一个不等式的推广及简证
对一个不等式的推广
欲求 ‘
的最大值 ． 则需求 ＋ 。 ＿ ‘＋ 二 ＿。 的最小值 ． 。）
的最大值为 ９ ．
证 明方 法 同上 ． 以证 出 ｍ ≤９ 可 ．
由上探究不难知
１
＋
现在归纳推广到 项 ： 推广 ６ 当 ＞ａ ： ２＞口 ３＞… ＞ａ ＞０ ，且
１
ａ
．
一
－
其 实在取 ａ＝３ｂ＝２ ｃ＝１ 时， ， ，
— — ＋— — ＋ ＋— — ：０ 口一 ｂ ｂ— Ｃ ｃ一 日
（
１
ｂ － ＋ － ＋６ Ｃ Ｃ ）
，
故 题 ３修改为求 证 ：
— — ＋ — ＋ — ≥０ ＋— ＋— 口一 ｂ ｂ— Ｃ ｃ一 口
＞０
时， —Ｌ ＋ ＿ ＋ —ｌ
＞ 不成立 ０
。
ａ— ｂ ｂ—Ｃ ｃ— ａ
归 纲 ： ａ ＞６ ＞ Ｃ ， 当 且
本 文对这样 一道看似普通 但 内容 丰富 的不 等式作一些 探 究 和推 广 ．以引导学 生带着一种强烈 的推广欲望去努力思考 、
实践 ， 得到数学 中一些常用 的结论 。下面对这个 不等式作一些
ｂ
＋
６ 一 ｃ ｃ—
一
， ’
欲求 ｍ 的 最大值， 则需求（— ＿ ÷ Ｃ ÷ ａ （ ｄ的最小值， — Ｄ ＋ — ＋ — ） — ） Ｄ ａ ａ ｃ
由上探究过程不难知 道 ：
ａ— ｂ ｂ— Ｃ Ｃ — — — —ａ
ｃ 击＋ 击＋
：
，
１ ａ ｘ
笔＋ ｎ 一 —等 ｎ ＋ — — — ＋ Ｐ ｎ ｈ— ｈ一 ｈ＋ ｈ＋ Ｐ ｒ
≥ ３＋ ２＋ ２ ＋ ２
一个不等式问题的证明与推广
贝 ０ ＋ ：１ ， 且
１
Ｙ
ａ ｂ ｂ ｃ ｃ ａ ｃ ２＋ — Ａ 十 十
’
ａ
一 一 ～
当 且 仅 当 ａ＝ ｂ ＝ Ｃ＝ ３时 取 到 等 号 ． １ 证 明 ： 设 ： ， ： １
’
，
Ｕ ｕ
６ ＋
＿
＋
ｚ ＋
ｎ
ｚ ＋２ ｘ ｙ＋２ ｙ ｚ ＋２ ｚ ｘ≥３ （ ｘ ｙ＋ｙ ｚ＋ｚ ｚ ） ， 得
２
］ Ａ ， 其 中 Ａ ：
＞ ０ ． 因 为
ｘ ｙ ＋ｙ ｚ ＋Ｚ Ｘ ≤去 ， 所以 可得：
Ｚ２
． ．
Ｙ２
ｘ ｙ ＋ｘ ＋ ｙｚ Ｉ Ｚ ２ ） ￣。 ｙ ｚ ＋ｙ ＋ ｚ ｘ ２ ） Ａ ￣ 。Ｚ Ｘ 十 ＋ｚ ｘ ｙ ２ Ａ 、
・
＋ ： １ 的 正 实 数， ≥０ 时，是 否
＋
．
．
一
≥ １一
＝
，
有 有
Ｆ ＋
＋
≥ ２ ７
≥
成立”
’
一 ・ 两ａ 十 ＋
・
・
≥
（ Ｌ 当且仅 且队 当
＋了 １
呢 ？经过探 索， 我 们发 现猜 想是成 立 的， 总 结
由 Ｘ＋ Ｙ＋ ＝ １ ， 得
≤ ， 且 １＝ （ ｚ
＋ ） ＝ ２ ＋ ２ ＋
） （ ） ， 不 失 一 般 性 ， 不 妨 设 ≤ １ ， ＋ 一 ｂ 一 ＋ ｚ ≥ ， 则 ， （ ， ２ ＋ 一 １ ， ｓ ， …， ｎ ） 一 ｆ （ ｘ ｌ ， ｘ ２ ， ｘ ｓ ， …， ） ＝［ （ ２ ＋ 一 ） 一
一个不等式的推广及简证
一个不等式的推广及简证
杨建兵;徐超
【期刊名称】《中国校外教育（理论）》
【年(卷),期】2011(000)001
【摘要】不等式知识是数学基础理论的一个重要组成部分,它是刻画现实世界中的不等关系的数学模型,反映了事物在量上的区别,是研究数量的大小关系的必备知识,是进一步学习数学和其他学科的基础和工具.不等式的解法是重点及难点,有着很强的技巧性.本文来源于<数学通报>2009年12期问题栏中的第1825号问题,提出了相关的解题方法.
