北京四中九年级上册数学正方形(基础)知识讲解
正方形（基础）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、如图，在一正方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△B EC≌△DEC；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°．求∠AFE的度数．【思路点拨】先由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS证出△BEC≌△DEC，再由全等三角形的对应角相等得出∠DEC=∠BEC=70°，然后根据对顶角相等求出∠AEF，根据正方形的性质求出∠DAC，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠AFE的度数．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC．（2）解：∵∠DEB＝140°，∵△BEC≌△DEC，∴∠DEC＝∠BEC＝70°，∴∠AEF＝∠BEC＝70°，∵∠DAB＝90°，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∴∠AFE＝180°－70°－45°＝65°．答：∠AFE的度数是65°．【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键.举一反三：【变式1】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE ＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°∵E 为BC 延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF 和△DCE 中，BC DC BCF DCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF≌△DCE（SAS ），∴BF＝DE ．【变式2】 如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，连接BE ，则∠AEB 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．12.5°【答案】B ；提示：根据等边三角形和正方形的性质可知AB ＝AE ，∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠A EB ＝（180°－150°）÷2＝15°.2、如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连接AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB＝30°，求EF 的长．【思路点拨】要证明△ABE ≌△DAF ，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要证一条边对应相等即可．要求EF 的长，需要求出AF 和AE 的长．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD＝AB ，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△DAF≌△ABE．（2）解：∵四边形ABCD 是正方形，∠AGB ＝30°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°，∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，∴DF⊥AG，∴DF＝11 2AD=∴A F＝3∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，∴EF＝31-【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝12 AB∴BN＝12BE，即N为BE的中点，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．【答案】（1）证明：∵O D平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠CO B＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三线合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系xoy中，边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB 的平分线上；【答案与解析】解：(1)当∠BAO＝45°时，∠PAO＝90°，在Rt△AOB中，OA＝2AB＝2a，在Rt△APB中，PA＝2AB＝2a．∴点P的坐标为22,22a a⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．(2)如图过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°，∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°∴∠APM＝∠BPN，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴ PM＝PN，又∵ PN⊥ON，PM⊥OM于是，点P在∠AOB的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.。
正方形初步知识点总结归纳
正方形初步知识点总结归纳
正方形是一个具有特殊性质的平面图形，下面是一些关于正方形的初步知识点总结和归纳。
定义
正方形是一种具有四个相等边长和四个直角的四边形。
它是一种特殊的矩形，也是一个特殊的菱形。
性质
1. 边长：正方形的四条边长度相等，记为a。
2. 角度：正方形的四个角都是直角，即90度。
3. 对角线：正方形的两条对角线相等，且垂直且相交于中点。
4. 对称性：正方形具有4个轴对称线，即可以通过折叠或翻转重合在一起。
5. 面积：正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即A = a^2。
6. 周长：正方形的周长可以通过四条边长的和来计算，即P = 4a。
