八年级数学下册-18-2-1-矩形-第1课时-矩形的性质导学案-(新版)新人教版

18.2 特殊的平行四边形

18.2.1 矩形

第1课时矩形的性质

1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.

2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.

自学指导：阅读课本52页至53页，完成下列问题.

1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.生活中你见到过的矩形有五星红旗、毛巾.

3.矩形的四个角都是直角.

4.矩形的对角线相等.

5.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质.

知识探究

1.在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.

(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

(2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？

操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质.

矩形性质1 矩形的四个角都是直角.

矩形性质2 矩形的对角线相等.

2.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OB与AC是什么关系？

解：由矩形性质2得：AC=BD，再由平行四边形性质得：AO=OC，BO=OD，所以AO=BO=CO=DO=1

2

AC=

1

2

BD.

因此可得直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

3.矩形的对称性：中心对称轴对称

自学反馈

(一)矩形是轴对称图形吗?如果是的话它有几条对称轴?

解：既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴有两条.

(二)请用所学的知识诊断下面的语句,若正确请在括号里打“√”，若“有病”请开药方：

1.矩形是特殊的平行四边形,特殊之处就是有一个角是直角.(√)

2.平行四边形是矩形.(×)

解：矩形是平行四边形.

3.平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有.(√)

(三)请猜想矩形还有没有区别于平行四边形的性质.

活动1 小组讨论

例1如图，矩形A BCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4 cm,求矩形对角线的长.

分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知条件，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求.

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC与BD相等且互相平分.

∴OA=OB.

又∠AOB=60°，

∴△OAB是等边三角形.

∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=2×4=8(cm).

例2如图，矩形ABCD，AB长8 cm，对角线比A D边长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.

分析：(1)因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法.

解：设AD=xcm，则对角线长(x+4)cm，

在Rt△ABD中，由勾股定理可知：x2+82=(x+4)2，

解得x=6.则AD=6 cm.

(2)“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE×DB＝AD×AB，解得AE＝4.8 cm.

例3如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC.求证：CE＝EF.

分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形.

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，且AD∥BC.

∴∠1=∠2.

∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°.

∴∠B=∠AFD.又AD=AE，

∴△ABE≌△DFA(AAS).

∴AF=BE.

∴EF=EC.

活动2 跟踪训练

1.矩形的四个角都是直角，对角线相等且平分.

2.直角三角形两直角边长分别为6 cm、8 cm,则斜边上的中线长为5cm.

3.如图,在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,若AB=6 cm,∠BOC=120°,则∠ACB=30°,AC=12 cm.

4.若矩形的两条对角线的一个夹角是60°,且一条对角线的一半与一条短边的和是12 cm，则此矩形的对角线的长是12 cm.

3、4题都是依据矩形对角线互相平分和相等来判断两条对角线的一半与一短边构成等边三角形.

5.如图,矩形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上的F处,如果∠BAF=60°,则∠DAE=15°.

在Rt△ABF中，∠BAF=60°，则∠BFA=30°，

∵点D落在点F处，∴∠AFE=90°，∴∠EFC=60°，∴∠FEC=30°，

又∠AEF=∠AED，∴∠AED=(180°-30°)÷2=75°，

∴∠DAE=90°-75°=15°.

6.如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于O,∠ACD=30°,AB=4. （1）判断△AOD的形状;

（2）求对角线AC、BD的长.

解：（1）△AOD是等边三角形；（2）AC=BD=83

3

.

（2）设BC=x，∵矩形ABCD中，∠ACD=30°，∴∠BAC=30°，AC=2x,

∴(2x)2=x2+42.∴x=43

3

；

∴AC=BD=83

3

.

7.如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°.

求：∠BOE的度数.(提示：要充分利用等腰Rt△ABE，等边△AOB的性质)

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°,OA=OB.

又∵AE平分∠BAD,

∴∠BAE=45°.∵∠CAE=15°,

∴∠BAO=60°.又OA=OB,

∴△AOB是等边三角形,∴OB=AB. ∵∠BAE=45°,∠ABE=90°.

∴∠BEA=∠BAE=45°.

∴BE=AB.∴OB=BE.

又∵OB=OC,∠AOB=60°,

∴∠OBE=30°.

∴∠BOE=18030

2

?-?

=75°.

活动3 课堂小结

1.矩形的定义及性质.

2.矩形是角特殊的平行四边形，决定了矩形的四个角都是直角，对角线相等.