南京师范大学附属扬子中学高一第一次数学阶段性检测卷
2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学高一年级上册学期12月阶段性测试数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学高一上学期12月阶段性测试数学试题一、单选题1．设是大于0的实数，角的终边经过点，则的值为（ ）a α()3,4a a -sin αA ．B ．C ．D ．4545-35±45±【答案】B【分析】根据任意角的三角函数的定义求解即可.【详解】因为是大于0的实数，角的终边经过点，a α()3,4a a -所以，44sin 55y a r a α-====-故选：B.2．若函数的定义域为（ ）()f x +()21f x -A ．B ．C ．D ．()0,2[)(]2,00,2- []22-,[]0,2【答案】C【分析】由的定义域为，的定义域即不等式()f x =()f x []1,3-()21f x -的解集.2113x -≤-≤【详解】，则的定义域为，301310x x x -≥⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩()f x []1,3-令，得，即的定义域为.2113x -≤-≤22x -≤≤()21f x -[]22-,故选：C.3．已知函数是定义在R 上的偶函数，若在区间上单调递增，则下列关系式中成()f x ()f x (),0∞-立的是（ ）A ．B ．C ．D ．()()13f f -<-()()13f f <()()13f f -<()()13f f ->【答案】D【分析】根据偶函数性质可知，若在区间上单调递増，则在区间上单调递减，()f x (),0∞-()0,∞+所以对称轴处取最大值，离对称轴越近函数值也越大.【详解】因为函数是定义在R 上的偶函数，所以关于轴对称；()f x ()f x y 且在区间上单调递増，()f x (),0∞-所以在区间上单调递减，即在对称轴处取最大值；()0,∞+()f x 所以，自变量的值离对称轴越近，其函数值也越大，因为，所以.1133--==<()()()113f f f -=>故选：D.4．己知对任意，函数满足，当时，.则x ∈R ()f x ()()110f x f x ++-=[)0,1x ∈()21x f x =-的值是（ ）()2log 3f A ．B ．C ．D ．213-132-【答案】A【分析】根据题意可知，将的值根据转化到上，代入即可求得2log 3()()110f x f x ++-=[)0,1x ∈函数值【详解】由对数的四则运算可知，，根据可得()223log 31log 2f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()110f x f x ++-=2223341log 1log log 223f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时，所以，24log (0,1)3∈24log 3241log 2133f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭即.()222341log 31log log 233f f f⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.5．设a 为实数，若关于x 的不等式在区间上有实数解，则a 的取值范围是270x ax -+≥()2,7（ ）A ．B ．C ．D ．(),8∞-(],8∞-(,-∞11,2⎛-∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.【详解】由题意，因为，故在区间上有实数解，则，又()2,7x ∈7a x x ≤+()2,7max 7a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭在上单调递减，在上单调递增，且，()7g x x x =+()()7112222g =+=，故.故在区间上有实数解则.()()777827g g =+=>78x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭7a x x ≤+()2,78a <故选：A6．设m 是不为0的实数，已知函数，若函数()231,21024,2xx f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有7个零点，则m 的取值范围是（ ）()()()()22F x f x mf x =-A ．B ．C ．D ．()()2,00,16⋃-()0,16()0,2()()2,00,-⋃+∞【答案】C 【分析】作出的图象，然后由，得或，由图象可知有3()f x ()0F x =()0f x =()20f x m -=()f x 个零点，所以就有4个零点，再结合图象可求出结果.()20f x m -=【详解】的图象如图所示()f x 由，得或，()()()()20F x f x f x m =-=()0f x =()20f x m -=当时，有3个零点，()0f x =()f x 当时，，即与有4个交点，()20f x m -=()2mf x =()y f x =2m y =所以，解得，012m<<02m <<故选：C.二、多选题7．设函数的定义域为A ，若对于A 内任意两个值，，都有，()f x 1x 2x ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭则称具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）()y f x =A ．B ．C ．D ．()1f x x =+()2f x x =()e xf x =-()ln f x x=【答案】ACD【分析】根据函数的凹凸性判断即可.【详解】由题意，T 性质满足，则函数为上凸或直线类的函数，A 为直()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭线，满足条件；B 为下凹函数不满足，CD 均为上凸的函数，满足条件.故选：ACD.8．已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，，则（ ）()f x 0x ≥()22f x x x =-A ．的最小值为B ．在上单调递减()f x 1-()f x ()1,1-C ．的解集为D ．存在实数满足()0f x ≤(][],20,2-∞-⋃x ()()2f x f x +=-【答案】BCD 【分析】根据函数是定义在R 上的奇函数，可以写出函数的解析式，进而判断函数单调()f x ()f x 性即可判断AB ；画出函数的图形即可判断C ，特殊值代入即可得D.【详解】由题意可知当时，0x <()()()2222f x f x x x x x=--=-+=--即()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩所以，函数的图像如下：()f x 显然，函数没有最小值，故A 错误；()f x根据函数图像可得在上单调递减，故B 正确；()f x ()1,1-令得，故C 正确；()0f x ≤(][],20,2-∞-⋃由图可知，令得，故D 正确.0x =()()200f f ==故选：BCD.9．设为正实数，且，已知函数，使得函数在R 上单调递减成立a 1a ≠()(21)3,0,0xa x a x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩的充分不必要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．102a <<2152a ≤<1132a <<1132a ≤<【答案】BC 【分析】先求出使在R 上单调递减时的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义逐个分()f x a 析判断即可.【详解】因为函数在R 上单调递减，()(21)3,0,0xa x a x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩所以，解得，021001(21)03a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-⨯+≥⎩1132a ≤<对于A ，因为当成立，不一定成立，所以不是在R 上单调递减成102a <<1132a ≤<102a <<()f x 立的充分不必要条件，所以A 错误，对于B ，因为当成立，一定成立，所以是在R 上单调递减成立的2152a ≤<1132a ≤<2152a ≤<()f x 充分不必要条件，所以B 正确，对于C ，因为当成立，一定成立，所以是在R 上单调递减成立的1132a <<1132a ≤<1132a <<()f x 充分不必要条件，所以C 正确，对于D ，是在R 上单调递减成立的充分必要条件，所以D 错误，1132a ≤<()f x 故选：BC.10．已知，，则下列结论正确的是（ ）()0,θπ∈17sin cos 13θθ-=A ．B ．C ．D ．,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭12cos 13θ=-5tan θ12=-2tan 601tan 169θθ=-+【答案】AD【分析】对于A ，由已知等式可判断，从而可判断出的范围，对于BC ，由已知条件结cos 0θ<θ合可求出，从而可求出的值，对于D ，将的值代入计算即可.22sin cos 1θθ+=sin ,cos θθtan θtan θ【详解】对于A ，由题设，故A 正确；17174πcos sin 10,π1313132θθθ⎛⎫=-<-=-<⇒∈ ⎪⎝⎭对于BC ，因为，，22sin cos 1θθ+=17sin cos 13θθ-=所以，化简得，2217cos cos 113θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭2169cos 221cos 600θθ++=解得或，5cos 13θ=-12cos 13θ=-当时，，则5cos 13θ=-1717512sin cos 13131313θθ=+=-=5t n 1a 2θ-=当时，，则，12cos 13θ=-1717125sin cos 13131313θθ=+=-=5tan θ12=-所以B ，C 错误；对于D ，由前面的解析可知，当时，，5t n 1a 2θ-=221212tan 60551691tan 169121255θθ--===-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭当时，，5tan θ12=-2255tan 6012121691tan 1695114412θθ--===-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭综上，所以D 正确，2tan 601tan 169θθ=-+故选：AD.三、填空题11．已知扇形的面积为4，则该扇形的周长的最小值为______.2cm cm 【答案】8【分析】根据扇形的面积公式、弧长公式、周长公式、基本不等式求解即可.【详解】设扇形所在圆的半径为，弧所对的圆心角为，弧长为，面积为，r αl S 则，，即，l r α=211422S lr r α===28r α=所以扇形的周长，当且仅当时取等号，228C r l r r α=+=+≥=2α=所以扇形的周长的最小值为8.cm故答案为：8.12．己知函数，则满足不等式的的取值范围是______.()211ln 3x f x x+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21log 9f x <x 【答案】10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，然后利用奇偶性的性质和单调性解不等式即可.【详解】函数的定义域为，{}0x x ≠因为，()()22()1111ln ln 33x x f x x x f x -++⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以为偶函数，()f x 当时，，0x >()211ln 3x f x x+⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为和在上均单调递减，2113x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭ln y x =-()0,∞+所以在上单调递减，()211ln 3x f x x+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0,∞+因为，()119f =所以，可化为，()21log 9f x <()2log (1)f x f <所以，()()()22log log 1f x f x f =<所以，则或，2log 1x >2log 1x <-2log 1x >所以或，102x <<2x >所以不等式的解集为，10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 故答案为：.10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 13．设，，则a ，b ，c 的大小关系为______.（用“<”连接）a =2log 5b =c =【答案】c b a<<【分析】易知，的大小借助指数和对数的运算性质放缩可得，详见解析.a b >,b c【详解】，22224log 16log 5b a >==>== a b∴>，再比较与的大小，同时四次方：948195,,2164<<∴< 9425，则994425126255,52=<=∴>94222log 5log 2log b c=>>==.b c ∴>故答案为：.c b a <<14．