用于波动方程模拟的Chebshev谱元法

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谱方法求解偏微分方程

谱方法求解偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学和物理领域中广泛使用的一类方程，描述了多个变量之间的关系。

求解偏微分方程是一项重要的数学问题，可以帮助我们理解自然界中的物理现象，并为工程和科学研究提供数学模型。

目前，已经发展出了多种谱方法用于求解偏微分方程。

谱方法是一类基于函数空间中的谱近似基函数来逼近方程解的方法。

谱方法具有许多优点，如高精度、快速收敛等，适用于各种类型的偏微分方程，并且可以处理边界和初值问题。

谱方法的基本思想是将偏微分方程中的未知函数表示为一组谱基函数的线性组合。

常用的谱基函数有Chebyshev多项式、Legendre多项式、Fourier级数等。

通过选择合适的基函数，可以将偏微分方程离散化为一组代数方程，从而求得数值解。

谱方法的求解过程主要包括以下几个步骤：1.选择适当的谱基函数。

根据偏微分方程的特点，选择适当的谱基函数是非常重要的。

常用的谱基函数有Chebyshev多项式、Legendre多项式等，它们具有良好的逼近性能和数值稳定性。

2.建立离散方程。

通过将偏微分方程中的未知函数表示为谱基函数的线性组合，将偏微分方程离散化为一组代数方程。

这需要将空间域和时间域进行离散化，可以选择均匀或非均匀的离散点。

3.求解代数方程。

得到离散方程后，可以通过求解线性方程组来获得解。

由于谱方法的高精度特性，通常可以直接使用求解稠密线性方程组的方法，如LU分解、Cholesky分解等。

4.验证数值解。

对于偏微分方程的数值解，通常需要进行验证，确保其满足物理约束条件和数学性质。

可以通过计算数值解的误差、比较与已知解的差异等方式进行验证。

谱方法在偏微分方程的求解中具有广泛的应用。

例如，在流体力学中，可以使用谱方法求解Navier-Stokes方程来模拟流体运动；在量子力学中，可以使用谱方法求解薛定谔方程来计算量子系统的波函数；在热传导中，可以使用谱方法求解热传导方程来分析物体的温度分布等。

谱方法解微分方程

谱方法解微分方程谱方法（Spectral methods）是一种用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）或者离散余弦变换（Discrete Cosine Transform）等频域方法来求解微分方程的一类数值方法。

它在数学与工程领域被广泛应用，特别是用于解决具有周期性和高度光滑解的微分方程。

谱方法的优点包括高精度、快速收敛和适用于多维问题。

它可以在整个定义域内提供高度准确的解，而其他传统的常用差分法和有限元法则只在特定位置或单个点上提供近似解。

这使得谱方法具有广泛的应用领域，例如流体力学、量子力学、天体物理学等领域中的一维、二维和三维研究等。

谱方法主要包含三个主要步骤：离散化、求解以及逆变换。

首先，对微分方程进行空间离散化，通常使用Chebyshev多项式或者傅里叶基函数等等。

采用Chebyshev多项式进行离散化时，可以使用Chebyshev-Gauss-Lobatto（CGL）或Chebyshev-Gauss（CG）点进行节点选择。

