第一章及大数定律中心极限定理习题
考研数学一-概率论与数理统计大数定律和中心极限定理(一).doc
考研数学一-概率论与数理统计大数定律和中心极限定理(一)(总分：48.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：9.00)1.假设随机变量序列X1，…，X n…独立同分布且EX n=0(A) 0． 1.00）A.B.C.D.2.设X1，…，X n…是相互独立的随机变量序列，X n服从参数为n的指数分布(n=1，2，…)，则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是(A) X1，X2/2，…，X n/n，…． (B) X1，X2，…，X n，…．(C) X1，2X2，…，nX n，…． (D) X1，22X2，…，n2X n，…．（分数：1.00）A.B.C.D.3.假设X n，n≥1n充分大时，可以用正态分布作为S n的近似分布，如果(A) X n，n≥1相互独立、同分布．(B) X n，n≥I(C) X n，n≥1(D) X n，n≥1 1.00）A.B.C.D.4.设X n，n≥1为相互独立的随机变量序列且都服从参数为λ的指数分布，则1.00）A.B.C.5.设随机变量X1，…，X n-林德伯格中心极限定理，当n充分大时，S n近似服从正态分布，只要X1，…，X n(A) PX i=m=p m q1-m，m=0，1，…(1≤i≤n)．≤i≤n)．≤i≤n) 1.00）A.B.C.D.6.假设X1，…，X n，…为独立同分布随机变量序列，且EX n=0，DX n=σ2(A) 0． 1.00）A.B.C.D.7.下列命题正确的是(A) 由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律．(B) 由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律．(C) 由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律．(D) 由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律．（分数：1.00）A.B.C.D.8.设随机变量X1，X2，…，X n，…独立同分布，EX i=μ(i=1，2，…)，则根据切比雪夫大数定律，X1，X2，…，X n，…依概率收敛于μ，只要X1，X2，…，X n，…(A) 共同的方差存在． (B) 服从指数分布．(C) 服从离散型分布． (D) 服从连续型分布．（分数：1.00）A.B.C.D.9.假设天平无系统误差．将一质量为10克的物品重复进行称量，则可以断定“当称量次数充分大时，称量结果的算术平均值以接近于1的概率近似等于10克”，其理论根据是(A) 切比雪夫大数定律． (B) 辛钦大数定律．(C) 伯努利大数定律． (D) 中心极限定理．（分数：1.00）A.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：4.00)10.设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为0.05．现在对100个这样的元件进行超负荷试验，以X 表示不能承受试验而烧毁的元件数，则根据中心极限定理P5≤X≤10≈______．（分数：1.00）填空项1:__________________11.将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n 1.00）填空项1:__________________12.设随机变量序列X1，…，X n，…相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布， 1.00）填空项1:__________________13.设X1，X2，…，X100是独立同服从参数为4则数：1.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：7，分数：35.00)14.设某种元件使用寿命(单位：小时)服从参数为λ的指数分布，其平均使用寿命为40小时，在使用中，当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去，已知每个元件进价为a元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有95%的把握保证一年够用．(假定一年按2000个工作小时计算，Ф(1.64)=0.95．)（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 15.假设每人每次打电话通话时间X(单位：分)服从参数为l的指数分布，试求800人次通话中至少有3次超过6分钟的概率α，并利用泊松定理与中心极限定理分别求出α的近似值(e-2=0.1353，e-6=0.00248，Ф(0.707)=0.7611，Ф(1.41)=0.9207)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________16.假设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为λ与μ 5.00）__________________________________________________________________________________________17.编号为1，2，3的三个球随意放入编号为1，2，3的三个盒子中，每盒仅放一个球，令X i数：5.00）__________________________________________________________________________________________18.已知随机变量X，Y的概率分布分别为 5.00）__________________________________________________________________________________________19.已知随机变量X与Y0-1分布，即5.00）__________________________________________________________________________________________20.下列表格给出二维随机变量(X，Y)的联合分布、边缘分布的部分值，并已知试将其余数值填入空白处．5.00）__________________________________________________________________________________________。
大数定律和中心极限定理习题和例题教案
i
上的均匀分布，且对每个顾客是相互独立的，试问当n 时，n次服务时
间的算术平均值
1 n
n i 1
X i以概率1收敛于何值？
解：依题意，显然有，{X n}是一个独立同分布的随机变量序列，只要存在
有限的公共数学期望，则{X n}的算术平均值依概率收敛于其公共数学期
望，由于Xi服从[5,53]上的均匀分布，所以E[ Xi ] (53 5) / 2 29,i 1, 2, , n
由此得：
P{Y
85}
85 0.5 90
1
9
0.966.
二、给定 n 和概率，求 x
补充例4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证供电充足?
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
解：用 Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
Xn 服从 b(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。根据题意
P Xn / n p 0.05 2 0.05 n / p(1 p) 1 0.90
从中解得 0.05 n / p(1 p) 1.645
又由 p(1 p) 0.25 可解得 n 270.6 n = 271
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42.
