2014年高考数学练习题-----选考内容

2014年高考数学练习题-----选考内容1.（几何证明选做题）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= .【答案】5.【解析】5,1,6=∴==EB AE AB .连接AD ，则AED ∆∽DEB ∆，BEDEDE AE =∴, 5=∴DE , 又DFE ∆∽DEB ∆,DBDEDE DF =∴,即52==⋅DE DB DF . 2.（坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 . 【答案】3.【解析】直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=的普通方程为1)1(1222=+-=y x x 和，圆心到直线的距离为21211=-，所以弦长为3)21(122=-.3.如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点F ,3AF =,1FB =,32EF =,则线段CD 的长为 .【答案】34【解析】如图连结BC ，BE ，则∠1=∠2，∠2=∠A1A ∠=∠∴，又∠B=∠B ，CBF ∆∴∽ABC ∆，AC CFAB CB BC BF AB CB==∴,,代入数值得BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得FBAF CD AC=,解得CD=34.4.在极坐标系中，曲线1C：sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a =_______.【答案】2【解析】曲线1C1y +=，曲线2C 的普通方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，所以1C 与x 轴交点横坐标与a值相等，由0,2y x ==，知a＝2. 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与x 轴交点，即得.5.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 . 【答案】(2,1)【解析】 2212:5(,0),:1C x y x y C y x +=≥=- 解得：交点坐标为(2,1) 6.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠. 若AD m =，AC n =，则 AB = .【解析】,PBA DBA ACB BAD CAB BAD CAB ∠=∠=∠∠=∠⇒∆∆得：2AB ADAB AC AD mn AB AC AB=⇔=⨯=⇔= 7.选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明：FG(Ⅰ)CD=BC ；(Ⅱ)△BCD ∽△GBD【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识，是简单题. 【解析】(Ⅰ) ∵D ，E 分别为AB,AC 的中点，∴DE ∥BC ， ∵CF ∥AB ， ∴BCFD 是平行四边形，∴CF=BD=AD ， 连结AF ，∴ADCF 是平行四边形， ∴CD=AF ，∵CF ∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC ； (Ⅱ) ∵FG ∥BC ，∴GB=CF ， 由(Ⅰ)可知BD=CF ，∴GB=BD,∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD ∽△GBD.8.坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围. 【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标，是容易题型. 【解析】(Ⅰ)由已知可得(2cos,2sin )33A ππ，(2cos(),2sin())3232B ππππ++， (2cos(),2sin())C ππππ++，33(2cos(),2sin())32D ππππ++，即A(1，B 1），C （―1D ，－1），(Ⅱ)设(2cos ,3sin )P ϕϕ，令S =2222||||||||PA PB PC PD +++， 则S =2216cos 36sin 16ϕϕ++=23220sin ϕ+， ∵20sin 1ϕ≤≤，∴S 的取值范围是[32,52].故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]. 9.选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 和⊙/O 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E 。

证明 (Ⅰ)AC BD AD AB ⋅=⋅； (Ⅱ) AC AE =。

【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。

证明：（1）由AC 与O 相切于A ，得=CAB ADB ∠∠，同理=ACB DAB ∠∠， 所以ACB DAB ∆∆ 。

从而=AC ABAD BD，即=AC BD AD AB ……4分（2）由AD 与O 相切于A ，得=A E D B A D ∠∠，又=A D E B D A∠∠，得E A D A B D∆∆从而=AE ADAB BD，即=AE BD AD AB ，综合（1）的结论，=AC AE ……10分10.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=。

(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求圆12C C 与的公共弦的参数方程。

【命题意图】本题主要考查点的极坐标表示、圆的极坐标方程、参数方程的表示及参数方程与一般方程的转换、解方程组的知识，难度较小。

【解析】圆1C 的极坐标方程为=2ρ，圆2C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 解=2=4cos ρρθ⎧⎨⎩得=2,=3πρθ±，故圆1C 与圆2C 交点的坐标为2,,2,-33ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (5)分注：极坐标系下点的表示不唯一（2）（解法一）由=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩，得圆1C 与圆2C 交点的直角坐标为((,故圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为=1=x y t⎧≤⎨⎩（或参数方程写成=1=x y y y ⎧≤⎨⎩… 10分（解法二） 将=1x 代入=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩，得cos =1ρθ，从而1=cos ρθ于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为=1-=tan 33x y ππθθ⎧≤≤⎨⎩【点评】本题要注意圆221:4C x y +=的圆心为)0,0(半径为21=r ，圆222:(2)4C x y -+=的圆心为)0,2(半径为22=r ，从而写出它们的极坐标方程；对于两圆的公共弦，可以先求出其代数形式，然后化成参数形式，也可以直接根据直线的参数形式写出。

11.如图，AB 是圆O 的直径，,D E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD DC =，连结,,AC AE DE ． 求证：E C ∠=∠．【答案】证明：连接AD 。

∵AB 是圆O 的直径，∴090ADB ∠=（直径所对的圆周角是直角）。

∴AD BD ⊥（垂直的定义）。

又∵BD DC =，∴AD 是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）。

∴AB AC =（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。

∴B C ∠=∠（等腰三角形等边对等角的性质）。

又∵,D E 为圆上位于AB 异侧的两点， ∴B E ∠=∠（同弧所对圆周角相等）。

∴E C ∠=∠（等量代换）。

【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。

【解析】要证E C ∠=∠，就得找一个中间量代换，一方面考虑到B E ∠∠和是同弧所对圆周角，相等；另一方面由AB 是圆O 的直径和BD DC =可知AD 是线段BC 的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到B C ∠=∠。

从而得证。

本题还可连接OD ，利用三角形中位线来求证B C ∠=∠。

12.[选修4 - 4：坐标系与参数方程] 在极坐标中，已知圆C 经过点()4Pπ，，圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【答案】解：∵圆C 圆心为直线sin 32ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，∴在sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中令=0θ，得1ρ=。

∴圆C 的圆心坐标为（1，0）。

∵圆C 经过点()4Pπ，，∴圆C 的半径为2c o s =1PC =。

∴圆C 经过极点。

∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ。

【考点】直线和圆的极坐标方程。

【解析】根据圆C 圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆C经过点()4P π，求出圆C 的半径。

从而得到圆C 的极坐标方程。