2020-2021学年上海市控江中学高二数学文月考试题含解析
上海市控江中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(1)
（2）求直线 的点方向式方程.
20．已知向量 ， 的夹角是 ， ， .又有向量 ，向量 ，其中 .
（1）求 （用含有 ， 的表达式）
（2）若 在 处取得最小值，当 ，求角 的范围.
21．如图，设直线 ： ， ： .点 的坐标为 .过点 的直线 的斜率为 ，且与 ， 分别交于点 ， （ ， 的纵坐标均为正数）.
17．已知等比数列 的首项 ，公比为 .
（1）求二价行列式 的值；
（2）试就 的不同取值情况，求解二元一次方程组 .
18．已知向量 ，单位向量 与向量 的夹角为 .
（1）求向量 ；
（2）若向量 与坐标轴不平行，且与向量 垂直，令 .请将 表示为 的函数 ，并求函数 的定义域和最大值.
19．已知如图，坐标平面内点 到两个定点 ， 距离的比 ，且点 到直线 的距离为1.
求出交点坐标，再由两角和的正切公式求得新直线的斜率，可得直线方程．
【详解】
由 得 ，即交点为 ，设直线 的倾斜角为 ， ，则新直线的倾斜角为 ， ，
∴新直线的方程为 ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查直线方程，解题关键是掌握直线旋转过程中倾斜角的变化、斜率的变化．
8．1
【分析】
由 的几何意义，作图求解．
上海市控江中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．计算 ______.
2．直线 的倾斜角为______.
3．行列式 中，第三行第二列的元素8的代数余子式大于0，则实数x满足的条件是_________
上海市控江中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析
上海市控江中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1.经过点()1,0，且以()2,5d =为一个方向向量的直线l 的方程为_____. 【答案】5250x y --= 【解析】 【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】直线l 的斜率为52k =，所以，直线l 的方程为()512y x =-，即5250x y --=. 故答案为：5250x y --=.【点睛】本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题.2.过点()4,3，且与圆2225x y +=相切的直线l 的方程为_____.【答案】43250x y +-= 【解析】 【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】点()4,3与圆心连线的斜率为34，由于点()4,3在圆2225x y +=上， 则直线l 的斜率为43k =-，所以，直线l 的方程为()4343y x -=--，即43250x y +-=.故答案：43250x y +-=.【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，解题时要判断点与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题.3.焦点为()-与()的等轴双曲线的方程为_____.【答案】22144x y -=【分析】设所求双曲线的方程为()222210x y a a a-=>，根据该双曲线的焦点坐标求出a 的值，即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在x 轴上，可设所求双曲线的方程为()222210x ya a a-=>，==2a =，因此，所求等轴双曲线的方程为22144x y -=.故答案为：22144x y -=.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，解题的时要注意焦点位置，考查计算能力，属于基础题.4.平面上到两定点()4,0与()4,0-的距离之和为8的动点的轨迹方程为_____. 【答案】()044y x =-≤≤ 【解析】 【分析】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P ，由PA PB AB +=可得知点P 的轨迹，进而可得出点P 的轨迹方程.【详解】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P，则PA PB AB +=， 则点P 的轨迹为线段AB ，即所求动点的轨迹方程为()044y x =-≤≤. 故答案为：()044y x =-≤≤.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，注意区别椭圆的定义，考查计算能力，属于基础题. 5.若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为arccos 5，则实数k 的值为_____. 【答案】34【分析】设直线20x y -=的倾斜角为α，记arccos 5β=，利用两角差的正切公式可得出关于k 的方程，进而可求得实数k 的值.【详解】设直线20x y -=的倾斜角为α，记arccos5β=，则tan 2α=，cos β=，sin β=1tan 2β=，由题意可得tan 21tan 1tan 122k k k k αβα--===++，解得34k =.故答案为：34. 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题.6.已知t 是实数，设向量()3,4a =，向量()2,1b =，若()a a tb ⊥-，则t 的值为_____.【答案】52【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出2a 和ab ⋅的值，由()a a tb ⊥-得()0a a tb ⋅-=，由此可计算出实数t 的值. 【详解】()3,4a =，()2,1b =，则2223425a =+=，324110a b ⋅=⨯+⨯=，()a a tb ⊥-，则()225100a a tb a ta b t ⋅-=-⋅=-=，解得52t =. 故答案为：52. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查利用向量垂直求参数，考查运算求解能力，属于基础题.7.直线25y x =+被圆()()221214x y -+-=所截得的弦AB 的长度为_____. 【答案】6 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理可求出弦长AB .【详解】圆()()221214x y -+-=的圆心坐标为()1,2，圆心到直线的距离为d ==6AB ==.故答案为：6.【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.8.设动点A 的轨迹为抛物线24y x =，点()2,0B 为定点.若线段AB 的中点为点P ，则点P 的轨迹方程为_____. 【答案】222y x =- 【解析】 【分析】设点(),P x y ，可得出点()24,2A x y -，再将点A 的坐标代入抛物线的方程，化简即可得出点P 的轨迹方程.【详解】设点()00,A x y 、(),P x y ，由中点坐标公式得00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得00222x x y y =-⎧⎨=⎩，由于点A 在抛物线24y x =上，即2004y x =，所以，()24422y x =-，化简得222y x =-.因此，点P 的轨迹方程为222y x =-. 故答案为：222y x =-.【点睛】本题考查利用相关点法求轨迹方程，考查计算能力，属于中等题.9.椭圆()22210416x y b b +=<<的左焦点为F ，以F 为一端点、该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为M ，最小值记为m .若7=M m ，则b =_____.【解析】 【分析】由椭圆的几何性质得M a c =+，m a c =-，结合条件7=M m 可求得实数b 的值. 【详解】由题意可知，4a =，c == 由椭圆的几何性质知M a c =+，m a c =-，7M m =，即()7a c a c +=-，可得334c a ==3=，解得b =..【点睛】本题考查椭圆方程中参数的计算，考查椭圆上一点到焦点距离最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.10.设P 是双曲线2236x y -=1上的一点，1F 、2F 是该双曲线的左、右焦点.若()()121272F P F P F P F P +⋅-=，则1F P =_____.【答案】【解析】 【分析】根据双曲线的定义以及已知条件可得出关于1F P 和2F P 的方程组，即可解出1F P 的值. 【详解】()()22221212121272F P F P F P F P F P F P F P F P +⋅-=-=-=，则120F P F P ->，由双曲线的定义可得1223F P F P -= 又()()2212121272F P F P F P F PF P F P -=-+=，则1212F P F P +=，所以，12122312F P F P F P F P ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩173F P =.故答案为：73.【点睛】本题考查双曲线焦半径的求解，考查双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.11.设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+，()1BB BC BA λ=+，()1CC CA CB λ=+，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____.【答案】23【解析】 【分析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值.【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=，()13AA AB AC AG λλ∴=+=， 由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称， 则12AA AG =，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12.在平面直角坐标系中，已知点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-.该平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=.已知动点P 的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为_____（只需写出满足题意的一个方程）. 【答案】210x y +-= 【解析】 【分析】推导出1323F F F F =，则123F F F ∆是等腰三角形，12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=，由此可得出该图形的一条对称轴方程. 【详解】点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-，135F F ∴=，235F F =，则1323F F F F =，123F F F ∴∆是等腰三角形，线段12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=.123F F F ∆所在平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=，且动点P 的轨迹为轴对称图形，设点P 关于直线210x y +-=的对称点为点Q ，则12PF QF =，21PF QF =，33PF QF =，所以，1232132019QF QF QF PF PF PF ++=++=，则动点Q 在点P 的轨迹上，因此，该图形的一条对称轴方程为210x y +-=. 故答案为：210x y +-=.【点睛】本题考查对称轴方程的求解，考查两点间距离公式的应用、直线方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、化归与转化思想的应用，属于中等题. 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A. (),20-∞B. (),5-∞C. ()5,+∞D.()20,+∞【答案】B 【解析】 【分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <.因此，实数m 的取值范围是(),5-∞. 故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.14.设直线l 的方程为2430x y +-=，直线m 的方程为260x y +-=，则直线l 与m 的距离为（ ） A.35B.35C.95D.95【答案】C 【解析】 【分析】将直线m 的方程化为24120x y +-=，利用平行线间的距离公式可求出直线l 与m 的距离. 【详解】直线m 的方程可化为24120x y +-=，因此，直线l 与m 的距离为22312951024d -+==+. 故选：C.【点睛】本题考查平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题.15.开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处.从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T .根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T时间，行星的位置可能在（ ）A. A 点处B. B 点处C. C 点处D. D 点处【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的对称性可得，椭圆与坐标轴的交点将椭圆分为相等的4部分，所以按逆时针转动到达点B 处.【详解】由于椭圆的对称性可得转一周为一个周期T ，一周被坐标轴平均分为相等的4部分，所以，从点P 开始经过4T时间，按逆时针转时转到点B . 故选：B.【点睛】本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.16.设P 、Q 是椭圆2214x y +=上相异的两点.设()2,0A 、()0,1B .命题甲：若AP AQ =，则P 与Q 关于x 轴对称； 命题乙：若BP BQ =，则P 与Q 关于y 轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ） A. 甲和乙都是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题 C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲和乙都是假命题【答案】A 【解析】 【分析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则12x x ≠或12y y ≠，利用两点间的距离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假.【详解】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则2214i i x y +=，可得2244i i x y =-，()2211,24i i x y i =-=.对于命题甲：()222221111111324414544x x AP x y x x x =-+=-++-=-+同理可得2223454x AQ x =-+AP AQ =，则22121233454544x x x x -+=-+，整理得()()12123160x x x x ⎡⎤-+-=⎣⎦，122x -≤≤，222x -≤≤，所以，1244x x -≤+≤，则()123160x x +-≠，必有12x x =，所以，则P 与Q 关于x 轴对称，命题甲正确； 同理可知命题乙也正确. 故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的对称性的应用，考查椭圆方程的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、解答题（本大题共5题，共46分）17.