设供电量为x, 供电充足即为15Y≤x，则从
P{15Y x}
中解得 x 2252.
x
/
15
0.5 42
140
0.95
三、给定 x 和概率，求 n
补充例5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节
中心极限定理和大数定律
中⼼极限定理和⼤数定律⽬录依分布收敛定义若有⼀列分布函数 {F n} 和分布函数F，在F的每⼀个连续点，都有F n→F，则称F n弱收敛于F，记为F nω⟶F .定义若⼀列随机变量ξn的分布函数弱收敛于ξ的分布函数，则称ξn依分布收敛于ξ，记为ξnd⟶ξ .海莱第⼀定理若有⼀列分布函数 {F n} ，则存在单调不减右连续的函数F, 0≤F(x)≤1,x∈R 和⼦列 {F nk } ，使得对F的每⼀个连续点，都有F nk→F .海莱第⼆定理设有分布函数F，⼀列分布函数 {F n} ，F nω⟶F，若g(x) 在 R 上有界连续，则∫+∞−∞g(x)dF n(x)→∫+∞−∞g(x)dF(x)勒维连续型定理设有分布函数F，⼀列分布函数 {F n} ，若F nω⟶F，则相应的特征函数列 {fn(t)} 关于t在任何有限区间⼀致收敛于F的特征函数f(t) .逆极限定理设f n(t) 是分布函数F n(x) 的特征函数，如果对每个t,f n(t)→f(t) ，且f(t) 在t=0 连续，则f(t) ⼀定是某个分布函数F的特征函数，且F nω⟶F .例 4.1 ⽤特征函数法证明⼆项分布的泊松逼近定理.Proof.设ξn服从⼆项分布B(n,p) ，且lim，它的特征函数为f_n(t) = (p_ne^{it}+q_n),\ q_n = 1-p_n，则有\lim_{n\to\infty}f_n(t) = \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{np_n(e^{it}-1)}{n}\right)^n = e^{\lambda(e^{it}-1)}恰为泊松分布的特征函数，由逆极限定理即证.推论若有⼀列随机变量\xi_n和\xi，则下述等价\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi对任意有界连续函数，有Eg(\xi_n)\to Eg(\xi)对任意实数t有f_n(t)\to f(t)推论关于密度函数或分布列判断依分布收敛若对任意x,\ p_n(x)\to p(x)，则\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi若对任意j,\ p_n(x_j)\to p(x_j)，\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi性质若g(x)在\mathbb{R}上连续，则若\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi，有g(\xi_n)\stackrel{d}\longrightarrow g(\xi)若有常数列\{a_n\},\ \{b_n\}，有分布函数F，⼀列分布函数\{F_n\}，若a_n\to a,\ b_n\to b,\ F_n\to F，则$F_n(a_nx+b_n)\to F(ax+b)若\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi，则a_n\xi_n + b_n\stackrel{d}\longrightarrow a\xi +b中⼼极限定理德莫佛-拉普拉斯⽤S_n表⽰n重伯努利实验中成功的次数，设\Phi(x)为标准正态分布的分布函数，则\lim_{n\to\infty}P\left(\dfrac{S_n-np}{\sqrt{npq}}\le x\right) = \Phi(x)可以看出⼆项分布逼近正态分布，其中P(S_n=k) = b(k;n,p)也就是说，n次独⽴实验中成功\alpha<k\le\beta次的概率为P(\alpha<S_n\le\beta) = P\left(\dfrac{\alpha-np}{\sqrt{npq}}<\dfrac{S_n-np}{\sqrt{npq}}\le \dfrac{\beta-np}{\sqrt{npq}}\right) \approx \Phi\left(\dfrac{\beta-np} {\sqrt{npq}}\right) - \Phi\left(\dfrac{\alpha-np}{\sqrt{npq}}\right)需要注意这⾥是n个⼆项分布的累积，每个分布只有1次实验，类似于对分布的拆分：S_n本⾝是⼆项分布，但是这⾥将n次实验拆成了n个随机变量的累计.定义设有⼀列随机变量\xi_n，若有常数B_n>0,\ A_n使得\dfrac{1}{B_n}\sum_{k=1}^n\xi_k - A_n\stackrel{d}\longrightarrow N(0,1)则称\xi_n服从中⼼极限定理.林德贝格-勒维设\{\xi_n\}独⽴同分布，记S_n = \sum_{k=1}^n\xi_k,\ E\xi_1 = a,\ Var\xi_1 = \sigma^2，则中⼼极限定理成⽴，即\dfrac{S_n-na}{\sqrt{n}\sigma} \stackrel{d}\longrightarrow N(0,1)从⽽我们可以类似于上进⾏估计；特别的，当S_n是⼆项分布，有E\xi_1 = a,\ Var\xi_1 = pq .李雅普诺夫定理若\{\xi_n\}独⽴，存在常数\delta>0，使得\dfrac{1}{(\sum_{k=1}^nVar\xi_k)^{1+\delta/2}}\sum_{k=1}^nE|\xi_k-E\xi_k|^{2+\delta} \to 0则中⼼极限定理成⽴.依概率收敛由于两个不同的随机变量可以有相同的分布函数，故分布函数的收敛性不能反映随机变量序列取值之间的接近程度，因此需要引⼊另外的收敛性.定义设\xi,\ \xi_n,\ n\ge 0是定义在同⼀概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量，若有\forall \epsilon > 0,\quad \lim_{n\to\infty}P(|\xi_n-\xi|\ge\epsilon) = 0则称\xi_n依概率收敛于\xi，记作\xi_n\stackrel{P}\longrightarrow \xi .