 能发生某种灾害天气时，就可以参考分析结果 ，进行资金 和劳动力的分配；如果未来的天气情况无法预测，为了尽 可能减少未来可能存在的损失，普拉发家族应该走一个稳 健的种植路线：种植更多小麦，同时也可以购进一些鸡。 • 3.使用lingo做敏感性分析之后可以看出资金的影子价格为 0，因此不需要贷款。
• • •
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用lingo进行求解 在lingo输入界面输入 Max = 70*x1+60*(x2-x4)+40*(x3-0.05*x5) +850*x4+4.25*x5+(35000+1500*(x4-30))*1.1+ (5000+3*(x52000))*0.75+5*(4000-x1-0.9*x2-0.6*x3-6*10*x4-6*0.05*x5 ) +5.5*(45001.4*x1-1.2*x2-0.7*x3-6*10*x4-6*0.05*x5)+20000-1500*(x4-30)-3*(x52000)-40000; x1+x2+x3+2*x4<=640; x4<=42; x5<=5000; x4>=30; x5>=2000; x4<=x2; 0.05*x5<=x3; 1500*(x4-30)+3*(x5-2000) <=20000; @gin(x1); @gin(x2); @gin(x3); @gin(x4); @gin(x5); 经过计算得出最优解为X*=(414,42,100,42,2000)；目标函数最大值 Z*=102811.0 即在明年种植414亩大豆，42亩玉米，100亩小麦；饲养42头牛，2000只鸡 可获得最大货币资产102811.0美元
矩阵分析在运筹学中的应用 案例解析
矩阵分析在运筹学中的应用案例解析矩阵分析是一种重要的运筹学工具，在各种实际问题的解决中发挥着关键作用。
本文将以几个案例为例，详细解析矩阵分析在运筹学中的应用。
案例一：城市交通规划假设某城市的交通系统需要进行优化规划，以提高整体的交通效率。
这个问题可以通过矩阵分析来解决。
将城市划分为若干个交通网络节点，并使用矩阵来表示节点间的道路连接情况和交通流量。
通过分析这个矩阵，可以得出各个节点之间的联系程度和交通流量的分布情况。
基于这些信息，可以采取一系列措施，包括增加道路容量、调整交通信号灯时长等，以提高整个交通系统的运行效率。
案例二：物流配送优化某物流公司需要设计最佳的送货路线，以降低成本和提高服务质量。
这个问题可以通过矩阵分析来解决。
将送货点和配送中心抽象成矩阵中的节点，并使用矩阵来表示它们之间的距离、运输费用和送货时效等关系。
通过分析这个矩阵，可以找出最佳的送货路线，使得总运输成本最小化，并且满足送货时效的要求。
案例三：供应链管理某公司在不同的供应链环节中面临着众多决策问题，需要综合考虑各种因素来进行优化。
这个问题可以通过矩阵分析来解决。
将各个供应链环节和相关的因素抽象成矩阵中的节点，通过矩阵元素来表示它们之间的关系和相互作用。
通过分析这个矩阵，可以找出最佳的供应链管理策略，从而提高整个供应链系统的效率和利润水平。
通过以上案例的分析，我们可以看出矩阵分析在运筹学中的重要性和应用广泛性。
无论是城市交通规划、物流配送优化还是供应链管理，矩阵分析都可以帮助我们找到最佳的解决方案。
因此，矩阵分析在实际问题的解决中具有不可替代的作用。
总结起来，矩阵分析在运筹学中的应用多种多样，可以在各个领域中解决实际问题。
通过对问题进行抽象和建模，将问题转化为矩阵的形式，然后通过矩阵分析来找到最佳的解决方案。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点和需求，选择适当的矩阵分析方法和工具，以达到最佳的效果。
矩阵分析的应用将会进一步推动运筹学的发展，为解决实际问题提供更加有效的手段和方法。
运筹学案例集
运筹学案例集常州宝菱重工机械有限公司孔念荣收集整理运筹学的一些典型性应用•合理利用材料问题：如何在保证生产的条件下，下料最少•配料问题：在原料供应量的限制下，如何获取最大收益•投资问题：从投资项目中选取最佳组合，使投资回报最大•产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大•劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要•运输问题：如何制定最佳调运方案，使总运费最少一、生产计划问题案例1（2-4）、某工厂用A、B、C、D四种原料生产甲、乙两种产品，生产甲和乙所需各种原料的数量以及在一个计划期内各种原料的现有数量见下表所示。
又已知每单位产品甲、乙的售价分别为400元和600元，问应如何安排生产才能获得最大收益？已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？案例3（2-25）、某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。
