半角的正弦、余弦和正切
课件6：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
1．(1)已知|cos θ|＝35，且52π<θ<3π，则 sinθ2，cosθ2，tanθ2的值
分别为( B )
A．－2 5 5， 55，2
B．－2 5 5，－ 55，2
2 C.
5
5，－
55，2
D．－2 5 5，－ 55，－2
(2)若 cos α＝－45，α 是第三象限的角，则11＋－ttaannα2α2＝( A )
(2) 2＋2cos 8＋2 1－sin 8的化简结果是_－__2_si_n__4_．
(3)化简(tan
5°－tan
cos 70° 85°)·1＋sin 70°.
【解析】(1)cos12α＋tan 2α＝cos12α＋csoins 22αα＝
（scionsα2α＋－csoisn2αα）2＝csions
(3)选公式．涉及半角公式的正切值时，常用 tanα2＝
sin α 1＋cos
α＝1－sincoαs
α，其优点是计算时可避免因开方带
来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，
常先利用 sin2α2＝1－c2os α，cos2α2＝1＋c2os α计算．
(4)下结论．结合(2)求值．
跟踪训练
(2)正确．当 cos α＝－ 3＋1 时，上式成立，但一般情况
下不成立．
(3)错误．当 α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下
不成立．
(4)正确．若 α 是第一象限角，则α2是第一、三象限角，
此时 tanα2＝
1－cos 1＋cos
α成立． α
2．已知 cos α＝32，270°<α<360°，那么 cosα2的值为
正切的半角公式
1－cos α tan α2＝_±_____1_＋__c_o_s__α_____
半角公式及万能公式
这样“三角”与“代数”沟通起来，因此称为“万能公 这样“三角” 代数”沟通起来，因此称为“ 式”。 弦化切的两种方法： 齐次式”弦化切及万能公式. 弦化切的两种方法：“齐次式”弦化切及万能公式
1 π sin = 2 练习： = 练习： 2 π 4 2 4 1 + tan
tan 8 8
π
1 π =1 = tan π 2 4 2 1 tan 2
1 ∴ cos sin = 2 2 5 cos α + sin α = 3 2 2 5
∴ tan
α
α
α
α
3 α α = (cos sin ) 2 2 5 1 α cos 2 = 5 α 2 sin = 2 5 α 1 cos α 5 2 = 1 + = . α 4 2 sin
1 cosα 1 + cos α 2 + = 化简： tan + cot = 化简： = 2 csc α sin α sin α sin α 2 2 π sin( α ) π α cos α 2 = = tan( ) 4 2 1 + sin α 1 + cos( π α ) 2
α
α
α
二、例 1：已知 求 sin
tan 8 8
1 tan ( α ) π 4 = cos( 2α ) 2 2 π 1 + tan ( α ) 4
2
π
π
= sin 2α
1 + sin α + cos α 1 = , 求 cos α值. 例1：已知 1 + sin α cos α 2
1 + sin α + cos α (1 + cos α ) + sin α = 解： 1 + sin α cos α (1 cos α ) + sin α = 2 cos 2 sin
半角的正弦余弦正切公式
半角的正弦余弦正切公式正弦的半角公式是指，对于任意角x，有sin(x/2) = ±√((1 - cos x)/2)。
余弦的半角公式是指，对于任意角x，有cos(x/2) = ±√((1 + cos x)/2)。
正切的半角公式是指，对于任意角x，有tan(x/2) = ±√((1 - cos x)/(1 + cos x))。
这些半角公式在三角学中起到了重要的作用，可以将一个角的正弦、余弦或正切值表示为另一个角的正弦、余弦或正切值的函数。
这些公式可以用来简化计算，减少计算复杂度。
我们来证明正弦的半角公式：根据泰勒级数展开，我们知道sin x = x - x^3/3! + x^5/5! -x^7/7! + ...。
将x替换为(2y)，则有sin (2y) = (2y) - (2y)^3/3! + (2y)^5/5! - (2y)^7/7! + ...=2y-(8y^3/3!)+(32y^5/5!)-(128y^7/7!)+...再将y替换为(x/2)，我们有sin x = sin (2(x/2))=2(x/2)-(8((x/2)^3)/3!)+(32((x/2)^5)/5!)-(128((x/2)^7)/7!)+...根据幂函数的乘法法则和阶乘的定义，我们可以简化上述等式：sin x = 2(x/2) - (8(x^3/2^3)/3!) + (32(x^5/2^5)/5!) -(128(x^7/2^7)/7!) + ...=x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...然后我们考虑sin(x/2)的幂级数展开：sin (x/2) = (x/2) - ((x/2)^3/3!) + ((x/2)^5/5!) -((x/2)^7/7!) + ...我们可以将sin x的幂级数展开与sin (x/2)的幂级数展开进行比较：x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...=(x/2)-((x/2)^3/3!)+((x/2)^5/5!)-((x/2)^7/7!)+...通过对比可以看到，两个展开式的各项对应系数相等。