设\xi,\ \xi_n,\ n\ge 0是定义在同⼀概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量若\xi_n\stackrel{P}\longrightarrow \xi，则\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi若\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow c，其中c为常数，则\xi_n\stackrel{P}\longrightarrow c注意随机变量为c，则有分布列P(\xi=c) = 1，从⽽有分布函数F(x) = \left\{ \begin{aligned} &0,\quad x<c\\ &1,\quad x\ge c \end{aligned} \right.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js马尔科夫不等式设\xi是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量，f(x)是[0,\infty)上的⾮负单调不减函数，则有\forall x>0,\quad P(|\xi|>x)f(x) \le Ef(|\xi|)这⾥改写了不等式，注意到左边是⼀个类似于期望的格式，这样⽐较直观，事实上P(|\xi|>x)f(x) = \int_{|y|>x}f(x)dF(y) \le \int_{|y|>x}f(y)dF(y) \le \int_{\Omega}f(y)dF(y) = Ef(|\xi|)\xi_n\stackrel{P}\longrightarrow \xi当且仅当E\dfrac{|\xi_n-\xi|^2}{1+|\xi_n-\xi|^2} \to 0Proof.注意到f(x) = x^2/(1+x^2)⾮负单调不减，由上即证.弱⼤数定律伯努利⼤数定律设\{\xi_n\}独⽴同分布，P(\xi_n=1) = p,\ P(\xi_n=0) = 1-p,\ 0<p<1，记S_n = \sum_{i=1}^n\xi_i，则\dfrac{S_n}{n} \stackrel{P}\longrightarrow p设\{\xi_n\}是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量序列，若有常数列\{a_n\},\ \{b_n\}使得\dfrac{1}{a_n}\sum_{k=1}^n\xi_k - b_n \stackrel{P}\longrightarrow 0则称\{\xi_n\}服从弱⼤数定律.使⽤伯努利⼤数定律估计\xi_i\sim B(1,p),\quad S_n = \sum_{i=1}^n\xi_i则有估计P(S_n\le x) = P\left(\dfrac{S_n-np}{\sqrt{npq}}\le \dfrac{x-np}{\sqrt{npq}}\right) \approx \Phi\left(\dfrac{x-np}{\sqrt{npq}}\right)其中q=1-p .切⽐雪夫⼤数定律设\{\xi_n\}是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的独⽴随机变量序列，E\xi_n = \mu_n,\ Var\xi_n = \sigma_n^2，若有\sum_{k=1}^n\sigma_k^2/n^2\to 0，则称\{\xi_n\}服从弱⼤数定律，即\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k - \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\mu_k \stackrel{P}\longrightarrow 0Proof.考虑\sum_{k=1}^n\xi_k/n，则E\left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k\right) = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\mu_k,\quad Var\left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k\right) = \dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n\sigma_k^2由切⽐雪夫不等式P\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n(\xi_k -\mu_k)\right|\ge\epsilon\right) \le \dfrac{1}{\epsilon^2}Var\left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k\right) = \dfrac{1} {\epsilon^2n^2}\sum_{k=1}^n\sigma_k^2 \to 0即证.马尔科夫⼤数定律设\{\xi_n\}是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的独⽴随机变量序列，E\xi_n = \mu_n，若有Var(\sum_{k=1}^n\xi_k^2)/n^2\to 0，则称\{\xi_n\}服从弱⼤数定律，即\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k - \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\mu_k \stackrel{P}\longrightarrow 0证明是类似的，可以省去最后⼀步.