对于一维问题，可以使用一维的Chebyshev系数，而对于二维和三维问题，需要扩展为二维或三维的Chebyshev系数。

其次，利用傅里叶变换或者离散余弦变换将微分方程转化为频域的代数方程。

通过数值求解这个代数方程，可以得到频域上的解。

最后，采用逆变换将频域的解转化为时域上的解。

这个逆变换可以是傅里叶逆变换或者离散余弦逆变换等。

谱方法的收敛性和精度主要依赖于离散化的方式以及选择的基函数。

在实践中，经验表明使用Chebyshev基函数的谱方法在解决光滑和非光滑问题时都能提供很高的精度和收敛性。

然而，谱方法的缺点也不能被忽视。

首先，谱方法对边界条件的处理相对复杂。

在实际应用中，可以通过使用特殊的基函数来处理这个问题。

其次，谱方法随着问题的维度增加，计算量会成指数级增加。

因此，尽管谱方法在一维和二维问题上表现出色，但在三维问题上的应用相对有限。

谱方法求解Allen-Cahn方程与Cahn-Hilliard方程

Key words：Spectral method
Exponential time-differencing Semi-implicit method
Allen-Cahn equation Cahn-Hilliard equation
III
华中科技大学硕士学位论文
目录
摘要............................................................................................................... I Abstract ........................................................................................................... II 1 绪论 1.1 谱方法简介........................................................................................... (1) 1.2 国内外研究概况 .................................................................................. (2) 1.3 本文的主要研究内容 .......................................................................... (3) 2 谱方法与时间离散方法 2.1 Fourier 谱方法 ...................................................................................... (5) 2.2 Chebyshev 谱方法 ................................................................................ (9) 2.3 半隐式方法......................................................................................... (14) 2.4 指数时间差分四阶龙格-库塔（ETDRK4）方法 ........................... (16) 3 数值求解 Allen-Cahn 方程 3.1 半隐式方法解具有周期边值条件的 Allen-Cahn 方程 ................... (18) 3.2 ETDRK4 方法解具有周期边值条件的 Allen-Cahn 方程 ............... (20) 3.3 Crank-Nicolson 方法解具有 Dirichlet 边值条件的 Allen-Cahn 方程 .............................................................................................................. (22) 3.4 ETDRK4 方法解具有 Dirichlet 边值条件的 Allen-Cahn 方程 ....... (24) 3.5 Allen-Cahn 方程稳定的一阶半隐式格式......................................... (25) 3.6 ETDRK4 方法解二维的 Allen-Cahn 方程 ....................................... (28) 4 数值求解 Cahn-Hilliard 方程 4.1 半隐式方法解具有周期边值条件的 Cahn-Hilliard 方程 ................ (31) 4.2 ETDRK4 方法解具有周期边值条件的 Cahn-Hilliard 方程............ (33) 4.3 Crank-Nicolson 方法解具有齐次 Neumann 边值条件 Cahn-Hilliard 方程.................................................................................................... (35)

谱元法

谱方法(spectrum method),伪谱法（pseudoospectrum method）及谱元法（spectrum element method）2012年04月11日星期三12:47谱方法（spectrum method）Spectral methods are a class of techniques to numerically solve certain Dynamical Systems, often involving the use of the Fast Fourier Transform. Where applicable, spectral methods have excellent error properties, with the so called "exponential convergence" being the fastest possible. Spectral methods were developed in a long series of papers by Steven Orszag starting in 1969 including, but not limited to, Fourier series methods for periodic geometry problems, polynomial spectral methods for finite and unbounded geometry problems, pseudospectral methods for highly nonlinear problems, and spectral iteration methods for fast solution of steady state problems.Partial differential equations (PDEs) describe a wide array of physical processes such as heat conduction, fluid flow, and sound propagation. In many such equations, there are underlying "basic waves" that can be used to give efficient algorithms for computing solutions to these PDEs. In a typical case, spectral methods take advantage of this fact by writing the solution as its Fourier series, substituting this series into the PDE to get a system of ordinary differential equations (ODEs) in the time-dependent coefficients of the trigonometric terms in the series (written in complex exponential form), and using a time-stepping method to solve those ODEs.从上面可以看到谱方法的思路：对PDE方程进行FFT变换，得到只对时间微分的常微分方程组。

