图论问题起源
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图论
Dijkstra（迪克斯特拉算法）
算法思想： 是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向 图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为 中心向外层扩展，直到扩展到终点为止，算法求最短路径的 步骤如下： G={V,E} 1. 初始时令 S={V0},T=V-S={其余顶点}，T中顶点对应的距 离值 若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值 若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∞ 2. 从T中选取一个与S中顶点有关联边且权值最小的顶点W， 加入到S中 3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点， 从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值 重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止。
解决图论的算法
Dijkstra（迪克斯特拉算法）——标号法，求一个顶 点（单源点）到其余各顶点的最短路径算法
Floyd（弗洛伊德算法） ——插点法，求任意一对 顶点（多源点）之间最短路径的方法
Prim(普里姆)算法——构造最小生成树的算法(与 点有关) Kruskal（克鲁斯卡尔）--构造最小生成树的算 法算法（只与边有关）
C (cij ) nn {0,1 } (i, j ) E, 1, cij (i, j ) E. 0,
也就是说，如果两顶点之间有边相连，则邻接矩阵 中对应的元素为1；否则为0。
n n
v v A= v v
1
0 1 2 3 1 4 1
v v vv
1
2 3
（1 ）
d (v) 2E
v V
（2） 任意一个图的奇顶点的个数是偶数。
奇/偶顶点：顶点的度数为奇数的顶点为奇顶点，度数为偶 数的顶点为偶顶点。 加权图：对图的边赋相应的权值（数值），权值可以代表 距离，费用，代价等一些实际的意义。 权值为 7
图论发展史
6
问题三：Ramsey 问题
几个事实：
1. 任意的6个人中，总有3个人互相认识或有3个人互不认 识。
2. 任意的9个人中，总有3个人互相认识或有4个人互不认 识。
3. 问题：
4.
对任意的自然数k和t，是否存在一个最小的正整
数r(k,t)，使得每个至少有r(k,t)个人的团体，总有k个
人互相认识或有t个人互不认识。
1
返回 结束
七桥问题
C
A
D
B
转化
Euler 1736年
包含两个要素：对象（陆 地）及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
C
A
D
B 图论中讨论的图
问题：是否能从四块陆地中 的任一块开始，通过每座桥 恰好一次再回到起点？
转化 是否能从任意一个顶点开 始，通过每条边恰好一次 再回到起点？
2
返回 结束
问题一：四色问题
9
部分资料从网络收集整 理而来，供大家参考，
感谢您的关注！
3
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学 学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的 问题。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒 两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理， 大家都认为四色猜想从此也就解决了。
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的 精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也 被人们否定了。后来，人们开始认识到，这个貌似容易的题 目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
4
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明
基本上是按照肯普的想法在进行。后来美国数学家
富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用
问题三：Ramsey 问题
几个事实：
1. 任意的6个人中，总有3个人互相认识或有3个人互不认 识。
2. 任意的9个人中，总有3个人互相认识或有4个人互不认 识。
3. 问题：
4.
对任意的自然数k和t，是否存在一个最小的正整
数r(k,t)，使得每个至少有r(k,t)个人的团体，总有k个
人互相认识或有t个人互不认识。
1
返回 结束
七桥问题
C
A
D
B
转化
Euler 1736年
包含两个要素：对象（陆 地）及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
C
A
D
B 图论中讨论的图
问题：是否能从四块陆地中 的任一块开始，通过每座桥 恰好一次再回到起点？
转化 是否能从任意一个顶点开 始，通过每条边恰好一次 再回到起点？
2
返回 结束
问题一：四色问题
9
部分资料从网络收集整 理而来，供大家参考，
感谢您的关注！
3
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学 学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的 问题。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒 两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理， 大家都认为四色猜想从此也就解决了。
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的 精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也 被人们否定了。后来，人们开始认识到，这个貌似容易的题 目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
4
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明
基本上是按照肯普的想法在进行。后来美国数学家
富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用
第1章图论简介
6.基本的网络优化问题
基本的网络优化问题有:最短路径问题、最小生成树问 题、最大流问题和最小费用问题.图论作为数学的一个 分支,已经有有效的算法来解决这些问题.当然这当中 的有些问题也可以建立线性规划的模型,但有时若变量 特别多,约束也特别多,用线性规划的方法求解效率不 高甚至不能在可忍受的时间内解决.而根据这些问题的 特点,采用网络分析的方法去求解可能会非常有效.例 如,在1978年,美国财政部的税务分析部门在对卡特尔 税制改革做评估的过程中,就有一个100,000个约束以 上,25,000,000个变量的问题,若用普通的线性规划求 解,预计要花7个月的时间.他们利用网络分析的方法, 将其分解成6个子问题,利用特殊的网络计算机程序,花 了大约7个小时问题就得到了解决.
