沪科版八年级数学下16.1-2二次根式
解：
（1）由
1 x 1
x 6 0得， x 6
因此，当 x
6时，二次根式 x 6 在实数范围内有意义。 2 （2）由 （x - 1 ） 0 得，x为任意实数
2 （ x 1 ) 因此，x取任意值时，二次根式 在实数范围
内均有意义。
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必 须满足什么条件？ 1、 x+3 3、 1 x 2、 2-5x 4、 a2+1 x-1 6、 x-2
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 2 3 a 3
1 2 1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练一练 当 x 取什么值时，下列二次根式
在实数范围内有意义？
2 (3) 4 x ( 4) (1) x 6 ( 2) （x 1 ）
(2) 因为不论x是什么实数，都有 1 x ＞ 0. ∴当 是任何实数时， 2 有意义.
2
1 x 1 x 0 （3）由题意可知： 3 x 0
∴当 -1≤ x ≤3时， 1 x 3 x
有意义.
将下列各式化简：
跟踪练习
1
1 2
2
(2) 3
x 2 xy y
∴当 x =4时，
√
x - 2 x +
2
2
=4- .
1.若
a 2 2b 7
3 。 =_____ =0，则 a 2b
2.已知a.b为实数，且满足
a 2b 1 1 2b 1
你能求出a+b 的值吗？
3、已知 1 有意义,那A(a, a )在 第二 象限.
沪科版数学教材八年级下
第16章 二次根式
16.1 二次根式 （第二课时）
本课学习内容：
• （1）根号内字母的取值范围 • （2）二次根式的性质的应用
谈谈上节课的收获
指数
根指 数
根号 2
x a
2
互为 逆运算
x a
被开方数
底数
幂
a的平方根
复习 1、如果 x 4 ，那么 x ±2
2
；
；
(b c a) + (c a b)
2
2
- (b c a)
2
解：原式 b c a c a b b c a
a, b, c是三角形三边 , b c a 0, c (a b) 0, b (c a) 0
原式 b c a a b c b c a 3b a c
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之 间的关系这个知识点上，特别要应用好。
1.已知 y x 4 4 x 2 ，你能求出 x y 的值吗？
切入点：从字母的取值范围入手。 2.已知 x 2 y 9 与 x y 3 互为相反数，
求
切入点：从代数式的非负性入手。
(5)
(a＞1 ) 1 2a a 2 2 ( x 1) 9 6 x x
(1＜x＜3 )
ab
2 2 (a＜0,b＞0)
例3 先化简再求值： 中 x =4.
√
x - 2 x +
2
2
，其
√ x - 2 x + 解 =|x - |.
2
2
=√ （
x- ）
2
当 x =4时，| x - |=|4- |=4- .
2
2
2
2
1.从读法来看：
2:从运算顺序来看：
根号下 a 平方 a
2
a 先平方,后开方
2
3.从取值范围来看：
a
2
2
a≥0
a =a
2
4.从运算结果来看:
a a取任何实数
=∣a a ∣
2
a (a 0) 0 (a 0) a (a 0)
例1 x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？ （1）√x+3 ； （2） x2 . 解 （1）要使√x+3有意义，必须x+3≥0. 解这个不等式，得 x≥-3. 即当x≥-3时，√x+3 在实数范围内有意义. 2 （2）因为x为任何实数时都有 x ≥0， 所以当x为一切实数时， x2 在实数范围内都有意义.
a
2 3 4、2+√3-x的最小值为＿＿，此时 x的值为＿＿。
已知
：a b 6与 a b 8
互为相反数， 求： a, b的值。
例2
x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1 x 5 x5
(1)
(2) 1 x
2
(3) 1 x 3 x
解： (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5 有意义.
x 3 2、如果 x 3 ，那么
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
a
2
a
(a 0)
a ( a 0) 2 a a 0 (a 0) a (a 0)
( a ) 与 a 的区别
a 根号a的平方 a 先开方,后平方
x 、y 的值.