Chebyshev配置点谱方法直接求解离散坐标辐射传递方程

摘要：针对三维长方形炉内具有吸收一射介质的辐射换热，基于Ｃｅｙｈｖ配置点谱方法和Ｓｈｒ解开发了发ｈｂｓｅｅｕ分直接求解辐射离散坐标方程的求解器。针对离散后所得到的三维矩阵方程，分别用两种方法进行求解，一种是用张量积将三维转变成二维然后直接用Ｓｈｒ解求解；另一种是自行开发三维Ｓｈｒ解直接求解。数值实验ｅｕ分ｅｕ分表明，在相同的输入参数下，新求解器具有很好的精度，尤其相比于标准离散坐标法，新求解器能节省大量计
最近作者将chebyshev配置点谱方法成功应用于求解一维具有各向异性散射的辐射问题25一维梯度折射率辐射问题26半透明梯度折射率内辐射与导热耦合问题27一维瞬态各向异性散射梯度折射率介质内辐射与导热耦合问题28以及同心球内具有参与介质时辐射与导热耦合问题24作为chebyshev配置点谱方法计算辐射换2428的多维扩展本文开发了直接求解三维长方体炉内具有吸收发射介质情况下的离散坐标辐射方程组
算时间。特别是基于三维Ｓｈｒ解的直接求解器，在相同的输人参数下，计算时间只有标准离散坐标法的ｃｕ分
１Ｏ～１。
关键词：辐射换热；离散坐标法；Ｃｅｙｈｖ配置点谱方法；Ｓｈｒ解ｈｂｓｅｃｕ分
ＡｂｔａｔＢａｅｎｔｓｒｃ：ｓｄｏｈｅＣｈｅｓｅｏｌｃｔｏｐｅｔａｅｈｎｄＳｃｂｙｈｖｃｌｏａｉｎｓｃｒｌｍｔｏｄａｈｕｒｄｃｍｐｏｉｉｎ，ｔｉｅｔｓｌｅｓｅｏｓｔｏＷＯｄｒｃｏｖｒｆｒａａｉｅｉｃｅｅｏｒｄｉｔｖｄｓｒｔｏｒｉａｅｅａｉｓｏａｈｒｅｄｍｅｉａｒｃａｇｕａｆｒｃｗｉｈｂｓｒｎ — ｄｎｔｓｑｕｔｏｎｆｒｔｅ — ｉｎｓｏｎｌｅｔｎｌｒｕｎａｅｔａｏｂｉｇｅｉｔｎｇｍｔｉｍｅｉｍａｅｅｅｏｅ．ｒｈｅｈｒｅｄｉｅｉｎａｍａｒｘｑｕｔｏｎｒｍｄｓｒｔｚｔｏｏｔｅｄｕｒｄｖｌｐｄＦｏｔｔｅ — ｍｎｓｏｌｔｉｅａｉｆｏｉｃｅｉａｉｎｆｈｒｄａｉｅｔａｆｒｅｕａｉｎ，ｏｅｓｖｒｉａｅｎｔ — ｍｅｓｏｌＳｈｕｅｏｐｉｉｎａｔｒｔｒｎｓｏｒａｉｔｖｒｎｓｅｑｔｏｎｏｌｅｓｂｓｄｏｗｏｄｉｎｉｎａｃｒｄｃｍｏｓｔｏｆｅｈｅｔａｆｍｏｈｒｅｄｉｅｉｎａａｒｘｅｕｔｏｎｔｗｏｄｉｎｉｎａｎｅｕｓｎｇｔｎｓｒｐｏｕｃ，ａｈｈｅｓｂｓｄｆｔｅ — ｍｎｓｏｌｍｔｉｑａｉｏｔ～ｍｅｓｏｌｏｉｅｏｒｄｔｎｄｔｅｏｔｒｉａｅ

用CHEETAH模拟PBXW-115详解

用动力学CHEETAH程序和DYNA程序模拟PBXW－115炸药Jing Ping Lu David L.KennedyDSTO-TR-1496摘要含能材料中单单依靠试验和跟踪法来评估新炸药的性能及其作用的方法已不再是一种有效的技术。

因为其费用昂贵，且未经实践，甚至对复杂结构根本不可能。

所以，可靠的数值模拟作为另一种替代工具是一直需要的。

PBXW－115炸药是一种用于水下爆炸高度非理想炸药，其成分为AP 43％、Al 25％、RDX 20％和12％的HTPB粘结剂，这是一种前景很好的模拟炸药。

本报告首先根据W－K爆轰理论，在与压力有关的速率定律中取压力指数为2，利用动力学CHEETAH程序着手一系列的模拟，从而发现CHEETAH程序能够预示爆速与装药直径相关的趋势。

但是对爆速估计过高，通过调整参数如减少压力指数由2降到1.0再到0.5时，可使爆速得到显著改善。

在装药直径较宽的范围内，反应区宽度也作了计算。

由动力学CHEETAH程序计算的初步结果表明，爆速和临界直径对所假设的AP 分解速率较敏感。

这可以设想，美国和澳大利亚炸药之间的差别是由于AP的颗粒度不同，而不是RDX。

所假设的AP分解速率对爆速与装药直径关系影响的进一步研究可在将来进行。

目录1 引言 (3)2 动力学计算 (5)3 流体动力学程序模拟 (9)3.1 LS-DYNA程序中的点燃－成长模型 (9)3.2 CPeX反应模型 (11)3.3 爆轰波阵面曲率的模拟 (11)3.4 带壳装药的模拟 (14)3.5 水箱法试验的模拟 (14)3.6 中等尺度水中爆炸试验模拟 (15)4 结论与发展方向 (18)5 感谢（略）6 参考文献（略）1引言自从研制PBXW－115（43/25/20/12/AP/Al/RDX/HTPB）以来，业以通过鉴定并作为水下爆炸作用的炸药称为PBXN－111。

