数列高考题型分类汇总
（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设{b
n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a
n
+b
n
}的前n项和S
n
．
题型二
2．已知数列{a
n }、{b
n
}、{c
n
}满足．
（1）设c
n =3n+6，{a
n
}是公差为3的等差数列．当b
1
=1时，求b
2
、b
3
的值；
（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b
n ≥b
k
；
（3）设，．当b
1=1时，求数列{b
n
}的通项公式．
题型三
3．已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n ﹣1+2（m﹣n）2
（1）求a
3，a
5
；
（2）设b
n =a
2n+1
﹣a
2n﹣1
（n∈N*），证明：{b
n
}是等差数列；
（3）设c
n =（a
n+1
﹣a
n
）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c
n
}的前n项和S
n
．
题型四
4．已知数列{an}满足，，n∈N×．
（1）令b
n =a
n+1
﹣a
n
，证明：{b
n
}是等比数列；
（2）求{a
n
}的通项公式．
5．设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n，
（Ⅰ）求a
1，a
4
（Ⅱ）证明：{a
n+1
﹣2a n}是等比数列；
（Ⅲ）求{a
n
}的通项公式．
6．在数列{a
n }中，a
1
=1，．
（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{b n }的前n 项和S n ；
（Ⅲ）求数列{a n }的前n 项和T n ．
7．已知数列{a n }的首项，
，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前n 项和S n ．
8.在数列{}n
a 中，10a =，且对任意*k N ∈k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，
其公差为k d 。
(Ⅰ)若k d =2k ，证明21222,,k k k a a a -+成等比数列（*k N ∈）； (Ⅱ)若对任意*k N ∈，21222,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q .
设1q ≠1.证明11k q ????-??是等差数列；
9.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。
10. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}12n n a n --?是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式
11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5． （I ） 求数列{b n }的通项公式；
（II ） 数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n +}是等比数列．
题型五
12.数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11
3
n n a S +=，n =1，2，3，……，求
（I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++L 的值.
13．已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 2a 6=55，a 2+a 7=16 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）数列{a n }和数列{b n }满足等式a n =（n∈N *），求数列{b n }
的前n 项和S n ．
提醒六
14．设数列{a n }的通项公式为a n =pn+q （n∈N *，P ＞0）．数列{b n }定义如下：对于
正整数m ，b m 是使得不等式a n ≥m 成立的所有n 中的最小值． （Ⅰ）若
，求b 3；
（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m }的前2m 项和公式；
15．已知数列{x n }的首项x 1=3，通项x n =2n p+np （n∈N*，p ，q 为常数），且成等差数列．求：
（Ⅰ）p ，q 的值；
（Ⅱ）数列{x n }前n 项和S n 的公式．
16．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项；
（Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n ．
17．已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =（4﹣a n ）q n ﹣1（q≠0，n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ．
18．在数1 和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n ，再令a n =lgT n ，n≥1． （I ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =tana n ?tana n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．
题型七
19．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=﹣10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列{
}的前n 项和．
20．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n∈N *，点（n ，S n ），均在函数y=b x +r （b ＞0）且b≠1，b ，r 均为常数）的图象上． （1）求r 的值； （2）当b=2时，记b n =
n∈N *求数列{b n }的前n 项和T n ．
题型八
21．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =
