数列高考题型分类汇总
高考数列专题知识点
高考数列专题知识点数列是数学中的重要概念之一，也是高中数学中的重要知识点。
在高考中，数列专题常常涉及到各种不同类型的数列，如等差数列、等比数列等。
掌握好数列的相关知识，对于解题能力的提升至关重要。
本文将介绍高考数列专题的相关知识点，帮助同学们更好地理解和应用数列。
一、等差数列等差数列是指一个数列中任意两个相邻的数之差都相等的数列。
常用的表示方法是：{a1, a2, a3, ...}，其中a1为首项，d为公差。
1. 公式推导对于等差数列，可以通过首项a1、公差d和项数n来求解数列的任意项an的值。
常用的公式有：- 第n项公式：an = a1 + (n-1)d- 前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 22. 性质和特点等差数列有一些重要的性质和特点，包括：- 公差d与相邻两项之差相等- 中间项等于相邻两项的平均值- 前n项和是项数n和首末项之和的乘积的一半二、等比数列等比数列是指一个数列中任意两个相邻的数之比都相等的数列。
常用的表示方法是：{a1, a2, a3, ...}，其中a1为首项，q为公比。
1. 公式推导对于等比数列，可以通过首项a1、公比q和项数n来求解数列的任意项an的值。
常用的公式有：- 第n项公式：an = a1 * q^(n-1)- 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)2. 性质和特点等比数列也有一些重要的性质和特点，包括：- 公比q与相邻两项的商相等- 中间项等于相邻两项的平方根- 前n项和无穷等于首项除以(1 - 公比)三、数列求和在高考中，常常需要求解数列的前n项和。
不同类型的数列有不同的求和公式，需要根据具体情况进行运用。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列，前n项和的求和公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项，n表示项数。
2. 等比数列的求和公式对于等比数列，前n项和的求和公式如下：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
2024高考数学数列知识点总结与题型分析
2024高考数学数列知识点总结与题型分析数列是高中数学中的重要内容，作为数学的一个分支，数列的掌握对于高考数学的考试非常关键。
在本文中，我们将对2024年高考数学数列的知识点进行总结，并分析可能出现的相关题型。
一、等差数列与等差数列的通项公式等差数列是数学中最常见的数列类型之一。
对于等差数列，首先要了解等差数列的概念：如果一个数列中任意两个相邻的项之差都相等，则称该数列为等差数列。
1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是等差数列中非常重要的一个公式，它可以用来求解等差数列中任意一项。
设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，第$n$项为$a_n$，则等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$1.2 等差数列的性质与常用公式等差数列有一些重要的性质与常用的公式，掌握这些性质与公式可以帮助我们更好地解决与等差数列相关的题目。
（1）等差数列中，任意三项可以构成一个等差数列。
（2）等差数列的前$n$项和公式为：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$（3）等差数列的前$n$项和的差为：$S_n - S_m = (n-m+1)\frac{a_1 + a_{n+m}}{2}$二、等比数列与等比数列的通项公式等比数列也是数学中常见的数列类型之一。
与等差数列不同的是，等比数列中的任意两项的比值都相等。
2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以用来求解等比数列中的任意一项。
设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，第$n$项为$a_n$，则等比数列的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$2.2 等比数列的性质与常用公式等比数列也有一些重要的性质与常用的公式，下面我们来了解一下：（1）等比数列中，任意三项可以构成一个等比数列。
（2）等比数列的前$n$项和公式为（$q\neq1$）：$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（3）当公比$q \neq 1$时，等比数列的前$n$项和与第$n$项的关系为：$S_n = \frac{a_nq - a_1}{q - 1}$三、数列题型分析与解题技巧在高考数学中，对于数列的考察主要包括以下几个方面：3.1 数列的递推关系与通项公式的应用常见的数列题目往往要求我们根据已知的递推关系或者通项公式来求解数列中的某一项或者求解前$n$项的和。
数列常见题型总结经典
高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 练习：1234.n S 52.（1（2例1.例2.例3.3.（11-n q .（2例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。
答案：12+=n a n 练习：1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。
答案：)1(2+=n n a n2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。