美国海军认为这是一种不敏感的弹药，可装备部队（1985年Anderson和Leahy），许多研究者已进行了10年以上的研究和开发。

本科毕业论文-—谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程

摘要薛定谔方程是物理系统中量子力学的基础方程，它可以清楚地说明量子在系统中随时间变化的规律。

通过求解微观系统所对应的薛定谔方程，我们能够得到其波函数以及对应的能量，从而计算粒子的分布概率，进一步来了解其性质。

在化学和物理等诸多科学研究领域当中，薛定谔方程求解的结果都与实际很相符。

近年来，很多学者通过各种方法研究具有复杂势函数的薛定谔方程，解释了很多重要的物理现象，因此对薛定谔方程的求解具有相当重要的意义。

本文主要是用Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程。

首先运用Galerkin-Chebyshev谱方法来对空间导数进行近似，离散二维薛定谔方程，从而将原问题转化为复数域上的线性常微分方程组。

然后用边界值法求解该方程组，所求得的数值解即为原问题的解，之后进行误差分析。

最后利用Matlab进行数值模拟，给出数值解的图像以及误差曲面图像，结果显示此方法精度高且具有很好的稳定性。

关键词：薛定谔方程；Galerkin-Chebyshev谱方法；边界值法；数值解；精度高；稳定AbstractThe Schrödinger equation is the basic equations of quantum mechanics in the physical system. It can clearly describe the regular of the quantum evolves over time. By solving the Schrödinger equation which the micro system correspond, we can get the wave function and energy, and thus calculate the probability distribution of the particles, further understand the nature of it.In chemistry, physics and other fields of scientific research, the results of solving the Schrodinger equation are basically consistent with the actual.In recent years, many researchers used a variety of methods to investigate the Schrödinger equation with complex potential function, and explained a lot of important phenomena.Thus solving the Schrödinger equation has very important significance.The main purpose of this paper is to solve the two dimensional Schrödinger equation through the Galerkin-Chebyshev spectral method and the boundary value method. First we use the spectral method to approximate the spatial derivation, discretize the two dimensional Schrödinger equation，and transform the original problem into a set of linear ordinary differential equations in the complex number field.Then by using the boundary value method to solve the equations, that the numerical solutions is the solutions of the original problem, and then analyze the error. Finally we use Matlab to conduct the numerical simulation, and give the images of the numerical solutions and errors, which show that the methods have high precision and good stability.Keywords: Schrödinger equation, Galerkin-Chebyshev spectral method, boundary value method, numerical solutions, high precision, stability目录摘要 (I)Abstract (II)第1章绪论 (4)1.1课题研究的背景和意义 (4)1.2国内外研究现状 (5)1.3本文的主要研究内容 (5)第2章预备知识 (7)2.1克罗内克积的简介 (7)2.2Chebyshev多项式介绍及其性质 (8)2.3Chebyshev正交逼近的性质 (9)2.4投影算子的性质 (10)2.5本章小结 (11)第3章Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法 (12)3.1用Galerkin-Chebyshev谱方法求解椭圆型方程 (12)3.2用边界值法求解常微分方程 (13)3.3本章小结 (17)第4章求解二维薛定谔方程 (18)4.1区域和边界条件的处理 (18)4.1.1 区域的处理 (18)4.1.2 边界条件的处理 (20)4.2二维薛定谔方程的求解 (23)4.3误差分析 (24)4.4本章小结 (29)第5章数值模拟 (30)结论 (35)参考文献 (36)哈尔滨工业大学学位论文原创性声明及使用授权说明 .....错误！未定义书签。

