薛定谔方程、量子力学简介

薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
由归一化条件求C 由归一化条件求 归一化条件 归一化条件
∫−∞ ψ
∞
2
dx = ∫ ψψ dx = 1
* 0
a
∫
a
0
nπ C sin xd x = 1 a
2 2
C=
2 a
2 nπ ψ ( x) = sin x , (0 ≤ x ≤ a ) a a 2 nπ x) n =1,2,3,4,5,L sin( ψ(x) = a 势 内 阱 a
自由粒子
(v << c )
E = Ek
2
∂Ψ i2π =− EΨ ∂t h
2
2
p = 2mE k
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
h ∂ Ψ h ∂Ψ − =i 2 2 8 π m ∂x 2 π ∂t
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若粒子在势能为 Ep 的势场中运动
2 2
E = Ek + Ep
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一、薛定谔方程（1925 年） 薛定谔方程（ 思考】 【思考】 波函数来自哪个方程？ 波函数来自哪个方程？ 薛定谔方程
特殊情况 一般情况 .. 薛定谔（ 薛定谔（Erwin Schrodinger,1887~1961） ） 奥地利物理学家. 奥地利物理学家 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 动力学,并建立了量子力学的近似方法 动力学 并建立了量子力学的近似方法 . 年间， 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间， 两个等价的理论：矩阵力学和波动力学 力学和波动 两个等价的理论：矩阵力学和波动力学 相对论量子力学（ 狄拉克）： ）：描述高速运 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高速运 动的粒子的波动方程 .
波函数
2 nπ sin x, (0 < x < a) a a 2 2 n π 2 sin （ x）势阱内 概率密度 ψ ( x) = a a 0 势阱外 能量 h2 量子数 2 En = n n = 1, 2 ,3 , L 8ma2
ψ (x) =
0,
( x ≤ 0, x ≥ a )
o
2 2 2 2
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定态薛定谔方程 定态薛定谔方程
定态波函数 定态波函数
8π m ∇ ψ + 2 ( E − Ep )ψ = 0 h
2
2
ψ ( x, y , z )
−h2 2 ∇ ψ + EPψ = Eψ 2m 哈密顿 h2 2 ˆ H =− ∇ +EP 算符 2m
当 > a, λ →∞ x 因波函数有限 ψ( x ) = A′ ⋅ ∞+ B′ ⋅ 0
A =0
'
当 < 0, λ →∞ x ψ( x ) = A′ ⋅ 0+ B′ ⋅ ∞
ψ( x ) = 0
B' = 0
概率密度（势阱外） 概率密度（势阱外） ψ ( x) 2 = 0
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定态薛定谔方程
ˆ Hψ =Eψ
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对左区、右区（势阱外）： E = ∞ 左区、 势阱外）： ∞ Ep ∞ P 2 d ψ(x) 2m = 2 (EP − E) (x) ψ 2 dx h 2m 2 E 令 λ = 2 (EP − E) 当 P →∞, λ →∞ a x o h d2ψ( x ) 2 = λ ψ( x ) 通解为 ψ( x ) = A eλx + B′e−λx ′ 2 dx
向传播的波的叠加） 向传播的波的叠加）
8ma
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一 维 无 限 深 势 阱 中 的 粒 子
ψ ( x) =
2 nπ sin x a a
ψn
2 2 nπ ψ ( x) = sin x a a 2 ψn
2
n =4
16E1
n =3 n =2
n =1 x =0
a2
0
概率密度
势 外 2 2 n π 阱 2 sin （ x）势阱内 ψ ( x) = a a 0 势阱外
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一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 . 能量 粒子的能量
k = 2mE
h
ka = nπ n = 1,2,L 2 h , (n = 1) 基态能量 基态能量 E1 = 2 8ma h2 2 激发态能量 激发态能量 En = n 2 8ma (n = 2,3, L)
9 E1
4E1
a
x =0
a2
a
E1
∞ Ep ∞
Ep =
意义
0,
0< x<a
o
a
Ep → ∞, x ≤ 0, x ≥ a
x
数学运算简单，量子力学的基本概念、 数学运算简单，量子力学的基本概念、原理 在其中以简洁的形式表示出来 .