4.形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例1.已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：231-=n a n2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案：121-=n a n5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设,利用待定系数法求出A例126.(1)若例题.所以{=∴n b (2)若①若②若令n b 例1.在数列{}n a 中，521-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a1、已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a 21(21+=-，求通项公式n a 。
(完整版)数列全部题型归纳(非常全面,经典)
数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列na4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==L ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。
高考数列题型总结（优秀范文五篇）
高考数列题型总结（优秀范文五篇）第一篇：高考数列题型总结数列1.2.3.4.5.6.坐标系与参数方程 1.2.34..5.6.(1)(2)第二篇：数列综合题型总结数列求和1.（分组求和）(x-2)+(x2-2)+…+（xn-2）2.(裂相求和)++Λ+1⨯44⨯7(3n-2)(3n+1)3.（错位相减）135+2+3+222+2n-12n1⨯2+2⨯22+3⨯23+Λ+n⨯2n4.（倒写相加）1219984x)+f()+Λ+f()=x 求值设f(x），求f(1999199919994+25.（放缩法）求证：1+数列求通项6.（Sn与an的关系求通项）正数数列{an}，2Sn=an+1，求数列{an}的通项公式。
7．（递推公式变形求通项）已知数列{an }，满足，a1=1,8.累乘法an+1=5an求{an }的通项公式 5+an11++2232+1<2n2数列{an}中，a1=122，前n项的和Sn=nan，求an+1.2222a=S-S=na-(n-1)a⇒(n-1)a=(n-1)an-1 nnn-1nn-1n解：⇒∴∴an=ann-1=an-1n+1，anan-1a2n-1n-2111⋅Λ⋅a1=⋅Λ⨯=an-1an-2a1n+1n32n(n+1)an+1=1 (n+1)(n+2)9累加法第三篇：数列题型及解题方法归纳总结文德教育知识框架⎧列⎧数列的分类⎪数⎪⎪⎨数列的通项公式←函数⎪的概念角度理解⎪⎪⎩数列的递推关系⎪⎪⎧⎧等差数列的定义an-an-1=d(n≥2)⎪⎪⎪⎪⎪等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d⎪⎪⎪等差数列⎪⎨n⎪⎪⎪等差数列的求和公式Sn=2(a1+an)=na1+n(n-1)d⎪⎪⎪⎪⎪2⎪⎩等差数列的性质an+am=ap+aq(m+n=⎪⎪p+q)⎪两个基⎪⎧等比数列的定义an=q(n≥⎪本数列⎨⎪⎪a2)n-1⎪⎪⎪⎪⎪⎪等比数列的通项公式an-1⎪n=a1q数列⎪⎪等比数列⎨⎨⎧a1-anq=aqn1(1-)⎪⎪⎪等比数列的求和公式S(q≠1)n=⎪⎨1-q1-q⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩na1(q=1)⎪⎪⎪⎩等比数列的性质anam=apaq(m+n=p+q)⎪⎩⎪⎧公式法⎪⎪分组求和⎪⎪⎪⎪错位相减求和⎪数列⎪⎪求和⎨裂项求和⎪⎪倒序相加求和⎪⎪⎪⎪累加累积⎪⎪⎩归纳猜想证明⎪⎪⎪数列的应用⎧分期付款⎨⎩⎩其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
高考数列常考题型归纳总结汇总
n
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q n +1，得：
a n +1q
n +1
=
p q
∙
a n q
n
+
1q
引入辅助数列
{b n }（其中b n
=
a n q
n
），得：b n +1=
p q
b n +
1q
再待定系数法解决。
例:已知数列{a n }中，a 1=解：在a n +1=
52
⋅⋅3=85
n -3。1
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+(n -1 a n -1
(n ≥2，则{a n }的通项a n =⎨
⎧1⎩___
n =1
n ≥2
解：由已知，得a n +1=a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+(n -1 a n -1+na n，用此式减去已知式，得当n ≥2时，a n +1-a n =na n，即a n +1=(n +1 a n，又a 2=a 1=1，
1
56
, a n +1=
1
1n +1
a n +(，求a n。32
1n +12n n +1
a n +(两边乘以2n +1得：2∙a n +1=(2∙a n +1 323
22
令b n =2n ∙a n，则b n +1=b n +1,解之得：b n =3-2( n
人教版高考数学一轮专项复习：数列题型11种(含解析)
数列题型11种（方法+例题+答案）1.作差法求通项公式2.累乘法求通项公式3.累加法求通项公式4.构造法求通项公式（一）5.构造法求通项公式（二）6.取倒法求通项公式7.分组求和法求前n项和8.错位相减法求前n项和9.裂项相消法求前n项和10.数列归纳法与数列不等式问题11.放缩法与数列不等式问题1、作差法求数列通项公式已知n S （12()n a a a f n +++= ）求n a ，{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥注意：分两步，当2≥n 时和1=n 时一、例题讲解1、（2015∙湛江）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，n *∈N ），且12a =，23a =． ()1求数列{}n a 的通项公式2、（2015∙茂名）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且)1()1(221+=+-+n n S n nS n n ，)(*∈N n ，数列}{n b 满足,0212=+-++n n n b b b )(*∈N n ，53=b ，其前9项和为63（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式3、（2015∙中山）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且,40,842==S a 数列}{n b 的前n 项和为n T ，且,032=+-n n b T *∈N n 。
