2020-2020学年合肥市瑶海区九年级上期中数学试卷及答案解析
2020-2020学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．已知，则的值为（）A．2.5 B．C．D．2．把抛物线y=2x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线的解析式为（）A．y=2（x+2）2+1 B．y=2（x+2）2﹣1 C．y=2（x﹣2）2﹣1 D．y=2（x﹣2）2+1 3．若b＜0，则二次函数y=x2﹣bx﹣1的图象的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（）A．y=x+1 B．y=x2﹣1 C．D．y=﹣（x﹣1）2+1 5．已知反比例函数的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．6．一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第3.3s B．第4.3s C．第5.2s D．第4.6s7．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（）A．若y1=y2，则x1=x2 B．若x1=﹣x2，则y1=﹣y2C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y28．已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣x2y1的值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．0 D．39．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最小值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．910．某公司要在如图所示的五角星（∠A=∠D=∠H=∠G=∠E=36°，AB=AC=CE=EF=FG=GI=HI=HK=DK=DB）中，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，若BC=（﹣1）米，则需要安装闪光灯（）A．79盏B．80盏C．81盏D．82盏二、填空题11．相同时刻的物高与影长成比例，已知一电线杆在地面上的影长为30m，同时，高为1.2m 的测竿在地面上的影长为2m，则可测得该电线杆的长是m．12．已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．13．若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0）且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜c；②b2﹣4ac＞﹣8a；③4a+c ＜0；④2a﹣b+1＜0．其中正确结论是（填写序号）．三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知a：b：c=2：3：4，且2a+3b﹣2c=10，求a﹣2b+3c的值．16．已知二次函数y=﹣0.5x2+4x﹣3.5（1）用配方法把该函数化为y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求函数图象与x轴的交点坐标．四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．18．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）19．已知抛物线y=﹣x2+2x+2．（1）该抛物线的对称轴是，顶点坐标；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；xy（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．20．已知函数y=x2﹣mx+m﹣2．（1）求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；（2）若函数y有最小值﹣，求函数表达式．六、（本题满分12分）21．如图，反比例函数与一次函数y2=kx+b的图象交于两点A（1，3）、B（n，﹣1）．（1）求这两个函数的解析式；（2）观察图象，请直接写出不等式的解集；（3）点C为x轴正半轴上一点，连接AO、AC，且AO=AC，求△AOC的面积．七、（本题满分12分）22．如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O、A两点相距8米．（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点？八、（本题满分14分）23．2020年9月19日第九届合肥文博会开幕．开幕前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…20 30 40 50 60 …每天销售量（y件）…500 400 300 200 100 …（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）开幕后，合肥市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过38元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？2020-2020学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知，则的值为（）A．2.5 B．C．D．【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】利用比例的性质，由得到b=a，然后把b=a代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵，∴b=a，∴==．故选B．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．2．把抛物线y=2x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线的解析式为（）A．y=2（x+2）2+1 B．y=2（x+2）2﹣1 C．y=2（x﹣2）2﹣1 D．y=2（x﹣2）2+1 【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先得到抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为y=2（xx+2）2+1．【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的点的坐标为（﹣2，1），所以平移后的抛物线的解析式为y=2（xx+2）2+1．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．若b＜0，则二次函数y=x2﹣bx﹣1的图象的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】只需运用顶点坐标公式求出顶点坐标，然后根据b＜0就可确定顶点所在的象限．【解答】解：二次函数y=x2﹣bx﹣1的图象的顶点为（﹣，），即（，），∵b＜0，∴＜0，＜0，∴（，）在第三象限．故选C．【点评】本题主要考查了二次函数图象的顶点坐标公式、象限点的坐标特征等知识，运用顶点坐标公式是解决本题的关键．4．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（）A．y=x+1 B．y=x2﹣1 C．D．y=﹣（x﹣1）2+1 【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．【分析】反比例函数、二次函数的增减性都有限制条件（即范围），一次函数当一次项系数为负数时，y随着x增大而减小．【解答】解：A、函数y=2x+1的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；B、函数y=x2﹣1，当x＜0时，y随着x增大而减小，当x＞0时，y随着x增大而增大，故本选项错误；C、函数y=，当x＜0或x＞0时，y随着x增大而减小，故本选项正确；D、函数y=﹣（x﹣1）2+1，当x＜1时，y随着x增大而增大，当x＞1时，y随着x增大而减小，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性．关键是明确各函数的增减性的限制条件．5．已知反比例函数的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．【分析】根据反比例函数图象确定出k＜0，然后确定出二次函数的开口方向和对称轴以及二次函数与y轴的交点位置，从而得解．【解答】解：∵反比例函数图象在第二四象限，∴k＜0，∴二次函数图象开口向下，抛物线对称轴为直线x=﹣＜0，∵k2＞0，∴二次函数图象与y轴的正半轴相交．纵观各选项，只有D选项图象符合．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，根据k的取值范围求出二次函数开口方向、对称轴和与y轴的正半轴相交是解题的关键．6．一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第3.3s B．第4.3s C．第5.2s D．第4.6s【考点】二次函数的应用．【分析】由炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等可知这两点关于对称轴对称，故此可求得求得抛物线的对称轴．【解答】解：∵炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴方程为x=4.5．∵4.6s最接近4.5s，∴当4.6s时，炮弹的高度最高．故选：D．【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，利用抛物线的对称性求得对称轴方程是解题的关键．7．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（）A．若y1=y2，则x1=x2 B．若x1=﹣x2，则y1=﹣y2C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由于抛物线y=x2﹣1的图象关于y轴对称，开口向上，分别判断如下：若y1=y2，则x1=﹣x2；若x1=﹣x2，则y1=y2；若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2；若x1＜x2＜0，则y1＞y2．【解答】解：A、若y1=y2，则x1=﹣x2；B、若x1=﹣x2，则y1=y2；C、若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2；D、正确．故选D．【点评】本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数图象的性质．8．已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣x2y1的值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．0 D．3【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题．【分析】由于正比例函数和反比例函数图象都是以原点为中心的中心对称图形，因此它们的交点A、B关于原点成中心对称，则有x2=﹣x1，y2=﹣y1．由A（x1，y1）在双曲线上可得x1y1=3，然后把x2=﹣x1，y2=﹣y1代入2x1y2﹣x2y1的就可解决问题．【解答】解：∵直线y=kx（k＞0）与双曲线都是以原点为中心的中心对称图形，∴它们的交点A、B关于原点成中心对称，∴x2=﹣x1，y2=﹣y1．∵A（x1，y1）在双曲线上，∴x1y1=3，∴2x1y2﹣x2y1=2x1（﹣y1）﹣（﹣x1）y1=﹣x1y1=﹣3．故选A．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数及反比例函数图象的对称性等知识，得到A、B关于原点成中心对称是解决本题的关键．9．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最小值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．9【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】探究型．【分析】根据二次函数y=ax2+bx的图象可知，开口向下，a＜0，二次函数有最大值y=3，知，一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，知b2﹣4am≥0，从而可以解答本题．【解答】解：∵由二次函数y=ax2+bx的图象可知，二次函数y=ax2+bx的最大值为：y=3，∴．∴．∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴b2﹣4am≥0．∵二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，∴a＜0．∴m≥．∴m≥﹣3．即m的最小值为﹣3．故选项A正确，选项B错误，选项C错误，选项D错误．故选A．【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是明确它们之间的关系，灵活变化，找出所求问题需要的条件．10．某公司要在如图所示的五角星（∠A=∠D=∠H=∠G=∠E=36°，AB=AC=CE=EF=FG=GI=HI=HK=DK=DB）中，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，若BC=（﹣1）米，则需要安装闪光灯（）A．79盏B．80盏C．81盏D．82盏【考点】解直角三角形的应用．【分析】本题需要求出五角星的边长，即求出AB的长．由于五角星是由正五边形各边的延长线相交所得，不难求出∠A和∠ABC、∠ACB的度数．在等腰△ABC中，根据BC的长和∠ABC的度数，可求出AB的长．即可求出五角星的周长，由此可求出需安装闪光灯的数量．【解答】解：如图：∵∠ABC是△BHE的外角，∴∠D+∠H=∠ABC，∵∠ABC=2∠D，∠ACB=2∠D，∠A=∠D，则：5∠A=180°，∠A=36°，∠ABC=72°．∴AB=÷cos72°=2，∴AB+BE+EF+FH+HK+KJ+JG+GD+DC+CA=20m=2000cm，则需安装闪光灯：2000÷25=80盏．故选B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识．解题的关键是能够得到AB的长．二、填空题11．相同时刻的物高与影长成比例，已知一电线杆在地面上的影长为30m，同时，高为1.2m 的测竿在地面上的影长为2m，则可测得该电线杆的长是18m．【考点】相似三角形的应用．【专题】探究型．【分析】设电线杆高是xm，根据在同一时刻物高与影长成正比列出关于x的方程，求出x 的值即可．【解答】解：设电线杆高是xm，则∵电线杆在地面上的影长为30m，高为1.2m的测竿在地面上的影长为2m，∴=，解得x=18m，故电线杆高是18m．故答案为：18．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．12．已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的大小进行解答即可．【解答】解：∵﹣k2﹣1＜0，∴反比例函数的图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵3＞0，∴C（3，y3）在第四象限，∴y3＜0．∵﹣3＜﹣2＜0，∴点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2）在第二象限．∵﹣3＜﹣2，∴0＜y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故答案为：y3＜y1＜y2．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．13．若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为0或﹣1．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】令y=0，则关于x的方程kx2+2x﹣1=0只有一个根，所以k=0或根的判别式△=0，借助于方程可以求得实数k的值．【解答】解：令y=0，则kx2+2x﹣1=0．∵关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，∴关于x的方程kx2+2x﹣1=0只有一个根．①当k=0时，2x﹣1=0，即x=，∴原方程只有一个根，∴k=0符合题意；②当k≠0时，△=4+4k=0，解得，k=﹣1．综上所述，k=0或﹣1．故答案为：0或﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要对函数y=kx2+2x﹣1进行分类讨论：一次函数和二次函数时，满足条件的k的值．14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0）且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜c；②b2﹣4ac＞﹣8a；③4a+c ＜0；④2a﹣b+1＜0．其中正确结论是（填写序号）①②③．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x的交点情况结合起来分析问题．【解答】解：①因为图象与x轴两交点为（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，对称轴x==﹣，则对称轴﹣＜﹣＜0，且a＜0，∴a＜b＜0，由抛物线与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，得c＞0，即a＜b＜c，①正确；②由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2﹣4ac＞﹣8a，∴②正确；③设x2=﹣2，则x1x2=，而1＜x1＜2，∴﹣4＜x1x2＜﹣2，∴﹣4＜＜﹣2，∴2a+c＞0，4a+c＜0．∴③正确④抛物线过（﹣2，0），则4a﹣2b+c=0，而c＜2，则4a﹣2b+2＞0，即2a﹣b+1＞0．④错误．故答案为：①②③．【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与X轴的交点，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解此题的关键．三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知a：b：c=2：3：4，且2a+3b﹣2c=10，求a﹣2b+3c的值．【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】根据比例的性质可设a=2k，b=3k，c=4k，则利用2a+3b﹣2c=10得到4k+9k﹣8k=10，解得k=2，于是可求出a、b、c的值，然后计算a﹣2b+3c的值．【解答】解：∵a：b：c=2：3：4，∴设a=2k，b=3k，c=4k，而2a+3b﹣2c=10，∴4k+9k﹣8k=10，解得k=2，∴a=4，b=6，c=8，∴a﹣2b+3c=4﹣12+24=16．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．16．已知二次函数y=﹣0.5x2+4x﹣3.5（1）用配方法把该函数化为y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求函数图象与x轴的交点坐标．【考点】二次函数的三种形式．【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质求出对称轴和顶点坐标；（2）根据题意得到一元二次方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）∵y=﹣0.5x2+4x﹣3.5，∴y=﹣0.5（x﹣4）2+4.5，对称轴是直线x=4，顶点坐标为（4，4.5）；（2）﹣0.5x2+4x﹣3.5=0，解得，x1=7，x2=1，则函数图象与x轴的交点坐标是（7，0）、（1，0）．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，掌握运用配方法把一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键，注意二次函数的性质的应用．四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．【分析】（1）首先求得AB，得出OC，求得点C的坐标；（2）利用待定系数法求的函数解析式，进一步利用顶点坐标公式求得最值即可．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AO=1，OB=3，即AB=AO+OB=1+3=4．∴OC=4，即点C的坐标为（0，4）．（2）设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A、C、B三点的坐标分别代入上式，得，解得a=﹣，b=x，c=4，∴所求的二次函数解析式为y=﹣x2+x+4．∵点A、B的坐标分别为点A（﹣1，0）、B（3，0），∴线段AB的中点坐标为（1，0），即抛物线的对称轴为直线x=1．∵a=﹣＜0，∴当x=1时，y有最大值y=﹣++4=．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，求得三点的坐标，掌握待定系数法的方法与步骤是解决问题的关键．18．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【专题】分类讨论．