高中数学第一章计数原理5二项式定理同步测控北师大版选修2-3讲义
0
0
1
∴a9=-10. 答案：D 5.(2006 高考陕西卷，14)（3x-
1 12 ) 展开式中 x-3 的系数为____________.（用数字作答） x
3
解析：Tr+1=C 12 (3x)
r
12-r
·(-
12 r 1 r r r 12-r ) =(-1) C 12 ·3 ·x 2 , x
令 40-5r=0，得 r=8. ∴常数项为 C 10 =45. 答案：45 我综合，我发展 5 3 7.(2006 高 考 湖 南 卷 ， 11) 若 (ax-1) 的 展 开 式 中 x 的 系 数 是 -80 ， 则 实 数 a 的 值 是 ____________. 解析：设(ax-1) 的展开式的通项公式为 Tr+1=C 5 ·(ax) ·(-1) . 由 x 的系数为-80，可得
n-1
(2)当 x=1 时，Sn=n, An=C n +2C n +3C n +…+nC n . 又∵An=nC n +(n-1)C n
0 1 2 n n 1 1 2 3 n
+(n-2)C n
n
n2
+…+C n +0·C n ,
1
0
∴2An=n(C n +C n +C n +…+C n ). ∴An=n·2 . 当 x≠1 时，Sn=
9.已知（x2-
3 i n ) 的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中 i2=-1，则展开式中 14 x i n ) 的展开式的第 r+1 项为 Tr+1, x
2 n-r
常数项的值是多少？ 解：设（x2-
则 Tr+1=C n ·(x ) ·(-
r
2 n i r r r 2 ) =C n ·(-i) ·x . x
r
8
8
5
4
3
x
1 10 ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是（ 3x
B.2 C.4
） D.6
3
x )10-r(-
1 r r ) =C 10 x 3x
10 r 2
·(-
1 r -r r 1 r 5 r 3 * ) ·x =C 10 (- ) x 2 ,由 5- r∈N 3 3 2
知 r=0 或 2,∴展开式中第 1、3 项 x 的指数为正整数. 答案：B 3.若（ 3 x
n-1
1 xn , 1 x
An=
1 x 1 1 x2 2 1 x3 3 1 xn n Cn Cn Cn Cn 1 x 1 x 1 x 1 x
1 1 2 3 n 1 2 2 3 3 n n ［ （C n +C n +C n +…+C n )-(xC n +x C n +x C n +…+x C n )］ 1 x 1 1 n 2 2 n n = ［2 -1-(1+xC n +x C n +…+x C n -1)］ 1 x
3m 1 1 2 n
1 4 ) 的展开式中的第二项 （按 x 4x2
2m 3 3m, m 3, 即 m 2 1, m 3. 1 4 1 1 4-1 ) 知 T2=C 4 ·x ·( )=x. 2 4x 4x2
∴m=3. 由（x+
n( x 1) ∴an=x ,Sn= 1 x n . ( x 1) 1 x
n-1
1
0
1
n 1
故存在等差数列{bn}，{bn}满足 bn=n，使已知等式对一切 n∈N 成立.
*
4
我创新，我超越
3m 1
10.设数列{an}是等比数列， a1=C 2 m 3 ·A m 2 ,公比 q 是(x+ 的降幂排列）. （1）用 n,x 表示通项 an 与前 n 项和 Sn; (2)若 An=C n S1+ C n S2+…+C n Sn，用 n,x 表示 An. 解： （1）∵a1=C 2 m 3 ·A m 2 , ∴
5r
2
由已知第三项与第五项的系数比为解得 n=10. 由 2n-
2 C 2 ( i ) 2 Cn 3 3 3 = , ，得 n ,即 4 4 4 14 14 14 C n ( i ) Cn
5r 8 8 2 8 =0 得 r=8,则展开式中的常数项为 C 10 ·(-i) =C 10 =C 10 =45. 2
1
令 12-3
3 r=-3,得 r=10. 2
10
∴x 的系数为（-1） ·C 12 ·3 =594. 答案：594 6.(2006 高考全国卷Ⅱ，13.在(x + 解析：Tr+1=C 10 (x )
r
4 10-r 4
10
2
·(
1 r r 40-5r ) =C 10 ·x , x
1 10 ) 的展开式中常数项是____________.（用数字作答） x
1 n ) 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为（ x
C.162 D.540
）
A.-540 B.-162 n 解析：令 x=1 得 2 =64,则 n=6. Tr+1=C 6 (3 x )6-r(令 3-r=0，得 r=3. 常数项为-27C 6 =-540.
