高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第2课时组合的综合应用课件新人教A版选修2_3
(3)整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要 做到步骤连续且独立，计算每一类相应结果时使用分步 计数原理．
[思考尝试· 夯基] 1． 在直角坐标系 xOy 平面上， 平行直线 x＝m(m＝0， 1，2，3，4)，与平行直线 y＝n(n＝0，1，2，3)组成的图 形中，矩形共有( A．100 个 C．48 个 ) B．60 个 D．20 个
2 2 取法有 C4 ＝ 1( 种 ) ，取 2 奇数 2 偶数的取法有 C 4 5 C4 ＝
60(种)，取 4 个数均为奇数的取法有 C4 5＝5(种)，故不同 的取法共有 1＋60＋5＝66(种)． 答案：D
π 3．从 0，1， 2， ， 3，2 这六个数字中，任取两 2 个数字作为直线 y＝xtan α ＋b 的倾斜角和截距， 可组成 ________条平行于 x 轴的直线． 解析：要使得直线与 x 轴平行，则倾斜角为 0，截距 在 0 以外的五个数字均可．故满足条件的直线有 C1 5＝ 5(条)．
(5)甲、乙、丙三人至少 1 人参加． 解：(1)不同的选法有 C5 12＝792(种)． (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中 选 2 人，不同的选法共有 C2 9＝36(种)． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中 选 5 人，不同的选法共有 C5 9＝126(种)．
解析： 在两类平行直线中各取两条， 即构成一个矩形，
2 所以，所求矩形共有 C2 C 5 4＝10×6＝60(个)．
答案：B
2．若从 1，2，3，„，9 这 9 个整数中同时取 4 个不 同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( A．60 种 B．63 种 )
C．65 种 D．66 种 解析：和为偶数共有 3 种情况，取 4 个数均为偶数的
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，分两步：先从 甲、乙、丙中选 1 人，有 C1 3种选法，再从另外的 9 人中
1 4 选 4 人， 有 C4 种选法， 故不同的选法共有 C 9 3C9＝378(种)．
(5)法一(直接法) 可分为三类．
4 第一类：甲、乙、丙中有 1 人参加，共有 C1 C 3 9种选
(3)分成每组都是 2 本的三个组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本．
解：(1)分三步．先选 1 本有 C1 6种选法，再从余下的
3 5 本中选 2 本有 C2 种选法，最后余下的 3 本全选有 C 5 3种
选法．
2 3 由分步乘法计数原理知，分配方式共有 C1 · C 6 5·C 3 ＝
1.2 排列与组合 1.22 组合 第 2 课时 组合的综合应用
[学习目标] 1.能应用组合知识解决有关组合的简单 实际问题(重点)． 2.能解决有限制条件的组合问题 (重 点、难点)．
[知识提炼· 梳理] 解组合应用题的总体思路 (1) 区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无 序”，无序问题用组合解答，有序问题属排列问题． (2)对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要 做到各类的并集等于全集，各类的交集等于空集．计算 结果时，使用分类计数原理．
所以不同的选法共有
5 5 C12－C9＝666(种)．
归纳升华 (1) 解答有限制条件的组合问题，要先明确限制条 件．当限制条件为“含有”或“不含”某元素时，可直接 分步处理；当限制条件中有“至多” “至少”的要求时， 可分类求解或用间接法求解． (2)用直接法求解时依然坚持特殊元素优先选取、特
殊位置优先安排的原则．
[变式训练] 某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选 派 4 名学生发言， 要求甲、 乙两人至少有一人参加， 当甲、 乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的 发言顺序的种数为( A．360 ) C．600 D．720
B．520
解析：根据题意，分 2 种情况讨论．若甲、乙只有一
3 4 人参加，发言顺序有 C1 · C 2 5·A4＝480(种)；若甲、乙两人 2 4 都参加，发言顺序有 C2 · C 2 5·A4＝240(种)，
答案：5
4．凸十边形的对角线的条数为________． 解析：从 10 个顶点中每次取出两个，得出所有线段 条数，再减去边数即为所求结果，所以对角线条数为 C2 10 －10＝35. 答案：35
5．将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有________种．
解析：因为先从 3 个信封中选一个放标号为 1，2 的 卡片，有 3 种不同的选法，再从剩下的 4 个标号的卡片中 选两个放入一个信封有 C2 4＝6(种)，余下的放入最后一个 信封，所以共有 3C2 4＝18(种)． 答案：18
