从一道练习题得到的启发

从一道练习题得到的启发
作者：蔡茂
来源：《世界家苑》2018年第02期
圆锥曲线是高中数学很重要的一个学习内容，其基本思想是用代数的方式解决几何问题。

在直角坐标系中，圆锥曲线所对应的方程均是二元二次方程，计算量比较大，给学生带来一个学习上很大的难点。

特别是有一类题型是直线和圆锥曲线相交与弦长有关的问题，常用的弦长计算公式│AB│=│x1-x2│=（其中k为直线的斜率，（x1，y1）（x2，y2）为A、B两点的坐标）始终避不开需要联立圆锥曲线和直线方程，去解一个二元方程组，或直接解出根或用判别式、韦达定理寻求两根和与两根积的关系，这都对学生的运算能力提出很高的要求，学生从心底很排斥，这就导致这类题目失分很大。

在复习中我们碰到了一个这样的练习题，是过焦点的直线和抛物线相交的一个问题，我发现如果换一个思考问题的角度可以有效的避开联立方程组的问题提高解题效率。

题目（改编自高三第二轮复习资料——特色专题训练小题9之选择题12）：过抛物线
y2=4x焦点F的一条直线交抛物线于A、B两点，正三角形ABC的顶点C在直线x=-1上，则△ABC的边长是
解法1：利用F的坐标设出直线AB的方程：x=my+1，联立直线和抛物线方程得出
│AB│=4（m2+1）利用正三角形的性质表示出点C的坐标（-1，2m3+4m），再用点到线的距离公式求出AB边上的高，建立关于m的等式求出m2=2，进而求出AB=12解决问题。

解法2：换一个角度思考直线与抛物线的位置关系，用直线与 x轴的夹角θ来表达直线的倾斜程度，如图所示。

作AM⊥X轴于M，作AN⊥直线x=-1于N，直线x=-1与x轴交于点P，则∣AF∣cosθ=│FM│ =│MP│-│FP│=│AN│-│FP│=│AF│-│FP│=│AF│-2，∴│AF│=
同理│BF│=，从而│AB│=│AF│+│BF│= ，因此只需要求出θ即可。

注意到△ABC为正三角形，有丰富的边角关系。

设D为AB的中点，作DE⊥直线x=-1于E，易得∠DCE=θ，│DE│=│AB │，│DC│=│AB│，∴sinθ==从而∠DCE=θ，│AB│=12。

此解法与解法1相比简洁明快，运算量明显减少，准确率可以得到很大的提高。

解题回顾：当直线经过了抛物线的焦点与抛物线相交时，会产生两条焦半径，一条焦点弦。

借助抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，但换一种表示线段的方法用三角形的相关知识解决可以达到另一种效果。

为此我联想对一般的抛物线是不是都有类似的结论，椭圆和双曲线是否也有这样的结论？
推广尝试1：设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线交于A、B两点，且│AF│≥│BF│，设l与x轴的夹角为θ，则│AF│=，│BF│=，│AB│=
证明：如图，设准线与x轴相交于点M，做AC⊥x轴于点C，AD⊥准线于D
∴︱CF︱=︱AF︱cosθ
︱CF︱=︱CM︱-︱FM︱
=︱AD︱-︱FM︱=︱AF︱-︱FM︱
∴︱AF︱cosθ=︱AF︱-︱FM︱
∴︱AF︱=
同理可得︱BF︱=
∴︱AB︱=
说明：①、注意到p与θ均与位置无关是形状量，所以以上焦半径和弦长公式适用于所有抛物线，跟焦点具体在什么位置无关，但必须要求│AF│≥│BF│。

②、p为焦点到准线的距离，θ为直线与对称轴的夹角，θ∈
③、时，︱AB︱=2p，此时AB为抛物线的通径。

推广尝试2：设椭圆的焦点为F，直线l过焦点F与椭圆交于A、B两点，且
│AF│≥│BF│，若l与x轴的夹角为θ，则│AF│=，│BF│=，│AB│=
证明：不妨设焦点F为左焦点，找出椭圆的左准线（若F为右焦点，则找其右准线，结论不变）作AC垂直于x轴于点C，作AD垂直于左准线于点D，左准线交x轴于点M
∴=
∴同理│BF│=
∴│AB│=
说明：①、注意到a、b与θ均与位置无关是形状量，所以以上焦半径和弦长公式适用于所有椭圆，跟焦点具体在什么位置无关，但必须要求│AF│≥│BF│。

②、a为椭圆长半轴长，b为椭圆短半轴长，θ为直线与椭圆焦点所在对称轴的夹角，θ∈
③、当时，，，│AB│=，当时，︱AB︱=，此时AB为椭圆的通径。

龙源期刊网 ④、推导此结论要用椭圆的第二定义。

（作者单位：重庆市长寿川维中学）
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