3 r
1 r r ) =(-1)r36-rC 6 x3-r, x
2 008-r
显然当 2 008-r 为奇数时，r 为奇数. ∴当 x= 2 时，Tr+1=-C 2008 ( 2 ) ∴S=-2
1 004
r
2 008
=-C 2008 ·2
1 004
r
1 004
.
(C 2008 +C 2008 +…+C 2008 )=-2
1
3
2007
×
1 2 008 3 011 ×2 =-2 . 2
高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理同步测控 北师大版选修 2-3
我夯基，我达标 1.在（x-1)(x+1) 的展开式中，x 的系数是 …（ ） A.-14 B.14 C.-28
8 5
D.28
解析：原式=x(x+1) -(x+1) ,故 x 的系数为 C 8 -C 8 =14. 答案：B 2.（ A.0 解析：∵Tr+1=C 10 (
答案：A 2 10 9 10 4.若多项式 x +x =a0+a1(x+1)+…+a9(x+1) +a10(x+1) ,则 a9 的值为（ A.9 B.10 C.-9 解析：x 的系数为 a10=C 10 =1, x 的系数为 a9· C 9 +a10·C 10 =a9+10=0,
9 10
） D.-10
=
3
=
1 n n ［2 -(1+x) ］. 1 x
n 2n 1( x 1), ∴An= 2 n (1 x ) n ( x ). 1 x
11. 已 知 数 列 {an} 满 足 an=n·2 (n∈N ), 是 否 存 在 等 差 数 列 {bn} ， 使 an=b1C n +b2C n +b3C n +…+bnC n 对一切整数 n 成立？并证明你的结论. 解：假设等差数列{bn}使等式 n·2 =b1C n +b2C n +b3C n +…+bnC n 对一切正整数 n 成立. 当 n=1 时，得 1=b1C 1,∴b1=1； 当 n=2 时，得 4=b1C 2 +b2C 2 ,∴b2=2； 当 n=3 时，得 12=b1C 3 +b2C 3 +b3C 3 ,∴b3=3； 可猜想 bn=n 时， n·2 =C n +2C n +3C n +…+nC n . ∵kC n =k·
3 5
8
r
5-r
r
5 r 3 r 5 r C5 a (1)r 80.
解得
r 2, a 2.
答案：-2 8.在(x- 2 )
r
2 008
的二项展开式中， 含 x 的奇次幂的项之和为 S， 当 x= 2 时， S 的值为多少？ (- 2 ) ,
r
解：Tr+1=C 2008 x
k
n-1 1 n-1 n-1 *
1
2
3
n
1
2
3
n
1Hale Waihona Puke 2123
1
2
3
n
n! k!(n k )!
=n·
(n 1)! nk nC n 1 . (k 1)!(n k )!
2 3 n
∴C n +2C n +3C n +nC n =n(C n 1 C n 1 C n 1 ）=n·2 .
数学(北师大版选修2-3)课件1.5.1二项式定理
二项式系数与项的系数
(1)求二项式2
x－1x6 的展开式中第
6
项的二项式
系数和第 6 项的系数；
(2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数．
第一章 计数原理
§ 5 二项式定理
5．1 二项式定理
学习目标
重点难点
1.理解二项式定理是代数乘法公式
的推广．
1.重点是二项式定理、
2．掌握二项式定理，并能利用计数 推导及通项公式．
原理证明二项式定理．
2．难点是利用计数原
3．会用二项式定理解决与二项式展 理推导出二项展开式.
开式有关的简单问题.
