数列高考题型分类汇总
高考数列专题题型讲解及答案
数列题型一、数列的综合问题【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 ＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.【分析】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【即时应用】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1.∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n .(2)不存在.理由如下：∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3(k ∈N *)， 易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12k ＋3为单调递减数列， ∴23<1－2T k ≤1315，又1b k＝13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13，∴不存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k成立. 题型二、数列的通项、求和求和要善于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常用求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例2】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2， 即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29. 故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝19（2n ＋79），b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1. (2)解 由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1， 于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1. 【分析】用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q .第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k ∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n .【即时应用】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ；(2)求S 2n .(1)证明 由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3.两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1，故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列.因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝32(3n －1).题型三、数列的综合应用3.1 数列与函数的综合问题【例3】 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *).(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n . 解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n . (2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1 因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n. 热点3.2 数列与不等式的综合问题【例4】 在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n 3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围.解 (1)设公差为d ，由题意得：⎩⎨⎧a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n .(2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝32n (n ＋1)，∴T n ＝n （n ＋1）2n ，T n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1，∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n＝（n ＋1）（2－n ）2n ＋1，∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值是32，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。
高考数列题型总结（优秀范文五篇）
高考数列题型总结（优秀范文五篇）第一篇：高考数列题型总结数列1.2.3.4.5.6.坐标系与参数方程 1.2.34..5.6.(1)(2)第二篇：数列综合题型总结数列求和1.（分组求和）(x-2)+(x2-2)+…+（xn-2）2.(裂相求和)++Λ+1⨯44⨯7(3n-2)(3n+1)3.（错位相减）135+2+3+222+2n-12n1⨯2+2⨯22+3⨯23+Λ+n⨯2n4.（倒写相加）1219984x)+f()+Λ+f()=x 求值设f(x），求f(1999199919994+25.（放缩法）求证：1+数列求通项6.（Sn与an的关系求通项）正数数列{an}，2Sn=an+1，求数列{an}的通项公式。
7．（递推公式变形求通项）已知数列{an }，满足，a1=1,8.累乘法an+1=5an求{an }的通项公式 5+an11++2232+1<2n2数列{an}中，a1=122，前n项的和Sn=nan，求an+1.2222a=S-S=na-(n-1)a⇒(n-1)a=(n-1)an-1 nnn-1nn-1n解：⇒∴∴an=ann-1=an-1n+1，anan-1a2n-1n-2111⋅Λ⋅a1=⋅Λ⨯=an-1an-2a1n+1n32n(n+1)an+1=1 (n+1)(n+2)9累加法第三篇：数列题型及解题方法归纳总结文德教育知识框架⎧列⎧数列的分类⎪数⎪⎪⎨数列的通项公式←函数⎪的概念角度理解⎪⎪⎩数列的递推关系⎪⎪⎧⎧等差数列的定义an-an-1=d(n≥2)⎪⎪⎪⎪⎪等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d⎪⎪⎪等差数列⎪⎨n⎪⎪⎪等差数列的求和公式Sn=2(a1+an)=na1+n(n-1)d⎪⎪⎪⎪⎪2⎪⎩等差数列的性质an+am=ap+aq(m+n=⎪⎪p+q)⎪两个基⎪⎧等比数列的定义an=q(n≥⎪本数列⎨⎪⎪a2)n-1⎪⎪⎪⎪⎪⎪等比数列的通项公式an-1⎪n=a1q数列⎪⎪等比数列⎨⎨⎧a1-anq=aqn1(1-)⎪⎪⎪等比数列的求和公式S(q≠1)n=⎪⎨1-q1-q⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩na1(q=1)⎪⎪⎪⎩等比数列的性质anam=apaq(m+n=p+q)⎪⎩⎪⎧公式法⎪⎪分组求和⎪⎪⎪⎪错位相减求和⎪数列⎪⎪求和⎨裂项求和⎪⎪倒序相加求和⎪⎪⎪⎪累加累积⎪⎪⎩归纳猜想证明⎪⎪⎪数列的应用⎧分期付款⎨⎩⎩其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