a 3.已知 ，你能求出 a 的取值范围吗？ a 1 切入点：分类讨论思想。
4.已知
10 a 为一个非负整数，试求非负整数 a的值
5、 x-3 + 4-x
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0 1 2 (3) 4 x x为全体实数 (4) x0 x
1 (5) x x 0 (6) 2 x x 1 0 ( x 2) x 1, 且x 2 (7) x3
a
2
b
c
2
(a b) (b c) c a
5.化简
(1) (a 1) ( a )
2
2
解：原式 a 1 a
a 1 a 2a 1
(2)（ 1 3x ) 1 x
2
1 3x 0 1 x 3
4.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
3
x0
(8)
x2 x
x 0 (9) x 1 x为全体实数
2
2 ；（2） 例 2（ 1） （ 1- 2） （-5）
2
2 解（1） （-5） = 2
5
2
=5
或
（-5） =|-5|=5
2
（ 2） （ 1- 2） =|1-√2 |=
(1 2))
2
10
（ 2）
2
a
4
(3) (4)
1.若 (1 x ) 2 1 x ,则x的取值范围为 ( )A (A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
2.下列式子一定是二次根式的是（ C ）
A． x 2 B． x C． x 2
2
D． x 2
2
3.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
2
2
2 (x﹤y)
解 : 原式 1 2
解 : 原式 ( x y)
x y
x y
(1 2)
2 1
x y 0 原式 （x y)
yx
（1）根号内字母的取值范围是如何
求的。 （2）二次根式的性质是如何应用的
课后作业
• P5，习题16.1第2,5题
（1）由
1 x 1
x 6 0得， x 6
因此，当 x
6时，二次根式 x 6 在实数范围内有意义。 2 （2）由 （x - 1 ） 0 得，x为任意实数
2 （ x 1 ) 因此，x取任意值时，二次根式 在实数范围
内均有意义。
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必 须满足什么条件？ 1、 x+3 3、 1 x 2、 2-5x 4、 a2+1 x-1 6、 x-2
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 2 3 a 3
1 2 1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练一练 当 x 取什么值时，下列二次根式
在实数范围内有意义？
2 (3) 4 x ( 4) (1) x 6 ( 2) （x 1 ）
(2) 因为不论x是什么实数，都有 1 x ＞ 0. ∴当 是任何实数时， 2 有意义.
2
1 x 1 x 0 （3）由题意可知： 3 x 0
∴当 -1≤ x ≤3时， 1 x 3 x
有意义.
将下列各式化简：
跟踪练习
1
1 2
2
(2) 3
x 2 xy y
∴当 x =4时，
√
x - 2 x +
2
2
=4- .
1.若
a 2 2b 7
3 。 =_____ =0，则 a 2b
2.已知a.b为实数，且满足
a 2b 1 1 2b 1
你能求出a+b 的值吗？
3、已知 1 有意义,那A(a, a )在 第二 象限.
沪科版数学教材八年级下
第16章 二次根式
16.1 二次根式 （第二课时）
本课学习内容：
• （1）根号内字母的取值范围 • （2）二次根式的性质的应用
谈谈上节课的收获
指数
根指 数
根号 2
x a
2
互为 逆运算
x a
被开方数
底数
幂
a的平方根
复习 1、如果 x 4 ，那么 x ±2
2
；
；
(b c a) + (c a b)
2
2
- (b c a)
2
解：原式 b c a c a b b c a
a, b, c是三角形三边 , b c a 0, c (a b) 0, b (c a) 0
原式 b c a a b c b c a 3b a c
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之 间的关系这个知识点上，特别要应用好。
1.已知 y x 4 4 x 2 ，你能求出 x y 的值吗？
切入点：从字母的取值范围入手。 2.已知 x 2 y 9 与 x y 3 互为相反数，
求
切入点：从代数式的非负性入手。
(5)
(a＞1 ) 1 2a a 2 2 ( x 1) 9 6 x x
(1＜x＜3 )
ab
2 2 (a＜0,b＞0)
例3 先化简再求值： 中 x =4.
