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三角函数与平面向量综合问题一6种类型
、三角函数与平面向量综合问题经典回顾
开篇语
三角函数与平面向量是高中数学的两大重点内容，在近几年的数学高考中，除了单独考查三角 函数问题和平面向量问题以外，还常常考查三?角函数与平面向量的交汇问题.即一个问题中?既涉及 三角函数内容，又涉及平面向量知识，以此检测我们综合处理?问题的能力.因此，在高三数学复习 屮，我们应当有意识?地关注平面向量与三角函数的交汇，通过典型的综合问题的分析?和研究，逐步 掌握这类问题的求解策略.
开心自测
题一：?设
的三个内角 A ，B,C ,向 § m = (^/3 sin A,sin B), n = (cos B, >/3 cos A),若
M = l + cos(4 + B),则C=(
)
a
o=2b,则一的取值范围是（）.
m
金题精讲
TV
B.-
27T
c
* T
题二：设两个向M a = （^+2, ，一 cos 2 ⑵和"
,其中a m a 为实数.若
B. [4,8]
C. [71]
D. [一1,6]
题一：平面上三点不共线,
设OA=a f OB = b,则△408的面积等于（
).
A.
（炉方）2
c. *』胡肝-（小疔
B .血Fi 肝+@劝2
?
7T
A. _ 6
题二：设向量0= (4 cos a, sin a),方=(sin 0,4cos "c= (cos 0,-4 sin P)
(I )若a与b_2c垂直，求tan(a+0)的值；
(ID求|A+c|.的最大值；
(III)若tanatan 0=16,求证：a // b .
题三：在△肋C中，角A f B f C所对的边分别为a,b,c ,且满足cos△二逵，AB AC = 3-
2 5
(I)求△45C的面积；? (II)若E+c = 6,求a的值.
题四：设“ABC是锐角三角形，a,b9c分别是内角4B,C所对边长，并且
sin2^ = sin(- + 5) sin(--5) + sin2B .
3 3
(I)求角A 的值；(II)若^5.^4C=12,a = 2>/7 ,求 (其中b 名师寄语 本讲要点小结与建议： 三角函数和平面向量的综合问题是近儿年数学高考的一个新的视角?求解这类问题，既要求我们具有娴熟的三角函数的恒等变换技能，乂要求我们熟练地进行平而向量的四种运算，特别是数乘运算和数量积运算.因此，在高三复习中，我们应当选择典型的综合性问题进行求解?训练，提高我们处理这类综合问题的能力. ■. 三角函数与平面向量综合问题经典回顾 参考答案 开心自测 题_：C.题二：A. 金题精讲 题一：C. 题二：(I )tan(a+/S) = 2；(11)4迈；＜ni)略. 题三：(I) = 2 ； di ) d — 2*^5 ? 题，四：(I) J 4 = —； (II) 6 = 4F c= 6. 3 二、三角函数与平面向量综合问题一6种类型 题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 TT 7T 【例1】己知0 <◎<二，0为/(x) = cos(2x + -)的最小正周期, 4 8 a = (tan(a+ —),-1),6 = (cosa,2),3 i =w,求2cos 的值 4 cosa-sina 【解答】因为0为/(X ) = COS (2X + 5的最小正周期，故 八兀.因为d b = O _ - J5 B 又a b = cosa tan(a+—)- 2,故COSQ tan(a+—) = w+2. 4 4 由于0 ＜a ＜兰 所以 2cos 2a+sin2(a+^) 2cos 2a+sin(2a+27T ) 4 cos a-sin a 2 cos 2 a+ sin 2a 2 cos a(cos a+ sin a) 宀 1 + tana = ---------- : ---------- --------------- =2 cos a cos a-sin a cos a- sin a 1-tana =cosa tan(a+—)=加+2. cos a- sin a cos a-sin a 【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数川的和、差、半、 倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。 题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】如图，函数y=2sin（7rx^^,xeR（其屮OMeS? ）的图像与V轴交于点（0,1）。 （I ）求?的值； （II）设P是图像上的最高点，.机N是图像与x轴的交点，求页7与莎的夹 角。 【解答】（I）因为函数图像过点（0J）, 所以2sin 2 7T 7V 因为0"号所以歼 （II）由函数y=2sm（加+ 壬）及其图像，得M 6 6 3 6 所以FA? = (-1 2),P2?= (1-2),从而 込 < 麻莎K湮西=2故< 甌莎RarccosH 【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向暈的夹角公式: \PM\\PN\ 17 17 角的三角函数值，再限定所求角的范I韦I,最后根据反三角函数的基木运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造止切的方程进行求解。 题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例3】在屮，角&&C的对边分别为a,b,c ,tanC=3V7 ? (1)求cosC ； （2）若前刃=|,且卄9,求J 【解答］(1)???tanC=3>/7，?:兰匸=3打, cosC 又vsin2C+cos2C=b 解得：co$C=±-, v tan C > 0 , A C是锐角,??cosC=g. (2) CB? C/4 —— , ab cos C = 一、 ab — 20 , 2 2 又???a+"9,..疋+ 2必+沪=81,??/+耳=41, :.c1— a1 +沪—2ab cos C = 36 , .. c = 6 . 【评析】根据题屮所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列汕等式求解。 题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例4】/(x) = a 其中向量a = (w,cos2x), 6=(1 +sin 2x,l), xeR,且函数 歹=/（力的图象经过点（丁,2）. 4 (I)求实数刃的值; di)求函数y=/W的最小值及此时天值的集合。 【解答】(I ) /(x) = a i =/(l+sm2x) + cos2x 7T 7T 7T 由已知/(—)=勿(1+sm—) + cos—= 2, 4 2 2 (II)由([)得/(x) = 1 +sin 2x + cos 2x = 1 + V2 sin(2x + —) 4 TT ???