回溯法0201344321解决题
回溯法和分支限界法解决0-1背包题(精)[精品文档]
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0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。
对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有0-1赋值。
例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。
问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,),xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。
二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。
0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。
在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。
当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。
否则，将右子树剪去。
设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。
当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。
计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。
例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。
这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。
以物品单位重量价值的递减序装入物品。
先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。
由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。
回溯法典型例题
回溯法典型例题一、回溯法是啥呢？哎呀，回溯法就像是在一个迷宫里找路一样。
想象一下，你走进了一个超级复杂的迷宫，有好多岔路口。
回溯法就是当你走到一个岔路口发现不对的时候，就退回来，再试试其他的路。
它就像是你脑袋里的一个小导航，在你走错路的时候提醒你“哎呀，这条路不对，咱得回去重新选”。
比如说，在解决一些组合问题的时候，就像从一堆数字里选出满足某个条件的组合。
如果随便乱选，可能永远也找不到答案。
这时候回溯法就登场啦，它会有条理地去尝试各种可能的组合，一旦发现这个组合不行，就回到上一步，再换一种选法。
这就像是你在玩拼图，发现这块拼图放不进去，就换一块试试。
二、典型例题来喽1. 八皇后问题这可是回溯法里的经典呢。
在一个8×8的棋盘上放8个皇后，要求任何两个皇后都不能在同一行、同一列或者同一对角线上。
怎么用回溯法解决呢？我们就从第一行开始，试着放一个皇后，然后到第二行再放，但是要保证和前面放的皇后不冲突。
如果到某一行发现没有地方可以放了，那就回到上一行，重新调整上一行皇后的位置，再接着往下放。
这个过程就像是走迷宫的时候，发现前面是死胡同，就退回来换条路走。
2. 数独问题数独大家都玩过吧。
每个小九宫格、每行、每列都要填上 1 - 9这9个数字，而且不能重复。
用回溯法解决的时候，我们就从第一个空格开始，试着填一个数字，然后看这个数字是不是满足规则。
如果不满足，就换一个数字试试。
如果这个空格试遍了所有数字都不行，那就回到上一个空格，重新调整那个空格的数字，再接着往下填。
这就像我们在搭积木，发现这块积木放上去不稳，就换一块试试。
3. 全排列问题比如说给你几个数字，让你求出它们的全排列。
用回溯法的话，我们就从第一个数字开始，固定它，然后对剩下的数字求全排列。
当对剩下数字求全排列的时候，又可以把第二个数字固定，对后面的数字求全排列，这样一层一层下去。
如果发现排列不符合要求，就回溯到上一层，换一种排列方式。
这就像是在给小朋友排队，这个小朋友站这里不合适，就换个位置，然后重新给后面的小朋友排队。
c语言回溯法求组合问题
回溯法是一种通过探索所有可能的候选解来找出所有解的算法。
如果候选解被确认不是一个解的话（或者至少不是最后一个解），回溯算法会通过在上一步进行一些变化来舍弃该解，即“回溯”并尝试另一种可能。
下面是一个使用C语言实现的回溯法求解组合问题的例子：```c#include <stdio.h>void combination(int n, int r, int data[], int result[], int *index) {if (r == 0) {for (int i = 0; i < n; i++) {printf("%d ", result[i]);}printf("");return;}for (int i = *index; i < n; i++) {result[r - 1] = data[i];combination(n, r - 1, data, result, index + 1);}}int main() {int n = 5; // 数据个数int r = 3; // 组合中元素个数int data[] = {1, 2, 3, 4, 5}; // 数据数组int result[r]; // 结果数组int index = 0; // 索引指针combination(n, r, data, result, &index);return 0;}```这个例子中，我们要求从给定的数据数组`data`中选取`r`个元素的组合。
`combination`函数是一个递归函数，它接收当前组合的元素个数`r`、数据数组`data`、结果数组`result`和索引指针`index`作为参数。
当`r`为0时，表示已经找到了一个有效的组合，将其输出；否则，遍历数据数组，将当前元素添加到结果数组中，并继续递归寻找下一个元素。
回溯法和分支限界法解决背包题
0-1背包问题计科1班朱润华 32方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。
对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有0-1赋值。
例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。
问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。
二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。
0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。
在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。
当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。
否则，将右子树剪去。
设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。
当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。
计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。
例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。
这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。
以物品单位重量价值的递减序装入物品。
先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装的物品2。
由此得一个解为[1,,1,1]，其相应价值为22。
尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。
第5章 回溯法2
4
5
U是G的最大团当且仅当U是G的最大独立集。 的最大团当且仅当U 的最大独立集。