2
11
n a -(n ∈N *
)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
题型九
22．已知公差不为0的等差数列{a
n }的首项a
1
为a（a∈R）设数列的前n项和为
S
n
，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a
n }的通项公式及S
n
；
（Ⅱ）记A
n =+++…+，B
n
=++…+，当a≥2时，试比较A
n
与
B
n
的大小．
23.设a
1，d为实数，首项为a
1
，公差为d的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，满足
S 5S
6
+15=0．
（Ⅰ）若S
5=5，求S
6
及a
1
；
（Ⅱ）求d的取值范围．
答案
1．（2011?重庆）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设{b
n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a
n
+b
n
}的前n项和S
n
．
分析：（Ⅰ）由{a
n }是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a
1
=2，a
3
=a
2
+4
可求得q，即可求得{a
n
}的通项公式
（Ⅱ）由{b
n }是首项为1，公差为2的等差数列可求得b
n
=1+（n﹣1）×2=2n
﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{a
n +b
n
}的前n
项和S
n
．
解答：解：（Ⅰ）∵设{a
n
}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0
∵a
3=a
2
+4，a
1
=2
∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1∵q＞0
∴q=2
∴{a
n }的通项公式为a
n
=2×2n﹣1=2n
（Ⅱ）∵{b
n
}是首项为1，公差为2的等差数列
∴b
n
=1+（n﹣1）×2=2n﹣1
∴数列{a
n +b
n
}的前n项和S
n
=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2
2．已知数列{an}、{bn}、{cn}满足．
（1）设c
n =3n+6，{a
n
}是公差为3的等差数列．当b
1
=1时，求b
2
、b
3
的值；
（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b
n ≥b
k
；
（3）设，．当b
1=1时，求数列{b
n
}的通项公式．
专题：计算题；分类讨论。
分析：（1）先根据条件得到数列{b
n
}的递推关系式，即可求出结论；
（2）先根据条件得到数列{b
n
}的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；
（3）先根据条件得到数列{b
n
}的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情
况求出数列{b
n
}的通项公式，最后综合即可．
解答：解：（1）∵a
n+1﹣a
n
=3，
∴b
n+1﹣b
n
=n+2，
∵b
1
=1，
∴b
2=4，b
3
=8．
（2）∵．
∴a
n+1﹣a
n
=2n﹣7，
∴b
n+1﹣b
n
=，
由b
n+1﹣b
n
＞0，解得n≥4，即b
4
＜b
5
＜b
6
…；
由b
n+1﹣b
n
＜0，解得n≤3，即b
1
＞b
2
＞b
3
＞b
4
．
∴k=4．
（3）∵a
n+1﹣a
n
=（﹣1）n+1，
∴b
n+1﹣b
n
=（﹣1）n+1（2n+n）．
∴b
n ﹣b
n﹣1
=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）（n≥2）．
故b
2﹣b
1
=21+1；
b 3﹣b
2
=（﹣1）（22+2），
…
b n﹣1﹣b
n﹣2
=（﹣1）n﹣1（2n﹣2+n﹣2）．
b n ﹣b
n﹣1
=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）．
当n=2k时，以上各式相加得
b n ﹣b
1
=（2﹣22+…﹣2n﹣2+2n﹣1）+[1﹣2+…﹣（n﹣2）+（n﹣1）]
=+=+．
∴b
n
==++．
当n=2k﹣1时，
=++﹣（2n
+n ） =﹣
﹣+
∴b n =．
3．（2010?四川）已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m 、n ∈N*都有a2m ﹣1+a2n ﹣1=2am+n ﹣1+2（m ﹣n ）2 （1）求a 3，a 5；
（2）设b n =a 2n+1﹣a 2n ﹣1（n∈N *），证明：{b n }是等差数列； （3）设c n =（a n+1﹣a n ）q n ﹣1（q≠0，n∈N *），求数列{c n }的前n 项和S n ． 分析：（1）欲求a 3，a 5只需令m=2，n=1赋值即可．
（2）以n+2代替m ，然后利用配凑得到b n+1﹣b n ，和等差数列的定义即可证明． （3）由（1）（2）两问的结果可以求得c n ，利用乘公比错位相减求{c n }的前n 项和S n ． 解答：解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a 3=2a 2﹣a 1+2=6 再令m=3，n=1，可得a 5=2a 3﹣a 1+8=20
（2）当n∈N *时，由已知（以n+2代替m ）可得 a 2n+3+a 2n ﹣1=2a 2n+1+8
于是[a 2（n+1）+1﹣a 2（n+1）﹣1]﹣（a 2n+1﹣a 2n ﹣1）=8 即b n+1﹣b n =8
所以{b n }是公差为8的等差数列 （3）由（1）（2）解答可知{b n }是首项为b 1=a 3﹣a 1=6，公差为8的等差数列 则b n =8n ﹣2，即a 2n+1﹣a 2n ﹣1=8n ﹣2 另由已知（令m=1）可得 a n =
﹣（n ﹣1）2．
那么a n+1﹣a n =﹣2n+1
=
﹣2n+1=2n
于是c n =2nq n ﹣1．
当q=1时，S n =2+4+6++2n=n （n+1）
当q≠1时，S n =2?q 0+4?q 1+6?q 2++2n?q n ﹣1． 两边同乘以q ，可得
qS n =2?q 1+4?q 2+6?q 3++2n?q n ． 上述两式相减得
（1﹣q ）S n =2（1+q+q 2++q n ﹣1）﹣2nq n =2?
﹣2nq n
=2?
所以S
n
=2?
