(完整版)等差、等比数列的判断和证明

等差、等比数列的判断和证明
一、 1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差
等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). 2、
等差数列的判断方法：
①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。

②中项法：等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且
2
a b
A +=。

a a a n n n 212+++=⇔{}a n 为等差数列。

③通项公式法：等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

公式变形为:b an a n +=. 其中a=d, b= a 1－d.
b an a n +=（a,b 为常数）⇔{}a n 为等差数列。

④前n 项和公式法：等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)
2
n n n S na d -=+。

公式变形为Sn=An 2+Bn 其中A=
2
d ，B=2
1d
a -
. Bn n A s n +=2（A,B 为常数）⇔{}a n 为等差数列。

3.等差数列的性质：
（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；
前n 项和211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）对称性：若{}a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=
(4) ①项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),,...(,,*2N m k a a a m k m k k ∈++成等
差，公差为md ；②若{}n a 是等差数列，则﹛ka n +p ﹜(k 、p 是非零常数)为等差数列，公差为kd.③若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)为等差数列，公差为kd 1+pd 2 （d 1、d 2 分别为{}n a 、{}n b 的公差）④
232,,n n n n n S S S S S -- 也成等差数列.⑤{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且
0n a >，则{lg }n a 是等差数列.
（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时， )(1a a n n n n s ++=；nd s s =-奇偶；
a a n n s s 1+=
奇偶. 当项数为奇数21n -时， a n n n s )12(12-=-；a s s 1-=-奇偶 ；n
n s s 1
-=奇偶（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列，eg ：a 1，a 3，a 5…构成等差数列，a 1+a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9…也构成等差数列.
二、1、等比数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，即
)2,(*1
≥∈=-n n q N a a n n
2、等比数列的判断方法： ①定义法：
1
(n n
a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠⇔{}a n 为等比数列。

②中项法：如果a 、G 、
b 三个数成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，即G=ab ±.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项。

a n 2=a n-12a n+12（n ∈N *，n ≥2）⇔{}a n 为等比数列。

③通项公式法：等比数列的通项：11n n a a q -=或n m
n m
a a q -= an=Aq n
⇔{}a n 为等差数列。

④前n 项和法：等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，
1(1)1n n a q S q -=-11n a a q q
-=-=Aq n -A
Sn=Aq n -A ⇔{}a n 为等差数列。

特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。

3、等比数列的性质：﹛ a n ﹜是公比为q 的等比数列
（1）对称性：若{}a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当m n p q +=+时，则有q p n m a a a a ..=，特别地，当2m n p +=时，则有2
.p n m a a a =.
(2) 单调性：若10,1a q >>，或10,01a q <<<则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>,或10,01a q ><< 则{}n a 为递减数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.
（3）①﹛λa n ﹜(λ不等于0) 公比=q ； 若﹛b n ﹜公比为q 1
则②﹛a n b n ﹜公比为q q 1 ③﹛1/a n ﹜公比为1/q ④﹛an ﹜公比为q
（4）在数列{}n a 中，每隔k 项（k ∈ N *）取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，公比为q k+1
（5）在数列{}n a 中，相邻k 项的和或积构成公比为q k 或q k2的等比数列 方法1：定义法
Eg ：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0 (n ≥2)，a 1＝1
2
.
(1)求证：⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫1S n 为等差数列；
(2)求a n 的表达式．
解析：(1)证明 ∵an＝Sn －Sn －1 (n≥2)，an ＋2Sn·Sn－1＝0 (n≥2)，
∴Sn－Sn －1＋2Sn·Sn－1＝0.
∵Sn≠0，∴1Sn －1
Sn －1
＝2 (n≥2)．
由等差数列的定义，可知⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫1Sn 是以1S1＝1
a1＝2为首项，以2为公差的等差数列．
由(1)，知1S n ＝1
S 1
＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，
∴S n ＝1
2n
.
当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－
1
2n
n －1
；
当n ＝1，a 1＝1
2，不满足上式，
故a n
＝⎩⎪⎨
⎪⎧
12
n ＝1，－12n
n －1
n ≥2.
方法2：等差、等比中项法
Eg ：已知数列{cn}，其中cn=2n+3n ，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p 解析：
=，
即
，
整理得，
， 解得p=2或p=3．。