void Clique::Backtrack(int i) {// 计算最大团 if (i > n) {// 到达叶结点 for (int j = 1; j <= n; j++) bestx[j] = x[j]; bestn = cn; return;} // 检查顶点 i 与当前团的连接 int OK = 1; for (int j = 1; j < i; j++) if (x[j] && a[i][j] == 0) { // i与j不相连 与 不相连 OK = 0; break;} if (OK) {// 进入左子树 x[i] = 1; cn++; Backtrack(i+1); x[i] = 0; cn--;} if (cn + n - i > bestn) {// 进入右子树 x[i] = 0; Backtrack(i+1);} }
n后问题程序源代码 后问题程序源代码
#include<stdlib.h> #include<iostream.h> class Queen { friend int nQueen(int); private: bool Place(int k); void Backtrack(int t); int n;//皇后个数 n;//皇后个数 int *x;//当前解 *x;//当前解 long sum;//当前已找到的可行方案数 sum;//当前已找到的可行方案数 }; bool Queen::Place(int k) { for(int j=1;j<k;j++) if((abs(k-j)==abs(x[j]if((abs(k-j)==abs(x[j]-x[k]))||(x[j]==x[k])) return false; return true; }
回溯法
回溯法回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。
当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。
如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。
在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。
扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。
1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。
其中Si是分量xi的定义域，且|Si| 有限，i=1，2，…，n。
我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D 的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。
但显然，其计算量是相当大的。
我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2， (xi)满足D中仅涉及到x1，x2，...，xi的所有约束意味着j（jj。
因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，...，xj）违反D中仅涉及x1，x2， (x)的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。
回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E 中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。
回溯法和分支限界法解决0-1背包题要点教学内容
回溯法和分支限界法解决0-1背包题要点0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。
对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有0-1赋值。
例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。
问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。
二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。
0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。
在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。
当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。
否则，将右子树剪去。
设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。
当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。
计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。
例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。
这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。
以物品单位重量价值的递减序装入物品。
先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。
求解组合问题回溯法
回溯法是一种用于求解组合问题的算法。
在组合问题中，我们需要从给定的元素集合中选择若干个元素，以构成满足特定条件的目标组合。
回溯法通过深度优先搜索解空间树，逐一尝试各种可能的组合，以找到满足条件的目标组合。
回溯法的核心思想是逐层搜索解空间树，并在搜索过程中进行剪枝操作。
具体步骤如下：
1、定义问题的约束条件和目标函数。
约束条件用于限制组合中元素的取值范围，目标函数用于评估组合的优劣。
2、构建解空间树。
解空间树是所有可能组合的集合，树的节点表示一个组合，树的边表示两个组合之间的差异。
3、从根节点开始深度优先搜索解空间树。
在搜索过程中，先判断当前节点是否满足约束条件和目标函数，如果满足则进入该子树继续搜索，否则进行剪枝操作。
4、在搜索过程中，记录已经访问过的节点，避免重复搜索。
同时，对于每个节点，尝试所有可能的子节点，以扩大搜索范围。
5、当搜索到某个叶子节点时，检查该叶子节点是否满足目标函数的条件。
如果满足，则找到一个可行的目标组合，结束搜索过程。
需要注意的是，回溯法的时间复杂度较高，因为需要遍历大量的解空间树节点。
为了提高效率，可以采取一些优化措施，如剪枝操作、记忆化搜索等。
同时，对于一些具有特
定结构的问题，还可以采用其他算法进行求解。
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算法设计与分析课程设计用回溯方法解决迷宫问题一：概述：1.算法的概念算法（Algorithm）是一系列解决问题的清晰指令，也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。
算法可以理解为有基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤。
或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤和序列可以解决一类问题。
如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。
不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。
一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。
算法可大致分为基本算法、数据结构的算法、数论与代数算法、计算几何的算法、图论的算法、动态规划以及数值分析、加密算法、排序算法、检索算法、随机化算法、并行算法。
2.算法的性质一个算法应该具有以下五个重要的特征：（1）输入：有零个或多个外部量作为算法的输入。
（2）输出：算法产生至少一个量作为输出。
（3）确定性：组成算法的每条指令清晰、无歧义。
点”。
