(全国版)2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例习题课件
2019版高考数学(理)第一轮复习课件：三角函数、解三角形3-3a
B.
x＋φ 2． [2018· 桂林模拟]若函数 f(x)＝sin (φ∈[0,2π])是偶 3 函数，则 φ＝( π A. 2 ) 2π 3π 5π B. C. D. 3 2 3
解析 ∵f(x)为偶函数，关于 y 轴对称，x＝0 为其对称 x＋φ π 3π 轴．∴ ＝ ＋kπ，令 x＝0，φ＝3kπ＋ ，当 k＝0 时，φ 3 2 2 3π ＝ .选 C 项． 2
解析
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， sin2x＞ 0， 2 由 得 2 － 3≤x≤3. 9－ x ≥0，
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ .∴函数 y＝lg sin2 x＋ 9－x2 2 2
π π 的定义域为－3，－ ∪0， . 2 2
板块四 模拟演练· 提能增分
[A 级
基础达标]
π f(x)＝tan 2x－ 的单调递增 3
1．[2018· 石家庄模拟]函数 区间是( )
kπ π kπ 5π A. － ， ＋ (k∈ Z) 2 12 2 12 kπ π k π 5π B. － ， ＋ (k∈ Z) 2 12 2 12 π 2π C.kπ＋ ，kπ＋ (k∈ Z) 6 3 π 5π D.kπ－ ，kπ＋ (k∈ Z) 12 12
)
π 5π C. ， 6 3
解析
π π π ∵y＝2sin －2x＝－2sin 2x－ ，由 ＋2kπ≤2x 6 2 6
π 3π π 5π － ≤ ＋2kπ，k∈Z，解得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，即函 6 2 3 6
π 5π 数的增区间为 ＋kπ， ＋kπ ， k∈ Z，∴当 6 3 π 5π 间为 ， . 3 6
近年届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课堂达标22正弦定理和余弦定理及应用文新人教版(20
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课堂达标（二十二) 正弦定理和余弦定理及应用[A基础巩固练］1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10,则c等于（)A．5错误!B．10错误!C.错误!D．5错误![解析]由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得错误!＝错误!，即错误!＝错误!,∴c＝错误!。
[答案]C2．（2017·山东）在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B（1＋2cos C）＝2sin A cos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是（）A．a＝2b B．b＝2aC．A＝2B D．B＝2A［解析］sin（A＋C)＋2sin B cos C＝2sin A cos C＋cos A sin C,所以2sin B cos C＝sin A cos C⇒2sin B＝sin A⇒2b＝a，选A。
[答案]A3.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°,∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（）A．5错误!B．15错误!C．5错误!D．15错误![解析]在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°。
全国版2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象和性质课件共50页
【变式训练 1】 (1)函数 y＝ 2sinx－1的定义域为 ()
A.π6，56π B.2kπ＋π6，2kπ＋56π(k∈Z) C.2kπ＋π6，2kπ＋56π(k∈Z) D.kπ＋6π，kπ＋56π(k∈Z)
解析
由
2sinx－1≥0， 得
sinx≥
1 2
，
所
以
2kπ
＋
π 6
≤x≤2kπ＋56π(k∈Z)．
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
[必会结论] 1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周 期为 T＝|2ωπ|，函数 y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 T＝|ωπ|. 2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称 轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距 离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周 期． 3．三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asinωx 或 y＝ Atanωx 的形式，而偶函数一般可化为 y＝Acosωx＋b 的形式．
(2)求解三角函数的值域(最值)，首先把三角函数化为 y ＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令 t＝sinx，或 t＝sinx±cosx)化为关于 t 的二次函数求值域(最 值)．
(3)换元法的应用：把 sinx 或 cosx 看作一个整体，转化 为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题．此时注意所 换元的取值范围．
解析 对称中心的横坐标满足 2x＋π4＝kπ，解得 x＝－
π8＋k2π，k∈Z.当 k＝1 时，x＝38π，y＝1.故选 B.