当sin(2x+才)： =-1时,y = /(x)的最小值 为近, 得天值的集合为 由sin(2x + —) = -1, 4 【评析】涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如 y =虫sin(0x + ?) +上，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。 题型五：结合向量平移问题，考査三角函数解析式的求法 【解答】???—(冷，-2),.??平移后的解析式为丿?2cos(# +計誇)-2 【评析】理清函数y = /(^)按向暈o ■(力*)平移的一般方法是解决此类问题z 关键，平移 后的函数解析式为歹二/[G (X -方)卜上. 题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题 【例6】设向量a = (sin x 9cos x),b = (cosx,cos x)9xeR 9 函数/(x) = a (a+i). (I )求函数/(x)的最大值与最小正周期； 3 (II )求使不等式/(x)>-成立的X 的取值集. 【解答】(I ) V /(x) = a (a^b) = a a^a b = sin 2 x+cos 2 x + sin xcosx+cos 2 x =1+孰2雋(S+1)冷+爭n(2书 ,")的最大值为》孕最小正周期是牛开 (II)要使/W>7 成立，当且仅当- + 2^sin (2x + -)>-， 2 2 2 4 2 TT TT TT 3T T 即sin(2x + -)> 0 ?> +二 — 9keZ , 4 4 8 8 即/(x)>|成立的X 的取值集合是Ix\k7r-^ 平移，则平移后所得图象的解析式为 ( 【例5】将7-2cos 的图象按向量。 【评析】结合向量的坐标运算法则，求出函数/(X)的三角函数关系式，再根据三角公式对函数/(X)的三角恒等关系，然后借助基本三角函数的单调性，求简单三角不等式的解集。 【跟踪训练】 1-设函数/⑴= 70 +。 其中向 M: c = (-cosx,sinx),xeR. （I ）求函数/（X ）的最大值和最小正周期； （II ）将函数7 = /W 的图像按向暈2平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求 长度最小的d ? _ 7T 7V 2.已知向量& = (sin = (l,cos?,— <& V —. 2 2 （II ）求F+司的最大值. 【参考答案】 1 ?解：(I)由题意得，/(x) = =sin 2 x- 2sin xcosx + 3cos 2 = 2+cos2x-sin 2x = 2 + 72 sin(2x + —), 4 所以，/⑴的最大值为2 =恵,最小正周期是—=^. 乙 kjr (ID i+isin(2x+—) = 0 得2x + —= A ：7r,即x = —- — f keZ 9 4 4 2 8 于是“牛&2） 0卜腭峙」HZ ? 因为上为整数，要使同最小，则只有上=1,此时/ = (-￡,-2)即为所求. O _ 7T 7T 2.解：(I)若&丄产，则sin cos 0 ,由此得：tan^= -1,(-— <^ <—), J Q 所以, (II)由a = (sin 0,1), b = (1, cos 0, : a-￥b = J(sin 8 + 1丫 + (1 + cos 刖=j3 + 2(sin& + cos^) 7T sin(& + —) = 1 当 4 时,片词取得最大值，即当&詣时, 的最大值为"9+1. 平面向量与三角函数综合练习 题型一三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是 一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中?解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位?这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标 例1 把函数y = sin2x的图象按向量a = (- , —3)平移后，得到函数y = Asin( w x+ )(A > 0, w> 0 , 6 || = p的图象，贝U 和B的值依次为 题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数 的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解?此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查 例2 已知A、B、C为三个锐角，且 A + B + C=n若向量8 = (2 —2sinA , cosA + si nA)与向量6 = (cosA —si nA , 1 + si nA)是共线向量. (I)求角A; 一 C —3B (n)求函数y = 2sin 2B + cos —；—的最大值? 题型三三角函数与平面向量垂直的综合 此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件 将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等. 已知向量 "a = (3sin a cos a ), "b = (2sin a, 5sin a — 4cos a , （I ）求tan a 的值； a （n ）求 cos （ +）的值. 2 3 题型四三角函数与平面向量的模的综合 此类题型主要是利用向量模的性质 |"|2 ="2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法： （1） 先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解； （2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标 运算进行求解? 5 v 3< 0 v av ，且 sin 3=— ，求 sin a 的值. 2 13 题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式： （1）三角函数与向量的积直接联系； （2）利用三角函数与向量的夹 角交汇，达到与数量积的综合 ?解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解 ? 例 5 设函数 f(x)=""其中向量"=(m , cosx) , " = (1 + sinx , 1), x € R ,且 f( ) = 2. (I)求 实数m 的值；（n ）求函数f （x ）的最小值. 六、解斜三角形与向量的综合 在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量 有着密切的联系?