阅读教材：5.1二项式定理的有关内容，完成下列问题． 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有(a＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_r_b_r＋__…__＋__C_nn_b_n_____(n∈N＋)． 这个公式称为二项式定理．等号右边的多项式称为(a＋b)n 的二项展开式，(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的 系数_C_nr___(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
1．(1)求(x＋2y)4 的展开式；
(2)
化
简：
C0n(x
＋
1)n
－C
1 n
(x＋
1)n
－
1＋
C2n
(x
＋
1)n
－2
－
…
＋(
2019_2020学年高中数学第1章计数原理55.1二项式定理课件北师大版选修2_3
二项展 公式右__边__的__式__子__叫作(a＋b)n 的二项展开式
开式
各项的系数__C__rn(_r_＝__0_,1_,_2_，__…__，__n_) _____叫作二项式系 二项式系数
数 二项展开式
式中___C_rn_a_n_－_rb_r_______叫作二项展开式的通项 的通项
思考 2：二项式(a＋b)n 与(b＋a)n 展开式中第 k＋1 项是否相同？
[提示] 不同．(a＋b)n 展开式中第 k＋1 项为 Cknan－kbk，而(b＋a)n 展开式中第 k＋1 项为 Cknbn－kak.
1．(x＋1)n 的展开式共有 11 项，则 n 等于( )
A．9 B．10
C．11
A．－280x4y3
B．280x4y3
C．－35x4y3
D．35x4y3
A [(x－2y)7 的展开式中的第 4 项为 T4＝C37x4(－2y)3＝(－2)3C37x4y3＝－280x4y3.]
合作探究 提素养
二项式定理的正用和逆用
【例 1】
(1)求3
x＋ 1x4的展开式；
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
10)．
(1)展开式的第 4 项(k＝3)的二项式系数为 C310＝120.
(2)展开式的第 4 项的系数为 C31037－233＝－77 760.
(3)展开式的第 4 项为 T4＝T3＋1＝－77 760 x.
区分二项式系数与某一项系数 1二项式系数都是组合数 Cknk∈{0，1，2，…，n}，它与二项 展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二 项式展开式中“项的系数”这两个概念. 2第 k＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项 式系数为 Ckn.例如，在1＋2x7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－32x3， 其二项式系数是 C37＝35，而第四项的系数是 C3723＝280.
高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理学案 北师大版选修2-3(2021年最新整理)
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§5 二项式定理3．会用二项式定理找等量关系1．二项式定理(a ＋b ）n ＝C 错误!a n ＋C 错误!a n －1b ＋…＋C 错误!a n －r b r ＋…＋C 错误!b n。
这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a ＋b ）n 的二项展开式．(a ＋b )n的二项展开式共有n ＋1项，其中各项的系数C 错误!(r ＝0,1,2，…，n )称为二项式系数,C 错误!a n －r b r称为二项展开式的第r ＋1项，又称为二项式通项．在二项式定理中,如果设a ＝1，b ＝x ，则得到公式：（1＋x )n＝1＋C 错误!x＋C 错误!x 2＋…＋C 错误!x r ＋…＋x n.预习交流1如何记忆二项式定理？提示：记忆二项式定理的关键是记住二项式的通项，T r ＋1＝C 错误!a n －r b r，其中T r ＋1为二项展开式的第r ＋1项，a ，b 的指数和为n 。
2．二项式系数的性质 C r n ＋1＝C 错误!＋C 错误!；C 错误!＝C 错误!；C 错误!＋C 错误!＋…＋C 错误!＋…＋C 错误!＝2n . 预习交流2如何证明C 错误!－C错误!＋C 错误!－C 错误!＋…＋(－1）n ＋1C 错误!＝0。
提示:令二项展开式中的a ＝1，b ＝－1，即可得到要证明的结论．1．二项式定理求错误!4的展开式．思路分析：直接利用二项式定理，注意每一项都符合二项展开式的通项公式，也可先将原式变形后再展开．解：方法1：错误!4＝C 错误!（3错误!）4·错误!0＋C 错误!(3错误!）3·错误!1＋C 错误!（3错误!）2错误!2＋C 错误!(3错误!）·错误!3＋C 错误!（3错误!)0·错误!4＝81x 2＋108x ＋54＋错误!＋错误!。