该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。
甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量，数据如下表所示。
问题：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？案例4（2-28）、永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B两道工序加工。
设有两种规格的设备A1、A2能完成A工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。
Ⅰ可在A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设备上加工，数据如下表所示。
问题：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？案例5、某造纸厂用原材料白坯纸生产原稿纸、笔记本和练习本三种产品。
该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为3万公斤。
已知工人的劳动生产率为：每人每月生产原稿纸30捆，或生产日记本30打，或练习本30箱。
运筹学案例
人力资源分配问题好又美超市是个建在大学城边上的大型百货商场，每周对收银人员的需求，统计如下表为了保证收银人员充分休息，收银人员每周工作5天，休息2天。
问应如何安排收银人员的工作时间，使得所配收银人员的总费用最小？(1)设x1星期一才开始上班的人数，……，x7为星期日才开始上班的人数。
(2)目标是使收银员总人数最少，故目标函数为：Minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 约束条件：x1+x4+x5+x6+x7≥6;x1+x2+x5+x6+x7≥5;x1+x2+x3+x6+x7≥8;x1+x2+x3+x4+x7≥7;x1+x2+x3+x4+x5≥10;x2+x3+x4+x5+x6≥18;x3+x4+x5+x6+x7≥15;x1≥0; x2≥0; x3≥0; x4≥0; x5≥0; x6≥0; x7≥0（3）经过计算得x1=0 x2=3 x3=0 x4=4 x5=3 x6=8 x7=0即minz=3+4+3+8=18收银员工作时间为：周一开始上班的人数为：0人周二开始上班的人数为：3人周三开始上班的人数为：0人周四开始上班的人数为：4人周五开始上班的人数为：3人周六开始上班的人数为：8人周七开始上班的人数为：0人时所配收银员费用最小。
案例2：职场规划：在职场上，职业生涯中的“五个坎”可被列为•第一坎：“青黄不接”阶段；•第二坎：“职业塑造”阶段；•第三坎：“职业锁定”阶段；•第四坎：“事业开拓”阶段；•第五坎：“事业平稳”阶段。
•针对这五个阶段，你应该怎样规划自己？设计模型与算法给出你的最佳职场规划方案（规划方案中：应体现“目标”、规划理念、“场景假设”、可控变量、不可控因素、限制、推演方式、最佳规划结论）大学是学生进入职场的最后一个阶段，大学生离职业需要还有很大的差距。
从大学的三四年级到进入职场的一至三年是职场的“青黄不接”阶段。
因此在大学中做好职业规划是很重要的，它决定了你能否很快地度过职场的“青黄不接”阶段。
生活中运筹学案例分析
生活中运筹学案例分析生活中的许多情境都可以运用运筹学的理念和方法来进行分析和优化。
下面我将通过几个生活中的案例来说明运筹学在实际生活中的应用。
首先，我们来看一个日常生活中的例子，早晨出门上班。
在早晨高峰期，许多人都面临着上班迟到的问题。
这时候我们可以运用运筹学的方法来优化出行路线。
比如，我们可以提前规划好最佳的出行路线，避开交通拥堵的路段，选择合适的出行工具，比如地铁、公交等，以最快的速度到达目的地，从而减少出行时间，提高效率。
其次，我们来看一个生产管理中的案例，生产调度。
在工厂的生产中，如何合理安排生产任务和生产资源是一个重要的问题。
我们可以借助运筹学的方法，通过对生产任务的分析和排程，合理安排生产顺序和生产线的利用率，从而提高生产效率，降低生产成本。
再次，我们来看一个物流配送中的案例，快递配送。
在快递行业中，如何合理安排快递的配送路线和时间是一个关键问题。
我们可以利用运筹学的方法，通过对快递订单的分析和规划，合理安排配送路线和配送顺序，以最短的时间和最低的成本完成配送任务，提高配送效率，提升客户满意度。
最后，我们来看一个市场营销中的案例，促销活动。
在市场营销中，如何制定合适的促销策略是至关重要的。
我们可以运用运筹学的方法，通过对市场需求和产品销售情况的分析，制定合理的促销策略和销售计划，最大限度地提高销售额，实现市场目标。
