1.4.3正切函数的性质与图像12
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高中数学 1.4.3正切函数图象与性质课件 新人教A版必修4
/ 1
(3) 平移 (4) 连线
6
o1
M -11 A
o 6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
-
-
精品
6
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
y
T
x
o x (1,0) A
o x x (1,0) A
正切线AT
y
x
o x (1,0) A
T
y
T
x
o
(1,0)
，
8
，8
，4
3 ，8
(4) 连线
o
3 0 3
2 848
84 8 2
精品
9
二:性质 你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
y
1 x
-3/2 - t- -/2 0 t /2 t+ 3/2 -1
函数 定义域 值域
y=tanx
{x|xk,kZ}
2
R
周期性
T=
奇偶性
奇函数
单调性 增区间精品 (k,k)kZ
C. ( , 0 ) 6
D. ( , 0 ) 4
精品
14
合作学习
精品
15
例题分析
精品
16
例题分析
例 2 解 不 等 式 ： tanx 3
解：
y
3
0 x 32
解法1 解法2
由精图 品 x 可 k 3 知 ,k ： 2 (k 1Z 7 )
例题分析
精品
1.4.3正切函数图象与性质
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
xR
2 5 x
2
y=co
3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
y [1,1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k ,
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
2
2
正
渐
切
进 线
函
数
渐
图
进 线
像
性质 :
⑴ 定义域：
{x | x
k, k Z}
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
x
，x
2
，
2
的图像:
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
二:性质 你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
单调性 奇偶性
周期 对称性
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
xR
2 5 x
2
y=co
3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
y [1,1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k ,
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
2
2
正
渐
切
进 线
函
数
渐
图
进 线
像
性质 :
⑴ 定义域：
{x | x
k, k Z}
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
x
，x
2
，
2
的图像:
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
二:性质 你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
1.4.3正切函数的性质和图象课件.ppt
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
对称轴： x
2
k
,k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
y=cosx
y
1
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
2
值域： R
y y tan x
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
2
o 2
x 2
奇偶性： 奇函数
单调性： 在 ( k , k ) k Z
2
2
内是增函数
对称性： 对称中心是(k , 0), k Z
2
对称轴呢？
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
解：
y
3
0 x
1[1].4.3正切函数的性质和图象
![1[1].4.3正切函数的性质和图象](https://img.taocdn.com/s3/m/86799fd15fbfc77da269b1ab.png)
x
奇偶性： 奇函数 tan(－x)=－tanx
单调性： 在 (
2 2 内是增函数 k 对称性： 对称中心是 ( , 0), k Z 2
k ,
k ) k Z
对称轴呢？
3、 求函数y=sin -3x 的单调递增区间。 4 2k 2k 7 k为整数 + , + 3 4 3 12
课堂练习
1.给出四个函数: (A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)
(C)y=sin(x/2+π/6)
(D)y=tan(x+π/6)
则同时具有以下两个性质的函数是( ①最小正周期是π 称.
A
)
②图象关于点(π/6，0)对
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
2
对称轴： 对称中心：(
x k , k Z
2
k , 0) k Z
1.正切函数 y tan x 的性质：
定义域： {x | x 值域：
y
y tan x
2
k , k Z }
R
周期性： 正切函数是周期函数， 周期是
2 2Fra biblioteko 2
2
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