设是定义在R 上的奇函数，且.若对于任意，且，都有()fx (0f =()12,,0x x ∈-∞12x x ≠，则满足不等式的解集是______.()()33112221x f x x f x x x -<-()820x x f >【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】先设，根据题干条件得到在上单调递增，再由是定120x x <<()()3F x x f x =(),0∞-()f x 义在R 上的奇函数，求出在R 上为偶函数，从而得到在上单调递减，由()F x ()F x ()0,∞+求出，进而利用单调性解不等式，求出答案.(0f=(0FF ==【详解】设，则，，120x x <<210x x ->()()331122x f x x f x <故在上单调递增，()()3F x x f x =(),0∞-又是定义在R 上的奇函数，故，()f x ()()f x f x -=-故，又定义域为R ，()()()()()33F x x f x x f x F x -=--==()F x 所以在R 上为偶函数，所以在上单调递减，()F x ()F x ()0,∞+表达为，()820x x f >()()2820x x x F f =>因为，所以，(0f=(((30F f ==又在R 上为偶函数，所以，()Fx(0FF ==故，()2x F F>因为恒成立，所以，20x y =>1222x <=解得：1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x故答案为：.1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭四、解答题15．已知是第三象限角，且.α3sin 5α=-(1)求的值；tan α(2).()()sin cos sin cos 22παπαππαα++-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)3tan 4α=(2)7-【分析】（1）由，求出，从而可求出的值；3sin 5α=-cos αtan α（2）利用诱导公式化简后，再代值计算即可.【详解】（1）由是第三象限角且得，α3sin 5α=-4cos 5α==-所以；sin 3tan cos 4ααα==（2）原式.347sin cos 5557431cos sin 555αααα+--====---+-16．设m 为实数，己知函数()22x xf x -=+(1)判断的奇偶性，并给出证明；()f x (2)设函数，当时，求的最大值；()()1g x f x =[]0,1x ∈()g x (3)若函数的最小值为，求m 的值.()()442x x h x mf x -=+-7-【答案】(1)为偶函数，证明见解析()f x(2)12【分析】（1）利用奇偶性的定义即可证明.（2）利用基本不等式即可求得最值.（3）借助换元法即可求得m 的值.【详解】（1）由已知定义域为，定义域关于原点对称，()22x xf x -=+R ，即为偶函数()()2+2=x x f x f x --=()f x （2），当且仅当时，取到等号，即的最大值为()11222x x g x -=≤+22-=x x 0x =()g x 12（3）令，则22x x t -=+[)2,t ∈+∞，令()()44222x x x x h x m --=+-+()()222222F t t mt t m m =--=---所以与有相同的最小值()()222=F m t t m ---()()442x x h x mf x -=+-当时，，解得2m ≥()()2min 27F t F m m ==--=-m =当时，，解得，舍去2m <()()min 24427F t F m ==--=-924m =>综上所述，m 17．设a 为实数，给定区间I ，对于函数满足性质P ：存在，使得成立.()f x x I ∈()()21f x f x ≥+记集合.()(){}M f x f x P=具有性质(1)设，；[)0,I =+∞()f x =()f x M∈(2)设，，若，求a 的取值范围.(]0,1I =()2log g x a x=+()g x M∈【答案】(1)证明见解析(2)[)1,+∞【分析】（1）根据函数满足性质P 的定义取值证明即可；（2）根据函数满足性质P 的定义列不等式求解即可.【详解】（1）证明：取，则，1x =()()2122f f =>=故()f x M∈（2）解：因为，，()2log g x a x=+()g x M∈所以，()()()222122log log 1g x g x a x a x ≥+⇒+≥++所以，221log x a x +≥令，()()221log 01x h x x x +=<≤令，22211111124x t x x x x +⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭因为，所以01x <≤11x ≥所以，2211111122424t x ⎛⎫⎛⎫=+-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()[)1,h x ∈+∞所以的取值范围.a [)1,+∞18．设为正整数，已知函数.n ()1ln 1x f x x +=-(1)判断函数的单调性，并用定义证明；()f x (2)求关于x 不等式的解集；()92108x f f ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭(3)若函数在区间单调递减，比较与的大()()ln 1g x x x =--()1,+∞()()()()2462f f f f n +++ 2n 小关系，并说明理由.【答案】(1)在单调递减，在单调递减，证明见解析()f x ()1,+∞(),1-∞-(2)(),3-∞-(3)，理由见解析()()()()24622f f f f n n ++++< 【分析】（1）根据函数单调性的定义，按照取值、作差、变形、定号、下结论的步骤即可证明（2）根据函数在是单调递减的，即可解不等式；（3）首先计算出()f x ()1,+∞的表达式，利用函数的单调性即可比较大小.()()()()2462f f f f n +++ ()()ln 1g x x x =--【详解】（1）为奇函数，定义域为()f x ()(),11,-∞-⋃+∞设任意，且，则，，12,x x 121x x <<<+∞121x x ⋅>210x x ->，()()()()()()()12122112121221111ln ln ln10111x x x x x x f x f x x x x x x x +-⋅+---==>=-+⋅---所以；()()12f x f x >即在单调递减，又为奇函数，所以在单调递减.()f x ()1,+∞()f x ()f x (),1-∞-（2）由可得()92108x f f ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭()992188x f ff ⎛⎫⎛⎫+>--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为，且在单调递减；()()91,211,8x ∈+∞+∈+∞，()f x ()1,+∞所以，即9218x +<()12,38x x <⇒∈-∞-所以，不等式的解集为()92108x f f ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭(),3-∞-（3）在上单调递减，即()()ln 1g x x x =--()1,+∞()()10ln 1g x g x x <=⇒<-()()()()()357212462ln(ln 2113521n f f f f n n n +++++=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯=+- 又因为，所以ln 1x x <-()ln 212112n n n ++-=<即.()()()()24622f f f f n n ++++<。
2019年南京师范大学附属扬子中学高考数学选择题专项训练(一模)
2019年南京师范大学附属扬子中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。
第 1 题：来源：江苏省沭阳县修远中学2018_2019学年高一数学3月月考试题（实验班）函数y＝sinxcosx＋cos2x－的图像的一个对称中心是( )A. B. C. D.【答案】B第 2 题：来源：四川省遂宁市射洪县2016_2017学年高一数学下学期第三次月考试卷理（含解析）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260【答案】C．第 3 题：来源：黑龙江省大庆铁人中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理函数的图象在点处的切线的倾斜角为A.0B.C.1D.【答案】B第 4 题：来源：甘肃省嘉峪关市酒钢三中2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题试卷及答案理已知，椭圆，双曲线，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】A第 5 题：来源： 2019高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第8讲函数的图象分层演练文图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是( )【答案】B.由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.第 6 题：来源：四川省成都外国语学校2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题试卷及答案下列说法中正确的是（）A.若，则，B.若，则或C.若不平行的两个非零向量满足，则D.若与平行，则【答案】C第 7 题：来源：浙江省温州市“十五校联合体”2018_2019学年高二数学上学期期中联考试题矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C第 8 题：来源：云南省大理州南涧彝族自治县2016_2017学年高二数学6月月考试题试卷及答案理已知函数有唯一零点，则a=A． B． C．D．1【答案】C第 9 题：来源：安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高一数学下学期期中试题（普通班）.已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是( )A． [0，] B． [0,2] C． [1,2] D． [，2]【答案】D第 10 题：来源：湖北省襄阳市2016_2017学年高二数学3月月考试题理试卷及答案已知三地在同一水平面内，地在地正东方向处，地在地正北方向处，某测绘队员在、之间的直线公路上任选一点作为测绘点，用测绘仪进行测绘，地为一磁场，在其不超过的范围内会对测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A． B． C．D．【答案】A第 11 题：来源： 2016_2017学年江西省宜春市奉新县高一数学下学期期末考试试题理已知函数，，，则的最小值等于（）A．B．C．D．【答案】A第 12 题：来源：河南省新郑三中2017_2018学年高一数学下期期中试题某校高三年级有1000名学生，随机编号为0001,0002，．．．，1000，现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（）A．0927 B．0834 C．0726 D．0116【答案】A第 13 题：来源：四川省内江市2019届高三数学上学期第一次模拟考试试题理（含解析）设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，由可得在上是增函数，在上单调递减，原不等式等价于，从而可得结果.【详解】设，则时，，为偶函数，在上是增函数，时单调递减.所以可得，，即，实数的取值范围为，故选A.第 14 题：来源：安徽省滁州市定远县民族中学2018_2019学年高二数学12月月考试题理已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点，O是坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为( )A． B．C． D．【答案】C【解析】设右焦点为F(c,0)，则M，N，又OM⊥ON，故c2－＝0，即b2＝ac，从而c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，解得e＝(舍去负值)，故选C.第 15 题：来源：港澳台侨2017届高三数学11月月考试题B卷及答案函数的定义域是( )A[－2，0] B(－2，0) C(－∞,－2) D(－∞,－2)∪(0,＋∞)【答案】B第 16 题：来源：北京市2016_2017学年高二数学下学期期中试题理复数=A. +iB. +iC. 1-iD. 1+i 【答案】D第 17 题：来源：河南省鲁山县2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题理试卷及答案已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B. C．