综上所述，S
n
=
4．（2009?陕西）已知数列{an}满足，，n∈N×．
（1）令b
n =a
n+1
﹣a
n
，证明：{b
n
}是等比数列；
（2）求{a
n
}的通项公式．
分析：（1）先令n=1求出b
1，然后当n≥2时，求出a
n+1
的通项代入到b
n
中化简
可得{b
n
}是以1为首项，为公比的等比数列得证；
（2）由（1）找出b
n 的通项公式，当n≥2时，利用a
n
=a
1
+（a
2
﹣a
1
）+（a
3
﹣a
2
）
++（a
n ﹣a
n﹣1
）代入并利用等比数列的前n项和的公式求出即可得到a
n
的通项，
然后n=1检验也符合，所以n∈N，a
n
都成立．
解答：解：（1）证b
1=a
2
﹣a
1
=1，
当n≥2时，
所以{b
n
}是以1为首项，为公比的等比数列．（2）解由（1）知，
当n≥2时，a
n =a
1
+（a
2
﹣a
1
）+（a
3
﹣a
2
）++（a
n
﹣a
n﹣1
）=1+1+（﹣）+…+
===，当n=1时，．
所以．
5．（2008?四川）设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n，
（Ⅰ）求a
1，a
4
（Ⅱ）证明：{a
n+1
﹣2a n}是等比数列；
（Ⅲ）求{a
n
}的通项公式．
考点：等比关系的确定；等比数列的通项公式；数列递推式。
专题：计算题；证明题。
分析：（Ⅰ）令n=1得到s
1=a
1
=2并推出a
n
，令n=2求出a
2
，s
2
得到a
3
推出a
4
即
可；
（Ⅱ）由已知得a
n+1﹣2a
n
=（S
n
+2n+1）﹣（S
n
+2n）=2n+1﹣2n=2n即为等比数列；
（Ⅲ）a
n =（a
n
﹣2a
n﹣1
）+2（a
n﹣1
﹣2a
n﹣2
）++2n﹣2（a
2
﹣2a
1
）+2n﹣1a
1
=（n+1）?2n﹣1
即可．
解答：解：（Ⅰ）因为a
1=S
1
，2a
1
=S
1
+2，所以a
1
=2，S
1
=2
由2a
n =S
n
+2n知2a
n+1
=S
n+1
+2n+1=a
n+1
+S
n
+2n+1
得a
n+1=s
n
+2n+1①
所以a
2=S
1
+22=2+22=6，S
2
=8a
3
=S
2
+23=8+23=16，S
2
=24a
4
=S
3
+24=40
（Ⅱ）由题设和①式知a
n+1﹣2a
n
=（S
n
+2n+1）﹣（S
n
+2n）=2n+1﹣2n=2n
所以{a
n+1
﹣2a n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）a
n =（a
n
﹣2a
n﹣1
）+2（a
n﹣1
﹣2a
n﹣2
）++2n﹣2（a
2
﹣2a
1
）+2n﹣1a
1
=（n+1）?2n﹣1
点评：此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等，同时考查学生掌握数列的递推式以及等比数列的通项公式的能力．
6．（2009?四川）在数列{a
n }中，a
1
=1，．
（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{b
n }的前n项和S
n
；
（Ⅲ）求数列{a
n }的前n项和T
n
．
考点：数列递推式；数列的求和。
专题：计算题。
分析：（Ⅰ）由题设条件得，由此可知．
（Ⅱ）由题设条件知，，再由错位相减得，由此可知．
7．（2008?陕西）已知数列{a
n
}的首项，，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和S
n
．
考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和。
专题：计算题。
分析：（1）化简构造新的数列，进而证明数列是
等比数列．
，进而构造数列，（2）根据（1）求出数列的递推公式，得出a
n
．
求出数列的通项公式，进而求出前n项和S
n
解答：解：（Ⅰ）由已知：，
∴，（2分）
∴，
又，∴，（4分）
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
即，∴．（8分）
设，①
则，②
由①﹣②得：，（10分）
∴．又1+2+3+．（12分）
∴数列的前n项和：．（14分）
点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．
（Ⅲ）由
得
．由此可知T n =2S n +2a 1﹣2a n+1=
．
解答：解：（Ⅰ）由条件得，又n=1时，，
故数列构成首项为1，公式为的等比数列．从而，即．
（Ⅱ）由得，
，
两式相减得：，所以
．
（Ⅲ）由
得
．
所以T n =2S n +2a 1﹣2a n+1=
．
点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．
8. (2010、天津)（本小题满分14分）
在数列
{}n a 中，10a =，且对任意*k N ∈k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其
公差为k d 。
(Ⅰ)若k d =2k ，证明21222,,k k k a a a -+成等比数列（*k N ∈）； (Ⅱ)若对任意*k N ∈，21222,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . 设1
q ≠1.证明11k q ??
?
?-??
是等差数列；
【解析】（Ⅰ）证明：由题设，可得*4,2121
a
a k k N k k -=∈+-。
所以131()()...()2121212123a a a a a a a a k k k k k -=-+-++-++---
=44(1)...41k k +-++? =2k(k+1) 由1a =0，得222(1),22,2(1).2122122
a
k k a a k k a k k k k k =+=-==++++从而
于是
1121222221,,221212a a a a k k k k k k a k a k a a k k k k ++++++===++所以。 所以*2,,,22122
k d k k N a
a a
k
k k =∈++时，对任意成等比数列。 （Ⅱ）证法一：（i ）证明：由2,,2121k a a a k k -+成等差数列，及,,22122
a a a
k k k ++成等比数列，得212112,222121221k a a
k k a a
a q k k k a a q
k k k -+=+=+=+-+- 当1q ≠1时，可知k q ≠1，k ∈*N 从而
111111,1(2)1111
1
1
1
211
k q
q q q k k k k q k ==
+-
=≥-------
--即
所以11q k ??????-????