【分析】如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角边的对应需分情况讨论．【解答】解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有=，∴AB==3；（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有=，∴AB==3．故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）19．已知抛物线y=﹣x2+2x+2．（1）该抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标（1，3）；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；xy（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．【考点】二次函数的性质；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】图表型．【分析】（1）代入对称轴公式和顶点公式（﹣，）即可；（2）尽量让x选取整数值，通过解析式可求出对应的y的值，填表即可；（3）结合图象可知这两点位于对称轴右边，图象随着x的增大而减少，因此y1＜y2．【解答】解：（1）x=1；（1，3）（2）x …﹣1 0 1 2 3 …y …﹣1 2 3 2 ﹣1 …（3）因为在对称轴x=1右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2．【点评】二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念即可解题．20．已知函数y=x2﹣mx+m﹣2．（1）求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；（2）若函数y有最小值﹣，求函数表达式．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的最值．【专题】证明题．【分析】（1）先计算判别式的值得到△=m2﹣4m+8，然后配方得△=（m﹣2）2+4，利用非负数的性质得△＞0，于是根据抛物线与x轴的交点问题即可得到结论；（2）根据二次函数的最值问题得到=﹣，解方程得m1=1，m2=3，然后把m的值分别代入原解析式即可．【解答】（1）证明：y=x2﹣mx+m﹣2，△=（﹣m）2﹣4（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；（2）=﹣，整理得m2﹣4m+3=0，解得m1=1，m2=3，当m=1时，函数解析式为y=x2﹣x﹣1；当m=3时，函数解析式为y=x2﹣3x+1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点．也考查了二次函数的最值问题．六、（本题满分12分）21．如图，反比例函数与一次函数y2=kx+b的图象交于两点A（1，3）、B（n，﹣1）．（1）求这两个函数的解析式；（2）观察图象，请直接写出不等式的解集；（3）点C为x轴正半轴上一点，连接AO、AC，且AO=AC，求△AOC的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）可先把A代入反比例函数解析式，求得m的值，进而求得n的值，把A，B 两点分别代入一次函数解析式即可；（2）根据图象即可求得；（3）过A点作AD⊥OC于点D，根据A的坐标得出AD=3，OC=2，根据三角形面积就可求得．【解答】解：（1）把A（1，3）的坐标代入，得m=3，故反比例函数的解析式为，把B（n，﹣1）的坐标代入，得﹣n=3，把A（1，3）和B（﹣3，﹣1）的坐标分别代入y2=kx+b，得，解得k=1，b=2．故一次函数的解析式为y2=x+2；（2）x＞1或﹣3＜x＜0；（3）过A点作AD⊥OC于点D，∵AO=AC，∴OD=CD，∵A（1，3）在双曲线图象上，∴ODAD=3，∴OCAD=3，∴S△AOC=3．【点评】本题综合考查一次函数与反比例函数的图象交点，同时考查用待定系数法求函数解析式．本题需要注意无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．七、（本题满分12分）22．如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O、A两点相距8米．（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点？【考点】二次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）已知OA与水平方向OC的夹角为30°，OA=8米，解直角三角形可求点A 的坐标及直线OA的解析式；（2）分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式；（3）把点A的横坐标x=12代入抛物线解析式，看函数值与点A的纵坐标是否相符．【解答】解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC=30°，OA=8，∴AC=OAsin30°=8×=，OC=OAcos30°=8×=12．∴点A的坐标为（12，），设OA的解析式为y=kx，把点A（12，）的坐标代入得：=12k，∴k=，∴OA的解析式为y=x；（2）∵顶点B的坐标是（9，12），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣9）2+12，∵点O的坐标是（0，0）∴把点O的坐标代入得：0=a（0﹣9）2+12，解得a=，∴抛物线的解析式为y=（x﹣9）2+12即y=x2+x；（3）∵当x=12时，y=≠，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．【点评】本题考查了点的坐标求法，一次函数、二次函数解析式的确定方法，及点的坐标与函数解析式的关系．八、（本题满分14分）23．2020年9月19日第九届合肥文博会开幕．开幕前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…20 30 40 50 60 …每天销售量（y件）…500 400 300 200 100 …（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）开幕后，合肥市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过38元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）利用表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出y与x的函数关系式，求出即可；（2）根据利润=销售总价﹣成本总价，由（1）中函数关系式得出W=（x﹣10）（﹣10x+700），进而利用二次函数最值求法得出即可；（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案．【解答】解：（1）描点如图所示：由图可知，这几个点在一条直线上，所以猜想y与x是一次函数关系．设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，∴．解得：．∴此函数关系式是y=﹣10x+700．（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：W=（x﹣10）（﹣10x+700）=﹣10x2+800x﹣7000=﹣10（x2﹣80x）﹣7000=﹣10（x2﹣80x+1600﹣1600）﹣7000=﹣10（x﹣40）2+9000，∴当x=40时，W有最大值9000．答：销售单价定为40元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是9000元．（3）对于函数W=﹣10（x﹣40）2+9000，当x≤38时，W的值随着x值的增大而增大，=﹣10×（38﹣40）2+9000=8960，故当x=38时，W最大答：销售单价定为38元∕件时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是8960元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数增减性应用等知识，利用配方法求得函数的最值是解题的关键．。
合肥市肥西县XX学校2020届新人教版九年级上期中数学试卷含答案解析(全套样卷)
2020-2021学年安徽省合肥市肥西县XX学校九年级(上)期中数学试卷一、选择题(共10小题，每小题4分，满分40分)1．抛物线y=(x﹣2)2+3的对称轴是()A．直线x=﹣2 B．直线x=2 C．直线x=﹣3 D．直线x=32．在同一坐标系中，抛物线y=4x2，y=x2，y=﹣x2的共同特点是() A．关于y轴对称，开口向上B．关于y轴对称，y随x的增大而增大C．关于y轴对称，y随x的增大而减小D．关于y轴对称，顶点是原点3．抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线为() A．y=3(x+3)2﹣2 B．y=3(x+3)2+2 C．y=3(x﹣3)2﹣2 D．y=3(x﹣3)2+24．反比例函数y=图象上有三个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y15．函数y=的图象与直线y=x没有交点，那么k的取值范围是()A．k＞1 B．k＜1 C．k＞﹣1 D．k＜﹣16．已知矩形的面积为8，那么它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为()A．B．C．D．7．如果两个相似三角形对应边的比是3:4，那么它们的对应高的比是() A．9:16 B．:2 C．3:4 D．3:78．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论:①；②；③；④．其中正确比例式的个数有()A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB的延长线于E，则下列结论正确的是()A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACD C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC 10．当k取任意实数时，抛物线y=(x﹣k)2+k2的顶点所在的曲线是()A．y=x2 B．y=﹣x2C．y=x2(x＞0) D．y=﹣x2(x＞0)二、填空题(共6小题，每小题3分，满分18分)11．二次函数y=﹣4x2+2x+的对称轴是直线．12．已知点P(5，25)在抛物线y=ax2上，则当x=1时，y的值为．13．函数y=x2+2x﹣8与x轴的交点坐标是．14．已知，则a:b=．15．若三角形三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边是21cm，则其余两边之和是cm．16．已知线段a=4 cm，b=9 cm，则线段a，b的比例中项为cm．三、解答题(共4小题，满分42分)17．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线的形状如图(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y=﹣x2+2x+，请回答下列问题．(1)柱子OA的高度为多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？18．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．已知2020近视眼镜镜片的焦距为0.5m．(1)求y与x的函数关系式；(2)某学生的视力是300度，他需要配焦距多长的镜片？19．如图，反比例函数的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A(1，3)，B(n，﹣1)两点．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)根据图象回答:当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．(3)求△AOB的面积．2020图，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE:AB=2:3，求GF的长．2020-2021学年安徽省合肥市肥西县XX学校九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共10小题，每小题4分，满分40分)1．抛物线y=(x﹣2)2+3的对称轴是()A．直线x=﹣2 B．直线x=2 C．直线x=﹣3 D．直线x=3【考点】二次函数的性质．【分析】直接根据顶点式的特点可直接写出对称轴．【解答】解:因为抛物线解析式y=(x﹣2)2+3是顶点式，顶点坐标为(2，3)，所以对称轴为直线x=2．故选B．2．在同一坐标系中，抛物线y=4x2，y=x2，y=﹣x2的共同特点是()A．关于y轴对称，开口向上B．关于y轴对称，y随x的增大而增大C．关于y轴对称，y随x的增大而减小D．关于y轴对称，顶点是原点【考点】二次函数的图象．【分析】形如y=ax2的抛物线共同特点就是:关于y轴对称，顶点是原点，a正负性决定开口方向．a的绝对值大小决定开口的大小．【解答】解:因为抛物线y=4x2，y=x2，y=﹣x2都符合抛物线的最简形式y=ax2，其对称轴是y轴，顶点是原点．故选D．3．抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线为() A．y=3(x+3)2﹣2 B．y=3(x+3)2+2 C．y=3(x﹣3)2﹣2 D．y=3(x﹣3)2+2。
人教版2023-2024学年九年级上册期中数学质量检测试题(含解析)
人教版2023-2024学年九年级上册期中数学质量检测试题一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．已知关于x的方程（m+1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m≠0C．m≤﹣1D．m≠﹣12．在平面直角坐标系中，点A（3，﹣4）与点B关于原点对称，则点B的位置（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+n＝0的根，则m+n的值为（）A．0B．1C．﹣1D．﹣24．在下列方程中，满足两个实数根的和等于2的方程是（）A．x2﹣2x+4＝0B．x2+2x﹣4＝0C．x2+2x+4＝0D．x2﹣2x﹣4＝0 5．一元二次方程x2+2020＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实根B．有两个不等的实根C．只有一个实根D．无实数根6．如图，要为一幅长为29cm，宽为22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度为xcm，则可列方程为（）A．（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22B．（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22C．（29﹣x）（22﹣x）＝×29×22D．（29﹣x）（22﹣x）＝×29×227．二次函数y＝x2+3x﹣2的图象是（）A．B．C．D．8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则下列四个结论错误的是（）A．a﹣b+c＜0B．2a+b＝0C．4a﹣2b+c＝0D．am2+b（m+1）≥a9．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a （x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5B．﹣1C．5或1D．﹣5或﹣1 10．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+3，则下列结论错误的是（）A．柱子OA的高度为3mB．喷出的水流距柱子1m处达到最大高度C．喷出的水流距水平面的最大高度是3mD．水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外11．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，某车的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间有下列关系：s＝0.01x+0.01x2，在一个限速40km/h的弯道上的刹车距离不能超过（）A．15.8m B．16.4m C．14.8m D．17.4m12．如图，将△ABD绕顶点B顺时针旋转40°得到△CBE，且点C刚好落在线段AD上，若∠CBD＝32°，则∠E的度数是（）A．32°B．34°C．36°D．38°二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．已知方程（a﹣3）x|a|﹣1+3x+3a＝0是关于x的一元二次方程，则a＝．14．设m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则m2+n+mn＝．15．要将函数y＝ax2+bx+c的图象向右平移3个单位长度．再向上平移2个单位长度得到的二次函数为y＝2x2﹣4x+3，那么a+b+c＝．16．若函数y＝x2﹣4x+b的图象与坐标轴只有两个交点，则b的值是．17．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一根水管AB，水管的顶端安有一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3），则选取点D为坐标原点时的抛物线表达式为，其中自变量的取值范围是，水管AB的长为m．18．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE＝63°，∠E＝71°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为．三．解答题（共8小题，满分90分）19．解下列方程：（1）（2x+1）2＝9；（2）x2﹣2x﹣1＝0；（3）（x﹣3）2＝4（3﹣x）．20．已知关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2＝0．（1）当n＝m﹣2时，证明方程有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的实数根，写出一组满足条件的m，n的值，并求出此时方程的根．21．二次函数f（x）＝ax2+bx+c的自变量x的取值与函数y的值列表如下：（1）根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；（2）请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图象的顶点落在直线y＝x上，并写出平移后二次函数的解析式．22．如图，抛物线与直线交于点A（﹣4，﹣1）和点B（﹣2，3），抛物线顶点为A，直线与y轴交于点C．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若y轴上存在点P使△PAB的面积为9，求点P的坐标．23．在乐善中学组织的体育测试中，小壮掷出的实心球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣（x﹣3）2+，求小壮此次实心球推出的水平距离．24．如图，在一个边长为32cm的正方形的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），且折成的长方体盒子的表面积是864cm2，求剪去小正方形的边长．25．利用对称性可设计出美丽的图案，在边长为1的方格中，有如图所示的四边形（顶点都在格点上）（1）先作该四边形关于直线l成轴对称图形．（2）再作出你所作图形连同原四边形绕O点按顺时针方向旋转90°后的图形．（3）完成上述设计后，求整个图案的面积．26．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．解：由题意得：m+1≠0，解得：m≠﹣1，故选：D．2．解：点A的坐标是（3，﹣4），若点A与点B关于原点对称，则点B的坐标为（﹣3，4），位于第二象限．故选：B．3．解：把x＝n代入方程x2+mx+n＝0得n2+mn+n＝0，∵n≠0，∴n+m+1＝0，即m+n＝﹣1．故选：C．4．解：A、Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×4＝﹣12＜0，方程没有实数根，所以A选项不符合题意；B、x1+x2＝﹣2，所以B选项不符合题意；C、Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×4＜0，方程没有实数根，所以C选项不符合题意；D、x1+x2＝2，所以D故选：D．5．解：∵a＝1，b＝0，c＝2020，∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×2020＝﹣8080＜0，∴一元二次方程x2+2020＝0的根的情况是无实数根．故选：D．6．解：设相框边的宽度为xcm，则可列方程为：（29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22．故选：B．7．解：∵y＝x2+3x﹣2＝（x+）2﹣，∴抛物线的开口向上，顶点坐标为（﹣，﹣），对称轴为直线x＝﹣故选：B．8．解：由抛物线可得当x＝﹣1时，y＜0，故a﹣b+c＜0，故结论A正确；抛物线可得对称轴为x＝﹣＝﹣1，故2a﹣b＝0，故结论B错误．