蛛网模型(差分方程)汇总
蛛网模型
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理.我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）.我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名.以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改.如填写错误，论文可能被取消评奖资格.）日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：市场经济的分析摘要商品价格与产量的波动是市场经济的常态,认识我国商品价格与产量的波动规律,为宏观调控提供理论依据,是经济学研究的主要课题之一. 本文利用市场供求关系的需求函数和供应函数的图形,建立蛛网模型,并借助差分方程将模型结果用公式表示,再对结果进行分析.最后可将该模型进行适当推广,以实现对市场经济的调控作用.同时提出了相应的政策建议.关键字：市场经济市场供求关系蛛网模型政策建议一、问题重述在市场经济中有关商品的价格是由消费者的需求关系来决定，而下一期商品的数量又是由生产者的供应关系来决定，这就导致了市场经济中商品的数量与价格在震荡，即当供大于求的时候会导致价格的下降，价格的下降导致产量的减少，产量的减少又会导致供不应求，商品的供不应求导致商品的价格的上涨，这时候又会增加产量，产量的增加又会导致供大于求，数量与价格就在此之间震荡.问题一：描述商品数量与价格的变化规律.问题二：商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?问题三：当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?二、模型的假设1.该市场经济并没有经过政府的宏观调控.2.该市场经济遵循上述所提出的供求规律，即价格与产量的变化规律.3.近似的认为斜率大的曲线弹性小，斜率小的曲线弹性大.4.假设价格与产量紧密，可以用确定的关系来表现.三、符号的约定四、问题的分析4.1 名词解释1)需求关系：商品数量与商品价格的关系，商品数量的增加会导致商品价格的降低.2)供应关系：商品价格与商品数量的关系，商品价格的提高会导致商品数量的增加.3)需求函数f的斜率a(取绝对值)表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度.4)供应函数h的斜率B表示价格上涨1个单位时(下一时期)商品供应的增加量.5)平衡点：市场的商品数量与商品价格关于平衡点震荡，趋于平衡点.4.2 问题的背景分析随着社会主义市场经济的逐步完善，绝大多数产品的价格已经推向市场，对生产者来说，市场价格会影响下一个时间周期的产出决策，也就是说生产者要做出的产出决策只能受当时的市场价格影响，而产品则要到下一个时间周期才能售出，可见市场供应量对价格的反应是滞后的.但市场的需求量对价格变化的反应是瞬时的，所以必须讨论价格波动对下一个时间周期产量的影响，以及由此而产生的均衡的变动，即必须进行动态均衡分析.商品的价格是由消费者的需求关系决定的，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的，在现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的振幅减小趋向平稳，有的则振幅越来越大导致经济崩溃.当然政府会对后者采取干预手段.4.3 问题分析商品的价格是由消费者的需求关系决定的，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的，面对这一震荡关系，必须对市场进行分析，让生产者能够更好的了解市场，也让政府能够掌握市场的趋向，使得政府能够实行宏观调控，让市场能够更好的发展.面对上文所提到的问题，再根据对社会主义市场经济的深入了解，根据社会主义市场经济的发展特点，即滞后性，编者建立了蛛网模型，利用蛛网模型对上述问题进行分析，编者还建立了方程模型，对蛛网模型进行检验.五、模型的建立5.1.蛛网模型的建立蛛网模型有3种表现形态：一是收敛型蛛网.当市场受到外力的干扰偏离原有的均衡状态后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度会越来越小，最终会回到原来的均衡点.二是发散性蛛网.当市场受到外力的干扰使得产量的价格偏离原有的均衡状态后，在实际价格和实际产量相互决定的周期循环运动过程中，其运动轨迹呈现出向外发散的蛛网形态，最终使价格和产量越来越远离原来的均衡点.三是封闭性蛛网.当市场受到外力的干扰使得产量和价格偏离原有的均衡状态后，在实际价格和实际产量相互决定的周期循环运动过程中，其运动轨迹旱现封闭形状，产量和价格与均衡点始终保持一定距离，永远达不到稳定的均衡水平.