解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标， 要求 根据向量的关系解答相关的问题 ? b A A b 例6 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为 a 、 b 、 c ,若m = （— cos ；, sin'）, n = 妖（牛,2 n ，且b 已知向量 ""=(cos a ,sin a ), " = (cos B,sin 3, a — 3）的值；（n ）若一- l " —= .(I )求 cos( 阶段性考试试卷 姓名： 分数： 一、选择题（每题5分，共13题，65分） 1．若命题1)1(log ),,0(:2≥+ +∞∈?x x x p ，命题01,:0200≤+-∈?x x R x q ，则下列命题为真命题的是( ) A.p q ∨ B.p q ∧ C.()p q ?∨ D.()()p q ?∧? 2．已知函数 ，则不等式f （x ）≤5的解集为（ ） A ．[﹣1，1] B ．（﹣∞，﹣2]∪（0，4） C ．[﹣2，4] D ．（﹣∞，﹣2]∪[0，4] 3．设复数z 满足 11z i z +=-,则的z 虚部为（ ） A ．i - B ．i C ．1 D ．1- 4．函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且在区间]0,(-∞上是减函数，则不等式)1()(ln f x f -<的解集为( ) A.()+∞,e B.??? ??+∞,1 e C.??? ??e e ,1 D.?? ? ??e 1,0 5．已知函数2 ()(1)x f x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是（ ） 6． 对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤ B ．a b a b -≤- C ．() 2 2a b a b +=+ D ．()() 22a b a b a b +-=- 7．若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ?∈+∞≠，有()() 2121 0f x f x x x -<-，则（ ） A ．()()()213f f f -<< B ．()()()123f f f <-< C ．()()()312f f f << D ．()()()321f f f <-< 8．已知函数()sin()(0,||)2 f x x π ω?ω?=+>< 的最小正周期为π，且其图像向左平移 3 π 个单位后得到函数 ()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12 x π =对称 B ．关于直线512 x π = 对称 C ．关于点( ,0)12 π 对称 D ．关于点5( ,0)12 π 对称 三角函数、平面向量、解三角形 一、选择题(每小题5分，共50分) 1.化简cos15cos45cos75sin45??-??的值为（ ） A. 12- B. C.12 D. -2.设向量,a b 满足:1||=a , 2||=b , ()0a a b ?+=, 则a 与b 的夹角是（ ） A ．ο30 B ．ο60 C ．ο90 D ．ο120 3.已知角α的终边经过点)60cos 6,8(0--m P ，且5 4cos -=α，则m 的值为（ ） A 21 B 2 1- C 23- D 23 4.设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ =+-+∈，则函数()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 5.已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b m =-r ，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ ） A ．(5,10)-- B ．(4,8)-- C ．(3,6)-- D ．(2,4)-- 6.已知4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4 πα-等于（ ） A.17 - B.7- C.71 D.7 7.函数2tan 2tan 12x y x =-的最小正周期为（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ． 2 π 8.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ，则 ()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 等于 （A ）49- （B ）43- （C ）43 (D) 49 （ ） 专题二 三角函数与平面向量的综合应用 （时间：45分钟 满分：100分） 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．已知sin(2π－α)＝45，α∈????3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α 等于( ) A.17 B ．－17 C ．－7 D ．7 2．如图，D 、 E 、 F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( ) A ．＋BE →＋CF →＝0 B. －CF →＋DF → ＝0 C ．＋CE →－CF →＝0 D. －BE →－FC →＝0 3．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f(x)＝a ·b 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ， sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6 D .π3，π3 5.已知向量OB →＝（2，0），向量=(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向 量OB →的夹角的取值范围是( ) A.????0，π4 B.??? ?π4，512π C.????512π，π2 D.??? ?π12，512π 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若⊥，则x 的值为______． 7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD =1,BC =2,AB =3,P 是BC 上的一个动点，当?PD PA 取得最小值时，tan ∠DP A 的值为 ________． 三角函数及解三角形 一、选择题： 1．