D．【答案】C第 18 题：来源： 2016_2017学年广西桂林市高一数学下学期开学考试试题试卷及答案与角终边相同的角是( )A. B. C. D.【答案】C第 19 题：来源： 2016_2017学年安徽省池州市青阳县高二数学5月月考试题试卷及答案理已知，向量，则实数的值为( )A．B．C．D．【答案】C第 20 题：来源：四川省宜宾第三中学2019届高三数学11月月考试题理（含解析）等差数列和的前项和分别为与，对一切自然数，都有，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,选B.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.第 21 题：来源： 2017届杭州市高三4月教学质量（二模）数学试题含答案设，分别是两条直线，的斜率，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C.充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C第 22 题：来源：云南省昆明市2017届高三数学仿真试卷理（含解析）如果执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．0【答案】C【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=﹣2，S=0，满足条件x＜﹣1，T=﹣5，S=﹣5不满足条件x≥2，x=﹣1，T=1，S=﹣4不满足条件x≥2，x=0，T=0，S=﹣4不满足条件x≥2，x=1，T=1，S=﹣3不满足条件x≥2，x=2，T=5，S=2满足条件x≥2，退出循环，输出S的值为2．第 23 题：来源：江西省赣州市2017届高三数学上学期第三次月考试题理已知集合，则为（）A． B． C．D．【答案】A【解析】试题分析：,故选A．考点：1、不等式的解法；2、函数的值域；3、集合的基本运算．第 24 题：来源：四川省棠湖中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题集合,，则A. B. C.D.【答案】A第 25 题：来源：山东省济宁市2019届高三数学第一次模拟考试试题理执行如图所示的程序框图，若输入a的值为，则输出的S的值是A． B．C． D．【答案】C第 26 题：来源：福建省龙海市2018届高三数学上学期第二次月考试题理试卷及答案设i是虚数单位，复数（∈R）的实部与虚部相等，则=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】B第 27 题：来源：河南省信阳市2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题理试卷及答案已知点的坐标满足条件，则的最大值为（）A. B. 8 C. 10 D. 16【答案】C第 28 题：来源：吉林省延边市2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案下列函数中,在区间上为增函数的是A． B. C. D.【答案】A第 29 题：来源：山东省济南市2017_2018学年高二数学上学期开学考试试题试卷及答案在△ABC中，若，则等于（）A．1 B． C． D．【答案】C第 30 题：来源：广东省湛江市普通高中2018届高考数学一轮复习模拟试题试卷及答案03设在函数的图象上的点处的切线斜率为k，若，则函数的图像大致为【答案】A第 31 题：来源：河北省武邑中学2018_2019学年高二数学上学期第二次月考试题文．圆与直线l相切于点，则直线l的方程为A. B. C. D.【答案】B第 32 题：来源：高中数学第一章三角函数章末检测（A）（含解析）新人教A版必修4已知sin(2π－α)＝，α∈(，2π)，则等于( )A. B．－ C．－7 D．7【答案】A第 33 题：来源： 2019高中数学第四章框图测评（含解析）新人教A版选修1_2把两条直线的位置关系依次填入下图中的M,N,E,F中,顺序较为恰当的是( )①直线在平面内;②直线与平面平行;③直线在平面外;④直线与平面相交.A.①②③④B.①④②③C.①③②④D.②①④③【答案】C第 34 题：来源：江西省九江市2019届高三数学第一次模拟统一考试试题理（含解析）设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x＞﹣1}；∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜4}．故选：D．【点睛】本题考查描述法的定义，分式不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算，属于基础题．第 35 题：来源：山东省威海市2017届高考第二次模拟考试数学试题（理）含答案过点P(1，2)的直线l与圆相切，若直线与直线l垂直，则a=(A) (B) (C) (D)2【答案】B第 36 题：来源：湖北省宜昌市部分重点中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题试卷及答案理某企业有4个分厂，现有新培训的6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（）A．1080 B．480 C．1560 D ．300【答案】C第 37 题：来源：黑龙江省大庆铁人中学2018_2019学年高一数学下学期第一次月考试题在中，内角所对的边分别为，若，则的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形【答案】C第 38 题：来源：山西省吕梁地区2019届高三数学上学期第一次阶段性测试试题理已知函致的图象的一个对称中心为，要得到函数的图象，只需将函数的图象A.向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C第 39 题：来源： 2016_2017学年重庆市九校联考高一数学下学期5月月考试卷试卷及答案理（含解析）观察数列1，2，2，3，3，3，8，8，8，…的特点，按此规律，则第100项为（）A．213 B．214 C．215 D．216【答案】A【分析】根据题意，找到相对应的规律，即可求出【解答】解：1，2，2，3，3，3，8，8，8，…可以为（20，21，21），（22﹣1，22﹣1，22﹣1，23，23，23），（24﹣1，24﹣1，24﹣1，24﹣1，24﹣1，25，25，25，25，25），…，可以看出第一个括号里有3个数，从第二括号开始，里面的数的个数是2（2n﹣1），数列的数字的总个数为3+6+10+14+18+22+26+…，而3+6+10+14+18+22+26=109，故第100项为213，第 40 题：来源：河南省信阳高级中学2018_2019学年高二数学10月月考试题理已知双曲线的一个焦点为(0,4)，椭圆的焦距为4，则m+n= （）A.8 B.6 C.4D. 2【答案】.C。
【数学】南京师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试卷
南师大附中2022—2023学年度第一学期高一10月月考数学试卷2022.10一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知3∈{1，a，a－2}，则实数a的值为()A．3B．5C．3或5D．无解2．设集合A＝{0，1，2}，B＝{m|m＝x＋y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为() A．A∈B B．A＝B C．B⊆A D．A⊆B3．若不等式x2＋kx＋1＜0的解集为空集，则k的取值范围是()A．－2≤k≤2B．k≤－2或k≥2C．－2＜k＜2D．k＜－2或k＞24下面给出的四个命题中，真命题的个数为()(1)等角的余角相等；(2)一个角的补角－定大于这个角；(3)矩形的对角线互相垂直；(4)0是最小的正整数．A．1B．2C．3D．45．对于任意实数a、b、c、d，下列命题中，真命题的个数为()①若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③若a＞b＞0，则3a＞3b；④若a＞b＞0，则1a2＞1b2．A．①②B．②③C．①④D．①③6．已知关于x的不等式x＋ax≥b的解集是[－1，0)，则a＋b＝()A．－2B．－1C．1D．37．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运()A．3年B．4年C．6年D．5年8．设非空集合P，Q满足P∩Q＝Q且P≠Q，则下列选项中错误的是()A ．∀x ∈Q ，有x ∈PB ．∃x ∈P ，使得x ∉QC ．∃x ∈Q ，使得x ∈PD ．∀x ∉Q ，有x ∉P二、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
9．下列关系中正确的是()A ．0∈{0}B ． →{0}C ．{0，1}✶{(0，1)}D ．{(a ，b )}＝{(b ，a )}10．我们知道，如果集合A ⊆S ，那么S 的子集A 的补集为C S A ＝{x |x ∈S 且x ∉A }，类似地，对于集合A ，B 我们把集合{x |x ∈A 且x ∉B }，叫作集合A 和B 的差集，记作A －B ，例如：A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{4，5，6，7，8}，则有A －B ＝{1，2，3}，B －A ＝{6，7，8}，下列解析正确的是()A ．已知A ＝{4，5，6，7，9}，B ＝{3，5，6，8，9}，则B －A ＝{3，7，8}B ．如果A －B ＝ ，那么A ⊆BC ．已知全集、集合A 、集合B 关系如上图中所示，则B －A ＝A ∩C U BD ．已知A ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，B ＝{x |－2≤x ＜4}，则A －B ＝{x |x ＜－2或x ≥4}11．下列各结论中正确的是()A ．“xy ＞0”是“xy＞0”的充要条件B ．设a ，b ，c ∈R ，则“b 2－4ac ＜0”是函数“y ＝ax 2＋bx ＋c 图象在x 轴上方”的充分不必要条件C ．设a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的必要不充分条件D ．“函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1，0)”是“a ＋b ＋c ＝0”的充要条件12．若正实数a ，b 满a ＋b ＝1，则下列结论确的有()A ．a 2＋b 2≥1B ．a －b ＞－1C ．ab ≤14D ．a ＋b ≤2三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
2021-2022学年江苏省南京师大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，若集合A ＝{x |（x +2）（x ﹣1）＞0}，则集合∁U A ＝（ ）A ．{x |﹣2＜x ＜1}B ．{x |﹣2≤x ≤1}C ．{x |x ＜﹣2}∪{x |x ＞1}D ．{x |x ≤﹣2}∪{x |x ≥1}2．“a ＝1”是“ab +1＝a +b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f （x ）=x x−1的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．4．下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一个函数的是（ ）A ．f （x ）=√x 33，g （x ）＝|x |B ．f （x ）=√x 2，g （x ）＝（√x ）2C ．f （x ）=x 2+x x ，g （x ）＝x +1 D ．f （x ）＝|x |，g （x ）=√x 25．若a log 25＝3，则5a ＝（ ）A ．125B ．9C ．8D ．66．若命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣2x +m ≠0是真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．m ＞1C ．m ＜1D ．m ≤17．已知x ，y 均为正数，且x +y ＝2，1x+1+1y 的最小值为（ ） A ．4B ．32C ．43D ．18．已知3a＝6b＝10，则2，ab，a+b的大小关系是（）A．ab＜a+b＜2B．ab＜2＜a+b C．2＜a+b＜ab D．2＜ab＜a+b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．9．下列四个选项中，能推出1a ＜1b的有（）A．b＞0＞a B．a＞0＞b C．a＞b＞0D．0＞b＞a10．设集合M＝{x|（x﹣a）（x﹣1）＝0}，N＝{1，4}，则M∪N的子集个数可能为（）A．2B．4C．8D．1611．若函数f（x）与g（x）的值域相同，但定义域不同，则称f（x）和g（x）是“同象函数”，已知函数f（x）＝x2，x∈[0，1]，则下列函数中，与f（x）是“同象函数”的有（）A．g（x）＝x2，x∈[﹣1，0]B．g（x）=1x+2，x∈[﹣1，+∞）C．g（x）＝|x|，x∈[−12，1]D．g（x）＝﹣4x2+4|x|，x∈[﹣1，1]12．一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（）A．0点到3点只打开了两个进水口B．3点到4点三个水口都打开C．