排列组合典型例题

典型例题一之马矢奏春创作

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下

的九个数字中任选3

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字

∴没有重复数字的四位偶数有

典型例题二

例2三个女生和五个男生排成一排

（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种分歧的排法？

（2）如果女生必须全分开，可有多少种分歧的排法？

（3）如果两端都不克不及排女生，可有多少种分歧的排法？

（4）如果两端不克不及都排女生，可有多少种分歧的排法？

解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，

法．

（2）（插空法）要包管女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生拔出这六个位置中，只要包管每个位置至多拔出一个女生，就能包

法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三

（3）解法1：（位置分析法）因为两端不克不及排女生，所

以两端只能挑选5个男生中的2

中的任意一种排法，其余六位都有排法，所以共有

（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排

6

歧的排法，这样可有种分歧排法．因此共有

解法2：3个女生和5

数．

典型例题三

例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？

（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

解：（1）先排歌唱节目有55A 种，歌唱节目之间以及两端共有6

个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有46A 中方法，所以任两个

舞蹈节目不相邻排法有：55A 46A ＝43200.

（2）先排舞蹈节目有44A 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共

有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节

目间隔排列的排法有：44A 55A ＝2880种方法。

典型例题四

例4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后

一节不排数学，那么共有多少种分歧的排课程表

的方法．

分析与解法1：6六门课总的排法是66A ，其中不符合要求的可

分为：体育排在第一书有55A 种排法，如图中Ⅰ；数学排在最后一

节有55A 种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包含体育排在第一

书数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有44A 种排法，因此符

合条件的排法应是：

5042445566=+-A A A （种）．

典型例题五

例5 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1

位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？

分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入．因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．

解：3名司机安插到3辆车中，有633=A 种安插方法；第二步把3名售票员安插到3辆车中，有633=A 种安插方法．故搭配方案共有

363333=⋅A A 种． 典型例题六

例6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种分歧的填表方法？

解：填表过程可分两步．第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加排列，共有3

4A 种分歧的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含

232323A A A ⋅⋅种．综合以上两步，由分步

计数原理得分歧的填表方法有：518423232334=⋅⋅⋅A A A A 种． 典型例题七

例5 7名同学排队照相．

(1)3人，后排4人，有多少种分歧的排

法？

(2)

排，乙必须在后排，有多少种分歧的排法？

(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种分歧的排法？

(4)

及相邻，有多少种不面的排法？

解：

(2)

(3)

(4)

典型例题八

例8

位数，求所有三位数的和．

解：形如的数共有24A 个，当这些数相加时，由“2”发生的和是224⋅A ；形如的数也有24A 个，当这些数相加时，由

“2”发生的和是10224⋅⋅A ；形如的数也有24A 个，当这些数相

2”发生的和应是100224⋅⋅A ．这样在所有三位数的和

中，由“2”发生的和是111224⋅⋅A ．同理由6543、、、

发生的和分别是111324⋅⋅A ，111424⋅⋅A ，111524⋅⋅A ，111624⋅⋅A ，因此所有三位数的和是26640)65432(11124=++++⋅⋅A ．

典型例题九

例9 计算下列各题：

(1)215A ； (2)66A ； (3)1111------⋅n n m n m

n m n A A A ；

(4)!!33!22!1n n ⋅++⋅+⋅+ (5)!1!

43!32!21n n -++++ 解：(1)2101415215=⨯=A ；(2)720123456!666=⨯⨯⨯⨯⨯==A ;

(3)

原式!)1(1!)(]!)1(1[!)1(-⋅-⋅----=n m n m n n 1!)1(1!)(!)(!)1(=-⋅-⋅--=n m n m n n ；

(4)原式]!!)1[()!3!4()!2!3()1!2(n n -+++-+-+-= 1!)1(-+=n ；

(5)∵!

1!)1(1!1n n n n -

-=-，∴!1!43!32!21n n -++++ !11!1!)1(1!41!31!31!21!21!11n n n -=--++-+-+-= ．

本题计算中灵活地用到下列各式：

!)1(!-=n n n ；!!)1(!n n nn -+=；!1!)1(1!1n n n n --=-；使问题解得简

单、快捷．

典型例题十

例

正确的说明理由．

2

占据第5

6个位置中选4

确．

6

的算式是对的．

说明：

典型例题十一

例11八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安插法子？

解法1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况．应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步调，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：

种)．

解法2：采纳“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法．把“甲坐在第一排的八人坐法数”看成“总方法数”，这个

种)．

说明：解法2可在学完组合后回过头来学习．

典型例题十二

例12计划在某画廊展出10幅分歧的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，而且不彩画不放在两端，那么分歧陈列方式有（）．

A B C D

解：将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两

4幅油画、5幅国画自己还有排列顺序要

∴应选D．

说明：关于“若干个元素相邻”的排列问题，一般使用“捆绑”法，也就是将相邻的若干个元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后，再“松绑”，将被“捆绑”的若干元素，内部进行全排列．本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的问题．

典型例题十三

例13

位数字小于十位数的个数共有（）．

A．210 B．300 C．464 D．600

解法1：

解法2：

个)．

∴应选B．

说明：(1)直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦，这时应考虑能否用间接法来解．

(2)“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六位数个数一样多，即各占全部六位数的一半，同类问题还有6个人排队照像时，甲必须站在乙的左侧，共有多少种排法．

典型例题十四

例14

数，其中偶数共有（）．

A．24个B．30个C．40个D．60个

分析：本题是带有附加条件的排列问题，可以有多种思考方法，可分类，可分步，可利用概率，也可利用本题所提供的选择项分析判断．

解法1：分类计算．

将符合条件的偶数分为两类．一类是2

另一类是4

解法2：分步计算．

解法3：按概率算．

解法4：利用选择项判断．

典型例题十五

例15(1)

(2)的个位数字．

分析：本题如果直接用排列数公式计算，在运算上比较困难，现在我们可以从和式中项的特点以及排列数公式的特点两方面考

虑．在(1)

(2)5和2，积的个位数为0，在加法运算中可不考虑．

解：(1)

(2)0，

数字相同．

3．

说明：对排列数公式特点的分析是我们解决此类问题的关键，比方：求证：

典型例题十六

例16

数，(1)(2)可以组成多少

解：(1)

个)

个)

个)．

(2)

取法：、、、、、、

个)，如果用后四组，共有

个)个)．

典型例题十七

例17

法？

分析：对于空位，我们可以当成特殊元素对待，设空座梯形依

的另一考虑是，对于两相邻空位可以用合并法看成一个元素与另

邻．

解答一：就两相邻空位的位置分类：

种)坐法．

种)

种)．

解答二：

种)分歧坐法．

解答三：

种)．