【总页数】1页(P60)
【作者】杨建兵;徐超
【作者单位】安徽师范大学数学系;安徽师范大学数学系
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一个不等式的简证与推广
2.一个优美不等式的简证及推广
3.一个不等式的简证及猜想的推广
4.一个三角形不等式的推广及简证
5.一个猜想不等式的简证及推广
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不等式与绝对值不等式的证明与推广积分应用
不等式与绝对值不等式的证明与推广积分应用不等式与绝对值不等式的证明与推广在数学中，不等式是一种数学语句，用于比较两个量的大小关系。
而绝对值不等式则是一种特殊的不等式形式，主要用于研究绝对值的性质。
本文将探讨不等式与绝对值不等式的证明方法，并展示它们在积分应用中的推广。
一、不等式的证明方法不等式的证明是数学推理的重要部分，通常有以下几种常见的证明方法。
1.1. 直接证明法直接证明法是最常见的证明方法。
我们通过推导和运算，利用已知条件和逻辑推理推导出不等式的结论。
例如，对于形如a > b的不等式，我们可以令c = a - b，然后通过运算得到c > 0的结果，证明a > b。
1.2. 反证法反证法是一种通过假设不等式的反面，然后证明其矛盾来得出结论的方法。
假设不等式的反面成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原不等式是正确的。
例如，对于形如a > b的不等式，我们可以假设a≤ b，然后通过运算得到矛盾的结果，从而证明a > b。
1.3. 数学归纳法数学归纳法是证明关于整数的不等式的有效方法。
它包括两个步骤：首先证明当n = 1时不等式成立，然后假设对于任意n，不等式都成立，再证明对于n + 1时不等式也成立。
通过这种递推的方式，可以证明不等式对于所有整数都成立。
二、绝对值不等式的证明方法绝对值不等式是一类特殊的不等式，其中含有绝对值符号。
在证明绝对值不等式时，我们通常利用绝对值的性质进行推导。
2.1. 基于定义的证明绝对值不等式的定义是：|a| ≤ b等价于 -b ≤ a ≤ b。
我们可以利用这个定义，根据不等式的特点进行推导，来证明绝对值不等式的成立。
2.2. 基于绝对值性质的证明绝对值具有非负性、可加性、三角不等式等性质，我们可以将这些性质应用于绝对值不等式的证明中。
例如，对于形如|a - b| ≥ c的不等式，我们可以利用绝对值的可加性和基本不等式来推导出结果。
三、不等式与绝对值不等式的推广积分应用不等式和绝对值不等式在积分应用中有着广泛的应用。
基本不等式公式推广到n次证明
基本不等式公式推广到n次证明在数学领域中，基本不等式是一个非常重要的工具，它在解决许多优化问题和证明其他不等式中都发挥着关键作用。
我们熟知的基本不等式是对于两个正实数 a 和 b，有\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
然而，这个不等式可以被推广到 n 个正实数的情况。
我们先来回顾一下基本不等式的简单证明。
对于两个正实数a 和b，因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），展开得到\（a 2\sqrt{ab} ＋ b ＼geq 0\），移项就得到\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），即\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼）。
接下来，我们尝试将其推广到三个正实数 a、b、c 的情况。
考虑\（（＼sqrt3{a} ＼sqrt3{b}）＾2 ＋（＼sqrt3{b} ＼sqrt3{c}）＾2 ＋（＼sqrt3{c} ＼sqrt3{a}）＾2 ＼geq 0\），展开并整理可得：＼＼begin{align}＆a 2\sqrt3{a}＼sqrt3{b} ＋ b ＋ b 2\sqrt3{b}＼sqrt3{c} ＋ c ＋ c2\sqrt3{c}＼sqrt3{a} ＋ a ＼geq 0\＼＆2(a ＋ b ＋ c) ＼geq 2(＼sqrt3{a}＼sqrt3{b} ＋＼sqrt3{b}＼sqrt3{c} ＋＼sqrt3{c}＼sqrt3{a}）＼＼＼end{align}＼再利用均值不等式，有\（＼sqrt3{a}＼sqrt3{b} ＋＼sqrt3{b}＼sqrt3{c} ＋＼sqrt3{c}＼sqrt3{a} ＼geq 3\sqrt3{abc}＼），所以\（a ＋ b ＋ c ＼geq 3\sqrt3{abc}＼），当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，等号成立。