下文只对蛛网模型的两种表现形态进行分析，一是收敛型蛛网，二是发散性蛛网，对于封闭性蛛网不予以考虑.5.1.1 收敛型蛛网在外力的干扰下，市场会偏离原来的均衡状态，在这种情况下，商品实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但会逐渐减小幅度，最终会回到原来的均衡点，此时，与需求曲线斜率相比，供给曲线斜率要大一些，这时呈现的即为收敛型蛛网模型.如图1所示：图1 收敛性蛛网5.1.2 发散性蛛网市场在外力的干扰下，会使得商品的价格偏离原有的均衡状态，其实际价格和实际产量的波动会偏离原来的均衡点越来越远，其轨迹呈现出向外发散的蛛网形态，此时，与需求曲线斜率相比，供给曲线斜率的绝对值要小一些，这时呈现的即为发散型蛛网模型，如图2 所示：图2 发散性蛛网5.2 差分方程模型的建立由()k k y f x =和1()k k x h y +=（1()k k y g x +=）可建立差分方程：1[()]k k x h f x +=1[()]k k y f h y +=设000(,)p x y 点满足：0000(),()y f x x h y ==，在000(,)p x y 点附近取函数(),()f x h x 的一阶近似：00()0k k y y x x αα=-->100()0k k x x y y ββ+=+->合并两式得：100()k k x x x x αβ+-=--上式是关于k x 的一阶线性差分方程.当然它是原来方程的近似模型．为了处理方便．适当取用其近似形式是合理的.其中α为f 函数在0p 点处的切线斜率：1β为g 函数在点0p 处切线的斜率.六、模型的求解6.1 蛛网模型的求解对蛛网模型的求解主要是求解蛛网模型中的两模型，一、收敛型蛛网模型；二、发散型蛛网模型.6.1.1 收敛型蛛网模型求解由()k k y f x =和1()k k x h y +=可以得到1()k k y g x +=.设1x 偏离0x ，则11223x y x y x →→→→→ ;当00,k k x x y y →→时，即1230P P P P →→→→ ，那么可以知道0p 是稳定平衡点.并且由上述式子可以推出f 函数和g 函数的曲线斜率的绝对值为f g K K <.图形如下：图3 收敛型蛛网模型由图中可以看出f g K K <，也可以看出0p 就是此图形的稳定平衡点.6.1.2 发散型蛛网模型求解由()k k y f x =和1()k k x h y +=可以得到1()k k y g x +=.设1x 偏离0x ，则11223x y x y x →→→→→ 当00,k k x x y y →→时，即1230P P P P →→→→ ，那么可以知道0p 是不稳定平衡点.并且由上述式子可以推出f 函数和g 函数的曲线斜率的绝对值为f g K K >.图形如下：图4 发散型蛛网模型由图中可以看出f g K K >，也可以看出0p 就是此图形的不稳定平衡点.6.2差分方程模型的求解由上文的模型分析可知，编者可以把在P0点附近用直线近似曲线，即：()k k y f x =⇒00()0k k y y x x αα=-->1()k k x h y +=⇒100()0k k x x y y ββ+=+->合并两式得： 100()k k x x x x αβ+-=--把上式经过1k -次迭代得：)()(0101x x x x k k --=-+αβ分析上式可以得到：当1αβ<时，即1/αβ<⇒0k x x →，说明了0p 点稳定.当1αβ>时，即1/αβ>⇒k x →∞，说明了0p 点不稳定.七、结果分析和结果检验7.1 结果分析基于问题一的回答：当供大于求的时候会导致价格的下降，价格的下降导致产量的减少，产量的减少又会导致供不应求，商品的供不应求导致商品的价格的上涨，这时候又会增加产量，产量的增加又会导致供大于求，数量与价格就在此之间震荡基于问题二的分析：由模型求解可知：00()0k k y y x x αα=-->α为商品数量减1单位, 价格上涨幅度100()0k k x x y y ββ+=+->β为价格上涨1单位(下时段)，供应的增量由上述式子可以看出α是消费者对需求的敏感程度，就是说α小，有利于经济的稳定. β是生产者对价格的敏感程度，就是说β小，有利于经济的稳定.由,αβ和上述求解的模型知当1αβ<，那么经济就是稳定的，否则经济是不稳定的.基于问题三的分析;面对经济不稳定的情况，政府一个如何去做，由模型的求解可知，影响经济的稳定性情况是,αβ这两因素，只要把,αβ这两因素的其中一个调小，或者两个一起调小，就可以让经济趋于稳定.方法一：使 α 尽量小，如 α=0，⇒需求曲线变为水平.0α=即政府可以以行政手段控制商品价格不变.方法二：使 β 尽量小，如 β =0，⇒供应曲线变为竖直.0β=即政府可以靠经济实力控制商品数量不变.7.2 结果检验已知f K α=，1/g K β=，那么由差分方程模型可知0p 稳定时，f g K K <.0p 不稳定时，f g K K >，从这个结果可以看出差分方程模型与蛛网模型是一致的，就是说蛛网模型所求出的结果是经得起检验的.八、模型的评价8.1 模型的优点1. 