自动控制原理习题及其解答-第三章
自动控制原理第三章课后习题答案
3-1（1） )(2)(2.0t r t c= （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。
已知全部初始条件为零。
解：（1） 因为)(2)(2.0s R s sC =闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C 闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s Ct e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。
若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Ts s s s G 1)(1)()(=Φ-Φ= ⎩⎨⎧==11v T K用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。
解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1111)()(1)()()(+=+-=-==ΦTs TsTs s R s C s R s E s e C T s Ts Ts ss R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.210101lim )()(lim 23-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为)1.536.1sin(5.1210)(2.1o tt et c +-=-试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。
自动控制原理课后习题答案,第三章(西科技大学)
c(t ) 1
1
e
n t
1
2
sin(d t )(t 0)
1.6，
1 2
1.25，n 1.2 1.6 1.25 2， 0.6
n
d
1 2
s% e
1 2
tp 1.96s d
10 K 斜坡输入时： K v lim sG ( s ) s 0 10 1 ess 1 Kv 0.25 得：10 1 2.5K 稳态误差：
与二阶系统的典型形式对比，有
10 1 2n 10K
得：K=1.6，= 0.3，n=4
闭环传递函数为
(2)
则辅助方程的解为
s1.2 1
s3.4 5 j
劳斯表第一列出现了负数，系统不稳定。第一列元素符号变 化一次，可知系统存在一个s右半平面的特征根。系统有一 共轭纯虚根±5 j。
K (0.5s 1) 3-11 已知单位反馈系统的开环传函为G ( s) 2 s(s 1)(0.5s s 1) 试确定系统稳定时的K值范围。
系统稳定的 K 范围为 0 < K < 1.708。
100 3-15 已知单位反馈系统的开环传递函数 G பைடு நூலகம் s ) s ( s 10) 试求：
(1) 位置误差系数Kp，速度误差系数Kv和加速度误差系数Ka； (2) 当参考输入 r(t) = 1+ t + at2 时，系统的稳态误差。
解：(1)
-50
48
0 0 0 8 96 8 48 2 96 8 ( 50 ) 2 0 2 24 50 s 8 8 0 s1 24 96 8 ( 50 ) 112 .7 24 0 s -50
《自动控制原理》习题及解答03
t1
T[ln(
T
T
)
ln
0.9]
则
tr
t2
t1
T
ln
0.9 0.1
2.2T
3) 求 ts
h(ts )
0.95
1
T T
e ts
/T
ts
T[ln
T T
ln 0.05]
T[ln
T T
ln 20]
T[3
ln
T T
]
3-3 一阶系统结构图如题 3-3 图所示。要求系统闭环增益 K 2 ，调节时间 ts 0.4 （s），试确定参数 K1, K 2 的值。
3-15 虚根。
h() lim s (s) 1 2.5
s0
s
已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半 s 平面根的个数及纯
4 1 )(s
1)
T1
T2
T1
T2
1 0.25
C(s) (s)R(s)
4
= C0 C1 C2
s(s 1)(s 4) s s 1 s 4
C0
lim s (s) R(s)
s0
lim
4
s0 (s 1)(s
4)
1
C1
lim (s
s1
1) (s)
R(s)
lim
s0
4 s(s
4)
4 3
考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换
s 2C(s) s c(0) c(0) 5 s C(s) c(0) 62.5C(s) 0 整理得 s 2 5s 62.5 C(s) s 5c(0) c(0)
对单位反馈系统有 e(t) r(t) c(t) ， 所以
自动控制原理第3章 习题及解析
自动控制原理（上）习 题3-1 设系统的结构如图3-51所示，试分析参数b 对单位阶跃响应过渡过程的影响。
考察一阶系统未知参数对系统动态响应的影响。
解 由系统的方框图可得系统闭环响应传递函数为/(1)()()111K Ts Ks Kbs T Kb s Ts +Φ==++++ 根据输入信号写出输出函数表达式：111()()()()()11/()K Y s s R s K s T Kb s s s T bK =Φ⋅=⋅=-++++对上式进行拉式反变换有1()(1)t T bKy t K e-+=-当0b >时，系统响应速度变慢；当/0T K b -<<时，系统响应速度变快。
3-2 设用11Ts +描述温度计特性。
现用温度计测量盛在容器内的水温，发现1min 可指示96%的实际水温值。
如果容器水温以0.1/min C ︒的速度呈线性变化，试计算温度计的稳态指示误差。
考察一阶系统的稳态性能分析(I 型系统的，斜坡响应稳态误差)解 由开环传递函数推导出闭环传递函数，进一步得到时间响应函数为：()1t T r y t T e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中r T 为假设的实际水温，由题意得到：600.961Te-=-推出18.64T =，此时求输入为()0.1r t t =⋅时的稳态误差。