那么，如何进一步推广到 n 个正实数的情况呢？我们可以采用数学归纳法来证明。
一些不等式的证明及推广【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学一些不等式的证明及推广一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。
它不仅是数学分析的重要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系。
柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，适当、巧妙地引入柯西不等式，可以简化解题过程，起到事半功倍的作用。
因此柯西不等式在初等数学、微分方程和泛函分析等领域都有重要的应用，再加上本身有着优美的对称形式、简洁的统一证法和命题间的内在联系，关于它的研究一直受到人们的关注。
由此促使我们进一步了解柯西不等式的各种形式及它的应用。
闵可夫斯基不等式是由闵可夫斯基（Minkowski）于1896年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至关重要的作用。
在1881年法国大奖中，闵可夫斯基深入钻研了高斯、狄利克雷和爱因斯坦等人的论著。
因为高斯曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，闵可夫斯基根据前人的工作发现：把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。
由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。
这样一来，上述问题就很容易从更一般的理论中得出，闵可夫斯基交给法国科学院的论文长达140页，远远超出了原题的范围。
闵可夫斯基此后继续研究n元二次型的理论。
他透过三个不变量刻画了有理系数二次型有理系数线性变换下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论，现称“Minkowski约化理论”。
当闵可夫斯基用几何方法研究n 元二次型的约化问题时，他获得了十分精彩而清晰的结果。
一个不等式的推广与证明
解题 方法 与技 巧
一
个 不 等 式 的 推 广 与 证 明
江苏徐 州 高等 师 范学校 （ ２ １ ６ 朱允 洲 ２ １１ ）
对不 等式 的证 明不仅 需要 发散 的思 维和严 谨 的推
理， 而且 要 求 学 生 有 较 好 的 观 察 分 析 问 题 的能 力 ． 此 ， 因 对于有些 不等式 ， 们 只要仔 细地观 察其结 构特点 ， 我 或 许 就 能发 现 问题 的 突破 口并 使 之 得 以解 决 ．
５１ 。 ￣ Ｘ２ Ｅ一 ／ 一 … ￣ ｚ＂ ／ 一 － — 二 二 ｆｎ ｌ — ／ ＋ －
２一
【 目】 （数学教学 ｝０ ９ 题 《 ２ ０ 年第 ２ 问题 与解答 中 期
７ ８号 Ｉ 题 ） ａ ２ ６ ２ 证 明 ： ５ ＇ ． － Ｊ 设 ＞ ，＞ ，
—
ｚ 一
命题
设 ．＞ ， ， ， 则有 ２ ７ ，一１２ … ，
条件为 ：
焘 ＋ ＋ ≥』 一 一 稿 东 斗 毫 音 蔷
（ １ （ ２ ｎ Ｎ ， ２ ＋ ） ≥ ， ∈ ） （ ） ．＋ 一＋ 一 一 －． ． ． 一
㈤
．
当且 仅 当 一， ｚ ＋ ， ｌ２ … ， 时取 等 号 ． ，，
≥ Ｘ ＸＴ Ｘ－ ｎ １ ￣２ ｎ焉 － － － ｎ ｎ １ ／ １ ｌ Ｘ
＋ －
￣ ｚ 一 ／２
＋
一 ห้องสมุดไป่ตู้… ＋
￣ ｚ ／ 一
＋ －
￣ Ｘｌ ／ 一
￣ ５３ ／ｇ 一
ｎ １厂—— —一 ＋
＋ １ 厂— ——一