通过以上几个案例的分析，我们可以看到运筹学在生活中的广泛应用。
无论是日常生活、生产管理、物流配送还是市场营销，都可以通过运筹学的方法来优化资源配置，提高效率，降低成本，实现最佳的决策和规划。
希望大家在生活和工作中能够更多地运用运筹学的理念和方法，从而取得更好的效果。
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运筹学经典案例
一、鲍德西（Bawdsey）雷达站的研究
20世纪30年代，德国内部民族沙文主义及纳粹主义日渐抬头。以希特勒为
首的纳粹势力夺取了政权开始为以战争扩充版图，以武力称霸世界的构想作战争
准备。欧洲上空战云密布。英国海军大臣丘吉尔反对主政者的“绥靖”政策，认为
英德之战不可避免，而且已日益临近。他在自己的权力范围内作着迎战德国的准
备，其中最重要、最有成效之一者是英国本土防空准备。1935年，英国科学家
沃森—瓦特：（R．Watson-Wart）发明了雷达。丘吉尔敏锐地认识到它的重要意
义，并下令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密的雷达站。当时，德国已
拥有一支强大的空军，起飞17分钟即可到达英国。在如此短的时间内，如何预
警及做好拦截，甚至在本土之外或海上拦截德机，就成为一大难题。雷达技术帮
助了英国，即使在当时的演习中已经可以探测到160公里之外的飞机，但空防
中仍有许多漏洞，1939年，由曼彻斯特大学物理学家、英国战斗机司令部科学
顾问、战后获诺贝尔奖金的P.M.S.Blachett为首，组织了一个小组，代号为
“Blachett马戏团”，专门就改进空防系统进行研究。
这个小组包括三名心理学家、两名数学家、两名应用数学家、一名天文物理
学家、一名普通物理学家、一名海军军官、一名陆军军官及一名测量人员。研究
的问题是：设计将雷达信息传送给指挥系统及武器系统的最佳方式；雷达与防空
武器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与防空火力的协调，作
了系统的研究，并获得了成功，从而大大提高了英国本土防空能力，在以后不久
对抗德国对英伦三岛的狂轰滥炸中，发挥了极大的作用。二战史专家评论说，如
果没有这项技术及研究，英国就不可能赢得这场战争，甚至在一开始就被击败。
“Blackett马戏团”是世界上第一个运筹学小组。在他们就此项研究所写的秘
密报告中，使用了“Operational Research”一词，意指作战研究”或“运用研究”。
就是我们所说的运筹学。Bawdseg雷达站的研究是运筹学的发祥与典范。项目
的巨大实际价值、明确的目标、整体化的思想、数量化的分析、多学科的协同、
最优化的结果，以及简明朴素的表述，都展示了运筹学的本色与特色，使人难以
忘怀。
2
二、Blackett备忘录
1941年12月，Blackett以其巨大的声望，应盟国政府的要求，写了一份题
为“Scientists at the Operational Level”（作战位置上的科学家）的简短备忘录。
建议在各大指挥部建立运筹学小组，这个建议迅速被采纳。据不完全统计，第二
次世界大战期间，仅在英国、美国和加拿大，参加运筹学工作的科学家超过700
名。
1943年5月，B1ackett写了第二份备忘录，题为“关于运筹学方法论某些方
面的说明”。他写道：“运筹学的一个明显特性，正如目前所实践的那样，是它具
有或应该有强烈的实际性质。它的目的是帮助找出一些方法，以改进正在进行中
的或计划在未来进行的作战的效率。为了达到这一目的，要研究过去的作战来明
确事实，要得出一些理论来解释事实，最后，利用这些事实和理论对未来的作战
作出预测。”这些OR的早期思想至今仍然有效。
三、大西洋反潜战
美国投入第二次世界大战后，吸收了大量科学家协助作战指挥。1942年，
美国大西洋舰队反潜战官员W．D．Baker舰长请求成立反潜战运筹组，麻省理
工学院的物理学家P．W．Morse被请来担任计划与监督。
Morse最出色的工作之一，是协助英国打破了德国对英吉利海峡的海上封
锁。194l～1942年，德国潜艇严密封锁了英吉利海峡，企图切断英国的“生命线”。
海军数次反封锁，均不成功。应英国的要求，美国派Morse率领一个小组去协
助。Morse小组经过多方实地调查，最后提出了两条重要建议：
1、
将反潜攻击由反潜舰艇投掷水雷，改为飞机投掷深水炸弹。起爆深度由
100米左右，改为25米左右，即当德方潜艇刚下潜时攻击效果最佳。
2、
运送物资的船队及护航舰艇编队，由小规模多批次，改为加大规模、减
少批次，这样，损失率将减少。
丘吉尔采纳了Morse的建议，最终成功地打破了德国的封锁，并重创了德
国潜艇舰队。由于这项工作，Morse同时获得了英国及美国战时的最高勋章。
四、英国战斗机中队援法决策