高考数学数列大题知识点
高考数学数列大题知识点数列是高中数学中重要的章节之一，也是高考数学中的常见考点。
数列题目通常要求学生用数列的知识解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力。
本文将介绍高考数学数列大题的一些重要知识点，帮助大家备考高考。
一、等差数列等差数列是最常见也是最简单的数列类型之一。
等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差都是相等的。
等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d，其中a1表示第一项，d表示公差，n表示项数。
在高考中，等差数列常被用来解决年龄、时间、里程等实际问题。
例如：问题：一个等差数列的首项是3，公差是2，若这个数列的第10项是多少？解题思路：根据等差数列的通项公式，代入相应的值，得出第10项的值为3+9*2=21。
二、等比数列等比数列是常见的另一种数列类型。
等比数列是指数列中的任意两个相邻项之间的比都是相等的。
等比数列的通项公式为：an=a1*r^(n-1)，其中a1表示第一项，r表示公比，n表示项数。
等比数列常被用来解决增长、衰减等实际问题。
例如：问题：一个等比数列的首项是2，公比是3，若这个数列的第5项是多少？解题思路：根据等比数列的通项公式，代入相应的值，得出第5项的值为2*3^(5-1)=162。
三、求和公式在高考数学数列大题中，求和也是一个重要的考点。
根据不同的数列类型，求和公式也会有所不同。
对于等差数列，其前n项和公式为：Sn=n/2*(a1+an)，其中n 表示项数，a1表示首项，an表示第n项。
对于等比数列，其前n项和公式为：Sn=a1*(r^n-1)/(r-1)，其中n表示项数，a1表示首项，r表示公比。
通过掌握求和公式，可以快速计算数列的前n项和，提高解题效率。
四、数列的性质和应用除了等差数列和等比数列，数列还有一些其他的重要性质和应用。
首先是斐波那契数列。
斐波那契数列是指从第3项开始，每一项是前两项的和。
斐波那契数列常被用来解决兔子繁殖、植物生长等问题。
其通项公式为：an=an-1+an-2。
高中数列题目归纳总结大全
高中数列题目归纳总结大全数列是高中数学中的一个重要概念，它在数学建模、微积分、概率论等领域都有广泛的应用。
本文将对高中数列相关的题目进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握数列的概念和解题方法。
一、等差数列1. 概念：等差数列指的是一个数列中任意两个相邻项之间的差值都相等的数列。
2. 公式：假设首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n - 1)d。
3. 性质：- 任意三项成等差数列时，它们的差值相等。
- 如果知道首项、公差和项数，可以通过通项公式求出数列中任意一项的值。
- 等差数列的前n项和公式为Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2。
4. 例题：(1) 求等差数列1，4，7，..."首项为1，公差为3，求第n项的值。
(2) 已知等差数列的首项为3，末项为99，项数为33，求公差的值。
(3) 求等差数列3，6，9，...的前20项和。
二、等比数列1. 概念：等比数列指的是一个数列中任意两个相邻项之间的比值都相等的数列。
2. 公式：假设首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n - 1)。
3. 性质：- 任意三项成等比数列时，它们的比值相等。
- 如果知道首项、公比和项数，可以通过通项公式求出数列中任意一项的值。
- 等比数列的前n项和公式为Sₙ = a₁ * (r^n - 1) / (r - 1)，其中r≠1。
4. 例题：(1) 求等比数列2，8，32，..."首项为2，公比为4，求第n项的值。
(2) 已知等比数列的首项为5，末项为320，公比为2，求项数的值。
(3) 求等比数列3，6，12，...的前10项和。
三、斐波那契数列1. 概念：斐波那契数列是一个特殊的数列，前两项为1，1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
2. 公式：假设首项为a₁，第二项为a₂，第n项为aₙ，则斐波那契数列的通项公式为aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁。
高考数列常考题型归纳总结汇总
n
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q n +1，得：
a n +1q
n +1
=
p q
∙
a n q
n
+
1q
引入辅助数列
{b n }（其中b n
=
a n q
n
），得：b n +1=
p q
b n +
1q
再待定系数法解决。
例:已知数列{a n }中，a 1=解：在a n +1=
52
⋅⋅3=85
n -3。1
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+(n -1 a n -1
(n ≥2，则{a n }的通项a n =⎨
⎧1⎩___
n =1
n ≥2
解：由已知，得a n +1=a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+(n -1 a n -1+na n，用此式减去已知式，得当n ≥2时，a n +1-a n =na n，即a n +1=(n +1 a n，又a 2=a 1=1，
1
56
, a n +1=
1
1n +1
a n +(，求a n。32
1n +12n n +1
a n +(两边乘以2n +1得：2∙a n +1=(2∙a n +1 323
22
令b n =2n ∙a n，则b n +1=b n +1,解之得：b n =3-2( n
人教版高考数学一轮专项复习：数列题型11种(含解析)
数列题型11种（方法+例题+答案）1.作差法求通项公式2.累乘法求通项公式3.累加法求通项公式4.构造法求通项公式（一）5.构造法求通项公式（二）6.取倒法求通项公式7.分组求和法求前n项和8.错位相减法求前n项和9.裂项相消法求前n项和10.数列归纳法与数列不等式问题11.放缩法与数列不等式问题1、作差法求数列通项公式已知n S （12()n a a a f n +++= ）求n a ，{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥注意：分两步，当2≥n 时和1=n 时一、例题讲解1、（2015∙湛江）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，n *∈N ），且12a =，23a =． ()1求数列{}n a 的通项公式2、（2015∙茂名）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且)1()1(221+=+-+n n S n nS n n ，)(*∈N n ，数列}{n b 满足,0212=+-++n n n b b b )(*∈N n ，53=b ，其前9项和为63（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式3、（2015∙中山）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且,40,842==S a 数列}{n b 的前n 项和为n T ，且,032=+-n n b T *∈N n 。