⾟钦⼤数定律设\{\xi_n\}是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的独⽴同分布随机变量序列，E|\xi_1|<\infty，记\mu=E\xi_1,\S_n=\sum_{k=1}^n\xi_k，则\{\xi_n\}服从弱⼤数定律，即\dfrac{S_n}{n} \stackrel{P}\longrightarrow \mu平均收敛设\xi,\ \xi_n,\ n\ge 1是定义在同⼀概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量，E|\xi|^r<\infty,\ E|\xi_n|^r<\infty,\ n\ge1,\ 0<r<\infty，若E|\xi_n-\xi|^r \to 0则称\{\xi_n\}r阶平均收敛于\xi，记作\xi_n\stackrel{L_r}\longrightarrow\xi .强⼤数定律定义设\xi,\ \xi_n,\ n\ge 1是定义在同⼀概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量，若存在\Omega_0\in\mathcal{F}使得P(\Omega_0) = 1，且对任意\omega\in\Omega_0有\xi_n(\omega)\to\xi(\omega)，则称\xi_n以概率1收敛或⼏乎必然收敛于\xi，记作\xi_n\to\xi\ \mathrm{a.s.}定义若有\Omega_0\in\mathcal{F}使得P(\Omega_0) = 1，且对任意\omega\in\Omega_0，\{\xi_n(\omega)\}是柯西基本列，即\xi_n(\omega)-\xi_m(\omega)\to 0，则称\xi_n以概率1是柯西基本列。
考研数学一(大数定律和中心极限定理)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（大数定律和中心极限定理）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X1，X2，...，Xn相互独立，Sn=X1+X2+...+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从正态分布，只要X1，X2， (X)A．有相同期望和方差．B．服从同一离散型分布．C．服从同一均匀分布．D．服从同一连续型分布．正确答案：C解析：因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X1，X2，…，Xn独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在．显然4个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在．选项(A)不成立，因为X1，X2，…，Xn有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维-林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立．知识模块：大数定律和中心极限定理2．假设随机变量X1，X2，…相互独立且服从同参数λ的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是A．X1，X2，…，Xn，…B．X1+1，X2+2，…，Xn+n，…C．X1，2X2，…，nXn，…D．X1，Xn，…正确答案：C解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的．显然无论是X1，…，Xn，…，还是X1+1，X2+2，…，Xn+n，…，X1，2X2，…，nXn，…以及X1，Xn，…都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在．由于EXn=λ，DXn=λ，E(Xn+n)=λ+n，D(Xn+n)=λ，E(nXn)=nλ，D(nXn)=n2λ，E，．因此四个备选答案都满足第二个条件；第三个条件是方差DX1，DXn，…有公共上界，即DXn＜c，c 是与n无关的常数．对于(A)：DXn=λ＜λ+1；对于(B)：D(Xn+n)=DXn=λ＜λ+1；对于(C)：D(nXn)=n2DXn=n2λ没有公共上界；对于(D)：Dλ＜λ+1．综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理3．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n →∞时Xi依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}A．有相同的数学期望．B．服从同一离散型分布．C．服从同一泊松分布．D．服从同一连续型分布．正确答案：C解析：辛钦大数定律要求：{Xn，n≥1；独立同分布且数学期望存在．选项(A)缺少同分布条件，选项(B)、(D)虽然服从同一分布但不能保证期望存在，因此选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理4．设Xn表示将一枚匀称的硬币随意投掷n次其“正面”出现的次数，则A．B．C．D．正确答案：C解析：于Xn～B(n，，因此根据“二项分布以正态分布为极限分布”定理，有故选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理5．设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{｜X—EX｜≥3}≤，则一定有A．DX=2．B．P{｜X—EX｜＜3}＜C．DX≠2．D．P{｜X—EX｜＜3}≥正确答案：D解析：因事件{｜X—EX｜＜3}是事件{｜X—EX｜≥3}的对立事件，且题设P{｜X—EX｜≥3}≤，因此一定有P{｜X—EX｜＜3}≥，即选项(D)正确．进一步分析，满足不等式P{｜X—EX｜≥3}≤的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此结论(A)与(C)都不能选．比如：X服从参数为p的0-1分布，DX=pq＜1，显然DX≠2，但是P{｜X—EX｜≥3}=P{．因此(A)不成立．若X 服从参数n=8，p=0．5的二项分布，则有EX=4，DX=2．但是P{｜X—EX｜≥3} =P{｜X一4｜≥3} =P{X=0}+P{X=1}+P{X=7}+P{X=8}=因此(B)也不成立．知识模块：大数定律和中心极限定理6．