由抛物线经过原点，对称轴为直线x＝﹣1可知，当x＝﹣2时，y＝0，故4a﹣2b+c＝0，故结论C正确；当x＝﹣1时，该函数取得最小值，则am2+bm+c≥a﹣b+c，即am2+b（m+1）≥a，故结论D正确；故选：B．9．解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，即m的值为5或1．故选：C．10．解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴当x＝0时，y＝3，即OA＝3m，故A选项正确，当x＝1时，y取得最大值，此时y＝4，故B选项正确，C选项错误，当y＝0时，x＝3或x＝﹣1D选项正确，故选：C．11．解：将x＝40代入s＝0.01x+0.01x2得，s＝0.01×40+0.01×402＝16.4，即刹车距离不能超过16.4m．故选：B．12．解：∵将△ABD绕点B顺时针旋转40°得到△CBE，∴CB＝AB，∠ABC＝40°，∠D＝∠E，∴∠A＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠CBD＝32°，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝40°+32°＝72°，∴∠D＝∠E＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣72°＝38°．故选：D．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．解：∵（a﹣3）x|a|﹣1+3x+3a＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣3≠0且|a|﹣1＝2，解得a＝﹣3，故答案为：﹣3．14．解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的根，∴m2﹣m﹣2＝0，∴m2＝m+2，∴m2+n+mn＝m+2+n+mn＝m+n+mn+2，∵m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，∴m+n＝1，mn＝﹣2，∴m2+n+mn＝1﹣2+2＝1．故答案为：1．15．解：y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，把抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到抛物线的解析式为y＝2（x﹣1+3）2+1﹣2＝2x2+8x+7，所以a＝2，b＝8，c＝7，所以，a+b+c＝17，故答案为17．16．解：令y＝0，则x2﹣4x+b＝0，当函数y＝x2﹣4x+b的图象与坐标轴只有两个交点时有两种情况：①Δ＝0，且函数图象不过原点∴△＝（﹣4）2﹣4b＝0解得：b＝4；②Δ＞0，且函数y＝x2﹣4x+b的图象过原点，∴b＝0故答案为：0或4．17．解：以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．抛物线的解析式为，当选取点D为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位，故平移后的抛物线表达式为：（﹣3≤x≤0）；令x＝﹣3，则y＝﹣+3＝2.25．故水管AB的长为2.25m．故答案为：y＝﹣（x+2）2+3，﹣3≤x≤0，2.25．18．解：由旋转性质得：∠C＝∠E＝71°，∠BAD＝∠CAE＝63°，∵AD⊥BC，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣71°＝19°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝63°+19°＝82°，故答案为：82°．三．解答题（共8小题，满分90分）19．解：（1）（2x+1）2＝9，开方得：2x+1＝±3，解得：x1＝1，x2＝﹣2；（2）x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2，开方得：x﹣1＝，x1＝1+，x2＝1﹣；（3）（x﹣3）2＝4（3﹣x），（x﹣3）2+4（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3+4）＝0，x﹣3＝0，x﹣3+4＝0x1＝3，x2＝﹣1．20．（1）证明：当n＝m﹣2时，Δ＝n2﹣4×m×（﹣2）＝（m﹣2）2﹣4×m×（﹣2）＝m2﹣4m+4+8m＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴当n＝m﹣2时，方程有两个实数根．（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝n2﹣4×m×（﹣2）＝n2+8m＞0，∴符合题意．当m＝n＝1时，原方程为x2+x﹣2＝0，即（x﹣1）（x+2）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣2．21．解：（1）把（﹣1，0），（0，3），（3，0）分别代入y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得．解得．则该二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点的坐标为（1，4）；（2）∵二次函数f（x）＝ax2+bx+c的顶点坐标（1，4）；∴二次函数图象向右平移3个单位后抛物线的顶点为（4，4）或向下平移3个单位后抛物线的顶点为（1，1）落在直线y ＝x 上，则此时抛物线的解析式为：y ＝﹣（x ﹣4）2+4或y ＝﹣（x ﹣1）2+1．22．解：（1）由抛物线的顶点A （﹣4，﹣1）设二次函数为y ＝a （x +4）2﹣1，将B （﹣2，3）代入得，3＝a （﹣2+4）2﹣1，解得a ＝1，∴二次函数为y ＝（x +4）2﹣1（或y ＝x 2+8x +15），设一次函数的解析式为y ＝kx +b ，将A （﹣4，﹣1）和B （﹣2，3）代入得，解得，∴一次函数的解析式为y ＝2x +7；（2）由直线y ＝2x +7可知C （0，7），设P （0，n ），∴PC ＝|n ﹣7|，∴S △PAB ＝S △PAC ﹣S △BPC ＝（4﹣2）•|n ﹣7|＝9，∴|n ﹣7|＝9，∴n ＝﹣2或16，∴P （0，﹣2）或P （0，16）．23．解：令y ＝0，则﹣（x ﹣3）2+＝0，解得：x 1＝8，x 2＝﹣2（舍去），故小壮此次实心球推出的水平距离为：8米．24．解：设剪去小正方形的边长为xcm ，则折成的长方体盒子的底面的长为（32﹣2x ）cm ，宽为＝（16﹣x ）（cm ），由题意得：2x （16﹣x ）+2（16﹣x ）（32﹣2x ）+2x （32﹣2x ）＝864，整理得：x 2+16x ﹣80＝0，解得：x ＝4或x ＝﹣20（不符合题意，舍去），答：剪去小正方形的边长为4cm．25．解：（1）图形如图所示；（2）图形如图所示；（3）整个图案的面积＝4××2×5＝20．26．解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x＝3，∴B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣6），把A（8，4）代入得a•8×2＝4，解得a＝，∴抛物线解析式为y＝x（x﹣6），即y＝x2﹣x；（2）设M（t，0），易得直线OA的解析式为y＝x，设直线AB的解析式为y＝kx+b，把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣12，∵MN∥AB，∴设直线MN的解析式为y＝2x+n，把M（t，0）代入得2t+n＝0，解得n＝﹣2t，∴直线MN的解析式为y＝2x﹣2t，解方程组得，则N （t ，t ），∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM＝•4•t ﹣•t •t＝﹣t 2+2t＝﹣（t ﹣3）2+3，当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）．。
2021-2022学年安徽省合肥市瑶海区九年级(上)期末数学试卷(学生版+解析版)
2021-2022学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）在反比例函数y =k+1x 的图象的每一个分支上，y 都随x 的减小而增大，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞0B ．k ＜0C ．k ＞﹣1D ．k ＜﹣12．（4分）如图，AB ∥CD ∥EF ，BE 与AF 相交于点H ，且AH ＝2HD =12DF ，则BC CE的值为（ ）A ．1B ．34C ．23D ．563．（4分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若cos A =1213，则tan B 的值为（ ） A ．513B ．135C ．125D ．5124．（4分）如图，在⊙O 中，OE ⊥弦AB 于点E ，EO 的延长线交弦AB 所对的优弧于点F ，若AB ＝FE ＝8，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．6C ．4D ．2√55．（4分）若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为8cm ，则剩下的小矩形的较短边长为（ ）cm ． A ．2√5B ．5√5−8C ．4√5−4D ．12﹣4√56．（4分）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 是位似中心．若OA ：AD ＝2：3，△DEF 与△ABC 的周长差为12cm ，则△ABC 的周长为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm7．（4分）BD 是Rt △ABC 的斜边AC 上的高，∠A ≠45°，下列比值中与sin A 不相等的是（ ） A ．BC ACB ．CD BCC ．BD ABD ．BD BC8．（4分）若二次函数y ＝x 2+2x ﹣m 的图象与坐标轴有三个交点，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣1且m ≠0 B ．m ＜1且m ≠0C ．m ＞﹣1D ．m ＜﹣19．（4分）如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB 'C '的位置，连接BB '，若∠BAC ＝18°，∠ABB '＝67°，则∠CAB '的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．28°D ．32°10．（4分）如图，一条抛物线（形状一定）与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，若点A 、B 的坐标分别为（﹣2，﹣3）、（4，﹣3），点E 的横坐标的最小值为﹣5，则点F 的横坐标的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）某人沿着坡角为α的斜坡前进80m ，则他上升的最大高度是 m ． 12．（5分）如图，AB 、BC 是以AC 为直径的⊙O 的两条弦，延长AC 至点D ，使CD ＝BC ，则当∠D ＝15°时，AD 与AB 之间的数量关系为：AD ＝ AB ．13．（5分）已知抛物线y＝x2﹣6x+8的顶点为P，与x轴相交于M、N两点（点M在点N 左侧），平移此抛物线，使点P平移后的对应点P′落在x轴上，点M平移后的对应点M'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为．14．（5分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AD＝4AE，连接BE并延长交AC于点F，过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G，则GF：BE＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）15．（8分）一个二次函数，当x＝﹣1时，函数的最大值为2，它的图象经过点（1，6），求这个二次函数的表达式．16．（8分）如图，AB∥CD，AD⊥BC于点O，OA＝6，OD＝9，BC＝10，求CD的长．四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）17．（8分）如图，AC、BC是⊙O的两条弦，且AC＝BC，∠AOC+∠ABC＝75°，D为弦AB所对优弧上一点，求∠D的度数．18．（8分）如图，等腰Rt△OAB的直角顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上．（1）已知OA＝2√2，求此反比例函数的解析式；（2）先将点A绕原点O逆时针旋转90°，得到点E，再将点E向右平移1个单位得到点F，若点F恰好在正比例函数y＝mx的图象上，求正比例函数y＝mx的表达式．五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）19．（10分）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的仰角α为30°，看这栋大楼底部上方3m处点E的俯角β为60°，热气球与大楼的水平距离为80m，求这栋大楼的高度．（结果保留整数）（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）20．（10分）如图，⊙O与Rt△ABC的一条直角边BC相交于点D，与另一条直角边AC相切于点E，过点E作EF⊥AB于点F，求证：EC＝EF．六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）21．（12分）已知y＝2x+b是关于x的一次函数．（1）当b为何值时，一次函数y＝2x+b的图象与二次函数y＝x2﹣2x+4的图象只有一个公共点？（2）若一次函数y＝2x+b的图象与二次函数y＝x2﹣2x+4的图象有两个公共点，且其中一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，求另一个公共点的坐标；（3）在（2）的条件下，直接写出当二次函数值大于一次函数值时x的取值范围．七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）22．（12分）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，在这个三角形内有一个内接矩形PQMN，矩形的一边在BC上，另两个顶点分别在AB，AC上．（1）若BC＝60，AD＝40，当PQ＝PN时，求PQ的长；（2）若BC＝100，AD＝40，当PQ＝PN且∠BAC＝90°时，直接写出BN•CM的值；（3）若BC＝60，AD＝40，当矩形PQMN的面积最大时，求这个矩形的边长．八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）23．（14分）已知：∠BAC为钝角，BE、CF是△ABC的两条高．（1）如图1，若AB＝AC，求证：AE＝AF；（2）如图2，若AB≠AC，延长BE、CF相交于点O，连接EF，当OE＝4、EF＝6、OC ＝10时，求BC的长；（3）如图3，若AB≠AC，延长BE、CF相交于点O，连接EF，当S△ABE=65S△ABC＝4S△ACF时，求EF：BC的值．2021-2022学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）在反比例函数y =k+1x的图象的每一个分支上，y 都随x 的减小而增大，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞0B ．k ＜0C ．k ＞﹣1D ．k ＜﹣1【解答】解：∵反比例函数y =k+1x的图象的每一个分支上，y 都随x 的减小而增大， ∴k +1＞0， ∴k ＞﹣1， 故选：C ．2．（4分）如图，AB ∥CD ∥EF ，BE 与AF 相交于点H ，且AH ＝2HD =12DF ，则BC CE的值为（ ）A ．1B ．34C ．23D ．56【解答】解：∵AH ＝2HD =12DF ， ∴设DH ＝x ，则AH ＝2x ，DF ＝4x ， ∵AB ∥CD ∥EF ， ∴BC CE=AD DF=3x 4x=34，故选：B ．3．（4分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若cos A =1213，则tan B 的值为（ ） A ．513B ．135C ．125D ．512【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若cos A =1213， ∴设AC 为12k ，AB 为13k ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(13k)2−(12k)2=5k ，∴tan B =AC BC =12k 5k =125， 故选：C ．4．（4分）如图，在⊙O 中，OE ⊥弦AB 于点E ，EO 的延长线交弦AB 所对的优弧于点F ，若AB ＝FE ＝8，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．6C ．4D ．2√5【解答】解：连接OA ，如图所示：设⊙O 半径为r ，则由题意可知：OA ＝OF ＝r ，OE ＝EF ﹣OE ＝8﹣r ， 又∵OE ⊥弦AB 于点E ， ∴AE =12AB =12×8=4， 在Rt △AOE 中，AO 2＝OE 2+AE 2， 即，r 2＝（8﹣r ）2+42， 解得：r ＝5， ∴⊙O 的半径长为5． 故选：A ．5．（4分）若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为8cm ，则剩下的小矩形的较短边长为（ ）cm ． A ．2√5B ．5√5−8C ．4√5−4D ．12﹣4√5【解答】解：如图所示：AD ＝8cm ，设AB ＝ED ＝CD ＝EF ＝FC ＝xcm ， ∵一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似， ∴AE ＝（8﹣x ）cm ，故AE AB=AB AD，则8−x x=x8，解得：x 1＝﹣4+4√5，x 2＝﹣4﹣4√5（不合题意舍去），故AE ＝8﹣（﹣4+4√5）＝（12﹣4√5）cm ． 故选：D ．6．（4分）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 是位似中心．若OA ：AD ＝2：3，△DEF 与△ABC 的周长差为12cm ，则△ABC 的周长为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm【解答】解：∵△ABC 与△DEF 位似，点O 是位似中心， ∴△ABC ∽△DEF ， ∵AB ∥DE ， ∴OA OD=AB DE=25，∴△ABC 的周长△DEF 的周长=25，∴可以假设△ABC 的周长为2k ，△DEF 的周长为5k ， ∴5k ﹣2k ＝12， ∴k ＝4，∴△ABC 的周长为8cm ， 故选：B ．7．（4分）BD 是Rt △ABC 的斜边AC 上的高，∠A ≠45°，下列比值中与sin A 不相等的是（ ） A ．BC ACB ．CD BCC ．BD ABD ．BD BC【解答】解：如图：在Rt△ABC中，sin A=BC AC，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴∠C+∠DBC＝90°，∴∠A＝∠DBC，∴sin A＝sin∠DBC=DC BC，在Rt△ABD中，sin A=BD AB，故选：D．8．（4分）若二次函数y＝x2+2x﹣m的图象与坐标轴有三个交点，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1且m≠0B．m＜1且m≠0C．m＞﹣1D．m＜﹣1【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣m与坐标轴有三个交点，∴Δ＝4+4m＞0，解得m＞﹣1，∵抛物线不经过原点，∴m≠0，故选：A．9．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'的位置，连接BB'，若∠BAC＝18°，∠ABB'＝67°，则∠CAB'的度数为（）A．25°B．30°C．28°D．32°【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'的位置，∴AB＝AB′，∴∠ABB′＝∠AB′B＝67°，∴∠BAB′＝180°﹣∠ABB′﹣∠AB′B＝180°﹣67°﹣67°＝46°，∴∠CAB′＝∠BAB′﹣∠BAC＝46°﹣18°＝28°，故选：C．10．（4分）如图，一条抛物线（形状一定）与x轴相交于E、F两点（点E在点F左侧），其顶点P在线段AB上移动，若点A、B的坐标分别为（﹣2，﹣3）、（4，﹣3），点E的横坐标的最小值为﹣5，则点F的横坐标的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：设对称轴为直线x＝a，E、F关于x＝a对称，则a﹣x E＝x F﹣a，2a＝x F+x E，∵抛物线形状一定，∴抛物线开口大小不变，由平移可知，当P在A点时，E的横坐标最小，P在A点时，有2×（﹣2）＝﹣5+x F，解得x F＝1，∴x F﹣x E为定值1﹣（﹣5）＝6，当P移动到B时，x F最大为4+62=7，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）某人沿着坡角为α的斜坡前进80m，则他上升的最大高度是80sinαm．【解答】解：在Rt△ABC中，sin A=BC AB，∵∠A＝α，AB＝80m，∴BC＝AB•sin A＝80sinα（m），∴他上升的最大高度是80sinαm，故答案为：80sinα．12．（5分）如图，AB、BC是以AC为直径的⊙O的两条弦，延长AC至点D，使CD＝BC，则当∠D＝15°时，AD与AB之间的数量关系为：AD＝（2+√3）AB．