类型 1 有限制条件的组合问题(自主研析) [典例 1] 在一次数学竞赛中， 某学校有 12 人通过了 初试，学校要从中选出 5 人去参加市级培训，在下列条件 下，有多少种不同的选法？ (1)任意选 5 人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加；
法；
3 第二类：甲、乙、丙中有 2 人参加，共有 C2 C 3 9种选
法；
2 第三类：甲、乙、丙 3 人均参加，共有 C3 C 3 9种选法． 4 2 3 3 2 故不同的选法共有 C1 C ＋ C C ＋ C 3 9 3 9 3C9＝666(种)．
法二(间接法) 12 人中任意选 5 人， 共有 C5 12种选法， 甲、乙、丙三人都不参加，有 C5 9种选法，
2 3 2 其中甲、乙相邻的发言顺序有 C2 · C · A · A 2 5 3 2＝
120(种)．则不同的发言顺序的种数为 480＋240－120＝ [典例 2] 有 6 本不同的书按下列分配方式分配，则 分别有多少种不同的分配方式？ (1)分成 1 本、2 本、3 本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本；
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高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2.1组合及组合数公式课件新人教B版选修2308292
元素有C42 种,根据分步乘法计数原理,有C53 × C42 =10×6=60(种).
由分类加法计数原理,集合 C 共有 30+60=90(个).
答案:90
第二十一页，共21页。
第一(dìyī)课时 组合及组合数公式
第一页，共21页。
1.理解组合的概念及组合数公式.
2.会利用(lì
yòng)组合数公式解决一些简单的组合问题.
第二页，共21页。
1
2
1.组合的有关概念
(1)一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组,
叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.从排列和组合的定
(2)当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)时,
就是不同的组合.例如从a,b,c三个不同的元
素中取出两个元素的所有(suǒyǒu)组合有3个,它们分别是
ab,ac,bc.要注意ba,ab是相同的组合.
(3)组合问题与排列问题的共同点是:都要“从n个不同元素中,任
取m个元素”,不同点是:前者是“不管顺序并成一组”,而后者要
答案:ab ac ad bc bd cd
第五页，共21页。
1
2
2.组合数公式
(1)组合数的计算公式:C =
!
!(-)!
=
(-1)(-2)…(-+1)
,这里
!
m∈N,n∈N+,且 m≤n.
(2)C0 =1.
名师点拨
公式Cnm
计算;公式Cnm =
n!
Am
n
= Am =
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
应一个三角形,不共面的四点确定一个四面体等,解题时可借图形来帮
由分类加法计数原理,集合 C 共有 30+60=90(个).
答案:90
第二十一页，共21页。
第一(dìyī)课时 组合及组合数公式
第一页，共21页。
1.理解组合的概念及组合数公式.
2.会利用(lì
yòng)组合数公式解决一些简单的组合问题.
第二页，共21页。
1
2
1.组合的有关概念
(1)一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组,
叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.从排列和组合的定
(2)当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)时,
就是不同的组合.例如从a,b,c三个不同的元
素中取出两个元素的所有(suǒyǒu)组合有3个,它们分别是
ab,ac,bc.要注意ba,ab是相同的组合.
(3)组合问题与排列问题的共同点是:都要“从n个不同元素中,任
取m个元素”,不同点是:前者是“不管顺序并成一组”,而后者要
答案:ab ac ad bc bd cd
第五页，共21页。
1
2
2.组合数公式
(1)组合数的计算公式:C =
!
!(-)!
=
(-1)(-2)…(-+1)
,这里
!
m∈N,n∈N+,且 m≤n.
(2)C0 =1.
名师点拨
公式Cnm
计算;公式Cnm =
n!
Am
n
= Am =
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
应一个三角形,不共面的四点确定一个四面体等,解题时可借图形来帮
高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修2_3
的两位数的方法．
A．①③
B．②④
C．①②
D．①②④
C [①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．]
2．若C2n＝28，则n＝( A．9 C．7
) B．8 D．6
B [C2n＝n×n2－1＝28，解得n＝8.]