全面的回答了本文的问题，并给出了模型的解.2. 由蛛网模型和方程模型得出结果吻合，误差较小.3. 此蛛网模型还可以加以推广，得到更加广泛的应用8.2 模型的缺点1. 蛛网模型是根据市场的上一期价格对下一期进行预测，而实际生产者除了2. 据市场的上一期价格还可以根据自身经验逐步修正自己的预期价格，这就会使结果有一定的偏差.3. 此模型的建立有片面性，有些因素未考虑，是函数的大致趋势九、模型的推广在生产者管理水平提高的情况下，即1()k k x h y +=⇒112k k k y y x h -++⎛⎫= ⎪⎝⎭的情况下，生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量.那么供应函数变为1010[()/2]k k k x x y y y β+--=+-，而需求函数不变，即00()k k y y x x α-=--，合并两函数得：9 21022(1)1,2,k k k x x x x k αβαβαβ++++=+=0x 为平衡点，编者将在0,k k x x →∞→的条件下，讨论平衡点的稳定.求解方程21022(1)k k k x x x x αβαβαβ++++=+，得它的通解为1122k k k x c c λλ=+，其中(c 1, c 2由初始条件确定)，12,λλ为方程220λαβλαβ++=的根.由上述方程可以看出在0,k k x x →∞→的条件下，0x 要想稳定，必须满足1,21λ< ，由方程220λαβλαβ++=解出12,λλ得1,2λ= 化简得：1,2λ=把方程1,2λ=1,21λ<得：2αβ<即0x 要想稳定，需要满足2αβ<，这比原来的1αβ<，条件放宽了，也就是说在生产者管理水平提高的情况下，即生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量，会有助于经济的稳定.十、参考文献[1]李忠民,张世英. 非线性蛛网模型的动态分析[J].数量经济技术经济究,1997,(02).[2]么海涛.蛛网模型的数学研究[期刊论文]-北京信息科技大学学报（自然科学版）. 2011(2).[3]刘广智,李宝营,宋科. 用蛛网模型分析市场经济趋于稳定的条件[J].大连轻工业学院学报,1999,(04):357-360.[4]王慧贤. 蛛网模型一市场供求稳定性分析[J].长春师范学院学报,2003,(02):5-6.。
蛛网模型
——动态分析方法
第1页
动态模型：蛛网模型
• 蛛网模型所考察的是价格波动对下一个周期产量 的影响，以及由此而产生的均衡变动。 • 所分析的产品具有如下特点： • 本期的产量决定本期价格，而本期的价格决定 下期的产量。 • 换句话说，上期的价格决定本期的产量，本期的 产量决定本期的价格。
第2页
• 若用P、Q分别表示价格和产量，D和S分 别表示需求函数和供给函数，t表示时期， 则上述关系可用公式表述为： • Pt==D(Qt) • Qt==S(Pt-1) • • • • 蛛网模型有三种形式： 封闭式蛛网模型 收敛式蛛网模型 发散式蛛网模型
第3页
• 一、封闭式蛛网模型
• 封闭式模型的条件：需求曲线和供给曲线的斜率的
第5页
二、收敛式模型
• 条件：供给曲线比需求曲线陡峭。 • 特点：价格和产量以越来越小的幅度上下波动， 在达到均衡时停止。
价格 价格 S
D
P1 P3 P2
产量 Q3 Q2 1 2
：需求曲线比供给曲线陡峭。生产者对价格 的反应程度大于消费者。 • 特点：价格和产量以越来越大的幅度波动，离均 衡点越来越远。
绝对值相等。 • 特点：价格从高到低、产量从低到高均按同一幅度不断 波动，永远达不到均衡状态。
D
S
P1
P3
P2
年份
Q3
Q2
0
1
2
3 第4页
图形说明
• 假定P1为第一年的价格，生产周期为一年，供 给对价格的反应滞后一年，第二年的产量为Q2， 但它只能按P2的价格才能全部卖掉，这样，第 二年的价格为P2。 • 根据第二年的较低的价格，第三年的产量减少 到Q3，但这一较低的产量可按照较高的价格P1 出售，因此，第三年的价格又与第一年的价格 相同。如果其他条件不变，上述循环过程就会 不断持续下去。 • 生产者和消费者对价格的反应是一致的。
蛛网模型在农产品
第二章： 第二章：差分方程
蛛网模型中的差分方程： 蛛网模型中的差分方程： （1）需求函数： ）需求函数： 当期的产量决定当期的价格 （2）供给函数： ）供给函数： 当期的价格决定下期的产量 （3）由此建立差分方程： ）由此建立差分方程：
第二章： 第二章：差分方程
将点列 连接起来，就会形成蛛网一样的折线如下图。 连接起来，就会形成蛛网一样的折线如下图。 这个图形就是蛛网模ห้องสมุดไป่ตู้。 这个图形就是蛛网模型。 当 当
第一章： 第一章：蛛网模型理论
蛛网模型可以用以下三个联立的方程式来表示： 蛛网模型可以用以下三个联立的方程式来表示：
需求函数： 需求函数： 供给函数： 供给函数： 供求相等： 供求相等：
第一章： 第一章：蛛网模型理论
