2019年高考数学模拟考试题含答案解析

2019年高考数学模拟试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ⋂)(=A ．}3,2{B ．}4,3,2{C ．}2{D ．φ2．已知i 是虚数单位，i z +=31，则z z ⋅= A ．5 B ．10 C ．101 D ．51 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为A ．3B ．4C ．5D ．6 （第3题） （第4题）4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若13DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=u u u r u u u r A ．10 B ．12 C ．16 D ．205．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+012y x y y x ，则y x z 82⋅=的最大值是A ．4B ．8C ．16D ．326.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为A ．3228516++B ．32532+C ．32216+D ．32216516++7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是A ．101B ．51C ．103D ．54 8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++⋅=n n n S S a ，则5a =A ．301B ．031-C ．021D ．201- 9. 函数()1ln1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥ABCD P -的外接球体积最小值是A ．π625B ．π125C ．π6251 D ．π25 11. 已知抛物线()220y px p =>,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B 两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为A ．1x =-B ．x =．x =．x =12. 已知函数x x x f ln )(2-=（22≥x ），函数21)(-=x x g ，直线t y =分别与两函数交于B A ,两点，则AB 的最小值为A ．21B ．1C ．23 D ．2 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设样本数据1x ，2x ，...，2018x 的方差是5，若13+=i i x y （2018,...,2,1=i ），则1y ，2y ，...，2018y 的方差是________14. 已知函数x x x f ωωcos 3sin )(-=（0>ω），若3=ω，则方程1)(-=x f 在),0(π的实数根个数是_____C 1B 1A 1CA 15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯ 的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中， 315N =)，则5N =_______16.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c =，π3C =． 若sin sin()sin 2C A B B +-=，则ABC ∆的面积为三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分．17.(本小题满分12分)设数列}{n a 是公差为d 的等差数列.(Ⅰ) 推导数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ) 设0≠d ，证明数列}1{+n a 不是等比数列.18．(本小题满分12分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图． (Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中a 的值；(Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用X 表示随机抽取的2人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望．19.(本小题满分12分)在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA AC AB ，CA BA ⊥。

(Ⅰ)证明：1BC ⊥1AB ；(Ⅱ) 求直线C A 1与平面11BC A 所成的角．20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E ， 圆)0(:222b r r y x O <<=+，若圆O 的一条切线m kx y l +=:与椭圆E 相交于B A ,两点.(Ⅰ)当1,31=-=r k ,若点B A ,都在坐标轴的正半轴上,求椭圆的方程；(Ⅱ)若以AB 为直径的圆经过坐标原点，探究r b a ,,之间的等量关系.21.(本小题满分12分)已知函数ax e x f x -=)(（e 是自然对数的底数）.(Ⅰ) 求)(x f 的单调区间；(Ⅱ)若1-≥a ，当m ax x a x x xf +-++-≥13235)(23对任意),0[+∞∈x 恒成 立时，m 的最大值为1，求实数a 的取值范围. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请先将对应题号用铅笔涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==.sin 31,cos 3θθy x （θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 2=． (Ⅰ) 写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(Ⅱ) 设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，判断1C 与2C 的位置关系并求||PQ 的最小值． 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数12)(-++=x m x x f （0>m ）.(Ⅰ)当1=m 时，解不等式2)(≥x f ；(Ⅱ)当]2,[2m m x ∈时，不等式1)(21+≥x x f 恒成立，求实数m 的取值范围. 数学科答案（理科）一、选择题 1-5ACADD 6-10ABCBC 11-12BA二、填空题 16.6343或 三、解答题17. 解：（1）因为}{n a 是等差数列且公差为d ，所以）（21≥=--n d a a n n ...........1 d a a =-∴12 ， d a a =-23，... ， d a a n n =--1 (3)将上述式子相加，得 d n a a n )1(1-=-所以，数列}{n a 的通项公式为d n a a n )1(1-+= (6)（2）假设数列}1{+n a 是等比数列， (7)当2≥n 时，11+-n a ，1+n a ，11++n a 成等比数列所以)1()1()1(112+⋅+=++-n n n a a a (9)所以 ])1[(])1[()1(2d a d a a n n n ++⋅-+=+所以02=d ，所以0=d ，这与0≠d 矛盾所以，数列}1{+n a 不是等比数列 (12)18.解：(1)由频率分布直方图，得a =1(20.020.030.08)55-⨯++⨯错误！未找到引用源。