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n→∞时Xi依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}A．有相同的期望．B．有相同的方差．C．有相同的分布．D．服从同参数P的0-1分布．正确答案：D解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立的条件之外，还要求X1，X2，…，Xn，…同分布与期望存在，只有选项(D)同时满足后面的两个条件，应选(D)．知识模块：大数定律和中心极限定理7．设随机变量X1，…，Xn，…相互独立，记Yn=X2n一X2n－1(n≥1)，根据大数定律，当n→∞时依概率收敛到零，只要{Xn，n≥1}A．数学期望存在．B．有相同的数学期望与方差．C．服从同一离散型分布．D．服从同一连续型分布．正确答案：B解析：由于Xn相互独立，所以Yn相互独立．选项(A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B)．事实上，若EXn=μ，DXn=σ2存在，则根据切比雪夫大数定律：对任意δ＞0有即依概率收敛到零．知识模块：大数定律和中心极限定理8．设X1，X2，…，Xn，…相互独立且都服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，则当n→∞时以Ф(x)为极限的是A．B．C．D．正确答案：C解析：由于X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布，其期望和方差都存在，且E=nλ．D以Ф(x)为极限，故应选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理9．设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且DXi=1，i=1，…，n，则对任意ε＞0．根据切比雪夫不等式直接可得A．B．C．D．正确答案：C解析：由题意知EXi=0，i=1，…，n．记．根据切比雪夫不等式，有故选(C)．知识模块：大数定律和中心极限定理填空题10．将一颗骰子连续重复掷4次，以X表示4次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P{10＜X＜18}≥_________．正确答案：解析：以Xk(k=1，2，3，4)表示第k次掷出的点数，则Xk独立同分布：P{Xk=i}=(i=1，2，…，6)．所以又由于X=X1+X2+X3+X4，而Xk(k=1，2，3，4)相互独立，所以因此，根据切比雪夫不等式，有P{10＜X＜18}=P{一4＜X一14＜4}=P{｜X一14｜＜4}=P{｜X—EX｜＜4}≥1一知识模块：大数定律和中心极限定理11．设随机变量X1，…，Xn相互独立同分布，EXi=μ，DXi=8(i=1，2，…，n)，则概率P{μ一4＜＜p+4}≥__________，其中正确答案：解析：由于X1，…，Xn相互独立同分布，因此有E．应用切比雪夫不等式，有即P{μ一4＜知识模块：大数定律和中心极限定理12．已知随机变量X与Y的相关系数ρ=，且EX=EY，DX=DY，则根据切比雪夫不等式有估计式P{｜X—Y｜≥≤_________．正确答案：解析：由于E(X—Y)=EX—EY=0，D(X—Y)=DX+DY一2Cov(X，Y)=DY+DY 一2.ρ所以知识模块：大数定律和中心极限定理13．将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于__________．正确答案：7／2解析：设X1，X2，…，Xn是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望等于21／6=7／2．因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7／2．知识模块：大数定律和中心极限定理14．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且都服从正态分布N(μ，σ2)，记Yn=X2n－X2n－1，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于_________．正确答案：2σ2解析：由于{Xn，n≥1}相互独立，故Yn=X2n一X2n－1(n≥1)相互独立并且都服从N(0，2σ2)，所以{，n≥1}独立同分布且=DYn+(EYn)2=2σ2，根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于2σ2．知识模块：大数定律和中心极限定理15．设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，则Xi≤1)=__________(结果用标准正态分布函数Ф(x)表示)．正确答案：解析：由于Xn相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，所以EXn=0，DXn=，根据独立同分布中心极限定理，对任意x∈R有知识模块：大数定律和中心极限定理16．设随机试验成功的概率p=0．20，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=_________．正确答案：0．84解析：以X表示“在100次独立重复试验中成功的次数”，则X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=100，p=0．20，且由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量近似服从标准正态分布N(0，1)．因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率≈Ф(3)一Ф(一1)=Ф(3)一[1一Ф(1)]=0．9987一(1一0．8413)=0．84，其中Ф(u)是标准正态分布函数．知识模块：大数定律和中心极限定理17．设随机变量X与Y相互独立，且X～B(5，0．8)，Y～N(1，1)，则P{0＜X+Y＜10}≥__________．正确答案：0．928解析：由于EX=4，DX=0．