蛛网模型的三种情况： 蛛网模型的三种情况： （1）收敛型蛛网模型 ） 供给曲线斜率＞ 稳定） 供给曲线斜率＞需求曲线斜率 （稳定） （2）发散型蛛网模型 ） 供给曲线斜率＜ 不稳定） 供给曲线斜率＜需求曲线斜率 （不稳定） （3）封闭型蛛网模型 ） 供给曲线斜率=需求曲线斜率 上下波动） 供给曲线斜率 需求曲线斜率 （上下波动）
k f < k g , P0 是稳定的
k f < k g , P0 是不稳定的
第三章： 第三章：蛛网模型在农产品价格 中的应用实例 数据来源： 数据来源： 2001-2009中国小麦市场 中国小麦市场 应用软件： 应用软件： Mathematica
第三章： 第三章：蛛网模型在农产品价格 中的应用实例
数据→需求和供给函数 差分方程 数据 需求和供给函数→差分方程 需求和供给函数 差分方程→ Mathematica建模 发散性蛛网模型 建模→发散性蛛网模型 建模 →预测 预测2010年中国小麦市场 预测 年中国小麦市场
市场经济中的蛛网模型
对角 化
若有某个| j | 1时, x* 0是不稳定的 ;
对于二阶常系数差分方程
xk 2 a1 xk 1 a2 xk 0
(14)
引 入 变 换 k xk 1 , 则(14 )式 等 价 于 y yk x k 1 y a x a y 1 k k 1 2 k
附录:差分方程简介
一阶常系数差分方程
xk 1 axk b
(11)
在给定初值x0后,我们很容易通过迭代逐步求解出每 一个xk,即求解了差分方程. 在很多时候,我们了解此差分方程在k充分大的解的性态. 这就涉及到差分方程的平衡点及其稳定性的概念. 平衡点
解代数方程 x ax b 得 x b /(1 a).
(14)
由通解的表达式我们容易得到(14)的平衡点x*=0的稳 定性结论:
| 1 | 1且 | 2 | 1时, (14 )的平衡点 * 0是稳定的 x ; | 1 | 1或 | 2 | 1时, (14)的平衡点 * 是不稳定的 x ;
xk 2 a1 xk 1 a2 xk b (15)
∙
若f 的图像陡些.
y f g 经济学中的 蛛网模型
y1
∙
P0(x0,y0)
x
结论: P0是不稳定的平衡点.
实际上,需求曲线 f 和供应曲线 g 的具体形式通常是 根据根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计 资料得到的.一般来说, f 取决于消费者对这种商品的 需要程度和他们的消费水平, g 则与生产者的生产能 力、经营水平等因素有关.比如:当消费者收入增加时, f 会向上移动;当生产能力提高时, g 将向右移动. 一旦 f 和 g 的函数关系即需求曲线和供应曲线确 定下来后,我们完全能够象上面的图解法一样确 定平衡点的稳定性.记它们在平衡点处的斜率的 绝对值分别为Kf 和Kg .则
差分方程在经济学中的应用
第四节 差分方程在经济学中的应用本节介绍差分方程在经济学中的几个简单应用，以期望读者有一些初步了解．一、 存款模型设S t 为t 期存款总额，i 为存款利率，则S t 与i 有如下关系式：S t +1=S t +iS t =(1+i )S i , t =0,1,2,…，其中S 0为初始存款总额．二、 动态供需均衡模型(蛛网定理)普通市场上一般商品的价格能影响消费者对该种商品的需求量，需求量与价格呈反向 变化．设D t 表示t 期的需求量，S t 表示t 期的供给量，P t 表示商品t 期价格，则传统的动态供 需均衡模型为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-)3(,)2()1(,,111t t t t t t S D P b a S bP a D 其中a ,b ,a 1,b 1均为已知常数．上述各方程的经济意义是：(1)式表示t 期(现期)需求依赖于同期价格；(2)式表示t 期(现期)供给依赖于(t -1)期(前期)价格．这里实际上假定该种商品生产行为既不是瞬时的，也不是连续的，而是要求有一个固定的生产周期．生产者总认为：本期的市场价格将在下一周期内保持不变，并按现期价格安排下一周期的生产．因此，第t 期的供给量S t ，实际上由前一周期价格P t -1决定，也就是说，供给量滞后于价格一个周期．(3)_式为供需均衡条件． 若在供需平衡的条件下，而且价格保持不变，即P t =P t -1=P e ，那么由(1)(2)(3)式，我们即得静态均衡价格：P e =bb a a --11． 显然，若将需求曲线与供给曲线画在同一坐标平面上，其交点(P e ,Q e )即为该种商品的静态均衡点．一般地，将动态供需均衡模型的(1)(2)两式代入(3)式，便得到动态供需均衡模型的等价差分方程：P t -bb 1P t -1=b a a -1． (11-4-1) 这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，可求得(11-4-1)的一个特解t P =bb a a --11 =P e , 从而，方程(11-4-1)的通解为： P t =A (b b 1)t ＋P e , 这里A 为任意常数．