已知向量()11,2e =与()24,2e =是平面上的一组基向量. （1）设向量()1,4v =-，试用向量1e 与2e 表示v ；（2）设t 是实数，向量()6,b t =，设b 与1e 的夹角为α，b 与2e 的夹角为β.若αβ=，求t 的值.【答案】（1）123v e e =-；（2）6t =. 【解析】 【分析】（1）设12v e e λμ=+，根据平面向量的坐标运算建立λ和μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果；（2）由cos cos αβ=结合平面向量夹角余弦值的坐标运算可得出关于t 的等式，即可解出实数t 的值.【详解】（1）设12v e e λμ=+，则()()1,44,22λμλμ-=++，即41224λμλμ+=-⎧⎨+=⎩，解得31λμ=⎧⎨=-⎩， 因此，123v e e =-；（2）根据题意，11cos 5b e b e α⋅==⋅⋅22cos 25b e b e β⋅==⋅αβ=，=，可得2612t t +=+，解得6t =.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查了利用平面向量的夹角相等求参数，考查运算求解能力，属于基础题.18.已知m 为实数，设直线1l 的方程为21x my +=，直线2l 的方程为82mx y m +=-. （1）若1l 与2l 平行，求m 的值；（2）当1l 与2l 相交时，用m 表示交点A 的坐标，并说明点A 一定在某一条定直线上. 【答案】（1）4m =-；（2）()21,444m A m m m +⎛⎫-≠- ⎪++⎝⎭，证明见解析.【解析】 【分析】（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数m 的方程，即可解出实数m 的值； （2）将两直线方程联立可求得交点A 的坐标()21,444m m m m +⎛⎫-≠-⎪++⎝⎭，然后令24m x m +=+，14y m =-+，消去参数m 得出关于x 、y 的二元一次方程，即可证得结论. 【详解】（1）1l 与2l 平行，则()216022m m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得4m =-；（2）联立2182x my mx y m +=⎧⎨+=-⎩，解得24m x m +=+，14y m =-+，所以点21,44m A m m +⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ()4222112444m m x y m m m +-+===-=++++，即()2100x y y --=≠. 因此，点A 在直线210x y --=上.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查计算能力，属于中等题.19.设双曲线Γ的方程为2214y x -=.（1）设l 是经过点()1,1M 的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l 的方程；（2）设1l 是Γ的一条渐近线，A 、B 是1l 上相异的两点.若点P 是Γ上的一点，P 关于点A 的对称点记为Q ，Q 关于点B 的对称点记为R .试判断点R 是否可能在Γ上，并说明理由. 【答案】（1）1x =或210x y --=或230x y +-=或5230x y --=；（2）点R 不可能在双曲线Γ上，理由详见解析. 【解析】 【分析】（1）对所求直线分三种情况讨论：①l x ⊥轴，验证即可；②直线l 与双曲线相切，设出直线方程，与双曲线的方程联立，由0∆=求出直线的斜率，可得出直线l 的方程；③直线l 与双曲线的渐近线平行，可得出直线l 的方程.综合可得出所求直线l 的方程；（2）假设点R 在双曲线Γ上，设直线1l 的方程为2y x =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，()00,P x y ，求出点Q 、R 的坐标，再将点R 的坐标代入双曲线Γ的方程验证即可得出结论.【详解】（1）①当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，②当直线l 的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k ， 则直线l 的方程为()11y k x -=-，即1y kx k =-+，联立方程22114y kx k y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()()()222421140k x k k x k ⎡⎤-----+=⎣⎦， 直线l 和双曲线Γ有且仅有一个公共点，()()()22224144140kk k k ⎡⎤∴∆=-+--+=⎣⎦，化简得520k -=，解得52k =，此时，直线l 的方程为5322y x =-，即5230x y --=；③当直线l 与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点， 双曲线Γ的渐近线方程为2y x =±，∴直线l 的斜率为2x ±，所以，直线l 的方程为()121y x -=-或()121y x -=--，即210x y --=或230x y +-=.综上所述，直线l 的方程为1x =或5230x y --=或210x y --=或230x y +-=；（2）假设点R 在双曲线Γ上，不妨设直线1l 方程为2y x =，设点()11,2A x x 、()22,2B x x 、()00,P x y ，P 关于点A 的对称点记为Q ，∴点()10102,4Q x x x y --，Q 关于点B 的对称点记为R ，∴点()21021022,44R x x x x x y -+-+，点R 在双曲线Γ上，()()22210210442214x x y x x x -+∴-+-=，()()()()22221210022121001684414x x x x y y x x x x x x -+-⋅+∴-+-⋅+-=，∴()()22021002104214y x x x x x x y -⋅+--⋅-=，又点()00,P x y 在双曲线22:14y x Γ-=上，220014y x ∴-=， 上式化为()()210210420x x x x x y -⋅--⋅=，12x x ≠，0042x y ∴=，即002y x =，22014y x -=，则01=，此式显然不成立，故假设不成立，所以点R 不可能在双曲线Γ上.【点睛】本题考查利用直线与双曲线的公共点个数求直线方程，同时也考查了点与双曲线的位置关系的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知抛物线P 的焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.若三角形ABC 的三个顶点都在抛物线P 上，且0FA FB FC ++=，则称该三角形为“向心三角形”.（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2？说明理由； （2）设“向心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知三角形ABC 是“向心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2. 【答案】（1）不存在，理由详见解析；（2）450x y --=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，点F 为ABC ∆的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐标，代入抛物线的方程，进行判断即可；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，利用点差法求得121y y +=，根据重心的坐标公式，求出线段AB 的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线AB 的方程；（3）由()123y y y =-+，等式两边平方，利用基本不等式可得出()1232x x x <+，结合等式2313x x x +=-可求出12x <，进而证明结论成立.【详解】（1）由题意可知，抛物线的标准方程为24y x =， 由0FA FB FC ++=，可知，F 为ABC ∆重心，设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2，另外的顶点为()00,x y ，由0001130203x y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得：0022x y =⎧⎨=-⎩，显然2004y x ≠，故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2； （2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减，得()()()1212124y y y y x x -+=-，所以12121244y y x x y y -==-+，所以121y y +=，由题意可知，1230y y y ++=，所以31y =-，则314x =， 由1233x x x ++=，所以12114x x +=，所以，线段AB 的中点111,82⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，直线AB 的方程为111428y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得450x y --=. 因此，直线AB 的方程450x y --=；（3）由（2）可知1233x x x ++=，则2313x x x +=-，① 由1230y y y ++=，()123y y y =-+，平方可得()22222122332322y y y y y y y =++≤+，当且仅当23y y =时取等号，显然23y y ≠，所以2223122444y y y ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，即()1232x x x <+， 将①代入可得()1123x x <-，解得12x <， 所以点A 的横坐标小于2.【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、点差法以及基本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21.设椭圆E 的方程为2212x y +=，斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，AB 为直径作圆S .（1）求圆心C 的轨迹方程，并描述轨迹的图形； （2）若圆S 经过原点，求直线l 的方程； （3）证明：圆S 内含或内切于圆223x y +=.【答案】（1）圆心C 的轨迹方程为12y x x ⎛=-<< ⎝⎭，轨迹为线段；（2）y x =±；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程为y x t =+，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，以及韦达定理和中点坐标公式，可得圆心C 的轨迹方程，并确定轨迹图形；（2）利用弦长公式求得AB ，以及圆S 的方程，代入原点，可求t 的值，进而可求得直线l 的方程；（3）利用两圆内切和内含的条件，结合两点间的距离公式，计算可得出结论成立. 【详解】（1）设斜率为1的动直线l 的方程为y x t =+， 联立椭圆方程2222x y +=，可得2234220x tx t ++-=，设()11,A x y 、()22,B x y ，则()2221612222480t t t ∆=--=->，即t <由韦达定理得1243t x x +=-，212223t x x -=，则中点2,33t t C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得圆心C 的轨迹方程为12y x x ⎛=-<< ⎝⎭，即轨迹为线段；（2）由（1）可得AB ===可得圆S 的方程为2222124339t t t x y -⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若圆S 经过原点，可得()2243599t t -=，解得3t =±，因此，直线l 的方程为y x =±；（3）圆223x y +=的圆心设为()0,0O ，圆S 的圆心2,33t t S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由222225124133393933t t OS t ⎫⎛⎫--=--+=+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()03m m =<<，则2293m t -=，可得()222294131203333m m OS m --=+-=--≤⎝⎭， 可得圆S 内含或内切于圆223x y +=.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线与椭圆的综合问题，圆与圆位置的关系的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
2020-2021学年上海市某校高二(上)月考数学试卷(9月份)(有答案)
2020-2021学年上海市某校高二（上）月考数学试卷（9月份）一.填空题1. 函数y ＝sin x +cos x 在x ＝θ处取得最大值，则sin θ＝________．2. 已知等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝5，那么数列{a n }的前8项和S 8＝________．3. 已知单位向量，的夹角为60∘，则|+|＝________．4. 若增广矩阵为的线性方程组的解为，则实数m ＝________．5. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B =π3，C =π4，a ＝2，则△ABC 的面积为________．6. 在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，P 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点，O 为BC 边的中点，则的值为________．7. 已知，，α、β均为锐角，则sin (α−β)＝________．8. 圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →+AC →=2AO →，且|OA →|=|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________．9. 方程cos πx ＝|log 2|x −1||所有解的和为________．10. 设函数f(x)＝2sin (ωx +φ)(ω>0，）的图象关于直线对称，它的周期为π，则下列说法正确是________.（填写序号）①f(x)的图象过点；②f(x)在上单调递减；③f(x)的一个对称中心是；④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝2sin 2x 的图象．11. 如图所示，正方形上连接等腰直角三角形，直角三角形上再连接正方形…，如此无限重复下去，设正方形面积为S 1、S 2、S 3、…、S n 、…，三角形面积为T 1、T 2、T 3、…、T n 、…，当第一个正方形的边长为2时，则这些正方形和三角形的面积的总和为________．12. 在平面凸四边形ABCD 中，AB ＝2，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且MN ＝1，若，MN →⋅(AD →−BC →)=32，则AB ¯⋅CD ¯的值为________．二.选择题 已知，，且 // ，那么k ＝（ ）A.10B.5C.D.−10已知tan α＝3，则sin （）⋅cos （）的值为（ ）A. B.- C. D.-在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM →=λAB →+μAC →，则λ+μ=( )A.1 2B.−12C.2D.−2在平面直角坐标系中，定义(n∈N∗)为点P n(x n, y n)到点P n+1(x n+1, y n+1)的变换，我们把它称为点变换，已知P1(1, 0)，P2(x2, y2)，P3(x3, y3)，…是经过点变换得到一组无穷点列，设a n＝•，则满足不等式a1+a2+...