8，EY=1，DY=1，所以E(X+Y)=EX+EY=5，D(X+Y)=DX+DY=1．8根据切比雪夫不等式．P{0＜X+Y＜10}=P{｜X+Y一5｜＜5}≥1一即P{0＜X+Y＜10}≥0．928．知识模块：大数定律和中心极限定理18．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，EXi=μi，DXi=2，i=1，2，…，则当n→∞时，(Xi一μi)依概率收敛于__________．正确答案：0解析：由于X1，X2，…相互独立，其期望、方差都存在，且对所有i=1，2，…，DYi=2＜l(l＞2)，因此根据切比雪夫大数定律，当n→∞时(Xi一μi)依概率收敛于0．知识模块：大数定律和中心极限定理19．随机从数集{1，2，3，4，5}中有返回的取出n个数X1，X2，…，Xn，则当n→∞时Xi依概率收敛于__________；依概率收敛于__________．正确答案：3 11解析：依题意X1，…，Xn相互独立且有相同的概率分布：P{Xi=k}=(k=1，2，3，4，5)，与相同的数学期望：EXi=(1+2+3+4+5)=3．根据辛钦大数定律，当n→∞时，Xi依概率收敛于3．同理，(1+4+9+16+25)=11，当n→∞时依概率收敛于11．知识模块：大数定律和中心极限定理解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
大数定律和中心极限定理例题与解析
在大量随机选取的人群中测量身高, 这些身高的平均值将接近正 态分布, 这也是中心极限定理的一个应用实例。
中心极限定理的应用
概率论与统计学
中心极限定理是概率论和统计学中的基本原理 之一, 用于研究随机变量的分布和统计推断。
金融领域
中心极限定理在金融领域中也有广泛应用, 例如在资 产定价、风险管理和投资组合优化等方面。
例题一解析
要点一
题目
一个班级有30名学生, 每个学生随机选择一个1-100之间的整 数。求这30个随机数的平均数大于50的概率。
要点二
解析
首先, 根据大数定律, 当试验次数足够多时, 随机数的算术平 均值趋近于期望值。在本题中, 每个随机数的期望值是50, 因 此30个随机数的平均数期望值是50。其次, 根据中心极限定 理, 当试验次数足够多时, 随机变量的算术平均值的分布趋近 于正态分布。因此, 这30个随机数的平均数大于50的概率可 以通过正态分布的概率密度函数计算得出。
大数定律的实例
抛硬币实验
如果我们抛硬币1000次，虽然单次抛 硬币的结果是随机的，但当我们计算 正面朝上的频率时，会发现这个频Βιβλιοθήκη 会逐渐趋近于50%。生日悖论
在一个有30人的房间里，存在一定概 率两个人生日相同，这个概率随着人 数的增加而趋近于100%。
大数定律的应用
概率论与统计学
大数定律是概率论和统计学中的 基本原理, 用于估计概率和预测未 来的随机事件。
例题三解析
题目
一个彩票公司发行了100万张彩票, 每张彩票都有一个独立 的随机数生成器生成的一个随机数。求至少有1张彩票的随 机数小于1的概率。
解析
首先, 根据大数定律, 当试验次数足够多时, 随机数的频率趋 近于概率。在本题中, 每张彩票的随机数小于1的概率是 1/100（即每张彩票生成的随机数小于1的概率是固定的）。 其次, 根据中心极限定理, 当试验次数足够多时, 随机变量的 独立同分布的随机变量和的分布趋近于正态分布。因此, 这 100万张彩票中至少有1张彩票的随机数小于1的概率可以 通过正态分布的概率密度函数计算得出。
统计学课后习题参考答案
第一章复习思考题与练习题：一、思考题1．统计的基本任务是什么？2．统计研究的基本方法有哪些？3．如何理解统计总体的基本特征。
4．试述统计总体和总体单位的关系。
5．标志与指标有何区别何联系。
二、判断题1、社会经济统计的研究对象是社会经济现象总体的各个方面。
（）2、在全国工业普查中，全国企业数是统计总体，每个工业企业是总体单位。
（）3、总体单位是标志的承担者，标志是依附于单位的。
（）4、数量指标是由数量标志汇总来的，质量指标是由品质标志汇总来的。
（）5、全面调查和非全面调查是根据调查结果所得的资料是否全面来划分的（）。
三、单项选择题1、社会经济统计的研究对象是（）。
A、抽象的数量关系B、社会经济现象的规律性C、社会经济现象的数量特征和数量关系D、社会经济统计认识过程的规律和方法2、某城市工业企业未安装设备普查，总体单位是（）。
A、工业企业全部未安装设备B、工业企业每一台未安装设备C、每个工业企业的未安装设备D、每一个工业3、标志是说明总体单位特征的名称，标志有数量标志和品质标志，因此（）。
A、标志值有两大类：品质标志值和数量标志值B、品质标志才有标志值C、数量标志才有标志值D、品质标志和数量标志都具有标志值4、统计规律性主要是通过运用下述方法经整理、分析后得出的结论（）。
A、统计分组法B、大量观察法C、综合指标法D、统计推断法5、指标是说明总体特征的，标志是说明总体单位特征的，所以（）。
A、标志和指标之间的关系是固定不变的B、标志和指标之间的关系是可以变化的C、标志和指标都是可以用数值表示的D、只有指标才可以用数值表示答案：二、 1.× 2.× 3.√ 4.× 5.×三、 1.C 2.B 3.C 4.B 5.B第三章一、复习思考题1.什么是平均指标？平均指标可以分为哪些种类？2．为什么说平均数反映了总体分布的集中趋势？3．为什么说简单算术平均数是加权算术平均数的特例？4．算术平均数的数学性质有哪些？5．众数和中位数分别有哪些特点？6.什么是标志变动度？标志变动度的作用是什么？7.标志变动度可分为哪些指标？它们分别是如何运用的？8.平均数与标志变动度为什么要结合运用？二、练习题（教材第四章P108课后习题答案）1.某村对该村居民月家庭收入进行调查，获取的资料如下：按月收入分组（元）村民户数（户）500～600 600～700 700～800 800～900 900以上20 30 35 25 10合计120 要求：试用次数权数计算该村居民平均月收入水平。
大数定律与中心极限定理
一般地，
〖定义2〗设X1，X2
，…
Xn
，…
1 n 为随机变量序列，记 Yn X n n n 1
… ,
若存在一个常数序列 a1 ,a2 ,…an
使得
对任意 >0 有
lim P { Yn a n } 1
n
则称{Xn}服从大数定律.
说明： ① 并非任意的随机变量序列{Xn}都能服从大数定律.