3.2.2半角的正弦、余弦和正切
3.2.2 课题:半角的正弦、余弦和正切(一)学习目标：1、掌握半角的正弦、余弦和正切公式；2、能正确运用公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明．3、通过本节学习，进一步培养提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的归纳以及探究意识． (二)教学重、难点：1.教学重点是半角的正弦、余弦和正切公式。
2．教学难点是半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取． 二、教学过程: （一）知识链接___________________2sin =α_____________________________________________________2cos ===α（二）问题导引 问题：1.能否用2α的正弦余弦表示?cos ,sin αα如何表示？ 2.能否用α2的正弦余弦表示?4cos ,sin4αα如何表示？ 你能得到什么结论？ (三)自主探究自主学习课本第145页例1上方的部分内容，并完成以下问题。
知识点梳理：（1）半角的正弦公式：=2sinα__________________________.（2）半角的余弦公式: =2cosα__________________________.（3）半角的正切公式：=2tanα。
思考与讨论:(1)半角公式适用的条件是什么? (2)半角公式的变形公式有哪些?(3)怎样确定半角公式中根号前的正负号?(四) 典例探讨例1求015tan ,15cos ,15sin 的值。
点拨：灵活运用公式求值的同时，要注意这些“亚特殊角”三角函数值的记忆。
例2 求证：ααααααsin cos 12tan ,cos 1sin 2tan-=+=点拨：首先要用心观察角的变换。
例三．求8cos π的值(五)变式拓展 1. 求8sin π的值。
2．函数()()0cos 2>=ωωx y 的最小正周期是 。
3．已知2sin ,325,51cos θπθπθ求<<= 的值。
课件5：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
点评 这是一个三角函数在测量方面的应用问题．在 解决过程中运用了初中几何解直角三角形的知识和方 程的思想，但三角式的化简起到了关键作用，特别是 切化弦，使得式子的分子、分母产生可以约分的项， 这种转化方法应当引起重视．
跟踪训练 2 如图，已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为π3的 扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记 ∠COP＝α，求当角 α 取何值时，矩形 ABCD 的面积最大？ 并求出这个最大面积．
θ ＝cosθ2＋
sin2θθ＝cos2θ2θ＋siθn22θ
sin2 cos2 sin2cos2
＝1 1 ＝si2nθ. 2sinθ
命题方向2 三角恒等变换在实际问题中的应用 例题 2 如图，在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的 仰角为 θ，沿 BE 方向前进 30 m 至点 C 处测得顶端 A 的 仰角为 2θ，再继续前进 10 3 m 至 D 点处测得顶端仰角 为 4θ.求 θ 的大小和建筑物 AE 的高．
4．若 sinα＝cos2α，α∈(π2，π)，则 tanα＝_－___33____.
【解析】∵sinα＝cos2α＝1－2sin2α，
∴2sin2α＋sinα－1＝0，∴sinα＝21或 sinα＝－1.
∵α∈(π2，π)，∴sinα＝12.
∴cosα＝－
23，tanα＝－
3 3.
5．已知 cosθ＝－35，且 180°<θ<270°，则 tanθ2＝________. 【解析】∵180°<θ<270°，cosθ＝－lt;360°，则 cosα2的值等于( )
A．
1＋cosα 2
B．
1－cosα 2
C．－
1＋cosα 2
课件10：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
素养提升
半角公式的变形较多，应用时要针对题目的条件选择适当的公式． 例如，待求式中同时含有 sin α，cos α，tanα2时，应选择公式 tanα2＝1＋sincoαs α＝1－sincoαs α；含有三角函数的平方形式时，一般选择降 幂公式；对根式的化简常常需要升幂去根号．
失误防范 运用半角公式求值时，要特别注意根据半角的范围去确定半角 三角函数值的正负号，若半角的范围不明确则求值时正负号都 要取．
α＝
－2sin
αα＝－2
2sin
2
2sin 2cos 2
α .
sin
2
因为 0＜α＜π，所以 0＜α2＜2π.所以 sin α2＞0.所以原式＝－2
α 2cos 2.