y
(1) x (k ,
2
y tan x
k )
k Z
(2) x k
(3) x (
k Z
k , k ) k Z
2
2
1.4.3正切函数的图像和性质
单调性及值域
渐近 线
正切曲线是被相互平行的直线 x
2
k , k Z
kZ
所隔开的无穷多支曲线组成的
单调递增区间： k , k 2 2
值域：R
思考：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？
tan1670 tan1730
y tan x在 ， 上是增函数， 2
167 173 180
0
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
0
11 13 tan( ) tan( ). 4 5
比较大小：
(1) tan138
2 T 2
T
（ 结论：f ( x ) A tan x ） （A 0， 0)的周期 T
正切函数的基本性质
奇偶性
f ( x ) sin x , x R 为奇函数 f ( x ) cos x , x R 为偶函数
f ( x) tan x，x k ，k Z 2
定义域
y tan x
终边不能落在y轴上
定义域： { x | x
2
k , k Z}
例1
求函数
y tan x 的定义域。 3 2
解：函数y tan x 的自变量应该满足 3 2 x k , k 2 3 2 1 函数的定义域为 x x 2k , k . 3
三角函数
1.4.3正切函数的性质与图象
复习回顾
1.如下图，利用三角函数线表示出角α 的正弦、 余弦、正切值？
高中数学1.4.3正切函数的性质和图象
正切函数是周期函数， 周期是
o
x
奇偶性： 单调性：
对称性：
奇函数 tan(－x)=－tanx 在 内是增函数 对称中心是
对称轴呢？
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
解：
y
o
x
例2.求函数
解：原函数要有意义，自变量x应满足 即 所以，原函数的定义域是 由于 所以原函数的周期是2. 由
解得 所以原函数的单调递增区间是
1.4.3 正切函数的性质和图像
函数 图形 定义域 值域
最值
y=sinx
1 -1
时， 时，
单调性
奇偶性 周期
对称性
奇函数
对称轴： 对称中心：
增函数 减函数
y=cosx
1
-1
时， 时，
增函数
偶函数
减函数
对称轴： 对称中心：
§1.4性质：
y
定义域： 值域： 周期性：
的定义域、周期和单调区间。
练习： P45 T3、 T4、 T5、 T6
作业： P46 T6、T7、T8、T9
1.4.3正切函数图象与性质课件
在x
1 3
k
18
,
1 3
k
5
18
上是增函数；
4、奇偶性 非奇非偶函数
5、周期性
最小正周期是
3
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
2
2
例1 求函数 y tan(x ) 的定义域。
解：令 z x ,
4
那么函数 y t4an z的定义域是：
24
令u x ;所以y tan u的单调递增区间为:
2 4 k u k ,k Z
2
2
由u 1 x 得 :
24
k 1 x k 22 4 2
y 3 tan( 1 x )的单调递减区间为:
24
2k 3 x 2k
2
2
2k x 2k 3
2
2
例4 求下列函数的周期：
•最小正周期：所有周期T中最小的正数。
3.如何利用单位圆中的正 弦线作出 正弦函数图象？
Y
y sin x, x [0,2 ]
74 3 5 11 2
63 2 3 6
O 2 5
6 3 23 6
X
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数
1.4.3正切函数图像
1.4.3 正切函数的性质与图象
函数y ＝tan x 的图象与性质
解析式
y ＝tan x
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x ≠k π＋π
2，k ∈Z
R 42
类型一 求函数的定义域
1 求下列函数的定义域：(1)y ＝1；(2)y ＝lg(3－tan x )．
【例2】 (1)函数y ＝3tan(π6－x
4)的定义域为________；
(2)函数y ＝tan(2x －π3)，x ∈(－π12，7π
24)的值域是________．
方法归纳求正切函数定义域的方法
类型二 正切函数的单调性及其应用 方向1 求正切函数的单调区间
【例1】 求函数y ＝tan(－14x ＋π
4)的单调区间． （2）求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4的单调区间．
方向2 比较大小
【例2】 比较大小：tan(－
7π4)和tan(－9π5
)．
【例4】 (1)函数y ＝tan(2x ＋π6)的最小正周期是( )A ．π B ．2π C ．π2 D ．π
6
(2)画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
的最小正周期为( ) A.π4 B.π
2 C ．π。
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2
k ,
2
k）k z
3 所以函数的单调减区间是（k ，k ）k z 4 4
4 2 3 k x k 4 4
2
k x
k
应用：比较下列每组数的大小。
(1)tan167 与tan173
解: (1) 90
五.高考链接：
1.（2007.江西，文）函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（B）
A.
4
B.
2
C.
4
D.
2
的单调增区间为 （ ） 2．(2006.全国I)函数 f ( x) tan(x ) C
A.
(k , k ) 2 2
kz
kz
B.
(k , k ) k z
解法1 解法2
例1.（2）求函数 y tan x 3 的定义域
解：
解不等式： x 3 tan
y
3
0
x
2
3
由图可知：x k , k (k Z ) 3 2
三.例题解析
例2.求函数y tan(x
4
)的单调区间 .