用时间方向二阶精度的混合Chebyshev-Legendre-球面调和拟谱方法求解Allen

２０１０数学分类号６５Ｎ３５
中图分类号Ｏ２４１．８２
文献标志码Ａ
文章编号１００６．６３３０（２０１７）０４０４５４．０８
ＡｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒａｃｃｕｒａｔｅｍｉｘｅｄＣｈｅｂｙｓｈｅｖ— ・Ｌｅｇｅｎｄｒｅ－－
Ｖｏ１．３１ＮＯ．４
ＤＯＩ１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６ — ６３３０．２０１７．０４．００３
用时间方向二阶精度的混合Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ．Ｌｅｇｅｎｄｒｅ．球面
Ａｌｌｅｎ－Ｃａｈｎｅｑｕａｔｉｏｎ；ｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒａｃｃｕｒａｔｅｉｎｔｅｍｐｏｒａｌｄｉｒｅｃｔｉｏｎ；ａｄｏｍａｉｎｂｅｔｗｅｅｎ
ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｓａｓｅｃｏｎｄｍｉｘｅｄＣｈｅｂｙｓｈｅｖ．．Ｌｅｇｅｎｄｒｅ．．ｓｐｈｅｒｉｃａｌｈａｒ．．ｍｏｎｉｃｐｓｅｕｄｏｓｐｅｃｔｒａｌｓｃｈｅｍｅｆｏｒｔｈｅＡｌｌｅｎ－Ｃａｈｎｅｑｕａｔｉｏｎｉｎａｄｏｍａｉｎｂｅｔｗｅｅｎｔｗｏｃｏｎｃｅｎｔｒｉｃｂａｉｌｓ，ｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｍｉｘｅｄＣｈｅｂｙｓｈｅｖ－Ｌｅｇｅｎｄｒｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｉｎｔｈｅｒａｄｉａｌｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｓｐｈｅｒｉｃａｌｈａｒｍｏｎｉｃｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｉｎｔｈｅｏｔｈｅｒｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ．ａｎｄｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｃｅｎｔｒａｌｄｉｉｅｆｒｅｎｃｅｑｕｏｔｉｅｎｔｏｒｆｔｈｅｔｉｍｅｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈｅｈｉｇｈａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｅｓｕｇｇｅｓｔｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍ．ＫｅｙｗｏｒｄｓｍｉｘｅｄＣｈｅｂｙｓｈｅｖ－Ｌｅｇｅｎｄｒｅ－ｓｐｈｅｒｉｃａｌｈａｒｍｏｎｉｃｐｓｅｕｄｏｓｐｅｃｔｒａｌｍｅｔｈｏｄ