3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相 等，则车票票价的种数是________．
思考2：如何理解组合与组合数这两个概念？
[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样， “组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个 不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具 体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素 a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫 一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.
1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借 助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直 观地写出组合做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐 步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交 换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层 及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．
[解] (1)原式＝140××39××28××17－73× ×62× ×51·(3×2×1)＝210－210＝0.
n≥5－n， n＋1≥9－n， (2)由9－n≥0， 5－n≥0， n∈N*，
得n＝4或5.
当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5， 当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第2课时排列的综合应用课件新人教A版选修2
(2)法一(间接法) 7 人任意排列，有 A77种排法，甲、 乙两人相邻的排法有 A22×A66种，故甲、乙两人不相邻的 排法有 A77－A22×A66＝3 600(种)．
法二(插空法) 将其余 5 人全排列，有 A55种排法，5 人之间及两端共有 6 个位置，任选 2 个排甲、乙两人，有 A26种排法．故排法共有 A55×A26＝3 600(种)．
1.2 排列与组合 1.2.1 排列
第 2 课时 排列的综合应用
[学习目标] 1.进一步理解排列的概念(重点)． 2. 掌握解有限制条件的排列应用题的一些常用方法，并能运 用排列的相关知识解一些简单的排列应用题(重点、难 点)．
1．解简单的排列应用题的基本思路
2．解排列问题的基本方法
(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的 要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为 考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又 称位置分析法)．
解析：先对 8 个人全排列，有 A88种情形，其中甲、
乙的顺序有两种情形，即甲在乙前或甲在乙后，数目各占 一半，则甲、乙顺序一定的情形有12A88种，所以男生甲和
12A88 1 女生乙顺序固定的概率为 P＝ A88 ＝2.
答案：12
1．注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止 重复与遗漏．
2．对有限制条件的位置或元素应先排列，并适当选 择直接法或间接法．
3．同一问题，有时从位置分析法入手较为方便，有 时从元素分析法入手较为方便，应注意灵活运用．
4．要通过解答排列应用题，深化对分步计数原理和 分类计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步” 的意识，并在具体操作中确保两点：一是分类要使得各 类的并集等于全集，任意两类的交集为空集，这样才能 不重不漏；二是分步要使得各步具有连续性、独立性， 也要保证“不重不漏”．在分类与分步的过程中，要善于 画树状图．
法二(插空法) 将其余 5 人全排列，有 A55种排法，5 人之间及两端共有 6 个位置，任选 2 个排甲、乙两人，有 A26种排法．故排法共有 A55×A26＝3 600(种)．
1.2 排列与组合 1.2.1 排列
第 2 课时 排列的综合应用
[学习目标] 1.进一步理解排列的概念(重点)． 2. 掌握解有限制条件的排列应用题的一些常用方法，并能运 用排列的相关知识解一些简单的排列应用题(重点、难 点)．
1．解简单的排列应用题的基本思路
2．解排列问题的基本方法
(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的 要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为 考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又 称位置分析法)．
解析：先对 8 个人全排列，有 A88种情形，其中甲、
乙的顺序有两种情形，即甲在乙前或甲在乙后，数目各占 一半，则甲、乙顺序一定的情形有12A88种，所以男生甲和
12A88 1 女生乙顺序固定的概率为 P＝ A88 ＝2.
答案：12
1．注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止 重复与遗漏．
2．对有限制条件的位置或元素应先排列，并适当选 择直接法或间接法．
3．同一问题，有时从位置分析法入手较为方便，有 时从元素分析法入手较为方便，应注意灵活运用．
4．要通过解答排列应用题，深化对分步计数原理和 分类计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步” 的意识，并在具体操作中确保两点：一是分类要使得各 类的并集等于全集，任意两类的交集为空集，这样才能 不重不漏；二是分步要使得各步具有连续性、独立性， 也要保证“不重不漏”．在分类与分步的过程中，要善于 画树状图．
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的综合应用 新人教A版选修
解答
反思与感悟 相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排 成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个 “盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此 法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有Cmn－－11种方法.可描述 为n－1个空中插入m－1块板.
解答
(3)恰有两个空盒子. 解 恰有两个空盒子，插板分两步进行. 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选 1 个空隙各插一块 隔板，有 C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒. ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子， 如||00||0000|，有 C23种插法. ②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有 C13种插法. 故共有 C15·(C23＋C13)＝30(种).