设α是锐角,223)4 tan(,+=+απ 则=αcos （ ） 2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( A ) A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里 D ．103海里 3．若函数)0(sin )(>=ωωx x f 在区间??????3,0π上单调递增，在区间??? ???2,3ππ上单调递减，则=ω( ) A ．3 B ．2 4．已知函数)(),0(cos sin 3)(x f y x x x f =>+=ωωω的图象与直线2=y 的两个相邻交点的距 离 等 于 , π则 ) (x f 的单调递增区间是 （ ） A.Z k k k ∈????? ?+ - ,125,12 πππ π B. Z k k k ∈????? ? ++,1211,125ππππ C. Z k k k ∈?? ??? ?+-,6,3 ππππ D.［Z k k k ∈?? ??? ? ++,32,6 ππππ 5．圆的半径为c b a ,,,4为该圆的内接三角形的三边，若,216=abc 则三角形的面积为 （ ） 2 2 C. 2 D. 22 6．已知5 4cos -=α且,,2 ? ? ? ??∈ππα则?? ? ? ? +4tan πα等于( C ) A ．－17 B ．－7 C ．1 7 D ．7 7．锐角三角形ABC 中c b a ,,,分别是三内角C B A ,,的对边设,2A B =则a b 的取值范围是（ D ） A ．（﹣2，2） B ．（0，2） C ．（ ，2） D ．（ ， ） 8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π 3 是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是(D ) A ．y ＝4sin ? ????4x ＋π6 B ．y ＝2sin ? ????2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ? ???? 4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ? ???? 4x ＋π6＋2 9．函数)3 2sin(π+=x y 的图象经怎样平移后所得的图象关于点)0,12 (π - 成中心对称 （ ） A.向左平移 12π B.向左平移6π C.向右平移6π D.向右平移12 π 10．如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线6 π -=x 对称，那么=a （ ） 向量与三角函数综合试题 1．已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a +2b 与a 的夹角为 （ D ） A.3π B.3π2 C. 2π D.6π 2．已知向量),(n m =，)sin ,(cos θθ=，其中R n m ∈θ,,.若||4||=，则当2 λλ或2-<λ B ．2>λ或2-<λ C ．22< <-λ D ．22<<-λ 3．已知O 为原点，点P （x ，y ）在单位圆x 2 +y 2 =1上，点Q （2cos θ，2sin θ），且PQ =(3 4， －3 2)，则·的值是 （ A ） A ．18 25 B ．9 25 C ．2 D ．9 16 4．R t t ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0 0，则||的最小值是B A. 2 B. 22 C. 1 D. 2 1 5．如图，△ABC 中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB 到D ，使||||BA BD =u u u r u u u r ，当E 点在线段AD 上移动时，若,AE AB AC λμλμ=+-u u u r u u u r u u u r 则的最大值是（ C ） A ．1 B 3 C ．3 D ．236．已知向量(2,0)OB =u u u v ,向量(2,2)OC =u u u v ,向量22)CA αα=u u u v ,则向量OA u u u v 与向量OB uuu v 的夹角的取值围是（ D ） A ．[0, ]4π B ．5[,]412ππ C ．5[,]122ππ D ．5[,]1212 ππ 7．已知向量(1,1),(1,1),(22)a b c θθ==-=r r r ,实数,m n 满足ma nb c +=r r r ,则 22(1)(1)m n -+-的最小值为（ D ） A 21 B ．1 C 2 D ．322- 8．如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =u u u r u u u r ， 若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE u u u r u u u r g 的值是（ B ） B ．） 姓名________ 成绩________ 三角函数和平面向量综合测试题 160分 公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± 令βα=得αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。 1．设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=，则(2)a b c +?=________. 2．已知两点(2,0),(2,0)M N -，点P 为坐标平面内的动点， 满足0MN MP MN NP ?+?=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为_____. 3．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2,a i j b i j λ=-=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________. 4．若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b += ． 5．设向量(1,0),(cos ,sin ),a b θθ==其中0θπ≤≤，则a b +的最大值是 ． 6．设,i j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量， 且42,34AB i j AC i j =+=+，则ABC ?面积的值等于 ． 7．已知向量a 与b 的夹角为0 120，1,3a b ==，则5a b -= ． 8．向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是 _______. 9．