（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式4、（2015∙揭阳）已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，)1(3--=n n na S n n ，（*∈N n ），且,112=a （1）求1a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式5、（2014∙汕头）数列{}n a 中，11=a ，n S 是{}n a 前n 项和，且)2(11≥+=-n S S n n(1)求数列{}n a 的通项公式6、（2014∙肇庆）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足,21=a )1(1++=+n n S na n n （1）求数列}{n a 的通项公式7、（2014∙江门）已知数列}{n a 的前n 项和122-=n S n ，求数列}{n a 的通项公式。
高考教学数学数列题型专题汇总
高考数学数列题型专题汇总一、选择题1、无穷等比数列a n的公比为q，前n项和为S n，且limS n S.以下条件中，使得n2S n Sn N 恒成立的是〔〕〔A〕a1q〔B〕a10,q〔C〕a1q〔D〕a10,q 【答案】B2、等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，那么a100=〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97【答案】C3、定义“标准01数列〞{a}如下：{a}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，n na1,a2,,a k中0的个数不少于1的个数.假设m=4，那么不同的“标准01数列〞共有〔A〕18个〔B〕16个〔C〕14个〔D〕12个【答案】C4、如图，点列{A n}，{B n}分别在某锐角的两边上，且A n A n1A n1A n2,A n A n2,n N*，B n B n1B n1B n2,B n B n2,n N*，〔PQ表示点P Q与不重合〕.假设d n A n B n，S n为△A n B n B n1的面积，那么A．{S n}是等差数列B．{S n2}是等差数列C．{d n}是等差数列D．{d n2}是等差数列【答案】A二、填空1、{a n}等差数列，S n其前n和，假设a16，a3a50，S6=_______..【答案】62、无数列a n由k个不同的数成，S n a n的前n和.假设任意n N，S n2,3，k的最大________.【答案】43、等比数列{an}足13=10，24，12鬃?a n的最大.a+a a+a=5aa【答案】644、数列{a n}的前n和S n.假设S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，a1=，S5=.【答案】1121三、解答1、数列A：a1，a2,⋯a N(N).如果小于n(2n N)的每个正整数k都有ak＜a n，称n是数列A的一个“G刻〞.“G(A)是数列A的所有“G刻〞成的集合.〔1〕数列A：-2，2，-1，1，3，写出G(A)的所有元素；〔2〕明：假设数列A中存在a n使得a n>a1，G(A)；〔3〕明：假设数列A足a-a1≤1〔n=2,3,⋯〕,NG(A)的元素个数不小于a-a.nn N1如果G i ，取m iminG i，那么对任何1k m i,a k a n i a m i.从而m i G(A)且m i n i1.又因为n p是G(A)中的最大元素，所以G p.2、数列a的前n项和S n=3n2+8n，b n n n1. n n是等差数列，且a b b〔Ⅰ〕求数列b n的通项公式；〔Ⅱ〕令c n (a n1)n1.求数列c n的前n项和T n.(b n2)n【解析】(Ⅰ)因为数列a n的前n项和S n3n28n，所以a111，当n2时，a n S n Sn13n28n3(n1)28(n1)6n5，又a n6n5对n1也成立，所以a n6n5．又因为b n是等差数列，设公差为d，那么a n b n bn12b n d．当n1时，2b111d；当n2时，2b217d，解得d3，所以数列b n的通项公式为b n a n d3n1．2(Ⅱ)由c n(a n1)n1(6n6)n1(3n3)2n1，(b n2)n(3n3)n于是T n6229231224(3n3)2n1，两边同乘以２，得2T n623924(3n)2n1(3n3)2n2，两式相减，得T n62232332432n1(3n3)2n2322322(12n)(3n3)2n212T n12322(12n)(3n3)2n23n2n2．3、假设无穷数列{a n}满足：只要a p a q(p,q N*)，必有a p1a q1，那么称{a n}具有性质P.〔1〕假设{a}具有性质P ，且a1,a2,a43,a2，a a a21，求a；n1256783〔2〕假设无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1c51，b5c181，a n b n c n判断{a n}是否具有性质P，并说明理由；〔3〕设{b n}是无穷数列，a n1bn sina n(n N*).求证：“对任意a1,{a n}都具有性质P〞的充要条件为“{b n}是常数列〞.【解析】试题分析：〔1〕根据条件，得到a6a7a8a332，结合a6a7a821求解．〔2〕根据b n的公差为20，c n的公比为1，写出通项公式，从而可得3a nb nc n20n1935n．通过计算a1a582，a248，a6304，a2a6，即知a n不具有性质．3〔3〕从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．试题解析：〔1〕因为a5a2，所以a6a3，a7a43，a8a52．