+a n>2020最小正整数n的值为（）A.9B.10C.11D.12三.解答题解关于x、y的方程组，请对方程组解的情况进行讨论．已知，且向量与不共线．（1）若与的夹角为45∘，求；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝(n+1)a n+n(n+1)．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．已知，函数．（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在[−10, 10]内的零点的个数；（3）将f(x)的图象先向下平移个单位，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，其中ω>0，得到g(x)的图象，若g(x)在上恒满足，求ω所有可能取值．对于数列{x n}，若存在m∈N∗，使得x2m−k＝x k对任意1≤k≤2m−1(k∈N∗)都成立，则称数列{x n}为“m−折叠数列”．（1）若a n＝|25n−200|(n∈N∗)，b n＝n2−2019n−1(n∈N∗)，判断数列{a n}、{b n}是否是“m−折叠数列”，如果是，指出m的值；如果不是，请说明理由；（2）若x n＝q n(n∈N∗)，求所有的实数q，使得数列{x n}是3−折叠数列；（3）给定常数p∈N∗，是否存在数列{x n}，使得对所有m∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，且{x n}的各项中恰有p+1个不同的值，证明你的结论．参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高二（上）月考数学试卷（9月份）一.填空题1.【答案】【考点】三角函数的最值【解析】将函数化简，由正弦函数的最大值可得θ的值，进而求出其正弦值．【解答】y＝sin x+cos x＝sin(x+），所以当x+＝+2kπ，k∈Z，即x＝+2kπ，k∈Z时函数值最大，所以sinθ＝sin x＝sin（+2kπ)＝，k∈Z，2.【答案】64【考点】等差数列的前n项和【解析】由已知求得等差数列的公差，再由等差数列的前n项和公式求解S8．【解答】在等差数列{a n}中，由a1＝1，a3＝5，得d＝，∴．3.【答案】【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】直接根据向量数量积的公式进行计算即可．【解答】∵单位向量，的夹角为60∘，∴|+|2＝2+2+2•＝1+1+2×＝1+1+1＝3，即|+|＝，4.【答案】1【考点】几种特殊的矩阵变换【解析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组即可．【解答】∵增广矩阵为的二元线性方程组的解为，即方程组的解为，∴解得m＝1，5.【答案】3−√3【考点】正弦定理【解析】由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin A的值，利用正弦定理可求b的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】由题可知sin A=sin(B+C)=sin(π3+π4)=sinπ3cosπ4+cosπ3sinπ4=√32×√22+12×√22=√6+√24，由正弦定理可得asin A =bsin B，所以：b=asin A ×sin B=√6+√24√32=3√2−√6，可得：S=12ab sin C=12×2×(3√2−√6)×√22=3−√3．6.【答案】6【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】画出图形，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积即可． 【解答】建立如图所示的坐标系，A(0, 0)，B(0, 4)，C(2, 0)， P 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点，O 为BC 边的中点，可得P （，），O(1, 2)，＝（，）⋅(1, 2)＝＝6．7. 【答案】【考点】两角和与差的三角函数 【解析】由α，β均为锐角，可判断α+β，2α为钝角，则可得sin (α+β)，sin 2α的大小，再把α−β＝2α−(α+β)，再按照正弦的差角公式展开即可求解． 【解答】因为α，β均为锐角，且cos (α+β)＝-，cos 2α＝-，则sin (α+β)＝，sin 2α＝，则sin (α−β)＝sin [2α−(α+β)]＝sin 2αcos (α+β)−cos 2αsin (α+β)＝＝，8.【答案】 3【考点】 向量的投影 平面向量数量积 【解析】由△ABC 外接圆圆心O 满足AO →=12(AB →+AC →)，可得点O 在BC 上．由于|AO →|=|AC →|．可得△OAC 是等边三角形．可得|AB →|=|BC →|sin 60∘，进而得到向量BA →在BC →方向上的投影=|BA →|cos 30∘． 【解答】解：△ABC 外接圆半径等于2，其圆心O 满足AO →=12(AB →+AC →)，∴ 点O 在BC 上，∴ ∠BAC =90∘． ∵ |AO →|=|AC →|． ∴ △OAC 是等边三角形． ∴ ∠ACB =60∘．∴ |AB →|=|BC →|sin 60∘=2√3．∴ 向量BA →在BC →方向上的投影=|BA →|cos 30∘=2√3×√32=3．故答案为：3． 9.【答案】 4【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】利用已知条件作出函数f(x)＝cos πx 与g(x)＝|log 2|x −1||的图象，由对称性可得答案． 【解答】又f(x)＝cos πx 的周期为2，如图所示：两图象都关于直线x ＝1对称，且共有A 、B 、C 、D4个交点， 由中点坐标公式可得：x A +x D ＝2，x B +x C ＝2， 故所有交点的横坐标之和为4，即方程cos πx ＝|log 2|x −1||所有解的和为4． 故答案为：4．10.【答案】 ③【考点】命题的真假判断与应用 【解析】运用三角函数的周期公式可得ω，由对称轴方程可得φ，则f(x)＝2sin(2x+），结合特殊角的函数值和对称中心、单调区间和图象平移，可判断正确结论．【解答】由周期为π，可得ω＝＝＝2，由f(x)的图象关于直线对称，可得2•+φ＝kπ+，k∈Z，即φ＝kπ−，k∈Z，由0<φ<，可取k＝1，φ＝π−＝，即f(x)＝2sin(2x+），由f(0)＝2sin＝1，故①错误；由x∈，可得2x+∈[，]，f(x)在上先增后减，故②错误；由f（）＝2sin（+）＝0，可得f(x)的一个对称中心是；由f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝2sin(2x−+）即y＝2sin(2x−）的图象，故④错误．11.【答案】10【考点】数列的极限【解析】正方形的面积构成以4为首项，以为公比的等比数列，等腰直角三角形的面积构成以1为首项，为公比的等比数列，再由无穷递缩等比数列的所有项和公式求解．【解答】依题意，正方形的面积S 1，S 2，S 3，…，构成以4为首项，以为公比的等比数列，，其各项和S ＝；三角形的面积为T 1，T 2，T 3，…，构成以1为首项，以为公比的等比数列，，其各项和T ＝．∴ 这些正方形和三角形的面积的总和为S +T ＝10． 12. 【答案】12【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值． 【解答】取BD 的中点O ，连接OM ，ON ， 可得MN →=MO →+ON →=12(AB →+DC →)，平方可得MN →2=14(AB →2+DC →2+2AB →⋅DC →)=14(4+DC →2+2AB →⋅DC →)＝1，即有AB ¯⋅CD ¯=12DC →2， MN →⋅(AD →−BC →)=32，即有12(AB →+DC →)⋅(AB →+BD →−BC →) =12(AB →+DC →)⋅(AB →+CD →)=12(AB →2−CD →2)=12(4−CD →2)=32， 解得CD →2＝1，即有AB ¯⋅CD ¯=12， 二.选择题 【答案】D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据 // 即可得出4⋅5+2k ＝0，然后解出k 即可． 【解答】 ∵ // ，∴ 4⋅5+2k ＝0，解得k ＝−10． 【答案】 B【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可． 【解答】tan α＝3，则sin （）⋅cos （）＝−sin αcos α＝＝-＝-．【答案】 B【考点】平面向量的基本定理 【解析】设BD →=kBC →，用AB →，AC →表示出BM →求出λ，μ的值即可得出答案． 【解答】解：设BD →=kBC →=kAC →−kAB →， ∴ BM →=12(BA →+BD →) =−12AB →+k 2AC →−k 2AB →=(−12−k2)AB →+k 2AC →. ∴ λ=−12−k2，μ=k2. ∴ λ+μ=−12． 故选B . 【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据条件即可求得点P1，P2到P7的坐标，从而可以求出向量，，……，的坐标，进行向量数量积的坐标运算便可求出a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，a5＝16，从而便可看出数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可求出前n项和为2n−1，从而可以得到2n>2021，这样便可判断出最小正整数n的值．【解答】由条件得，P1(1, 0)，P2(1, 1)，P3(0, 2)，P4(−2, 2)，P5(−4, 0)，P6(−4, −4)，P7(0, −8)…；∴a1＝•＝(0, 1)⋅(−1, 1)＝1，a2＝•＝(−1, 1)⋅(−2, 0)＝2a3＝•＝(−2, 0)⋅(−2, −2)＝4，a4＝•＝(−2, −2)⋅(0, −4)＝8，a5＝•＝(0, −4)⋅(4, −4)＝16，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列；∴a1+a2+...+a n＝＝2n−1，∴由a1+a2+...+a n>2020得，2n−1>2020；∴2n>2020；∵210＝1024，211＝2048，∴满足a1+a2+...+a n>2020的最小正整数n＝11，三.解答题【答案】根据题意，方程组的解，D＝＝3−m(m−2)＝−(m−3)(m+1)，D x＝＝−18+2m2＝2(m−3)(m+3)，D y＝＝−2m+6(m−2)＝4m−12＝4(m−3)，所以，当m＝−1时，D＝0，Dx≠0，方程组无解；当m＝3时，D＝Dx＝Dy＝0，方程组有无穷多个解；当m≠−1且m≠3时，D≠0，方程组有唯一的解；【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】分情况m＝−1、m＝3，m≠−1，m≠3三种情形进行讨论，计算即可．【解答】根据题意，方程组的解，D＝＝3−m(m−2)＝−(m−3)(m+1)，D x＝＝−18+2m2＝2(m−3)(m+3)，D y＝＝−2m+6(m−2)＝4m−12＝4(m−3)，所以，当m＝−1时，D＝0，Dx≠0，方程组无解；当m＝3时，D＝Dx＝Dy＝0，方程组有无穷多个解；当m≠−1且m≠3时，D≠0，方程组有唯一的解；【答案】∵与的夹角为45∘，∴＝＝．∴＝-＝2+．∵向量与的夹角为钝角，∴（）•（，且不能反向共线，∴＝k2−1<4，解得−1<k<1∴实数k的取值范围是(−5, 1)(k≠0)．【考点】平面向量数量积的性质及其运算数量积表示两个向量的夹角【解析】（1）由与的夹角为45∘，可得＝cos45∘．展开＝-，代入即可得出．（2）由向量与的夹角为钝角，可得（）•（）<0，且不能反向共线，即可得出．【解答】∵与的夹角为45∘，∴＝＝．∴＝-＝2+．∵向量与的夹角为钝角，∴（）•（，且不能反向共线，∴＝k2−1<4，解得−1<k<1∴实数k的取值范围是(−5, 1)(k≠0)．【答案】证明：由na n+1＝(n+1)a n+n(n+1)，得，即，∵a1＝1，∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；由（1）得，，∴，则＝n⋅3n．∴，，＝，∴．【考点】数列的求和等差数列的性质【解析】（1）由na n+1＝(n+1)a n+n(n+1)，得，即，则数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；（2）由（1）得，，可得，代入，利用错位相减法求数列{b n}的前n项和S n．【解答】证明：由na n+1＝(n+1)a n+n(n+1)，得，即，∵a1＝1，∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；由（1）得，，∴，则＝n⋅3n．∴，，＝，∴．【答案】，函数．可得：＝，∴f(x)的最小正周期为π．令f(x)＝0得，∴，∴，x∈[−10, 10]，当x＝kπ时，k＝−3，−2，…，2，3，有7个值，当时，k＝−3，−2，…，1，2，有6个值，即：f(x)在[−10, 10]内的零点的个数为13．依题意，将f(x)的图象先向下平移个单位，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，其中ω>0，得到g(x)的图象，可得，是g(x)在上的最大值，当时，，下面分情况讨论：①当，即时，g(x)在上单调递增，符合题意，②当，即时，为了满足题意，必须保证，∴，∴，综上：ω所有可取的值为或．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换平面向量数量积的性质及其运算【解析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后利用周期公式求解即可．（2）令f(x)＝0，求解三角函数值，结合范围推出结果即可．（3）利用函数的图象变换化简函数的解析式，利用函数的最值列出不等式求解即可．【解答】，函数．可得：＝，∴f(x)的最小正周期为π．令f(x)＝0得，∴，∴，x∈[−10, 10]，当x＝kπ时，k＝−3，−2，…，2，3，有7个值，当时，k＝−3，−2，…，1，2，有6个值，即：f(x)在[−10, 10]内的零点的个数为13．依题意，将f(x)的图象先向下平移个单位，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，其中ω>0，得到g(x)的图象，可得，是g(x)在上的最大值，当时，，下面分情况讨论：①当，即时，g(x)在上单调递增，符合题意，②当，即时，为了满足题意，必须保证，∴，∴，综上：ω所有可取的值为或．【答案】存在m∈N∗，使得x2m−k＝x k对任意1≤k≤2m−1(k∈N∗)都成立，知：{x n}在1≤n≤2m−1内关于n＝m对称即可，①a n＝|25n−200|(n∈N∗)＝，(n∈N∗)，有{a n}在1≤n≤2×8−1＝15内关于n＝8对称，故m＝8，即是8−折叠数列；②b n＝n2−2019n−1(n∈N∗)有{b n}在1≤n≤2018内关于n＝对称，m＝∉N∗，即不是“m−折叠数列”；要使通项公式为x n＝q n(n∈N∗)的数列{x n}是3−折叠数列，只需要（）6−k＝q k，当q＝0时，x n＝0，显然成立，当q≠0时，由q6−k＝q k，得q6−2k＝1，q2（3−k）＝1，(k∈{1, 2, 3, 4, 5})，所以q＝1或q＝−1，综上q＝0，q＝1或q＝−1．对给定的p∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，故x n有多条对称轴，其中x＝pm都是数列{x n}的对称轴，设xn＝cos x，由x＝mπ(m∈N∗)得对称轴为x＝pm，且x n的周期为2p，满足给定常数p∈N∗，使得对所有m∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，x n是周期函数，周期为2p，在(1, 2p]这个周期内，x＝p为对称轴，故x n∈(1, 2p]对应函数值的个数与x n∈[p, 2p]对应的函数值个数相等，即x n∈[p, 2p]时，x n∈[π, 2π]，所以{x n}在x n∈[p, 2p]上单调递增，因为p∈N∗，所以x n各项中共有p+1个不同的值，综上，给定常数p∈N∗，存在数列{x n}，使得对所有m∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，且{x n}的各项中恰有p+1个不同的值．【考点】数列的应用【解析】（1）结合给的定义列出关于m的方程，判断方程是否有解即，可判断数列{a n}，{b n}是否是“m−折叠数列”；（2）根据题中所给定义，列方程得到6−k＝q k，再讨论q是否为0可得出结果；（3）只需列举出例子即可证明，结合定义，数列{x n}的图象有无数条对称轴，可联想三角函数求解，设x n＝cos x，结合三角函数单调性与周期性即可证明．【解答】存在m∈N∗，使得x2m−k＝x k对任意1≤k≤2m−1(k∈N∗)都成立，知：{x n}在1≤n≤2m−1内关于n＝m对称即可，①a n＝|25n−200|(n∈N∗)＝，(n∈N∗)，有{a n}在1≤n≤2×8−1＝15内关于n＝8对称，故m＝8，即是8−折叠数列；②b n＝n2−2019n−1(n∈N∗)有{b n}在1≤n≤2018内关于n＝对称，m＝∉N∗，即不是“m−折叠数列”；要使通项公式为x n＝q n(n∈N∗)的数列{x n}是3−折叠数列，只需要（）6−k＝q k，当q＝0时，x n＝0，显然成立，当q≠0时，由q6−k＝q k，得q6−2k＝1，q2（3−k）＝1，(k∈{1, 2, 3, 4, 5})，所以q＝1或q＝−1，综上q＝0，q＝1或q＝−1．对给定的p∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，故x n有多条对称轴，其中x＝pm都是数列{x n}的对称轴，设xn＝cos x，由x＝mπ(m∈N∗)得对称轴为x＝pm，且x n的周期为2p，满足给定常数p∈N∗，使得对所有m∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，x n是周期函数，周期为2p，在(1, 2p]这个周期内，x＝p为对称轴，故x n∈(1, 2p]对应函数值的个数与x n∈[p, 2p]对应的函数值个数相等，即x n∈[p, 2p]时，x n∈[π, 2π]，所以{x n}在x n∈[p, 2p]上单调递增，因为p∈N∗，所以x n各项中共有p+1个不同的值，综上，给定常数p∈N∗，存在数列{x n}，使得对所有m∈N∗，{x n}都是pm−折叠数列，且{x n}的各项中恰有p+1个不同的值．。