反思与感悟 一般地，n 个不同的元素分成 p 组，各组内元素数目分别 为 m1，m2，…，mp，其中 k 组元素数目相等，那么分组方法数是 Cm1nCm2n－m1CmA3nkk－m1－m2…Cmpmp.
跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少 种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本； (5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本.
跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三 点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为
√A.205
B.110
C.204
D.200
反思与感悟 相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排 成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个 “盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此 法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有Cmn－－11种方法.可描述 为n－1个空中插入m－1块板.
解答
(3)恰有两个空盒子. 解 恰有两个空盒子，插板分两步进行. 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选 1 个空隙各插一块 隔板，有 C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒. ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子， 如||00||0000|，有 C23种插法. ②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有 C13种插法. 故共有 C15·(C23＋C13)＝30(种).
反思与感悟 一般地，n 个不同的元素分成 p 组，各组内元素数目分别 为 m1，m2，…，mp，其中 k 组元素数目相等，那么分组方法数是 Cm1nCm2n－m1CmA3nkk－m1－m2…Cmpmp.
跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少 种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本； (5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本.
跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三 点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为
√A.205
B.110
C.204
D.200
2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 第2课时 组合(二)优质课件 新人教A
• 『规律总结』 要注意从不同类型的几何问题 合问题，寻找一个组合的模型加以处理．
• 处理几何中的计数问题时要抓住“对应关系” 三点对应一个三角形，不共面四点可以确定一 ．可借助于图形思考问题，要善于利用几何的 特征解题．避免重复或遗漏．
• 〔跟踪练习3〕 • 空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个
解法二(间接法)：从 8 位家长中选出 4 位家长有 C48种选法， 仅来自于 2 个家庭不符合条件，其选法有 C24种，所以满足题意的 64(种)．
• 『规律总结』 常见的限制条件及解题方法
• (1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素， 特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．
• (2)含有“至多、至少”等限制语句：要分清限 包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间
[解析] (1)即从 7 名学生中选出三名代表，共有选法 C37＝3 (2)至少有一名女生的不同选法共有 C13C24＋C23C14＋C33＝31 种 种． (3)男、女生都要有的不同的选法共有 C37－C34－C33＝30 种， 30 种．
• 『规律总结』 解简单的组合应用题时，要先 是组合问题，若取出的元素只是组成一组，与 是组合问题；若取出的元素排成一列，与顺序 列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才 数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计 用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．
词“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用两 解决．
[解析] (1)从余下的 34 名学生中选取 2 名，有 C234＝561(种 ∴不同的选法有 561 种． (2)从 34 名可选学生中选取 3 名，有 C334种． 或者 C335－C234＝C334＝5984 种． ∴不同的选法有 5984 种． (3)从 20 名男生中选取 1 名，从 15 名女生中选取 2 名，有 C ∴不同的选法有 2100 种．
[精品课件]高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 第2课时 排列的综合应用课件 新人教B版选修2-3
![[精品课件]高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 第2课时 排列的综合应用课件 新人教B版选修2-3](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/4e65ee70cfc789eb172dc8c5.webp)
【解】 (1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是 0 的 五位数，有 A54个；第二类，个位上的数字是 5 的五位数，有 A14·A43个.故满足条 件的五位数的个数共有 A54＋A14·A43＝216(个).
(2)符合要求的比 1 325 大的四位数可分为三类： 第一类，形如 2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共 A41·A35个； 第二类，形如 14□□，15□□，共有 A21·A24个； 第三类，形如 134□，135□，共有 A21·A13个. 由分类加法计数原理知，无重复数字且比 1 325 大的四位数共有：A41·A35＋ A21·A24＋A21·A13＝270(个).
解排数字问题常见的解题方法 1.“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充.如“0”不排 “首位”. 2.“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数 原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不 重不漏.
3.“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数. 4.“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好.
(3)先站老师和女生，有站法 A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处 插入男生，每空一人，则插入方法 A44种，所以共有不同站法 A33·A44＝144(种).
(4)7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A44种，而由高到低有从 左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法 2·AA4477＝420(种).
1.用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.