4点到6点只打开了一个出水口D．0点到6点至少打开了一个进水口三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．命题“∃n ∈N ，2n ＜n 2”的否定是 ．14．函数f （x ）=√4−x x−1的定义域为 ．15．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里式震级标准，里式震级M 计算公式为M ＝lg A kA 0（0≤k ≤10），其中A k 是地震仪接收到的k 级地震的地震波的最大振幅（单位：米），A 0＝10﹣6（单位：米），则8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的 倍．16．设x ，y 为实数，若对于满足4x 2+y 2+xy ＝10的全体x ，y ，不等式2x +y ≤m 2﹣3m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）计算：（1）（13）﹣2﹣（338）13+√(−2)44；（2）（lg 2）2+lg 5•lg 20+log√39．18．（12分）设a 为实数，已知集合A ＝{x |x−3x−6＜0}，B ＝（a ，5）．（1）若a ＝﹣1，求A ∪B ； （2）若A ∩B ＝（3，5），求a 的取值范围．19．（12分）设a，b为实数，已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＜0的解集A＝（1，b）．（1）求a，b的值；（2）若B＝{x|x2﹣（m+1）x+m＜0}，且A∩B＝B，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f （x ）={kx +1，x ≤0−3x +1，x ＞0，且f （﹣1）＝﹣1． （1）求f （f （2））的值；（2）当x ∈[﹣2，3]时，求f （x ）的值域；（3）解不等式：f （x ）+f （x ﹣2）＜﹣10．21．（12分）如图，某社团需要在一张矩形白纸（记为矩形ABCD）上刊登两篇招新文章．这两篇文章所占版面是两个形状、大小完全相同的直角梯形，每个直角梯形的面积为150cm2．这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与纸张的顶部、底部和两边都留有5cm的空白，且这两个梯形之间也留有5cm的空白．为了美观，要求纸张所在矩形ABCD的边AB的长度大于边BC的长度．设直角梯形的高为xcm．（1）求x的取值范围；（2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？22．（12分）设a为实数，已知函数f（x）＝x2﹣4x+4a﹣a2．（1）若x1，x2是方程f（x）＝0的两个不等实根，求x12+x22的取值范围；（2）设集合A＝{x|f（x）≤0}．①若A中恰有一个整数，求a的取值范围；②设集合B＝{x|f（f（x）+2）≤0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围．2021-2022学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝R，若集合A＝{x|（x+2）（x﹣1）＞0}，则集合∁U A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2≤x≤1}C．{x|x＜﹣2}∪{x|x＞1}D．{x|x≤﹣2}∪{x|x≥1}解：A＝{x|（x+2）（x﹣1）＞0}＝{x|x＞1或x＜﹣2}，则集合∁U A＝{x|﹣2≤x≤1}．故选：B．2．“a＝1”是“ab+1＝a+b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：⇒∵a＝1，∴ab+1＝b+1＝1+b，∴充分性满足．⇐∵ab+1＝a+b，a（b﹣1）＝b﹣1，∴a＝1或b＝1，∴必要性不满足，故选：A．3．函数f（x）=xx−1的图象大致为（）A．B．C．D．解：∵f（x）=x=1+1，∴f （x ）的图象是将y =1x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，故选：A ．4．下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一个函数的是（ ）A ．f （x ）=√x 33，g （x ）＝|x |B ．f （x ）=√x 2，g （x ）＝（√x ）2C ．f （x ）=x 2+x x ，g （x ）＝x +1D ．f （x ）＝|x |，g （x ）=√x 2 解：对于A ：f （x ）＝x ，g （x ）＝|x |，不是同一函数，对于B ：f （x ）＝|x |，g （x ）＝x （x ≥0），定义域不同，不是同一函数，对于C ：f （x ）的定义域是{x |x ≠0}，g （x ）的定义域是R ，不是同一函数，对于D ：f （x ）＝g （x ）＝|x |，是同一函数，故选：D ．5．若a log 25＝3，则5a ＝（ ）A ．125B ．9C ．8D ．6解：∵a log 25＝3，∴log 25a =3，∴5a ＝23＝8，故选：C ．6．若命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣2x +m ≠0是真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．m ＞1C ．m ＜1D ．m ≤1解：命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣2x +m ≠0是真命题，则m ≠﹣（x 2﹣2x ），∵﹣（x 2﹣2x ）＝﹣（x ﹣1）2+1≤1，∴m ＞1．∴实数m 的取值范围是（1，+∞）．故选：B ．7．已知x ，y 均为正数，且x +y ＝2，1x+1+1y 的最小值为（ ） A ．4B ．32C ．43D ．1 解：x +y ＝2，即13(x +1+y)=1， 所以1x+1+1y =13（1x+1+1y ）（x +1+y ） =13（2+x+1y +y x+1）≥13（2+2√x+1y ⋅y x+1）=43，当且仅当x =12，y =32时取等号．故选：C ．8．已知3a ＝6b ＝10，则2，ab ，a +b 的大小关系是（ ）A ．ab ＜a +b ＜2B ．ab ＜2＜a +bC ．2＜a +b ＜abD ．2＜ab ＜a +b 解：∵3a ＝6b ＝10，∴a ＝log 310＞2，b ＝log 610＞1，∴ab ＞2，a +b ＞2，∴1a +1b =lg 3+lg 6＝lg 18＞1，∴a +b ＞ab ，故a +b ＞ab ＞2，故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．9．下列四个选项中，能推出1a ＜1b 的有（ ） A ．b ＞0＞aB ．a ＞0＞bC ．a ＞b ＞0D ．0＞b ＞a 解：1a ＜1b ⇔b−a ab ＜0，由b ＞0＞a ，可得b ﹣a ＞0，ab ＜0，即有b−a ab＜0，故A 能推出； 由a ＞0＞b ，可得b ﹣a ＜0，ab ＜0，即有b−a ab＞0，故B 不能推出； 由a ＞b ＞0，可得b ﹣a ＜0，ab ＞0，即有b−a ab＜0，故C 能推出； 由0＞b ＞a ，可得b ﹣a ＞0，ab ＞0，即有b−a ab ＞0，故D 不能推出．故选：AC ． 10．设集合M ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣1）＝0}，N ＝{1，4}，则M ∪N 的子集个数可能为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16解：∵集合M ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣1）＝0}，N ＝{1，4}，当a ＝1时，M ∪N ＝{1，4}，M ∪N 的子集个数为22＝4，当a ＝4时，M ∪N ＝{1，4}，M ∪N 的子集个数为22＝4，当a ≠1，且a ≠4时，M ∪N ＝{a ，1，4}，M ∪N 的子集个数为23＝8，故选：BC ．11．若函数f （x ）与g （x ）的值域相同，但定义域不同，则称f （x ）和g （x ）是“同象函数”，已知函数f （x ）＝x 2，x ∈[0，1]，则下列函数中，与f （x ）是“同象函数”的有（ ）A．g（x）＝x2，x∈[﹣1，0]B．g（x）=1x+2，x∈[﹣1，+∞）C．g（x）＝|x|，x∈[−12，1]D．g（x）＝﹣4x2+4|x|，x∈[﹣1，1]解：函数f（x）＝x2，x∈[0，1]，值域是[0，1]，对于A：g（x）的值域是[0，1]，是同象函数，对于B：g（x）≠0，值域不同，不是同象函数，对于C：g（x）的值域是[0，1]，是同象函数，对于D：g（x）的值域是[0，1]，是同象函数，故选：ACD．12．一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（）A．0点到3点只打开了两个进水口B．3点到4点三个水口都打开C．4点到6点只打开了一个出水口D．0点到6点至少打开了一个进水口解：设一个进水口的进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图可知，y1＝t，y2＝2t，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时2个进水口均打开，出水口关闭，故A正确，3～4时蓄水量为水平线，说明水量不发生变化，又由于水池至少打开一个水口，故3～4时所有水口均打开，故B正确，4～6时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，故该时段应为同时打开一个出水口，一个进水口，故C错误，0～3时2个进水口均打开，3～4时所有水口均打开，4～6时同时打开一个出水口，一个进水口，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．命题“∃n ∈N ，2n ＜n 2”的否定是 ∀n ∈N ，2n ≥n 2 ．解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，命题“∃n ∈N ，2n ＜n 2“的否定是：“∀n ∈N ，2n ≥n 2”．故答案为：“∀n ∈N ，2n ≥n 2”．14．函数f （x ）=√4−x x−1的定义域为 {x |x ≤4且x ≠1} ．解：∵f(x)=√4−x x−1∴{4−x ≥0x −1≠0解得x ≤4且x ≠1 即函数f(x)=√4−x x−1的定义域为{x |x ≤4且x ≠1}故答案为：{x |x ≤4且x ≠1}15．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里式震级标准，里式震级M 计算公式为M ＝lgA k A 0（0≤k ≤10），其中A k 是地震仪接收到的k 级地震的地震波的最大振幅（单位：米），A 0＝10﹣6（单位：米），则8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的 10000 倍．解：∵M ＝lgA kA 0（0≤k ≤10）， ∴A k A 0=10M ，即A k =10−6⋅10M =10M−6， ∴A 8A 4=108−6104−6=10000．故答案为：10000．16．设x ，y 为实数，若对于满足4x 2+y 2+xy ＝10的全体x ，y ，不等式2x +y ≤m 2﹣3m 恒成立，则实数m 的取值范围是 {m |m ≤﹣1或m ≥4} ．解：∵4x 2+y 2+xy ＝10，∴（2x +y ）2﹣3xy ＝10，即（2x +y ）2﹣10＝3xy ，∵2xy ≤(2x+y 2)2，∴8xy ≤（2x +y ）2， ∴（2x +y ）2﹣10≤38（2x +y ）2，解得，（2x +y ）2≤16，故﹣4≤2x +y ≤4，当且仅当x ＝1，y ＝2或x ＝﹣1，y ＝﹣2时，等号成立，故不等式2x +y ≤m 2﹣3m 恒成立化为4≤m 2﹣3m ，解得，m ≤﹣1或m ≥4；故实数m 的取值范围是{m |m ≤﹣1或m ≥4}，故答案为：{m |m ≤﹣1或m ≥4}．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）计算：（1）（13）﹣2﹣（338）13+√(−2)44；（2）（lg 2）2+lg 5•lg 20+log√39． 解：（1）（13）﹣2﹣（338）13+√(−2)44＝9−32+2=192； （2）（lg 2）2+lg 5•lg 20+log√39 ＝（lg 2）2+lg 5•（1+lg 2）+4＝lg 2（lg 2+lg 5）+lg 5+4＝lg 2+lg 5+4＝5．18．（12分）设a 为实数，已知集合A ＝{x |x−3x−6＜0}，B ＝（a ，5）．（1）若a ＝﹣1，求A ∪B ； （2）若A ∩B ＝（3，5），求a 的取值范围．解：（1）A ＝{x |x−3x−6＜0}＝{x |（x ﹣3）（x ﹣6）＜0}＝{x |3＜x ＜6}，因为a ＝﹣1，所以B ＝（﹣1，5），所以A ∪B ＝（﹣1，6）．（2）因为A ∩B ＝（3，5），所以a ≤3，故a 的取值范围为（﹣∞，3]．19．（12分）设a ，b 为实数，已知关于x 的不等式ax 2﹣3x +2＜0的解集A ＝（1，b ）．