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数111y x =-+的值域是（ ） A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞+∞【答案】C 【分析】由反比例函数的性质可知101x ≠+，从而推出所求函数的值域. 【详解】解：由反比例函数的性质可知：101y x =≠+，则1111y x =-≠+，故值域为()(),11,+-∞⋃∞. 故选：C.2．若,0a b c a b c >>++=，则下列各式正确的是（ ）A ．ab bc >B ．ac bc >C ．a b b c >D ．ab ac > 【答案】D【分析】已知a b c >>，且0a b c ++=，于是可以推出得到最大数0a >和最小数0c <,而b 为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的b ,逐一验证.【详解】a b c >>且0a b c ++=.当0a ≤时,0c b a <<,则0a b c ++<,与已知条件0a b c ++=矛盾,所以必有0a >,同理可得0c <.A 项,当1a =,0b =,1c =-时,ab bc =,故A 项错误;B 项,()0ac bc c a b -=-<，即ac bc <，故B 项错误;C 项,0b =时,a b c b =,故C 项错误;D 项,()0ab ac a b c -=->，即ab ac >，故D 项正确.故选：D3．已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若2()()F x x f x =⋅，则()F x 是（ ）A ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格减函数B ．奇函数，在(,)-∞+∞上为严格增函数C ．偶函数，在(,0)-∞上严格减，在(0,)+∞上严格增D ．偶函数，在(,0)-∞上严格增，在(0,)+∞上严格减【答案】B【分析】由()()f x f x -=-可知()f x 为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设2()()F x x f x =⋅的奇偶性,从而得到答案.【详解】1,01,0()0,00,0()1,01,0x x f x x x f x x x ⎧->>⎧⎪⎪-===-==-⎨⎨⎪⎪<-<⎩⎩()f x ∴为奇函数,又2()()F x x f x =⋅22()()()()()F x x f x x f x F x ∴-=-⋅-=-⋅=-()F x ∴是奇函数,可排除C,D.又222,0()()0,0,0x x F x x f x x x x ⎧>⎪=⋅==⎨⎪-<⎩()F x ∴在(,)-∞+∞上单调递增.故选：B4．设0a b c >>>，则()221121025a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为（ ） AB ．2C ．4 D．【答案】A 【分析】转化条件为原式211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--，结合基本不等式即可得解. 【详解】()221121025a ac c ab a a b ++-+- 2211()()21025()ab a a b ab a a b a ac c ab a a b =+++----+-+- 2211()1025()ab a a b a ac c ab a a b =+++-+-+-211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--04≥=， 当且仅当1()15ab a a b a c =⎧⎪-=⎨⎪=⎩，即a =2b =5c =时，等号成立. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、填空题5．已知全集{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A =_________.【答案】[]7,10【分析】根据补集的定义写出补集即可.【详解】解：{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A ={}|710x x ≤≤.故答案为：[]7,10.6．设实数a 满足2log 4a =，则a =_________.【答案】16【分析】根据对数式与指数式的互化即可求解.【详解】因为2log 4a =，所以4216a ==，故答案为：167．已知幂函数235()(1)mm f x m x --=-的图像不经过原点，则实数m =_________.【答案】2【分析】先由幂函数的定义求出m ，再检验得解.【详解】依题意得11m -=，解得2m =．此时()771f x x x -==，其图像不经过原点，符合题意， 因此实数m 的值为2．故答案为: 28．函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3上为严格减函数的充要条件是_________.【答案】3a ≥【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3为严格减函数，所以二次函数对称轴3x a =≥，故答案为：3a ≥9．函数22()log (1)f x x =-的定义域为_________.【答案】(1,1)-【分析】根据对数的真数大于0求解即可.【详解】()()22log 1f x x =-， 210x ∴->，解得11x -<<所以函数()()2log 1a f x x =-的定义域为()1,1-， 故答案为：()1,1-10．设函数f （x ）200x x x x -≤⎧=⎨⎩，，＞，若f （α）＝9，则α＝_____． 【答案】﹣9或3 【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得09αα≤⎧⎨-=⎩或209αα⎧⎨=⎩＞， ∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.11．若函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-上的最大值为4，则其最小值为_________.【答案】12【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数()(1)x f x a a =>在[]1,2-单调递增，所以24a =，解得2a =，当1x =-，1min 1()(1)22f x f -=-==， 故答案为：1212．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =-，则a 的值是______. 【答案】13- 【分析】根据函数的对称性求出()f x 的解析式，代入a 求解即可.【详解】解：因为函数()y g x =的图像与3x y =的图像关于直线y x =对称，则()3log g x x =， 又函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，则()3()log f x x =-，()3()log 1f a a =-=-，则13a =-. 故答案为：13- 【点睛】知识点点睛：（1）()y g x =与x y a =图像关于直线y x =对称，则()log a g x x =；（2）()y f x =与()y g x =关于y 轴对称，则()()f x g x =-；（3）()y f x =与()y g x =关于x 轴对称，则()()f x g x =-；13．如果关于x 的方程53x x a -++=有解，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)8,+∞【分析】根据绝对值的几何意义求得53x x -++最小值为8，即可求出实数a 的取值范围．【详解】因为53x x -++表示数轴上的x 对应点到-3和5对应点的距离之和，其最小值为8， 故当8a ≥时，关于x 的方程53x x a -++=有解，故实数a 的取值范围为[8,)+∞，故答案为：[8,)+∞．14．若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是严格增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是_________.【答案】(,4)(4,)-∞-⋃+∞【分析】由函数的奇偶性和零点，分别求出()0f x >和()0f x <的解集，再分别讨论当0x >和0x <时()0xf x >的解集即可求出结果.【详解】解：因为()f x 为奇函数，且有(4)0f -=，则()f x 在(,0)-∞上是也严格递增，且(4)0f =，所以()0f x >的解集为：()()4,04,-+∞；()0f x <的解集为：()(),40,4-∞-，则当0x >时，()0xf x >的解为()4,+∞，当0x <时，()0xf x >的解为(),4-∞-故()0xf x >成立的x 的取值范围是()(),44,-∞-+∞. 故答案为：()(),44,-∞-+∞【点睛】思路点睛：类似求()0xf x >或求()0f x x >的解集的问题，往往是根据函数的奇偶性和单调性先求出()0f x >或()0f x <的解，再结合x 的范围进行求解.15．函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】](,1-∞-【分析】函数()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，即()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，利用均值不等式求解即可.【详解】设()221x x g x a -=++-，由()lg(221)x x f x a -=++-的值域为R ，知()221x x g x a -=++-可以取所有的正值，又()22111x x g x a a a -=++-≥-=+，当且仅当0x =时等号成立，故()g x 的值域为[1,)a ++∞，所以只需满足[)()1,0,a ++∞⊇+∞即可，即1a ≤-故答案为：](,1-∞-【点睛】关键点点睛：求出()221x x g x a -=++-的值域，由题意知()221x x g x a -=++-能取遍一切正实数，转化为()g x 的值域包含()0,∞+是解题的关键，属于中档题.16．．若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0(){2,0x x x x f x x e++<=≥，则()f x 的“友好点对”有 个. 【答案】2【详解】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=2x 2+4x+1（x ＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y="2" /e x （x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f （x ）的“友好点对”有：2个．故答案为2三、解答题17．已知函数2()21f x ax ax =++.（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间(不需要过程)；（2）已知函数()y f x =在区间[3,2]-上的最大值为2，求实数a 的值.【答案】（1）增区间是(1,)-+∞，减区间是(,1)-∞-；（2）18a =或1a =-. 【分析】（1）求出()f x 的单调区间，然后根据复合函数的单调性写出()3f x y =的单调区间即可；（2）根据二次函数的性质，讨论0a <，0a =，0a >不同范围下()f x 的最值，解出a .【详解】解：（1）1a =时，()221f x x x =++，在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增；则()3f x y =的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞.（2）()()222111f x ax ax a x a =++=++-，对称轴为1-， 当0a <时，()f x 在1x =-处取得最大值，()112f a -=-=，解得：1a =-当0a =时，()1f x =不成立；当0a >时，()f x 在()3,1--上单调递减，在()1,2-上单调递增，且对称轴为1x =-，()max f x =()2f ()2912f a a =+-=，解得：18a =综上所述：1a =-或18a =. 【点睛】本题考查复合函数的单调性以及二次函数的最值，属于基础题.思路点睛：（1）复合函数的单调性：分别判断内层函数和外层函数的单调性，根据同增异减的原则写出单调区间即可；（2）()221f x ax ax =++的最高次项系数为a ，不一定为二次函数，需讨论a 与0的关系； 18．设函数()|2|,()2f x x a g x x =-=+.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）求证：1,,222b b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12. 【答案】（1）1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）利用反证法证明即可．【详解】（1）当a ＝1时，|2x －1|≤x ＋2， 化简可得12122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-≤+⎩或12212x x x ⎧<⎪⎨⎪-≤+⎩ 解得1132x -≤≤或132x <≤ 综上，不等式的解集为)1|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.(2)证明：假设1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭都小于12，则1122112211122a ba ba⎧-<+<⎪⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，前两式相加得－12<a<12与第三式12<a<32矛盾.因此假设不成立，故1,,222b bf f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中至少有一个不小于12.【点睛】关键点点睛：证明至少、至多类命题时，考虑反证法是解题的关键，首先要根据题意恰当反设，正常推理，寻求矛盾是重点，属于中档题.