2
用定态薛定谔方程来求解 定态薛定谔方程来求解
8π m ∇ ψ + 2 ( E − Ep )ψ = 0 h
2
a
x
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【总结】一维势阱问题 总结】 波函数 0 , ( x ≤ 0, x ≥ a )
∞ Ep ∞
2 nπ sin x, (0 < x < a) a a h2 能量 E = n2 n 2 8ma
ψ (x) =
o
a
x
1）一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 . ）一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 能量 2）粒子的最低能量不能为零（若能量为 ，则n=0,则波 ）粒子的最低能量不能为零（若能量为0， 能量不能为零 则波 2 函数为0， 函数为 ，无意义） h , ( n = 1) 基态能量 基态能量 E1 = 2 3）粒子的物质波在势阱中形成驻波（波函数可分解为两反 ）
2 2 2
在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 势场中运动粒子的定态
∂ ψ ∂ ψ ∂ ψ 8π m + 2 + 2 + 2 ( E − Ep )ψ = 0 2 ∂x ∂y ∂z h ψ ( x, y , z ) 定态波函数 定态波函数
2
拉普拉斯算符
∂ ∂ ∂ ∇ = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z
对中间区（势阱内）： E 中间区 势阱内）：
d2ψ( x ) 2m E + 2 ψ( x ) = 0 2 dx h
h
P
=0
∞ Ep
∞
令 k = 2mE
通解为： ( x ) = Ae 通解为： ψ
d2ψ( x ) 2 + k ψ( x ) = 0 2 dx −ikx ikx
o
a
x
+ Be
或 (x) = Csin kx+ D) ψ （
Ψ ( x , t ) = ψ ( x )φ (t ) = ψ 0 ( x ) e
只是空间坐标的函数
只是时间的函数
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在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 运动粒子的定态
2 2
d ψ 8π m + ( E − E p )ψ ( x ) = 0 2 2 dx h 定态波函数 定态波函数 ψ (x )
能量量子化是求解薛定谔方程的必 然结果， 然结果，无需任何人为的硬性假设
En = (
πh
2 2 2
2ma n =1 2, 3⋅⋅⋅ ,
∞ Ep ∞
)n
2
o
a
x
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【总结】一维势阱问题 总结】
2
d ψ 8π mE + ψ =0 波动方程 2 2 dx h
2
∞ Ep ∞
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推演过程 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数 自由粒子平面波函数
ψ( x,t ) =ψ0e
∂Ψ 4π p =− Ψ 2 2 ∂x h
2 2 2
i − ( Et − px ) h
上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
定态薛定谔方程
ˆ Hψ =Eψ
薛定谔方程 ih ∂ Ψ = H ˆΨ ∂t r 粒子在势场中运动的波函数 Ψ = Ψ ( r , t )
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定态薛定谔方程
ˆ Hψ =Eψ
定态波函数性质
定态波函数 定态波函数
ψ ( x, y , z )
1）能量 E 不随时间变化； ） 不随时间变化； 2）概率密度 ）
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1933诺贝尔物理学奖 1933诺贝尔物理学奖
E.薛定谔 . 量子力学的 广泛发展
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二、一维势阱问题 固体物理金属中自由电子的简化模型 固体物理金属中自由电子的简化模型 粒子势能 Ep 满足的边界条件 粒子势能 满足的边界条件 边界
ka = nπ n = 1,2,L
因波函数连续，故当 因波函数连续，故当x=0和a的边缘处波函数应也为零 和 的边缘处波函数应也为零
Csin 0 +D) = 0 （
Csin( ka+D) = 0