＋ １ 厂— —— 一
．
一个不等式的另证及推广
ａ １ Ｓ － ｉ
）４ — ） （（ｑ ≥ ∑ １ｓ ）
式ｆ ｋ 。 （ 一 ） ） ａ （ ＋（ 一 ）（：，则称 ＿ 为 ， （ｘ＋ １ Ａ ≥ ｆ ） １ Ａ厂 ） ： 厂 ） 上 （
的凹函数． 定理 １ ：设 ｆ（ 为 定 义 在 区 间 上 二 阶 可 导 函 数 ，则 ＿（ ） 厂 ）
摘 要 ：给 出 《 学 通 报》 问题 １４ 数 ７ ８另 外 两种 利 用 函 数 的 凸
凹性 及 柯 西 不 等 式 的 证 明 ，并 加 以推 广 ， 列举 出此 结 论 的 简单
应用．
一
、
证明 １ ：令 ｂ ａ ，ｉ ，２ ，４ ｉ ＝１ ，３ ，
即 证 ：对 ｂ ，ｂ ，ｂ ，ｂ ∈（ ，１ ，ｂ ＋６ ＋ｂ ＋ ４ ， ２ ３ ４ ０ ） ２ ３ ｂ ＝１ Ｊ
ｎ ｎ
｝ ４（ｉ ） ４ ・， ≥・ 手 一 ｓ ４ １ ＝｝ 手 主
ｑ
＝
１
厂∑Ａ ≤∑Ａ （） ｆ １ ． 厂
、ｉ＝ Ｉ ／ ｉ＝ １
于 （ ）ｊ 是ｉ 、 窆 ≥
＝
１
∑（一 ）
＝ 得． 鲁，证
（ 转第 ４ 下 ８页）
本 文 利用 定理 ２及 柯 西 不 等 式 得 到 问 题 １４ ７ ８的两 种 证 明
Ｃ ｂｉ ｒ ｐ 、圆 锥 曲 线 作 图 程 序 Ｃ ｎ ｒｐｉｇ Ａ ｐ ａｒ Ｊ Ｍ Ｔ ．Ａ ｐ ｏｉ Ｇ ａｈｎ ｐ 、概 率 ｉ要 教 什 么 、怎 么教 ． ｃ 亥 模 拟 程 序 Ｐｏａ ｉｔ Ｓｍ ｌ ｉ ｐ 、数 据 表 格 Ｃ ｌ ｈｅ Ａ ｐ ｒｂｂｌｙ ｉ ｕａｏ Ａ ｐ ｉ ｔｎ ｅＳ ｅ ｌ ｐ
即 ＋ ＋ ＋ ≥ ㈩ ＝ Ｔ 丁 丁 ４ 古，
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01/2011
一个不等式的推广及简证
◆杨建兵
徐
超
（安徽师范大学数学系
）
不等式知识是数学基础理论的一个重要组成部分，它是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别，是研
究数量的大小关系的必备知识，
是进一步学习数学和其他学科的基础和工具。
不等式的解法是重点及难点，有着很强的技巧性。
本文来源于《数学通报》2009年12期问题栏中的第1825号问题，提出了相关的解题方法。
不等式
解题方法
技巧
参考文献：
［1］田彦武．问题1825［J ］．数学通报，2009，48（12）
．
（上接第10页）一般来说，只有真诚开放了自己的内心世界，才能走进别人的心灵世界。
二是交往是平等的，只有尊重他人，才能使别人尊重自己。
在与他人交往时，要把双方放在平等的位置上，既不能觉得低人一头，也不能自高、自傲、高高在上，在交往中要有信心，对别人要有诚心，在学习、生活、
工作上，特别是困难面前，互帮互助，热忱的赞许与诚恳的批评，都能使彼此间愿意了解、
信任、倾诉、交心、平等互利地交往，才有可能良好持久地交往。
三是交往的期望值不要太高。
不要期望每个人都能成为你的知心朋友
，“一生得一知己足矣”。
有层次的交往中一定要避免因情感投入过多而回报较少造成的心理失落感。
四是交往是有选择性的。
交往的双向性，决定了交往的互动性和选择性，并不是所有的人都适合你，要选择能够与你产生共鸣的人作为交往对象，
不要一味的寻求数量的多少，一定要注意交往对象与自己是否真的可以持久交往，一厢情愿会造成两败俱伤。
4．努力营造民主、平等、和谐的校园人际交往环境
一是学校学生工作部门、任课教师和班主任、政治辅导员应密切配合，齐抓共管，在指导学生工作、传授学生知识的过程中要把学生当朋友，营造一个民主、
平等、和谐的校园人际环境。
二是教师要结合教学工作过程，主动地关心学生的学习和生活，渗透对学生进行心理健康教育的内容。
三是同学之间应树立正确的人生观、价值观，学会理解他人、宽容和接纳他人，应有友善心态，正确看待各自的生活习惯、文化差异，学会正确的人际沟通，建立起民主、平等、和谐的校园人际环境。
四是要充分发挥学生会和学生社团的作用，
积极开展心理互助活动，努力营造学生健康成长的心理环境，让贫困生感受到集体生活的温暖，从而消除经济困难给他们带来的精
神上的消极影响。
参考文献：
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