北师大版高中数学选修2-3第一章 计数原理二项式定理课件
1 2 依题意得 ＝ ，即 n －3n－4＝0，解得 n＝ 3 2 －2 2Cn 4(舍去 n＝－1)．
设(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为第(r＋1)项，则 Tr＋1
归纳升华 1.求二项展开式的特定项的常用方法： (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母 的指数恰好都是整数．解这类问题必须合并通项公式中同一 字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整 除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一 字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 2．正确区分二项式系数与该项的系数． 二项式系数与项的系数是两个不同的概念， 前者仅与 二项式的指数及项数有关， 与二项式无关， 后者与二项式、 二项式的指数及项数均有关．
－
展开式通项
在二项式定理中，令 a＝1，b＝x， 备注
2 2 则得到公式(1＋x)n＝1＋C1 x ＋ C n nx k n ＋…＋Ck x ＋…＋ x n
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)(a＋b)10 的展开式中共有 10 项．(
n－ k k n (2)Ck a b 是 ( a ＋ b ) 展开式的第 k 项．( n
[变式训练] (1)(2016· 全国Ⅰ卷)(2x＋ x)5 的展开式 中，x3 的系数是________(用数字填写答案)． a x＋ 8 (2)若 3 的展开式中 x4 的系数为 7，则实数 a x ＝________．
高中数学第一章计数原理5二项式定理知识导航北师大选修2-3创新
⾼中数学第⼀章计数原理5⼆项式定理知识导航北师⼤选修2-3创新§5 ⼆项式定理⾃主整理1.(a+b)n=_______________________________________________________________.这个公式称为⼆项式定理，等号右边的式⼦称为(a+b)n 的⼆项展开式，（a+b)n的⼆项展开式有_______________项，其中各项的系数_______________称为⼆项式系数，_______________称为⼆项展开式的第_______________项，⼜称为⼆项式通项. 2.在⼆项式定理中，如果设a=1,b=x ，则得到公式：(1+x)n=____________________________________________________________.3.当n 依次取1,2,3,…时，(a+b)n展开式的⼆项式系数如下图所⽰：图中所⽰的表叫作⼆项式系数表，它有这样的规律：①表中每⾏两端都是1，⽽且除1以外的每⼀个数都等于它“肩上”的两个数字的_______________，即_______________；②与⾸末两端“等距离”的两个⼆项式系数_______________，即_______________. ⾼⼿笔记1.⼆项展开式的项数为n+1项.2.各项的次数都等于⼆项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n.3.字母a 按降幂排列，从第⼀项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第⼀项起，次数由零逐项增1直到n.4.⼆项式的系数从C 0n ,C 1n ,⼀直到C 1-n n ,C nn .5.T r+1=C r n a n-r b r,可以表⽰（a+b)n的⼆项展开式中的任意⼀项，只要r 确定.6.T r+1是（a+b)n的⼆项展开式的第r+1项，⽽不是第r 项.7.⼆项式系数与项的系数是不同的，如(a+bx)n(a 、b∈C )的展开式中，第r+1项的⼆项式系数是C r n ，⽽第r+1项的系数为C .rr n r n b a- 名师解惑1.如何应⽤⼆项式的通项公式解题？剖析：通项公式主要⽤于求⼆项式的指数，求满⾜条件的项或系数，求展开式的某⼀项或系数.（1）运⽤通项公式T r+1=C rr n r nb a -解题，⼀般都需先转化为⽅程（组）求出n 、r ，然后代⼊通项公式求解.（2）求展开式的⼀些特殊项，通常都是由题意列⽅程求出r ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和r 的取值范围及它们之间的⼤⼩关系. 2.⼆项展开式的性质剖析：（1）如果n 是偶数，则中间⼀项（第2n+1项）的⼆项式系数最⼤；如果n 为奇数，则中间两项（第n+21项与21+n +1项）的⼆项式系数相等并且最⼤. （2）所有⼆项式系数的和等于2n，即C 0n +C 1n +…+C nn =2n.(3)奇数项的⼆项式系数的和与偶数项的⼆项式系数的和相等.即C 0n +2n C +…=C 1n +C 3n +…=2n-1.3.运⽤⼆项式定理解题时有哪些常⽤的⽅法？剖析：（1）赋值法.