于是a6a7a8a332，又因为a6a7a821，解得a316．〔2〕b n的公差为20，c n的公比为1，3n1所以b n 120n12019，c n8115n．n33a nb nc n20n1935n．a1a582，但a248，a6304a6，，a23所以a n不具有性质．〔3〕[证]充分性：当b n为常数列时，a n1b1sina n．对任意给定的a1，只要ap a，那么由b sinapb sina，必有a1aq1．q11q p充分性得证．必要性：用反证法证明．假设b n 不是常数列，那么存在k，使得b1b2b k b，而b k1b．下面证明存在满足a n1b n sina n的a n，使得a1a2a k1，但a k2a k1．设f x x sinx b，取m，使得m b，那么fm m b0，f m m b0，故存在c使得f c0．取a1c，因为a n1b sina n〔1n k〕，所以a2b sinc c a1，依此类推，得a1a2a k1c．但a b sina b sincb sinc，即a a．k2k1k1k1k2k1所以a n不具有性质，矛盾．必要性得证．综上，“对任意a 1，a n 都具有性质 〞的充要条件为“b n 是常数列〞．4、数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n1qS n1，其中q>0，nN *.〔I 〕假设2a 2,a 3,a 22 成等差数列，求a n 的通项公式；(ii)设双曲线x 2y21的离心率为e n ，且e 2 5 ，证明：e 1 e 2e n 4n3n.a n 233n1【答案】〔Ⅰ〕a n =q n-1；〔Ⅱ〕详见解析.解析：〔Ⅰ〕由， S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1, 两式相减得到a n+2=qa n+1,n?1.又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1，故a n+1=qa n 对所有n31都成立.所以，数列{a n }是首项为 1，公比为 q 的等比数列.从而a n =q n- 1 .由2a 2，a 3，a 2+2 成等比数列，可得 2a 3=3a 2+2 ，即2q 2=3q+2,，那么(2q+1)(q-2)=0，由,q>0，故q=2.所以a n =2n-1(n?N *).〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，a n =q n-1.2所以双曲线x 2-y2=1的离心率e n =1+a n2=1+q 2(n-1).a n由q=1+q 2=5解得q=4.332(k-1)>q2(k-1)1+q 2(k-1)>qk-1*因为1+q，所以〔k?N 〕.于是e 1+e 2 +鬃? e n >1+q+鬃?qn-1=q n-1，q-1故e 1+e 2+鬃?e 3>4n -3n.3n-15、a n 是各项均为正数的等差数列， 公差为d ，对任意的nN,b n 是a n 和a n1的等比中项.(Ⅰ)设c nb n 2 1 b n 2,nN * ，求证： c n 是等差数列；(Ⅱ)设a 1d,T n 2nnb n 2,nN *，求证：n11 2.1k1k1T k 2d【解析】⑴C n b n 1 2 b n 2 a n1a n2a n a n12da n1C n1C n2d(a na n1)2为定值．22d∴C n为等差数列2n1)k b k 2n(n1) 4d 2 nC 12d 2n(n1)〔*〕⑵T n(C 1C 3C2n 1nCk112由C 1b 22b 12 a 2a 3 a 1a 2 2d a 2 2d(a 1 d)4d 2将C 1 4d 2代入〔*〕式得T n21)2dn(nn 1 1n∴1T k 2d 2kk 11k(k 1)12，得证2d6、S n 为等差数列a n 的前n 项和，且a 1=1，S 7 28.记b n =lga n ，其中 x 表示不超过x 的最大整数，如=0，lg99=1．〔Ⅰ〕求b 1，b 11，b 101；〔Ⅱ〕求数列b n 的前1000项和．【解析】⑴设a n 的公差为d ，S 77a 428，∴a 4a 4 a 11，∴a n a 1 (n1)dn ．4，∴d3∴b 1 lga 1 lg10，b 11lga 11lg11 1，b 101 lga 101lg 1012．⑵ 记b n的前n 项和为T n ，那么T 1000 b 1 b 2b1000lga 1lga 2lga 1000 ．当0≤lga n 1时，n 1，2，，9；当1≤lga n2时，n 10，11，，99；当2≤lga n3时，n 100，101， ，999；当lga n3时，n1000．∴T1000091902900311893．7、数列{a n}的前n项和S n1a n，其中0．〔I〕证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；〔II〕假设S531，求．32【解析】8、设数列a na n11，n．满足a n2〔I〕证明：a n2n1a12，n；3n〔II〕假设a n，n，证明：a n2，n．2〔II〕任取n，由〔I〕知，对于任意m n，a n a m a n an1an1an2am1a m2n2m2n2n12n12n22m12m 1112n2n12m11，2n1故a n1a m2n2n12m113m2n 2n12m2m232n．4从而对于任意m n，均有高考教学数学数列题型专题汇总11 / 1111。