【解答】解：∵∠D＝15°，CD＝BC，∴∠CBD＝∠D＝15°，∴∠ACB＝∠D+∠CBD＝30°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴AC＝2AB，BC=√3AB，∵BC＝CD，∴CD=√3AB，∴AD＝AC+CD＝2AB+√3AB＝（2+√3）AB，故答案为：（2+√3）．13．（5分）已知抛物线y＝x2﹣6x+8的顶点为P，与x轴相交于M、N两点（点M在点N 左侧），平移此抛物线，使点P平移后的对应点P′落在x轴上，点M平移后的对应点M'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2x+1．【解答】解：当y＝0，则0＝x2﹣6x+8，∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，解得：x1＝2，x2＝4，∴M（2，0），N（4，0），∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，∴P点坐标为：（3，﹣1），∵平移该抛物线，使点P平移后的对应点P'落在x轴上，点M平移后的对应点M'落在y 轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移2个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y ＝（x ﹣3+2）2﹣1+1＝x 2﹣2x +1．故答案为：y ＝x 2﹣2x +1．14．（5分）如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上一点，且AD ＝4AE ，连接BE 并延长交AC 于点F ，过点A 作AG ∥BC 交BF 的延长线于点G ，则GF ：BE ＝ 4：21 ．【解答】解：∵AG ∥BC ，AD ＝4AE ，∴AG BD =AE ED =GE BE =13， ∵D 为BC 的中点，∴BD ＝DC =12BC ，∵AG ∥BC ，∴AG BC =GF BF =16， ∴BE ＝3（GF +FE ），BF ＝6GF ，∴6GF ﹣EF ＝3GF +3EF ，∴EF =34GF ，∴GF ：BE ＝4：21，故答案为：4：21．三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）15．（8分）一个二次函数，当x ＝﹣1时，函数的最大值为2，它的图象经过点（1，6），求这个二次函数的表达式．【解答】解：设y ＝a （x +1）2+2，把（1，6）代入y ＝a （x +1）2+2得6＝4a +2，解得a ＝1，∴y ＝（x +1）2+2．16．（8分）如图，AB ∥CD ，AD ⊥BC 于点O ，OA ＝6，OD ＝9，BC ＝10，求CD 的长．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴△ABO ∽△DCO ．∴OA OD=OB OC ． ∴69=10−OC OC ． 解得：OC ＝6．∵AD ⊥BC ，∴OC 2+OD 2＝CD 2．∴CD =√62+92=3√13．四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）17．（8分）如图，AC 、BC 是⊙O 的两条弦，且AC ＝BC ，∠AOC +∠ABC ＝75°，D 为弦AB 所对优弧上一点，求∠D 的度数．【解答】解：连接OB ，DC ，∵AC ＝BC ，∴AĈ=BC ̂， ∴∠ADC ＝∠BDC ，∴∠ABC ＝∠ADC ＝∠BDC ，∵∠AOC +∠ABC ＝75°，∴3∠ADC ＝75°，解得：∠ADC＝25°，∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝2∠ADC＝50°．18．（8分）如图，等腰Rt△OAB的直角顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上．（1）已知OA＝2√2，求此反比例函数的解析式；（2）先将点A绕原点O逆时针旋转90°，得到点E，再将点E向右平移1个单位得到点F，若点F恰好在正比例函数y＝mx的图象上，求正比例函数y＝mx的表达式．【解答】解：（1）作AC⊥OB于C，∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝2√2，∴AC＝OC＝2，∴A（2，2），∵直角顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y=4 x；（2）∵A（2，2），∴将点A绕原点O逆时针旋转90°，得到点E（﹣2，2），再将点E向右平移1个单位得到点F（﹣1，2），∵点F恰好在正比例函数y＝mx的图象上，∴2＝﹣m，解得m＝﹣2，∴正比例函数的表达式为y＝﹣2x．五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）19．（10分）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的仰角α为30°，看这栋大楼底部上方3m处点E的俯角β为60°，热气球与大楼的水平距离为80m，求这栋大楼的高度．（结果保留整数）（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）【解答】解：由题意可知：∠BAD＝30°，∠EAD＝60°，CE＝3m，AD＝80m，∠ADC ＝∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，AD＝80m，∴BD＝AD•tan30°＝80×√33=80√33（m），在Rt△ADE中，∠EAD＝60°，AD＝80米，∴ED＝AD•tan60°＝80√3（m），∴BC＝BD+ED+CE=80√33+80√3+3≈188（m），即这栋楼的高度BC约为188m．20．（10分）如图，⊙O与Rt△ABC的一条直角边BC相交于点D，与另一条直角边AC相切于点E，过点E作EF⊥AB于点F，求证：EC＝EF．【解答】证明：连接OE，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠AEO，∴BC∥OE，∴∠CBE＝∠BEO，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠BEO，∴∠CBE＝∠EBF，∵EF⊥AB，∴CE＝EF．六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）21．（12分）已知y＝2x+b是关于x的一次函数．（1）当b为何值时，一次函数y＝2x+b的图象与二次函数y＝x2﹣2x+4的图象只有一个公共点？（2）若一次函数y＝2x+b的图象与二次函数y＝x2﹣2x+4的图象有两个公共点，且其中一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，求另一个公共点的坐标；（3）在（2）的条件下，直接写出当二次函数值大于一次函数值时x的取值范围．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象与二次函数y＝x2﹣2x+4的图象只有一个公共点，∴方程x2﹣2x+4＝2x+b即x2﹣4x+4﹣b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16﹣4（4﹣b）＝0，解得：b＝0，∴当b＝0时，一次函数y＝2x+b的图象与二次函数y＝x2﹣2x+4的图象只有一个公共点；（2）∵二次函数y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴二次函数的顶点（1，3），∵一次函数y＝2x+b的图象与二次函数y＝x2﹣2x+4的图象一个公共点恰是该二次函数图象的顶点，∴3＝2×1+b，解得：b＝1，∴一次函数的解析式为y＝2x+1，则联立方程组得：{y =x 2−2x +4y =2x +1， 解得：{x =1y =3或{x =3y =7， ∴一次函数y ＝2x +b 的图象与二次函数y ＝x 2﹣2x +4的图象的令一公共点坐标为（3，7）；（3）如图所示：由图象知，在（2）的条件下，当二次函数值大于一次函数值时，自变量的取值范围为x ＞3或x ＜1．七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）22．（12分）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，在这个三角形内有一个内接矩形PQMN ，矩形的一边在BC 上，另两个顶点分别在AB ，AC 上．（1）若BC ＝60，AD ＝40，当PQ ＝PN 时，求PQ 的长；（2）若BC ＝100，AD ＝40，当PQ ＝PN 且∠BAC ＝90°时，直接写出BN •CM 的值；（3）若BC ＝60，AD ＝40，当矩形PQMN 的面积最大时，求这个矩形的边长．【解答】解：（1）∵四边形PQMN 是矩形，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，又∵AD ⊥BC ，∴AE ⊥PQ ，∴四边形PEDN 是矩形，∴PN ＝DE ，由△APQ ∽△ABC 知PQ BC =AE AD ， ∵PQ ＝PN ，即PQ 60=40−PQ 40，解得PQ ＝24；（2）由（1）知PQ BC =AE AD ，∵BC ＝100，AD ＝40，∴PQ 100=40−PQ 40， 解得PQ =2007，∵PQ ＝PN ，∴PQ ＝PN ＝QM =2007，∵∠BAC ＝∠BNP ＝∠QMC ＝90°，∴∠B +∠C ＝∠MQC +∠C ＝90°，∴∠B ＝∠MQC ，∴△BPN ∽△QCM ，∴BN QM =PN CM ，即BN 2007=2007CM ，∴BN •CM =4000049； （3）设PN ＝x ，则DE ＝PN ＝x ，AE ＝AD ﹣DE ＝40﹣x ，∵△APQ ∽△ABC ，∴AE AD =PQ BC ，即40−x 40=PQ 60， ∴PQ ＝60−32x ，∴矩形PQMN 的面积＝PQ •PN ＝（60−32x ）x=−32x 2+60x=−32（x ﹣20）2+600，当x ＝20时，矩形PQMN 的面积取得最大值600，此时PN ＝20，PQ ＝60−32x ＝60−32×20＝30．八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）23．（14分）已知：∠BAC 为钝角，BE 、CF 是△ABC 的两条高．（1）如图1，若AB ＝AC ，求证：AE ＝AF ；（2）如图2，若AB ≠AC ，延长BE 、CF 相交于点O ，连接EF ，当OE ＝4、EF ＝6、OC ＝10时，求BC 的长；（3）如图3，若AB ≠AC ，延长BE 、CF 相交于点O ，连接EF ，当S △ABE =65S △ABC ＝4S △ACF 时，求EF ：BC 的值．【解答】（1）证明：由题已知，∵BE 、CF 是△ABC 的两条高，∴∠BEA ＝∠CF A ＝90°，∵∠BAE 和∠CAF 是对顶角，∴∠BAE ＝∠CAF ，∵AB ＝AC ，∴△BAE ≌△CAF （AAS ），∴AE ＝AF ；（2）解：由题已知，在△OBF 和△OCE 中，BE 、CF 是△ABC 的两条高，∴∠OEC ＝∠OFB ＝90°，∵∠EOC ＝∠FOB （公共角），∴△OBF ∽△OCE ，∴BO OC =OF OE ，即OB OF =OC OE ，在△OCB 和△OEF 中，有∠BOC ＝∠FOD （公共角），∴△OCB ∽△OEF ，∴CB EF =OC OE ，∵OE ＝4、EF ＝6、OC ＝10，∴CB ＝15，∴BC 的长为15；（3）解：由题已知，∵S △ABE =65S △ABC ，∴S △ABE S △ABC =65， ∴EA AC =65， ∵∠BEC ＝∠BFC ＝90°，∠BAE ＝∠CAF ， ∴△ABE ∽△ACF ，∴AE FA =2=AB CA ， ∴EA AB =35， ∴EA BA =AF CA =35， 在△EAF 和△BAC ，∠EAF ＝∠BAC （对顶角）， ∴△EAF ∽△BAC ，∴EF CB =EA AB =AF AC =35， ∴EF BC 的值为35．。
安徽合肥市瑶海区2020-2021第一学期九年级期中数学试卷(解析版)
合肥瑶海区2020-2021第一学期九年级期中数学试卷（解析版）一、选择题（每小题4分，共10小题，满分40分）1、抛物线y = 2(x+1)2-3的顶点坐标是（ ）A. (-1，-3)B. （1，3）C. (-1，3)D. （1，-3）【答案】A【解析】由y=2（x+1）2-3，根据y=a （x+h ）2+k ，顶点坐标是（-h ，k ），可知y=2（x+1）2-3顶点坐标 为（-1，-3）．故选：A ．2、在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5)(x-3)经变换后得到抛物线y=(x+3(x-5)，则这个变化可以是（ ）A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向左平移8个单位D. 向右平移2个单位【答案】B【解析】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5）， 故选：B ．3、已知点A(1，-3)关于y 轴的对称点A ′在反比例函数y=k x的图象上，则实数k 的值为（ ） A. 3 B. 31 C. -3 D. - 31 【答案】A【解析】∵点A （1，-3）和点A ´关于y 轴对称，∴A ´（-1，-3），∵A ´在反比例函数y=k x的图像上， ∴k=（-1）×（-3）=3故选：A4、已知学校航母组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数关系式h=-t 2+24t+1，则下列说法中正确的是( )A. 点火后9s 点火后13s 的升空高度相同B. 点火后24s 火箭落于地面C. 点火后10S 的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D【解析】A 、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s 和点火后13s 的升空高度不相同，此选项错误；B 、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s 火箭离地面的高度为1m ，此选项错误；C 、当t=10时h=141m ，此选项错误；D 、由h=-t 2+24t+1=-（t-12）2+145知火箭升空的最大高度为145m ，此选项正确；故选：D ．5、已知y=x 2+(t-2)x-2，当x>1时y 随x 的增大而增大，则t 的取值范围是（ ）A. t > 0B. t = 0C. t < 0D. t ≥ 0【答案】D【解析】∵y=x 2+（t-2）x-2，∴抛物线对称轴为x=-22t ，开口向上，∴在对称轴右侧y 随x 的增大而增大，∵当x ＞1时y 随x 的增大而增大，∴-22t -≤1，解得t ≥0， 故选：D ．6、如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 上的两点，且DE ∥BC ，AE=3CE ，AB=8，则AD 的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】∵DE ∥BC ，∴3334AD AE CE AB AC CE CE ===+，∴AD=34×8=6． 故选：D ．7、如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a ，宽BC=b ，将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似， 则a ：b=( )A. 2：1B. 2：1C. 3：3D. 3：2【答案】B【解析】相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．∵矩形纸片对折，折痕为EF ，∴AF=12AB=12a ，∵矩形AFED 与矩形ABCD 相似，∴AB AD AD AF =，即ab=12b a ， ∴（a b ）2=2，∴a b=2． 故选：B ．8、如图，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的对称轴是直线x=1，则以下四个结论中：① abc>0，② 2a+b=0， ③ 4a+b 2< 4ac ，④ 3a+c< 0.正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】①根据抛物线开口向下可知：a ＜0，因为对称轴在y 轴右侧，所以b ＞0，因为抛物线与y 轴正半轴相交，所以c ＞0，所以abc ＜0，所以①错误；②因为抛物线对称轴是直线x=1，即-2b a =1，所以b=-2a ，所以b+2a=0，所以②正确； ③因为b=-2a ，由4a+b 2＜4ac ，得4a+4a 2＜4ac ，∵a ＜0，∴c ＜1+a ，根据抛物线与y 轴的交点，c ＞1，所以③错误；④当x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0，因为b=-2a ，所以3a+c ＜0，所以④正确．所以正确的是②④2个．故选：B ．9、孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同，当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为 20米，则这个小孔的水面宽度为（ ）A. 52米B. 43米C. 7米D. 213米【答案】A【解析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=32， 设大孔所在抛物线解析式为y=ax 2+32，∵BC=10，∴点B （-5，0），∴0=a ×（-5）2+32，∴a=-350， ∴大孔所在抛物线解析式为y=-350x 2+32， 设点A （b ，0），则设顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y=m （x-b ）2，∵EF=14，∴点E 的横坐标为-7，∴点E 坐标为（-7，-3625），∴-3625=m （x-b ）2，∴1615x b m =-+，，2615x b m =--+，∴MN=4， ∴|615b m -+-（615b m --+）|=4；∴m=-925，∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y=-925（x-b ）2， ∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时，y=-92，∴-92=-925（x-b ）2，∴1522x b =+，2522x b =-+， ∴单个小孔的水面宽度=|522b +-（-522b +）|=52（米）， 故选：A ．10、若一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x的图象在第二象限内有两个交点，且其中一个交点的横坐标为-1，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图像可能是（ ）A B C D【答案】A 【解析】∵直线y=ax+b 与反比例函数y=c x 的图象在第二象限内有一个交点的横坐标为-1，∴-c=-a+b ，∴a-b-c=0，∵一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x 的图象在第二象限内有两个交点，∴a ＞0，∴二次函数y=ax 2+bx-c 的图象开口向上，当x=-1时，y=a-b-c=0，∴抛物线y=ax 2+bx-c 过（-1，0）点，故选：A ．二、填空题（每小题5分，满分20分）11、若35a b b -=，则a b= . 【答案】85【解析】∵35a b b -=，∴3b=5（a-b ），∴8b=5a ，∴85a b =． 故答案为：85．12、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于x 的方程y=ax 2+bx+c 的两个根的和为 .【答案】【解析】∵二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=1，∴2b a -=1，∴b=-2a ，∴关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两个根的和为b a-=2． 故答案为：2．13、如图，点C 在反比例函数y=k x(x>0)的图像上，过点C 的直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且AB=BC ， 已知△AOB 的面积为1，则k 的值为 .【答案】4【解析】设点A 的坐标为（a ，0），∵过点C 的直线与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且AB=BC ，△AOB 的面积为1，∴点C （-a ，-k a ），∴点B 的坐标为（0，-2k a ），∴12•a•2k a =1，解得，k=4．14、已知抛物线y=ax 2+bx-1a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛线上. （1）此抛物线的对称轴是直线 ； （2）已知点P （12，-1a ），Q （2，2），若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，则a 的取值范围是 . 【答案】【解析】（1）A （0，-1a ）点A 向右平移2个单位长度，得到点B （2，-1a）；A 与B 关于对称轴x=1对称， ∴抛物线对称轴x=1； （2）∵对称轴x=1，∴b=-2a ，∴y=ax 2-2ax-1a ， ①a ＞0时，当x=2时，y=-1a ＜2，当y=-1a 时，x=0或x=2，∴函数与PQ 无交点； ②a ＜0时，当y=2时，ax 2-2ax-1a =2，1a a x a ++=或1a a x a -+= 当1a a a -+≤2时，a ≤-12；∴当a ≤-12时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点； 三、（每小题8分，满分16分）15、已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（4，3），（2，-1），求此二次函数的表达式，并求出当0≤x ≤3时， y 的最值.