在(a+b)n展开式中令a=b=1，得C 0n +C 1n +…+C n n =2n;令a=1,b=-1得C 0n -C 1n +C 2n -C 3n + 0∴C 0n +C 2n +C 4n +…=C 1n +C 3n +C 5n +…=2n-1.这种由⼀般到特殊的⽅法是“赋值法”.（2）利⽤⼆项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧. 讲练互动【例1】写出(x-y)11的展开式中：（1）通项T r+1;(2)⼆项式系数最⼤的项；（3）项的系数绝对值最⼤的项；（4）项的系数最⼤的项；（5）项的系数最⼩的项；（6）⼆项式系数的和；（7）各项的系数的和. 分析：本题的最⼤特点是展开式的⼆项式系数与项的系数有的相同，有的仅差⼀负号.因此，系数最⼤和最⼩的项可直接利⽤⼆项式系数最⼤和最⼩的项来解决.⼆项式系数的和可利⽤和为2n这⼀性质求解；各项系数的和可利⽤⼆项式定理或赋值法求解.解：（1）T r+1=(-1)r·C r11x11-r y r.(2)展开式中⼆项式系数最⼤的项为中间两项T 6=-C 511x 6y 5,T 7=C 611x 5y 6.(3)由于本题中系数绝对值最⼤的项就是⼆项式系数最⼤的项，因此，系数绝对值最⼤的项也是中间两项T 6=-C 511x 6y 5,T 7=C 611x 5y 6.(4)由（3）知，项的系数最⼤的项是T 7=C 611x 5y 6. (5)由（3）知，项的系数最⼩的项是T 6=-C 511x 6y 5.(6)展开式中，⼆项式系数的和为C 011+C 211111C ++…+C 1111=211.(7)展开式中，各项系数的和为C 311211111011C C C -+-+…+(-1)11C 1111=(1-1)11=011=0.绿⾊通道:本题是关于⼆项式系数性质应⽤的典型⽰例.此题起点较低，却包含了各种题型，在学习中应予以重视. 变式训练1.求（x 2-x 21)9展开式中的①第6项;②第3项的系数;③含x 9的项;④常数项. 解：①T 6=C 59(x 2)4(x 21-)5=1663-x 3.②T 3=C 29 (x 2)7(x21-)2=9x 12,∴第3项系数为9. ③⾸先利⽤通项公式去求含x 9的项是第⼏项，再求这⼀项，即知系数.设第r+1项，含x 9，则T r+1=C r9(x 2)9-r(x21-)r， x 的幂指数为2(9-r)-r=9,∴r=3.∴含x 9项为第4项，T 4=C 39（x 2)6(x 21-)3=x21-x 9. ④设常数项为第r+1项，T r+1=C r9(x 2)9-r ·(x21-)r ,则x 的幂指数为18-3r=0,即r=6,∴第7项为常数项，T 7=C 69（x 2)9-6(x 21-)6=1621.【例2】求(x 2+3x+2)5的展开式中含x 的项.分析：由x 2+3x+2=(x+1)(x+2),利⽤⼆项展开式求解.也可以利⽤组合数及乘法原理.解法⼀：（x 2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,含x 的项是(x+1)5展开式中的⼀次项与（x+2)5展开式中的常数项之积和(x+1)5展开式中的常数项与(x+2)5展开式中的⼀次项之积的代数和.∴含x 的项为C 45x·C 55·25+C 55·1·C 45x·24=240x.解法⼆：（x 2+3x+2)5展开式中的⼀次项是5个括号中有1个括号内取3x ，其他4个括号内取常数项2相乘得到的.即C 15·3x·C 44·24=240x.绿⾊通道:对于⼆项式的展开式问题有两种思路：⼀是转化为⼆项式（可因式分解）；⼆是利⽤组合及乘法原理（不能因式分解）.通常第⼆种思路更简捷. 变式训练2.求（1+x)6(1-x)5展开式中含x 3项的系数.解：（1+x)6(1-x)5=(1+x)(1-x 2)5. 在（1-x 2)5展开式中含x 2的项是C 15·15-1(-x 2)1,故(1+x)6(1-x)5的展开式中含x 3项的系数为C 15（-1）=-5.【例3】设(3x-1)8=a 8x 8+a 7x 7+…+a 1x+a 0.求：（1）a 8+a 7+…+a 1; (2)a 8+a 6+a 4+a 2+a 0.分析：有关求系数和的问题，⼀般采⽤“赋值法”，令⼆项式中的项取⼀个或⼏个值，得到⼀个或⼏个等式，然后再根据需要求得结果. 解：令x=0,得a 0=1.(1)令x=1，得(3-1)8=a 8+a 7+…+a 1+a 0①∴a 8+a 7+…+a 2+a 1=28-a 0=256-1=255. （2）令x=-1，得(-3-1)8=a 8-a 7+a 6…-a 1+a 0，②∴①+②得28+48=2(a 8+a 6+a 4+a 2+a 0), ∴a 8+a 6+a 4+a 2+a 0=21 (28+48)=32 896.绿⾊通道:“赋值法”的模式揭⽰了⼈们由“⼀般认识到特殊认识”的重要思维理念，揭⽰了“特殊存在于⼀般之中”的辩证关系. 变式训练3.求（1+2x+x 2)10(1-x)5展开式中各项系数的和. 解：（1+2x+x 2)10(1-x)5=(1+x)20(1-x)5=(C20+C 120x+C 220x 2+…+C2020x 20)［C 05+C 15(-x)+C 25(-x)2+…+C 55(-x)5］=A 0+A 1x+A 2x 2+…+A 25x 25.