题型三 利用半角公式证明三角恒等式
例 3 求证： 1cαo－s2tαanα2＝14sin 2α. tan2
【证明】
法一：左边＝1＋cos sin α
θ 2
cos ＝
θ2sin2
θ2－cos2 θ
θ 2＝－cos
θ 2cos
θ
θ .
cos
2
cos
2
因为 0＜θ＜π，所以 0＜θ2＜π2，所以 cos 2θ＞0，
所以原式＝－cos θ.
方法归纳 三角函数式化简的思路和方法
(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于 三角公式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式， 注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归 一等方法．(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂 或升幂等．
跟踪训练
化简：cos32π－α－1ta－n cα2o·s（α1＋cos
第三章 3.2.2半角的正弦、余弦和正切
3.2.2
( A )
本 课 时 栏 目 开 关
3.2.2 练一练·当堂检测、目标达成落实处 4 3π α α α 3．已知 sin α＝－ ，π<α< ，求 sin ，cos ，tan . 5 2 2 2 2 3π π α 3π 解 ∵π<α< ，∴ < < . 2 2 2 4 4 3 又∵sin α＝－ ，∴cos α＝－ . 5 5 3 1－－5 1－cos α α 2 5 则 sin 2＝ ＝ ＝ 5 ， 2 2 3 1－ 1＋cos α 5 α 5 cos ＝－ ＝－ ＝－ ， 2 2 2 5 α sin 2 α tan ＝ ＝－2. 2 α cos 2 1－cos α α sin α (另解：tan 2＝ ＝ sin α ＝－2) 1＋cos α
①⑤ ；
α (2)若 α 为第二象限角，则 的终边落在区域 2
②⑥ ；
α (3)若 α 为第三象限角，则 的终边落在区域 ③⑦ ； 2 α (4)若 α 为第四象限角，则 的终边落在区域 ④⑧ . 2
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点三 如何用 tan α 表示 sin α，cos α，tan α 2
3.2.2
本 课 时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.2
本 课 时 栏 目 开 关
cos2α 方法二 左边＝ 1＋cos α 1－cos α － sin α sin α cos2α 1 1 ＝ ＝ sin αcos α＝ sin 2α＝右边． 2cos α 2 4 sin α
∴原式成立.
2α
α ∴tan ＝± 2
1－cos α . 1＋cos α
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.2半角的正弦、余弦和正切
4
2
4
) tan(
4
) 2 tan 2
提示：证明三角恒等式
(1) 直导法即从左
常用的方法
右或者从右 左.
.
( 2 ) 左右同一法即等式两边
( 3 )比较法即若证
同时进行证明
A B 可等价证明
A B 0.
说明6 ：
三角化简或证明一般遵循的原则是：
tan
2
. 的所有三角比都可以用
这组公式叫做“万能公
2
表示 .
式”.
运用公式前符号的选择
2
第一象限 第一、三象限 第二象限 第一、三象限 第三象限 第二、四象限
sin
2
cos
2
tan
2
＋、— ＋、— ＋、—
＋、— ＋、— — 、＋
＋ ＋ —
第一象限 第二、四象限
＋、—
— 、＋
—
例 1 .已知 cos
3 4
3 8
( 提示： 2 12 6
4
3 8
2
)
此题可采用半角公式求
值.
练习二
已知 tan 2 , 求 sin 2 、 cos 2 和 tan 2 的值 .