√
x - 2 x +
2
2
，其
√ x - 2 x + 解 =|x - |.
2
2
=√ （
x- ）
2
当 x =4时，| x - |=|4- |=4- .
2
2
2
2
1.从读法来看：
2:从运算顺序来看：
根号下 a 平方 a
2
a 先平方,后开方
2
3.从取值范围来看：
a
2
2
a≥0
a =a
2
4.从运算结果来看:
a a取任何实数
=∣a a ∣
2
a (a 0) 0 (a 0) a (a 0)
例1 x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？ （1）√x+3 ； （2） x2 . 解 （1）要使√x+3有意义，必须x+3≥0. 解这个不等式，得 x≥-3. 即当x≥-3时，√x+3 在实数范围内有意义. 2 （2）因为x为任何实数时都有 x ≥0， 所以当x为一切实数时， x2 在实数范围内都有意义.
a
2 3 4、2+√3-x的最小值为＿＿，此时 x的值为＿＿。
已知
：a b 6与 a b 8
互为相反数， 求： a, b的值。
例2
x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1 x 5 x5
(1)
(2) 1 x
2
(3) 1 x 3 x
解： (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5 有意义.
x 3 2、如果 x 3 ，那么
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
a
2
a
(a 0)
a ( a 0) 2 a a 0 (a 0) a (a 0)
( a ) 与 a 的区别
a 根号a的平方 a 先开方,后平方
x 、y 的值.
a 3.已知 ，你能求出 a 的取值范围吗？ a 1 切入点：分类讨论思想。
4.已知
10 a 为一个非负整数，试求非负整数 a的值
5、 x-3 + 4-x
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0 1 2 (3) 4 x x为全体实数 (4) x0 x
1 (5) x x 0 (6) 2 x x 1 0 ( x 2) x 1, 且x 2 (7) x3
a
2
b
c
2
(a b) (b c) c a
5.化简
(1) (a 1) ( a )
2
2
解：原式 a 1 a
a 1 a 2a 1
(2)（ 1 3x ) 1 x
2
1 3x 0 1 x 3
4.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
3
x0
(8)
x2 x
x 0 (9) x 1 x为全体实数
2
2 ；（2） 例 2（ 1） （ 1- 2） （-5）
2
2 解（1） （-5） = 2
5
2
=5
或
（-5） =|-5|=5
2
（ 2） （ 1- 2） =|1-√2 |=
(1 2))
2
10
（ 2）
2
a
4
(3) (4)
1.若 (1 x ) 2 1 x ,则x的取值范围为 ( )A (A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
2.下列式子一定是二次根式的是（ C ）
A． x 2 B． x C． x 2
2
D． x 2
2
3.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
2
2
2 (x﹤y)
解 : 原式 1 2
解 : 原式 ( x y)
x y
x y
(1 2)
2 1
x y 0 原式 （x y)
yx
（1）根号内字母的取值范围是如何
求的。 （2）二次根式的性质是如何应用的
课后作业
• P5，习题16.1第2,5题
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沪科版八年级下册数学第16章 二次根式 二次根式的定义
知1－练
1下列各式中，一定是二次根式的是（）
A. B. C. x D2.
x
x2 2
2下列式子不一定是二次根式的是(
x2 2
)
A. B. C. D.
a
b2 1
0
（a b）2
3下列式子： 7，2x , 1 m , a2 b2 , 100 , 5 , a 1
中，一定是二次根式的有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
知1－讲
∴不一定是二次根式．
x2 2x 2
(7)∵x2＋2x＋2＝xx2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，
∴是二次根式．
总结
知1－讲
二次根式的识别方法： 判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式 的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个 特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数．
总结
知3－讲
常见的三种类型的非负数： 绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根)．当它们的 和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
知3－练
1 (中考·攀枝花)若y＝＋x＋23，则xy3＝ x
2 ________.