是等差数列，公差为1。
9. （2009全国卷Ⅱ理）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。 解
：
（
I
）
由
11,
a =及
142
n n S a +=+，有
12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=
由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．②
②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-
又12n n n b a a +=-Q ，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列． （II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=?，11
3
224
n n n n a a ++∴
-= ∴数列{
}2n n a 是首项为12，公差为3
4的等比数列． ∴1331(1)22444
n n
a n n =+-=-，2
(31)2n n a n -=-? 10分
10.（2008四川卷）． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}12n n a n --?是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式
解 由题意知12a =，且()21n n n ba b S -=-
()11121n n n ba b S +++-=-
两式相减得()()1121n n n n b a a b a ++--=- 即12n n n a ba +=+ ①
（Ⅰ）当2b =时，由①知122n n n a a +=+
于是()()1122212n n n n n a n a n +-+?=+-+? ()122n n a n -=-?
又111210n a --?=≠，所以{}12n n a n --?是首项为1，公比为2的等比数列。 （Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知1122n n n a n ---?=，即()112n n a n -=+ 当2b ≠时，由由①得
11111
22222n n n n n a ba b b
+++-
?=+-?-- 22n n b
ba b
=-?-
122n n b a b ??
=-? ?-??
因此11112222n n n n a b a b b ++??
-
?==-? ?--??
()212n
b b b
-=
?- 得()12
11
22222n n n n a b b n b -=??
=???+-≥???-?
11．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、
5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5． （I ） 求数列{b n }的通项公式；
（II ） 数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n +}是等比数列．
分析：（I ）利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5﹣d ，5+d ，代入等比数列中可求d ，进一步可求数列{b n }的通项公式
（II ）根据（I ）及等比数列的前 n 项和公式可求S n ，要证数列{S n +}是等比数
列?即可．
解答：解：（I ）设成等差数列的三个正数分别为a ﹣d ，a ，a+d 依题意，得a ﹣d+a+a+d=15，解得a=5 所以{b n }中的依次为7﹣d ，10，18+d 依题意，有（7﹣d ）（18+d ）=100，解得d=2或d=﹣13（舍去） 故{b n }的第3项为5，公比为2 由b 3=b 1?22，即5=4b 1，解得
所以{b n }是以首项，2为公比的等比数列，通项公式为
（II ）数列{b n }的前和
即，所以，
因此{}是以为首项，公比为2的等比数列
点评：本题主要考查了等差数列、等比数列及前n 和公式等基础知识，同时考查基本运算能力
12.（2005北京）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11
3
n n a S +=，n =1，2，3，……，
求
（I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++L 的值.
解：（I ）由a 1=1，11
3
n n a S +=，n=1，2，3，……，得
211111333a S a ===，3212114()339
a S a a ==+=，
431231116
()3327a S a a a ==++=， 由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得14
3
n n a a +=（n ≥2），
又a 2=31
，所以a n =214()33
n -(n ≥2),
∴ 数列{a n }的通项公式为2
1
114()2
33
n n n a n -=??
=???≥
13．（2009?湖北）已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 2a 6=55，a 2+a 7=16
（1）求数列{a n }的通项公式； （2）数列{a n }和数列{b n }满足等式a n =
（n∈N *），求数列{b n }
的前n 项和S n ．
分析：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，分别表示出a 2a 6=55，a 2+a 7=16联立方程求得d 和a 1进而根据等差数列通项公式求得a n ． （2）令c n =
，则有a n =c 1+c 2+…+c n ，a n+1=c 1+c 2+…+c n+1两式相减得c n+1等于常数2，
进而可得b n ，进而根据b 1=2a 1求得b 1则数列{b n }通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b 1． 解答：解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 则依题意可知d ＞0由a 2+a 7=16， 得2a 1+7d=16①
由a 2a 6=55，得（a 1+2d ）（a 1+5d ）=55② 由①②联立方程求得 得d=2，a 1=1或d=﹣2，a 1=（排除）
∴a n =1+（n ﹣1）?2=2n﹣1 （2）令c n =
，则有a n =c 1+c 2+…+c n
a n+1=c 1+c 2+…+c n+1 两式相减得
a n+1﹣a n =c n+1，由（1）得a 1=1，a n+1﹣a n =2 ∴c n+1=2，即c n =2（n≥2）， 即当n≥2时，
b n =2n+1，又当n=1时，b 1=2a 1=2 ∴b n =
于是S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6 点评：本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质．考查了对数列问题的综合把握． 14．（2009?北京）设数列{a n }的通项公式为a n =pn+q （n∈N *，P ＞0）．数列{b n }定义如下：对于正整数m ，b m 是使得不等式a n ≥m 成立的所有n 中的最小值． （Ⅰ）若
，求b 3；
（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m }的前2m 项和公式； 解答：解：（Ⅰ）由题意，得，