对于x 取任意给定的数，等式左右两边的值总相等，令x=1，则0=A 0+A 1+A 2+…+A 25.∴展开式中各项系数和为0.【例4】求（1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10展开式中x 2项的系数.分析：把(1+x)n (2≤n≤10且n∈N )展开，找全x 2项进⾏系数合并再进⾏处理. 解：∵（1+x)2=1+C 12x+C 22x 2，∴x 2的系数为C 22，(1+x)3=1+13C x+C 23x 2+C 33x 3.∴x 2的系数为C 23.同理：（1+x)4展开式中x 2项系数为C 24…(1+x)10展开式中x 2项系数为C 210.∴x 2项的系数为C 22+C 23+C 24+…+C 210=C 311=165.∴展开式中x 2项系数为165.绿⾊通道:综合运⽤⼆项式定理问题，灵活运⽤展开式的通项公式进⾏求解. 变式训练4.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6展开式中，x 2项的系数是______________.（⽤数字作答）解：C 22+C 23+…+C 26=C 33+C 23+…+C 26=C 37=35.【例5】⽤⼆项式定理证明： 32n+2-8n-9是64的倍数（n∈N ).分析：①变为⼆项式形式；②与64联系上. 证明：32n+2-8n-9=9n+1-8(n+1)-1=(8+1)n+1-8(n+1)-1=8n+1+C 11+n 8n+C 21+n 8n-1+…+C 11-+n n 82+n n +nn 1+8+C 12++n n -8(n+1)-1=82(8n-1+C 11+n +18n-2+…+C 11-+n n ).∵括号内每⼀项都是⾃然数，和为⾃然数，∴上式是64的倍数，即32n+2-8n-9是64的倍数.绿⾊通道:利⽤⼆项式定理可以求余数和证明整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系. 变式训练5.9192除以100的余数是多少？解法⼀：9192=(100-9)92=10092-C 192·10091·9+C 292·10090·92-…-C 9192·100·991+992，前⾯各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数.∵992=(10-1)92=1092-C192·1091+C292·1090-…+C9092·102-C9192·10+(-1)92=1092-C192·1091+C292·1090-…+C9092·102-920+1=(1092-C192·C9192+C292·1090-…+C9092·102-1 000)+81，∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.解法⼆：∵9192=(90+1)92=C092·9092+C192·9091+…+C9092·902+C9192·90+1，由于前⾯各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C91 92·90+1=8 281=8 200+81，∴被100除余81.。
高中数学第一章计数原理1.5二项式定理课件北师大版选修2_3
3. 二项式展开式中, 偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项
1 + C 3 + CC 4 +…=2n-1 . 式系数和, 即C������ ������ ������ ������ ������ ������
一
二
【做一做 3】 设 n∈N+, 则
0 2n - C 1 2n-1 +…+(-1)kC ������ 2n-k+…+(-1)n C ������ = C������ ������ ������ ������ 0 2n -C 1 2n-1 +…+( -1)kC ������ 2n-k+…+( -1)n C ������ = 解析:C������ ������ ������ ������ 0 n 1 n-1 ������ n-k ������ 0 C������ 2· (-1)0 +C������ 2 · (-1)1+…+C������ 2 · (-1)k+…+C������ 2 (-1)n =(2-1)n =1.
+
(2)每一行中, 与首末两端“等距离”的两个数相等. 这就是说, 二项展开式中, 与首末两端“等距离”的两项的二项式
������ 系数相等, 实际上反映了组合数的性质C������ = C������ ������ -������
.
一
二
名师点拨1.如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数 最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并 且最大. 0 1 2 ������ 2. 二项式系数的和等于 2n, 即C������ + C������ + C������ +…+C������ =2n.