11
2、独立同分布中心极限定理 定理4（列维一林德伯格(Levy－Lindberg)定理）
t2 X k n x 1 lim P k 1 x e 2 dt ——N(0，1) n n 2 注意条件：独立同分布… 意义： 无论各r.v.Xn 的分布为何(离散或连续）,都有(当n→∞时)
② 随机变量序列X1，X2，…， Xn，… 具有的性质不同，
大数定律就有各种不同的形式。
下面介绍几个常用的大数定律
5
（一）切比雪夫大数定律 的方差有公共上界（D(Xi)≤M） ，则对>0，有
1 n 1 n lim P X i E ( X i ) 1 n n i 1 n i 1
lim P { X n a } 1
n
.........a......a.. a
则称
X n a（依概率收敛于a）
依概率
当n越来越大时，X n落在(a , a )内的可能性也越来越大。
说明：现在再来看“频率稳定性”： n nA 1 n lim P A p 1 r .v X i , 与p非常接近 ，n n n n i 1
n
n
考研概率论复习-大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理一．车贝雪夫不等式若随机变量X 的数学期望EX 和方差DX 存在,则对于任意给定的0>ε,必有 2)(εεDX EX X P ≤≥- 或21)(εεDXEX X P -><-二．大数定律1. 辛钦大数定律设 ,,,,21n X X X 为一列互相独立的随机变量,服从相同的分布，μ=i EX ，2σ=i DX ,),2,1( =i ,则对于任意正数ε，有1}|1{|lim 1=<-∑=∞→εμni i n X n P 2. 贝努利大数定律设n u 是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数,p 是事件A 在每次试验中出现的概率,则对于任意给定的0>ε,必有1}|{|lim =<-∞→εp nu P n n 三．中心极限定理1. Levy-Lindeberg 中心极限定理：设 ,,,,21n X X X 为独立同分布的随机变量序列，若μ=i EX ，2σ=i DX ,),2,1( =i ，则当n 充分大时，∑=ni i X 1近似服从正态分布),(2σμn n N ， 即lim )n i n X n P x μ→∞-≤=∑du e xu ⎰∞--2221π。
2. 德莫佛尔-拉普拉斯极限定理：在贝努利试验中，若事件A 发生的概率为p 又设X 为n 次独立重复试验中事件A 发生的频数，则当n 充分大时，X 近似服从正态分布),(npq np N 。
例1：某保险公司有10000个同一年龄的人参加人寿保险,在一年里这些人的死亡率为1‰,参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元,死亡时,家属可以从保险公司领取元2000抚恤金求(1) 险公司一年中获利不小于40000元的概率。
(2) 保险公司亏本的概率。
(9993.0)163.3(,1)3271.6(=Φ=Φ,9993.0)164.3(,1)654.12(=Φ=Φ)解：一年中死亡的人数为X ,则X ～)001.0,10000(B(1) 保险公司一年中获利不小于40000元的概率}30{≤=X P }3271.6999.0001.01000010{≤⨯⨯-=X P)3271.6(Φ=1=。
考研数学一-概率论与数理统计大数定律和中心极限定理.doc
考研数学一-概率论与数理统计大数定律和中心极限定理(总分：48.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：9.00)1.设随机变量X1，X2，…，X n，…独立同分布，EX i=μ(i=1，2，…)，则根据切比雪夫大数定律，X1，X2，…，X n，…依概率收敛于μ，只要X1，X2，…，X n，…（分数：1.00）A.共同的方差存在．B.服从指数分布．C.服从离散型分布．D.服从连续型分布．2.假设天平无系统误差．将一质量为10克的物品重复进行称量，则可以断定“当称量次数充分大时，称量结果的算术平均值以接近于1的概率近似等于10克”，其理论根据是（分数：1.00）A.切比雪夫大数定律．B.辛钦大数定律．C.伯努利大数定律．D.中心极限定理．3.下列命题正确的是（分数：1.00）A.由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律．B.由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律．C.由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律．D.由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律．4.设X1，…，X n…是相互独立的随机变量序列，X n服从参数为n的指数分布(n=1，2，…)，则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________5.假设随机变量序列X1，…，X n…独立同分布且EX n=01.00）A.B.C.D.6.设X n，n≥1为相互独立的随机变量序列且都服从参数为λ的指数分布，则1.00）__________________________________________________________________________________________7.设随机变量X1，…，X n-林德伯格中心极限定理，当n充分大时，S n近似服从正态分布，只要X1，…，X n1.00）A.B.C.D.8.假设X1，…，X n，…为独立同分布随机变量序列，且EX n=0，DX n=σ21.00）A.B.C.D.9.假设X n，n≥1n充分大时，可以用正态分布作为S n的近似分布，如果1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：4.00)10.设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为0.05．现在对100个这样的元件进行超负荷试验，以X 表示不能承受试验而烧毁的元件数，则根据中心极限定理P5≤X≤10≈______．（分数：1.00）填空项1:__________________11.将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n 1.00）填空项1:__________________12.设随机变量序列X1，…，X n，…相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布， 1.00）填空项1:__________________13.设X1，X2，…，X100是独立同服从参数为4则数：1.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：7，分数：35.00)14.设某种元件使用寿命(单位：小时)服从参数为λ的指数分布，其平均使用寿命为40小时，在使用中，当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去，已知每个元件进价为a元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有95%的把握保证一年够用．(假定一年按2000个工作小时计算，Ф(1.64)=0.95．)（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 15.假设每人每次打电话通话时间X(单位：分)服从参数为l的指数分布，试求800人次通话中至少有3次超过6分钟的概率α，并利用泊松定理与中心极限定理分别求出α的近似值(e-2=0.1353，e-6=0.00248，Ф(0.707)=0.7611，Ф(1.41)=0.9207)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________16.假设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为λ与μ 5.00）__________________________________________________________________________________________17.编号为1，2，3的三个球随意放入编号为1，2，3的三个盒子中，每盒仅放一个球，令X i数：5.00）__________________________________________________________________________________________18.已知随机变量X，Y的概率分布分别为 5.00）__________________________________________________________________________________________19.已知随机变量X与Y0-1分布，即5.00）__________________________________________________________________________________________20.下列表格给出二维随机变量(X，Y)的联合分布、边缘分布的部分值，并已知试将其余数值填入空白处．5.00）__________________________________________________________________________________________。
大数定律与中心极限定理 定义与例题
三、典型例题
一加法器同时收到 例1 20 个噪声电压 Vk ( k 1 , 2 , 20 ), 设它们是相互独立的随 且都在区间 ( 0 ,10 ) 上服从均匀分布 机变量 , ,记 V
k 1
20
Vk ,
求 P { V 105 } 的近似值 .