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x∈时，曲线是函数0.880log()y x a=++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x=的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）20.81(12)84,(0,16]()4log(15)80,(16,40]x xf xx x⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得(0,16]x∈和(16,40]x∈上的解析式，即可求解；（2）当(0,16]x∈和(16,40]x∈时，令()68f x<，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当(0,16]x∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b=-+<，因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844f x x =--+， 当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++， 由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+， 综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<，即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟.20．已知1()log 1a mx f x x -=-(0a >､1a ≠)是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；（3）当(,2)x n a ∈-时，()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值.【答案】（1）1m =-；（2）1a >时()f x 在(1,)+∞上严格减；01a <<时.()f x 在(1,)+∞上严格增；（3）21a n ==.【分析】（1）根据奇函数的定义可知f （﹣x ）+f （x ）＝0，建立关于m 的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a 的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n ，a ﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n 和a 的值．【详解】（1）∵函数()11amx f x log x -=-（a ＞0，a ≠1）是奇函数． ∴f （﹣x ）+f （x ）＝0 即11log log 011aa mx mx x x +-+=---， 所以11log 011a mx mx x x +-⋅=---， 即222111m x x-=- 解得1m =±，当1m =时，1()log log (1)1a a xf x x -==--无意义，舍去. 故1m =-.（2）由（1）及题设知：()11ax f x log x +=-， 设11221111x x t x x x +-+===+---， ∴当x 1＞x 2＞1时，()()()211212122221111x x t t x x x x --=-=---- ∴t 1＜t 2．当a ＞1时，log a t 1＜log a t 2，即f （x 1）＜f （x 2）． ∴当a ＞1时，f （x ）在（1，+∞）上是减函数． 同理当0＜a ＜1时，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f （x ）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n ＜a ﹣2≤﹣1时，有0＜a ＜1．由（1）及（2）题设知：f （x ）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知11121an log n a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩（无解）； ②当1≤n ＜a ﹣2时，有a ＞3．由（1）及（2）题设知：f （x ）在（n ，a ﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知1113a n a log a =⎧⎪-⎨=⎪-⎩得2a =+n ＝1．【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.21．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.(1)已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知函数()f x x =，且()f x 是区间[]4,2--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；(3)如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()g x x =是，2()h x x =不是，理由见解析；(2)9；(3)(1,1)a ∈-. 【分析】(1)利用给定定义推理判断或者反例判断而得； (2)把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；(3)根据题设条件，写出函数f (x )的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【详解】(1)g (x )定义域R ，3333[1,0],(),()()()02222x x R g x g x x x ∀∈-+∈+-=+-=>，g (x )是， 取x =-1，311(1)()1(1)224h h h -+==<=-，h (x )不是， 函数()g x x =是区间[]1,0-上的32-增长函数，函数2()h x x =不是；(2)依题意，2[4,2],()()||||20x f x n f x x n x nx n ∀∈--+>⇔+>⇔+>， 而n>0，关于x 的一次函数22nx n +是增函数，x =-4时22min (2)8nx n n n +=-， 所以n 2-8n>0得n>8，从而正整数n 的最小值为9；(3)依题意，2222222,?(),?2,?x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，而,(4)()x R f x f x ∀∈+>， f (x )在区间[-a 2,a 2]上是递减的，则x ，x +4不能同在区间[-a 2,a 2]上，4>a 2-(-a 2)=2a 2， 又x ∈[-2a 2，0]时，f (x )≥0，x ∈[0，2a 2]时，f (x )≤0，若2a 2<4≤4a 2，当x =-2a 2时，x +4∈[0，2a 2]，f (x +4)≤f (x )不符合要求， 所以4a 2<4，即-1<a<1.因为：当4a 2<4时，①x +4≤-a 2，f (x +4)>f (x )显然成立；②-a 2<x +4<a 2时，x <a 2-4<-3a 2，f (x +4)=-(x +4)>-a 2，f (x )=x +2a 2<-a 2，f (x +4)>f (x )； ③x +4>a 2时，f (x +4)=(x +4)-2a 2>x +2a 2≥f (x )，综上知，当-1<a<1时，()f x 为R 上的4-增长函数， 所以实数a 的取值范围是(-1，1).【点睛】(1)以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决；(2)分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论.。
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高三(上)9月月考数学试卷
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高三（上）9月月考数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设集合A={1，2，3，4}，B={x|x＞1}，则A∩B=___ ．2.（填空题，0分）已知复数z满足z（1-2i）=5（i为虚数单位），则|z|=___ ．3.（填空题，0分）若函数f（x）=2x-3，则f-1（1）=___ ．4.（填空题，0分）已知x∈(0，π2)，则方程|2sinx112cosx|=0的解集是___ ．5.（填空题，0分）已知某圆锥体的底面半径为r=3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为2π3的扇形，则该圆锥体的母线长是___ ．6.（填空题，0分）函数f(x)=cos2x−sin2x−13，x∈（0，π）的单调递增区间是___ ．7.（填空题，0分）设F1、F2分别为双曲线x2a2 - y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF1|-|PF2|= 35|F1F2|，则该双曲线的渐近线方程为___ ．8.（填空题，0分）在（1+x）n的二项展开式中，若a n是所有二项式系数的和，则n→∞(1a1+1a2+⋯+1a n) =___ ．9.（填空题，0分）控江中学高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，若选出的人中至少有一名女生，则共有___ 种不同的选法．10.（填空题，0分）设θ∈(−π2，π2)，若函数f(x)=sin(x+θ)+√3cos(x+θ)是奇函数，则θ=___ ．11.（填空题，0分）已知α：1≤x≤4，β：log22x-4a•log4x+1≤0，若α是β成立的必要条件，则实数a的取值范围是___ ．12.（填空题，0分）设m∈R．若对于任意实数a，都存在x∈[-2，2]满足|x2-1|+|x-a|＞m，则m的取值范围是___ ．13.（单选题，0分）已知向量a⃗、b⃗⃗，则“ a⃗=±b⃗⃗”是“ |a⃗|=|b⃗⃗|”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.（单选题，0分）将函数 y =sin (x −π6) 的图象上所有的点向右平移 π4 个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ） A. y =sin (2x −5π12) B. y =sin (x2+π12) C. y =sin (x2−5π12) D. y =sin (x2−5π24)15.（单选题，0分）若等比数列{a n }的公比为q （q≠0），则关于x 、y 的二元一次方程组 {a 1x +a 3y =4a 2x +a 4y =−3的解，下列说法中正确的是（ ） A.对任意q∈R （q≠0），方程组都有无穷多组解 B.对任意q∈R （q≠0），方程组都无解 C.当且仅当 q =−34时，方程组无解D.当且仅当 q =−34 时，方程组有无穷多组解16.（单选题，0分）已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，下列两个命题： ① 若f （x ）、g （x ）都不是单调函数，则f （g （x ））不是增函数．② 若f （x ）、g （x ）都是非奇非偶函数，则f （g （x ））不是偶函数．则（ ） A. ① ② 都正确 B. ① 正确 ② 错误 C. ① 错误 ② 正确 D. ① ② 都错误17.（问答题，0分）在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（如图）E 是棱C 1D 1的中点，F 是侧面AA 1D 1D 的中心． （1）求三棱锥A 1-D 1EF 的体积；（2）求EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）18.（问答题，0分）已知等差数列{a n }中，a 2=5，a 5=14，设数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n =2b n -1．（1）求a n ，b n 的通项公式；（2）设数列{c n }满足c n =a n +b n ，求{c n }的前n 项和T n ．19.（问答题，0分）如图，一艘湖面清运船在A 处发现位于它正西方向的B 处和北偏东30°方向上的C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B 的距离比到C 的距离少40米，于是选择沿A→B→C 路线清扫．已知清运船的直线行走速度为2米/秒，总共用了100秒钟完成了清扫任务（忽略清运船打捞垃圾及在B 处转向所用时间）． （1）B 、C 两处垃圾的距离是多少？（2）清运船此次清扫行走路线的夹角∠B 是多少？（用反三角函数表示）20.（问答题，0分）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点A ，B ，与x 轴，y 轴分别交于D 、E 两点，且满足 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （1）已知直线l 的方程为y=2x-4，抛物线C 的方程为y 2=4x ，求λ1+λ2的值； （2）已知直线l ：x=my+1（m ＞1），椭圆C ：x 22+y 2 =1，求1λ1+1λ2的取值范围； （3）已知双曲线C ： x 23−y 2=1，λ1+λ2=6 ，求点D 的坐标．21.（问答题，0分）已知函数y=f （x ），x∈D ，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总存在非零常数T ，恒有f （x+T ）＜P•f （x ）成立，则称函数f （x ）是D上的P级递减周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=P•f（x）成立，则称函数f（x）是D 上的P级周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）=x2+a是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数，求实数a的取值范围；（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上P级周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求实数P的取值范围；（3）是否存在非零实数k，使函数f(x)=(12)x•coskx是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论．2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设集合A={1，2，3，4}，B={x|x＞1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{2，3，4}【解析】：进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={1，2，3，4}，B={x|x＞1}，∴A∩B={2，3，4}．故答案为：{2，3，4}．【点评】：本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（填空题，0分）已知复数z满足z（1-2i）=5（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √5【解析】：根据（1-2i）z=5，可得z= 51−2i，由此能求出结果．【解答】：解：∵（1-2i）z=5，∴z= 51−2i = 5(1+2i)(1−2i)(1+2i)= 5(1+2i)5=1+2i，故|z|= √1+4 = √5，故答案为：√5．【点评】：本题考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数求模问题，是一道基础题．3.（填空题，0分）若函数f（x）=2x-3，则f-1（1）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据反函数的性质只需令f（x）=1，解出x的解即为所求．【解答】：解：令2x-3=1，解得x=2，所以根据反函数的性质可得f-1（1）=2，故答案为：2．【点评】：本题考查了反函数的性质，属于基础题．4.（填空题，0分）已知x∈(0，π2)，则方程|2sinx112cosx|=0的解集是___ ．