3 2 (中考·泰州)实数a，b满足＋4a2＋4ab＋b2＝0，
4 则ba的值为( )
总结
知2－讲
(1)本例通过式子有意义隐含的条件，求出点的横、纵坐 标的符号，从而确定点在平面直角坐标系中所处的象 限；这种由“数”确定符号到“形”确定位置的过程， 体现了数形结合思想． (2)当题中指出式子有意义或说式子是什么式子时，都表 示这个式子一定具备定义中的条件，解这类题一般都 是先根据定义建立关于字母的不等式(组)，再通过解 不等式(组)确定字母取值范围．
八年级数学下册《16.1二次根式》课件2 (新版)沪科版
第十四页，共14页。
9 x2 2x 1
(10) x2 2x 1
11 102
第五页，共14页。
要使 x 2满足二次根式的定义要求，
x 应对(yìngduì) 作出如何的要求呢？
这是二次根式的相当重要的“非负性”，也是一 个(yī ɡè)必考重点.
第六页，共14页。
学习体会
1、本节课你的收获有哪些？ 2、还有什么(shén me)疑惑？ 3、是否有给老师的建议？
1.表示a的算术平方根
2.a可以(kěyǐ)是数,也可以(kěyǐ)是式. 3.形式(xíngshì)上含有二次根号
4.a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算(yùn suàn),也可表示运算(yùn
6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
第十六章二次根式 (gēnshì)
16.1 二次根式(gēnshì)
第一页，共14页。
形如： 1000 、 800 、 200 、 a (a 0)
这些式子，你能发现它们共同特征吗？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫做被开方数.由于一个正数 (zhèngshù)有两个平方根；0的平方根 是为0；在实数范围内，负数没有平 方根，所以a只能是正数(zhèngshù)和
a与 会区a 分(qūfēn)
a 表示a的平方根，有两个结果
，一正一负
a 表示a的算术平方根，它永远是一
个非负数，是 a 中正的那个
第四页，共14页。
指出(zhǐ chū)下列哪些是二
次1根式5？ 2 3 33 21
4 bb 0 5 a 1a 2
6 a bab 73 5m2
9 x2 2x 1
(10) x2 2x 1
11 102
第五页，共14页。
要使 x 2满足二次根式的定义要求，
x 应对(yìngduì) 作出如何的要求呢？
这是二次根式的相当重要的“非负性”，也是一 个(yī ɡè)必考重点.
第六页，共14页。
学习体会
1、本节课你的收获有哪些？ 2、还有什么(shén me)疑惑？ 3、是否有给老师的建议？
1.表示a的算术平方根
2.a可以(kěyǐ)是数,也可以(kěyǐ)是式. 3.形式(xíngshì)上含有二次根号
4.a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算(yùn suàn),也可表示运算(yùn
6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
第十六章二次根式 (gēnshì)
16.1 二次根式(gēnshì)
第一页，共14页。
形如： 1000 、 800 、 200 、 a (a 0)
这些式子，你能发现它们共同特征吗？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫做被开方数.由于一个正数 (zhèngshù)有两个平方根；0的平方根 是为0；在实数范围内，负数没有平 方根，所以a只能是正数(zhèngshù)和
a与 会区a 分(qūfēn)
a 表示a的平方根，有两个结果
，一正一负
a 表示a的算术平方根，它永远是一
个非负数，是 a 中正的那个
第四页，共14页。
指出(zhǐ chū)下列哪些是二
次1根式5？ 2 3 33 21
4 bb 0 5 a 1a 2
6 a bab 73 5m2
沪科版八年级数学下册第16章《二次根式》课件
3.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
ab c
(ab)2(bc)2ca
4.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
(bca)2 + (cab)2 - (bca)2
解： b c 原 a c a 式 b b c a
a,b,c是三角形 , 三边 bca0,c(ab)0,b(ca)0
原 b 式 c a a b c b c a 3 b a c
x x
0 0
∴当 -1≤ x ≤3时， 1x 3x有意义.
