【数学】2017-2018年福建省莆田一中高三(上)期中数学试卷与答案(文科)

2017-2018学年福建省莆田一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分．每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．（5分）如图，设全集为U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}3．（5分）曲线f（x）=lnx﹣2x+3在点（1，1）处的切线方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y+2=0 D．x﹣y﹣2=04．（5分）已知平面向量=（0，﹣1），=（1，1），|λ+|=，则λ的值为（）A．3 B．2 C．3或﹣1 D．2或﹣15．（5分）若tan（θ+）=﹣3，则=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．26．（5分）已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．（5分）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则α∥β是a⊥b的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件8．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（≈1.73）A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米9．（5分）已知函数f（x）=，当x1≠x2时，＜0，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．（0，]D．[，]10．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．3024 B．1007 C．2015 D．201611．（5分）已知四棱锥P一ABCD中，平面PAD丄平面ABCD，其中ABCD为正方形，△PAD 为等腰直角三角形，PA=PD=，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（）A．10πB．4πC．16πD．8π12．（5分）已知函数f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1]二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）13．（5分）若函数f（x）=x++1为奇函数，则a=．14．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a5+a9=，则tan（a4+a6）=．15．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①函数y=f（x+1）的图象关于点（﹣1，0）对称；②对任意的x∈R，都有f（1+x）=f（1﹣x）成立；③当x∈[﹣4，﹣3]时，f（x）=log2（3x+13）．则f（2017）+f（2018）=．三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）=．（1）当时，求函数f（x）的取值范围；（2）将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．18．（12分）在数列{a n}中，设f（n）=a n，且f（n）满足f（n+1）﹣2f（n）=2n （n∈N*），且a1=1（Ⅰ）设b n=，证明数列{b n}为等差数列并求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．19．（12分）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点．（1）求△ABC面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点M，N分别为A1C1，AB1的中点．（1）证明：MN∥平面BB1C1C；（2）若CM⊥MN，求三棱锥M﹣NAC的体积..21．（12分）已知函数f（x）=a2lnx﹣x2+ax（a≠0），g（x）=（m﹣1）x2+2mx﹣1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a=1时，关于x的不等式f（x）≤g（x）恒成立，求整数m的最小值．选做题：二选一（本题满分10分）请用2B铅笔在所选答题号框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．[选修4-5]不等式选讲23．已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x．（Ⅰ）当a=1，解不等式f（x）＜g（x）；（Ⅱ）对任意x∈[﹣1，1]，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．2017-2018学年福建省莆田一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【解答】解：复数==2﹣i，则复数z在复平面内对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故选：A．2．（5分）如图，设全集为U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}【解答】解：A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x ＞0}={x|x＜1}，则∁R B={x|x≥1}．由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R B），∴A∩（∁R B）={x|1≤x＜2}，故选：B．3．（5分）曲线f（x）=lnx﹣2x+3在点（1，1）处的切线方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y+2=0 D．x﹣y﹣2=0【解答】解：由函数f（x）=lnx﹣2x+3知y′=﹣2，把x=1代入y′得到切线的斜率k=1﹣2=﹣1，则切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故选：A．4．（5分）已知平面向量=（0，﹣1），=（1，1），|λ+|=，则λ的值为（）A．3 B．2 C．3或﹣1 D．2或﹣1【解答】解：根据题意，向量=（0，﹣1），=（1，1），则=（1，1﹣λ），又由|λ+|=，即，有1+（1﹣λ）2=5，解得λ=3或﹣1，故选：C．5．