若初始价格P 0已知时，将其代入通解，可求得任意常数A =P 0-P e ，此时，通解改写为P t =(Ｐ0-Ｐe )(1b b )t +Ｐe ． (11-4-2) 如果初始价格P 0=P e ,那么Ｐt =Ｐe ，这表明没有外部干扰发生，价格将固定在常数值Ｐe 上，这就是前面所说的静态均衡．如果初始价格Ｐ0≠Ｐe ,那么价格Ｐt 将随t 的变化而变化．显然，由通解(11-4-2)式可知，当且仅当︱1b b︱＜1时，有 10e e e lim lim ()()t t t t b P P P P P b →+∞→+∞⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦, 也就是说，动态价格Ｐt 随着t 的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格Ｐe ．图11-1是普通商品的价格与供需关系图．图11-1图11-1形状类似于蜘蛛网，故称此模型为蛛网模型(或蛛网定理)．三、 凯恩斯(K e yn e s ．J ．M)乘数动力学模型设Y t 表示t 期国民收入，C t 为t 期消费，I t 为t 期投资，I 0为自发(固定)投资，ΔI 为周期固定投资增量．凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=-)3(,)2()1(,0,1I I I bY a C I C Y tt t t t t ∆ 其中(1)式为均衡条件，即国民收入等于同期消费与同期投资之和；(2)式为消费函数，即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期)，a (≥0)为基本消费水平，b 为边际消费倾向(0＜b ＜1);(3)式为投资函数，这里仅考虑为固定投资．在(1)(2)(3)式中消去C t 和I t ，得到一阶常系数非齐次线性差分方程：Y t -bY t -1=a +I 0+ΔI ． (11-4-3)可求得(11-4-3)的一个特解t Y =bI I a -++10∆, 从而，方程(11-4-3)的通解为 Y t =A ·b t ＋b I I a -++10∆，其中A 为任意常数．我们称系数b-11为凯恩斯乘数． 四、 哈罗德(Harrod ．R ．H)经济增长模型设S t 为t 期储蓄，Y t 为t 期国民收入，I t 为t 期投资，s 称为边际储蓄倾向(即平均储蓄倾向)，0＜s ＜1，k 为加速系数．哈罗德宏观经济增长模型为：11,01,(1)(),0,(2),(3)t t t t t tt S sY s I k Y Y k S I --=<<⎧⎪=->⎨⎪=⎩ 其中s ,k 为已知常数．(1)式表示t 期储蓄依赖于前期的国民收入；(2)式表示t 期投资为前两期国民收入差的加速，且预期资本加速系数k 为常数；(3)式为均衡条件．经整理后得齐次差分方程Y t -k s k + Y t -1=0， (11-4-4) 其通解为Y t =A (1+k s )t ， (11-4-5) 其中A 为任意常数，k s ＞0，哈罗德称之为“保证增长率”．其经济意义就是：如果国民收入Y t 按保证增长率ks 增长，那么就能保证t 期储蓄与t 期投资达到动态均衡，即I t =S t , t =0,1,2,…．假定t -1期收入Y t -1满足于通解(11-4-5)，而t 期收入Y t 由于某种外部干扰使其不满足于(11-4-5)，而是Y t =A (1+k s )t +B (B ≠0,称为外部干扰)， 不妨设B ＞0，那么有I t =k (Y t -Y t -1）=k ［k s A (1+k s )t -1+B ］ =sA (1+ks )t -1＋kB =sY t -1+kB=S t +kB ．因kB ＞0,故I t ＞S t ．这就表示：总投资将大于总供给(由储蓄提供)，从而对收入产生一个向上的压力，迫使收入较以前增加得更多．这就充分地说明了，“保证增长率”保证了国民收入的增长．五、 萨缪尔森(Samu e lson P ．A)乘数加速数模型设Y t 为t 期国民收入，C t 为t 期消费，I t 为t 期投资，G 为政府支出(各期均相同)．萨缪尔森将乘数和加速数两个参数同时引进而得到国民经济收支均衡模型(也称为乘数-加速数模型)：⎪⎩⎪⎨⎧>-=<<=++=--)3(,0),()2(,10,)1(,11k C C k I b bY C G I C Y t t tt t t t t 其中G ＞0为常数，b 称为边际消费倾向(常数)，k 为加速数．将(2)(3)两式代入(1)并经整理后得：Y t -b (1+k )Y t -1+bkY t -2＝G ． （11-4-6）这是关于Y t 的二阶常系数非齐次线性差分方程．不难求得其特解t Y ＝b G-1． 其经济意义为：国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数b -11与政府支出自发投资G 的乘积．