其他一些常见关系:
LA={<x,y>∣x,y Ax≤y},此处AR. DB={<x,y>∣x,y Ax整除y},此处BZ*.
R= {<x,y>∣x,y Fxy},此处F是集合簇.
例1.8.设A={1,2,3,4},下面定义的R都是A上的关系,试用列举法 表示R.(1)R={<x,y>∣x是y的倍数};(2)R={<x,y>∣(x-y)2A}; 1.3.二元关系的表示方法:给出一个关系的方法有三种:集合表达 式,关系矩阵和关系图.例1.5就是用集合表达式. 1. 关 系 矩 阵 表 示 法 : 设给定集合 A={a1 ， a2 ， … ， an} ，集合 B={b1 ， b2 ， … ， bm} ， R 为从 A 到 B 的一个二元关系，构造一个 n×m矩阵。用集合A的元素标注矩阵的行，用集合B的元素标注 矩阵的列，对于a∈A和b∈B，若 <a ，b>∈R，则在行 a 和列 b 交 叉处标1，否则标0。这样得到的矩阵称为R的关系矩阵。
数模竞赛中的图论问题大专
实际应用Байду номын сангаас景
数模竞赛中的图论问题通常与实际应用紧密相关 ，要求选手具备将实际问题转化为数学模型的能 力，以及利用图论知识进行实际问题的优化和解 决的能力。
图论问题的发展趋势与展望
算法优化与数据结构创新
随着大规模数据的不断涌现，图论问题的解决需 要更加高效的算法和更加优化的数据结构。未来 研究将更加注重算法的时间和空间复杂度优化， 以及新型数据结构的开发和应用。
详细描述
最小生成树问题在数模竞赛中常以实际应用问题形式出现，如网 络设计、电路设计等。解决该问题通常采用Kruskal算法或Prim算 法，通过逐步添加边来构建最小生成树。
最短路径问题
总结词
最短路径问题是图论中的另一个基本问题，旨在找到连接两个顶点的最短路径。
详细描述
最短路径问题在数模竞赛中常见于诸如最佳路线规划、物流配送等问题。常用 的算法有Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，它们能够处理带权重的图，并找 到最短路径。
总结词
旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目标是在给定一系列城市和每对城市之间的距离的情况下， 找到一条旅行路线使得每个城市恰好经过一次并回到原点，且总距离最短。
详细描述
旅行商问题是数模竞赛中经常出现的图论问题之一。解决这类问题的方法包括暴力枚举、回溯算法、 遗传算法等。该问题在物流配送、路线规划等领域有广泛应用。
历史
图论起源于18世纪欧拉的研究， 后来在19-20世纪得到快速发展 ，成为组合数学的一个重要组成 部分。
图论的基本概念
01
02
03
04
05
节点（顶点）：图中的点 边：连接两个节点的线段 连通性：图中的节点或边 路径：一系列连续的边和
数模竞赛中的图论问题通常与实际应用紧密相关 ，要求选手具备将实际问题转化为数学模型的能 力，以及利用图论知识进行实际问题的优化和解 决的能力。
图论问题的发展趋势与展望
算法优化与数据结构创新
随着大规模数据的不断涌现，图论问题的解决需 要更加高效的算法和更加优化的数据结构。未来 研究将更加注重算法的时间和空间复杂度优化， 以及新型数据结构的开发和应用。
详细描述
最小生成树问题在数模竞赛中常以实际应用问题形式出现，如网 络设计、电路设计等。解决该问题通常采用Kruskal算法或Prim算 法，通过逐步添加边来构建最小生成树。
最短路径问题
总结词
最短路径问题是图论中的另一个基本问题，旨在找到连接两个顶点的最短路径。
详细描述
最短路径问题在数模竞赛中常见于诸如最佳路线规划、物流配送等问题。常用 的算法有Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，它们能够处理带权重的图，并找 到最短路径。
总结词
旅行商问题是一个经典的组合优化问题，目标是在给定一系列城市和每对城市之间的距离的情况下， 找到一条旅行路线使得每个城市恰好经过一次并回到原点，且总距离最短。
详细描述
旅行商问题是数模竞赛中经常出现的图论问题之一。解决这类问题的方法包括暴力枚举、回溯算法、 遗传算法等。该问题在物流配送、路线规划等领域有广泛应用。
历史
图论起源于18世纪欧拉的研究， 后来在19-20世纪得到快速发展 ，成为组合数学的一个重要组成 部分。
图论的基本概念
01
02
03
04
05
节点（顶点）：图中的点 边：连接两个节点的线段 连通性：图中的节点或边 路径：一系列连续的边和
图论的起源
莱昂哈德· 欧拉
如何才能在所有桥都恰巧只走一遍的前提下，回到原出发点?