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________. 10．向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值是 ． 11．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ， ()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是________. 12、定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度|*|||||sin ,a b a b θθ=??其中为向量a 和b 的夹角，若(2,0),(1,3),|*()|u u v u u v =-=-+则= . 13 在______,02 =∠=+??A AB ABC 则中，若. 三角函数与平面向量综合题的六种类型 题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知04 πα<<，β为()cos(2)8 f x x π =+的最小正 周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=?= ，求22cos sin 2()cos sin ααβαα ++-的值． 【解答】因为β为()cos(2)8 f x x π =+ 的最小正周期，故βπ=．因为a b m ?= ， 又cos tan()24a b βαα?=?+- ，故cos tan()24 m βαα?+=+． 由于04 π α<< ，所以 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++= -2 2cos sin(22) cos sin ααπαα ++- 2 2cos sin 2cos sin αααα += -2cos (cos sin ) cos sin ααααα +=-1tan 2cos 1tan ααα +=?- cos tan()24 m β αα=?+ =+． 【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入 求值或化简。 题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R π?=+∈（其中02 π ?≤≤） 的图像与y 轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与P N 的夹角。 【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,?=即1sin .2?= 因为02 π ?≤≤ ，所以6 π ?= . （II ）由函数2sin()6 y x π π=+ 及其图像，得1 15 (,0),(,2),(,0),636 M P N - - 所以11 (,2),(,2),22 P M P N =-=- 从而 cos ,|||| PM PN PM PN PM PN ?<>=? 1517=，故,P M P N <>= 15arccos 17 . 三角函数与平面向量 一：考点分析 小题主要考查三角函数图象与性质，利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定 理求值化简，有时与向量相结合。大题一般三角函数的图象与性质与向量及解三角形相结合。 1任意角的三角函数： (1)弧长公式：I |aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，I 为弧长。 cosa 2.已知 tan -- =2,,则 3sin 2一一 -cos sin -- +1=( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 3 .已知sin 、,2 cos .. 3 , 则tan ( ) A.二 B .2 C D . 2 2 2 4.若 sin(— 3 1 5 ) ，贝U cos(—— )的值为 ( ) A 1 f 1 2 2 2^2 A. — B. c. D. 3 3 3 3 类型二：三角恒等变换 1.若 sin( ) 4 5 (o,—), 则sin 2 cos 的值等于 5 2 2 2.若 cos2 2 则cos +sin 的值为 sin( 4) 2 3.已知角 e 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 n 类型一： 诱导公式的应用 3 sin(2 ) cos(3 ) cos( ) 1 .化简： 2 sin( )sin(3 ) cos( ) (4)诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限) (2) 扇形的面积公式： S llR R 2 (3) 同角三角函数关系式：商数关系： 为圆弧的半径，I 为弧长。 , sin a tana 平方关系： sin 2a cos 2 a 1 k 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性; 2 y = 2x 上，则 三角函数、向量、解三角形、数列综 合测试（含答案） 欧阳光明（2021.03.07） 大冶一中 孙雷 一、选择题(每题只有一个正确选项，共 60分) 1.若向量===BAC CB AB ∠),0,1-(),2 3 , 21(则( ) A.30° B.60° C. 120° D. 150° 2.已知34,4,8===AC BC AB ABC Rt 中，△,则对于ABC △所在平面内的一点P ，)(PC PB PA +?的最小值是( ) A.-8 B. -14 C.-26 D.-30 3.已知在正方形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点F 为CB 上靠近点B 的三等分点，O 为AC 与BD 的交点，则=DB ( ) A.5 185 8 -+ B.7 4718- + C.5 8 518- + D. 7 18 74-+ 4.已知）2π-απ-(523- αsin -αcos <<=，则=+α ααtan -1) tan 1(2sin ( ) A.7528- B.7528 C.7556- D. 75 56 5.若函数m x x x f -2cos 2-sin 4)(=在R 上的最小值是3，则实数=m ( ) A.6- B.5- C.3- D.2- 6.已知α为锐角，且2)8 π -α(tan =，则=α2sin ( ) A. 10 2 B. 10 23 C. 10 27 D. 4 2 3 7.已知向量)sin 41-(α，=a ，)4 πα0)(1-α(cos <<=，，且//，则 =)4 π -αcos(( ) A.21- B.2 1 C.2 3- D. 2 3 8.在ABC △中，3:2:1::=A B C ,则=a b c ::( ) A.1:2:3 B.3:2:1 C.1:3:2 D. 2: 3:1 9.