解 E (V k ) 5 ,
解：对每台车床的观察作为一次试验，
每次试验观察该台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为0.6，共进行200次试验. 用X表示在某时刻工作着的车床数， 依题意， X~B(200,0.6), 设应供应N千瓦电力,现在的问题是：求满足 P(X≤N)≥0.999 的最小的N.
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np np(1 p)
i1
n
Xi
n
1
n
EX i
i1
0.
切比雪夫不等式
如 果 随 机 变 量 X的 数 学 期 望 EX 和 方 差 DX 存 在 , 则 对于任一正数, 都有 P
X EX
DX
2
证 明 ： 对 于 任 给 正 数 , 由 切 比 雪 夫 不 等 式 ,有 1 D n
i1
n
Xi
n
1
n
EX i
i1
0.
辛钦大数定律
设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 分 布 , 且 数 学 期 望 存 在 ,则 对 于 任 意 0, 有 1 li m P n n
i1
n
X i 0.
例1 判 断 下 列 说 法 的 对 错 , 并 简 述 理 由 : (1 ) 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 具 有 密 度 f ( x ), 则 序 列 X 1 , X 2 , , X n , 满 足 辛 钦 大 数 定 律 . ( 2 ) 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 , 则 X 1 , 2 X 2 , , n X n , 满 足 切 比 雪 夫 大 数 定 律 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章及大数定律中心极限定理习题课2014-11-11
1．某人射靶三次，若用A i 表示事件“第i 次射击击中靶子”（i = 1, 2, 3），则事件“至少两次不中靶”可表示为
2．已知P (A )=0.4，P (B )=0.3，P (A ∪B )=0.7，则()P AB = ，(|)P A B =
3．10个足球队平均分成两组，则最强的两队分在同一组的概率为
4. 袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）. 已知第二次取出的是黑球，则第一次取出的也是黑球的概率为
5．每次试验成功率为p (0 < p < 1)，进行重复试验，则直到第十次试验才取得三次成功的概率为
6．设事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则下列哪一项是正确的（ ）
A. ()()()1P C P A P B ≤+-
B. ()()()1P C P A P B ≥+-
C. ()()P C P AB =
D. ()()P C P A B =⋃
7．设事件A 、B 满足
0()1,()0,(|)(|)P A P B P B A P B A <<>=，则（ ）成立. A. (|)(|)P A B P A B = B. (|)(|)P A B P A B ≠
C. ()()()P AB P A P B =
D. ()()()P AB P A P B ≠
8.设考生的报名表来自甲、乙、丙三个地区，分别有10份，15份，25份，其中女生的分别为5份，5份，10份. 现从中任取一份报名表，求：（1）取到的报名表是女生的概率；（2）已知取到的报名表是女生的，该女生来自丙地区的概率.
9. 某食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取10元、20元、30元的概率分别为0.2、0.6、0.2. 某天该食品店共出售了250只蛋糕. 试利用中心极限定理计算，这天的收入至少为5050元的概率.
（已知(0.5)0.69Φ=）
10、一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 3的概率为31=p ，若船舶遭受了
1800次波浪冲击，问其中有700~600次纵摇角大于 3的概率是多少？
11、仓库中有10箱同一规格的产品，其中2箱由甲厂生产，3箱由乙厂生产，
5箱由丙厂生产。
三厂产品的合格率分别为85%、80%、90%.
（1）求这批产品的合格率；
（2）从这10箱中任取一箱，再从该箱中任取一件，若此产品为合格品，问此产品是
由甲厂生产的概率为多少？。