（1）求a ，b 的值；（2）若B ＝{x |x 2﹣（m +1）x +m ＜0}，且A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）由题意知，1和b 是方程ax 2﹣3x +2＝0的两根，所以{1+b =3a 1×b =2a ，解得a ＝1，b ＝2． （2）由（1）知，A ＝（1，2），B ＝{x |x 2﹣（m +1）x +m ＜0}＝{x |（x ﹣1）（x ﹣m ）＜0}，因为A ∩B ＝B ，所以A ⊇B ，当B ＝∅时，m ＝1，当B ≠∅时，B ＝{x |1＜x ＜m }，且1＜m ≤2，综上所述，实数m 的取值范围为[1，2]．20．（12分）已知函数f （x ）={kx +1，x ≤0−3x +1，x ＞0，且f （﹣1）＝﹣1． （1）求f （f （2））的值；（2）当x ∈[﹣2，3]时，求f （x ）的值域；（3）解不等式：f （x ）+f （x ﹣2）＜﹣10．解：（1）∵函数f （x ）={kx +1，x ≤0−3x +1，x ＞0，且f （﹣1）＝﹣k +1＝﹣1，∴k ＝2， ∴f （2）＝﹣6+1＝﹣5，∴f （f （2））＝f （﹣5）＝﹣5k +1＝﹣9．（2）当x ∈[﹣2，3]时，根据f （x ）={2x +1，x ≤0−3x +1，x ＞0， 可得当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝2x +1，f （x ）∈[﹣3，1]；当x ∈（0，3]时，f （x ）＝﹣3x +1，f （x ）∈[﹣8，1 ）．综上可得，f （x ）∈[﹣8，1]．（3）由不等式f （x ）+f （x ﹣2）＜﹣10，可得{x −2＜x ≤02x +1+2(x −2)+1＜−10①，或{x −2≤0＜x −3x +1+2(x −2)+1＜−10②，或 {x −2＞0−3x +1+[−3(x −2)+1]＜−10③， 解①求得 x ＜﹣2，解②求得x ∈∅，解③求得x ＞3．综上，不等式的解集为{x |x ＜﹣2 或x ＞3}．21．（12分）如图，某社团需要在一张矩形白纸（记为矩形ABCD ）上刊登两篇招新文章．这两篇文章所占版面是两个形状、大小完全相同的直角梯形，每个直角梯形的面积为150cm 2．这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与纸张的顶部、底部和两边都留有5cm 的空白，且这两个梯形之间也留有5cm 的空白．为了美观，要求纸张所在矩形ABCD 的边AB 的长度大于边BC 的长度．设直角梯形的高为xcm ．（1）求x 的取值范围；（2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？解：（1）设AB ＝a ，AD ＝b （a ＞b ），梯形上底和下底的和为a ﹣3×5＝a ﹣15，所以直角梯形的面积为S =12×(a −15)x =150，解得a =300x +15，又因为b ﹣5×2＝x ，所以b ＝10+x ，因为a ＞b ，则300x +15＞10+x ，即（x ﹣20）（x +15）＜0，解得﹣15＜x ＜20，又x ＞0，所以x 的取值范围为（0，20）；（2）矩形ABCD 的面积为S ′=ab =(300x +15)(10+x)=3000x +15x +450≥2√3000x ⋅15x +450=450+300√2，当且仅当3000x =15x ，即x =10√2时取等号，所以当矩形ABCD 的长为5√2+15cm ，宽为10√2+10cm 时，纸的用量最少．22．（12分）设a 为实数，已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +4a ﹣a 2．（1）若x 1，x 2是方程f （x ）＝0的两个不等实根，求x 12+x 22的取值范围；（2）设集合A ＝{x |f （x ）≤0}．①若A 中恰有一个整数，求a 的取值范围；②设集合B ＝{x |f （f （x ）+2）≤0}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求a 的取值范围．解：（1）由题意f （x ）＝x 2﹣4x +4a ﹣a 2，则{x 1+x 2=4x 1x 2=4a −a 2， 且Δ＝4（a ﹣2）2＞0，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=2(a 2−4a +8)=2(a −2)2+8＞8，所以x 12+x 22＞8；（2）①由f （x ）的开口向上，对称轴为x ＝2，且判别式恒大于等于0，∴要使f （x ）≤0的解集A 中恰有一个整数，则{f(1)=−3+4a −a 2＞0f(2)=−(a −2)2≤0， 解得1＜a ＜3；②由题意A ⊆B ，又A ＝|x |2﹣|a ﹣2|≤x ≤2+|a ﹣2|，∴B ＝{x |﹣|a ﹣2|≤f （x ）≤|a ﹣2|}，f(x)min =f(2)=−4+4a −a 2=−(a −2)2≥−|a −2|，则|a ﹣2|（|a ﹣2|﹣1）≤0，∴1≤a ≤3．。
江苏省南京市师范大学附属扬子中学高一数学理测试题含解析
江苏省南京市师范大学附属扬子中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象是 --------------（）yy yy-1 O 1 x -1 O 1 x -1 O1 x -1O 1 xA、 B、 C、D、参考答案：A略2. 已知集合M＝{y｜y＝，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－）}，则M∩N为（）A．（1，2） B．（1，＋∞） C．[2，＋∞） D．[1，＋∞）参考答案：A3. 某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（）A．30 B．25C．20 D．15参考答案：C略4. 设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D5. （4分）已知函数，则的值是（）A．7 B． 2 C． 5 D．3参考答案：A考点：函数的值．专题：计算题．分析：根据已知函数解析式，先求f（0），然后求出f（f（0）），再求出f（）即可求解解答：由题意可得，f（1）=log21=0，f（f（1））=f（0）=90+1=2f（）=+1=+1=5∴=7故选A点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是明确不同x所对应的函数解析式6. 各项均为实数的等比数列的前项和记为（）A．150 B．-200 C．150或200 D．-50或400参考答案：A略7. 下列说法正确的是（）A．若|，B．若，C．若，则D．若，则与不是共线向量参考答案：C【考点】96：平行向量与共线向量；93：向量的模．【分析】利用平面向量的性质，决定向量的有大小和方向，结合共线向量的定义进行选择．【解答】解：对于A，若|，；错误；因为向量没有大小之分；对于B，，错误；因为两个向量方程可能不同；对于C，相等的向量大小和方向都相同；故正确；对于D，，则与可能是共线向量；故错误；故选：C．8. 若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．参考答案：B考点：直线的斜率；两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围．解答：解：联立两直线方程得：，将①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到，由①解得：k＞﹣；由②解得k＞或k＜﹣，所以不等式的解集为：k＞，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞，所以θ∈（，）．故选B．点评：此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题．9. 若都是奇函数，在上存在最大值5，则在上存在A．最小值-5 B．最小值-1C．最大值-5 D．最大值-3参考答案：B10. 右表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间，则a等于（）D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，则参考答案：-2略12. 两平行直线，若两直线之间的距离为1 ，则．参考答案：±5根据两平行直线间的距离公式得到13. 设集合M ={ 2,0,1}，N ={1,2,3,4,5}，映射f：M→N使对任意的x∈M ，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是________.参考答案：45略14. 不等式|2x﹣1|﹣|x+2|＞0的解集为．参考答案：【考点】绝对值三角不等式．【分析】不等式可化为|2x﹣1|＞|x+2|，两边平方整理可得（3x+1）（x﹣3）＞0，即可得出不等式的解集．【解答】解：不等式可化为|2x﹣1|＞|x+2|，两边平方整理可得（3x+1）（x﹣3）＞0，∴x＜﹣或x＞3，∴不等式的解集为．故答案为：．15. （5分）若正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球O 的体积为4π，则球心0到正方体的一个面ABCD 的距离为 ．参考答案：1考点： 球内接多面体． 专题： 空间位置关系与距离．分析： 根据球的体积公式算出球的半径R=，从而得到正方体的对角线长为 2，可得正方体的棱长为2．再由球心O 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的中心，得到点O 到正方体的一个面的距离等于正方体棱长的一半，从而算出答案．解答： 解设球O 的半径为R ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1内接于球O ，∴正方体的对角线长等于球O 的直径，可得2R=a ．又∵球O 的体积为4π，∴V=?R 3=4π，解得R=，由此可得a=2R=2，解得a=2．∵球O 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球， ∴点O 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的中心，可得点O 到正方体的一个面的距离等于正方体棱长的一半，即d=a=1． 因此，球心O 到正方体的一个面ABCD 的距离等于1． 故答案为：1．点评： 本题给出正方体的外接球的体积，求球心到正方体一个面的距离．着重考查了正方体的性质、球的体积公式与球内接多面体等知识，属于基础题．16. 若，且，则a 的取值范围为 ．参考答案：∵，∴，得．17. 是第 象限角.参考答案： 三三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
南京师范大学附属实验学校2023-2024学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷
南京师范大学附属实验学校2023-2024学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷分值：150 分 时间：120 分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−1,0,1}，B ={1,2,5}，则A⋂B = （ ）A ．{1}B ．{−1,0,1,5}C ．{−1,0,1,2,5}D ．{−1,0,2,5}2.不等式(x−3)(x +1)<0的解集是 （ ）A ．(−∞,−3)∪(1,+∞)B ．(−∞,−1)∪(3,+∞)C ．(−3,1)D ．(−1,3)3.已知函数f (x )由下表给出，则f [f (1)]等于 （ ）x1234f (x )2341A ．4B ．3C ．2D ．14．已知2x 2−kx +m <0的解集为(−1,t )（t >−1），则k +m 的值为 （ ）A ．−1B ．−2C ．1D ．25. 已知a,b ∈R ，则“”是“a b >1”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.若2x =5，lg 2≈0.3010，则x 的值约为 （ ）A ．2.301B ．2.322C ．2.507D ．2.6997.已知函数f (x )=ax 5+bx 3+2，若f (m )=7，则f (−m )=（ ）A.—7B.—3C.3D.78.函数y ＝x 4－2x 2的大致图象是 （ ）A .B .a bC.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对但不全的得2分，错选或不选得0分，请把答案填写在答题卡相应位置上．9.满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的集合A可能是（）A.{5}B.{1,5}C.{1,3}D.{1,3,5}10. 下面命题为假命题的是（）A．若a>b>c，ac<0，则b−a>0cB．函数y＝1的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)xC．y＝x+1的最小值是2xD．y=x2与s=(t)2是同一函数11.已知f(2x＋1)＝x2，则下列结论正确的是（）A.f(－3)＝4B.f(x)＝x2−2x+1C.f(x)＝x2D.f(3)＝9412. 已知函数f(x)＝{x+2,x≤−1x2,−1<x<2，关于函数f(x)的结论正确的是（）A.f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为(－∞，4)C. f(1)＝3D.若f(x)＝3，则x的值是3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届江苏省南京师范大学附属中学高一数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析