在ABC △中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，若B A C sin sin sin 3+=， 第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17 题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π 2 ，2π)，且→a ⊥→b ． （Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π 3)的值． 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2 5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ) 若－π2＜β＜0＜α＜π 2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ） 求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值. 题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例5】（山东卷）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan C = （1）求cos C ；（2）若5 2 CB CA ?= ，且9a b +=，求c ． 题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例6】()f x a b =? ，其中向量(,cos 2)a m x = ，(1sin 2,1)b x =+ ，x R ∈，且函数 ()y f x =的图象经过点(,2)4 π ． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。 题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题 【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈ ，函数()()f x a a b =?+ . （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3 ()2 f x ≥成立的x 的取值集. 【跟踪训练】 三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量=（x x x 3,52-），=（2，x ），且⊥，则由x 的值构成的集合是（ ） A 、｛0，2，3｝ B 、｛0，2｝ C 、｛2｝ D 、｛0，-1，6｝ 2、设02x π≤≤, sin cos x x =-,则 （ ） A ．0x π≤≤ B ． 74 4x π π≤≤ C ．544 x ππ ≤≤ D ． 32 2 x π π ≤≤ 3、函数1cos 4tan 2sin )(++?=x x x x f 的值域是 。 4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B b C a c =-+. （1）求角B 的大小； （2）若 b a ＋ c ＝4，求a 的值. 5、已知向量 )1),3 (cos(π + =x ，)21),3(cos(-+ =π x ，)0),3 (sin(π+=x 函数 x f ?=)(， x g ?=)(， x h ?-?=)( （1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？ （2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ． 专题四 三角函数、解三角形、平面向量测试题 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f (x )＝lgsin ? ?? ??π4－2x 的一个增区间为( ) A.? ????3π8，7π8 B.? ?? ??7π8，9π8 C.? ????5π8 ，7π8 D.? ????－7π 8 ，－3π8 解析 由sin ? ????π4－2x >0，得sin ? ????2x －π4<0，∴π＋2k π<2x －π4<2π＋2k π，k ∈Z ；又 f (x )＝lgsin ? ????π4－2x 的增区间即sin ? ????π4－2x 在定义域内的增区间，即sin ? ?? ??2x －π4在定义域 内的减区间，故π＋2k π<2x －π4<3π2＋2k π，k ∈Z .化简得5π8＋k π 三角函数 1. 正角：逆时针旋转；负角：顺时针旋转。 2. 时针在1小时内所转的角度为-30； 分针在1小时内所转的角度为-360。 3. 一般地，与角α终边相同的角的集合为：{} 360,k k ββα=?+∈Z 。 4. 终边落在直线上的角用180k α?+表示。 5. 1,,2 L S LR R α===弧长弧度数即面积半径 （经常联系起来考察）。 6. 180()rad π=。 7. 对任意角α ：(() sin cos tan 0y r r x r y x x ααα= == =≠正弦：余弦：正切： 8. ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － s i n α cos α tan /cot αα 9. 22sin sin cos 1,tan cos ααααα +== “知其一就可以求其二”。 10. ()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-奇函数 偶函数奇函数 诱导公式关键步骤：（1）把α看成锐角；（2）确定符号；（3）确定函数名称。（π±同名函数，322 ππ±±或需换函数名称） 11. 周期函数：()()f x T f x +=。 不是任何函数都有最小正周期。 12. 一般地，()sin y A x ω?=+及()cos y A x ω?=+() ,,A ω?其中为常数的周期2T πω=；()tan y A x ω?=+的周期T πω =。 13. 函数图象： y ＝tanx y ＝cotx 14. 函数性质： （注：表中k 均为整数） 15. 图象平移：以sin y x =变换到4sin(3)3 y x π=+为例 sin y x =向左平移 3 π 个单位 （左加右减） s i n 3y x π? ?=+ ??? 横坐标变为原来的 13倍（纵坐标不变） sin 33y x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π??=+ ?? ? sin y x =横坐标变为原来的1 3 倍（纵坐标不变）()sin 3y x = 向左平移 9π个单位 （左加右减） sin 39y x π??