判断
判断一个四边形是否为正方形可以依据以下条件：
1. 四边相等：四条边的长度必须相等。
2. 直角：四个角必须都是直角。
3. 平行边：临边必须平行。
应用
正方形具有很多应用，例如：
1. 建筑设计：正方形的几何形状常用于建筑设计中的平面布局和结构设计。
2. 绘画和艺术：正方形的几何形状常被艺术家用来表达平衡和稳定感。
3. 数学和几何学：正方形是几何学中的基础形状，用于研究和研究几何性质和定理。
以上是对正方形初步知识点的总结和归纳。
通过深入了解正方
形的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和利用正方形的特点。
九年级数学上册知识点----正方形
九年级数学上册知识点
正方形
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
问题2菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
归纳总结
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
归纳总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
小结
正方形的判定
练习
1.下列命题正确的是（）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
小结。
几何正方形基本知识点总结
几何正方形基本知识点总结一、正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，具有以下特点：1. 四条边长度相等：正方形的四条边都相等，这意味着任意两条边的长度都相同。
2. 四个角均为直角：正方形的四个角都是直角，即每个角的大小为90°。
综上所述，正方形是一种具有四条边长度相等、四个角均为直角的特殊四边形。
二、正方形的性质1. 对角线相等：正方形的对角线相等且相交于直角，且相交点与各边的中点重合。
2. 对角线垂直平分：正方形的对角线相互垂直且平分。
3. 内角和为360°：正方形的四个内角的和为360°。
4. 对边平行且相等：正方形的对边互相平行且相等。
5. 对角线长度的关系：正方形的对角线长度等于边长的√2倍。
6. 内切圆：正方形的内切圆的半径等于其边长的一半。
7. 外接圆：正方形的外接圆的半径等于边长的一半√2倍。
以上性质是正方形的一些重要特点，对于理解和应用正方形具有重要意义。
三、正方形的面积和周长1. 面积：正方形的面积公式为A = a^2，其中a表示正方形的边长。
即正方形的面积等于边长的平方。
2. 周长：正方形的周长公式为P = 4a，其中P表示周长，a表示边长。
即正方形的周长等于边长的4倍。
通过上述公式，可以计算正方形的面积和周长，这对于解决实际问题具有重要意义。
四、正方形的应用1. 日常生活：正方形在日常生活中有着广泛的应用，如地面瓷砖、桌面、书桌等都常见到正方形的形状。
2. 建筑设计：建筑设计中也常常应用正方形，如房屋的平面布局、窗户设计等，都涉及到正方形的形状。
3. 数学教学：在数学教学中，正方形是教学的基础，涉及面积、周长、角度、对角线等概念都与正方形相关。
5. 地理测量：地理测量中也会用到正方形的相关知识，如土地面积的测算等。
通过上述应用，我们可以看到正方形在实际生活和学习中有着重要的地位，因此了解和掌握正方形的基本知识对于应用具有重要意义。
综上所述，正方形作为几何学中的一种基本图形，具有独特的性质和特点。
九年级正方形的所有知识点
九年级正方形的所有知识点正方形，这个几何图形在我们的日常生活中随处可见。
它的四条边长度相等，且角度都为90度。
在九年级的几何学中，正方形是一个非常重要的概念。
下面，让我们一起来探索一下九年级正方形的所有知识点。
1. 正方形的特点正方形的特点可以用以下几点来描述：边长相等、内角都是90度、对角线相等且垂直相交、对边平行且长度相等、包围的面积最大。
2. 正方形的性质正方形有一些独特的性质：正方形的对角线相等，且垂直相交；正方形的对边平行且长度相等；正方形可以视为矩形的一个特例，因此具有矩形的性质。
3. 正方形的面积和周长计算正方形的面积计算公式是边长的平方，表示为A = 边长 ×边长。
周长计算公式是4 ×边长，表示为P = 4 ×边长。
4. 正方形的图形变换正方形可以进行多种图形变换，如平移、旋转、翻转和缩放。
在平移变换中，正方形的位置保持不变，只是移动了一段距离。
在旋转变换中，正方形以一个点为中心旋转了一定角度。
在翻转变换中，正方形以一条直线为轴进行翻转。
在缩放变换中，正方形的大小发生改变，可以放大或缩小。
5. 正方形的三视图正方形的三视图包括正视图、左视图和顶视图。
正视图是从正方形的正面观察所得的图像，左视图是从正方形的左侧观察所得的图像，顶视图是从正方形的顶部观察所得的图像。
通过这些视图，我们可以更清楚地了解正方形的形状和特征。
6. 正方形的应用正方形在我们的日常生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，正方形的对称性和稳定性使其成为设计房屋平面图的重要元素。
在数学中，正方形的性质和特点被广泛应用于几何学和代数学的各个领域。
7. 正方形的扩展除了正方形本身的知识点外，我们还可以进一步了解与正方形相关的概念和定理。
例如，正方形是矩形的一个特例，了解矩形的性质和定理可以帮助我们更深入地理解正方形。
此外，正方形也与平行四边形、菱形等几何图形有一定的联系，通过比较和对比这些图形，我们可以进一步拓展对正方形的认识。
数学正方形知识点归纳讲解
数学正方形知识点归纳讲解
数学正方形知识点归纳讲解
初中数学正方形知识点归纳讲解
以下是对正方形知识点的内容知识学习，希望同学们很好的掌握下面的知识。
正方形
1、正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
警示：⑴ 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的.菱形；
⑵ 既是矩形又是菱形的四边形是正方形；
⑶ 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形。
2、正方形的性质：
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
⑴ 边——四条边都相等，邻边垂直、对边平行；
⑵ 角——四个角都是直角；
⑶ 对角线——对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
⑷ 对称性——是轴对称图形，有四条对称轴。