【解析】 从 2,4 中取一个数作为个位数字，有 2 种取法；再从其余四个数 中取出三个数排在前三位，有 A43种排法.由分步乘法计数原理知，这样的四位偶 数共有 2×A43＝48 个.
人教a版数学【选修2-3】1.2.2《组合2》ppt课件
2 构成一个平行四边形，故共有 C2 C 8 10＝1 260(个)．
[答案] B
[解析] 至少 2 件次品包含两类： (1)
3 共 C2 3C197种，
2 件次品， 3 件正品，
2 (2)3 件次品，2 件正品，共 C3 C 3 197种， 3 3 2 由分类加法计数原理得抽法共有 C2 3C197＋C3C197，故选 B.
第一章
1.2
1.2.2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
5．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共
10条，这两组平行线相互不平行． (1)它们共能构成________个平行四边形； (2)共有________个交点． [答案] 1 260 80
[解析]
(1)第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能
3 ． (2013· 福州文博中学高二期末 ) 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4位朋友，每位朋 友1本，则不同的赠送方式共有( A．4种 ) B．10种
C．18种
[答案] B
D．20种
第一章
1.2
1.2.2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
第一章
1.2
1.2.2
第2课时
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(4)辩证地看待“元素”与“位置” 排列组合问题中的元素与位置，要视具体情况而定，有时 “定元素选位置”，有时“定位置选元素”． (5)把实际问题抽象成组合模型
2019-2020学年人教A版高中数学选修2-3课件：第1章 计数原理1.2.2(2)
第一章
计数原理
1.2 排列与组合 1.2.2 组合(二)
课前 教材预案 课堂 深度拓展 课末 随堂演练 课后 限时作业
课前教材预案
要点 求解组合问题的常用方法
• 常用的方法分直接法与间接法两大类．所谓直接法，就是利 用分类或者分步计数原理，准确地分类或者分步，直接计算 出结果；所谓的间接法，则是采用迂回战术，先求出不受限 制条件下的组合数，再减去不符合题意的组合数的方法．
第一类，这 4 人全部入选，另一组 4 人由余下的 8 人中任选 4 人组成，有 C44C48＝70 种方法；
第二类，这 4 人中恰有 3 人入选日语翻译小组，必 有 1 名“双面手”入选日语翻译小组，有 C34C12C47＝280 种方法；
第三类，这 4 人中恰有 2 人入选日语翻译小组，必 有 2 名“双面手”都入选日语翻译小组，有 C24C22C46＝90 种方法；
• 【例题2】 车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工， 另外2名既能做钳工又能做车工，从中选出4名钳工4名车工， 问有多少种不同方法？
• 思维导引：可以从“既会钳工又会车工”的2名工人考虑分 类求解，也可以从“只会钳工”的5名工人考虑分类求解．
解析 方法一 以“既会钳工又会车工”的 2 人(记 为 A，B)来考虑分类，A，B 都不在内，有选法 C45C44＝5 种；A，B 都在内时又分“都做钳工”“都做车工”“一 个做钳工一个做车工”三类，合计有选法 C22C25C44＋C22C45 C24＋A22C35C34＝120 种；A，B 仅有一人在内，又有“做钳 工”和“做车工”两种选择，此时有选法 C12C35C44＋C12C45 C34＝60 种．由分类加法计数原理，合计共有不同的选法 185 种．
第三类：共线的 4 个点中没有点为三角形的顶点， 共有 C38＝56 个不同的三角形．
计数原理
1.2 排列与组合 1.2.2 组合(二)
课前 教材预案 课堂 深度拓展 课末 随堂演练 课后 限时作业
课前教材预案
要点 求解组合问题的常用方法
• 常用的方法分直接法与间接法两大类．所谓直接法，就是利 用分类或者分步计数原理，准确地分类或者分步，直接计算 出结果；所谓的间接法，则是采用迂回战术，先求出不受限 制条件下的组合数，再减去不符合题意的组合数的方法．
第一类，这 4 人全部入选，另一组 4 人由余下的 8 人中任选 4 人组成，有 C44C48＝70 种方法；
第二类，这 4 人中恰有 3 人入选日语翻译小组，必 有 1 名“双面手”入选日语翻译小组，有 C34C12C47＝280 种方法；
第三类，这 4 人中恰有 2 人入选日语翻译小组，必 有 2 名“双面手”都入选日语翻译小组，有 C24C22C46＝90 种方法；
• 【例题2】 车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工， 另外2名既能做钳工又能做车工，从中选出4名钳工4名车工， 问有多少种不同方法？
• 思维导引：可以从“既会钳工又会车工”的2名工人考虑分 类求解，也可以从“只会钳工”的5名工人考虑分类求解．