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题型一1．设{an }是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．题型二2．已知数列{an }、{bn}、{cn}满足．（1）设cn =3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有bn ≥bk；（3）设，．当b1=1时，求数列{bn}的通项公式．题型三3．已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n ﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）设bn =a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；（3）设cn =（an+1﹣an）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn．题型四4．已知数列{an}满足，，n∈N×．（1）令bn =an+1﹣an，证明：{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式．5．设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{an+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{an}的通项公式．6．在数列{an }中，a1=1，．（Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）令，求数列{b n }的前n 项和S n ；（Ⅲ）求数列{a n }的前n 项和T n ．7．已知数列{a n }的首项，，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n 项和S n ．8.在数列{}na 中，10a =，且对任意*k N ∈k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d 。
(Ⅰ)若k d =2k ，证明21222,,k k k a a a -+成等比数列（*k N ∈）； (Ⅱ)若对任意*k N ∈，21222,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q .设1q ≠1.证明11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；9.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。
10. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5． （I ） 求数列{b n }的通项公式；（II ） 数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n +}是等比数列．题型五12.数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求（I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++的值.13．已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 2a 6=55，a 2+a 7=16 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）数列{a n }和数列{b n }满足等式a n =（n∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ．提醒六14．设数列{a n }的通项公式为a n =pn+q （n∈N *，P ＞0）．数列{b n }定义如下：对于正整数m ，b m 是使得不等式a n ≥m 成立的所有n 中的最小值． （Ⅰ）若，求b 3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m }的前2m 项和公式；15．已知数列{x n }的首项x 1=3，通项x n =2n p+np （n∈N*，p ，q 为常数），且成等差数列．求：（Ⅰ）p ，q 的值；（Ⅱ）数列{x n }前n 项和S n 的公式．16．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项；（Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n ．17．已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =（4﹣a n ）q n ﹣1（q≠0，n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ．18．在数1 和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n ，再令a n =lgT n ，n≥1． （I ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =tana n •tana n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．题型七19．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=﹣10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列{}的前n 项和．20．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n∈N *，点（n ，S n ），均在函数y=b x +r （b ＞0）且b≠1，b ，r 均为常数）的图象上． （1）求r 的值； （2）当b=2时，记b n =n∈N *求数列{b n }的前n 项和T n ．题型八21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．题型九22．已知公差不为0的等差数列{an }的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为Sn，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{an }的通项公式及Sn；（Ⅱ）记An =+++…+，Bn=++…+，当a≥2时，试比较An与Bn的大小．23.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S 5S6+15=0．（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值围．