【答案】【解析】∵二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（4，3），（2，-1），∴1643421b c b c ++++⎩-⎧⎨＝＝，解得，b c ⎧⎨⎩＝-4＝3， ∴函数解析式为：y=x 2-4x+3，y=x 2-4x+3=（x-2）2-1， ∴当x=0时，y=3，当x=3时，y=0，y 的取值范围是-1≤y ≤3，即y 的最小值为-1，最大值为316、已知234a b c ==，且a+3b-2c=15，求4a-3b+c 的值 【答案】【解析】由题意设a=2k ，b=3k ，c=4k ，∵a+3b-2c=15，∴2k+9k-8k=15，∴k=5，∴a=10，b=15，c=20；∴4a-3b+c=4×10-3×15+20=15．四、（每小题8分，满分16分）17、如图，二次函数y=(x+2)2+m 的图像与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且点B 与点C 关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A(-1,0)及点B.（1）求二次函数的解析式；（2）根据图像，写出满足kx+b ≥(x+2)2+m 的x 的取值范围.【答案】【解析】（1）∵抛物线y=（x+2）2+m 经过点A （-1，0），∴0=1+m ，∴m=-1，∴抛物线解析式为y=（x+2）2-1=x 2+4x+3，∴点C 坐标（0，3），∵对称轴x=-2，B 、C 关于对称轴对称，∴点B 坐标（-4，3），∵y=kx+b 经过点A 、B ， ∴430k b k b --+⎨⎩+⎧＝＝，解得⎧⎨⎩k ＝-1b ＝-1，∴一次函数解析式为y=-x-1， （2）由图象可知，写出满足kx+b ≥（x+2）2+m 的x 的取值范围为-4≤x ≤-1．18、如图是反比例函数y=k x的图象，当-4≤x ≤-1时,-4≤y ≤-1. （1）求该反比例函数的解析式；（2）若M 、N 分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN 长度的最小值【答案】【解析】（1）∵在反比例函数的图象中，当-4≤x ≤-1时，-4≤y ≤-1，∴反比例函数经过坐标（-4，-1），将坐标代入反比例函数y=k x 中，得反比例函数的解析式为y=4x； （2）当M ，N 为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN 最短．将y=x 代入y ＝4x ， 解得⎧⎨⎩x ＝2y ＝2或⎧⎨⎩x ＝-2y ＝-2，即M （2，2），N （-2，-2）．∴22 又∵M ，N 为反比例函数图象上的任意两点，由图象特点知，线段MN 无最大值，即MN ≥2五、（每小题10分，满分20分）19、如图，点R 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AR> RB ，S 1表示AR 为边长的正方形面积，S 2表示以BC 为长，BR 为宽的矩形面积，S 3表示正方形ABCD 除去S 1和S 2剩余的面积，求S 3：S 2的值【答案】【解析】如图，设AB=1，∵点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，∴AE=GF=512-， ∴BE=FH=AB-AE=352-，∴S 3：S 2=（GF•FH）：（BC•BE）=（512-×352-）：（1×352-）=512-．20、如图，在△ABC 中，AB=12cm ，AE=6cm ，EC=4cm ，且ECAE BD AD =.（1）求AD 的长； （2）求证：ACEC AD BD =.【答案】【解析】（1）设AD=xcm ，则BD=AB-AD=（12-x ）cm ，∵AD AE BD EC =，∴6124x x =-x 解得x=7.2cm ，∴AD=7.2cm ；（2）∵AD AE BD EC =，∴AD BD AE EC BD EC ++=即AB AC BD EC =．∴BD EC AB AC=．六、本题12分21、如图，函数y 1=k 1x+b 的图象与函数22k y x=的图象交于点A(2，1)、B ，与y 轴交于点C （0，3）. （1）求函数y 1的表达式和点B 的坐标； （2）观察图像，比较当x>0时y 1与y 2的大小.【答案】【解析】（1）∵函数y 1=k 1x+b 的图象与函数22k y x=（x ＞0）的图象交于点A （2，1），∴k 2=2，∴反比例函数解析式为y=2x ，∵函数y 1=k 1x+b 经过点A （2，1），C （0，3），∴132b k b ⎩+⎧⎨=＝，解得31k b ⎧⎨=⎩＝-， ∴y 1=-x+3，两解析式联立得，32y x y x -+⎧⎨⎩＝＝，解得2y ⎧⎨⎩x ＝1＝或y ⎧⎨⎩x ＝2＝1，∴点B 的坐标为B （1，2）； （2）根据图象，当0＜x ＜1或x ＞2时，y 1＜y 2．七、本题12分22、如图，开口向下的抛物线与x 轴交于点A （-1，0）、B （2，0），与y 轴交于点C(0，4)，点P 是第一象限内抛物线上的一点.（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形CABP 的面积为S 求S 的最大值.【答案】【解析】（1）∵A （-1，0），B （2，0），C （0，4），设抛物线表达式为：y=a （x+1）（x-2），将C 代入得：4=-2a ，解得：a=-2，∴该抛物线的解析式为：y=-2（x+1）（x-2）=-2x 2+2x+4；（2）连接OP ，设点P 坐标为（m ，-2m 2+2m+4），m ＞0，∵A （-1，0），B （2，0），C （0，4），可得：OA=1，OC=4，OB=2，∴S=S 四边形CABP =S △OAC +S △OCP +S △OPB =12×1×4+12×4m+12×2×（-2m 2+2m+4）=-2m 2+4m+6=-2（m-1）2+8， 当m=1时，S 最大，最大值为8．八、本题14分x （1≤x ≤80）天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x （天）1≤x ≤40 41≤x ≤80 售价（元/件） x+40 90每天销量（件） 200-2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y 元。
安徽省合肥市2020年九年级上学期数学期中考试试卷(I)卷
安徽省合肥市2020年九年级上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018九上·青海期中) 下列图形中，是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分）(2016·慈溪模拟) 用配方法解方程x2-4x+1=0时，配方后所得的方程是（）A . (x-2)2=1B . (x-2)2=-1C . (x-2)2=3D . (x+2)2=33. （2分） (2017八上·郑州期中) 一次函数 y=ax+b，若 a+b=1，则它的图象必经过点（）A . (-1,-1)B . (-1, 1)C . (1, -1)D . (1, 1)4. （2分）(2018·钦州模拟) 下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）A .B .C .D .5. （2分）一元二次方程x2-2x=0的根是（）A . x1=0，x2=-2B . x1=1，x2=2C . x1=1，x2=-2D . x1=0，x2=26. （2分）(2018·泸县模拟) 设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A . 2B . 4C . 5D . 67. （2分）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A . 55°B . 60°C . 65°D . 70°8. （2分）(2017·竞秀模拟) 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠ADE=α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（）A . 由小变大B . 由大变小C . 不变D . 先由小变大，后由大变小9. （2分）下列方程，是一元二次方程的是（）A . 2(x-1)=3x ．B . =0.C . .D . x(x-1)=y.10. （2分） (2016九下·重庆期中) 若抛物线与轴的交点为，则下列说法不正确的是（）A . 抛物线开口向上B . 抛物线的对称轴是C . 当时,的最大值为D . 抛物线与轴的交点为和二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）已知（m﹣2）x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________ ．12. （1分） (2018八上·太原期中) 如图，已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C=90°，我们把关于x的形如y= 的一次函数称为“勾股一次函数”，若点P（1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是5，则c的值是________．13. （1分）若（x2+y2﹣1）（x2+y2+1）=8，则x2+y2的值是________．14. （1分） (2020九上·泰兴期末) 在二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则m、n的大小关系为 m________n．（填“＜”，“＝”或“＞”）15. （1分）(2018·河南) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为________．16. （1分）如图，弦AB与⊙O相交于A、B两点，已知⊙O的直径为10，若圆心O到AB的距离为3，那么弦AB长为________三、解答题 (共8题；共82分)17. （10分） (2016九上·连城期中) 解方程：x2﹣2x=4．18. （10分） (2019九上·中原月考) 在一元二次方程中，有著名的韦达定理:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根x1 ， x2 ，那么x1+x2= ，x1+x2= (说明:定理成立的条件△≥0).比如方程2x2-3x-1=0中，△=17，所以该方程有两个不等的实数解.记方程的两根为x1 ， x2 ，那么x1+x2= ，x1+x2= .请阅读材料回答问题:（1）已知方程x2-3x-2=0的两根为x1、x2，求下列各式的值:①x12+x22；② ；（2）已知x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.①是否存在实数k，使(2x1-x2)(x1-2x2)= 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；②求使 -2的值为整数的实数k的整数值.19. （6分） (2015八下·洞头期中) 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱每降低1元，每天可多售出2箱．（1）如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？（2）试问当降价几元时，总利润达到最大值？20. （10分）以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接EF和FM．（1）如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=________（2）如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（3）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=3．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为________ ，最大值为________ ．过O作OE⊥AB于E，∵BO=3，∠ABO=30°，∴AO=3，AB=6，∴AB•OE=OA•OB，∴OE=，∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP-ON=；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=，∴线段PN长度的最小值为，最大值为.21. （10分） (2018八上·江阴期中) 如图（1），在矩形ABCD中，BC=8，点P是BC边上一点，且BP=3，点E是线段CD上的一个动点，把△PCE沿PE折叠，点C的对应点为点F，当点E与点D重合时，点F恰好落在AB上．（1）求CD的长；（2）若点F刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求线段CE的长；（3）请直接写出AF的最小值.22. （15分）(2017·台湾) 如图，在坐标平面上，O为原点，另有A（0，3），B（﹣5，0），C（6，0）三点，直线L通过C点且与y轴相交于D点，请回答下列问题：（1）已知直线L的方程为5x﹣3y=k，求k的值．（2）承（1），请完整说明△AOB与△COD相似的理由．23. （6分） (2020八上·常州期末) 如图1，对于平面直角坐标系x O y中的点A和点P，若将点P绕点A 顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”.（1）△PAQ是________三角形;（2）已知点A的坐标为（0, 0），点P关于点A的“垂链点”为点Q①若点P的坐标为（2, 0），则点Q的坐标为________；②若点Q的坐标为（-2, 1），则点P的坐标为________；（3）如图2, 已知点D的坐标为（3, 0），点C在直线y=2x上,若点C关于点D的“垂链点”在坐标轴上，试求点C的坐标.24. （15分）(2018·泸州) 如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m,0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱周长取最大值时，求点G的坐标．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共82分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、24-3、。
2020-2021学年人教版第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)
九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
安徽合肥瑶海区2024年上学期九年级期中考试数学答案
安徽省合肥市瑶海区2024-2025学年度第一学期九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．抛物线y ＝4(2x ﹣3)2+3的顶点坐标是（ ）A ．(32，3)B ．(4，3)C ．(3，3)D ．(﹣3，3)【答案】A【分析】根据顶点式2()y a x h k =−+的顶点坐标为(),h k 求解即可 【详解】解：抛物线2234331(2))3(62yx x =−+=−+的顶点坐标是3(,3)2 故选A【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =−+的顶点坐标为(),h k ，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．2．抛物线()2243y x =−+−的对称轴是（ ）A ．直线4x =B ．直线4x =−C ．直线3x =D ．直线3x =−【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的性质．解题的关键是熟练掌握由抛物线的顶点式写出抛物线的对称轴表达式．根据抛物线()2y x h k =−+的对称轴是直线x h =即可确定．【详解】抛物线()2243y x =−+−的对称轴是直线4x =−．故选：B ．3．下列四条线段a b c d ,,,中，不是成比例线段的是（ ）A ．1,2,4,8a b c d ==== B ．1,a b c d ==C ．2,4,5,15a b c d ==== D ．2,a b cd ==【答案】C 【分析】本题考查线段成比例的知识，可以根据定义判定，也可以计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．【详解】解：A 、12a b = ，4182c d ==，a c b d ∴=，故四条线段a b c d ,,,是成比例线段，不符合题意；B 、a b = c d =，a c b d ∴=，故四条线段a b c d ,,,是成比例线段，不符合题意；C 、2142a b == ，51153c d ==，a c b d∴≠，故四条线段a b c d ,,,不是成比例线段，符合题意；D 、a b = c d =a c b d ∴=，故四条线段a b c d ,,,是成比例线段，不符合题意． 故选：C ．4．将抛物线2(1)2y x =−−+先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（ ）A ．2(2)4y x =−−+B ．24y x =−+C ．2y x =−D ．2(1)4y x =−++【答案】B【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，解题的关键是：直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．【详解】解： 将抛物线2(1)2y x =−−+先向上平移2个单位，再向左平移1个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：2(11)22y x =−−+++，即24y x =−+．故选：B ．5．如果当0x >时，反比例函数0)y k =≠的函数值随x 的增大而增大，那么一次函数123y kx k =−的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象性质：y kx b =+与y 轴交于()0,b ，当0b >时，()0,b 在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当0b <时，()0,b 在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．①0,0k b y kx b >>⇔=+的图象在一、二、三象限；②0,0k b y kx b ><⇔=+的图象在一、三、四象限；③0,0k b y kx b <>⇔=+的图象在一、二、四象限；④0,0k b y kx b <<⇔=+的图象在二、三、四象限．反比例函数的图象性质，反比例函数(0)k y k x=≠的图象是双曲线，当0k >，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．由反比例函数的性质可判断k 的符号，再根据一次函数的性质即可判断一次函数的图象经过的象限．【详解】解：由题意得：0k <，103k ∴<，20k −>， ∴一次函数123y kx k =−的图象经过第一、二、四象限， 故选：B ． 6．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ）.A ．B ．∠B ＝∠DC ．D ．∠C ＝∠AED【答案】C 【详解】试题分析：根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． ：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A ，B ，D 都可判定△ABC ∽△ADE选项C 中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选C ．考点: 相似三角形的判定．7．如图，在三角形纸片ABC 中，9AB =，6AC =，12BC =，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．【详解】解：在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，AC ＝6，BC ＝12．A ．因为661122BC == ，对应边93124AB BC ==， 1324≠ ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 不相似，故此选项错误；B ．因为44263AC == ，对应边6293AC AB ==，又∠A ＝∠A ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似，故此选项正确；C ．因为449AB = ，对应边93124AB BC ==，即：4394≠，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 不相似，故此选项错误；D 、因为4263= ，对应边61122AC BC ==， 2132≠，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 不相似，故此选项错误；故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键．8．如图，矩形OABC 与反比例函数11k y x =（1k 是非零常数，0x >）的图象交于点M ，N ，与反比例函数22k y x=（2k 是非零常数，0x >）的图象交于点B ，连接OM ON ，．若四边形OMBN 的面积为6，则12k k −=（ ）A ．6B ．6−C ．3D ．