5．[课本改编]函数 y＝tanπ4－x的定义域是(
2019届高考数学(文)大一轮：第3章 三角函数、解三角形 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式sin(α±β)＝________， cos(α±β)＝________， tan(α±β)＝________. 2．公式变形(1)tan α±tan β＝________.(2)函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .答案1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．(1)tan(α±β)(1∓tan αtan β)1．sin75°的值为________．解析：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋242．已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是____. 解析：∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.答案：4－33103．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°) ＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 答案： 3知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式 sin2α＝________.cos2α＝________＝________＝________. tan2α＝________. 2．有关公式的逆用、变形等(1)cos 2α＝________，sin 2α＝________. (2)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 答案1．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 2.(1)1＋cos2α2 1－cos2α24．计算：tan7.5°1－tan 27.5°＝________. 解析：tan7.5°1－tan 27.5°＝12×2tan7.5°1－tan 27.5° ＝12tan15°＝12tan(45°－30°) ＝12×tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝12×1－331＋33＝2－32. 答案：2－325．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin2x ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0)，则A ＝________，b ＝________. 解析：由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 1热点一 三角公式的正用与逆用【例1】 (1)化简：＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：sin50°(1＋3tan10°)．【解】 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos 60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin 15°sin8°的值；(2)求tan20°＋4sin20°的值． 解：(1)原式 ＝－＋cos15°sin8°－－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3. (2)原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝－＋＋cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝332cos10°＋12sin10°cos20°＝3－cos20°＝ 3.热点二 三角函数式求值 考向1 给值求值【例2】 已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．【解】 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.1．在本例条件下，求sin(α－2β)的值． 解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.2．若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．解：∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝35－131＋35×13＝29.考向2 给值求角【例3】 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【解】 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15C ．－15D ．－725(2)已知cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值． 解析：(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D. (2)解：∵π<α<3π2，3π2<α＋β<2π，∴0<β<π.又cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝17226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－22，且0<β<π，所以β＝3π4.答案：(1)D热点三 三角恒等变换的综合应用 【例4】 (2016·天津卷)已知函数 f(x)＝4tanxsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性． 【解】 (Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋k π，k ∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sinxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosx ＋32sinx － 3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(Ⅱ)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x－π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z}，易知A∩B＝[－π12，π4]．所以，当x ∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解：(1)f(x)＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.因此2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)．三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心．本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升．