方程(11-4-6)对应的齐次方程为Y t -b (1+k )Y t -1+bkY t -2=0， (11-4-7)其特征方程为λ2-b (1+k )λ+bk =0， (11-4-8)特征方程的判别式Δ=b 2（1＋k )2-4bk =b ［b (1+k )2-4k ］,当Δ＞0时，(11-4-8)有两相异实根：λ1=21［b (1+k )-∆］,λ2=21［b (1+k )+ ∆］.方程(11-4-7)的通解为：Y A (t )=A 1·λ1t +A 2·λ2t (A 1,A 2为任意常数)．当Δ=0时，(11-4-8)有一对相等实特征根：1(1)2b k λ=+，方程（11-4-7）的通解为：12()()tA Y t A A t λ=+⋅，（A 1，A 2为任意常数）.当Δ<0时，(11-4-8)有一对共轭复根：λ=21[b (1+k )+i ∆],λ=21[b (1+k )-i ∆],方程(11-4-7)的通解为：Y Ａ(t )=γt (A 1cos ωt +A 2sin ωt ),A 1,A 2为任意常数；γ和ω由下式确定⎪⎩⎪⎨⎧∈+==),0(,)1(arctan ,πωωγk b bk ∆．综合上述，方程(11-4-6)的通解为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-++=-+⋅+>-+⋅+=,0,1sin cos (,0,1)(,0,121212211∆∆∆当当当b G t A t A b G t A A b G A A Y t t t t t ωωγλλλ， 其中Δ=b ［b (１＋k )2-4k ］，A 1，A 2为任意常数，λ1，λ2及λ，γ和ω均如前面所述．若求出Y t ,由所给模型就不难确定C t 和I t ．习题11-41． 设Y t 为t 期国民收入，C t 为t 期消费，I 为投资(各期相同)．卡恩(Kahn)曾提出 如下宏观经济模型：1,,01,0,t t t t Y C I C Y αβαβ-=+⎧⎨=+<<>⎩其中α，β均为常数，试求Y t 和C t ．2． 设Y t ，C t ，I t 分别表示t 期的国民收入、消费和投资，三者之间满足如下关系：⎪⎩⎪⎨⎧>+=≥<<+=+=+,0,,0,10,,1γγβαβαt t t t t t t t I Y Y Y C I C Y这里α,β,γ均为常数．求Y t ,C t ,I t .3． 设Y t 为t 期国民收入，S t 为t 期储蓄，I t 为t 期投资，三者之间满足如下关系：⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=≥<<+=-,0,,0),(,0,10,1δδγγβαβαt tt t t t t I S Y Y I Y S ， 这里α，β，γ，δ均为常数，试求Y t ,S t ,I t ．4． 挪威数学家汉逊(Ｈanssen ．J ．S)研究局部化理论模型遇到如下的差分方程：D n +2(t )-4(ab +1)D n +1(t )+4a 2b 2D n (t )＝０，这里a ,b 为常数，而D n (t )为未知函数，若1+2ab ＞0,试求方程的解．5． 梅茨勒(Ｍetzler ．L ．A)曾提出如下的库存模型：⎪⎩⎪⎨⎧-=<<=++=---),(,10,,211t t tt t t t t Y Y S Y U S U Y βββα, 其中Y t 为t 期总收入，U t 为t 期销售收入，S t 为t 期库存量．α和β为常数．试求Y t ，U t ，S t 关于t 的表达式．。
差分方程模型
′( x * ) < 1 f f ′( x ) > 1
*
xk +1 = bx k (1 xk ) 的平衡点及其稳定性
平衡点 x = f ( x) = bx(1 x) 稳定性
f ′( x * ) < 1
b = r +1
另一平衡 点为 x=0
1 x =1 b
*
f ′( x * ) = b (1 2 x * ) = 2 b
现 象
问 题
描述商品数量与价格的变化规律 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量;yk~第k时段商品价格 时段商品数量; 第 时段商品价格 第 时段商品数量 消费者的需求关系 生产者的供应关系
y
需求函数
yk = f ( xk )
t z t = ( c 1 + c 2 t + + c d t d 1 ) λ 1 + c d +1 λ td +1 + + c p λ tp
– 有相等实根场合λ1=…= λd 有相等实根场合λ
– 复根场合λ1=a+bi=rei, λ2=a-bi=re-i 复根场合λ
t z t = r t ( c 1 e it + c 2 e it ) + c 3 λ 3t + + c p λ p t = r t ( c 1 c o s t + c 2 s in t ) + c 3 λ 3t + + c p λ p