解析 方法一 以“既会钳工又会车工”的 2 人(记 为 A，B)来考虑分类，A，B 都不在内，有选法 C45C44＝5 种；A，B 都在内时又分“都做钳工”“都做车工”“一 个做钳工一个做车工”三类，合计有选法 C22C25C44＋C22C45 C24＋A22C35C34＝120 种；A，B 仅有一人在内，又有“做钳 工”和“做车工”两种选择，此时有选法 C12C35C44＋C12C45 C34＝60 种．由分类加法计数原理，合计共有不同的选法 185 种．
第三类：共线的 4 个点中没有点为三角形的顶点， 共有 C38＝56 个不同的三角形．
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的综合应用 新人教A版选修
答案：B
2．若从 1，2，3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不 同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种 解析：和为偶数共有 3 种情况，取 4 个数均为偶数的
取法有 C44＝1(种)，取 2 奇数 2 偶数的取法有 C25C24＝ 60(种)，取 4 个数均为奇数的取法有 C45＝5(种)，故不同
(3)整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要 做到步骤连续且独立，计算每一类相应结果时使用分步 计数原理．
1．在直角坐标系xOy平面上，平行直线x＝m(m＝
0，1，2，3，4)，与平行直线y＝n(n＝0，1，2，3)组成
的图形中，矩形共有( )
A．100个
B．60个
C．48个
Hale Waihona Puke D．20个解析：在两类平行直线中各取两条，即构成一个矩形， 所以，所求矩形共有 C25C24＝10×6＝60(个)．
的取法共有 1＋60＋5＝66(种)．
答案：D
π 3．从 0，1， 2， 2 ， 3，2 这六个数字中，任取两
个数字作为直线 y＝xtan α＋b 的倾斜角和截距，可组成
________条平行于 x 轴的直线． 解析：要使得直线与 x 轴平行，则倾斜角为 0，截距
在 0 以外的五个数字均可．故满足条件的直线有 C15＝
(5)甲、乙、丙三人至少 1 人参加． 解：(1)不同的选法有 C512＝792(种)． (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中 选 2 人，不同的选法共有 C29＝36(种)． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中 选 5 人，不同的选法共有 C59＝126(种)．
(1)分成 1 本、2 本、3 本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本； (3)分成每组都是 2 本的三个组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本．
2．若从 1，2，3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不 同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种 解析：和为偶数共有 3 种情况，取 4 个数均为偶数的
取法有 C44＝1(种)，取 2 奇数 2 偶数的取法有 C25C24＝ 60(种)，取 4 个数均为奇数的取法有 C45＝5(种)，故不同
(3)整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要 做到步骤连续且独立，计算每一类相应结果时使用分步 计数原理．
1．在直角坐标系xOy平面上，平行直线x＝m(m＝
0，1，2，3，4)，与平行直线y＝n(n＝0，1，2，3)组成
的图形中，矩形共有( )
A．100个
B．60个
C．48个
Hale Waihona Puke D．20个解析：在两类平行直线中各取两条，即构成一个矩形， 所以，所求矩形共有 C25C24＝10×6＝60(个)．
的取法共有 1＋60＋5＝66(种)．
答案：D
π 3．从 0，1， 2， 2 ， 3，2 这六个数字中，任取两
个数字作为直线 y＝xtan α＋b 的倾斜角和截距，可组成
________条平行于 x 轴的直线． 解析：要使得直线与 x 轴平行，则倾斜角为 0，截距
在 0 以外的五个数字均可．故满足条件的直线有 C15＝
(5)甲、乙、丙三人至少 1 人参加． 解：(1)不同的选法有 C512＝792(种)． (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中 选 2 人，不同的选法共有 C29＝36(种)． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中 选 5 人，不同的选法共有 C59＝126(种)．
(1)分成 1 本、2 本、3 本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本； (3)分成每组都是 2 本的三个组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本．