桥所连接的地区 视为点 A A
C
C D B B
D
每一座桥视为一 条线
求从图中任一点出发，通过每条边一次，最后回到起点。
如果通奇数座桥的地方不止两个，那麽 满足要求的路线便不存在了。
如果只有两个地方通奇数座桥，则可从 其中一地出发可找到经过所有桥的路线。 若没有一个地方通奇数座桥，则从任何 一地出发，所求的isberg七桥问题(Euler问题)
柯尼斯堡七桥问题是图论中的著名问题。 这个问题是基于一个现实生活中的事例: 位于当时东普鲁士柯尼斯堡(今日俄罗斯加里 宁格勒)有一条河，河中心有两个小岛。小岛 与河的两岸有七条桥连接。如何才能在所有 桥都恰巧只走一遍的前提下，回到原出发点？
如何才能在所有桥都恰巧只走一遍的前提下，回到原出发点?
图论的起源
图论诞生和孕育于民间游戏。 创生：1736年 瑞士数学家欧拉——图论之父； 进展：1936年，匈牙利数学家寇尼希(Konig)发 表名著 《有限图和无限图理论》 1930年，波兰数学家库拉托父斯基 (Kulatowsky)证明了平面图可以画在平面上。 其后，图论在现代数学、计算机科学、工程 技术、优化管理等领域有大用而得以大力发 展
不少数学家都尝试去解析这个事例。而 这些解析，最后发展成为了数学中的图论。 莱昂哈德· 欧拉(Leonhard Euler)在1736 年圆满地解决了这一问题，证明这种方法并 不存在。他在圣彼得堡科学院发表了图论史 上第一篇重要文献。欧拉把实际的抽象问题 简化为平面上的点与线组合，每一座桥视为 一条线，桥所连接的地区视为点。这样若从 某点出发后最后再回到这点，则这一点的线 数必须是偶数。
图论—基本概念
2) 在无向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有几条 边，则这几条边称为平行边；
3) 两结点vi，vj间相互平行的边的条数称为边(vi，vj) 或<vi，vj>的重数；
4) 含有平行边的图称为多重图； 5) 非多重图称为线图； 6) 无自回路的线图称为简单图。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
G3＝<V3,E3>＝<{1,2,3,4,5},{<1,2>,(1,4),<4,3>,
<3,5>,<4,5>}>
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第9页
几个基本概念
1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的 还是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和 vj称为邻接点，否则称为不邻接的；
设V＝{v1, v2,…,vn}为图G的结点集，称 (deg(v1),deg(v2),…,deg(vn))为G的度数序列。
上图的度数序列为（3,3,5,1,0）。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第18页
例
1) （3,3,2,3），（5,2,3,1,4）能成为图的度数序列吗？ 为什么？
2) 已知图G中有10条边，4个度数为3的结点，其余结点 的度数均小于等于2，问G中至少有多少个结点？为什 么？
对任意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者
(u,v)∈V&V相对应。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第6页
图的分类(按边的方向)
1) 若边e与无序结点对(u，v)相对应，则称边e为无向边, 记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
3) 两结点vi，vj间相互平行的边的条数称为边(vi，vj) 或<vi，vj>的重数；
4) 含有平行边的图称为多重图； 5) 非多重图称为线图； 6) 无自回路的线图称为简单图。
2020年3月14日
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G3＝<V3,E3>＝<{1,2,3,4,5},{<1,2>,(1,4),<4,3>,
<3,5>,<4,5>}>
2020年3月14日
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第9页
几个基本概念
1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的 还是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和 vj称为邻接点，否则称为不邻接的；
设V＝{v1, v2,…,vn}为图G的结点集，称 (deg(v1),deg(v2),…,deg(vn))为G的度数序列。
上图的度数序列为（3,3,5,1,0）。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第18页
例
1) （3,3,2,3），（5,2,3,1,4）能成为图的度数序列吗？ 为什么？
2) 已知图G中有10条边，4个度数为3的结点，其余结点 的度数均小于等于2，问G中至少有多少个结点？为什 么？
对任意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者
(u,v)∈V&V相对应。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第6页
图的分类(按边的方向)
1) 若边e与无序结点对(u，v)相对应，则称边e为无向边, 记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
图的基本概念
为弧的始结点(Initial Vertex), 称为弧的终结点(Terminal Vertex), 统称为的端点
(Endpoint)。
5
无向图 & 有向图
• 【定义】在图G中,
①如果每条边都是有向边, 该图G称为有向图(Directed Graph)
②若每条边都是无向边, 该图G称为无向图(Undirected Graph)
(Edge)；
③称为关联函数, 是从E到V中的有序对或无序对的映射。
•
若边∈E与无序结点对(, )相联系, 则()=(, ), 这时边称为无向边, 有时简称为边；
•
若边∈E与有序结点对<, >相联系, 则()=<, >, 此时边称为有向边或弧(Arc), 称
③如果有些边是有向边, 另一些边是无向边, 图G称为混合图(Mixed Graph)
• 【定义】一个有向图中, 如果将每条有向边都改为无向边, 便得到该有向图的
底图(Underlying Undirected Graph)或基础图。
6
图的表示
• 一个图可以用几何图形表示，方法与二元关系的表示法相同。
多重图(Multiple Graph): 含有平行边的图；
•Leabharlann 线 图: 非多重图称为线图；•
简单图(Simple Graph): 不含平行边和自回环的图。
简单图是一
个非常重要
的概念
13
图的分类(续)
• 3.按G的边有序, 无序分为有向图, 无向图和混合图。
• 有向图(Directed Graph): 每条边都是有向边的图称为有向图
图的基本概念
图论的前世今生
• 1736年，欧拉（L.Eular）发表了第一篇关于图论的论文，解决了哥尼斯
图论2011
定义7.2.1 无向图G是一个二元组<V，E>
V
: vertex set 顶点集
常写作V(G)，也称点(point)，结点(node)，接点(junction) 非空有限集 它的元素，习惯上用数字或小写英文字母a,b,c,u,v,w,x,y,z等(或加 足标)表示
E : edge set 边集合
例
G'=<V',E'>=<{a,b,c,d,e,f},{<a,b>,<b,a>,<b,c >,<c,c>,<a,d>,<e,e>}>
简单图
只讨论V是有限集的情况
若#V(G)＝p，#E(G)＝q，则称G是一个(p.q)图
p称为图G的阶 (1,0)图——孤立点或平凡图
(p,0)图(p≥2)——空图或零图
uG
d (u) 2q
个数有什么特点？ 2. 是否存在奇数阶奇数 度正则图？
证明 图中顶点度之和是指图中与各个顶点相关联的边数 之和，每条边(包括自环线和平行线)都将恰好被计数两次， 所以定理成立。
推论1 在图中,次数为奇数的结点必为偶数个 推论2 不存在奇数阶奇数度正则图
思考题
p阶简单图中顶点的最大度数是多少？ 证明：在任何p(p≥2)阶简单图中，至少有两 个顶点具有相同的度 设G是一个有19条边的图，且图中顶点的度 至少是3，那么G的阶最大是多少？ 说明下面的序列中哪些不可能是图的度序 列，哪些不可能是简单图的度序列