解，得
．
∴
成立的所有n 中的最小正整数为7，即b 3=7．
（Ⅱ）由题意，得a n =2n ﹣1， 对于正整数m ，由a n ≥m，得
．
根据b m 的定义可知
当m=2k ﹣1时，b m =k （k∈N *）；
当m=2k 时，b m =k+1（k∈N *
）．
∴b 1+b 2++b 2m =（b 1+b 3++b 2m ﹣1）+（b 2+b 4++b 2m ）=（1+2+3++m ）+[2+3+4++（m+1）]=．
15．（2008?浙江）已知数列{x
n }的首项x
1
=3，通项x
n
=2n p+np（n∈N*，p，q为常
数），且成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；
（Ⅱ）数列{x
n }前n项和S
n
的公式．
分析：（Ⅰ）根据x
1=3，求得p，q的关系，进而根据通项x
n
=2n p+np（n∈N*，p，
q为常数），且成等差数列．建立关于p的方求得p，进而求得q．
（Ⅱ）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式求得答案．
解答：解：（Ⅰ）∵x
1
=3，
∴2p+q=3，①
又x
4=24p+4q，x
5
=25p+5q，且x
1
+x
3
=2x
4
，
∴3+25p+5q=25p+8q，②
联立①②求得 p=1，q=1
（Ⅱ）由（1）可知x
n
=2n+n
∴S
n
=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）
=
点评：本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．
16．（2010?陕西）已知{a
n }是公差不为零的等差数列，a
1
=1，且a
1
，a
3
，a
9
成等
比数列．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项；
（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S
n
．
分析：（I）由题意可得a
32=a
1
?a
9
=a
9
，从而建立关于公差d的方程，解方程可求d，
进而求出通项a
n
（II）由（I）可得，代入等比数列的前n项和公式可求S
n 解答：解（Ⅰ）由题设知公差d≠0，
由a
1=1，a
1
，a
3
，a
9
成等比数列得=，
解得d=1，d=0（舍去），故{a
n }的通项a
n
=1+（n﹣1）×1=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知{2}^{{a}_{n}}={2}^{n}，由等比数列前n项和公式得
S
m
=2+22+23+…+2n==2n+1﹣2．
点评：本题考查了等差数列及等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于基本公式的简单运用．
17．（2010?四川）已知等差数列{a
n
}的前3项和为6，前8项和为﹣4．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设b
n =（4﹣a
n
）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b
n
}的前n项和S
n
．
分析：（1）设{a
n
}的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项
的和，求的a
1和d，进而根据等差数列的通项公式求得a
n
．
（2）根据（1）中的a
n ，求得b
n
，进而根据错位相减法求得数列{b
n
}的前n项和
S
n
．
解答：解：（1）设{a
n
}的公差为d，
由已知得
解得a
1
=3，d=﹣1
故a
n
=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；
（2）由（1）的解答得，b
n
=n?q n﹣1，于是
S
n
=1?q0+2?q1+3?q2+…+（n﹣1）?q n﹣1+n?q n．
若q≠1，将上式两边同乘以q，得
qS
n
=1?q1+2?q2+3?q3+…+（n﹣1）?q n+n?q n+1．
将上面两式相减得到
（q﹣1）S
n
=nq n﹣（1+q+q2+…+q n﹣1）
=nq n﹣
于是S
n
=
若q=1，则S
n
=1+2+3+…+n=
所以，S
n
=．
18．（2011?安徽）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增
的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T
n ，再令a
n
=lgT
n
，n≥1．
（I）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设b
n =tana
n
?tana
n+1
，求数列{b
n
}的前n项和S
n
．
分析：（I）根据在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的
等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10，故T
n
=10n+2，进而根据对数的
运算性质我们易计算出数列{a
n
}的通项公式；
（II）根据（I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列{b
n
}的每一项拆成的形式，进而得到结论．
解答：解：（I）∵在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，
又∵这n+2个数的乘积计作T
n
，
∴T
n
=10n+2
又∵a
n =lgT
n
，
∴a
n
=lg10n+2=n+2，n≥1．
（II）∵b
n =tana
n
?tana
n+1
=tan（n+2）?tan（n+3）=，
∴S
n =b
1
+b
2
+…+b
n
=[]+[]+…+[
]
=
点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10，是解答本题的关键．
19．（2011?辽宁）已知等差数列{a
n }满足a
2
=0，a
6
+a
8
=﹣10
（I）求数列{a
n
}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．分析：（I）
根据等差数列的通项公式化简a
2=0和a
6
+a
8
=﹣10，得到关于首项和公差的方程
组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；
（II）
把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①﹣②后，利用a
n
的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列{}的前n项和的通项公式．
解答：解：（I）设等差数列{a
n
}的公差为d，由已知条件可得，解得：，
故数列{a
n }的通项公式为a
n
=2﹣n；
（II）设数列{}的前n项和为S
n ，即S
n
=a
1
++…+①，故S
1
=1，
=++…+②，
当n＞1时，①﹣②得：
=a
1
++…+﹣
=1﹣（++…+）﹣
=1﹣（1﹣）﹣=，
所以S n =，
综上，数列{}的前n 项和S n =．是一道中档题．
20.(2009山东)等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点
(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.