3、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x 1
(2) 3x x0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x
x0
(5) x3 x0
1 (6) x 2
x0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之 间的关系这个知识点上，特别要应用好。
5.化简
(1) (a1)2( a)2
解：原 a式 1a
a 1 a 2a 1
(2)（13x)21x
1 3x 0 x 1
3
6.把下列各式写成平方差的形式， 再在实
数范围内分解因式；
(1)a4 9
(2)a46a29
解：(1)原 式 （ a2） 232 (a23)a (23)
(a23 )a (3)a (3)
(2)原 式 (a23)2 (a3)2(a3)2
巩固提高：
1.若 (a5)2 (2b2)2 =0，则 ab 2 =___5 __。
2.已知a,b为实数，且满足 a2b 112b1
,你能求出a及a+b 的值吗？
ab c
(ab)2(bc)2ca
4.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
(bca)2 + (cab)2 - (bca)2
解： b c 原 a c a 式 b b c a
a,b,c是三角形 , 三边 bca0,c(ab)0,b(ca)0
原 b 式 c a a b c b c a 3 b a c
x x
0 0
∴当 -1≤ x ≤3时， 1x 3x有意义.
3、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x 1
(2) 3x x0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x
x0
(5) x3 x0
1 (6) x 2
x0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之 间的关系这个知识点上，特别要应用好。
5.化简
(1) (a1)2( a)2
解：原 a式 1a
a 1 a 2a 1
(2)（13x)21x
1 3x 0 x 1
3
6.把下列各式写成平方差的形式， 再在实
数范围内分解因式；
(1)a4 9
(2)a46a29
解：(1)原 式 （ a2） 232 (a23)a (23)
(a23 )a (3)a (3)
(2)原 式 (a23)2 (a3)2(a3)2
巩固提高：
1.若 (a5)2 (2b2)2 =0，则 ab 2 =___5 __。
2.已知a,b为实数，且满足 a2b 112b1
,你能求出a及a+b 的值吗？
新沪科版八年级下册初中数学 16-2 二次根式的运算(课时1) 教学课件
a2 a
第十一页，共十三页。
想一想？
(4) (9) (4) (9)
成立吗？为什么？
ab a • b (a 0,b 0)
(4) (9)
36 6
非
负
数
第十二页方根.
a • b ab (a≥0,b≥0)
ab a • b (a 0, b 0)
教学课件
数学 八年级下册 沪科版
第一页，共十三页。
第16章 二次根式
16.2 二次根式的运算
第1课时
第二页，共十三页。
复习引入
1.什么叫二次根式？
式子 a (a 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
2 =a a
(a≥ 0)
a 2 =∣a∣ =
a (a≥0) -a (a＜0)
第三页，共十三页。
2.化简二次根式的步骤：
a.将被开方数尽可能分解成几个平方数.
b.应用 ab a b c.将平方项应用 a2 a (a 化0)简.
第十三页，共十三页。
a • b ab (a≥0,b≥0)
第六页，共十三页。
知识要点
a • b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
a、b必须都是非负数！
第七页，共十三页。
例1 计算
(1) 6 7
(2) 1 32 2
解:
(1) 6 7 6 7 42
(2) 1 32 1 32 16 4
(2) 16ab2c3 16 a b2 c3
4 a b c2 c
4bc a c
24 bc
ac .
第十页，共十三页。
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
新沪科版八年级数学下册第16章《二次根式》精品课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
有意义的实数
x的值有（
A、0个
B ） B、1个 C、2个 D、无数个
8（１）
3 ( 3) ____
2
2
x 1 （２）当 x 1 时， (1 x) ____
（３） ( x 2) 2 x 2 ，x 2
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9
计算： ( 10) (3 3)
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
（4）、二次根式的除法法则
a b
a (a 0, b 0) b
二次根式的乘除：
a b ＝
ab (a≥0 , b≥0)
a b (a≥0 , b≥0)
a b
(a≥0, b＞0) (a≥0, b＞0)
ab ＝
a b
a b
＝
＝
a b
梳理五.最简二次根式的定义.