结点数相等 边数相等 度数相同的结点数相等 注意：不是充分条件
G
G’
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图论问题起源
吴雪芬 刘姝
小问题
一笔画
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题
• 18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗 斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。将河中 的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于 是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每 座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题 的答案，但是谁也解决不了这个问题…………
• 这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图走法是不可能的。他的论 点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进 入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离 开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起 点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一 个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
答案
• 七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的 任务无法完成
• 欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学 家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合 适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。 这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解 决难题的关键。
• 1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》 的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来 的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。
一笔画： ⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以 把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 ⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一 笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。 ⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此 图需几笔画成。)
• 七桥问题和欧拉定理。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅 圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明 了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为 欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画 成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到 出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧 拉图。
吴雪芬 刘姝
小问题
一笔画
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题
• 18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗 斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。将河中 的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于 是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每 座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题 的答案，但是谁也解决不了这个问题…………
• 这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图走法是不可能的。他的论 点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进 入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离 开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起 点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一 个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
答案
• 七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的 任务无法完成
• 欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学 家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合 适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。 这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解 决难题的关键。
• 1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》 的论文报告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来 的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。
一笔画： ⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以 把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 ⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一 笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。 ⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此 图需几笔画成。)
• 七桥问题和欧拉定理。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅 圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明 了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为 欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画 成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到 出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧 拉图。