由一阶系统时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以稳态指示误差为：lim ()0.1 1.864t e t T →∞==3-3 已知一阶系统的传递函数()10/(0.21)G s s =+今欲采用图3-52所示负反馈的办法将过渡过程时间s t 减小为原来的1/10，并保证总的放大倍数不变，试选择H K 和0K 的值。
解 一阶系统的调节时间s t 与时间常数成正比，则根据要求可知总的传递函数为10()(0.2/101)s s Φ=+由图可知系统的闭环传递函数为000(10()()1()0.211010110()0.21110H HHHK G s K Y s R s K G s s K K K s s K ==++++==Φ++）比较系数有101011011010HHK K K ⎧=⎪+⎨⎪+=⎩ 解得00.9,10H K K ==3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为1.5()1012sin(1.6+53.1t y t e t -=-）试求系统的超调量%σ，峰值时间p t ，上升时间r t 和调节时间s t 。
自动控制原理第三章习题参考答案
Y (s) 1 1 600 ( s) 12 （ ） 2 R( s ) s 10 s 60 s 70 s 600
n 600 24.5
70 70 1.43 2 n 2 24 .5
3-7 简化的飞行控制系统结构图如下，试选择参数K1和Kt， 使系统的ωn=6，ξ=1
S2+5=0
S3 16/3 S2 5
S1 10 S0 25
s1, 2 5 j
有1对纯虚根，系统临界稳定。
3-13单位反馈系统的开环传递函数为：
K (0.5s 1) G( s) 2 s( s 1)(0.5s s 1)
确定使系统稳定的K值范围。 解：闭环传递函数为：
K (0.5s 1) ( s) 0.5s 4 1.5s 3 2 s 2 (1 0.5 K ) s K K ( s 2) 4 s 3s 3 4 s 2 ( 2 K ) s 2 K
K 速度误差系数： P lim sG ( s ) 10
s 0
速度误差：
1 e ss 0.1 Kp
3-11 已知系统的特征方程为：
3s 4 10 s 3 5s 2 s 2 0
用劳斯判据确定系统的稳定性 解：列劳斯列表 S4 3 5 2
S3 10
S2 4.7 S1 -3.26
1
2
S0 2 第1列符号变化两次， 说明有两个正根，系统不稳定。
3-12 已知Βιβλιοθήκη 统的特征方程如下，试求系统在S右半平面的根 数及虚根值。
（1） s 3s 12 s 24 s 32 s 48 0
5 4 3 2
S5 1 S4 3 S3 4 S2 12
自动控制原理第3章习题解答
−
−
ω n (ξ − ξ 2 − 1)
1 10
2
T2 = 1 60
1
ω n (ξ + ξ 2 − 1)
显然： T1 =
T2 =
ξ2 T1 ξ + ξ − 1 = =6= T2 ξ − ξ 2 − 1 1 1− 1− 2 ξ
由 T1 =
1+ 1−
1
解方程得 ξ =
7 2 6
1
ω n (ξ − ξ − 1)
试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。 解：闭环传递函数
0.4 s + 1 G( s) 0.4 s + 1 s ( s + 0.6) GB ( s) = = = 2 s + s +1 1 + G ( s ) 1 + 0.4 s + 1 s( s + 0.6) C ( s ) = GB ( s ) R( s ) = 1 0.4 s + 1 0.4 1 = 2 + 2 2 s s + s + 1 s + s + 1 s( s + s + 1) s +1 s + 0.6 0.4 1 1 = 2 + − 2 = − 2 s + s +1 s s + s +1 s s + s +1
3.5 = 7s 0.5
3-6 已知控制系统的单位阶跃响应为
h(t ) = 1 + 0.2e −60t − 1.2e −10t
试确定系统的阻尼比ζ和自然频率ωｎ。 解： 求拉氏变换得
H (s) =
1 0.2 1.2 ( s + 60)( s + 10) 0.2s ( s + 10) 1.2s ( s + 60) + − = + − s s + 60 s + 10 s ( s + 60)( s + 10) s ( s + 60)( s + 10) s ( s + 60)( s + 10)
自动控制原理习题及其解答第三章
第三章例3-1 系统的结构图如图3-1所示。
已知传递函数 )12.0/(10)(+=s s G 。
今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间t s减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。
试确定参数K h 和K 0的数值。
解 首先求出系统的传递函数φ（s ），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。
一阶系统的过渡过程时间t s 与其时间常数成正比。
根据要求，总传递函数应为)110/2.0(10)(+=s s φ即HH K s K s G K s G K s R s C 1012.010)(1)()()(00++=+= )()11012.0(101100s s K K K HHφ=+++=比较系数得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1010110101100H HK K K 解之得9.0=H K 、100=K解毕。
例3-10 某系统在输入信号r (t )=(1+t )1(t )作用下，测得输出响应为：t e t t c 109.0)9.0()(--+= （t ≥0）已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s φ。
解 因为22111)(ss s s s R +=+=)10()1(10109.09.01)]([)(22++=+-+==s s s s s s t c L s C 故系统传递函数为11.01)()()(+==s s R s C s φ 解毕。