策略1 从角入手，寻找关系好解题解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半．【例1】 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α＝________. 【解析】 解法1：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝35，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①可得cos 2α＝13⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋652，代入②并整理得100sin 2α＋60sin α－39＝0， 解得sin α＝43－310，或sin α＝－43＋310(舍)．解法2：因为α为锐角，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝43－310.【答案】43－310【点评】 不少同学习惯用解法1，却往往因运算量大而出现了各种问题；解法2抓住了α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6这一关系，减少了运算量，使求解轻松简捷． 策略2 从函数名入手，化切为弦助解题在有关三角函数的题目中，当正弦(余弦)与正切“相遇”时，可采用化切为弦的方法，即将正切转化为正弦(余弦)．【例2】 求1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.【解】 因为1tan5°－tan5°＝cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos 25°－sin 25°sin5°cos5°＝2cos10°sin10°， 所以原式＝2cos 210°4sin10°cos10°－sin10°·2co s10°sin10°＝cos10°2sin10°－sin20°sin10°＝cos10°2sin10°－－sin10° ＝cos10°2sin10°－cos10°－3sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32. 策略3 从结构入手，存同化异探思路三角恒等变换中的公式较多，每个公式都有其固有的结构．解题时要善于从结构入手，存同化异，寻求结构形式的统一．【例3】 (1)已知3sin β＝sin(2α＋β)，α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)已知cosxcosy ＝12，求sinxsiny 的取值范围． 【解】 (1)证明：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，整理可得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α. 因为α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)， 所以cos(α＋β)·cos α≠0，则有tan(α＋β)＝2tan α.(2)设p ＝sinxsiny ，则cos(x －y)＝cosxcosy ＋sinxsiny ＝12＋p ，cos(x ＋y)＝cosxcosy －sinxsiny ＝12－p. 因为|cos(x±y)|≤1， 所以－1≤12＋p≤1，且－1≤12－p≤1， 解得－12≤p≤12. 【点评】 题(1)由条件向结论靠拢，从统一角的结构入手，顺利完成解题；题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想，寻找解题突破口，亦成功解题．这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法．策略4 “先化简后求值”与“先局部后整体”“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型，这里将其引申为一种解题策略．这种策略能简化解题过程，有事半功倍之功效；“先局部后整体”，则与之相反，虽其方法略显笨拙，但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度，且解题方向明确，也是一个不错的思路．【例4】 已知0<x<π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，求 cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值． 【解】 解法1(先化简后求值)： 原式＝cos 2x －sin 2x22－＝2(cosx ＋sinx)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则原式＝21－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 解法2(先局部后整体)：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513. 下面从两个角度求cos2x ：角度1：cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ； 角度2：cos2x ＝cos 2x －sin 2x ＝(cosx －sinx)·(cosx＋sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213， 故cos2x ＝2×513×1213＝120169. 所以cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝120169÷513＝2413. 【点评】 采用“先化简后求值”解题简捷流畅，采用“先局部后整体”解题思路简单，条理清晰．两种方法各有千秋，都是值得我们重视的好方法.。
19版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.3三角函数的图象与性质课件文
长沙一模)函数 典例1 (2017· 2π]的单调递增区间是(
π 5π － ， A. 3 3 5π C. 3 ，2π
)
π － 2π ，－ B. 3 5π π D.－2π，－3和 3 ，2π
经典题型冲关
题型 1
三角函数的定义域和值域
2 函数 f ( x ) ＝ 64 － x ＋log2(2sinx－1)的定义域是 典例1
π 13π 11π 7π 5π － ，－ ， ， 8 ∪ ∪ 6 6 6 6 6 ______________________________________ ．
2．教材衍化 (1)(必修 A4P46T2)函数 f(x)＝(1＋ 3tanx)cosx 的最小正 周期、最大值为( ) π C．π，2 D.2， 3 3π A．2π，2 B. 2 ， 3
解析
cosx＋ 3sinx f(x) ＝ (1 ＋ 3 tanx)cosx ＝ · cosx ＝ cosx T＝2π.最大值为 2.故选 A.
π sin2x－4∈ －
π π 2 2 x － 0 ， ，故函数 f ( x ) ＝ sin 在区间 ， 1 4 2 2
2 上的最小值为－ 2 .故选 B.
(2)函数
x π y＝ta3． 3
三角函数的图象与性质
基础知识过关
[知识梳理] 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：
π 3π (0,0)，2，1，(π，0)， 2 ，－1 ，(2π，0)．
2019版高考数学(理)第一轮复习课件：三角函数、解三角形3-7a
解析 由题意可知，∠CAB＝60° ，∠CBA＝75° ，所以 10 BC ∠C＝45° ，由正弦定理得sin45° ＝sin60° ，所以 BC＝5 6.