1.用回溯方法解决问题的一般步骤：1 针对所给问题，定义问题的解空间，它至少包含问题的一个（最优）解。
2 确定易于搜索的解空间结构,使得能用回溯法方便地搜索整个解空间。
3 以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
问题的解空间通常是在搜索问题解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性。
确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。
这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。
此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。
回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试,直到找到符合条件的位置就可以了回溯在迷宫搜索中使用很常见，就是这条路走不通，然后返回前一个路口，继续下一条路。
回溯算法说白了就是穷举法。
不过回溯算法使用剪枝函数，剪去一些不可能到达最终状态（即答案状态）的节点，从而减少状态空间树节点的生成。
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。
三、迷宫问题的描述首先进入迷宫，即从入口出发，顺某一方向向前探索，若能走通，则继续往前走；否则沿原路返回，换一个方向再继续探索，直到所有肯呢过的通路都探索到为止。
四、算法实现#include "stdafx.h"#include "iostream.h"#include "string.h"#include "stdio.h"double dMeans=0,dWalkLen=10000; //dMeans表示走出迷宫的方法，dWalkLen表示当前走出迷宫最少步数char Maze[10][52]={{"###################################################"},{"# ## #### ### ### # ####"},{"% ## # ### ### ###### ### ############ # # #"},{"# ## ## ### ## ## # # ## # # ####"},{"# # # ## ## ### # # ######### # # # ##"},{"# # # # ## ########## #### ## # #"},{"# ## ### ## ## ### #### ## ## # # ######### #"},{"# # # ## ## # ## #### # # ## ####"},{"#### ## #### #### ## # ### ## ## @"},{"###################################################"},}; //迷宫int MazeFlag[10][51]; //迷宫的标志：0表示未走过，i(i=1,2,3,4)表示已经走过了,i表示方向。
int MazeMin[10][51]; //路径最小的迷宫的标志void Walk(int nx,int ny); //走迷宫的函数，nx是列，ny是行void PrintOut(); //打印路径及迷宫的函数，同时比较获取路径较短的行走方法int Judge(int nx,int ny,int i); //判断在第nx列ny行向第i个方向走是否可以,可以返回1否则返回0。
//i=1表示向右，2表示向下，3表示向左，4表示向上void Walk(int nx,int ny){if (Maze[nx][ny]=='@') //判断是否走出迷宫，@是迷宫出口标志PrintOut(); //走出则打印出迷宫及行走路径else //未走出迷宫{for (int i=1; i<=4; i++) //四个方向逐个行走，i=1向右 2向下 3向左 4向上{if (Judge(nx,ny,i)) //如果列为nx行为ny的位置向i方向是否可以行走 {MazeFlag[nx][ny]=i; //将标志位置i表明该位置向i方向可行走if (i==1) //分散处理，根据不同的i来确定下一步的位置，以便行走。
Walk(nx,ny+1);else if (i==2)Walk(nx+1,ny);else if (i==3)Walk(nx,ny-1);else if (i==4)Walk(nx-1,ny);}}MazeFlag[nx][ny]=0; //如果4个方向都走不通，或者回朔则清空该点标志位，置为0表明未走过。
}}void PrintOut(){int nx,ny;double dCount=0;dMeans++;cout<<"The "<<dMeans<<" ways is: "<<endl;for (nx=0;nx<10;nx++){for (ny=0;ny<51;ny++){if (Maze[nx][ny]=='#') //＃表示墙cout<<"#";else if (MazeFlag[nx][ny]==0) //不是墙但未走过的地方用空格表示cout<<" ";else //不是墙且走过的地方用*表示{cout<<".";dCount++; //走一步总步数加1}}cout<<endl;}cout<<"This way used "<<dCount<<" steps"<<endl;if (dCount<dWalkLen) //如果此种方法的步数比以前方法中最少步数还要少，{ //则将此种方法列为当前最少行走步数for (nx=0;nx<10;nx++)for(ny=0;ny<51;ny++)MazeMin[nx][ny]=MazeFlag[nx][ny];dWalkLen=dCount;}}int Judge(int nx,int ny,int i){if (i==1) //判断向右可否行走{if(ny<50&&(Maze[nx][ny+1]==”"||Maze[nx][ny+1]=='@')&&MazeFlag[nx][ny+1 ]==0)return 1;elsereturn 0;else if (i==2) //判断向下可否行走{if(nx<9&&(Maze[nx+1][ny]==””||Maze[nx+1][ny]=='@')&&MazeFlag[nx+1][ny ]==0)return 1;elsereturn 0;}else if (i==3) //判断向左可否行走{if(ny>0&&(Maze[nx][ny-1]==””||Maze[nx][ny-1]=='@')&&MazeFlag[nx][ny-1 ]==0)return 1;elsereturn 0;}else if (i==4) //判断向上可否行走{if(nx>0&&(Maze[nx-1][ny]==””||Maze[nx-1][ny]=='@')&&MazeFlag[nx-1] [ny]==0)return 1;elsereturn 0;}Elsereturn 0;}int main(int argc, char* argv[]){int nx,ny,ni,nj;cout<<"迷宫游戏: "<<endl;for (ni=0;ni<10;ni++) //输出迷宫形状，并且找到迷宫的入口，同时将迷宫标志初始化{for(nj=0;nj<51;nj++){cout<<Maze[ni][nj];MazeFlag[ni][nj]=0; //将迷宫标志初始化为0表示未走过if (Maze[ni][nj]=='%'){nx=ni; //迷宫入口列坐标ny=nj; //迷宫入口行坐标}}cout<<endl;}cout<<endl<<"入口坐标:"<<endl<<"nx= "<<nx<<" "<<"ny= "<<ny<<endl; Walk(nx,ny); //调用行走迷宫函数，从入口处开始行走cout<<endl<<"The MinLen way is: "<<endl;for (nx=0;nx<10;nx++) //输出最短路径{for (ny=0;ny<51;ny++){if (Maze[nx][ny]=='#')cout<<"#";else if (MazeMin[nx][ny]==0)cout<<" ";else{cout<<".";}}cout<<endl;}cout<<"This Way used "<<dWalkLen<<" steps"<<endl; //输出最短路径总行走步数return 0;}。