例3-3 设控制系统如图3-2所示。
试分析参数b 的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。
解 由图得闭环传递函数为1)()(++=s bK T Ks φ系统是一阶的。
动态性能指标为)(3)(2.2)(69.0bK T t bK T t bK T t s r d +=+=+= 因此，b 的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。
解毕。
例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。
试确定系统的传递函数。
解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。
自动控制原理参考答案-第3章
×100% = 35%
⇒ ξ = 0.32 ，又 t p =
π
ωn 1 − ξ 2 2 ⇒ K = ωn = 1.96 ； a = 2ξωn = 0.896
= 2.36 ⇒ ωn = 1.4 ；
题 3-5：某速度给定控制系统的动态结构图如题 3-5 图所示。在给定输入量为
r(t) = 10v 直流电压时要求期望的转速输出量为 c(t) = 1000r / min 。试问：稳态反馈
π ωn 1 − ξ
3
2
=
2 3 π = 0.73 ； 15
(∆ = 0.05) 或 ts = 4
ξωn
= 1.2
ξωn
= 1.6
(∆ = 0.02)
题 3-3： 题 3-3 图所示为一位置随动控制系统的动态结构图，输出量为电动机拖
动对象的旋转角度。将速度量反馈回输入端比较环节后构成负反馈内环，速度反 馈系数为τ。试计算：
胡尔维茨行列式 D = 0 5 0 1
10 0 6
0 − 10 10
0 0 0
D2 = 30 D3 = −300 D4 = −1800
0 0 5 0 − 10 D5 = 18000 胡尔维茨行列式非正定，系统不稳定． 题 3-7：已知三个控制系统的特征方程式如下，试应用劳斯稳定判据判定系统 的稳定性；对不稳定的系统要求指出不稳定的极点数；对存在不稳定虚根的要求
4 37
12 K − 40 100 K 70 K − 100
164 K − 1080 100 K 劳斯表： 37 11480 K 2 − 228900 K + 108000 1 s 164 K − 1080 0 s 100 K 若系统稳定则： 164 K − 1080 ⎧ >0 ⎪ 37 ⎪ 2 ⎪11480 K − 228900 K + 108000 >0 ⎨ 164 K − 1080 ⎪ 100 K > 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⇒ k > 19.46 题 3-10：已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为
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得到
和
解毕。
例3-19单位反馈控制系统的开环传递函数为
试求：（1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；
（2）当参考输入为 ， 和 时系统的稳态误差。
解根据误差系数公式，有
位置误差系数为
速度误差系数为
加速度误差系数为
对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。
劳斯行列式为
由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数ε来代替；第四行第一列系数为（2ε+2/ε，当ε趋于零时为正数；第五行第一列系数为（－4ε－4－5ε2）/（2ε+2），当ε趋于零时为 。由于第一列变号两次，故有两个根在右半s平面，所以系统是不稳定的。
解毕。
例3-18已知系统特征方程为
（t≥0）
试求系统的阻尼比ξ、自然振荡频率ωn和稳态误差ess。
解闭环特征方程为
由已知误差响应表达式，易知，输入必为单位阶跃函1(t)，且系统为过阻尼二阶系统。故
即，系统时间常数为
令
得
代入求出的时间常数，得
，
稳态误差为
实际上， 型系统在单位阶跃函数作用下，其稳态误差必为零。解毕。
证明：通过适当地调节Ki的值，该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。
解系统的闭环传递函数为
即
因此
当输入信号为r(t)=at时，系统的稳态误差为
要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即ess=0，必须满足
所以
解毕。
例3-22设单位负反馈系统开环传递函数为 。如果要求系统的位置稳态误差ess=0，单位阶跃响应的超调量Mp%=4.3%，试问Kp、Kg、T，各参数之间应保持什么关系？
因此，b的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。
例3-12设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。
解首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。系统模型为
然后由响应的 、 及相应公式，即可换算出 、 。
（s）
解开环传递函数
显然
解得:
由于要求
故应有ξ≥0.707。于是，各参数之间应有如下关系
本例为 型系统，位置稳态误差ess=0的要求自然满足。解毕。
例3-23设复合控制系统如图3-38所示。其中
， ，
试求 时，系统的稳态误差。
解闭环传递函数
等效单位反馈开环传递函数
表明系统为 型系统，且
当 时，稳态误差为
解毕。
参考输入为 ，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为
参考输入为 ，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为
参考输入为 ，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为
解毕。
例3-20单位反馈控制系统的开环传递函数为