梳理七.二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化 为最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并。 注意：对被开方数相同的二次根式 进行合并，实质是对被开方数相同的二 次根式的系数进行合并。
梳理八. 混合运算法则
1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的. 2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式.
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式. (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因 式.
梳理六 .同类二次根式的定义。
几个二次根式化为最简二次根
式后，若被开方数相同，则这几个
二次根式就叫做同类二次根式。
判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法： 1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。 2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
2
有意义的实数
x的值有（
A、0个
B ） B、1个 C、2个 D、无数个
8（１）
3 ( 3) ____
2
2
x 1 （２）当 x 1 时， (1 x) ____
（３） ( x 2) 2 x 2 ，x 2
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9
计算： ( 10) (3 3)
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
（4）、二次根式的除法法则
a b
a (a 0, b 0) b
二次根式的乘除：
a b ＝
ab (a≥0 , b≥0)
a b (a≥0 , b≥0)
a b
(a≥0, b＞0) (a≥0, b＞0)
ab ＝
a b
a b
＝
＝
a b
梳理五.最简二次根式的定义.
梳理七.二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化 为最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并。 注意：对被开方数相同的二次根式 进行合并，实质是对被开方数相同的二 次根式的系数进行合并。
梳理八. 混合运算法则
1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的. 2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式.
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式. (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因 式.
梳理六 .同类二次根式的定义。
几个二次根式化为最简二次根
式后，若被开方数相同，则这几个
二次根式就叫做同类二次根式。
判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法： 1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。 2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
沪科版八年级数学 下册 16.1《二次根式》课件(共22张PPT)
（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
沪科版八年级数学下册目录
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数学教材是八年级数学学习的重要组成部分，其中课本目录收录了哪些知识呢?小编整理了关于沪科版八年级数学下册的目录，希望对大家有帮助!
沪科版八年级数学下册课本目录
第16章二次根式
16.1 二次根式
16.2二次根式的运算
第17章一元二次方程
17.1 一元二次方程
17.2一元二次方程的解法
17.3一元二次方程的根的判别式
17.4一元二次方程的根与系数的关系
17.5 一元二次方程的应用
第18章勾股定理
18.1 勾股定理
18.2 勾股定理的逆定理
第19章四边形
19.1 多边形内角和
19.2平行四边形
19.3 矩形菱形正方形
19.4 中心对称图形
19.5梯形
第20章数据的初步分析
20.1数据的频数分布
20.2数据的集中趋势与离散程度
20.3综合与实践体重指数
泸科版八年级数学下册知识点：二次根式的加法和减法
1 同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。
最新沪科版八年级数学下16.1二次根式的概念ppt公开课优质课件
自主学习
如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是
b 3 .
b-3
b3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a 2500
2
s
表示一些正数的算术平方根．
首页
知识要点
二次根式的定 义 一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根
式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
①外貌特征：含有“ ”
0的算术平方根平方根是0.
用 a (a≥0)表示.
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3.平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根.
4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？
正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根.
S
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为____________.Fra bibliotek课堂小结
（1）二次根式的概念
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根 式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
（2）根号内字母的取值范围
抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
（3）二次根式的非负性
a 具有双重非负性.
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随堂训练
见本课时练习
首页
第16章 二次根式
16.1
第1课时
复习 引入 自主 学习
二次根式
二次根式的概念
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
复习引入
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. a的平方根是 a .
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
沪科版数学八年级下册1622二次根式的除法课件(14张PPT)
第十六章 二次根式
16.2 二次根式的运算 第2课时 二次根式的除法
பைடு நூலகம்
学习目标
1.理解并掌握二次根式的除法运算法则，即 a a a 0,b 0
bb
和 a a a 0,b 0 .
bb
2.具备利用商的算术平方根的性质化简二次根式的能力. 3.掌握最简二次根式的概念，并可以熟练运用．
（1） 36 = 49
b
常用这个性质来解决二次根式的除法.