3. 如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的 距离都等于 a km， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° ， 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° ， 则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )
5. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d＝0.6 km，一 艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB＝1 km，水的流速为 2 km/h， 若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min， 则客船在静水中的速h
B．6 2 km/h D．10 km/h
10. 如图， 在海岸 A 处发现北偏东 45° 方向， 距 A 处( 3 －1)海里的 B 处有一艘走私船．在 A 处北偏西 75° 方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3海里/小时的速 度追截走私船， 此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处 向北偏东 30° 方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最 快截获走私船？并求出所需时间．
2．[2018· 武汉模拟]海面上有 A，B，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile，从 A 望 C 和 B 成 60° 视角，从 B 望 C 和 A 成 75° 视角，则 BC＝( A．10 3 n mile C．5 2 n mile ) 10 6 B. 3 n mile D．5 6 n mile
板块四 模拟演练· 提能增分
[A 级
基础达标]
1．已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的 距离为 20 km，现测得∠ABC＝120° ，则 A，C 两地间的距 离为( ) B．10 3 km D．10 7 km A．10 km C．10 5 km
近年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时达标22正弦定理和余弦定理(2021年整理)
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第22讲正弦定理和余弦定理［解密考纲]本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，判断三角形的形状,求三角形的面积等。
三种考查内容均有呈现，一般排在选择题、填空题的中间位置或解答题靠前的位置,题目难度中等偏易.一、选择题1．在△ABC中，三内角A,B，C的对边分别为a，b，c.若a＝1，b＝3，A＝错误!，则B＝（B）A．错误!B．错误!或错误!C．错误!或错误!D．错误!解析根据正弦定理错误!＝错误!，得错误!＝错误!,∴sin B＝错误!，∴B＝错误!或错误!.2．在△ABC中，若AB＝2,AC2＋BC2＝8，则△ABC面积的最大值为( C) A． 2 B．2C．错误!D．3解析∵AC2＋BC2≥2AC·BC,∴AC·BC≤4。
∵cos C＝错误!＝错误!，∴cos C≥错误!，∴0°〈C≤60°。
∵S＝错误!AC·BC·sin C，∴由不等式的性质可知当AC＝BC＝2时，面积S有最大值,S max＝错误!×2×2×错误!＝错误!,故选C．3．在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝105°，BC＝2，则边长AC为（B）A．错误!－1 B．1C．2 D．错误!＋1解析根据题意有∠B＝180°－105°－45°＝30°，根据正弦定理错误!＝错误!，得AC＝错误!＝1,故选B．4．在△ABC中，AC＝错误!，BC＝2，B＝60°,则BC边上的高等于（B) A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析设AC＝b,BC＝a，AB＝c，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得7＝4＋c2－2c,解得c＝3。
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件理
(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是 灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、 通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x ＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.
第八页，共45页。
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意 的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成 立．( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小关系不 确定．( × ) (4)公式 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ可以变形为 tanα＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角 α，β 都成立．( × )
第二十页，共45页。
冲关针对训练
已知锐角 α，β 满足 sinα＝ 55，cosβ＝31010，则 α＋β
等于( )
3π A. 4
B.π4或34π
π C.4
D．2kπ＋π4(k∈Z)
第二十一页，共45页。
解析 由 sinα＝ 55，cosβ＝31010，且 α，β 为锐角，可
知 cosα＝255，sinβ＝ 1100，
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－m 在0，π2上有两个不同的零点 x1，x2，求实数 m 的取值范围，并计算 tan(x1＋x2)的值．
本题采用转化法、数形结合思想．
第二十三页，cosx＋ 3， 化简可得 f(x)＝2sinxcosx－2 3cos2x＋ 3 ＝sin2x－2 312＋21cos2x＋ 3 ＝sin2x－ 3cos2x ＝2sin2x－π3.
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解析
由题意可知，∠CAB＝60° ，∠CBA＝75° ，所以
10 BC ∠C＝45° ，由正弦定理得 ＝ ，所以 BC＝5 6. sin45° sin60°
3.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的 距离都等于 a km， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° ， 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° ， 则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )
7 AC 的长为________km.
解析
∵ 82 ＋ 52 － 2×8×5×cos(π － D) ＝ 32 ＋ 52 －
1 2×3×5×cosD，∴cosD＝－ .∴AC＝ 49＝7(km)． 2
8.[2018· 河南调研]如图， 在山底 A 点处测得山顶仰角∠ CAB＝45° ，沿倾斜角为 30° 的斜坡走 1000 米至 S 点，又测 1000 米． 得山顶仰角∠DSB＝75° ，则山高 BC 为________
2×10×20×cos120° ＝700， ∴AC＝10 7(km)．
2．[2018· 武汉模拟]海面上有 A，B，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile，从 A 望 C 和 B 成 60° 视角，从 B 望 C 和 A 成 75° 视角，则 BC＝( A．10 3 n mile C．5 2 n mile ) 10 6 B. n mile 3 D．5 6 n mile
解析
设 AB 与河岸线所成的角为 θ，客船在静水中的
0.6 3 4 速度为 v km/h，由题意知，sinθ＝ ＝ ，从而 cosθ＝ ，所 1 5 5
1 1 1 4 2 2 2 以由余弦定理得 v ＝ ×2 ＋1 －2× ×2×1× ，解 10 5 10 10
10.如图，在海岸 A 处发现北偏东 45° 方向，距 A 处( 3 －1)海里的 B 处有一艘走私船．在 A 处北偏西 75° 方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3海里/小时的速 度追截走私船， 此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处 向北偏东 30° 方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最 快截获走私船？并求出所需时间．
5.如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d ＝0.6 km，一 艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB＝1 km，水的流速为 2 km/h ，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用 的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/h C．2 34 km/h
B．6 2 km/h D．10 km/h
得 v＝6 2.