【正确答案】：[1]{ π12，5π12}【解析】：利用行列式的定义及二倍角公式化简已知等式可得sin2x= 12，可解得x=kπ+ π12，或x=kπ+ 5π12，k∈Z，结合范围x∈(0，π2)即可求解．【解答】：解：因为|2sinx112cosx|=0，可得4sinxcosx-1=0，即sin2x= 12，所以2x=2kπ+ π6，或2x=2kπ+ 5π6，k∈Z，解得x=kπ+ π12，或x=kπ+ 5π12，k∈Z，又因为x∈(0，π2)，所以x= π12，或5π12，即方程|2sinx112cosx|=0的解集是{ π12，5π12}．故答案为：{ π12，5π12}．【点评】：本题主要考查了行列式的定义及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．5.（填空题，0分）已知某圆锥体的底面半径为r=3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为2π3的扇形，则该圆锥体的母线长是___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：设圆锥体的母线长为R，根据底面圆周长等于展开图扇形的弧长，列方程求出R的值．【解答】：解：某圆锥体的底面半径为r=3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为2π3的扇形，设圆锥体的母线长为R，则2πr= 2π3• 12π•2πR，解得R=3r=9，∴圆锥体的母线长为9．故答案为：9．【点评】：本题考查了圆锥体的底面圆周长与侧面展开图的应用问题，是基础题． 6.（填空题，0分）函数 f (x )=cos 2x −sin 2x −13 ，x∈（0，π）的单调递增区间是___ ． 【正确答案】：[1][ π2 ，π）【解析】：由已知利用二倍角公式可得f （x ）=cos2x- 13 ，可求范围2x∈（0，2π），利用余弦函数的单调性即可求解．【解答】：解：因为 f (x )=cos 2x −sin 2x −13 =cos2x- 13 ， 又x∈（0，π），2x∈（0，2π）， 令π≤2x ＜2π，解得 π2 ≤x ＜π，可得f （x ）的单调递增区间是[ π2 ，π）． 故答案为：[ π2 ，π）．【点评】：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式及余弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题．7.（填空题，0分）设F 1、F 2分别为双曲线 x 2a 2 - y 2b 2 =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 1|-|PF 2|= 35 |F 1F 2|，则该双曲线的渐近线方程为___ ． 【正确答案】：[1] y =±43x【解析】：利用双曲线的定义，结合条件，确定a ，b ，c 的关系，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】：解：∵|PF 1|-|PF 2|= 35 |F 1F 2|， ∴2a= 35•2c ， ∴a= 35 c ， ∴b= 45 a ，∴双曲线的渐近线方程为y=± ba x ，即 y =±43x ； 故答案为： y =±43x ．【点评】：本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，比较基础．8.（填空题，0分）在（1+x）n的二项展开式中，若a n是所有二项式系数的和，则n→∞(1a1+1a2+⋯+1a n) =___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：由已知可得a n=2n，再由等比数列的求和公式求得1a1+1a2+⋯+1a n，取极限得答案．【解答】：解：由题意，a n=2n，则1a1+1a2+⋯+1a n= 12+122+⋯+12n=12(1−12n)1−12= 1−12n．∴n→∞(1a1+1a2+⋯+1a n) = limn→∞(1−12n)=1．故答案为：1．【点评】：本题考查二项式系数的性质，考查等比数列的前n项和及数列极限的求法，是基础题．9.（填空题，0分）控江中学高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，若选出的人中至少有一名女生，则共有___ 种不同的选法．【正确答案】：[1]31【解析】：根据题意，用间接法分析：先计算从7名学生中任选3人的选法，再排除其中没有女生，即全部为男生的选法，即可得答案．【解答】：解：根据题意，共有4名男生和3名女生，共7名学生，从中选出3人，由C73=35种选法，若没有女生，即全部为男生，有C43=4种选法，则至少有一名女生的选法有35-4=31种，故答案为：31．【点评】：本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．10.（填空题，0分）设θ∈(−π2，π2)，若函数f(x)=sin(x+θ)+√3cos(x+θ)是奇函数，则θ=___ ．【正确答案】：[1] −π3【解析】：由题意利用两角和差的三角公式花简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性可得θ+ π3 =kπ，k∈Z ，∴由此求得θ的值．【解答】：解：设 θ∈(−π2，π2) ，若函数 f (x )=sin (x +θ)+√3cos (x +θ) =2sin （x+θ+ π3 ）是奇函数，故θ+ π3 =kπ，k∈Z ，∴k=0，θ=- π3 ， 故答案为：- π3 ．【点评】：本题主要考查两角和差的三角公式，三角函数的奇偶性，属于基础题．11.（填空题，0分）已知α：1≤x≤4，β：log 22x-4a•log 4x+1≤0，若α是β成立的必要条件，则实数a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (−∞，54]【解析】：α是β成立的必要条件则{x|log 22x-4a•log 4x+1≤0}⊆{x|1≤x≤4}，利用换元法可得 {t|a ≥12(t +1t )}⊆[0，2] ，结合图象可得实数a 的取值范围．【解答】：解：由题意，{x|log 22x-4a•log 4x +1≤0}⊆{x|1≤x≤4} 令t=log 2x ，则β即t 2-2at+1≤0（*），由题意转化为关于t 的不等式（*）的解集是集合{t|0≤t≤2}的子集， ① 若不等式（*）的解集为∅，此时 △=4a 2-4＜0，解得-1＜a ＜1；② 若不等式（*）的解集不为∅，令f （t ）=t 2-2at+1，对称轴为x=a ， 则 {Δ⩾00⩽a ⩽2f (0)⩾0f (2)⩾0 ，解得 1≤a ≤54 ．综上所述a 的取值范围（-1， 54]， 故答案为：（-1， 54]．【点评】：本题考查了必要条件与集合之间的关系，考查了数形结合求解运算能力，属于中档题．12.（填空题，0分）设m∈R ．若对于任意实数a ，都存在x∈[-2，2]满足|x 2-1|+|x-a|＞m ，则m 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]（-∞，5）【解析】：记f （x ）=|x 2-1|+|x-a|，x∈[-2，2]，易得f （x ）max =max{f （-2），f （2）}，然后求出[f （x ）max ]min ，再根据条件得到m 的取值范围．【解答】：解：记f （x ）=|x 2-1|+|x-a|，x∈[-2，2]，易得f （x ）max =max{f （-2），f （2）}=max{3+|2-a|，3+|2+a|}， ∵当a≥0时，3+|2+a|1≥3+|2-a|，当a ＜0时，3+|2+a|＜3+|2-a|，∴ f (x )max ={3+|2+a |=a +5，a ≥03+|2−a |=−a +5，a ＜0 ，∴当a=0时，[f （x ）max ]min =5，∵任意实数a ，都存在x∈[-2，2]满足|x 2-1|+|x-a|＞m ， ∴[f （x ）max ]min =5＞m ， ∴m 的取值范围是（-∞，5）．【点评】：本题考查了绝对值不等式有解问题，考查了分类讨论思想，属中档题． 13.（单选题，0分）已知向量 a ⃗ 、 b ⃗⃗ ，则“ a ⃗=±b ⃗⃗ ”是“ |a ⃗|=|b ⃗⃗| ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 【正确答案】：A【解析】：借助向量的概念，根据充分条件和必要条件的定义即可判断．【解答】：解：“ a ⃗=±b ⃗⃗ ”一定能推出“ |a ⃗|=|b⃗⃗| ”，反之则不能， 例如 a ⃗ =（1，0）， b ⃗⃗ =（0，1），则满足“ |a ⃗|=|b ⃗⃗| ”，不满足“ a ⃗=±b ⃗⃗ ”， 故“ a ⃗=±b ⃗⃗ ”是“ |a ⃗|=|b ⃗⃗| ”的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】：本题考查了向量的概念和充分条件必要条件的概念，属于基础题．14.（单选题，0分）将函数 y =sin (x −π6) 的图象上所有的点向右平移 π4 个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ）A. y =sin (2x −5π12)B. y =sin (x 2+π12) C. y =sin (x 2−5π12)D. y =sin (x 2−5π24) 【正确答案】：C【解析】：根据三角函数图象平移法则，即可写出平移变换后的函数解析式．【解答】：解：函数 y =sin (x −π6) 的图象上所有的点向右平移 π4 个单位长度，得y=sin[（x- π4 ）- π6 ]=sin （x- 5π12 ）的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得y=sin （ 12 x- 5π12 ）的图象；∴函数的解析式为y=sin （ x 2 - 5π12 ）．故选：C ．【点评】：本题考查了三角函数图象平移法则的应用问题，是基础题．15.（单选题，0分）若等比数列{a n }的公比为q （q≠0），则关于x 、y 的二元一次方程组 {a 1x +a 3y =4a 2x +a 4y =−3的解，下列说法中正确的是（ ） A.对任意q∈R （q≠0），方程组都有无穷多组解B.对任意q∈R （q≠0），方程组都无解C.当且仅当 q =−34 时，方程组无解D.当且仅当 q =−34 时，方程组有无穷多组解【正确答案】：D【解析】：对原方程组利用加减消元法得到：0=4q+3，求得q 的值，即可得到正确选项．【解答】：解：由题设知： {a 1x +a 3y =4①a 2x +a 4y =−3②， 由 ① ×q - ② 得：0=4q+3，解得：q=- 34 ，∴方程组有无穷多组解⇔q=- 34 ，故选：D ．【点评】：本题主要考查等比数列与一元二次方程组的综合及充要条件，属于基础题．16.（单选题，0分）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，下列两个命题：① 若f（x）、g（x）都不是单调函数，则f（g（x））不是增函数．② 若f（x）、g（x）都是非奇非偶函数，则f（g（x））不是偶函数．则（）A. ① ② 都正确B. ① 正确② 错误C. ① 错误② 正确D. ① ② 都错误【正确答案】：D【解析】：根据题意，对于两个命题，举出反例可得两个命题都错误，即可得答案．【解答】：解：根据题意，对于① ② 两个命题：① 的反例：f(x)=g(x)={1x，x≠00，x=0，则f（g（x））=x，② 的反例：f（x）=（x+1）2，g（x）=x-1，则① ② 都错误，故选：D．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意举出反例进行分析，属于基础题．17.（问答题，0分）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（如图）E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D的中心．（1）求三棱锥A1-D1EF的体积；（2）求EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）【正确答案】：【解析】：（1）由已知中棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D的中心，我们利用等体积法，可得三棱锥A1-D1EF的体积等于三棱锥E-D1A1F的体积，分别求出其底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可得到答案．（2）取A1D1的中点G，易得FG⊥平面A1B1C1D1，根据线面夹角的定义可得∠GEF即为EF与底面A1B1C1D1所成的角的平面角，解Rt△GEF即可得到EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．【解答】：解：（1）V A1−D1EF =V E−A1D1F=13•1•1=13．（6分）（体积公式正确3分）（2）取A1D1的中点G，则FG⊥平面A1B1C1D1，EF在底面A1B1C1D1的射影为GE，所求的角的大小等于∠GEF的大小，（8分）在Rt△GEF中tan∠GEF=√22，所以EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小是arctan√22．（12分）【点评】：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是利用等体积法，将求三棱锥A1-D1EF的体积转化为求三棱锥E-D1A1F的体积，降低运算的难度，（2）的关键是确定出∠GEF即为EF与底面A1B1C1D1所成的角的平面角．18.（问答题，0分）已知等差数列{a n}中，a2=5，a5=14，设数列{b n}的前n项和为S n，且S n=2b n-1．（1）求a n，b n的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=a n+b n，求{c n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用等差数列的性质的应用和递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用（1）的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．【解答】：解：（1）等差数列{a n}中，设首项为a1，公差为d，由于a2=5，a5=14，所以{a1+d=5a1+4d=14，解得{a1=2d=3，故a n=2+3（n-1）=3n-1．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=2b n-1 ① ，当n=1时，解得b1=1，当n≥2时，S n-1=2b n-1-1 ② ，① - ② 得：b n=2b n-2b n-1，整理得b n=2b n-1，即b nb n−1=2（常数），所以数列{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以b n=2n−1（首项符合通项），故b n=2n−1．（2）由（1）得：c n=a n+b n=(3n−1)+2n−1，故T n=2+20+5+21+⋯+(3n−1)+2n−1，=（2+5+…+3n-1）+（20+21+…+2n-1），= n(2+3n−1)2+(2n−1)2−1，= 3n2+n2+2n−1．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.（问答题，0分）如图，一艘湖面清运船在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少40米，于是选择沿A→B→C路线清扫．已知清运船的直线行走速度为2米/秒，总共用了100秒钟完成了清扫任务（忽略清运船打捞垃圾及在B处转向所用时间）．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）清运船此次清扫行走路线的夹角∠B是多少？（用反三角函数表示）【正确答案】：【解析】：（1）由题意C 在A 处北偏东30°方向上，可得∠CAB=90°+30°=120°，及|AB|，|AC|与|BC|的关系，在三角形ABC 中由余弦定理可得|BC|的值．（2）由（1）可得|BC|，|AC|，∠BAC=120°，由正弦定理可得sin∠B 的值．