C. D.
9．已知集合 ， ，则
A. B.
C. D.
10．已知函数 的图像关于直线 对称，且对任意 ， ， 有 ，则使得 成立的x的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11． 已知函数 同时满足以下条件：
① 定义域为 ；
② 值域为 ；
18、（Ⅰ）最小正周期是 ，对称轴方程为 ；（Ⅱ） 时，函数 取得最小值，最小值为-2， 时，函数 取得最大值，最大值为1.
【解析】（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质求出对称轴及最小正周期；
（Ⅱ）由 的取值范围，求出 的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：（Ⅰ）由 与 得
，
，
，
.
（2）设 与 的夹角为 ，
则 ，
，
当 即 时， 取到最小值为 .
又 ，
与 夹角 的最大值为 .
【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，考查向量夹角的计算和函数最值的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
【解析】（1）利用向量线性坐标运算即可求解.
（2）根据向量共线的坐标表示以及向量模的坐标表示列方程组即可求解.
【详解】解：（1）若 =m +n ，则(4，1)=m(3，2)+n(-1，2)
即 所以
（2）设 =(x，y)，则 - =(x-4，y-1)， + =(2，4)
( - ) ( + )，| - |=2
所以 的最小正周期是 ；
令 ，解得 ，即函数的对称轴为 ；
（Ⅱ）当 时，
所以，当 ，即 时，函数 取得最小值，最小值为
人教版数学高一南师大附属扬子中学2010~2011学年高一年级第二学期第一次阶段性测试试题
南师大附属扬子中学2010~2011学年高一年级第二学期第一次阶段性测试试题数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置．．．上． 1. 在△ABC 中，已知222a b bc c =++，则角A 为 ▲ ． 2. 不等式1204xx -≤+的解集为____▲___. 3．在ABC ∆中, 已知060,34,4===B b a ,则角A 的度数为 ▲ . 4. 在△ABC 中,A 、B 、C 成等差数列,且b =2,则△ABC 的外接圆半径R = ▲ ．5. 若三角形三边的长分别为,1,2(3)n n n n ++>,则三角形的形状一定是___▲___三角形.6. 在等比数列{}n a 中，若11a =，418a =，则该数列的前11项和为 ▲ . 7. 已知数列{}n a 满足262,n a n =-则其前n 项和n S 的最大值为 ▲ 8. 数列{}n a 中，11a =，1223n n a a +-=，则通项n a = ▲ .9. 已知1{}na 是等差数列，且466,4a a ==，则10a = ▲ ． 10. 设等比数列｛a n ｝共有3n 项，它的前2n 项的和为100，后2n 项之和为200，则该等比数列中间n 项的和等于_____▲_____.11. 已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<，则不等式250bx x a -+>的解集 ▲ .12. 设()()211f x m x mx m =+-+-，若()0f x >的解集为空集，则m 的取值范围为_____▲_____.13. 已知正项数列 {}n a 的前n 项和为n S，且1n a =+，n N *∈.则n a =____▲____. 14．已知}{,2n nn a a 把数列=的各项排成如右侧三角形状，记j i j i A 行中第表示第),(个数，则结论1234a a a a①(2,3)A =16； ②)2)(2,(2)3,(≥=i i A i A ；③)1(),12,()1,()],([2≥-⋅=i i i A i A i i A ；④)1(,2)1,()1,1(12≥⋅=+-i i A i A i ；其中正确的是 ▲ （写出所有正确结论的序号）.二、解答题：本大题共六小题，共计90分。
江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年第一学期高一10月考数学试题.(解析版)
2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择题1．（3分）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．[﹣1，4]2．（3分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞03．（3分）已知M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，则（∁R M）∩N＝（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，﹣1]∪[2，3]D．（﹣∞，﹣1]∪（2，3]4．（3分）“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（3分）已知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）6．（3分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），则a，b的取值分别为（）A．1，2B．2，1C．﹣1，3D．﹣1，47．（3分）已知a＞b＞1且b＝，则a+的最小值为（）A．3B．4C．5D．68．（3分）已知命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p，q为假命题，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤2B．m≤﹣2或m≥2C．m≤﹣2D．m≥29．（3分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b310．（3分）系统找不到该试题11．（3分）下列说法中正确的是（）A．当x＞0时，+≥2B．当x＞2时，x+的最小值是2C．当x＜时，y＝4x﹣2+的最小值是5D．若a＞0，则a3+的最小值为212．（3分）函数f（x）＝x2﹣2ax+1有两个零点，且分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1B．a＜﹣1或a＞1C．D．三、填空题13．（3分）已知p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是．14．（3分）设集合A＝{x||2x﹣3|≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是．15．（3分）设题p：x2﹣4x+a2≥0恒成立：命题q：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，如果命题p和q一个为真命题，一个为假命题，则实数a的取值范围是．16．（3分）设A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，A∪B＝{x|x+2＞0}，A ∩B＝{x|1＜x≤3}，则实数a，b的值为．四、解答题17．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．18．求下列不等式的解集：（1）2x2+5x﹣3＜0；（2）﹣3x2+6x≤2；（3）4x2+4x+1＞0；（4）﹣x2+6x﹣10＞0．19．设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a（a＜0）}．q：实数x满足B＝{x|﹣4≤x＜﹣2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30．（1）求xy的取值范围；（2）求x+y的取值范围．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22．已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+b．（1）解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若不等式f（x）≥b+4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题1．【分析】把不等式化为（x﹣4）（x+1）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0可化为（x﹣4）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜4，所以不等式的解集为（﹣1，4）．故选：A．2．【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选：D．3．【分析】进行补集和交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，∴∁R M＝{x|x≤﹣1或x＞2}，（∁R M）∩N＝（﹣∞，﹣1]∪（2，3]．故选：D．4．【分析】根据绝对值的意义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵“|a﹣b|＝|a|+|b|”，∴平方得a2﹣2ab+b2＝a2+2|ab|+b2，即|ab|＝﹣ab，∴ab≤0，即“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的必要不充分条件．故选：B．5．【分析】写出原命题的否命题，据命题p与￢p真假相反，得到2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立，令判别式小于0，求出a的范围．【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“为真命题即2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立∴（a﹣1）2﹣4×2×＜0解得﹣1＜a＜3故选：B．6．【分析】解法一、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出a、b的值．解法二、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，把根代入方程求出a的值，再解不等式求出b的值．【解答】解：解法一、不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），所以不等式对应的方程ax2﹣3x+2＝0的实数解为1和b，由根与系数的关系知，，解得a＝1，b＝2．解法二、因为不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根且a＞0，把x＝1代入方程ax2﹣3x+2＝0中，得a﹣3+2＝0，解得a＝1；将a＝1代入ax2﹣3x+2＞0，得x2﹣3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，所以b＝2．故选：A．7．【分析】由已知结合a，b的关系代入后利用基本不等式即可直接求解．【解答】解：因为a＞b＞1且b＝，所以a+＝a+＝a﹣1+＝3，当且仅当a﹣1＝即a＝2时取等号，此时取得最小值3．故选：A．8．【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的应用及真值表的应用求出结果．【解答】解：命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0为假命题，所以m≥0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，所以△＝m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，由于该命题为假命题，所以m≥2或m≤﹣2．当p，q为假命题时，故，整理得m≥2．故选：D．9．【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．10．11．【分析】由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断．【解答】解：x＞0时，≥2，当且仅当即x＝1时取等号，A正确；当x＞2时，y＝x+单调递增，故y＞，没有最小值，B错误；x＜可得4x﹣5＜0，y＝4x﹣2+＝4x﹣5++3＝﹣（5﹣4x+）+3≤1，即最大值1，没有最小值，C错误；＝2a，当且仅当即a＝1时取等号，D正确．故选：AD．12．【分析】由题意可得f（0）×f（1）＜0，f（1）×f（2）＜0，解得实数a的取值范围，可得答案．【解答】解：由题意可得：f（0）×f（1）＜0，且f（1）×f（2）＜0，即：解得，故选：C．三、填空题13．【分析】由题意可得集合{x|x≥k}是{x|＜1}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：∵p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，∴集合{x|x≥k}是{x|＜1}＝{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，∴k＞2，故答案为：k＞214．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B并集为A，分B为空集与B不为空集两种情况考虑，求出m的范围即可．【解答】解：由A中的不等式解得：﹣7≤2x﹣3≤7，解得：﹣2≤x≤5，即A＝[﹣2，5]；当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，当B≠∅时，∵B＝[m+1，2m﹣1]，A∪B＝A，∴，解得：﹣3≤x≤3，综上，m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]15．【分析】分别求出命题p，q都为真命题时a的取值范围，再分别讨论p真q假，p假q 真的情况，从而求出a的范围．【解答】解：x2﹣4x+a2≥0恒成立，则△＝16﹣4a2≤0，解得a≤﹣2或a≥2，对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，得a2﹣5a﹣3≥（）max＝3，解得a≥6或a≤﹣1．若p真q假，则，解得2≤a＜6；若p假q真，则，解得﹣2＜a≤﹣1．综上，实数a的取值范围为﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．故答案为：﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．16．【分析】由A，B，以及A与B的交集，得到3属于B，即可求出a的值．【解答】解：A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1或x＞1}；A∪B＝{x|x+2＞0}＝{x|x＞﹣2}，A∩B＝{x|1＜x≤3}，∴x2+ax+b＝0的解有一个是x＝3，另一个解x＝﹣1，即，解得a＝﹣2，b＝﹣3故答案为：﹣2，﹣3．四、解答题17．【分析】（1）当a＝3时，求出集合A，由此能求出A∩B．（2）推导出，由此能求出实数a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：（1）当a＝3时，集合A＝{x|﹣1≤x≤5}，B＝{x|x≤1或x≥4}．