⑸ 特殊性质——正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形
3、正方形的判定：判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
⑴ 先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；
⑵ 先证它是菱形，再证它有一个角是直角。
通过上面对正方形知识点的总结学习，同学们对上面的知识都能很好的掌握了吧，相信同学们会做的很好的。
九年级正方形知识点
九年级正方形知识点正方形是我们学习中不可或缺的一个重要图形。
在九年级的数学学习中，正方形的知识点是非常重要的，不仅仅是因为它的形式简单明了，还因为它在几何学以及实际生活中的应用非常广泛。
在本文中，我们将从几何形状、性质、计算和应用等方面探讨正方形的知识点。
一、几何形状正方形是一种特殊的四边形，它的四条边相等且四个内角都是一个直角。
正方形的每个角都是90度，因此它也是一个直角四边形。
同时，正方形的四条边也互相平行。
二、性质正方形的性质有很多，首先，正方形的对边是平行的，这是因为相邻的两条边都是直角，而直角对边是平行的。
其次，正方形的对角线相等且垂直平分。
这一性质可以通过勾股定理来进行证明。
另外，正方形还具有轴对称的性质，即可以沿对角线进行折叠，折叠后的两部分完全重合。
三、计算正方形的计算涉及到它的边长、周长和面积。
正方形的边长即四条边的长度都相等。
周长是指正方形所有边的总长度，可以通过边长的四倍来计算。
而正方形的面积是边长的平方。
根据这些计算，我们可以解决一些与正方形相关的实际问题，比如找出正方形的边长、周长和面积。
四、应用正方形在现实生活中有着广泛的应用。
比如，我们常见的电视屏幕、手机屏幕和计算机屏幕都是正方形的，这是为了使得观看更加方便和舒适。
此外，正方形在建筑设计中也有着重要的应用，比如某些户外广告牌的设计，以及一些建筑物的设计。
正方形还可以与其他几何图形进行组合，形成更加复杂的图形，如正方形与圆、三角形的组合图形等。
正方形的应用也可以拓展到数学、科学、艺术等领域。
总结而言，正方形是九年级数学学习中重要的一个概念。
通过对正方形的形状、性质、计算和应用的学习，我们可以更好地理解和应用它。
正方形不仅仅是一个简单的几何图形，它还与我们的日常生活息息相关，具有广泛的实际应用价值。
在继续学习数学的过程中，我们应该善于发现和利用正方形的特点和性质，将它运用到实际问题的解决中，从而更好地掌握数学知识。
北师大版九年级数学3 .正方形(基础)知识讲解+练习
北师大版九年级数学正方形（基础）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）知识要点】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2015•扬州校级一模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形=2+．其中正确的个数为（）ABCDA.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，∴S正方形ABCD=2+，④说法正确，∴正确的有①②④．故选C．【总结升华】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．举一反三：【变式1】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．【答案】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC＝DC ，∠BCD＝90° ∵E 为BC 延长线上的点， ∴∠DCE＝90°， ∴∠BCD＝∠DCE． 在△BCF 和△DCE 中，BC DC BCF DCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCF≌△DCE（SAS ）， ∴BF＝DE ．【高清课堂 特殊的平行四边形（正方形） 例1】 【变式2】（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45° 【答案】B ；提示：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=AD ，∠BAF=45°， ∵△ADE 是等边三角形， ∴∠DAE=60°，AD=AE ，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE ， ∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°， ∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°； 故选：B ．2、如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连接AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB＝30°，求EF的长．【思路点拨】要证明△ABE≌△DAF，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要证一条边对应相等即可．要求EF的长，需要求出AF和AE的长．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△DAF≌△ABE．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB＝30°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°，∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，∴DF⊥AG，∴DF＝11 2AD=∴A F∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，1【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝12 AB∴BN＝12BE，即N为BE的中点，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠CO B＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三线合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系xoy 中，边长为a (a 为大于0的常数)的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点P ，顶点A 在x 轴正半轴上运动，顶点B 在y 轴正半轴上运动(x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C 、D 都在第一象限．