3−【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质以及反比例函数的系数k 的几何意义，根据矩形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义即可得出结论．【详解】解：∵1y 、2y 的图象均在第一象限，∴10k >，20k >，∵点M ，N 均在反比例函数11k y x=的图象上， ∴112AOM CON S S k == ， ∵矩形OABC 的顶点B 在反比例函数22k y x =的图象上， ∴2OABC S k =矩形，∴6OAM OCN OABC OMBN S S S S =−−= 矩形四边形，∴216k k −=， ∴126k k −=−，故选：B ．9．如图，在矩形ABCD 中，4cm,2cm AB AD ==，动点M 自点A 出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向点 B 运动，同时动点N 自点A 出发沿折线AD DC CB －－以每秒2cm 的速度运动，到达点B 时运动同时停止．设AMN 的面积为()2cm y ，运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．根据题意，分三段（01x <<，13x ≤<，34x ≤<）分别求解y 与x 的解析式，从而求解．【详解】解：当01x <<时，M N 、分别在线段AB AD 、上，此时cm AM x =，2cm AN x =，212AMN y S AM AN x ==××= ，为二次函数，图象为开口向上的抛物线； 当13x ≤<时，M N 、分别在线段AB CD 、上，此时cm AM x =，AMN 底边AM 上的高为2cm AD =，12AMN y S AM AD x ==××= ，为一次函数，图象为直线； 当34x ≤<时，M N 、分别在线段AB BC 、上，此时cm AM x =，AMN 底边AM 上的高为(82)cm BNx =−， 211(82)422AMN y S AM BN x x x x ==××=−=−+ ，为二次函数，图象为开口向下的抛物线； 结合选项，只有A 选项符合题意，故选：A ．10．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，折痕为MN ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，点C ，D 的对应点分别为E ，F 且点F 在矩形内部，MF 的延长线交BC 与点G ，EF 交边BC 于点H ．2EN =，4AB =，当点H 为GN 三等分点时，MD 的长为（ ）A ．B ．4或C ．4D ．4或4【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识；根据点H 为GN 三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明GMN MNG ∠=∠，得到MG NG =，证明FGH ENH ∽，求出FG 的长，过点G 作GP AD ⊥于点P ，则4PGAB ==，设,MD MF x ==根据勾股定理列方程求出x 即可．【详解】解：当HN =13GN 时，2GH HN =， 将矩形纸片ABCD 折叠，折痕为MN ，MF MD ∴=，CN EN =，90E C D MFE ∠=∠=∠=∠=°，DMN GMN ∠=∠，AD BC ∥， 90GFH ∴∠=°，DMN MNG ∠=∠， GMN MNG ∴∠=∠，MG NG ∴=，90GFH E ∠=∠=° ，FHG EHN ∠=∠， FGH ENH ∴ ∽， ∴2FG GH EN HN==， 24FG EN ∴==，过点G 作GP AD ⊥于点P ，则4PG==， 设MDMF x ==， 则4MG GN x ==+，6CG x ∴=+，6PM ∴=，222GP PM MG +=，∴()222464x +=+，解得：4x −MD ∴4；当GH =13GN 时，2HN GH =， FGH ENH △∽△，∴12FG GH EN HN ==， FG ∴=121EN =， 1MG GN x ∴==+，3CG x ∴=+，3∴=PM ，222GP PM MG +=，()222431x ∴+=+， 解得：4x =，4MD ∴=．故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．抛物线214y kx x =−+与x 轴有两个交点，则实数k 的取值范围是 ．【答案】1k <且0k ≠/0k ≠且1k <【分析】本题考查了二次函数与坐标轴有两个交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．直接利用根的判别式列不等式解答，再结合0k ≠，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线214y kx x =−+与x 轴有两个交点， ∴21(1)404k ∆=−−××>， ∴1k <，又∵0k ≠，∴k 的取值范围是1k <且0k ≠；故答案为：1k <且0k ≠．12．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P 为AB 的黄金分割点（AP PB >），如果AB 的长度为2cm ，那么AP 的长度为 ．【答案】)1cm −AP AB =即可求解．【详解】解：∵P 为AB 的黄金分割点，AP PB >，∴AP AB ∵AB 的长度为2cm ，∴2AP∴)1cm AP =，故答案为：)1cm −． 13．如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上一点，且BP ＝3PC ，Q 是DC 的中点，则AQ ∶QP 等于 ．【答案】2∶1【详解】试题解析：在正方形ABCD 中，AD=CD=BC=AB ．∵BP=3PC ，Q 是CD 的中点， ∴12CP CQ DQ AD ==． 又∵∠ADQ=∠QCP=90°，∴△ADQ ∽△QCP ， ∴=212AQ AD AD QP QC AD ==，即AQ ：QP=2：1． 14．如图，已知反比例函数11y x =，24y x=在第一象限的图象，过2y 上任意一点A ，作x 轴的平行线交1y于点B ，交y 轴于点C ，过点A 作x 轴的垂线交1y 于点D ，交x 轴于点E ，连接BD CE ，，则：①ABD △的面积为 ；②BD CE= ． -【答案】 9834 【分析】①设点4,A a a，可得4,B A D A y y x x a a ====，进而可求,B D 的坐标，根据12ABD S AB AD =××△即可求解；②证BAD CAE ∽即可求解．【详解】解：①设点4,A a a由题意得：4,B A D A y y x x a a ==== ∵,B D 均为11y x=图象上的点 ∴41,,,4a B D a a a∴114192248ABD a S AB AD a a a =××=×−×−= ②由①得：334,,,4AB a AD AC a AE a a==== ∴34AB AD AC AE == BAD CAE ∠=∠ BAD CAE ∴ ∽34BD AB AD CE AD AE ∴=== 故答案为：①98②34【点睛】本题考查了反比例函数得性质、相似三角形的判定与性质．根据反比例函数的解析式设点是解题关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知抛物线的顶点坐标是()1,5−，且过点()0,3−，求抛物线的解析式．【答案】()2215y x =−−【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，设抛物线的解析式为()2y a x h k =−+，根据顶点坐标得到()215y a x −−．把()0,3−代入解析式求出a 的值，即可得到抛物线的解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为()2y a x h k =−+．∵抛物线的顶点坐标是()1,5−，∴()215y a x −−．把()0,3−代入()215y a x −−得， ()23015a −=−−， 解得2a =，∴抛物线的解析式为()2215y x =−−．16．已知235a b c ==，且328a c −=−，求234c b a −+的值． 【答案】22【分析】设2a k =，3b k =，5c k =，确定2k =，计算即可，本题考查了比的性质，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解:∵235a b c ＝＝， ∴设2a k =，3b k =，5c k =，∵328a c −=−， ∴6108k k −=−， 解得2k =，∴4a =，6b =，10c =，∴23420181618c b a −+=−+=．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元，日均多售2kg．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按一天计算）．（1）如果日均获利1950元，求销售单价；（2）销售单价为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少．【答案】（1）65；（2）当单价为65时，日获利最大，最大利润为1950元．【分析】（1）若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多销售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利（x-30）元，根据题意可得等量关系：每千克利润×销售量-500元=总利润，根据等量关系列出方程即可；（2）运用配方法配成顶点式，得顶点坐标，结合x的取值范围即可求得结论．【详解】解：（1）设销售单价为 x元，由题意得：（x-30）[60+2（70-x）]-500=1950，解得：x1=x2=65，∵销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，∴x=65符合题意，答：销售单价为65元时，日均获利为1950元；（2）设销售单价为 x元，可获得利润为y，由题意得：y=（x-30）[60+2（70-x）]-500=-2x2（30≤x≤70），∴y=-2x2+260x-6500可化为y=-2（x-65）2+1950的形式，∴顶点坐标为（65，1950），∵30＜65＜70，当单价定为65元时，日均获利最大，最大利润为1950元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是根据题意表示出日均销售量，以及每千克的利润．18．观察与发现：如图：小明将一个边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的点E 处（不与A，B重合），折痕FH交AD于点F，交BC于点H，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，(1)小明认为AEF BGE ∽，你同意吗？请说明理由．(2)实践与探究：在上图中，当2cm AE =时，请你计算BGE △的周长．【答案】(1)同意，理由见解析(2)BGE △的周长为12cm ．【分析】（1）根据折叠的性质可得90FEQ D EF DF ∠=∠=°=，，根据角之间的关系通过等量代换可得AFE BEG ∠=∠；结合90A B ∠=∠=°，利用相似三角形的判定定理即可解答； （2）设AF x =，则6DF EF x ==−，由勾股定理求出AF 的长；接下来利用相似三角形的性质求出BG 和GE 的长度，然后利用周长的计算公式计算即可．【详解】（1）解：同意．理由如下：根据折叠的性质可得90FEQ D EF DF ∠=∠=°=，． ∵9090AEF BEGAEF AFE ∠+∠=°∠+∠=°，， ∴AFE BEG ∠=∠． ∵90A B ∠=∠=°， ∴AEF BGE ∽；（2）解：设AF x =，则6DF EF x ==−，∴()22226x x +=−， ∴83x =， 即83AF =，103EF =． ∵AEF BGE ∽， ∴AF AE EF BE BG GE==， 即8102334BG GE==，∴35BG GE ==，， ∴BGE △的周长为()34512cm ++=． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，直线3y x =−，与反比例函数k y x=的图象交于点A 与点(),4B m −．(1)求反比例函数的表达式；(2)求不等式3k x x−≥的解集； (3)若P 是第一象限内双曲线上的一个动点，连接OP ，过点Р作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，若POC △的面积为3，求点P 的坐标．【答案】(1)反比例函数的表达式为4y x =； (2)不等式3k x x−≥的解集为4x ≥或10x −<<； 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．（1）先求出点B 的坐标，然后利用待定系数法将B 代入反比例函数解析式中即可求出其表达式； （2）求出点A 与点B 坐标后观察函数图象即可求解；【详解】（1）解：∵直线3y x =−过点(),4B m −，∴43m −=−，解得1m =−，()1,4B ∴−−． ∵反比例函数k y x=的图象过点()1,4B −−， ()144k ∴=−×−=，∴反比例函数的表达式为4y x=； （2）解：联立43x x −=， 解得1241x x ==−，，∴()41A ，，()14B −−，， ∴不等式3k x x−≥的解集为4x ≥或10x −<<； 20．如图，P 是ABCD 的边BC 的延长线上任意一点，AP 分别交BD 和CD 于点M 和N ．(1)若32BC CP =，求CN DN的值； (2)求证：2AM MN MP =⋅．【答案】(1)23(2)证明见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质：（1）由平行四边形对角相等且平行得到AD BC =，AD BC ∥，则可证明32AD CP =，再证明ADN PCN △∽△，即可得到23CN CP DN AD ==； （2）通过证明ADM PBM △∽△，ABM NDM ∽，可得AM BM PM MN DM AM==，据此即可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥， ∵32BC CP =， ∴32AD CP =， ∵AD BC ∥，∴ADN PCN △∽△， ∴23CN CP DN AD ==； （2）证明：∵在ABCD 中，AD BC ∥，ADM MBP ∴∠=∠，DAM BPM ∠=∠，ADM PBM ∴ ∽， ∴AM DM PM BM=， ∵在ABCD 中，AB DC ，ABD BDN ∴∠=∠，BAM MND ∠=∠，ABM NDM ∴ ∽， ∴MN DM AM BM=， ∴AM BM PM MN DM AM==， 2AM MN MP ∴=⋅．六、（本题满分12分）21．近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，若该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间满足二次函数关系如图所示．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)若跑道长度为700m ，请通过计算说明是否够此无人机着陆；(3)当跑道长度足够时，请求出无人机着陆后最后两秒滑行的距离．【答案】(1)2280y x x =−+ (2)跑道长度不够无人机降落(3)无人机着陆后最后两秒滑行的距离为8m【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出最值，与700m 进行比较，判断即可；（3）求出18x =时的函数值，进行计算即可．【详解】（1）解：∵函数图象过点()()()0,0,10,600,15,750，∴设函数解析式为2y ax bx =+，把()()10,600,15,750代入，得：1001060022515750a b a b += +=， 解得：280a b =− =， ∴2280y x x =−+； （2）解：∵()22280220800y x x x =−+=−−+， ∴当20x 时，y 有最大值为800，∵800700>，∴跑道长度不够无人机降落；（3）解：∵20x ，y 有最大值为800，此时无人机停止，∴当18x =时，22188018792y =−×+×=， ∵8007928−=， ∴无人机着陆后最后两秒滑行的距离为8m ．七、（本题满分12分）22．（1）如图1，ABC 和DEC 均为等腰直角三角形，90BAC EDC ∠=∠=°，连接AD ，BE ，则BE AD=_______（2）如图2，正方形ABCD 的边长为8m ，E 为边AB 上一动点，以CE 为斜边在正方形ABCD 内部作等腰直角三角形CEF △，90CFE ∠=°，连接DF ，求CDF ∠的度数． （3）在（2）的条件下，如图3，连接DE ，求DEF 面积的最大值．【答案】（1（2）45°；（3）4【分析】（1）证明ACD BCE ∽△△，可得到BE BC AD AC ==（2）连接AC ，证明AEC DFC ∽，可得到45CDF EAC ∠=∠=°； （3）作FH CD ⊥，设FH a =，那么DH a =，那么8CH a =−，因为1322CDE S DC CB =⋅= ，142CDF S CD FH a =⋅= ，2221(8)22CEF a a S CF +−== ，那么22(8)3242DEF CED CEF CDF a a S S S S a +−=−−=−− ，最后利用配方法求得DEF S △的最值． 【详解】解：（1） ABC 和DEC 均为等腰直角三角形，90BAC EDC ∠=∠=°45ACB ECD ∴∠=∠=°，AC CD BC CE==BCE ACD ∴ ∽BE BC AD AC ∴==；（2）连接AC ，如图所示四边形ABCD 是正方形45EAC ACD ∴∠=°=∠，CD AC =CEF 为等腰直角三角形，90CFE ∠=°45FCE ，CF CE 45ACF DCF ACF ACE ∴∠+∠=∠+∠=°ACE DCF ∴∠=∠ACE DCF ∴△∽△45CDF CAE ∴∠=∠=°（3）作FH CD ⊥交CD 于H ，不妨设FH a =，如图所示：由（2）可知，45FDC ∠=° 那么DFH 为等腰直角三角形FH DH a ∴==那么8CH a =−22222(8)CF FH CH a a ∴=+=+−1322CDE S DC CB ∴=⋅= ，142CDF S CD FH a =⋅= ，2221(8)22CEF a a S CF +−==2222(8)3244(2)42DEF CED CEF CDF a a S S S S a a a a +−∴=−−=−−=−+=−−+ 2a ∴=时，DEF S △最大，此时最大值为4 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的的判定与性质，正方形的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．八、（本题满分14分）23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c ++交x 轴于点A (−4,0)，()2,0B ，交y 轴于点C (0,6)，在y 轴上有一点()0,2E −，连接AE ．(1)求二次函数的表达式；(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值及此时D 点的坐标；(3)抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP △为以AE 为底的等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标即可；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为233642y x x =−−+ (2)ADE 面积的最大值为503，此时D 点坐标为220,33 −(3)存在，点P 的坐标为()1,1−【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键．（1）直接用待定系数法求解即可；（2）可求得直线AE 的表达式为12,2y x =−−过点D 作 DN x ⊥轴于点G ， 交AE 于点F ， 设233,6,42D x x x −−+ 则1,2,2F x x −− 所以2384DF x x =−−+，则 23250233ADE S x =−++ ，即可求得ADE 面积的最大值是503； （3）先求得抛物线的对称轴为直线1,x =−设()1,P t −，再根据AEP △为等腰三角形，且以AE 为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线2y ax bx c ++经过点()4,0A −，()()2,0,0,6B C ，16404206a b c a b c c −+= ∴++==， 解得 343,26a b c =− =− =∴二次函数的表达式为233642y x x =−−+． （2）解：设直线AE 的表达式为2,y kx =−则042k =−− 解得12k =− ∴直线AE 的表达式为122y x =−− 如图1，过点D 作DN x ⊥轴于点AE 于点F ，设233,6,42D x x x −−+ 则1,22F x x −− 2233136284224DF x x x x x ∴=−−+−−−=−−+， 11142222ADE ADF EDF S S S DF AG DF OG DF DF ∴=+=⋅+⋅=××= ，第21页，共21页 2223332502821642233ADE S x x x x x ∴=−−+=−−+=−++ ， ∴当23x =−时， 503ADE S =△， 此时，2323220643233D y =−×−−×−+= ， ADE ∴ 面积的最大值是503，此时D 点坐标为220,33 − ； （3）解：存在，理由如下：()2233327614244y x x x =−−+=−++ ， ∴抛物线的对称轴为直线1x =−， 设()1,P t −，AEP △为等腰三角形，且以AE 为底边， AP PE ∴=，()0,2E −，A (−4,0)，22AP PE ∴=()()()()2222410012t t ∴−++−++−− 解得1t =，()1,1P ∴−．。