∴A∩B＝{x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}．（2）∵集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．A∪B＝R，∴，解得a≥2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）．18．【分析】（1）方法一（因式分解法），把不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，求出解集即可．方法二（配方法），把不等式化为，求出解集即可．（2）不等式化为，求出解集即可．（3）不等式可化为（2x+1）2＞0，写出不等式的解集即可．（4）不等式可化为（x﹣3）2+1＜0，写出不等式的解集．【解答】解：（1）方法一（因式分解法）因为2x2+5x﹣3＝（2x﹣1）（x+3），所以原不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，解得，所以原不等式的解集为．方法二（配方法）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即，两边开平方，得，即，所以．所以原不等式的解集为．（2）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即．两边开平方，得，即或．所以或，所以原不等式的解集为．（3）原不等式可化为（2x+1）2＞0，所以原不等式的解集为．（4）原不等式可化为x2﹣6x+10＜0，即（x﹣3）2+1＜0，即（x﹣3）2＜﹣1，原不等式的解集为∅．19．【分析】根据q是p的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：若q是p的充分不必要条件，则B⫋A，∴﹣2≤3a或﹣4≥a，解得a≥﹣，或a≤﹣4，∵a＜0，∴a的取值范围是[﹣，0）∪（﹣∞，﹣4]．20．【分析】（1）由已知可得30﹣xy＝x+2y，从而可求；（2）由已知可得30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，解不等式可求．【解答】解：（1）因为x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30，所以30﹣xy＝x+2y，当且仅当x＝2y时取等号，解可得，0＜xy≤18，（2）因为x，y∈（0，+∞），30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，当且仅当x+1＝y时取等号，所以（x+1+y）2+4（x+1+y）﹣124≥0，解可得，x+y+1或x+y+1（舍），故x+y≥8﹣321．【分析】（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，有，（3分）整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．（5分）∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（6分）（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，（8分）等价于x＞25时，有解，（9分）∵（当且仅当x＝30时，等号成立），（11分）∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元（12分）∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．（13分）22．【分析】（1）将f（1）带入可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，把b看成参数讨论关于a的不等式即可；（2）分离参数，利用对勾函数的性质求解最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（1）＞0，可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，即b﹣3＞a2﹣6a，那么（a﹣3）2＜6+b当b≤﹣6时，此时a无解；当b＞﹣6时，，∴所以不等式的解集为（3，3+）．（2）由f（x）≥b+4，即﹣3x2+a（6﹣a）x≥4．∵x∈[1，2]，∴a（6﹣a）≥＝，又x∈[1，2]，∴函数y＝的最大值8，此时x＝2．∴a（6﹣a）≥8，即a2﹣6a+8≤0，解得2≤a≤4；故得实数a的取值范围[2，4]。
南京师范大学附属扬子中学2020届高三年级一模模拟数学试卷数学模拟参考答案
数学试卷参考答案 第 1 页 共 7 页南京师范大学附属扬子中学2020届高三年级一模模拟试卷数学Ⅰ试题参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{1，2} 2．1 3．2 4．11 5．[1，2) 6．61 7．338π 8．12π9．5 10．15 11．3 12．),3()0,(+∞⋃-∞ 13．43-14．),2ln 23[+∞- 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）解：（1）因为12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得12(sin A cos C ＋sin C cos A )＝13sin B cos B ，……………… 2分因此12sin(A ＋C )＝13sin B cos B ．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以12sin(π－B )＝13sin B cos B ， 于是12sin B ＝13sin B cos B ，……………… 4分因为B ∈(0，π)，所以sin B ＞0，所以cos B ＝1213．……………… 7分（2）由（1）知cos B ＝1213，sin B ＞0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝513．……………… 9分因为△ABC 的面积为5，即S △ABC ＝12ac sin B ＝5，所以526ac ＝5，即ac ＝26．……………… 11分又因为a ＋c ＝15，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2413ac ＝(a ＋c )2－5013ac ＝152－5013×26＝125，……………… 13分因此b ＝55．……………… 14分 16．（本小题满分14分）证明：（1）因为//BC 平面1A DE ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面1A DE DE =，所以//BC DE ．……………… 3分又在直棱柱111ABC A B C -中，有11//BC B C ，所以11//B C DE ．……………… 5分 （2）连接1A C ，因为棱柱111ABC A B C -为直棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1BC CC ⊥．……………… 7分又因为BC AC ⊥，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，1AC CC C =，所以BC ⊥平面11ACC A ．又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥．……………… 9分 在直棱柱111ABC A B C -中，有四边形11AAC C 为平行四边形，又因为1AC CC =，所以四边形11AAC C 为菱形，所以11AC AC ⊥．……………… 11分又1BCAC C =，BC ⊂平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，所以1AC ⊥平面1A BC ， 又1A B ⊂平面1A BC ，所以11AC A B ⊥．……………… 14分 17．（本小题满分14分） 解：（1）22211122S r r θθ=-113692323ππ=⨯⨯-⨯⨯()292m =π，数学试卷参考答案 第 2 页 共 7 页答：花坛的面积为()292m π．……………… 4分（2）圆弧AB 的长为1r θ米，圆弧CD 的长为2r θ米，线段AD 的长为21()r r -米．由题意知()()2112602901200r r r r θθ⋅-++=，即()()21214340r r r r θθ-++=(*)，……………… 6分 ()()22212121111222S r r r r r r θθθθ=-=+-，……………… 9分 由(*)式知，()212140433r r r r θθ+=--， 记21,r r x -=则010x <<．所以1404233S x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=()()225050,1033x x --+∈，．……………… 12分当5x =时，S 取得最大值，即215r r -=时，花坛的面积最大． 答：当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大．……………… 14分 18．（本小题满分16分） 解：（1）由题得1c =，12c e a ==，2a ∴=，2223b a c ∴=-=， ∴椭圆C 方程为22143x y +=．……………… 4分（2）设()00,B x y ，B 是AP 中点，()4,0P ，()0024,2A x y ∴-． ,A B 都在椭圆上，()22002200143244143x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨-⎪+=⎪⎩解得00748x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00748x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，7,48B ⎛∴ ⎝⎭或7,48B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．……………… 6分87644l k ∴==--或87644l k ==-， ∴直线l60y --=60y +-=．……………… 9分（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,E x y -，设D 为直线AE 与x 轴的交点，且(),0D m ，,,A D E 三点共线，1212y y x m x m -∴=--解得122112x y x y m y y +=+．……………… 11分 设直线l 方程为()4y k x =-，0k ≠，则()114y k x =-，()224y k x =-，()()()()121212121212242488kx x k x x x x x x m k x x k x x -+-+∴==+-+-，联立()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2222343264120k x k x k +-+-=，21223234k x x k ∴+=+，2122641234k x x k-=+，……………… 13分 则()222212122122641232242434341328834k k x x x x k k m k x x k-⨯-⨯-+++===+--+．……………… 15分数学试卷参考答案 第 3 页 共 7 页∴直线AE 与x 轴相交于定点()1,0．……………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，则1(21)(1)()212x x f x x x +-+'=-+=， 当1x ＞时，()0f x '＜，()f x 单调递减；当01x ＜＜时，()0f x '＞，()f x 单调递增；所以当1x =时，()f x 的极大值为(1)0f =，无极小值．……………… 4分（2）方法一：∵0x ＞，∴由()0f x ≤恒成立得ln xa x x≤-恒成立， 令ln ()x g x x x =-，则221ln ()x xg x x-+'=， 令2()1ln h x x x =-+，则1()2h x x x'=+， ∵0x ＞，故()0h x '＞，∴2()1ln h x x x =-+在(0，+∞)单调递增，又(1)0h =，∴()0,1x ∈，()0h x ＜，()1,x ∈+∞，()0h x ＞，即()0,1x ∈，()0g x '＜，()1,x ∈+∞，()0g x '＞， ∴()0,1x ∈，()g x 单调递减，()1,x ∈+∞，()g x 单调递增，∴1x =时，()g x 取极小值即最小值(1)1g =，∴1a ≤．……………… 8分方法二：2121()22x ax f x x a x -++'=-+=， 由二次函数性质可知，存在()00x ∈+∞,，使得0()0f x '=，即2210x ax -++=，且当()00,x x ∈时，0()0f x '＞，当()0,x x ∈+∞时，0()0f x '＜， 所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，∴22000000()()ln ln 1f x f x x x ax x x ==-+=+-，由题意可知，2max 000()()ln 10f x f x x x ==+-≤，设2()ln 1g x x x =+-，则1()20g x x x'=+＞，即()g x 单调递增． ∴()0g x ≤的解集为(0，1]，即(]00,1x ∈，∴(]0012,1a x x =-∈-∞．……………… 8分 （3）由（2）可知200()ln 1f x x x =+-，则曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-，由题意可知对任意k ∈R ，证明：方程2ln 1x x kx +-=均有唯一解，设2()ln 1h x x x kx =+--，则2121()2x kx h x x k x x-+'=+-=．……………… 9分 ①当0k ≤时，()0h x '＞恒成立，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，∵(1)0h k =-≥，22()1(1)10k k k k k f e k e ke k e e =+--=-+-≤所以存在0x 满足201kex ≤≤时，使得0()0h x =，又()h x 单调递增，所以0x x =为唯一解．……………… 11分②当0k ＞且280k ∆=-≤，即0k ≤＜()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，数学试卷参考答案 第 4 页 共 7 页∵(1)0h k =-＜，(()236333()310f e e ke e k e =+--=-+＞，∴存在()301,x e∈使得0()0h x =，又()h x 单调递增，所以0x x =为唯一解．……………… 13分③当k ＞时，()0h x =有两解12,x x x =，不妨设12x x ＜，因为1212x x ⋅=，所以122x x ，列表如下：由表可知，当1x x =时，()h x 的极大值为21111()ln 1h x x x kx =+--，∵211210x kx -+=，∴2111()ln 20h x x x =--＜．∴21()()0h x h x ＜＜，22222222()1()10k k k k k h e k e ke e k e k =+--=-+-＞ ∴存在()202,k x x e∈，使得0()0h x =，又()h x 单调递增，所以0x x =为唯一解．