(1)当∠BAO ＝45°时，求点P 的坐标；(2)求证：无论点A 在x 轴正半轴上、点B 在y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB 的平分线上；【答案与解析】解：(1)当∠BAO ＝45°时，∠PAO ＝90°，在Rt △AOB 中，OA ＝2AB ＝2，在Rt △APB 中，PA ＝2AB ＝2．∴ 点P 的坐标为,22a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．(2)如图过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线垂足分别为M 、N ，则有∠PMA ＝∠PNB ＝∠NPM ＝∠BPA ＝90°， ∵∠BPN ＋∠BPM ＝∠APM ＋∠BPM ＝90° ∴∠APM ＝∠BPN ，又PA ＝PB ， ∴ △PAM ≌△PBN ， ∴ PM ＝PN ，又∵ PN ⊥ON ，PM ⊥OM于是，点P 在∠AOB 的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.【巩固练习】一.选择题1. 正方形是轴对称图形，它的对称轴共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2. （2015•漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等cm．3. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( )2A.6B.8C.16D.不能确定4. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是 ( )A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形5.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A1 B.3116.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．10个二.填空题7．若正方形的边长为a，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______．8. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_________.9. 如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A B C '''，若两个三角形重叠部分的面积是12cm ，则它移动的距离AA '等于____cm .10. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是_______.11. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______．12.（2015•长春）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为 ．三.解答题13．已知：如图，正方形ABCD 中，点E 、M 、N 分别在AB 、BC 、AD 边上，CE ＝MN ， ∠MCE ＝35°，求∠ANM 的度数．14．（2015•铁力市二模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？．15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF 交AD于H，求DH的长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】正方形的对称轴是两对角线所在的直线，两对边中点所在的直线，对称轴共4条．2.【答案】D；【解析】正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：D．3．【答案】B；【解析】阴影部分面积为正方形面积的一半.4.【答案】A；5.【答案】D；【解析】利用勾股定理求出CM即ME的长，有DM＝DE，所以可以求出DE1，进而得到DG的长．6.【答案】C ；二.填空题7.，2∶1 ；【解析】正方形ACEF 与正方形ABCD .8.【答案】AC ＝BD 或AB⊥BC；【解析】∵在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA∴四边形ABCD 是菱形∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC ＝BD 或AB⊥BC .9.【答案】1；【解析】移动距离为B C x '=，重叠部分面积为CE ×1B C '=，所以()21x x -=，得()210x -=，所以1x =.10.【答案】1；【解析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于三角形BOC 面积．11.1；【解析】1D E D C ''==，重叠部分面积为)121112⨯⨯⨯=. 12.【答案】5；【解析】解：过E 作EM ⊥AB 于M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC=CD=AB ，∴EM=AD ，BM=CE ，∵△ABE 的面积为8， ∴×AB ×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．三.解答题13.【解析】解：作NF⊥BC 于F ．∵ABCD 是正方形，∴CD ＝BC ＝FN则在Rt △BEC 和Rt △FMN 中，∠B＝∠NFM＝90°，CE MN BC FN=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BEC≌Rt △FMN∴∠MNF＝∠MCE＝35°∴∠ANM＝90°－∠MNF＝55°14.【解析】解：①正确，连接PC ，可得PC=EF ，PC=PA ，∴AP=EF ；②正确；延长AP ，交EF 于点N ，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE ，可得AP ⊥EF ； ③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP ；④错误，PD=PF=CE ；⑤正确，PB 2+PD 2=2PA 2．所以正确的有3个：①②③.15.【解析】解：如图，连接CH ，∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°，∴∠BCF＝30°，则∠DCF＝60°，在Rt△CDH 和Rt△CFH 中，CH CH CD CF=⎧⎨=⎩ ∴Rt△C DH ≌Rt△CF H ， ∴∠DCH＝∠FCH＝12∠DCF＝30°，在Rt △CDH 中，DH ＝x ，CH ＝2x ，CD 3=，∴DH。