(提示:应用万能置换公式)
练习三
证明下列恒等式 (1) 2 cos (
2
. ) 1 sin ( 2 ) tan(
半角的正弦、余弦和正切
cos 2 2 cos 1 cos
2 2
1 cos 2 2 1 cos 2 2
《半角的正弦、余弦和正切》 导学案
《半角的正弦、余弦和正切》导学案一、学习目标1、理解半角公式的推导过程。
2、掌握半角的正弦、余弦和正切公式，并能熟练运用它们进行求值、化简和证明。
3、通过公式的推导和应用，培养逻辑推理和数学运算能力。
二、学习重难点1、重点（1）半角公式的推导和记忆。
（2）运用半角公式进行三角函数的求值、化简和证明。
2、难点（1）半角公式中正负号的选取。
（2）半角公式与其他三角函数公式的综合应用。
三、知识回顾1、回顾同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：＼（＼sin^2\alpha ＋＼cos^2\alpha ＝ 1\）（2）商数关系：＼（＼tan\alpha ＝＼frac{＼sin\alpha}｛＼cos\alpha}＼）2、回顾两角和与差的正弦、余弦和正切公式：（1）＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）（2）＼（＼sin(＼alpha ＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＼cos\alpha\sin\beta\）（3）＼（＼cos(＼alpha ＋＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＼sin\alpha\sin\beta\）（4）＼（＼cos(＼alpha ＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＋＼sin\alpha\sin\beta\）（5）＼（＼tan(＼alpha ＋＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＋＼tan\beta}｛1 ＼tan\alpha\tan\beta}＼）（6）＼（＼tan(＼alpha ＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＼tan\beta}｛1 ＋＼tan\alpha\tan\beta}＼）四、半角公式的推导1、由二倍角公式\（＼cos 2\alpha ＝ 1 2\sin^2\alpha\），可得：＼＼begin{align}＼sin^2\alpha&＝＼frac{1 ＼cos 2\alpha}｛2}＼＼＼sin\alpha&＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos 2\alpha}｛2}｝＼end{align}＼所以，半角的正弦公式为：＼（＼sin\frac{＼alpha}｛2} ＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos\alpha}｛2}｝＼）2、由二倍角公式\（＼cos 2\alpha ＝ 2\cos^2\alpha 1\），可得：＼＼begin{align}＼cos^2\alpha&＝＼frac{1 ＋＼cos 2\alpha}｛2}＼＼＼cos\alpha&＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＋＼cos 2\alpha}｛2}｝＼end{align}＼所以，半角的余弦公式为：＼（＼cos\frac{＼alpha}｛2} ＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＋＼cos\alpha}｛2}｝＼）3、半角的正切公式：＼＼begin{align}＼tan\frac{＼alpha}｛2}＆＝＼frac{＼sin\frac{＼alpha}｛2}｝｛＼cos\frac{＼alpha}｛2}｝＼＼＆＝＼frac{＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos\alpha}｛2}｝｝｛＼pm\sqrt{＼frac{1 ＋＼cos\alpha}｛2}｝｝＼＼＆＝＼pm\sqrt{＼frac{1 ＼cos\alpha}｛1 ＋＼cos\alpha}｝＼end{align}＼又因为\（＼tan\alpha ＝＼frac{＼sin\alpha}｛＼cos\alpha}＼），所以：＼＼begin{align}＼tan\frac{＼alpha}｛2}＆＝＼frac{1 ＼cos\alpha}｛＼sin\alpha}＼＼＆＝＼frac{＼sin\alpha}｛1 ＋＼cos\alpha}＼end{align}＼五、半角公式的符号确定1、当\（＼frac{＼alpha}｛2}＼）所在象限为第一、四象限时，＼（＼sin\frac{＼alpha}｛2}＼），＼（＼cos\frac{＼alpha}｛2}＼），＼（＼tan\frac{＼alpha}｛2}＼）均为正值。
半角的正弦、余弦和正切PPT课件
证明:
tan
2Leabharlann sincos
2 2
2
2 sin
2
cos
2 cos2
2
2
sin 1 cos
或
sin 1 cos
2 sin
cos
2
2
sin
2 2
讲评：
2 cos
2
cos
tan
2
（1）三角变换选择公式的依据是：使角统一； 名统一；结构统一。 α (2k 1) π 和α kπ，k Z (2)成立的条件分别是： （3）tan
变式1：
已知 求
3 , 5 sin , cos , tan 2 2 2 cos
是第三象限角, 值。
讲评:
(1).运用了分类讨论思想； (2). 解题关键是定号。
3 3 变式2：已知 cos 5 , ( , 2 ).
求 tan 4 值。
分析：
温故知新：
请大家回忆二倍角的正弦、余弦、 正切的公式 。
公式的推导：
(1)你能从中求出 sin , cos ,tan 吗? (2)我们发现 是2 是谁的半角呢?代入后会有什么结论 呢?
的半角,那么 2
思考讨论：
注意：
1.公式的“本质”是用角的余弦表示 2 余弦、正切。
的正弦、
1 sin cos 1 sin cos
y cos2 x 2 3 sin x cos x sin 2 x
P153 2.
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2 又由sin 2sin cos 2 tan cos 知 2 2 2 2 sin 与tan 同号，且1＋cos 0 2
sin tan 2 1 cos
1 cos 同理 tan 2 sin
例3. 求 cos 的值. 8
1 cos tan 2 1 cos
（α≠(2k+1)π)
上面三个公式，称作半角公式.