（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式4、（2015∙揭阳）已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，)1(3--=n n na S n n ，（*∈N n ），且,112=a （1）求1a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式5、（2014∙汕头）数列{}n a 中，11=a ，n S 是{}n a 前n 项和，且)2(11≥+=-n S S n n(1)求数列{}n a 的通项公式6、（2014∙肇庆）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足,21=a )1(1++=+n n S na n n （1）求数列}{n a 的通项公式7、（2014∙江门）已知数列}{n a 的前n 项和122-=n S n ，求数列}{n a 的通项公式。
数列高考知识点归纳(+题型)
数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。
2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。
2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-.若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ； 若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++，相加得 12n n a a S n +=， 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。
特别的，由1212n n a a a -+= 可得 21(21)n n S n a -=-。
高考数列10大题型
高考数列10大题型
1. 等差数列求和问题：已知等差数列的首项和公差，求前n项的和。
2. 等差数列通项问题：已知等差数列的首项和公差，求第n项的值。
3. 等比数列求和问题：已知等比数列的首项和公比，求前n项的和。
4. 等比数列通项问题：已知等比数列的首项和公比，求第n项的值。
5. 递推数列求和问题：已知递推数列的递推关系和初始项，求前n项的和。
6. 递推数列通项问题：已知递推数列的递推关系和初始项，求第n项的值。
7. 斐波那契数列问题：求斐波那契数列中第n项的值。
8. 拆分数列：已知一个数列中的某一项满足特定条件，求拆分数列中满足条件的项数。
9. 数列特性问题：已知一个数列满足特定条件，求满足条件的项数或项的值。
10. 数列推理问题：已知一个数列的部分项或规律，推理出数列的通项式或递推关系。
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（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．题型二2．已知数列{an }、{bn}、{cn}满足．（1）设cn =3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有bn ≥bk；（3）设，．当b1=1时，求数列{bn}的通项公式．题型三3．已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n ﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）设bn =a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；（3）设cn =（an+1﹣an）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn．题型四4．已知数列{an}满足，，n∈N×．（1）令bn =an+1﹣an，证明：{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式．5．设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{an+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{an}的通项公式．6．在数列{an }中，a1=1，．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n }的前n 项和S n ；（Ⅲ）求数列{a n }的前n 项和T n ．7．已知数列{a n }的首项，，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n 项和S n ．8.在数列{}na 中，10a =，且对任意*k N ∈k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d 。
(Ⅰ)若k d =2k ，证明21222,,k k k a a a -+成等比数列（*k N ∈）； (Ⅱ)若对任意*k N ∈，21222,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q .设1q ≠1.证明11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；9.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。
10. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5． （I ） 求数列{b n }的通项公式；（II ） 数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n +}是等比数列．题型五12.数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求（I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++L 的值.13．已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 2a 6=55，a 2+a 7=16 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）数列{a n }和数列{b n }满足等式a n =（n∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ．提醒六14．设数列{a n }的通项公式为a n =pn+q （n∈N *，P ＞0）．数列{b n }定义如下：对于正整数m ，b m 是使得不等式a n ≥m 成立的所有n 中的最小值． （Ⅰ）若，求b 3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m }的前2m 项和公式；15．已知数列{x n }的首项x 1=3，通项x n =2n p+np （n∈N*，p ，q 为常数），且成等差数列．求：（Ⅰ）p ，q 的值；（Ⅱ）数列{x n }前n 项和S n 的公式．16．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项；（Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n ．17．已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =（4﹣a n ）q n ﹣1（q≠0，n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ．18．在数1 和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n ，再令a n =lgT n ，n≥1． （I ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =tana n •tana n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．