【解答】：解：（1）由题意可得|AB|+|BC|=2×100=200，|AC|-|AB|=40，所以|AC|+|BC|=240，|AB|=200-|BC|，|AC|=240-|BC|，因为C 在A 处北偏东30°方向上，所以∠CAB=90°+30°=120°，在三角形ABC 中，∠BAC=120°，由余弦定理可得|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos120°=（200-|BC|）2+（240-|BC|）2+（200-|BC|）（240-|BC|），整理可得|BC|2-660|BC|+72800=0，解得|BC|=140，或|BC|=520（舍），所以B 、C 两处垃圾的距离是140米；（2）由（1）可得|BC|=140，|AC|=240-140=100，∠CAB=120°， 由正弦定理可得 |AC|sin∠B = |BC|sin∠CAB ，所以sin∠B= |AC||BC| •sin120°= 100140 × √32 = 5√314 ，可得∠B=arcsin 5√314 ．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．20.（问答题，0分）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点A ，B ，与x 轴，y 轴分别交于D 、E两点，且满足 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （1）已知直线l 的方程为y=2x-4，抛物线C 的方程为y 2=4x ，求λ1+λ2的值；（2）已知直线l ：x=my+1（m ＞1），椭圆C ： x 22+y 2 =1，求 1λ1+1λ2 的取值范围； （3）已知双曲线C ： x 23−y 2=1，λ1+λ2=6 ，求点D 的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）通过直线l 的方程可得D 、E 坐标，将y=2x-4代入y 2=4x 可得点A 、B 坐标，利用 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算即可； （2）通过联立x=my+1（m ＞1）与 x 22+y 2 =1，利用韦达定理、 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算即得结论；（3）通过设直线l 的方程并与双曲线C 方程联立，利用韦达定理、 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算即可．【解答】：解：（1）将y=2x-4代入y 2=4x ，求得点A （1，-2），B （4，4），又∵D （2，0），E （0，-4），且 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴（1，2）=λ1（1，2）=（λ1，2λ1），即λ1=1，同理由 EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得λ2=-2， ∴λ1+λ2=-1；（2）联立x=my+1（m ＞1）与 x 22+y 2 =1，消去x 可得：（2+m 2）y 2+2my-1=0，由韦达定理可得：y 1+y 2=-2m 2+m 2 ，y 1y 2=- 12+m 2 ， ∵D （1，0），E （0，- 1m ），且 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴y 1+ 1m =-λ1y 1，∴λ1=-（1+ 1m •1y 1 ）， 同理由 EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 2+ 1m =-λ2y 2，∴λ2=-（1+ 1m •1y 2 ）， ∴λ1+λ2=-（1+ 1m •1y 1 ）-（1+ 1m •1y 2 ）=-2- 1m •y 1+y 2y 1y 2 =-2- 1m •2m =-4，∴ 1λ1+1λ2 =- 4λ1λ2 = 4λ12+4λ1= 4(2+λ2)2−4 ， ∵m ＞1，∴点A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可得λ1∈（ √2−2 ，0），∴ 1λ1+1λ2∈（-∞，-2）； （3）设直线l 的方程为：x=my+t ，代入双曲线C 方程，消去x 得：（-3+m 2）y 2+2mty+（t 2-3）=0，由韦达定理可得：y 1+y 2=- 2mt m 2−3 ，y 1y 2=- t 2−3m 2−3 ，∴ 1y 1 + 1y 2=- 2mt t 2−3 ，由 EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：-（λ1+λ2）=2+ t m •（ 1y 1 + 1y 2 ）， ∵λ1+λ2=6，∴2+ t m •（- 2mt t 2−3 ）=-6，解得t=±2，∴点D （±2，0）；当直线l 与x 轴重合时，λ1=- a t+a ，λ2= a t−a 或者λ1= a t−a ，λ2=- a t+a ，∴都有λ1+λ2= 2a 2t 2−a 2 =6也满足要求，∴在x 轴上存在定点D （±2，0）．【点评】：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21.（问答题，0分）已知函数y=f （x ），x∈D ，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总存在非零常数T ，恒有f （x+T ）＜P•f （x ）成立，则称函数f （x ）是D 上的P 级递减周期函数，周期为T ．若恒有f （x+T ）=P•f （x ）成立，则称函数f （x ）是D 上的P 级周期函数，周期为T ．（1）已知函数f （x ）=x 2+a 是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知T=1，y=f （x ）是[0，+∞）上P 级周期函数，且y=f （x ）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f （x ）=2x ，求实数P 的取值范围；（3）是否存在非零实数k ，使函数 f (x )=(12)x •coskx 是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你的结论．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得f （x+1）＜2f （x ），即a ＞-x 2+2x+1对x∈[2，+∞）恒成立，求得-x 2+2x+1的最大值，可得结论．（2）由题意可得x∈[n ，n+1）时，f （x ）=P n •2x-n ，n∈N *，P ＞0且P n •2n-n ≥P n-1•2n-（n-1），由此求得p 的范围．（3）根据题意，cosk （x+T ）=T•2T coskx 对一切实数x 恒成立，故T•2T =±1，分类讨论，得出结论．【解答】：解：（1）由题意，函数f（x）=x2+a是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数可知：f（x+1）＜2f（x），即（x+1）2+a＜2x2+2a对x∈[2，+∞）恒成立，也即a＞-x2+2x+1对x∈[2，+∞）恒成立，∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2在x∈[2，+∞）上单调递减，∴ (−x2+2x+1)max=−22+2•2+1=1，∴a＞1．（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上P级周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）=Pf（x-1）=P•2x-1，当x∈[n，n+1）时，f（x）=Pf（x-1）=P2f（x-2）=…=P n f（x-n）=P n•2x-n，即x∈[n，n+1）时，f（x）=P n•2x-n，n∈N*，∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴P＞0且P n•2n-n≥P n-1•2n-（n-1），即P≥2．（3）由已知，应有f（x+T）=Tf（x）对一切实数x恒成立，即(12)x+T•cosk(x+T)=T•(12)x•coskx对一切实数x恒成立，也即cosk（x+T）=T•2T coskx对一切实数x恒成立，当k≠0时，∵x∈R，∴kx∈R，kx+kT∈R，于是coskx∈[-1，1]，cos（kx+kT）∈[-1，1]，故要使cosk（x+T）=T•2T coskx恒成立，只有T•2T=±1，① 当T•2T=1时，即2T=1T（*）时，由函数y=2x与y=1x的图象存在交点，故方程（*）有解；此时cos（kx+kT）=coskx恒成立，则kT=2mπ，m∈Z，k=2mπT，m∈Z；② 当T•2T=-1（**）时，类似① 中分析可得，方程（**）无解；综上，存在k=2mπT，m∈Z，符合题意，其中T满足T•2T=1．【点评】：本题主要考查新定义，函数的恒成立问题，函数的周期性，关键是等价转化，属于中档题．。
上海市控江中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
（1）求证： 平面
（2）若 ， ，求 和平面 的距离.
19．在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，抛物线 的方程为 ，过 作动直线 交抛物线于 两点，设线段 的中点为 .
（1）若 与 重合，求直线 的方程；
（2）求直线 的斜率的取值范围.
20．如图，在四边形 中， ， ， ， 与 交于点 ，若 平面 ， .
所以 ,又 .
所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
6．
【分析】
设 ，根据 ，有 ， ，利用几何意义两点间的距离，求得 的取值范围．
【详解】
设 ，
由 ，有
又 表示点 与点 连线的距离.
又因为点 在圆 上，
所以 ，
即 ，即
故答案为：
【点睛】
本题主要考查复数代数表示法及其几何意义，属于中档题.
3．
【分析】
先将抛物线方程化成标准方程，再由准线方程，得到 的方程，解得即可．
【详解】
抛物线 的标准方程为 。
则抛物线的准线方程为： ,
由抛物线 的准线方程是 ，
所以 ，得 ，
故答案为：
【点睛】
本题考查抛物线的方程和性质，注意化成标准方程，考查运算能力，本题为易错题，属于基础题．
4．
【分析】
直接将参数方程化为普通方程求出范围，即可得到答案.
【详解】
设 ，
由 ，得 ,
所以 ，解得
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查了复数的实部、虚部、复数运算及其相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．
【分析】
由 ，根据对应关系判断即可
上海市控江中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
控江中学2020学年度第一学期期中考试高二数学一､填空题1. 直线:35l y x =+的斜率的大小为______． 3直接根据斜率的定义求解即可. 由直线:35l y x =+， 得其斜率为3， 故答案为：3.2. 行列式151321497-中，元素4的代数余子式的值为______． 3根据代数余子式的定义，直接计算，即可求解.根据代数余子式的计算，可得行列式151321497-中，元素4的代数余子式()31511321+-=.故答案为：33. 直线:10l x y ++=的一个法向量为______．()1,1根据法向量的概念判断．直线:10l x y ++=的一个法向量为(1,1)． 故答案为：(1,1)．4. 直线1:1l y =与直线2:20l x y -+=的夹角大小为______．4π 根据题意，得到直线的倾斜角，进而得到两直线的夹角，得到答案. 由题意，直线2:20l x y -+=的斜率为1k =，可得直线2l 的倾斜角为4πα=，所以直线1:1l y =与直线2:20l x y -+=的夹角大小为244πππ-=.故答案为：4π.5. 若直线1:26l x ay C +-=与直线()()2:150l x a y a +-++=平行，则实数a =______． 2由2(1)0a a --=求得a ，然后检验是否平行即可得． 由题意2(1)0a a --=，解得2a =，2a =时，两直线方程分别为：2260x y +-=和70x y ++=，平行． 故答案为：26. 已知向量3b =，且6a b ⋅=，则向量a 在向量b 的方向上的投影为______．2根据数量积的定义和投影的计算公式即可求解. 因为6a b ⋅=，所以cos ,6a b a b ⨯=， 又因为3b =，所以向量a 在向量b 的方向上的投影为6cos ,2a a b b⨯==， 故答案为：2.7. 线性方程组的增广矩阵为121101t t -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 解为35x y =⎧⎨=⎩，则三阶行列式121101116t t ----值为______． 0由题意知35x y =⎧⎨=⎩是方程12x y t y t -+=⎧⎨=⎩的解，代入即可求得1t ，2t 的值，代入行列式，按第一列展开即可求得行列式的值.由题意知35x y =⎧⎨=⎩是方程12x y t y t -+=⎧⎨=⎩的解，所以12355t t -+=⎧⎨=⎩，解得1225t t =⎧⎨=⎩我们按照第一列展开得()()()()1112161511205611--+-=---⨯+--=--，故答案为：08. 设a ，b 是两个不平行的向量，若2AB a kb =+，2BC a b =+，2CD a b =-，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值为______．23由,AB BD 共线即可得．由题意3BD a b =+，因为,,A B D 三点共线，所以,AB BD 共线， 所以存在实数λ，使得()23a kb a b λ+=+， 所以23λ=，k λ=，所以23k =． 故答案为：23． 9. 已知直线():22l y k x -=-与两点1,0A ，点()4,3B ，若直线l 与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是______．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦写出线段AB 的方程，联立求得交点坐标，由14x ≤≤可求得k 的范围．由条件得()()22114y k x y x x ⎧-=-⎪⎨=-≤≤⎪⎩有解，解得23121k x k k y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，由23141k k -≤≤-，得12k ≤或2k ≥．故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题．解题方法是直线（线段）方程求出交点坐标，利用交点坐标的范围求出参数k 的范围，可是也可利用数形结合思想求解，即求出,PA PB 的斜率，由图形观察出k 的范围．10. 若α∈R ，则直线23cos 10x y α+⋅+=的倾斜角的范围是______．22arctan ,arctan 33π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦根据直线方程求出方向向量和斜率，再根据三角函数的性质求出倾斜角的取值范围即可.直线23cos 10x y α+⋅+=方向向量为()3cos ,2α-， 斜率存在时为223cos 3cos k αα-==-，又[)(]cos 1,00,1α∈-，所以(][)1,11,cos α∈-∞-+∞，所以22,,33k ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭∈， 所以倾斜角范围为22arctan ,arctan 33π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：22arctan ,arctan 33π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若动点(),P a b 到两直线1:l y x =和2:4l y x =-+的距离之和为22a b +的最小值为______．1利用点到直线的距离公式可得：46a b a b -++-=，通过分类讨论可知：点(,)a b 是如图所示的正方形的4动点(),P a b 到两直线1:l y x =和2:4l y x =-+的距离之和为∴+=46a b a b -++-=，分为以下4种情况：0405a b a b a -≥⎧⎪+-≥⎨⎪=⎩或0401a b a b b -≥⎧⎪+-<⎨⎪=-⎩或0405a b a b b -≤⎧⎪+->⎨⎪=⎩或0401a b a b a -≤⎧⎪+-<⎨⎪=-⎩．可知点(,)a b 是如图所示的正方形的4(,)a b 的距离， 结合图像可知：当取点(1,0)A -或(0,1)B -1．22a b ∴+的最小值为1.