（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1
()4n n
n b n N a ++=
∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+, 当1n =时,11a S b r ==+,
当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,
又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=- （2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 11
111
4422
n n n n n n n b a -++++===? 则2341
2341
2222n n n T ++=
++++L 34512
12341
222222
n n n n n T +++=+++++L 相减,得2345121211111
2222222
n n n n T +++=+++++-L
天津市近五年高考数学真题分类汇总
天津市近五年高考数学试题分类汇总 [2011 ?天津卷]i是虚数单位，复数1 3i 1 i = C. 1 2i A. 2 i B. 2 i 【答案】A. 1 3i 【解析】'3i(1 3i)(1 i) 42i2 i. 1 i(1 i)(1 i)2 【2010】(1) i是虚数单位，复数 1 3i( 1 2i (A)1 + i(B)5+ 5i (C)-5-5i(D)-1 —i 5i 【2009,1】i是虚数单位，5=( ) 2 i (A) 1+2i(B) -1-2i(C) 1-2i 选择题1:—复数 【考点定位】本小题考查复数的运算，基础 题。) D. 1 2i (D) -1+2i 解析：旦5^ 2 i 5 1 2i，故选择D o 【2008 】 1. ?3 i是虚数单位i i 1() i是虚数单位，i1 (A) 1 (B) 1(C) i(D) i A 【2007】 2i3 1.i是虚数单位，——() 1 i A.1i B.1 i C.1 【答 案】 C 【分 析】2i32i3(1 i)2i(1 i)i 1，故选C 1i (1 i)(1 i)2 D. 1 i 2 (1)i 3 1,i 4 i,i1 复数运算技巧： 4n i 1,i 4n 1 4n 2 i,i 4n 3 hi n n 1n 2n 3 ■ i■ i■ i■ i0 复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。 (2)(1 i)2 2i
i i A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 .1 i i,r _ i ⑷设 -1+凋 3 2 1, — 2 3 , 0 2 , 选择题 2: 充要条件与命题 [2011 ? 天津卷］设x,y R,则 2 2 “x 2 且 y 2 ”是“ x y 4 的 充分而不必要条件 A . B .必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D .即不充分也不必要条件 【答案 】A 【解 析 】当x 2且y 2时， 「疋有x y 4 ；反过来当 【2010】(3)命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A) 若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数 (B) 若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 (C) 若f(-x)是奇函数，贝U f(x)是奇函数 (D) 若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 B 【2009】(3)命题“存在x 0 R , 2x0 0”的否定是 (A )不存在 x 0 R, 2x0 >0 (B )存在 X 。R, 2x0 0 (C )对任意的x R, 2x 0 (D )对任意的x R, 2x >0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。 解析：由题否定即“不存在 x 0 R ，使2x0 0”，故选择D o 【2007 】3." —"是"ta n 2cos — "的 3 2 x 2 y 2 4，不一定有x 2且y 2，例如x 4, y 0也可以，故选A 【2008】(4)设 a,b 是两条直线, 是两个平面，则a b 的一个充分条件是 C (A) a , b 〃 ， (C) a ,b , // (B) a ,b , // (D) a ,b 〃 ,
三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题
专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则
但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
高考数学数列题型专题汇总
高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 全国各地高考数学试题数 列分类大全 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则 =5a （ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 答案：B 解答： 1111113243 3(3)249967320 22 a d a d a d a d a d a d ??+?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-，∴51424(3)10a a d =+=+?-=-. 2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =- 【解析】13a =，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-． 3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=， 61165 6615482S a d a d ?=+=+=，联立11 2724,61548a d a d +=?? +=?解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346() 3()482 a a S a a +==+=，即3416a a +=，则 4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{} n a 题型一 1．设{a n }是公比为正数的等比数列a 1 =2，a 3 =a 2 +4． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n +b n }的前n项和S n ． 题型二 2．已知数列{a n }、{b n }、{c n }满足． （1）设c n =3n+6，{a n }是公差为3的等差数列．当b 1 =1时，求b 2 、b 3 的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n ≥b k ； （3）设，．当b 1=1时，求数列{b n }的通项公式． 题型三 3．已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n ﹣1+2（m﹣n）2 （1）求a 3，a 5 ； （2）设b n =a 2n+1 ﹣a 2n﹣1 （n∈N*），证明：{b n }是等差数列； （3）设c n =（a n+1 ﹣a n ）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n }的前n项和S n ． 题型四 4．已知数列{an}满足，，n∈N×． （1）令b n =a n+1 ﹣a n ，证明：{b n }是等比数列； （2）求{a n }的通项公式． 5．设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n， （Ⅰ）求a 1，a 4 （Ⅱ）证明：{a n+1 ﹣2a n}是等比数列； （Ⅲ）求{a n }的通项公式． 6．在数列{a n }中，a 1 =1，． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）令 ，求数列{b n }的前n 项和S n ； （Ⅲ）求数列{a n }的前n 项和T n ． 7．已知数列{a n }的首项， ，n=1，2，3，…． （Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前n 项和S n ． 8.在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k N ∈k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列， 其公差为k d 。 (Ⅰ)若k d =2k ，证明21222,,k k k a a a -+成等比数列（*k N ∈）； (Ⅱ)若对任意*k N ∈，21222,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . 设1q ≠1.证明11k q ????-??是等差数列； 9.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。 10. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}12n n a n --?是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式 1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中，使得()*∈ 2. 4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 22 23 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 24 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36 年高考数学试题知识分类 大全数列 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 2007年高考数学试题汇编 数列 重庆文1 在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ A ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 重庆理1 若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ A ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 安徽文3 等差数列{}n a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a ==（ B ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 辽宁文5 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ B ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 福建文2 等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?