题型七19．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=﹣10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列{}的前n 项和．20．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n∈N *，点（n ，S n ），均在函数y=b x +r （b ＞0）且b≠1，b ，r 均为常数）的图象上． （1）求r 的值； （2）当b=2时，记b n =n∈N *求数列{b n }的前n 项和T n ．题型八21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．题型九22．已知公差不为0的等差数列{an }的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为Sn，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{an }的通项公式及Sn；（Ⅱ）记An =+++…+，Bn=++…+，当a≥2时，试比较An与Bn的大小．23.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S 5S6+15=0．（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范围．答案1．（2011•重庆）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．分析：（Ⅰ）由{an }是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式（Ⅱ）由{bn }是首项为1，公差为2的等差数列可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an +bn}的前n项和Sn．解答：解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q=2∴{an }的通项公式为an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{an +bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣22．已知数列{an}、{bn}、{cn}满足．（1）设cn =3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有bn ≥bk；（3）设，．当b1=1时，求数列{bn}的通项公式．专题：计算题；分类讨论。
分析：（1）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式，即可求出结论；（2）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；（3）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列{bn}的通项公式，最后综合即可．解答：解：（1）∵an+1﹣an=3，∴bn+1﹣bn=n+2，∵b1=1，∴b2=4，b3=8．（2）∵．∴an+1﹣an=2n﹣7，∴bn+1﹣bn=，由bn+1﹣bn＞0，解得n≥4，即b4＜b5＜b6…；由bn+1﹣bn＜0，解得n≤3，即b1＞b2＞b3＞b4．∴k=4．（3）∵an+1﹣an=（﹣1）n+1，∴bn+1﹣bn=（﹣1）n+1（2n+n）．∴bn ﹣bn﹣1=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）（n≥2）．故b2﹣b1=21+1；b 3﹣b2=（﹣1）（22+2），…b n﹣1﹣bn﹣2=（﹣1）n﹣1（2n﹣2+n﹣2）．b n ﹣bn﹣1=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）．当n=2k时，以上各式相加得b n ﹣b1=（2﹣22+…﹣2n﹣2+2n﹣1）+[1﹣2+…﹣（n﹣2）+（n﹣1）]=+=+．∴bn==++．当n=2k﹣1时，=++﹣（2n+n ） =﹣﹣+∴b n =．3．（2010•四川）已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m 、n ∈N*都有a2m ﹣1+a2n ﹣1=2am+n ﹣1+2（m ﹣n ）2 （1）求a 3，a 5；（2）设b n =a 2n+1﹣a 2n ﹣1（n∈N *），证明：{b n }是等差数列； （3）设c n =（a n+1﹣a n ）q n ﹣1（q≠0，n∈N *），求数列{c n }的前n 项和S n ． 分析：（1）欲求a 3，a 5只需令m=2，n=1赋值即可．（2）以n+2代替m ，然后利用配凑得到b n+1﹣b n ，和等差数列的定义即可证明． （3）由（1）（2）两问的结果可以求得c n ，利用乘公比错位相减求{c n }的前n 项和S n ． 解答：解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a 3=2a 2﹣a 1+2=6 再令m=3，n=1，可得a 5=2a 3﹣a 1+8=20（2）当n∈N *时，由已知（以n+2代替m ）可得 a 2n+3+a 2n ﹣1=2a 2n+1+8于是[a 2（n+1）+1﹣a 2（n+1）﹣1]﹣（a 2n+1﹣a 2n ﹣1）=8 即b n+1﹣b n =8所以{b n }是公差为8的等差数列 （3）由（1）（2）解答可知{b n }是首项为b 1=a 3﹣a 1=6，公差为8的等差数列 则b n =8n ﹣2，即a 2n+1﹣a 2n ﹣1=8n ﹣2 另由已知（令m=1）可得 a n =﹣（n ﹣1）2．那么a n+1﹣a n =﹣2n+1=﹣2n+1=2n于是c n =2nq n ﹣1．当q=1时，S n =2+4+6++2n=n （n+1）当q≠1时，S n =2•q 0+4•q 1+6•q 2++2n•q n ﹣1． 两边同乘以q ，可得qS n =2•q 1+4•q 2+6•q 3++2n•q n ． 上述两式相减得（1﹣q ）S n =2（1+q+q 2++q n ﹣1）﹣2nq n =2•﹣2nq n=2•所以Sn=2•综上所述，Sn=4．（2009•陕西）已知数列{an}满足，，n∈N×．（1）令bn =an+1﹣an，证明：{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式．分析：（1）先令n=1求出b1，然后当n≥2时，求出an+1的通项代入到bn中化简可得{bn}是以1为首项，为公比的等比数列得证；（2）由（1）找出bn 的通项公式，当n≥2时，利用an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an ﹣an﹣1）代入并利用等比数列的前n项和的公式求出即可得到an的通项，然后n=1检验也符合，所以n∈N，an都成立．解答：解：（1）证b1=a2﹣a1=1，当n≥2时，所以{bn}是以1为首项，为公比的等比数列．（2）解由（1）知，当n≥2时，an =a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）=1+1+（﹣）+…+===，当n=1时，．所以．5．（2008•四川）设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{an+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{an}的通项公式．考点：等比关系的确定；等比数列的通项公式；数列递推式。