=+ ???sin 33x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π??=+ ? ? ? 注意：在变换中改变的始终是X 。 注意：阅读章节后链接的内容，特别是反三角的表示。 《三角函数与平面向量》测试题 班级 姓名 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．) 1．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝ sin ? ????x －π6的图象，则φ等于( ) A.π6 B.2π3 C.4π3 D.11π6 2．函数 f (x )＝sin x －2cos 2x 2 的一个单调增区间是( ) A.? ????－π2，π2 B ．(0，π) C.? ????π2，3π2 D.? ????－π4 ，3π4 3．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( ) A ．{(0,0)} B ．{(π，0)，(0,0)} C ．{(k π，0)}(k ∈Z) D ．? 4．函数y ＝－12cos2x ＋sin x －12 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－54，1] C ．[－54，－1] D ．[－1，54 ] 5．已知θ是第三象限角，|cos θ|＝m ，且sin θ2＋cos θ2>0，则cos θ2等于( ) A ．－1－m 2 B.1＋m 2 C ．－1＋m 2 D.1－m 2 6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A. 2 B. 3 C.32 D ．2 7．函数f (x )＝2sin(2x ＋π4 )，给出的命题： ①函数f (x )在区间[ π2，5π8]上是减函数； ②直线x ＝π8 是函数 f (x )的图象的一条对称轴； ③函数f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移 π4个单位得到．其中正确的是( ) 必修4三角函数和平面向量综合检测 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．下列命题中的真命题是（ ）． A ．三角形的内角必是第一象限或第二象限的角 B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点 C ．终边在第一象限的角是锐角 D ．终边在第二象限的角是钝角 2．cos(2640)sin1665-+=o o （ ）． A ．122+ B ．122+- C ．132+ D ．13 2 +- 3．已知角α的终边过点(43)P m m -，，(0)m ≠，则ααcos sin 2+的值是（ ） ． A ．1或－1 B ．52或52- C ．1或5 2- D ．－1或52 4．已知向量(cos 75,sin 75),(cos15,sin15)a b ==o o o o r r ，则a b -r r 的值为（ ）． A ． 1 2 B ．1 C ．2 D ．3 5．函数3sin( 3)3cos(3)44 y x x ππ =-+-的最小正周期为（ ） ． A ．23π B ．3 π C ．8 D ．4 6．函数sin()(0,0)y A x A ???=+>>的部分图象如图所示， 则(1)(2)(3)(11)f f f f ++++=…（ ）． A ．2 B ．22+ C ．222+ D ．222-- 7．设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==，，集合{}x y y x B ==|)(，，则（ ）． A ．B A I 中有3个元素 B ．B A I 中有1个元素 C ．B A I 中有2个元素 D ．B A Y R = 8．判断函数2()lg(sin 1sin )f x x x =+的奇偶性为（ ）． A ．非奇非偶函数 B ．奇函数 C ．偶函数 D ．既奇又偶函数 9．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3 x π =对称；③在[,]63 ππ - 上是增 函数”的一个函数是（ ）． A ．sin()26x y π=+ B ．cos(2)3y x π=+ C ．sin(2)6y x π=- D ．cos(2)6 y x π =- 10．如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的 三角函数、解三角形、平面向量、数列专题测试题 班级： 姓名： 学号： 一、选择题 1. 若sin = - 5 13 ，且为第四象限角，则 t an 的值等于（ ） A ． 12 5 B ． - 12 5 C ． 5 12 D ． - 5 12 2. sin20°cos10°-con160°sin10°= （A ） - 3 2 （B ） 3 2 （C ） - 1 2 （D ） 1 2 3. 函数 f(x)= 的部分图像如图所示，则 f （x ）的单调 递减区间为 (A)（ ）,k (b)（ ）,k (C)（ ）,k (D)（ ）,k a 4. 设 ， b 是非零向量，“ a ? b = a b ”是“ a //b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2 3 3 5. 已知 ⊥ = 1 = t ，若 P 点是?ABC 所在平面内一点， AB AC , AB , AC t 且 AP = AB + 4 A C ，则 PB ? PC 的最大值等于（ ） AB AC A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 6. 已知 M （x 0，y0）是双曲线 C ： x 2 - y 2 = 1 2 上的一点，F 1、F 2 是 C 上的两个焦点，若 ? ＜0，则 y 的取值范围是 MF 1 MF 2 0 （A ）（- 3 ， 3 ） （B ）（- 3 ， 3 ） 3 3 6 6 （C ）（ - 2 2 ， 2 2 ） （D ）（ - 2 3 ， ） 3 3 3 7. 等比数列｛ a n ｝ 满足 a 1=3， ( ) a 1 + a 3 + a 5 =21， 则 a 3 + a 5 + a 7 = （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 8. 设{a n } 是等差数列. 下列结论中正确的是 A ．若 a 1 + a 2 > 0 ，则 a 2 + a 3 > 0 B ．若 a 1 + a 3 < 0 ，则 a 1 + a 2 < 0 C ． 若 0 < a 1 < a 2 ， 则 a 2 > (a 2 - a 1 )(a 2 - a 3 ) > 0 D ． 若 a 1 < 0 ， 则 9. 