=．........3 (2)在抽取的女生中，月上网次数不少于20的学生的频率为×5=，学生人数为×20=2． (4)同理，在抽取的男生中，月上网次数不少于20的学生人数为×5×20=3， (5)故X 的所有可能取值为0，1，2，则 2225C 1(0)C 10P X ===错误！未找到引用源。

，112325C C 6(1)C 10P X ===错误！未找到引用源。

，2325C 3(2)C 10P X ===...........9 所以X 的分布列为所以E (X )=0×110错误！未找到引用源。

+1×5错误！未找到引用源。

+2×310=65错误！未找到引用源。

． (12)19.解：（1）由题意，以A 为坐标原点，以AB,AC,1AA 所在直线分别为x 轴，y轴,z 轴建立空间直角坐标系A-xyz.因为21===AA AC AB则)0,0,0(A ，)0,0,2(B ，)0,2,0(C ，)2,0,0(1A ，)2,0,2(1B ，)2,2,0(1C (3)所以）（2,2,21-=−→−BC ，）（2,0,21=−→−AB 所以040411=++-=⋅−→−−→−AB BC ..........................................4 所以−→−−→−⊥11AB BC ，所以1BC ⊥1AB (5)（2）又因为）（2,0,21-=−→−B A ，所以0404A 11=-+=⋅−→−−→−B A B 所以−→−−→−⊥B A B 11A 又因为B BC B A =⋂11所以111BC A AB 平面⊥， (8)又)2,2,0(1-=−→−C A ，所以21884,cos 11-=⋅->=<−→−−→−AB C A .................10 所以 32,11π>=<−→−−→−AB C A ，............................................11 所以直线C A 1与平面11BC A 所成的角为6π (12)20.解（1）因为圆O 的一条切线为m kx y l +=:所以r k m=+21，当1,31=-=r k ，所以310=m ..................2 又点B A ,都在坐标轴的正半轴上，所以310=m ，所以切线31031:+-=x y l 所以B A ,两点坐标是)310,0(和)0,10(，..............................4 所以椭圆的方程为11091022=+y x (5)（2）设),(11y x A ，),(22y x B ，以AB 为直径的圆经过坐标原所以02121=+y y x x ，所以0))((2121=+++m kx m kx x x ..................6 所以0)()1(221212=++++m x x km x x k 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222所以02)(222222222=-+++b a m a x kma x k a b 所以222222221b k a b a m a x x +-=，2222212b k a kma x x +-=+...............................8 所以0)()2())(1(2222222222=++-+-+b k a m kma km b a m a k .................10 且)1(222k r m +=所以2222222)1()1()(b a k k r b a +=++,................................11 所以222111r b a =+ (12)21. 解（1）因为a e x f x -=')( (1)①0≤a 时，0)(≥'x f 恒成立，所以)(x f 在R 上单调递增，无减区间； (2)②0>a 时，0)(=-='a e x f x 有a x ln =，且)ln ,(a x -∞∈时，0)(<'x f .),(ln +∞∈a x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 的增区间是),(ln +∞a ，减区间是)ln ,(a -∞ (4)（2）m ax x a x x xf +-++-≥13235)(23对任意),0[+∞∈x 恒成立， 所以m ax x a x ax e x x +-++-≥-13235)(23对任意),0[+∞∈x 恒成立 所以1)32)1(3(2+-++-≤a x a x e x m x 对任意),0[+∞∈x 恒成立..............5 设),0[,32)1(3)(2+∞∈-++-=x a x a x e x g x ，因为m 的最大值为1，.........6 所以恒成立032)1(3)(2≥-++-=a x a x e x g x 2)1(32)(++-='a x e x g x ，.............................................7 令2)1(32)(++-=a x e x h x 所以02)(=-='x e x h 有2ln =x ，且)2ln ,0[∈x ，0)(<'x h ，),2[ln +∞∈x ，0)(>'x h 所以02ln 2)1(232)2(ln )(>-++='≥'a g x g 所以)(x g 在),0[+∞∈x 是单调递增的。