合肥市瑶海区三十八中2020届新人教版九年级上期中数学试题及答案(全套样卷)
12(0),y ax bx c a =++≠A DBCE合肥市瑶海区三十八中2020届九年级上学期期中考试数学试题(满分:150分 时间:12020)一、选择题(每小题4分，共40分) 1.已知,3a =则b a的值为:A.2.5B.53 C.23 D.352.把抛物线22y x =向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线的解析式为: A.22(2)1y x =++B.22(2)1y x =+- C.22(2)1y x =--D.22(2)1y x =-+3.若0<b ，则二次函数21y x bx =--的图象的顶点在: A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 4.下列函数中，当x ﹥0时，y 随x 的增大而减小的是: A.y=x+1 B.21y x =-C.y xπ=D.2(1)1y x =--+5.已知反比例函数y ＝xk 的图象如左图所示，则二次函数y ＝222k x kx +-的图象大致为:A B C D 6.一枚炮弹射出x 秒后的高度为y 米，且y 与x 之间的关系为若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是: A.第3.3s B.第4.3s C.第5.2s D.第4.6s 7.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是: A.若12y y =，则12x x = B.若12x x =-，则12y y =- C.若120x x <<，则12y y > D.若120x x <<，则12y y >8.已知直线y=kx(k ﹥0)与双曲线3y x=交于点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则2x 1y 2-x 2y 1的值为: A.-3B.-6C.0D.39.二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最小值为:A.-3B.3C.-6D.9得 分 评卷人题 号一 二 三 四 五 六七 八 总 分 得 分第5题图210.为庆祝抗日战争胜利70周年，某公司要在如图所示的五角星(∠A=∠D=∠H=∠G=∠E=36°，AB=AC=CE=EF=FG=GI=HI=HK=DK=DB)中，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，若BC=(5-1)米，则需要安装闪光灯:A.79盏B.80盏C.81盏D.82盏二、填空题(每小题5分，共202011.相同时刻的物高与影长成比例，已知一电线杆在地面上的影长为30m ，同时，高为1.2m 的测竿在地面上的影长为2m ，则可测得该电线杆的长是 m ．12.已知点A(-3，y 1)，B(-2，y 2)，C(3，y 3)都在反比例函数y=21k x--的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 .13.若关于x 的函数221y kx x =+-的图象与x 轴只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 . 14.已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(－2，0)，(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y 轴正半轴的交点在点(0，2)的下方，下列结论:①a＜b ＜0；②248b ac a ->-；③4a+c ﹤0；④2a －b+l ﹤0．其中正确的结论是(填写序号) ．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)，且2a ＋3b －2c ＝10，求a-2b+3c 的值.3DCBA16.已知二次函数y=-0.5x2+4x-3.5(1)用配方法把该函数化为y=a(x-h)2+k的形式,并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)求函数图象与x轴的交点坐标.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(3,0)，点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．(1)求点C的坐标；(2)求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．18.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝6，AD＝2.问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？4五、(本大题共2小题，每小题10分，满分202019. 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋2．(1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；(2)(3)112212122020知二次函数22y x mx m =-+-．(1)求证:不论m 为何实数，此二次函数的图象与x 轴都有两个不同交点； (2)若此函数y 有最小值54-，求这个函数表达式．5六、(本题满分12分)21.如图，反比例函数xmy =1与一次函数b kx y +=2的图象交于两点A(1,3)、B(n ，-1). (1)求这两个函数的解析式；(2)观察图象，请直接写出不等式mkx b x+>的解集； (3)点C 为x 轴正半轴上一点，连接AO 、AC ，且AO=AC,求⊿的面积.七、(本题满分12分)22.如图，小李在一次高尔夫球选拔赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30o，O 、A 两点相距3 (1)求直线OA 的解析式；(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；(3)判断小李这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点.BC O yx A得 分 评卷人得 分 评卷人。
2019-2020学年安徽省合肥市瑶海区第三十八中学九上期中数学试卷及解析
2019-2020学年安徽省合肥市瑶海区第三十八中学九上期中数学试卷一、选择题（共10小题；共30分）1. 抛物线y=−3x2+6x+2的对称轴是( )A. 直线x=2B. 直线x=−2C. 直线x=1D. 直线x=−12. 已知5x=6y(y≠0)，那么下列比例式中正确的是( )A. x5=y6B. x6=y5C. xy=56D. x5=6y3. 已知点A(1，−3)关于x轴的对称点A'在反比例函数y=kx的图象上，则实数k的值为()A. 3B. 13C. −3 D. −134. 在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5)(x−3)经变换后得到抛物线y=(x+3)(x−5)，则这个变换可以是( )A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向左平移8个单位D. 向右平移8个单位5. 关于反比例函数y=−4x的图象，下列说法正确的是( )A. 经过点(−1,−4)B. 当x<0时，图象在第二象限C. 无论x取何值时，y随x的增大而增大D. 图象是轴对称图形，但不是中心对称图形6. 如图，C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为( )A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. 无法确定7. 如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a:b=( )A. 2:1B. √2:1C. 3:√3D. 3:28. 正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=k2的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标x为−2，当y1<y2时，x的取值范围是( )A. x<−2或x>2B. −2<x<0或x>2C. −2<x<0或0<x<2D. x<−2或0<x<2(x−3)2+b交于点A(1,3)，且抛物线y1经过原点，9. 如图，抛物线y1=a(x+2)2+c与y2=12过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则下列结论中，正确的是( )A. c=4aB. a=1C. 当x=0时，y2−y1=4D. 2AB=3AC10. 如图，已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是( )A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）11. 若x2=y3=z4≠0，则2x+3yz=．12. 在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y=−112x2+23x+53．由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．13. 如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1=k1x (x>0)及y2=k2x(x>0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为1，则k1−k2=．14. 已知二次函数y=(x−ℎ)2+3，当自变量x满足1≤x≤3时，函数有最小值2ℎ，则ℎ的值为．三、解答题（共9小题；共100分）15. 已知抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)经过点(−1,0)，(3,0)，求a，b的值．16. 已知二次函数的图象经过点P(2,2)，顶点为0(0,0)，将该图象向右平移，当它再次经过点P时，求所得抛物线的函数表达式．17. 如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且ACBC =EFFD，DG∥AB，求证：AD=EB．18. 阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则ABAC =BDCD．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90∘，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是．19. 如图是反比例函数y=kx的图象，当−4≤x≤−1时，−4≤y≤−1．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若M，N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围．20. 有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A(1,0)，B(x2,y2)（点B在点A的右侧）；②对称轴是x=3；③该函数有最小值是−2．（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象中x>x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于x轴的直线y=m与图象“G”的交点的个数情况．21. “疾驰臭豆腐”是长沙知名地方小吃，某分店经理发现，当每份臭豆腐的售价为6元时，每天能卖出500份；当每份臭豆腐的售价每增加0.5元时，每天就会少卖出20份，设每份臭豆腐的售价增加x元时，一天的营业额为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）考虑到顾客可接受价格a元/份的范围是6≤a≤9，且a为整数，不考虑其他因素，则该分店的臭豆腐每份多少元时，每天的臭豆腐营业额最大?最大营业额是多少元?22. 家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R(kΩ)随温度t(∘C)（在一定范围内）变化的大致图象如图所示，通电后，发热材料的温度在由室温10∘C上升到30∘C的过程中，电阻与温度成反例关系，且在温度达到30∘C时，电阻下降到最小值：随后电阻承温度升高而增加，kΩ．温度每上升1∘C，电阻增加415（1）求R和t之间的关系式；（2）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过4kΩ．23. 如图，直线l:y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A，B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM，BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时动点M相应的位置记为点Mʹ，写出点Mʹ的坐标．答案第一部分 1. C 【解析】∵y =−3x 2+6x +2=−3(x −1)2+5， ∴ 抛物线顶点坐标为 (1,5)，对称轴为 x =1．2. B【解析】A ．x5=y6，则 5y =6x ，故此选项错误．B ．x 6=y 5，则 5x =6y ，故此选项正确．C ．xy=56，则 5y =6x ，故此选项错误．D ．x 5=6y ，则 xy =30，故此选项错误． 3. A【解析】【分析】先根据关于x 轴对称的点的坐标特征确定A '的坐标为(1，3)，然后把Aʹ的坐标代入y =kx 中即可得到k 的值．【解析】解：点A(1，−3)关于x 轴的对称点A '的坐标为(1，3)， 把Aʹ(1，3)代入y =kx 得k =1×3=3．故选：A ．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y =kx (k 为常数，k ≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x ，y)的横纵坐标的积是定值k ，即xy =k ． 4. B【解析】y =(x +5)(x −3)=(x +1)2−16，顶点坐标是 (−1,−16)．y =(x +3)(x −5)=(x −1)2−16，顶点坐标是 (1,−16)．所以将抛物线 y =(x +5)(x −3) 向右平移 2 个单位长度得到抛物线 y =(x +3)(x −5)． 5. B【解析】当 x =−1 时，y =−4−1=4≠−4，故点 (−1,−4) 不在函数图象上，故A 不正确； 在 y =−4x中，k =−4<0，∴ 当 x <0 时，其图象在第二象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，图象既是轴对称图形也是中心对称图形，故B 正确，C ，D 不正确． 6. B 7. B8. D【解析】由函数的中心对称性可得点 A 的横坐标为 2，由图象可得，当 y 1≤y 2 时，x <−2 或 0<x <2．9. D 【解析】∵y 1=a (x +2)2+c 经过点 A (1,3) 与原点，∴{9a +c =3,4a +c =0.解得 {a =35,c =−125.∴c =−4a ，故A ，B 选项错误； ∵y 2=12(x −3)2+b 经过点 A (1,3)，∴12(1−3)2+b=3，解得b=1，∴y2=12(x−3)2+1，当x=0时，y=12(0−3)2+1=5.5，此时y2−y1=5.5，故C选项错误；∵过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，∴令y=3，则35(x+2)2−125=3，整理得，(x+2)2=9，解得x1=−5，x2=1，∴AB=1−(−5)=6，12(x−3)2+1=3，整理得，(x−3)2=4，解得x1=5，x2=1，∴AC=5−1=4，∴2AB=3AC，故D选项正确．10. D【解析】根据题意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC的边长为2，故BE=CF=AG=2−x，故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等．在△AEG中，AE=x，AG=2−x，则S△AEG=12AE×AG×sinA=√34x(2−x)，故y=S△ABC−3S△AEG=√3−3×√34x(2−x)=3√34x2−3√32x+√3．故可得其图象为二次函数，且开口向上．第二部分11. 134【解析】根据题意，设x=2k，y=3k，z=4k，则2x+3yz =134．12. 10【解析】当y=0时，y=−112x2+23x+53=0，解得，x=−2（舍去），x=10．13. 2【解析】设点A坐标为(a,b)，则ab=k1．∴S△AOP=12AP⋅OP=12ab=12k1．同理S△BOP=12k2．∵S△AOB=S△AOP−S△BOP=12(k1−k2)=1，∴k 1−k 2=2． 14. 32 或 6【解析】∵y =(x −ℎ)2+3 中 a =1>0， ∴ 当 x <ℎ 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x >ℎ 时，y 随 x 的增大而增大；①若 1≤ℎ≤3，则当 x =ℎ 时，函数取得最小值 2ℎ，即 3=2ℎ，解得：ℎ=32．②若 ℎ<1，则在 1≤x ≤3 范围内，x =1 时，函数取得最小值 2ℎ，即 (1−ℎ)2+3=2ℎ，解得：ℎ=2>1（舍去）．③若 ℎ>3，则在 1≤x ≤3 范围内，x =3 时，函数取得最小值 2ℎ，即 (3−ℎ)2+3=2ℎ，解得：ℎ=2（舍）或 ℎ=6， 综上，ℎ 的值为 32 或 6． 第三部分15. ∵ 抛物线 y =ax 2+bx −3(a ≠0) 经过点 (−1,0)，(3,0)，∴{a −b −3=0,9a +3b −3=0,解得 {a =1,b =−2, 即 a 的值是 1，b 的值是 −2．16. 设原来的抛物线解析式为：y =ax 2(a ≠0)， 把 P (2,2) 代入，得 2=4a ， 解得 a =12，故原抛物线解析式是：y =12x 2，设平移后的抛物线解析式为：y =12(x −b )2， 把 P (2,2) 代入，得 2=12(2−b )2，解得 b =0（舍去）或 b =4，所以平移后抛物线的解析式是：y =12(x −4)2．17. 过 D 点作 DH ∥BC 交 AB 于 H ，如图．∵DH ∥BC ， ∴△AHD ∼△ABC ， ∴AD AC=DHBC，即 AD DH =ACBC ， ∵DH ∥BE ，∴△BEF ∼△HDF ， ∴BE HD =EF DF ，∵AC BC =EFFD ， ∴BEHD =ADDH ， ∴AD =EB ．18. （1） 如图 2，过 C 作 CE ∥DA 交 BA 的延长线于 E ， ∵CE ∥AD ，∴BDCD =BA EA ，∠2=∠ACE ，∠1=∠E ， ∵∠1=∠2， ∴∠ACE =∠E ， ∴AE =AC ， ∴AB AC =BD CD．（2）9+3√52【解析】如图 3，∵AB =3，BC =4，∠ABC =90∘，∴AC =5， ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴AC AB=CD BD，即 53=CD BD，∴BD =38BC =32，∴AD =√BD 2+AB 2=√(32)2+32=3√52， ∴△ABD 的周长 =32+3+3√52=9+3√52． 19. （1） ∵ 在反比例函数的图象中，当 −4≤x ≤−1 时，−4≤y ≤−1， ∴ 反比例函数经过坐标 (−4,−1)，将坐标代入反比例函数 y =kx中，得反比例函数的解析式为 y =4x．（2） 当 M ，N 为一、三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段 MN 最短．将 y =x 代入 y =4x ，解得 {x =2,y =2, {x =−2,y =−2,即 M (2,2)，N (−2,−2)， ∴OM =2√2，则 MN =4√2．又 ∵M ，N 为反比例函数图象上的任意两点， 由图象特点知，线段 MN 无最大值，即 MN ≥4√2． 20. （1） 由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为 (3,−2)， 设二次函数的表达式为 y =a (x −3)2−2． ∵ 该函数图象经过点 A (1,0)， ∴0=a (x −3)2−2，解得 a =12．∴ 二次函数解析式为 y =12(x −3)2−2． （2） 如图所示．当 m >0 时，直线 y =m 与 G 有一个交点；当 m =0 时，直线 y =m 与 G 有两个交点；当 −2<m <0 时，直线 y =m 与 G 有三个交点；当 m =−2 时，直线 y =m 与 G 有两个交点；当 m <−2 时，直线 y =m 与 G 有一个交点．21. （1） 由题意得：y =(500−x12×20)(6+x )=(x +6)(500−40x )．（2） 6≤a ≤9，即 0≤x ≤3，y =(x +6)(500−40x )=−40(x +6)(x −12.5)，函数的对称轴为：x =6.5，∵−40<0，函数有最大值，当 x <6.5 时，函数随 x 的增大而增大，而 0≤x ≤3，故 x =3 时，y 最大，此时，y 最大值为：3420，即每份 9 元时，营业额最大，最大营业额是 3420 元．22. （1） ∵ 温度在由室温 10∘C 上升到 30∘C 的过程中，电阻与温度成反比例关系， ∴ 当 10≤t ≤30 时，设关系为 R =k t ，将 (10,6) 代入上式中得 6=k 10，解得 k =60． 故当 10≤t ≤30 时，R =60t ；将 t =30∘C 代入上式中得 R =6030，R =2．∴ 温度在 30∘C 时，电阻 R =2(kΩ)．∵ 在温度达到 30∘C 时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升 1∘C ，电阻增加 415 kΩ， ∴ 当 t ≥30 时，R =2+415(t −30)=415t −6．故 R 和 t 之间的关系式为 R ={60t ,10≤t ≤30415t −6,t ≥30．（2）把R=4代入R=415t−6，得t=37.5；把R=4代入R=60t，得t=15．∴温度在15∘C∼37.5∘C时，发热材料的电阻不超过4kΩ．23. （1）直线l:y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A，B两点，则点A，B的坐标分别为(1,0)，(0,3)．抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B(0,3)，则a+4=3，解得a=−1．故抛物线的表达式为y=−x2+2x+3．（2）过点M作MH⊥x轴于点H．设点M(m,−m2+2m+3)，则S=S矩形BOHM−S△OAB−S△AMH=12(−m2+2m+3)×m−12[3×1+(m−1)(−m2+2m+3)]=−12m2+52m−32.∵−12<0，故S有最大值，当m=52时，S的最大值为138．（3）当S取得最大值时，此时m=52，则y=−m2+2m+3=74．故点Mʹ的坐标为(52,74 )．。