在半角公式中，根号前面的正负号，由角 2
所在的象限确定.
例1.求sin15°，cos15 ° ，tan15 °的值。 解：因为15 °是第一象限角，所以
3 1 1 cos 30 2 3 2 sin15 2 2 2
sin 2 sin 2 2cos 2 sin 证法一： tan 2 cos cos 2cos 1 cos 2 2 2
∴
sin sin 2sin 1 cos 2 2 2 同理 tan 2 cos cos 2sin sin 2 2 2
2 ( 6 2) 84 3 6 2 4 4 4
3 1 1 cos 30 2 3 2 cos15 2 2 2
( 6 2)2 8 4 3 6 2 4 4 4
1 cos30 tan15 2 3 1 cos30
sin 1 cos tan 例2 求证： 2 1 cos sin
1 cos 1 cos
tan
2
2
=右式
12 例5. sinα= ,sin(α+β)= 13
锐角，求 解：因为0<α<
又0<β< 2
2
的值. cos 2
4 ,且α，β均为 5
,
5 所以 cos 1 sin 13
2
所以0<α+β<π .
2
若0<α+β<
利用比例性质知
1 sin 2 cos 2 3 1 sin 2 cos 2
练习
2 sin( ) 1 cos sin 1 4 解法一：原式 tan( ) 4 2 sin( ) 2 sin( ) 4 4 1 cos( 2 ) 1 sin 2 1 2 cos 2 2 sin( 2 ) 2
例2.求下列函数的最大值和最小值: (1) y 3 sin x 4 cos x;
( 2) y a sin x b cos x(a , b R, a b 0)
2 2
例3 已知OPQ是半径为1,来自心角为 3 的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接 矩形.记∠COP= ,求当角 取何值时,矩形 ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.
2
4.求函数 y 3 cos2 x 2 sinx cos x 的单调递减区间.
例题讲解
2 2 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x 例1 求函数
的周期,最大值和最小值. 巩固练习
1 2 3 1 已知函数 y 2 sin x 2 sinx cos x 4 , 求它的单调增区间.
．
2cos sin 1 3 2 已知 sin 2 且0 2 ，求 的值。 5 2 2 sin( ) 4
2
1 cos sin 1 cos sin 1 tan 1 解法二：原式 cos sin 1 tan 2 2 sin( ) 4
D R C
S
P Q
A
M
T
B
由二倍角公式，可得
cos 1 2sin
即 2sin
2
2
2
2 cos
2
2
1 cos
2 2 2 cos 1 cos 2
1
1 cos 所以 sin 2 2
1 cos cos 2 2
把两式的两边分别相除，得
Q D C
O A
B P
C
巩固练习 D 矩形ABCD内接于直径为4 的半圆,试求矩形面积S最 M A 大值.
O BN
巩固练习 四边形ABCD是一个边长为100米的正方形 地皮,其中ATPS是一半径为90米的扇形小山, 其余部分都是平地,P是弧TS上一点,现有一 位开发商在平地上建造一个两边落在BC与 CD上的长方形停车场PQCR.求长方形停车 场PQCR面积的最大值与最小值.
所以
1 cos 7 65 cos 2 2 65
1 sin 2 cos 2 例6.已知tanα=3, 求 1 sin 2 cos 2
的值.
sin 解： 因为 tan
1 cos 2 1 cos sin sin 2 1 cos 2 所以 tan 1 cos 2 sin 2
则sin(α+β)=
于是α+β<α，这不可能. 所以
<2 α+β<π .
4 <sin α 5
3 所以 cos( ) 5
cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin 33 65
又
0 2 4
．
1 cos (1 cos )(1 cos ) sin 2 证法二： tan ( ) 2 1 cos (1 cos )(1 cos ) 1 cos sin | sin | | tan || | 2 1 cos 1 cos
解：因为 8
是第一象限角，所以
2 1 cos 1 2 2 4 2 cos 8 2 2 2
2sin sin 2 2 tan 例4. 求证： 2sin sin 2 2 2sin 2sin cos 证明：左式= 2sin 2sin cos
3.2.1半角的正弦、余弦和正切
巩固练习 1.设函数y=acosx+b(a,b是常数)的最大值 为1,最小值为-7,则acosx+bsinx的最小值 为____________. 2 2.函数 f ( x ) 3 sinx cos x 4 cos x 的最 大值是_______. 3.已知函数 y 2 sin 2 x ,求它的周期及最 小值.