β ~ 价格上涨 单位 (下时段 供应的增量 价格上涨1单位 下时段 单位, 下时段)供应的增量 α ~ 消费者对需求的敏感程度 β ~ 生产者对价格的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β 小, 有利于经济稳定
蛛网模型的差分方程分析
蛛网模型的差分方程分析
蛛网模型的基本假设是：商品的本期d t Q 决定于前一期的价格1-t P ，即供给函数
)(1-=t d t P f Q ，商品的本期的需求量d t Q 决定于本期的价格t P ，即需求函数为)(t d t P f Q =。
根据以上假设条件，蛛网模型可以用以下三个联立的方程式表示：
t d t P Q ∙-=βα（本期需求函数）
1-∙+-=t s t P Q γδ（本期供给函数）
s t d t Q Q =
式中，γδβα,,,均为常数，且均大于零。
由以上方程组可以得到等式：1-∙+-=∙-t t P P γδβα即：βδαβγ+=+-1t t P P 。
解这个差分方程:因为01≠+βγ，所以解为γ
βδαβγ+++-=t t P )(。
所以当γβ>时（即需求函数的斜率大于供给函数的斜率），若∞→t ，γβδα++=
t P 。
说明价格收敛于γ
βδα++=e P 。
在静态模型中，e P 就是其稳定价格。
当γβ=时，即需求函数的斜率等于供给函数的斜率，∞→t ，γβδαβγ+++±=t P ，即价格以距离β
γ围绕稳定价格e P 变化。
当γβ<时，∞→t ,t P 发散。
t e t P P )(||β
γ=-，随着时间变化，价格t P 距离稳定价格e P 越来越远，以至无穷大。
蛛网模型
需求弹性大，则税负转嫁就很困难，且向前转给消 费者的少，向后转给原供应者的多；需求弹性小， 则税负容易转嫁，且向前转给消费者的多，向后转 给原供应者的少；需求完全无弹性，税负可能全部 向前转嫁给消费者；需求完全有弹性，税负可能全 部向后转嫁给原供应者。需求弹性越大，转嫁的可 能性越小；需求弹性越小，转嫁的可能快越大，税 负转嫁与需求弹性成反比
如果商品的供给弹性大于需求弹性， 则政府对该种商品征税后，赋税将 主要由消费者负担。 例如：粮食
如果商品的供给弹性 小于需求弹性，则政府 对该种商品征税后，赋 税将主要由生产者自己 负担。 例如：钻石，黄金。
为什么飞机票经常打折，火车票却很少打折？
第一：这与价格弹性有关。飞机票价格下跌需求就增加，总的 利润就会提高，这是所谓的“薄利多销”。然而火车票却是供 不应求，即使涨价，也会有很多人愿意购买，因为火车成本低， 涨价也不会涨得太厉害。
谢谢观赏！
为什么飞机票打折而火车票不打折 呢？
总体来说，飞机票是供大于求，所以航空公司总 是会采取打折的办法以吸引客源。而火车票是供 不应求，所以火车有时候总是宁愿空跑也不愿打 折。火车是国有制机构，是国家专制机构操作， 而飞机是处在几大航运公司的竞争下的，所以竞 争之下必有经营的不同手段而导致机票打折的现 象出现。然而本来就供不应求的火车票是没有多 大必要打折的。所以飞机票总是出现打折而火车 票不愿打折。
模蛛 型网
Co Cobweb model
在经济学中
蛛网模型(Cobweb model)
运用弹性原理解释某些生 的商品在失去均衡时发生 的不同波动情况的一种动 态分析理论
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n
x1 (k 1) bi xi (k ) (设至少1个bi>0) i 1
x i
1
(k
1)
s i
x i
(k),
i
1,2,,
n
1
b1
s 1
b2 0
bn1 0
bn
0
x(k) [x1(k), x2 (k),xn (k)]T
~按年龄组的分布向量
L
s2
0
x(k 1) Lx(k)
x(k) Lk x(0)
设x1偏离x0
x1 y1 x2 y2 x3
xk x0 , yk y0
xk x0 , yk y0
P1 P2
P3 P0
P P P P
1
2
3
0
P0是稳定平衡点
P0是不稳定平衡点
y
f
y2 P3
yy30 y1
P2
g
y
P4 曲线斜率
P0 | K f || K g | y0
P1
0 x2 x0 x3 x1 x
~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 xk1 x0 ( yk y0 )
~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量
~ 消费者对需求的敏感程度 小, 有利于经济稳定
~ 生产者对价格的敏感程度 小, 有利于经济稳定
1 经济稳定
结果解释
经济不稳定时政府的干预办法
1. 使 尽量小，如 =0
y
g
需求曲线变为水平 y0 以行政手段控制价格不变
0
2. 使 尽量小，如 =0 y
供应曲线变为竖直
靠经济实力控制数量不变
0
f
x g
f
x0
x
模型的推广 生产者管理水平提高 xk1 h( yk )
• 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。
xk 1
h
y k
y k 1
2