等于（ C ） Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．32 福建理2 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 (1) n a n n = +，则5S 等于（ B ） A ．1 B ．56 C ．16 D ．1 30 广东理5 已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ B ） A ．9 B ．8 C. 7 D ．6 湖北理5 已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111 lim 111p q n n n ∞ ??+- ??? =??+- ??? →（ C ） A ．0 B ．1 C ． p q D ．11p q -- 湖南文4 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ B ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．11122 - 湖北理8 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且 7453 n n A n B n +=+，则使得 n n a b 为整数的正整数n 的个数是（ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 湖南理10 设集合{123456}M =， ，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、， ，，，），都有 数列通项与求和 一、数列的通项 方法总结： 对于数列的通项的变形，除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，算周期或者根据图形进行推理。其余形式我们一般遵循以下几个原则： ①对于同时出现n a ,n ,n S 的式子，首先要对等式进行化简。常用的化简方法是因式分解，或者同除一个式子，同加，同减，取倒数等，如果出现分式，将分式化简成整式； ②利用1--=n n n S S a 关系消掉n S （或者n a ），得到关于n a 和n 的等式，然后用传统的求通项方法求出通项； ③根据问题在等式中构造相应的形式，使其变为我们熟悉的等差数列或等比数列； ④对于出现2n a 或2 n S （或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字相乘法，提取公因式法；遇到1+?n n a a 时还会两边同除1+?n n a a . 1. 规律性形式求通项 1-1.数列{a n }满足a n+1=，若a 1=，则a 2016的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 1-2.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦?B ?曼德尔布罗特（Benoit B ．Mandelbrot ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（ ） A ．55 B ．89 C ．144 D ．233 1-3.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为（n ≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，， ，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（ ） A ． B ． C ． D ． 2.出现n a ,n ,n S 的式子 1-4.正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+= (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令()2221n n a n n b ++= ,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <. 1-5.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =, 2121233 n n S a n n n +=---,*n ∈N . (1) 求2a 的值; (2) 求数列{}n a 的通项公式. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥， 那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立， 那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }， B ＝{1， m} ,A U B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点， 焦距为 4 一条准线为x=-4 ， 则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ， AB=2， CC 1=22 E 为CC 1的中点， 则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 5=5， S 5=15， 则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中， AB 边的高为CD ， 若 a·b=0， |a|=1， |b|=2， 则 (A) （B ） (C) (D) 2017年高考试题分类汇编（数列） 考点1 等差数列 1.（2017·全国卷Ⅰ理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=， 648S =，则{}n a 的公差为 C A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2.（2017·全国卷Ⅱ理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则 11n k k S ==∑ ． 21n n + 3.（2017·浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2等比数列 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-，则 4a =____．8- 2.（2017·江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知 374S = ,6634 S =，则8a = . 32 3.（2017·全国卷Ⅱ理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍， 则塔的顶层共有灯 B A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 考法3 等差数列与等比数列综合 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ， 6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A A ．24- B ．3- C ．3 D ．8 历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数. 设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围． 函数的综合及其应用 一、选择题 1．（2017天津）已知函数23,1, ()2 , 1.x x x f x x x x ?-+? =?+>? ? ≤设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16 - B ．4739 [,]1616- C ．[- D ．39 []16 - A 【解析】解法一 根据题意，作出()f x 的大致图象，如图所示 当1x ≤时，若要()| |2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需2 3()2 x x x a -+-+≥，即2302x x a -++≥，故对于方程2302x x a -++=，21 ()4(3)02a ?=--+≤，解得 4716a -≥；当1x >时，若要()||2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需22 x x a x ++≥， 即22x a x +≥，又222x x +≥，当且仅当2 2x x =，即2x =时等号成立，所以2a ≤，综上，a 的取值范围是47 [,2]16 - ．选A ． 解法二 由题意()f x 的最小值为114，此时12 x =．不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立 等价于11 | |24 x a +≤在R 上恒成立． 当a =-1 2 x = ，11|| |28x -=>，不符合，排除C 、D ； 当3916a = 时，令12x =，394311 ||||216168 x +=>，不符合，排除B ．选A ． 二、填空题 x 1．（2017山东）若函数e ()x f x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单 调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 ． ①()2 x f x -= ②2 ()f x x = ③()3 x f x -= ④()cos f x x = ①④【解析】①()2()2 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()3()3 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③3 ()x x e f x e x =?，令3 ()x g x e x =?，则3 2 2()3(2)x x x g x e x e x x e x '=?+?=+， ∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<， ∴3()x x e f x e x =?在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增， 故()3 f x x =不具有M 性质； ④2 ()(2)x x e f x e x =+，令()() 22x g x e x =+， 则22 ()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++?=++>， ∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质． 2．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x D f x x x D ?∈=? ??其中集合1 {|,}n D x x n n -==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ． 