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１引言
在瞬态分析，工程地震学，计算声学等领域（如无损检测，油气勘探等），如何利用数值计算的方法更
精确地得到弹性波动方程的解一直是国内外研究者的工作重点。着计算机技术的发展，随一些原来影响数值
计算方法应用的瓶颈一一被克服，但对于大型的复杂二维问题或三维问题的研究，仍然对原有的数值模拟方法提出了挑战。当前普遍使用的数值方法，如有限体积法（ｉｔＶｌｅｔｄ，有限元（ｉｔＥｅｅｔｈｄ，ＦｉｏｍＭｅｏ）ｎｅｕｈＦｉｌｎＭｅｏ）ｎｅｍｔ
Ｃｅｈ正多式ｅｎｒ多展开。３伽金法解正题的分式，全近ｈｓｖ交项或Ｌｇｄ项式ｂｅｅｅ（用辽方求交问变格得到局的似）
解。有关谱元法的详细数学表述请参看文献７０我们这里采用Ｃｅｓｅ正交多项式，它是如下奇异性Ｓｒ－ｉｖｌ方程的特征函数ｈｂｈｖｔｍＬｏｉｕｕｌｅ
似函数能最佳地逼近偏微分方程的精确解，测试函数（ｅＦｎｔｎＴｓｕｃｏ）被引进用于验证近似解带来的余量是ｔｉ否达到最小。对基函数和测试函数的不同选择导致了上述这几种数值方法。
２ｅｓｅ谱元法Ｃｂｈｖｈ
谱元法（Ｅ）最早Ｍ，在由Ｐｔａ ‘ 并应用于流体动力学。把有限（ＳＰａｒ提出２主要ｅ］，它元法和谱方法相结合，
Ｃｅｓｖａｓｏｔ配置点权重ｈｙｅＧｕ－ｂｏｂｈ－ｓＬａ及其定义如下，
（）２
ｘｏ，ｉｓ二务Ｃ
ｗ二：—
ｒ一，，７：、 ‘ ．，一二。
ｊ０Ｎｗ二＝，；；－
１、入１ ‘、；＿
‘
（３，
（）４
２ ‘ Ｎ一了Ｎ可以认为，ｈｂｈｖＣｅｓ多项式其实就是经过自ｅ变量变换以后的余弦函数，这个特性使得它在非周期性边界问题
Ｓｉ，．．８３８９（９８．ｅｍＳｃＡ，６－２１９）ｓｏｍ８，３
［］林伟军，王秀明．张海澜，用于弹性波方程模拟的基于逐元技术的谱元法，自７然科学进展，Ｖｌ１，．１４－０７０５．ｏ．Ｎ９０８１５（０）ｏｏ，２
（（＋１２）－ｋ｝ｘｘＴ＼
义
Ｔｘ＝ｋ０（／
（）１
ｈｂｈｖ多项式可以如下定它权数（一一）将ｋ归使功）这样ｋ阶Ｃｅｓｅ的函ｗ）ｘＩ如Ｔ１行一得一ｘ仓２２／。＼进ｘ１
Ｔｘ＝ｏＢ二ｒｏ，ｋｃｋ，ｃｓｌｓａｃｘｌＢ
［ＡＴＰｔａＡｃａｅｍｎｍｔｄｆｉｄｎｍｃｌｉｒｉａｎｅｅｐｎｏ，ＣｍｕＰｙｃ５，４８１４２．ａｒｓｔｌｅｅｏｆｌｄａｉ：ｎｆｗｃａｎｌｓｎＪｆｐｔｈｓｓ４４８８（８）］．，ｅｒｌｔｅｐｅｈｏｕｙｒｓａａｌｎｍｏｈｘａｉ．ｏ．ｉ，６－９．ｏ
如下一个时域上的二阶线性常微分方程组，
Ｍ（Ｋ（Ｆ）Ｏ）ｔ（，ｔＵ）ｔ＋二（７）
这，（低｝Ｕ）是应初条。未向Ｕ含所单中有ｈｓ配里Ｕ），（低｝的值件而知量包了有元所Ｃｂｅ置０一０一相ｅｖｈ
谱法（ｅｒＭｔｄ和差法（ｎｅｅｎＭｔｄ基上都看是权法（ｅｈｄ方Ｓｃａｅｏ）有限分ＦｉＤｆｅｅｈ）本可以成加余量ＷｉｔｐｔｌｈｉｔｉｒｃｅｏｆｇｅＲｓｕｓ的用ｗ在权法中，进了组展ｅｄａ）应。加余量ｉｌ引一可开的函称为试函或数（ｉｆｃｏｏ数（尝数形函ＴａｕｔｎｒｌｉｒｎＳａｆｃｎ作基函用于偏分程的作展开。保有限基函截展定近ｈｅｔ）为数对微方解截断ｐｕｉｎｏ为了证由项数断开义的
［ＧＳｒｎＤｕｌｇｄｂｅｓｃａｅｍｎｆａｕｉｗｖｍｄｌｇＷｖＭｔｎ３３１６（０）５．ｉｂ－ｉＣｅｓｖｔｌｅｓｃｓａｏｉ，ｅｉ，５－００．］ｅａｏｅｒｈｈｐｒｌｔｏｏｔｅｅｎａｏｏ９３２４ｉｅｅｒｃ，［ＤＫｍｔｃ，Ｊ．ｔ，ｓｃａｅｍｎｍｔｄａｅｃｎｔｌｍｌｔｓｓｉｒｐｎｏ２ａ３ｇｌｉｌｔｅＢｌ６．ａｔｈａ．ＶｌｅＴｅｔｌｅｅｏ：ｆｉｔｔｓｕｔｈｅｍｃｏｓｆｎＤｏｃｓｕｕｓｕ．］ｏｉｎＰｉｓｄｏｈｐｒｌｔｅｅｈｎｅｏｏａｅｉｆｏｉｅｉｅｅＤｓｄｅｇａｔｃｒ：ｏｒｌ