答案1．（2011•）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．分析：（Ⅰ）由{an }是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式（Ⅱ）由{bn }是首项为1，公差为2的等差数列可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an +bn}的前n项和Sn．解答：解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1 ∵q＞0∴q=2∴{an }的通项公式为an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{an +bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣22．已知数列{an}、{bn}、{cn}满足．（1）设cn =3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有bn ≥bk；（3）设，．当b1=1时，求数列{bn}的通项公式．专题：计算题；分类讨论。
分析：（1）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式，即可求出结论；（2）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；（3）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列{bn}的通项公式，最后综合即可．解答：解：（1）∵an+1﹣an=3，∴bn+1﹣bn=n+2，∵b1=1，∴b2=4，b3=8．（2）∵．∴an+1﹣an=2n﹣7，∴bn+1﹣bn=，由bn+1﹣bn＞0，解得n≥4，即b4＜b5＜b6…；由bn+1﹣bn＜0，解得n≤3，即b1＞b2＞b3＞b4．∴k=4．（3）∵an+1﹣an=（﹣1）n+1，∴bn+1﹣bn=（﹣1）n+1（2n+n）．∴bn ﹣bn﹣1=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）（n≥2）．故b2﹣b1=21+1；b 3﹣b2=（﹣1）（22+2），…b n﹣1﹣bn﹣2=（﹣1）n﹣1（2n﹣2+n﹣2）．b n ﹣bn﹣1=（﹣1）n（2n﹣1+n﹣1）．当n=2k时，以上各式相加得b n ﹣b1=（2﹣22+…﹣2n﹣2+2n﹣1）+[1﹣2+…﹣（n﹣2）+（n﹣1）]=+=+．∴bn==++．当n=2k﹣1时，=++﹣（2n+n ） =﹣﹣+∴b n =．3．（2010•）已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m 、n ∈N*都有a2m ﹣1+a2n ﹣1=2am+n ﹣1+2（m ﹣n ）2 （1）求a 3，a 5；（2）设b n =a 2n+1﹣a 2n ﹣1（n∈N *），证明：{b n }是等差数列； （3）设c n =（a n+1﹣a n ）q n ﹣1（q≠0，n∈N *），求数列{c n }的前n 项和S n ． 分析：（1）欲求a 3，a 5只需令m=2，n=1赋值即可．（2）以n+2代替m ，然后利用配凑得到b n+1﹣b n ，和等差数列的定义即可证明． （3）由（1）（2）两问的结果可以求得c n ，利用乘公比错位相减求{c n }的前n 项和S n ． 解答：解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a 3=2a 2﹣a 1+2=6 再令m=3，n=1，可得a 5=2a 3﹣a 1+8=20（2）当n∈N *时，由已知（以n+2代替m ）可得 a 2n+3+a 2n ﹣1=2a 2n+1+8于是[a 2（n+1）+1﹣a 2（n+1）﹣1]﹣（a 2n+1﹣a 2n ﹣1）=8 即b n+1﹣b n =8所以{b n }是公差为8的等差数列 （3）由（1）（2）解答可知{b n }是首项为b 1=a 3﹣a 1=6，公差为8的等差数列 则b n =8n ﹣2，即a 2n+1﹣a 2n ﹣1=8n ﹣2 另由已知（令m=1）可得 a n =﹣（n ﹣1）2．那么a n+1﹣a n =﹣2n+1=﹣2n+1=2n于是c n =2nq n ﹣1．当q=1时，S n =2+4+6++2n=n （n+1）当q≠1时，S n =2•q 0+4•q 1+6•q 2++2n •q n ﹣1． 两边同乘以q ，可得qS n =2•q 1+4•q 2+6•q 3++2n •q n ． 上述两式相减得（1﹣q ）S n =2（1+q+q 2++q n ﹣1）﹣2nq n =2•﹣2nq n=2•所以Sn=2•综上所述，Sn=4．（2009•）已知数列{an}满足，，n∈N×．（1）令bn =an+1﹣an，证明：{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式．分析：（1）先令n=1求出b1，然后当n≥2时，求出an+1的通项代入到bn中化简可得{bn}是以1为首项，为公比的等比数列得证；（2）由（1）找出bn 的通项公式，当n≥2时，利用an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an ﹣an﹣1）代入并利用等比数列的前n项和的公式求出即可得到an的通项，然后n=1检验也符合，所以n∈N，an都成立．解答：解：（1）证b1=a2﹣a1=1，当n≥2时，所以{bn}是以1为首项，为公比的等比数列．（2）解由（1）知，当n≥2时，an =a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（an﹣an﹣1）=1+1+（﹣）+…+===，当n=1时，．所以．5．（2008•）设数列{an}的前n项和为Sn=2an﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{an+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{an}的通项公式．考点：等比关系的确定；等比数列的通项公式；数列递推式。