2017-2018版高中数学 第一章 计数原理 习题课 二项式定理课件 北师大版选修2-3
跟踪训练2 求(x2＋3x－4)4的展开式中x的系数.
解答
命题角度3 整除和余数问题
例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期
A.一
B.二
C.三
D.四
解析 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理
将数变形求余数.
因为 810＝(7＋1)10＝710＋C110×79＋…＋C910×7＋1＝7M＋1(M∈N＋)， 所以第810天相当于第1天，故为星期一.
为二项式定理
二项式系数
_C__rn(_r_＝__0_,1_，__…__，__n_)_
二项式通项
二项式定 理的特例
Tr＋1＝_C__rna_n_－_r_b_r(_k_＝__0_,1_，__…__n_)_ (1＋x)n＝ C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnrxr＋…＋Cnnxn
2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)
第一章 计数原理
习题课 二项式定理
学习目标
1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念. 2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
知识梳理
1.二项式定理及其相关概念
公式(a＋b)n＝_C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1_b_＋__…__＋__C_rn_a_n－_r_b_r＋__…__＋__C__nnb_n，称 二项式定理
(4)二项式系数之和 C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝_2_n，所用方法是_赋__值__法__.
题型探究
类型一 二项式定理的灵活应用
命题角度1 两个二项式积的问题 例1 (1)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0) ＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝_1_2_0__. 解析 f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C36C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝120. (2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝－__1__. 解析 (1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5. ∴x2的系数为C25＋aC15 ， 则10＋5a＝5，解得a＝－1.
高中数学 第一章 计数原理 5 第一课时 二项式定理课件 北师大版选修2-3.pptx
问题 1：(a＋b)n 展开式中共有多少项？ 提示：n＋1 项． 问题 2：(a＋b)n 展开式中系数有什么特点？ 提示：依次为组合数 C0n，C1n，C2n，…，Cnn. 问题 3：(a＋b)n 展开式中每项的次数有什么特点？项的 排列有什么规律？ 提示：每一项的次数和是一样的，都是 n 次，并且是按 a 的降幂排列，b 的升幂排列．
二项展开式 式中__C__rna_n_－_r_b_r _叫作二项展开式的通项 的通项 在二项式定理中，若 a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cn1x＋C2nx2
＋…＋Cnr xr＋…＋xn.
5
(1)(a＋b)n 的展开式中共有 n＋1 项，字母 a 的幂指数按降 幂排列，字母 b 的幂指数按升幂排列，每一项的次数和为 n.
第 §5 一
课 第二时 一项 章式二
定项 理式
定 理
理解教材新知
知识点
把握热点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1
§5
二项式定理
第一课时 二项式定理
2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4； (a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5. 根据上述规律归纳出(a＋b)n(n∈N＋，n≥2)的展开式，并 思考下列问题．
15
3．(湖南高考)12x－2y5 的展开式中 x2y3 的系数是
A．－20
B．－5
()
C．5
D．20
解析：由二项展开式的通项可得，第四项 T4＝C3512x2(－2y)3
＝－20x2y3，故 x2y3 的系数为－20，选 A.
高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理同步测控 北师大版选修2-3(2021年最新整理)
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高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理同步测控 北师大版选修2—3我夯基，我达标1.在（x —1）(x+1)8的展开式中，x 5的系数是 …（ )A.—14B.14C.-28D.28解析：原式=x(x+1)8-（x+1）8，故x 5的系数为C 48-C 38=14。
答案：B 2。
（xx 31-)10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是（ ) A.0 B 。
2 C.4 D.6解析：∵T r+1=C r 10(x )10-r(—x31）r =C r10x210r -·(—31）r ·x —r =C r10 （-31）r x r 235-,由5—23r∈N*知r=0或2,∴展开式中第1、3项x 的指数为正整数。
答案：B 3.若(xx 13-）n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A 。
-540 B.-162 C 。
162 D 。
540 解析：令x=1得2n=64,则n=6。
T r+1=C r6（3x ）6—r （—x1）r =(-1）r 36—r C r 6x 3—r， 令3—r=0，得r=3。
常数项为—27C 36=—540。
答案:A4。
若多项式x 2+x 10=a 0+a 1（x+1）+…+a 9（x+1）9+a 10（x+1）10，则a 9的值为( ） A 。