……………… 15分 综上，原命题得证．……………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）由23n n S a +=①，得()11232n n S a n --+=≥②，由①—②得120n n n a a a -+-=，即()1123n n a a n -=≥， 对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以113n n a a -=为常数，……………… 2分 所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13，即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈．……………… 4分（2）①由113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得对于任意*n N ∈有2111211111333333n n n n n b b b b n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③，则()()2221231111131323333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭④，则()23111231111112233333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑤，由③—⑤得()212n b n n =-≥，对③取1n =得，11b =也适合上式，……………… 5分因此21n b n =-，*n N ∈．……………… 8分②由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==，则()11412121333n n n n nn n n c c +--+--=-=， 所以当1n =时，1n n c c +=，即12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，即{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减， 故12345c c c c c =>>>>…，……………… 9分假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈，由于12345c c c c c =>>>>…，可不妨设s p r <<，则2p s r c c c =+(*)，数学试卷参考答案 第 5 页 共 7 页即()1112212121333p s r p s r ------=+，……………… 10分 因为s ，p ，*r N ∈且s p r <<，则1s p ≤-且2p ≥， 由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -≥，即12212333s p s p ----≥， 因为12103r r r c --=>，所以()11122212121233333p s r p p s r p --------=+>， 即()122212333p p p p ---->，化简得72p <，……………… 12分又2p ≥且*p N ∈，所以2p =或3p =，当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r ≥时，21r c c <=，此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意．……………… 13分当3p =时，由题意得1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==，代入(*)式得19r c =， 因为数列{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，且519c =，4r ≥，所以5r =，……………… 15分 综上所述，数列{}n c 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列．……………… 16分南京师范大学附属扬子中学2020届高三年级一模模拟试卷数学Ⅱ试题参考答案21．[选做题]（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A ．解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………… 4分（2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''，则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x yy x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+，所以曲线C 的方程为292y x x =-．……………… 10分B ．解：把直线化为普通方程为2x y +=，……………… 2分将圆化为普通方程为22220x x y y ++-=，即()()22112x y ++-=．……………… 5分圆心C 到直线l的距离d == 8分 所以直线l 与圆C 相切．……………… 10分C ．证明：由柯西不等式，得2222111x y z x y z yz x ⎛⎫⎛⎫++++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即2222111111x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴222111x y z y z x x y z++≥++．……………… 8分 当且仅当x y z ==时等号成立．……………… 10分[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）数学试卷参考答案 第 6 页 共 7 页解：（1）一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A ， 则A 为一次取出的3个小球上有两个数字相同，∴()114739281843C C P A C ===()12133P A ⇒=-=．……………… 4分 （2）由题意可知ξ所有可能的取值为：2，3，4，5．()21122222394128421C C C C P C ξ+====；()211242423916438421C C C C P C ξ+====； ()21126262393634847C C C C P C ξ+====；()28392815843C P C ξ====． ∴ξ的分布列为：……………… 8分则()143185234521217321E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 答：随机变量ξ的期望是8521．……………… 10分 23．（本小题满分10分）解：（1）()()()()()()!!!!!!!!!!!k m m k mn k n n m n m n k n C C C C k n k m k m m n m k m n k ----=⋅-⋅-----！()()()()!!0!!!!!!n n m n k k m m n k k m =-=----．……………… 2分（2）由（1）得k m m k mn k n n m C C C --=，令1m =可得1111k k n k n n C C C C --=，即11k k n n kC nC --=，所以1111k k n n C C n k--=，……………… 3分 ()()()()1111111=1nnn n k n k n kk m k k m k k m k n k n k n k k m k m k m F x C C x x C C x x C C x x k nn -----===∴=⋅-=--∑∑∑()()()()1111n n n k n m k m m k m k m m k m k m n n m n n m k m k mC C x x C x C x x n n ---------===-=-∑∑()111n m m m m m m m n n a C x x x C x x n n n-=-+==⎡⎤⎣⎦， 因此，mm n a C =．……………… 5分（3）()()()1112342234111111111k n n nn nk k nn n n nA a a a a a C C C C +++=---==-+-++=-+-++∑L L ，所以()222123421212121211111n n n n n n n A CC CC +++++++-=-+-++L，即212321221212121212111111n n n n n n n n n A C C C C C +-++++++=-+-+-+L ①，2121221222212121212111111n n nn n n n n n n A C C C C C ++--+++++=-+-+-L ②，①+②得2121221211122n n n n n A C C ++++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，212122121111212121n n nn n nA C C n n ++++∴=-=-=++，……………… 6分 下面用数学归纳法证明2111121123n n n n n n n>++++++++．数学试卷参考答案 第 7 页 共 7 页（i ）当1n =时，则有2132>，结论成立；……………… 7分 （ii ）假设当()n k k N*=∈时，21112112k kk k k k>+++++++L ， 那么当1n k =+时，()()1112311k k k k ++++++++L 11111111231111k k k k k k k k k k =++++++-++++++++++L 21112111121111121212222k k k k k k k k k k k k <++-=+-=-+++++++++++()()2112212323211k k k k k ++<-==++++，所以当()1n k k N*=+∈时，结论也成立．……………… 9分根据（i ）（ii ）211111123n A n n n n n+>+++++++恒成立．……………… 10分。
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南京师范大学附属扬子中学高一第一次数学阶段性检测卷
1、本试卷包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第20题，共6
题）两部分。
本次考试时间为120分钟，全卷满分160分。
2、答题前，请您务必将自己的姓名、学号用书写黑色字迹或蓝色字迹的签字笔、钢笔或圆
珠笔填写在答题卡上。
3、作答请用书写黑色字迹或蓝色字迹的签字笔、钢笔或圆珠笔写在答题卡上的指定位置，
在其它位置作答一律无效。
4、考试结束后，只需将答题卡交回，并保存好本试卷以便讲评。
5、希望各位同学信心+耐心+细心，最后助您考试成功！
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填空在答题卡相应．．．．．位置上．．．
，在本试卷上作答一律无效． 1. 集合{10},{0,1},{1,2})A B C A B C ==== －，，则(_____________
2. 若{}N k k x x A N U ∈===,2,，则=A C N ______________
3．集合6
{,}3A x Z x N x =∈∈-，则集合A 中元素的个数为_____________
4．已知集合2{60},{10}A x x x B x mx =+-==-=．若B A ⊆，则实数m 组成的集合是____________
5. 直线1=x 和函数)(x f y =的图象的公共点的个数为
6．已知函数()f x 的定义域为[]1,0,则(2)f x -的定义域为_____________
7. 已知函数21
,33x y x x +=≠-，则y 的值域为______________
8. 已知52)1(+=-x x f ，则(3)f =
9．函数22(1)
()(12)1(2)2x x f x x x x x ⎧
⎪+≤-⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎩，若2)(=x f ，则=
x _____________
10. 已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，32)(+=x x f ，则当0<x 时，=)(x f _________
11．已知函数53()8,(2)10f x x ax bx f =++--=，则(2)f =______________
12. 已知{}40≤≤=x x P ，{}20≤≤=y y Q ，下列不表示从P 到Q 的映射的是_________
① 2:x y x f =
→ ② 3:x y x f =
→ ③ 23:x
y x f =
→ ④ 52:x
y x f =→ 13. 若函数()f x 的图象关于原点对称，且在()0,+∞上是增函数，(3)0f -=，则不等式 ()0xf x <的解集是_____________
14．函数2()2(2)3f x x a x =-+-+在区间[]2,1--上单调递增，在区间[]1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是______________
二 解答题：本大题6小题，共90分. 请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内（含3km ）路程按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费。
（1）写出收费额关于路程的函数解析式；
（2）画出该函数图像。
16. 若函数)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且32)()(2++=-x x x g x f ，求)(),(x g x f 的解析式。
17. 偶函数)(x f 在()0,∞-上是增函数，问它在()+∞,0是增函数还是减函数？能否用函数单调性的定义证明你的结论？
18. 设集合{}3+≤≤=a x a x A ，{}51>≤=x x x B 或，分别求下列条件下实数a 的值构成的集合．
(1)Φ=B A ；
(2)R B A = ；
(3)B B A = .
19. 设函数()y f x =是定义在()0,+∞上的单调函数，且()()()x f f x f y y
=-． （１）求(1)f ；
（２）求证()()()f xy f x f y =+；
（３）若(2)1f =，解不等式1()(
)23f x f x -≤-．
20. 对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：
①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；
那么把)(x f y =（D x ∈）叫闭函数。
（1）求闭函数3x y -=符合条件②的区间[b a ,]；
（2）判断函数)0(143)(>+=
x x x x f 是否为闭函数？并说明理由； （3）若2++
=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围。