输入信号为r（t）=A+ωt，A为常量，ω=0.5弧度/秒。试求系统的稳态误差。
解实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。此时，输入信号的一般形式可表示为
试求：（1）在 右半平面的根的个数；（2）虚根。
解如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轭虚根或（和）共轭复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。
可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也增大。
若1/s加在扰动作用点之前，则
， ，
不难算得
，
若1/s加在扰动作用点之后，则
， ，
容易求出
可见，在扰动作用点之前的前向通道中加入积分环节，才可消除阶跃扰动产生的稳态误差。
解毕。
例3-27设单位反馈系统的开环传递函数为
已知系统的误差响应为
满足指标要求。最后得所选参数为：
K=60T=0.02(s)
解毕。
例3-25一复合控制系统如图3-39所示。
图中：
K1、K2、T1、T2均为已知正值。当输入量r(t)=t2/2时，要求系统的稳态误差为零，试确定参数a和b。
解系统闭环传递函数为
故
误差为
代入 及 、 、 ,得
闭环特征方程为
易知，在题设条件下，不等式
系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。所以，系统的稳态误差可按下式计算：
对于本例，系统的稳态误差为
本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以
系统的稳态误差为
解毕。
例3-21控制系统的结构图如图3-37所示。假设输入信号为r(t)=at( 为任意常数)。
成立。由劳斯稳定判据，闭环系统稳定，且与待求参数 、 无关。此时，讨论稳态误差是有意义的。而
若
则有
系统的稳态误差为
因此可求出待定参数为
解毕。
例3-26控制系统结构如图3-40所示。误差E(s)在输入端定义。扰动输入是幅值为2的阶跃函数。
（1）试求K=40时，系统在扰动作用下的稳态输出和稳态误差。
（2）若K=20，其结果如何？
解由图得闭环传递函数
在题意要求下，应取
此时，闭环特征方程为：
令： ，解出，
故反馈通道传递函数为：
解毕。
例3-15系统特征方程为
试判断系统的稳定性。
解特征式各项系数均大于零，是保证系统稳定的必要条件。上述方程中s一次项的系数为零，故系统肯定不稳定。解毕。
例3-16已知系统特征方程式为
试用劳斯判据判断系统的稳定情况。
例3-24已知单位反馈系统的开环传递函数 。试选择参数 及 的值以满足下列指标：
（1）当r(t)=t时，系统的稳态误差ess≤0.02；
（2）当r(t)=1(t)时，系统的动态性能指标Mp%≤30%，ts≤0.3s(△=5%)
解
开环增益应取K≥50。现取K=60。因
故有
，
于是 取 %，计算得
此时
(S)
第三章
例3-1系统的结构图如图3-1所示。
已知传递函数 。今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间ts减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。试确定参数Kh和K0的数值。
解首先求出系统的传递函数φ（s），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。
一阶系统的过渡过程时间ts与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为
劳斯行列表为
由于 行中各项系数全为零，于是可利用 行中的系数构成辅助多项式，即
求辅助多项式对s的导数，得
原劳斯行列表中s3行各项，用上述方程式的系数，即8和24代替。此时，劳斯行列表变为
1 8 20
2 12 16
2 12 16
8 24
6 16
2.67
16
新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。
由公式得
换算求解得： 、
解毕。
例3-13设系统如图3-35所示。如果要求系统的超调量等于 ，峰值时间等于0.8s，试确定增益K1和速度反馈系数Kt。同时，确定在此K1和Kt数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。
解由图示得闭环特征方程为
即
，
由已知条件
解得
于是
解毕。
例3-14设控制系统如图3-36所示。试设计反馈通道传递函数H(s)，使系统阻尼比提高到希望的ξ1值，但保持增益K及自然频率ωn不变。
（3）在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节1/s，对结果有何影响？在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节1/s，结果又如何？
解在图中，令
， ，
则
代入 ，得
令 ，得扰动作用下的输出表达式
此时，误差表达式为
即
而扰动作用下的稳态输出为
代入N(s)、G1、G2和H的表达式，可得
，Байду номын сангаас
（1）当 时， ，
（2）当 时， ，
解劳斯表为
1 18
8 16
由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。
例3-17已知系统特征方程为
试判断系统稳定性。
解本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数ε来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。
即
比较系数得
解之得
、
解毕。
例3-10某系统在输入信号r(t)=(1+t)1(t)作用下，测得输出响应为：
（t≥0）
已知初始条件为零，试求系统的传递函数 。
解因为
故系统传递函数为
解毕。
例3-3设控制系统如图3-2所示。
试分析参数b的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。
解由图得闭环传递函数为
系统是一阶的。动态性能指标为