6.如图，某工程中要将一长为 100 m，倾斜角为 75° 的 斜坡改造成倾斜角为 30° 的斜坡，并保持坡高不变，则坡底 100 2 需加长________m.
解析
100 设坡底需加长 x m，由正弦定理得 ＝ sin30°
x ，解得 x＝100 2. sin45°
7.如图，为了测量 A，C 两点间的距离，选取同一平面 上 B，D 两点，测出四边形 ABCD 各边的长度(单位：km)： AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B 与∠D 互补，则
解
(1)∵CD 为铅垂线方向，点 D 在顶端，∴CD⊥AB.
又∵α＝45° ，∴CD＝AC＝4. (2)在△ABD 中，α＋β＝53° ＋30° ＝83° ，AB＝AC＋CB ＝ 4＋6＝10，∴∠ADB＝180° －83° ＝97° ， AD AB ABsinβ 10sin30° ∴由 ＝ 得 AD ＝ ＝ ＝ sin97° sinβ sin∠ADB sin∠ADB 5 ≈5. sin97° 在△ ACD 中， CD2＝ AD2＋ AC2－ 2AD· ACcosα＝ 52＋42 －2×5×4×cos53° ≈17.
解
设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获
A．a km C. 2a km
B. 3a km D．2a km
解析
在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－
2AC· BC· cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos120° ＝3a2， 故|AB|＝ 3a.
4．[2018· 临沂质检]在 200 m 高的山顶上，测得山下一 塔顶与塔底俯角分别为 30° 、60° ，则塔高为( 400 A. m 3 200 3 C. m 3 400 3 B. m 3 200 D. m 3 )
解析 如图，由已知可得∠BAC＝30° ， ∠ CAD ＝ 30° ，∴∠ BCA＝ 60° ，∠ ACD ＝30° ，∠ADC ＝120° ，
400 3 又 AB＝200，∴AC＝ . 3 在△ACD 中，由正弦定理，得 AC DC AC· sin30° 400 ＝ ，即 DC＝ ＝ (m)． sin120° sin30° sin120° 3
解析
由题图知∠ BAS ＝ 45° －30° ＝15° ，∠ ABS ＝ 45°
－(90° －∠DSB)＝30° ，∴∠ASB＝135° ，在△ABS 中，由正 1000 AB AB 弦定理可得 ＝ ，∴AB＝1000 2，∴BC＝ ＝ sin30° sin135° 2 1000(米)．
9.[2018· 山西监测]如图，点 A，B ，C 在同一水平面上， AC＝4，CB＝6.现要在点 C 处搭建一个观测站 CD，点 D 在 顶端． (1)原计划 CD 为铅垂线方向，α＝45° ，求 CD 的长； (2)搭建完成后，发现 CD 与铅垂线方向有偏差，并测 得 β＝30° ，α＝53° ，求 CD2.(结果精确到 1) (本题参考数据：sin97° ≈1，cos53° ≈0.6)
板块四 模拟演练· 提能增分
[A 级
基础达标]
1．已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B ，C 两地间的 距离为 20 km，现测得∠ABC＝120° ，则 A，C 两地间的距 离为( ) B．10 3 km D．10 7 km A．10 km C．10 5 km
解析Biblioteka 如图所示，由余弦定理可得： AC2＝100＋400－