设 S n 为等比数列{a n } 的前 n 项和，若 a 1 = 1 ，且 3S 1, 2S 2 , S 3 成等差数列，则a n = . A, -2n + 3 . B.2n-3 C. -3n-2 D. 3n-2 10 已知数列{a } 中， a = 1 ， a = a + 1 （ n ≥ 2 ），则数列{a } 的前 9 n 1 n n -1 2 n 项和等于 。 a 1a 3 专题03 三角函数与平面向量综合问题 （答题指导） 【题型解读】 ??题型一：三角函数的图象和性质 1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2 ＋b 2 ? ?? ?? a a 2＋ b 2 ·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2 sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2 ＋b 2 sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ? ????ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ? ????π6＝0. (1)求ω； (2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π 4 个 单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在??????－π4 ，3π4上的最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)因为f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ? ????ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin 三角函数与平面向量练习题 编号：11 编制：许小红 审核：孙丽君 时间：2011-9-30 一、选择题 1、设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( ) A 、),2()2,2 1 (+∞?- B 、(2，+∞) C 、(21-，+∞) D 、(－∞，21-) 2、ΔABC 中，若?=?，则ΔABC 必为（ ） A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、锐角三角形 D 、等腰三角形 3、已知ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足=++，则点P 与ΔABC 的关系是（ ） A 、P 在ΔABC 内部 B 、P 在ΔAB C 外部 C 、P 在直线AB 上 D 、P 在ΔABC 的AC 边的一个三等分点 4．在平行四边形ABCD 中，M 为AB 上任一点，则AM DM DB -+等于 ( ) (A )BC (B )AB (C )AC (D )AD 5．设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为（ ） A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 6． 己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为( ) A ．(－2,11) B ．()3,34 C ．(3 2,3) D ．(2,－7) 7．下面给出四个命题： ① 对于实数m 和向量a 、b ，恒有()m a b ma mb -=-； ② 对于实数m 、n 和向量a ，恒有()m n a ma na -=-； ③ 若(,0)ma mb m R m =∈≠，则a b =； ④ 若(0)ma na a =≠，则m n =.其中正确的命题个数是 ( ) (A ) 1 (B ) 2 (C )3 (D )4 8．已知123()AB e e =+，12CB e e =-，122CD e e =+，则下列关系一定成立( ) (A )A ，B ，C 三点共线 (B )A ，B ，D 三点共线 (C )A ，C ，D 三点共线 (D )B ，C ，D 三点共线 A B C D F 向量与三角函数综合试题 1．已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a +2b 与a 的夹角为 （ D ） A.3π B.3π2 C. 2π D.6π 2．已知向量),(n m a =，)sin ,(cos θθ=b ，其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =，则当2 λλ或2-<λ B ．2>λ或2-<λ C ．22< <-λ D ．22<<-λ 3．已知O 为原点，点P （x ，y ）在单位圆x 2 +y 2 =1上，点Q （2cos θ，2sin θ），且PQ =(3 4， －3 2)，则OP ·OQ 的值是 （ A ） A ．18 25 B ．9 25 C ．2 D ．9 16 4．R t b t a u b a ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0 0，则|u |的最小值是B A. 2 B. 22 C. 1 D. 2 1 5．如图，△ABC 中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB 到D ，使||||BA BD =u u u r u u u r ，当E 点在线段AD 上移动时，若,AE AB AC λμλμ=+-u u u r u u u r u u u r 则的最大值是（ C ） A ．1 B ．3 C ．3 D ．23 6．已知向量(2,0)OB =u u u v ,向量(2,2)OC =u u u v ,向量(2cos ,2sin )CA αα=u u u v ,则向量OA u u u v 与向量OB uuu v 的夹角的取值范围是（ D ） A ．[0, ]4π B ．5[,]412ππ C ．5[,]122ππ D ．5[,]1212 ππ 7．已知向量(1,1),(1,1),(2cos ,2sin )a b c θθ==-=r r r ,实数,m n 满足ma nb c +=r r r ,则 22(1)(1)m n -+-的最小值为（ D ） A ．21- B ．1 C ．2 D ．322- 8．如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =u u u r u u u r ， 若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE u u u r u u u r g 的值是（ B ） B ．） （ ）三角函数与向量综合题练习
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