（5分）若tan（θ+）=﹣3，则=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【解答】解：∵tan（θ+）==﹣3，∴tanθ=2，则==tanθ=2，故选：D．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：设等比数列{a n}的公比是q，由a3=2，a4a6=16得，a1q2=2，a1q3a1q5=16，则a1=1，q2=2，∴==4，故选：B．7．（5分）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则α∥β是a⊥b的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件【解答】解：若a⊥b，∵b⊥β，∴a∥β或a⊂β，此时α∥β或α与β相交，即必要性不成立，若α∥β，∵b⊥β，∴b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，即充分性成立，故α∥β是a⊥b的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（≈1.73）A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米【解答】解：如图，由题意可得：∠AOB=，OA=4，在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=，可得：矢=4﹣2=2，由AD=AO•sin=4×=2，可得：弦=2AD=2×2=4，所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（4×2+22）=4≈9平方米．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=，当x1≠x2时，＜0，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．（0，]D．[，]【解答】解：∵当x1≠x2时，＜0，∴f（x）是R上的单调减函数，∵f（x）=，∴，∴0＜a≤，故选：A．10．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．3024 B．1007 C．2015 D．2016【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+（2016+1）=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024．故选：A．11．（5分）已知四棱锥P一ABCD中，平面PAD丄平面ABCD，其中ABCD为正方形，△PAD 为等腰直角三角形，PA=PD=，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（）A．10πB．4πC．16πD．8π【解答】解：取AD的中点E，∵平面PAD丄平面ABC，其中ABCD为正方形，△PAD 为等腰直角三角形，∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心为正方形ABCD的中心O，设半径为R，则∵OE⊥AD，PE=1∴R==，∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为8π．12．（5分）已知函数f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，即恒成立，即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，由于h′（1）=0，∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，当1≤x≤2时，h′（x）＜0，∴h（x）≤h（1）=1，∴a≥1．二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）13．（5分）若函数f（x）=x++1为奇函数，则a=﹣1．【解答】解：若函数为奇函数，则f（﹣x）=﹣x﹣+2a+1+1=﹣f（x）=﹣x﹣﹣（2a+1）﹣1，∴2（2a+1）+2=0，则a=﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a5+a9=，则tan（a4+a6）=．【解答】解：由等差数列的性质可知，a1+a5+a9=3a5=，∴a5=则tan（a4+a6）=tan2a5==故答案为：15．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为．【解答】解：由主视图和侧视图可知三棱锥倒立放置，棱锥的底面ABC水平放置，故三棱锥的高为h=4，结合俯视图可知三棱锥的底面为俯视图中的左上三角形，∴S==4，底∴V==．故答案为：．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①函数y=f（x+1）的图象关于点（﹣1，0）对称；②对任意的x∈R，都有f（1+x）=f（1﹣x）成立；③当x∈[﹣4，﹣3]时，f（x）=log2（3x+13）．则f（2017）+f（2018）=2．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足函数y=f（x+1）的图象关于点（﹣1，0）对称，∴函数y=f（x）关于（0，0）对称，∴f（x）是奇函数，∵对任意的x∈R，都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，∴f（x）关于x=1对称，∴f（x+2）=f（1﹣（x+1））=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∵当x∈[﹣4，﹣3]时，f（x）=log2（3x+13）．∴f（2017）+f（2018）=f（4×504+1）+f（4×504+2）=f（1）+f（2）=f（﹣3）﹣f（0）=log2[3×（﹣3）+13]=log24=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）=．（1）当时，求函数f（x）的取值范围；（2）将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）===sin（2x﹣），∵时，2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]．∴函数f（x）的取值范围为：[﹣，1]…6分（2）∵g（x）=f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），∴令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得g（x）的单调递增区间为：[k，kπ+]，k∈Z…12分18．