线性代数期末复习知识点参考

行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1 已知，那么（ ）A.-24B.-12C.-6D.12 答案 B解析2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3. 行列式按行（列）展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____; 213122322333a A a A a A ++=___0___.4. 行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- （3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-（4）三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素a 33=1，按该行展开,D=a 33A 33,不用忘记a 33。

矩阵1. 常见矩阵1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作Λ. 2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作E. 5）对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，若T A A =，即ij ji a a =，则称A 为对称矩阵. 6）反对称矩阵：设A 为ｎ阶方阵，若T A A =-，即ij ji a a =- ，则称A 为反对称矩阵. 2. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 （1）矩阵的加法如a b c a b c a a b b c c d e f d e f d d e e f f ''''''+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪⎪⎪''''''+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭注：① 只有同型矩阵(行数和列数分别相等)才能进行加减运算；② 矩阵相加减就是对应元素相加减.（2）数乘矩阵：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素. 如a b c ka kb kc k d e f kd ke kf ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）矩阵的乘法：设ij m ij n s s A (a ),B (b )⨯⨯==，规定ij m n AB C (c ),⨯== 其中sij i11j i22j is sj ik kj k 1c a b a b a b a b ==+++=∑(i 1,2,,m,j 1,2,,n.)==注：①左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数；②矩阵乘积C 的元素ij c =左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和. ③左矩阵A 的行数为乘积C 的行数，右矩阵B 的列数为乘积C 的列数. 例 设矩阵求AB 。

解：=3、逆矩阵设n 阶方阵A 、B ，若AB=E 或BA=E ，则A ，B 都可逆，且11A B,B A --==.1） n 阶方阵A 可逆（也称非异，非奇异，满秩）⟺⟺R (A )=n .（2）二阶方阵求逆，设a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，则1*d b 11A A c a A ad bc --⎛⎫== ⎪--⎝⎭（两调一除法）.（3）对角矩阵的逆11111221n n a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（4）求逆矩阵的方法：1、伴随矩阵：当A 可逆时，.方阵A 的伴随阵的定义，A ij 为|A |中a ij 的代数余子式。

2、初等变换法：一般矩阵求逆，初等行变换的方法：()()ERT1AE EA -−−−→.具体方法：用初等行变换把n×2n 矩阵（A ，E n ）化为（E n ，A -1），当（A ，E n ）的左半部分化为单位矩阵E n 时，右半部分就是A -1了，如果前n 列不可能化为单位矩阵，则说明A 不是可逆矩阵。

例.求的逆矩阵。

（5）逆矩阵的性质：; ; .例 已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=A+E. (A(A+E)=E)例 设C B A ,,为同阶可逆方阵，则=-1)(ABC （ 111---A B C ） 3、方阵的行列式由ｎ阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A 的行列式.记作A 或det （A ）.例 设A 为3阶方阵，且已知则（ ）测试点 方阵行列式的性质 解 所以.例 设A 是3阶方阵，且则（-2 ）例.设A,B 都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A -1B|=_____-4____.（|B|=-8）3. 矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换： （1） 互换两行（列）；（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行（列）. 阶梯形矩阵：如果矩阵自上而下的各行中每一非零行的第一个非零元素的下方全是零； 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行的下边。

行最简型矩阵： 如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1，且它所在列的其他元素全是04. 初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.如001100100010,0k 0,010100001k 01⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都是初等矩阵. 5. 矩阵的秩矩阵A 的非零子式的最高阶数，称为矩阵A 的秩.记作R （A ）或r （A ）. 求矩阵的秩的方法：（1）定义法：找出A 中最高阶的非零子式， 它的阶数即为A 的秩.（2）初等行变换法：ERTA −−−→行阶梯形矩阵，R （A ）=R （行阶梯形矩阵）=非零行的行数.例 设A 是4×5矩阵，，则（D ）A. A 中的4阶子式都不为0B. A 中存在不为0的4阶子式C. A 中的3阶子式都不为0D. A 中存在不为0的3阶子式 6. 重要公式及结论（1）矩阵运算的公式及结论()()()()()()T TTT T T T T T TTT nT n n A A,(A B )A B ,A A ,AB B A A A ,AB B A ,AA A A A EA A ,A A ,AB A B BA ,A A ,A B A Bλλλλ*******=+=+===========+≠+矩阵乘法不满足交换律，即一般地A B ≠AB;矩阵乘法不满足消去律，即一般地若AB=AC ，无B=C ；只有当A 可逆时，有B=C.一般地若AB=O ，则无A=O 或B=O..（2）逆矩阵的公式及定理()()()()()()()()11111111n 11111k1k 1T11T 1A A ,A A ,,A A 1A A ,A A,A A ,A A AB B A1A A A A AA A ,A λλ----------*-**--**-----===========A 可逆⇔|A |≠0⇔A ～E （即A 与单位矩阵E 等价） （3）矩阵秩的公式及结论()()()T m n R(O )0,R(A )min{m,n },R(A )R(A ),R(kA )R(A ),k 0A 0R(A )n ,R A B R A R B ⨯=≤==≠≠⇔=+≤+R ( AB ) ≤R ( A ), R ( AB ) ≤R ( B ).特别地，当A 可逆时，R(AB)=R(B)；当B 可逆时，R(AB)=R(A).()()ET A B A ~B R A R B −−→⇔⇒= 即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.7. 矩阵方程（1）设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为n ×m 矩阵，则矩阵方程AX=B 的解为1X A B -=；解法：① 求出1A -，再计算1A B -； ② ()()ERTAB E X −−−→ . 例 .设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB=C ，则矩阵X= A −1CB −18. 矩阵间的关系（1）等价矩阵：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，那么称矩阵A 与B 等价.即存在可逆矩阵P ，Q ，使得PAQ=B.性质：等价矩阵的秩相等.向量组的线性相关性1.线性组合（1）若α＝kβ，则称向量α与β成比例．2.线性相关与线性无关（1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量;单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．（3）两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例.（4）两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例.例问向量组α1=（2,3,1）, α2=（1,2,1）, α3=（3,2,1）是否线性相关？R(A)=3，这说明α1, α2, α3线性无关。