合肥38中2019-2020学年九年级上学期数学试卷及答案解析
2019-2020学年安徽省合肥三十八中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．（4分）抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（ ）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1 2．（4分）已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）A．B．C．D．3．（4分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（ ）A．3B．C．﹣3D．﹣4．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（ ）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位5．（4分）关于反比例函数y＝﹣的图象，下列说法正确的是（ ）A．经过点（﹣1，﹣4）B．当x＜0时，图象在第二象限C．无论x取何值时，y随x的增大而增大D．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形6．（4分）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（ ）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定7．（4分）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（ ）A．2：1B．：1C．3：D．3：28．（4分）正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）A．x＜﹣2或x＞2B．﹣2＜x＜0或x＞2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2D．x＜﹣2或0＜x＜29．（4分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2+c与y2＝（x﹣3）2+b交于点A（1，3），且抛物线y1经过原点．过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则下列结论中，正确的是（ ）A．c＝4a B．a＝1C．当x＝0时，y2﹣y1＝4D．2AB＝3AC10．（4分）如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE ＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）若，则＝ ．12．（5分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米．13．（5分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A、B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为1，则k1﹣k2＝ ．14．（5分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+3，当自变量x满足1≤x≤3时，函数有最小值2h ，则h的值为 ．三、解答题（共2小题，满分16分）15．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．16．（8分）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为0（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，求所得抛物线的函数表达式．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且，DG ∥AB，求证：AD＝EB．18．（8分）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC ，则△ABD的周长是 ．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图是反比例函数y＝的图象，当﹣4≤x≤﹣1时，﹣4≤y≤﹣1．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若M、N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围．20．（10分）有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣2．（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象中x＞x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于x轴的直线y＝m与图象“G”的交点的个数情况．六、（本题满分12分）21．（12分）“疾驰臭豆腐”是长沙知名地方小吃，某分店经理发现，当每份臭豆腐的售价为6元时，每天能卖出500份；当每份臭豆腐的售价每增加0.5元时，每天就会少卖出20份，设每份臭豆腐的售价增加x元时，一天的营业额为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）考虑到顾客可接受价格a元/份的范围是6≤a≤9，且a为整数，不考虑其他因素，则该分店的臭豆腐每份多少元时，每天的臭豆腐营业额最大？最大营业额是多少元？七、（本题满分12分）22．（12分）家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻承温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．（1）求R和t之间的关系式；（2）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过4kΩ．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M ′的坐标．2019-2020学年安徽省合肥三十八中九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．（4分）抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（ ）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1【解答】解：∵y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x﹣1）2+5，∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x＝1．故选：C．2．（4分）已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、＝，则5y＝6x，故此选项错误；B、＝，则5x＝6y，故此选项正确；C、＝，则5y＝6x，故此选项错误；D、＝，则xy＝30，故此选项错误；故选：B．3．（4分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（ ）A．3B．C．﹣3D．﹣【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．故选：A．4．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（ ）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位【解答】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选：B．5．（4分）关于反比例函数y＝﹣的图象，下列说法正确的是（ ）A．经过点（﹣1，﹣4）B．当x＜0时，图象在第二象限C．无论x取何值时，y随x的增大而增大D．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣＝4≠﹣4，故点（﹣1，﹣4）不在函数图象上，故A不正确；在y＝﹣中，k＝﹣4＜0，∴当x＜0时，其图象在第二象限，在每个象限内y随x的增大而增大，图象既是轴对称图形也是中心对称图形，故B正确，C、D不正确；故选：B．6．（4分）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（ ）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，∴BC2＝AC•AB，∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，∴S1＝BC2，S2＝AC•AB，∴S1＝S2．故选：B．7．（4分）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（ ）A．2：1B．：1C．3：D．3：2【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF＝AB＝a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴＝，即＝，∴（）2＝2，∴＝．故选：B．8．（4分）正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）A．x＜﹣2或x＞2B．﹣2＜x＜0或x＞2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2D．x＜﹣2或0＜x＜2【解答】解：由函数的中心对称性可得点A的横坐标为2，由图象可得，当y1≤y2时，x＜﹣2或0＜x＜2，故选：D．9．（4分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2+c与y2＝（x﹣3）2+b交于点A（1，3），且抛物线y1经过原点．过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则下列结论中，正确的是（ ）A．c＝4a B．a＝1C．当x＝0时，y2﹣y1＝4D．2AB＝3AC【解答】解：∵y1＝a（x+2）2+c经过点A（1，3）与原点，∴，解得，∴c＝﹣4a，故A、B选项错误；y1＝（x+2）2﹣，∵y2＝（x﹣3）2+b经过点A（1，3），∴（1﹣3）2+b＝3，解得b＝1，∴y2＝（x﹣3）2+1，当x＝0时，y＝（0﹣3）2+1＝5.5，此时y2﹣y1＝5.5，故C选项错误；∵过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，∴令y＝3，则（x+2）2﹣＝3，整理得，（x+2）2＝9，解得x1＝﹣5，x2＝1，∴AB＝1﹣（﹣5）＝6，（x﹣3）2+1＝3，整理得，（x﹣3）2＝4，解得x1＝5，x2＝1，∴AC＝5﹣1＝4，∴2AB＝3AC，故D选项正确．故选：D．10．（4分）如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE ＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，有AE＝BF＝CG，且正三角形ABC的边长为2，故BE＝CF＝AG＝2﹣x；故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等．在△AEG中，AE＝x，AG＝2﹣x．则S△AEG＝AE×AG×sin A＝x（2﹣x）；故y＝S△ABC﹣3S△AEG＝﹣3×x（2﹣x）＝（3x2﹣6x+4）．故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上；故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）若，则＝ ．【解答】解：根据题意，设x＝2k，y＝3k，z＝4k，则＝，故答案为：．12．（5分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 10 米．【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．故答案为：10．13．（5分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A、B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为1，则k1﹣k2＝ 2 ．【解答】解：设点A坐标为（a，b）则ab＝k1∴S△AOP＝同理S△BOP＝∵S△AOB＝S△AOP﹣S△BOP＝∴k1﹣k2＝2故答案为：214．（5分）已知二次函数y＝（x﹣h）2+3，当自变量x满足1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为 或6 ．【解答】解：∵y＝（x﹣h）2+3中a＝1＞0，∴当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大；①若1≤h≤3，则当x＝h时，函数取得最小值2h，即3＝2h，解得：h＝；②若h＜1，则在1≤x≤3范围内，x＝1时，函数取得最小值2h，即（1﹣h）2+3＝2h，解得：h＝2＞1（舍去）；③若h＞3，则在1≤x≤3范围内，x＝3时，函数取得最小值2h，即（3﹣h）2+3＝2h，解得：h＝2（舍）或h＝6，综上，h的值为或6，故答案为或6．三、解答题（共2小题，满分16分）15．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），∴，解得，，即a的值是1，b的值是﹣2．16．（8分）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为0（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，求所得抛物线的函数表达式．【解答】解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．把P（2，2）代入，得2＝4a，解得a＝．故原抛物线解析式是：y＝x2．设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2．把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．解得b＝0（舍去）或b＝4．所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且，DG ∥AB，求证：AD＝EB．【解答】证明：过D点作DH∥BC交AB于H，如图，∵DH∥BC，∴△AHD∽△ABC，∴，即，∵DH∥BE，∴△BEF∽△HDF，∴，∵，∴，∴AD＝EB．18．（8分）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC ，则△ABD的周长是 ．【解答】（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，∵CE∥AD，∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴＝；（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝5，∵AD平分∠BAC，∴＝，即＝，∴BD＝BC＝，∴AD＝＝＝，∴△ABD的周长＝+3+＝．故答案为．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图是反比例函数y＝的图象，当﹣4≤x≤﹣1时，﹣4≤y≤﹣1．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若M、N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围．【解答】解：（1）∵在反比例函数的图象中，当﹣4≤x≤﹣1时，﹣4≤y≤﹣1，∴反比例函数经过坐标（﹣4，﹣1），将坐标代入反比例函数y＝中，得反比例函数的解析式为y＝（2分）；（2）当M，N为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短．将y＝x代入，解得，即M（2，2），N（﹣2，﹣2）．∴OM＝2．则MN＝4．又∵M，N为反比例函数图象上的任意两点，由图象特点知，线段MN无最大值，即MN≥4．20．（10分）有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣2．（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象中x＞x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于x轴的直线y＝m与图象“G”的交点的个数情况．【解答】解：（1）由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣2），设二次函数的表达式为：y＝a（x﹣3）2﹣2．∵该函数图象经过点A（1，0），∴0＝a（x﹣3）2﹣2，解得a＝∴二次函数解析式为：y＝（x﹣3）2﹣2．（2）如图所示：当m＞0时，直线y＝m与G有一个交点；当m＝0时，直线y＝m与G有两个交点；当﹣2＜m＜0时，直线y＝m与G有三个交点；当m＝﹣2时，直线y＝m与G有两个交点；当m＜﹣2时，直线y＝m与G有一个交点．六、（本题满分12分）21．（12分）“疾驰臭豆腐”是长沙知名地方小吃，某分店经理发现，当每份臭豆腐的售价为6元时，每天能卖出500份；当每份臭豆腐的售价每增加0.5元时，每天就会少卖出20份，设每份臭豆腐的售价增加x元时，一天的营业额为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）考虑到顾客可接受价格a元/份的范围是6≤a≤9，且a为整数，不考虑其他因素，则该分店的臭豆腐每份多少元时，每天的臭豆腐营业额最大？最大营业额是多少元？【解答】解：（1）由题意得：y＝（500﹣×20）（6+x）＝（x+6）（500﹣40x）；（2）6≤a≤9，即0≤x≤3，y＝（x+6）（500﹣40x）＝﹣40（x+6）（x﹣12.5），函数的对称轴为：x＝6.5，∵﹣40＜0，函数有最大值，当x＜6.5时，函数随x的增大而增大，而0≤x≤3，故x＝3时，y最大，此时，y最大值为：3420，即每份9元时，营业额最大，最大营业额是3420元．七、（本题满分12分）22．（12分）家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻承温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．（1）求R和t之间的关系式；（2）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过4kΩ．【解答】解：（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，∴当10≤t≤30时，设关系为R＝，将（10，6）代入上式中得：6＝，解得k＝60．故当10≤t≤30时，R＝；将t＝30℃代入上式中得：R＝，R＝2．∴温度在30℃时，电阻R＝2（kΩ）．∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ，∴当t≥30时，R＝2+（t﹣30）＝t﹣6；故R和t之间的关系式为R＝；（2）把R＝4代入R＝t﹣6，得t＝37.5，把R＝4代入R＝，得t＝15，所以，温度在15℃～37.5℃时，发热材料的电阻不超过4kΩ．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M ′的坐标．【解答】解：（1）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则点A、B 的坐标分别为：（1，0）、（0，3），抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B（0，3），则a+4＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点M作MH⊥x轴于点H，设点M（m，﹣m2+2m+3），则S＝S梯形BOHM﹣S△OAB﹣S△AMH＝（﹣m2+2m+3）×m﹣[3×1+（m﹣1）（﹣m2+2m+3）]＝﹣m2+m﹣，∵0，故S有最大值，当m＝时，S的最大值为：；（3）当S取得最大值时，此时，m＝，则y＝﹣m2+2m+3＝，故点M′的坐标为：（，）．21。