（12分）在数列{a n}中，设f（n）=a n，且f（n）满足f（n+1）﹣2f（n）=2n （n∈N*），且a1=1（Ⅰ）设b n=，证明数列{b n}为等差数列并求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）证明：由在数列{a n}中，设f（n）=a n，且f（n）满足f（n+1）﹣2f（n）=2n（n∈N*），且a1=1，=2a n+2n，得a n+1===+1=b n+1，得b n+1﹣b n=1，即有b n+1又b1=a1=1，则数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，即b n=n；（Ⅱ）由b n=n，可得a n=n•2n﹣1，前n项和S n=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，2S n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，两式相减可得﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n，化简可得S n=（n﹣1）•2n+1．19．（12分）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点．（1）求△ABC面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．【解答】解：（1）∵在△ABC中，，∴由余弦定理，得AC2=20=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=，∴，当且仅当AB=BC时，取等号，∴，∴△ABC的面积的最大值为；（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，∵CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，∴，∴，∴，由余弦定理，得，∴AD=4．由正弦定理，得，∴，∴，此时，∴，∴BC的长为4．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点M，N分别为A1C1，AB1的中点．（1）证明：MN∥平面BB1C1C；（2）若CM⊥MN，求三棱锥M﹣NAC的体积..【解答】证明：（1）连接A1E，BC1，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，∴MN为△A1BC1的一条中位线，MN∥BC1，MN⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C．解：（2）设点D，E分别为AB，AA1的中点，AA1=a，则CM2=a2+1，MN2=1+，CN2=，由CM⊥MN，得CM2+MN2=CN2，解得a=，又NE⊥平面AA1C1C，NE=1，∴三棱锥M﹣NAC的体积：V M﹣NAC=V N﹣AMC===．21．（12分）已知函数f（x）=a2lnx﹣x2+ax（a≠0），g（x）=（m﹣1）x2+2mx﹣1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若a=1时，关于x的不等式f（x）≤g（x）恒成立，求整数m的最小值．【解答】解：（1）f′（x）=﹣2x+a=﹣﹣，x＞0，当a＞0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a，由f′（x）＜0，得x＞a，∴f（x）的单调增区间为（0，a），单调减区间为（a，+∞）当a＜0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜﹣，由f′（x）＜0，得x＞﹣，∴f（x）的单调增区间为（0，﹣），单调减区间为（﹣，+∞）；（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1，x＞0，则h′（x）=﹣2mx+1﹣2m==﹣当m≤0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∵h（1）=ln1﹣m×12+（1﹣2m）+1=﹣3m+2＞0，∴关于x的不等式f（x）≤g（x）恒成立，当m＞0时，由h′（x）＞0，得0＜x＜，由f′（x）＜0，得x＞，∴h（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）；∴h（x）max=h（）=ln﹣m•（）2+（1﹣2m）×+1=﹣ln（2m），令φ（m）=﹣ln（2m），∵φ（）=，φ（1）=﹣ln2＜0，又φ（x）在（0，+∞）是减函数，∴当m≥1时，φ（m）＜0，故整数m的最小值为1．选做题：二选一（本题满分10分）请用2B铅笔在所选答题号框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：，设θ为参数，令x=cosθ，y=2sinθ，则曲线C1的参数方程为（θ为参数）；又直线l：ρ（2c osθ﹣sinθ）=6，即2ρcosθ﹣ρsinθ﹣6=0，化为直角坐标方程是2x﹣y﹣6=0；（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，设P（cosθ，2sinθ），则P到直线l的距离为d==，∴cos（θ+）=﹣1，即P（﹣，1）时，点P到直线l的距离最大，最大值为=2．[选修4-5]不等式选讲23．已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x．（Ⅰ）当a=1，解不等式f （x ）＜g （x ）；（Ⅱ）对任意x ∈[﹣1，1]，f （x ）＜g （x ）恒成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1，f （x ）=|x +1|，由f （x ）＜g （x ）可得|x +1|＜|x +3|﹣x ，即|x +3|﹣|x +1|﹣x ＞0， 当x ≤﹣3时，原不等式等价于﹣x ﹣2＞0，即x ＜﹣2，∴x ≤﹣3，当﹣3＜x ＜﹣1时，原不等式等价于x +4＞0，即x ＞﹣4，∴﹣3＜x ＜﹣1， 当x ≥﹣1时，原不等式等价于﹣x +2＞0，即x ＜2，∴﹣1≤x ＜2， 综上所述，不等式的解集为（﹣∞，2）； （Ⅱ）当x ∈[﹣1，1]时，g （x ）=|x +3|﹣x=3， ∵对任意x ∈[﹣1，1]，f （x ）＜g （x ）恒成立， ∴对任意x ∈[﹣1，1]，|x +a |＜3恒成立，∴﹣3＜x +a ＜3，即﹣3﹣x ＜a ＜3﹣x ，当x ∈[﹣1，1]时恒成立， ∴a 的取值范围﹣2＜a ＜2．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xfxfx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。