2
解 : y tan t的单调增区间是 - k , k , k Z
所以 x x k 且x k , k z 4 2
小结：注意正切函数y=tanx自身的定义域。
三.例题解析
例1.（2）求函数 y tan x 3 的定义域
解： 解不等式： x 3 tan y
3
T
A
0
x
由图可知：x k , k (k Z ) 3 2
4
kz
所以函数y tan(x )的定义域为 4
x x k , k Z 4
1 练：求函数 y 的定义域 tan x 1
x k tan x 1 4 解： x k x k 2 2
2
2
k x
k 4 2
3 k x k 4 4
3 函数的单调增区间是 k , k , k Z 4 4
练：求函数 y tan( x) 的单调区间 4
解：y tan( x) tan(x ) 4 4 y tan(x )的单调减区间为 4 （
0 0
o
o
11 (2) tan( ) tan , tan( 13 ) tan 2 4 4 5 5 2 又y tan x在 0， 是增函数 0 , 2 4 5 2
tan1670 tan1730
y tan x在 ， 上是增函数， 2
x
y tan x, x R,x π kπ 的是增函数？ 2. 正切函数y=tanx在其定义域上是 增函数？ 3. 正切函数y=tanx在每一个开区间
(
2
k ,
2
k ) k z上是增函数？
正切函数的性质
定义域 值 域 奇偶性
O
8 4
3 8
2
x
4
3 8
y tan x 的图像是利用平移正切线得到的，当获得 2 ， 2
上的图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
y 1
y 1
2
2
2
O
1
3 2
2
3
4
y 1
x
y tan x, x R,x π kπ 的图象:
{x x
2
k , k z}
R
奇
周期性
单调性 max & min
在(
2
k ,
2
k ) k z上单调增
无
三.例题解析
例1.(1)求函数y tan x ）的定义域. （ 4 解： 由x k k z, 4 2
可得x k
三.例题解析 例3.求下列函数的周期.
(2) y tan x
3 2
2
3 2
（1）正切函数的图像：
（2）正切函数的性质： x | x k , k Z 定义域： 2 值域：全体实数R
正切函数是周期函数， 周期性： 最小正周期T= 奇函数， 奇偶性： 正切函数在开区间 k , k , k Z 单调性： 2 内都是增函数。 2
●
x
3 2
-1
一.复习回顾
2. 诱导公式：tan(
tan )=______
tan( ) tan
二.利用正切线画出函数
y tan x x ， 的图象: 2 2
3 8
y
O1
4 8
A
8
3 8 4 8 2
三.例题解析
例3.求下列函数的周期. （1） y 3 tan(2 x
4
)
2
分析：y=sinx与y=cosx的周期为２ ，则
y A sin(x )与 y A cos(x )的周期为 ) y=tanx的周期为 ，则 y A tan(x 的周期为： T 周期T 2
3 , k ) k z 4 4
C. (k
3 , k ) 4 4
D. (k
成才之路P53—2.3.4.5.7.10
2
正切函数图象的简单画法： 三点两线法。
1 ）、 “三点”: (0,0)、（ ， ， 1 4 4
“两线”:x
2
和x
2
y
1
4
4
3 2
2
0
-1
2
3 2
x
y 1
y 1
2
2
2
O
1
3 2
2
3
4
y 1
一.复习回顾
1.正弦函数y=sinx的图象
2 3
5 6
2
3
y
6
11 6
y sin x ( x [0, 2 ])
●
● ● ● ●
1
●
7 6 4 3 5 3
7 4 3 5 11 6 6 3 2 3
2
●
2
0
6
3
2
2 3
5 6
●
●
● ● ●
正切函数的图象和性质
展示目标
1．知识与技能：通过正切函数图象探索正切函数的性质 ；以 及正切函数性质的应用. 2．过程与方法：类比正弦函数，余弦函数的图象和性质，学 习正切函数的图象和性质，从而培养学生的类比思维能力. 3．情感价值：通过正切函数图象的教学，进一步培养学生欣赏 对称美的能力，激励学生努力学好数学的信心.
167 173 180
0
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
0
2 tan tan 4 5 11 13 tan( ) tan( ). 4 5
小结：比较两个正切值大小， 关键是把相应的角化到 y=tanx的同一单调区间内， 再利用y=tanx的单调递增性 解决。