设供应函数为
生产者的供应关系 供应函数 xk 1 h( yk ) 增函数
y
f
g
y0
P0
0
x0
yk g (xk 1)
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
x
蛛 网 模 型 yk f (xk ) xk1 h( yk ) yk g(xk1)
4) x(k) ck x*, x* [1, s1, s1s2 ,, sn1 ]T
xi1(k ) si xi (k ), i 1,2,, n 1
0
sn1 0
预测任意时段种群
~Leslie矩阵(L矩阵)
按年龄组的分布
稳定状态分析的数学知识
• L矩阵存在正单特征根1，
k
1
,
k
2,3,n
特征向量
x*
1,
s1
1
,
s1s2
2 1
, ,
s s s
T
12
n1
n1 1
• 若L矩阵存在bi, bi+1>0, 则 k 1, k 2,3,, n
x* 1, s1, s1s2 ,s1s2 sn1 T
~ 各年龄组种群 数量不变
稳态分析
3）=1时 Lx* x* x* 1, s1, s1s2,s1s2 sn1 T
b1 b2 bn1 bn
s 1
0
0
0
L
s2
0
0
sn1 0
b1 b2s1 bns1s2 sn1 1
~ 1个个体在整个存活 期内的繁殖数量为1
1, 2~特征根，即方程 22 0 的根
平衡点稳定，即k, xkx0的条件:
1, 2
1
1,2
( )2 8
4
平衡点稳定条件 2
1, 2
2
比原来的条件 1 放宽了
2 按年龄分组的种群增长
• 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 • 以雌性个体数量为对象 • 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律
lim x(k ) cx*
k
k
1
1) x(k) ck x* ~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，
x*称稳定分布, 与初始分布无关。
2) x(k 1) x(k) ~ 各年龄组种群数量按同一
xi (k 1) xi (k) 倍数增减， 称固有增长率
与基本模型 x(k 1) Lx(k) 比较
3）=1时 x(k 1) x(k) cx*
xk 1
x 0
[( y k
y k
1)/2源自y] 0需求函数不变 y y (x x )
k
0
k
0
2xk2 xk1 xk 2(1)x0 , k 1,2,
二阶线性常系数差分方程
x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件
模型的推广
2x x x 2(1)x
k2
k 1
k
0
方程通解 xk c11k c2k2 x0 (c1, c2由初始条件确定)
假设与建模
• 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,… , n • 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… • 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi • 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di
假设 与
建模
xi(k)~时段k第i 年龄组的种群数量
1 市场经济中的蛛网模型
供大于求
价格下降
现 象
数量与价格在振荡
增加产量
价格上涨
减少产量 供不应求
描述商品数量与价格的变化规律
问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系 需求函数 yk f (xk ) 减函数
0
P3 f
g P4
P2
P0 | K f || K g
P1
x0
x
方程模型 yk f (xk )
在P0点附近用直线近似曲线
yk y0 (xk x0 ) ( 0)
xk 1 h( yk )
xk1 x0 ( yk y0 ) ( 0)
x x (x x )
k 1
0
k
0
x x ( )k (x x )
k 1
0
1
0
1 ( 1/ )
1 ( 1/ )
xk x0 xk
P0稳定 | K f || K g | P0不稳定| K f || K g |
方程模型与蛛网模型的一致 K f 1/ Kg
结结果果解解释释
考察 , 的含义
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
yk y0 (xk x0 )
且
lim
k
x(k )
1k
cx* , c是由bi, si, x(0)决定的常数
解 释
x(k) Lk x(0) L对角化 L P[diag(1,n )]P1
Lk P[diag(1k ,kn )]P1 P的第1列是x*
lim
k
x(k)
1k
Pdiag(1,0,0)P1x(0)
cx*
稳态分析——k充分大 种群按年龄组的分布