九年级上数学正方形有关知识点
九年级上数学正方形有关知识点数学作为一门科学，被广泛认可为培养逻辑思维和解决问题能力的一种工具。
九年级上数学的课程内容包括了许多与几何有关的知识点，其中正方形就是一个重要的概念。
正方形作为一种特殊的四边形，具有独特的性质和应用场景，值得我们深入了解。
一、正方形的定义和性质正方形是一种具有四个相等边长和四个直角的四边形。
这是我们最基本的认识。
但是正方形不仅仅是一个简单的几何图形，它还具有许多重要的性质。
首先，正方形的对角线相等且垂直。
对角线是连接正方形两个相对顶点的线段，通过简单的画图和推理，我们可以得到这个结论。
这种性质在解决几何题目中经常被利用，特别是在计算正方形的面积或周长时。
其次，正方形的内角都是直角。
由于正方形的四个边都相等，所以每个内角都是90度。
这个性质对于研究正方形的特殊应用很重要，例如在建筑设计、图纸制作和城市规划中，正方形可以作为一个基本的单元来构建。
另外，正方形还具有一种重要的对称性：中心对称性。
也就是说，以正方形的中心点为对称中心，将正方形翻折后，两个图形完全重合。
这个性质在解决关于镜像、旋转等问题时非常有用。
二、正方形的应用正方形在我们的日常生活中有着广泛的应用。
首先，在几何建模中，正方形可以用来表示一些实际物体的投影，例如城市的街道网格、棋盘格等。
正方形的规则性和易于计算的性质使之成为很好的选择。
其次，在建筑设计中，正方形常常被用来设计空间的布局。
例如，在城市的道路交叉口设计中，正方形的布局可以有效地调节交通流量，并提高行车的安全性。
此外，正方形还有许多丰富而有趣的应用。
例如，正方形在碎片拼图游戏中常常用作基础形状；在图案设计中，正方形的对称性可以用来创造出各种规律美观的图案。
三、正方形与数学中的关系正方形并不仅仅是几何学中的概念，在数学的其他领域中也具有一定的作用。
首先，正方形和平方数之间存在关系。
一个正方形的面积恰好等于以它的边长为边长的正方形的面积，也就是说，正方形的面积就是正方形的边长的平方。
九年级上册正方形知识点
九年级上册正方形知识点正方形是几何学中的一种基本图形，它拥有独特的性质和特点。
本文将重点介绍九年级上册所学的正方形相关的知识点。
一、定义和性质：正方形是一种边长相等且内角均为90度的四边形。
它是一种特殊的矩形，也是一种特殊的菱形。
1. 边长和周长：正方形的四条边长度相等，设为a，则周长为4a。
2. 面积：正方形的面积可以用边长的平方来表示，即面积等于a的平方，记作A=a^2。
3. 对角线：正方形的对角线相等且互相平分，设对角线长度为d，则有d=√2a。
4. 内角和：正方形的内角和为360度，即每个内角都是90度。
二、正方形的特殊关系：1. 正方形是一种特殊的矩形，它不仅拥有矩形的性质，还具有对角线相等且互相平分的特点。
2. 正方形也是一种特殊的菱形，它的四条边相等且内角均为90度，正方形是菱形中内角最大的。
3. 正方形的每个内角都是直角，可以用来判定一个四边形是否为正方形。
三、正方形的运用：1. 判断正方形：当一个四边形的四条边都相等且每个内角都是90度时，可以判断该四边形为正方形。
2. 计算周长和面积：已知正方形的边长a，可以计算出它的周长和面积。
周长为4a，面积为a的平方。
3. 利用对角线性质：已知正方形的对角线长度d，可以计算出它的边长、周长和面积。
对角线长度d等于边长a乘以√2，边长为d除以√2，周长为4乘以边长，面积为边长的平方。
四、例题解析：1. 已知一个正方形的对角线长度为10cm，求它的面积。
解析：设正方形的边长为a，则对角线长度d=√2a。
已知d=10，代入公式得√2a=10，解得a=5√2。
面积A=a^2=(5√2)^2=50。
2. 若一个四边形的四条边长度都相等，且每个内角都是90度，可以断定这个四边形是正方形吗？解析：是的，根据正方形的定义和性质，当一个四边形的四条边长度都相等且每个内角都是90度时，可以断定这个四边形是正方形。
五、习题训练：1. 已知正方形的周长为36cm，求它的面积和对角线长度。
北师大版九年级数学上册正方形的性质与判定第1课时课件
第一章
1.3
特殊平行四边形
正方形的性质与判定
第1课时
正方形的性质
第1课时
正方形的性质
一组邻边
1. 定义：有
知识梳理
相等，并且
有一个角
课时学业质量评价
是直角的
平行四边
形 叫做正方形.
2. 性质：①对称性：正方形既是
形，正方形有
四条
③角：四个角都是
且
相等
中心对称
对称轴；②边：
菱形
当堂训练
1. 如图4，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
图中有多少个等腰三角形？
解：图中共有8个等腰三角形 .
图4
当堂训练
2. 如图5，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF，DF.
你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明 .
图5
当堂训练
解：图中的全等三角形共有3对，分别是 △ADC 与△ABC，
菱形过对角线的对称轴.
典例精讲
例1 如图2，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线
上 一点，且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
图2
典例精讲
解：BE=DF，且BE⊥DF . 理由如下：
（1）∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BC=DC，∠BCE=90°（正方形的四条边
直角
图形，又是
四条边
图
都相等且 对边平行 ；
；④对角线：两条对角线互相
，并且每一条对角线平分
轴对称
一组对角
.
垂直平分