这里，
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Ｎ（（ＰＰＥｐＴ，ＮＴ０－ＰｐＣ１ＣＯ
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（）５
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１
ｉ，￥０Ｎ
ｉ，＝０Ｎ
（）６
要文７９式于有的试函ｗ都中（）对所测数ｗ满足，初的动程过元近后终到求献ｈ最波方经谱法似以最得
［ＧＳｉｉＥＰｏ，ｍｒｌｔｔｏＣｅｓｖｔｌｅｍｔｄｃｓｗｖｐｐａｎＰＣＯ１＇ＣＷｒ３．ｎ．Ａｅａｉｅｉｉｆｙｅｓｃｅｍｎｅｏｆａｕｉａｒａｔ，．３ＩＡＳｌ］ｅ，ｒｌｎｉｎｓａｎｈｈｐｒｌｔｏｏｔｅｇｉＴｆＭｒｉａｏｕｃｖｇｏｂｅａｅｈｒｃｏｏＯａｏｄ
１ｊ＜＜一，＿１
的数值模拟上获得了广泛地应用。而变换ｘ存在使得文献７（）＝６的ｓＯＣ中９式的内积在应用Ｃｅｓｅ多ｈｂｈｖ
项展时得确。一情下就以基数ｉ）义。ＮＣｂｅ项的开式开获精解在维况，可把函（定成一阶ｈｓｖ式展，Ｐ公ｅｈ多｝＝Ｏｋ）
因此兼具了有限元的处理边界和结构的灵活性和谱方法的快速收敛特性，同时极大地减少了计算时间和内存
需Ｇｅａ等将法引波程数模〔其他者随做了量的研究「０求。．ｒｎ首次谱元入到动方值拟中３Ｓｉｉ］，研究后大相关４－６］
谱元法的基本思想是在每一个单元上使用谱方法。同时选取以截断的正交多项式表示的基函数，在各个单元上通过利用配置点插值，以提高级数表示的解的收敛速度。其主要步骤是：（这种方法首先把计算的１）区域分成许多子域（单元），每个子域由若干节点（配置点）组成。２在每个子域中把近似解表示成截断的）
点上的离散解ｕ．是全局质量矩阵，Ｋ是全局刚度矩阵，Ｍ而Ｆ是力向量。那些单元共享节点的贡献来自在全局矩阵中被相加以满足单元边界上的连续性要求。在等参变换的帮助下，所有的单元矩阵计算可以统一
在参考单元中实施。
３结论
由于结合了谱方法的高精度和有限元法的高适应性，谱元法为波动方程的数值模拟提供了一种新的有效工具。本文从弹性动力学方程的弱形式出发，阐述了Ｃｅｓｖｈｂｈ谱元法基本理论及相应数学公式。ｅ
参考文献：
［Ｂ．ｙｎＬ．ｅ，ｍｔｄｅｈｄｕｓｒｉ，ｌｅ，１７５４（６）Ｉ．Ｆｌｓ，ＳｒｎＴｅｈｏｗｉｔｒｉａ－ｅｅＡｐＭｃＲｖ９３－８９６］ｉａｏ．ｃｖｈｅｏｆｅｅｄｌｖｗｐ．ｈｅ．７１．ＡｎＥｉｇｓａ，
ＣｎｒｓｏｐｔｉａｄｌｄｔｍｔｓＤｂｎＩｌｄ１１ｏｇｓｏＣｍｕｔｎＡｐｅＭｈａｃｕｌ，ｎ（９）ｅｎａｏｎｐｉａｅｉ，ｉｒａ９．ｅ
［］ＳｒｎＡａｅＳｅｒＥｍｎＭｔｄＡｏｓｃｖＭｏｅｎ，Ｃｍｔｃｕｉ，５ｎ．６（９）４ＧｅａｉＰｒｌｐｃａｌｅｔｈＦｒｕｉｅｄｌｇＪｆｐＡｏｓｓｏ，，－１７．，ａｌｌｔｌｉｅｅｏｏｃｔＷａｉ．ｏ．ｔＶｌｏ５９９．ｏｃ．１３
用于波动方程模拟的Ｃｅｓｅ谱元法ｈｂｈｖ
林伟军 ’ ｅａｉｉ，ＧｚＳｒｎｅａｚ
ｃ中国科学院声学研究所，北京，１００１．０８２ＩｓｉｕｏｚｎａｅＯｅｎｒｆａｄＧｏｉｉａｅｉｅｔｌ，ａｙ．ｎｔｔｔＮｏｎｌｄｃａｇａｉｅｅｆｓｃＳｒｍｎａｅＩｌ）ａｉｉｐｔ