3
第二次世界大战开始后不久，德国军队突破了法国的马奇诺防线，法军节节
败退。英国为了对抗德国，派遣了十几个战斗机中队，在法国国土上空与德国空
军作战，且指挥、维护均在法国进行。由于战斗损失，法国总理要求增援10个
中队。已出任英国首相的丘吉尔决定同意这个请求。
英国运筹人员得悉此事后，进行了一项快速研究，其结果表明：在当时的环
境下，当损失率、补充率为现行水平时，仅再进行两周左右，英国的援法战斗机
就连一架也不存在了。这些运筹学家以简明的图表、明确的分析结果说服了丘吉
尔。丘吉尔最终决定：不仅不再增换新的战斗机中队，而且还将在法的英国战机
大部分撤回英国本土，以本土为基地，继续对抗德国。局面有了大的改观。
在第二次世界大战中，定量化、系统化的方法迅速发展，且很有特点。由上
面几个例子可以看出这一时期军事运筹的特点：①真实的实际数据；②多学科密
切协作；③解决方法渗透着物理学思想。
五、经济与管理中的几项成果
1、Erlong与排队论
19世纪后半期，电话问世并随即建立为用户服务的电话通信网。
在电话网服务中，基本问题之一是：根据业务量适当配置电话设备。既不要
使用户因容量小而过长等待，又不要使电话公司设备投入过大而造成过多空闲。
这是一个需定量分析才有可能解决的问题。
1909～1920年间，丹麦哥本哈根电话公司工程师A．K．Erlong陆续发表
了关于电话通路数量等方面的分析与计算公式。尤其是1909年的论文“概率与电
话通话理论”，开创了排队论—随机运筹学的一个重要分支。他的工作虽属排队
论最早期成果的范畴，但方法论正确得当引用了概率论的数学工具作定量描述与
分析；并具有系统论的思想，即从整体性来寻求系统的优化。
据不完整的综述，截止到1960年，在排队论的应用研究报告486篇中，电
信系统222篇，运输系统125篇。在其他领域中则初步显示了一个潜在应用领
域——计算机系统。
2、Von．Neumann和对策论
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由20年代开始，Von．Neumann即开始了对经济的研究，做了许多开创性
工作。如大约在1939年，提出了一个属于宏观经济优化的控制论模型，成为数
量经济学的一个经典模型。
Von．Neumann是近代对策论研究的创始人之一。1944年，他与
Morgenstern的名著：《对策论与经济行为》一书出版。将经济活动中的冲突作
为一种可以量化的问题来处理。在经济活动中，冲突、协调与平衡分析问题比比
皆是。von．Neumann分析了这类问题的特征，解决了一些基本问题，如“二人
零和对策”中的最大一最小方法等。第二次世界大战期间，对策论的思想与方法
受到军方重视，并开始了用对策论对战略概念进行分析的研究，在军事运筹领域
占有重要位置。
还应指出：尽管Von．Neumann不幸过早去世（1957年），但他对运筹学
的贡献还有很多。他领导研制的电子计算机成为运筹学的技术实现支柱之一。他
慧眼识人才，对Dantzig从事的以单纯形法为核心的线性规划研究，最早给予肯
定与扶持，使运筹学中这个最重要的分支在第二次世界大战后不久即脱颖而出。
Dantzig当时年龄还不到30岁!
3、KantoroVich与“生产组织与计划中的数学方法”
康托洛维奇（KantoroVich）是苏联著名的数理经济专家。30年代，他从事
了生产组织与管理中的定量化方法研究，取得了很多重要成果。如运输调度优化、
合理下料研究等。运筹学中著名的运输问题，其求解方法就以他来命名（康托洛
维奇—希奇柯克算法）。1939年，他出版了名著：《生产组织和计划中的数学方
法》，堪称运筹学的先驱著作。其思想与模型均可归入线性规划的范畴，尽管当
时还未能建立方法论与理论体系，但仍具很大的开创性，因为它比Dantzig建立
的线性规划几乎早了十年。
康托洛维奇的这些工作在当时的苏联被忽视了，但在国际上却获得了很高的
评价。1975年，他与T．C．Koopmans一起获得了诺贝尔经济学奖。
4、运筹学分支的重大理论成果
由运筹学作为一门学科开始到60年代，在近三十年的发展中，出现了多方
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面的理论成果；其中相当部分属于理论奠基或重大突破，现将这些事件列出如下：
1947年，Dantzig提出单纯形法；1950～1956年，线性规划的对偶理论；
1960年，Dantzig-Wolfe建立大规模线性规划的分解算法；1951年，Kuhn-Tucker
定理奠定了非线性规划理论基础；1954年，网络流理论建立；1955年，创立随
机规划；1958年，创立整数规划求解整数规划的割平面法问世；1958年，求解
动态规划的Bellman原理发表。
即使是这个罗列很不完整，但足以看出50年代是运筹学理论体系创立与形
成的重要十年，令运筹学工作者感到欢欣鼓舞。