探究新知
2.请根据性质4来完成以下问题.
（1） 3 5
（2）3 2 27
（3） 8 2a
答案：（1）
（2）
（3）
探究新知
请同学们仔细观察，以上这些式子有什么规律？ 规律：1.分母中均不含有根号.
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 总结：我们把同时满足上述两个条件的二次根式，叫做最 简二次根式．
（3） 9 = 16
总结： 36 = 49
问题引入
（2） 36 = 49
（4） 9 = 16
36 ， 9 =
9
.
49 16
16
探究新知
36 36
1.根据以上的四个分式，可以得到 49 = 49 ，
9 16 =
9 16
的结论.
这就是二次根式的第四个性
质，即
a b
a a 0,b 0 和
b
a b
a a 0,b 0 .
（cm）.
课堂小结
本节课主要学习了哪些知识？ 1.关于二次根式乘法运算法则的性质是什么？
和
2.关于运用这个性质的的注意事项是什么呢？ （1）分母中均不含有根号. （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
16.2 二次根式的运算 第2课时 二次根式的除法
பைடு நூலகம்
学习目标
1.理解并掌握二次根式的除法运算法则，即 a a a 0,b 0
bb
和 a a a 0,b 0 .
bb
2.具备利用商的算术平方根的性质化简二次根式的能力. 3.掌握最简二次根式的概念，并可以熟练运用．
（1） 36 = 49
b
常用这个性质来解决二次根式的除法.
探究新知
2.请根据性质4来完成以下问题.
（1） 3 5
（2）3 2 27
（3） 8 2a
答案：（1）
（2）
（3）
探究新知
请同学们仔细观察，以上这些式子有什么规律？ 规律：1.分母中均不含有根号.
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 总结：我们把同时满足上述两个条件的二次根式，叫做最 简二次根式．
（3） 9 = 16
总结： 36 = 49
问题引入
（2） 36 = 49
（4） 9 = 16
36 ， 9 =
9
.
49 16
16
探究新知
36 36
1.根据以上的四个分式，可以得到 49 = 49 ，
9 16 =
9 16
的结论.
这就是二次根式的第四个性
质，即
a b
a a 0,b 0 和
b
a b
a a 0,b 0 .
（cm）.
课堂小结
本节课主要学习了哪些知识？ 1.关于二次根式乘法运算法则的性质是什么？
和
2.关于运用这个性质的的注意事项是什么呢？ （1）分母中均不含有根号. （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【最新】沪科版八年级数学下册第十六章 《二次根式》精品课件.ppt
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020 6:05:55 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/162020/12/162020/12/16Dec-2016-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/162020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
求二次根式 4 2x 的值： (1) x=0
(2) x=1
(3) x=‐1
倍 速 课
变式练习:若二次根式 x 2 的值为3，
求x的值.
时
学
练
练习：求下列二次根式中字母的取值范围
(1) a 1 ( 2 ) 1
(3) (a 3)2
1 2a
4 25x
5 2x12
倍 6x532x
速
课
时 学 练
7 2 x 1
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/16
练
斜边长为____a_2___2__5_0_0__米。
S
倍
速 课
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
时
学
S
练
则半径为____________.
如图所示的值表示正方形的面
积，则正方形的边长是 b 3
b-3
求二次根式 4 2x 的值： (1) x=0
(2) x=1
(3) x=‐1
倍 速 课
变式练习:若二次根式 x 2 的值为3，
求x的值.
时
学
练
练习：求下列二次根式中字母的取值范围
(1) a 1 ( 2 ) 1
(3) (a 3)2
1 2a
4 25x
5 2x12
倍 6x532x
速
课
时 学 练
7 2 x 1
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/16
练
斜边长为____a_2___2__5_0_0__米。
S
倍
速 课
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
时
学
S
练
则半径为____________.
如图所示的值表示正方形的面
积，则正方形的边长是 b 3
b-3