8【解析】由于，则需考虑的情况， 在此范围内，且时，设，且互质， 若，则由，可设，且,m n 互质， 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾， 因此， ()[0,1)f x ∈110x ≤ 2008年高考数学试题分类汇编 数列 一． 选择题： 1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ） A ．138 B ．135 C ．95 D ．23 2.（上海卷14） 若数列{a n }是首项为1，公比为a －3 2的无穷等比数列，且{a n }各项的 和为a ，则a 的值是（B ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．5 4 3.（北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么 10a 等于（ C ） A ．165- B ．33- C ．30- D ．21- 4.（四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞ 5.（天津卷4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =B （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6.（江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11 ln(1)n n a a n +=++，则n a = A A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 7.（陕西卷4）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 8.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为C A.63 B.64 C.127 D.128 2013年高考文科必考题型训练11数列大题 1.【2012高考浙江文19】（本题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且 S n =22n n +， n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡. （1）求a n ，b n ；（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 2.【2012高考重庆文16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）） 已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。 3. （2011年高考福建卷文科17)（本小题满分12分） 已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3. （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{a n }的前k 项和S k =-35，求k 的值. 4.（2011年高考全国新课标卷文科17)（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 中，3 1,311== q a ， （1）n s 为数列{}n a 前n 项的和，证明：2 1n n a s -= （2）设n n a a a b 32313log log log +++= ，求数列{}n b 的通项公式； 5．（2011年高考重庆卷文科16)（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分） 设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n s 。 6、（2010陕西文数）16.（本小题满分12分） 已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n . 2012高考真题分类汇编：数列 一、选择题 1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和1562 52)(52)(542515=?=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是 A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0 C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列 【答案】C 【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．故选C 。 3.【2012高考真题新课标理5】已知{} n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 【答案】D 【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选 D. 4.【2012高考真题上海理18】设25 sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在 2014年1卷 17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数. (Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=； （Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由. 2014年2卷 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{} 12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112 n a a a ++<…+. 2015年1卷 (17)(本小题满分12分) S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0， (Ⅰ)求{a n }的通项公式： (Ⅱ)设 ，求数列}的前n 项和 2015年2卷 （4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 = （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 （16）设S n 是数列{a n }的前项和，且111 1,n n n a a s s ++=-=，则S n =___________________． 2016年1卷 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ） （A ）100（B ）99（C ）98（D ）97 （15）设等比数列 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 。 2016-2 17.（本小题满分12分） n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，. （I ）求111101b b b ，，； （II ）求数列{}n b 的前1 000项和. 2016-3 （12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,, ,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ） （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个 （17）（本小题满分12分） 已知数列 的前n 项和1n n S a λ=+，其中λ0. （I ）证明 是等比数列，并求其通项公式 （II ）若53132 S = ，求λ 2017-1 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22 ，依此类推.求满足如下条件的学最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 2017-2 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11n k k S ==∑ ． 2011-15成考数学真题题型分类汇总（文） 一、 集合与简易逻辑 (2011) 已知集合A={1,2,3,4}, B={x|—1 2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （数列） 一、选择题 1．（2018北京文、理）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个 单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为（） A B C ．D ． 1．【答案】D 【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，()12n n a n n -+∴=≥∈N ，， 又1a f =，则7 781a a q f ===，故选D ． 2．（2018浙江）已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（） A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <> D ．1324,a a a a >>2．.答案：B 解答：∵ln 1x x ≤-， ∴1234123123ln()1a a a a a a a a a a +++=++≤++-， 得41a ≤-，即311a q ≤-，∴0q <. 若1q ≤-，则2 12341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤， 212311(1)1a a a a q q a ++=++≥>，矛盾. ∴10q -<<，则2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<.∴13a a >，24a a <. 3．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ） A ．12 -B ．10 -C ．10 D ．12 3.答案：B 解答： 1111113243 3(3)249967320 22 a d a d a d a d a d a d ??+?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-，∴51424(3)10a a d =+=+?-=-. 二、填空 1． （2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________．1．【答案】63 n a n =-【解析】13a =Q ，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-． 2．（2018江苏）已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从 小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为▲．q a （D ）7.08.0,01-<<-
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