故答案为：1．本题考查了点到直线的距离公式、含绝对值的等式，解题的关键是通过分类讨论，可得到点(,)a b 22a b +思想，及数形结合思想，属于中档题． 12. 在ABC 中，12BD DC =，AE EB =，点F 为ADC 内（包括边界）任意一点，若EF EB ED λμ=+，其中λ，R μ∈，则2λμ-的取值范围是______．[]8,1--构造“等和线”解题，作12EG ED =-，连接BG ，则2EB ED EB EG λμλμ+=-，BG 对应的21λμ-=，作与BG 平行的直线，点在同一直线上时，2λμ-相等，求出过A 和C 的直线对应的“和”，即可得所求范围．构造“等和线”解题，作12EG ED =-，连接BG ，则2EB ED EB EG λμλμ+=-， 所以2EF EB ED EB ED λμλμ=+=-， 显然BG 对应的21λμ-=，作出的一系列平行线，EH 对应的20λμ-=AI 对应的21λμ-=-，过点D 对应的等和线22λμ-=-，过点C 对应的“等和线：28λμ-=-， 所以2λμ-的取值范围是[]8,1--. 故答案为：[8,1]--．关键点点睛：本题考查平面向量基本定理的应用．利用结论：若,OA OB 是不共线向量，OC xOA yOB =+，则,,C A B 共线1x y ⇔+=，由此可得，当C 点在与AB 平行的直线上时，对应的x y +相等，这就是“等和线”．由此可解决平面向量中一类范围问题． 二､选择题13. 点()2,3P 关于直线:0l x y +=的对称点的坐标是（ ） A. ()2,3-- B. ()3,2-- C. ()2,3- D. ()3,2B设对称点的坐标，然后由垂直和中点在对称轴上列方程组求解．设对称点为(,)x y ，则31223022y x x y -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩，解得32x y =-⎧⎨=-⎩．即对称点为(3,2)--．故选：B ．14. 已知向量a ，b ，则“0a =或0b =”是“0a b ⋅=”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分又非必要A利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 若“0a =或0b =”则0a b ⋅=， 若0a b ⋅=，则“0a =或0b =”或,2a b π=，所以“0a =或0b =”是“0a b ⋅=”的充分不必要条件，故选：A15. 已知e ，f 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足：n e a n ⋅=，31n f a n ⋅=-，n b 是向量f 与n a 夹角的正切值，则数列{}n b 是（ ）A. 单调递增数列且1lim 3n n b →∞=B. 单调递减数列且1lim 3n n b →∞=C. 单调递增数列且lim 3n x b →∞=D. 单调递减数列且lim 3n n b →∞= B设()0,1e =，()1,0f =，(),n a x y =，由垂直求出n a ，再计算出n b ，然后判断数列的单调性，并计算极限．【详解】设()0,1e =，()1,0f =，(),n a x y =， 则 n e a y n ⋅==，31n f a x n ⋅==-， 所以()31,n a n n =-， 所以11313n n b n n==--，所以数列{}n b 是单调递减数列且1lim 3n n b →∞=．故选：B ． 关键点点睛：本题考查向量的垂直，数列的单调性与极限．解题关键是引入坐标，设()0,1e =，()1,0f =，(),n a x y =，把向量的数量积转化为坐标运算，求出n a ，从而计算出n b ，而数列单调性珠判断可结合函数的单调性的性质判断．16. 已知点()0,0A ，点()3615B ,，点C 的横坐标、纵坐标都为整数，则ABC 的面积的最小值为（ ）A. 12B. 1C. 32D. 3C利用结论()11,AB x y =，()22,AC x y =，则122112ABCS x y x y =-求出三角形面积，分析可得最小值（需要先证明此结论）． 先证明一个结论，若()11,AB x y =，()22,AC x y =， 则122112ABCSx y x y =-，下面对此作出证明： 222222111sin 1cos cos 222ABC S AB AC A AB A AB AC AB AC A =⋅⋅=⋅-=-△2==122112x y x y ===- 在本题中，设(),C x y ， 则()36,15AB =，(),AC x y =， 所以1221113361532222ABC S x y x y y x y x =-=-=-△， 因为x ，y 都是整数，所以321y x -≥， 所以333222ABC S y x -≥=△．故选：C ． 结论点睛：本题考查三角形的面积，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标常常是已知的，此时有结论：()11,AB x y =，()22,AC x y =，则122112ABCS x y x y =-． 三､解答题．17. 已知关于x ､y 的方程组()2321mx y x m y m +=⎧⎨+-=-⎩，m 为常数，且m R ∈．（1）写出此方程组的系数矩阵； （2）解此方程组．（1）132m m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭；（2）见详解. 【分析】（1）根据方程组，直接得出对应的系数矩阵；（2）讨论1m =-，3m =，3m ≠且1m ≠-三种情况，分别求解，即可得出结果.（1）方程组()2321mx y x m y m +=⎧⎨+-=-⎩的系数矩阵为132m m ⎛⎫⎪-⎝⎭； （2）因为()()21233132m D m m m m m ==--=-+-，21241312x D m m m m m ==--+=---，()()2263231y m D m m m m m ==--=-+-，当1m =-时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，原方程组无解， 当3m =时，0x y D D D ===，原方程组有无数解，当3m ≠且1m ≠-时，原方程组有唯一解121x y D x m DD m y D m ⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪+⎩. 18. 已知2=a ，1=b ，向量a 与向量b 的夹角为3π，设向量m a tb =+，向量2n ta b =+． （1）求a b ⋅的值；（2）设()f t m n =⋅，求()f t 的表达式；若m 与n 的夹角θ为锐角，求实数t 的取值范围． （1）1；（2）2()62f t t t =++，3t <-3t >-t ≠. （1）由数量积的定义计算；（2）由数量积的运算法则计算出m n ⋅，解不等式0m n ⋅>，并去除掉向量共线的取值即可得． （1）||||cos 12cos13a b a b πθ⋅=⋅⋅=⋅⋅=；（2）()()()()()(22222||2f t m n a tb ta b t a t b t a b =⋅=+⋅+=+++⋅⋅2242262t t t t t =+++=++，因为m 与n 的夹角θ为锐角， 所以0m n ⋅>，即2620t t ++>，解得3t <-3t >-又由m 和n共线，解得t =，所以实数t的取值范围是3t <--3t >-+t ≠.、本题考查向量的数量积．向量,m n 夹角为锐角是0m n ⋅>的充分不必要条件，,m n 夹角为0（即同向时）也有0m n ⋅>，同样向量,m n 夹角为钝角是0m n ⋅<的充分不必要条件． 19. 已知坐标平面内第一象限的点P 到两个定点()1,0M -，()1,0N距离的比PMPN= （1）若点P，求点P 的横坐标；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PM 的点法向式方程和直线PN 的点方向式方程．（1）3±；（2）)10x y ++=；111x y-=±.（1）根据直接法，利用PMPN=(),P x y ，代入化简即可得到点P 的轨迹方程，由P 的，代入即可得解；（2）根据几何关系，因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，PM k =，求出直线方程，代入圆的方程求得P 点坐标，即可得解.（1）设(),P x y ，因为PM PN==化简得22610x y x +-+=，令y =，得2630x x -+=，解得3x =±所以点P 的横坐标为3±；（2）因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，3PM k =±，所以直线PM 的方程为)1y x =+把)1y x =+代入22610x y x +-+=， 得2410x x -+=，解得12x =，22x =所以点P 的坐标为(2+或(21-或(21-或(2，所以直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+，所以直线PM 的点法向式方程为)10x y ++=直线PN 的点方向式方程为111x y -=±. 本题考查了求轨迹方程，考查了直线和圆的位置关系以及直线的点法向式方程和点方向式方程，有一定的计算量，属于中档题.本题的关键点有：（1）直接法求轨迹方程，利用条件直接列式求方程； （2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力，需强化训练.20. 已知直线l 过定点()2,1P -，且交x 轴负半轴于点A ､交y 轴正半轴于点B .点O 为坐标原点．（1）若AOB 的面积为4，求直线l 的方程；（2）求OA OB +的最小值，并求此时直线l 的方程；（3）求PA PB ⋅的最小值，并求此时直线l 的方程．（1）240x y -+=；（2）322+2220x +=；（3）4；30x y -+=.（1）设:1x y l a b +=，代入点坐标，得到211a b -+=，再利用面积公式得到()142ab -=，两式联立求解,a b ，即可得出结果；（2）||||OA OB b a +=-，得到()2123a b b a a b b a -⎛⎫--+=++ ⎪-⎝⎭，利用基本不等式求解即可；（3）利用A ，P ，B 三点共线，可得AP PB AP PB ⋅=⋅，利用平面向量的数量积公式以及基本不等式即可求解.（1）设:1x y l a b+=， 因为过点()2,1P -，所以211a b-+=，所以()142AOB S ab =-=△， 由2118a b ab ⎧-+=⎪⎨⎪=-⎩解得42a b =-⎧⎨=⎩， 所以直线l 的方程为142x y -+=， 即240x y -+=；（2）||||OA OB b a +=-，所以()212||||33a b OA OB b a b a a b b a -⎛⎫+=-=--+=++≥+ ⎪-⎝⎭当且仅当2a =，1b =所以直线l的方程为20x +=；（3）因为A ，P ，B 三点共线， 所以()()2,12,125AP PB AP PB a b a b ⋅=⋅=--⋅-=-+-()212222254154b a b a a b a b a b a b ⎛⎫=-+-+-=--++-=--≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当3a =-，3b =时取等号，所以直线l 的方程为30x y -+=.关键点睛：本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是基本不等式的应用.21. 已知在平面直角坐标系中，点(),0A a ､点()0,B b （其中a ､b 为常数，且0ab ≠），点O 为坐标原点．（1）设点P 为线段AB 靠近点A 的三等分点，()()1OP OA OB λλλ=+-∈R ，求λ的值； （2）如图，设点121,,,,,k n P P P P -是线段AB 的n 等分点，()1k OP OA OB μμ=+-，其中11k n ≤≤-，n ，*k N ∈，2n ≥，求当2020n =时，求121n OA OP OP OP OB -+++++的值（用含a ､b 的式子表示）（3）若1a b ==，[]0,1t ∈，求()113t AB AO OB t BA -++-的最小值． （1）23λ=；（2）221011+a b （3）103. （1）利用向量的线性运算AP OP OA =-，将()1OP OA OB λλ=+-代入，再由13AP AB =求解. （2）易得对任意正整数m ，n ，且2020m n +=，有202020202020m m m OP OA OB -=+，202020202020n n n OP OA OB -=+，从而m n OP OP OA OB +=+求解. （3）当1a b ==时，设线段AB 上存在一点M ，使得t AB AM =，()1t BA BM -=，且存在点20,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13NB OB =，然后转化()113t AB AO OB t BA OM MN -++-=+，利用线段和最小求解.（1）因为()()()()()1111AP OP OA OA OB OA OB BA λλλλ=-=-+-=--=-, 而点P 为线段AB 上靠近点A 的三等分点，所以13AP AB =， 所以113λ-=-，所以23λ=. （2）由题意得12019120202020OP OA OB =+， 20191201920202020OP OA OB =+， 所以12019OP OP OA OB +=+，事实上，对任意正整数m ，n ，且2020m n +=，有202020202020m m m OP OA OB -=+， 202020202020n n n OP OA OB -=+， 所以m n OP OP OA OB +=+所以221212*********n OA OP OP OP OB OA OB a b -+++++=+=+， （3）当1a b ==时，线段AB 上存在一点M ，使得t AB AM =，()1t BA BM -=，且存在点20,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13NB OB =， 则t AB AO AM AO OM -=-=，()113OB t BA NB BM NM +-=+=， 所以()113t AB AO OB t BA OM MN -++-=+， 即线段AB 上存在一点M ，到点O 和点N 的距离之和，如图所示：作点O 关于线段AB 的对称点()1,1O '，则最小值为3O N =='. 方法点睛：在直线l 上存在点P,使得PA PB +最小和PA PB -最大问题：当点A ，B 在直线l 的异侧时，连接AB 与直线l 的交点P ，使得PA PB +最小； 作A 点关于直线l 的对称点A '，连接A B '与直线l 的交点P ，使得PA PB -最大； 当点A ，B 在直线l 的同侧时，连接AB 与直线l 的交点P ，使得PA PB -最大； 作A 点关于直线l 的对称点A '，连接A B '与直线l 的交点P ，使得PA PB +最小；。
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷一.填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1．（4分）已知全集{|210}U x x =<，{|27}A x x =<<，则A = ． 2．（4分）设实数a 满足2log 4a =，则a = ． 3．（4分）已知幂函数235()(1)mm f x m x --=-的图象不经过原点，则实数m = ．4．（4分）函数2()21f x x ax =--在区间[1，3]上为严格减函数的充要条件是 ． 5．（4分）函数22()log (1)f x x =-的定义域为 ．6．（4分）设函数2,0(),0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，若()9f α=，则α= ．7．（5分）若函数()(1)x f x a a =>在[1-，2]上的最大值为4，则其最小值为 ． 8．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与3x y =的图象关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若f （a ）1=-，则a 的值是 ． 9．（5分）如果关于x 的方程|5||3|x x a -++=有解，则实数a 的取值范围是 ． 10．（5分）若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是 ．11．（5分）函数()(221)x x f x lg a -=++-的值域是R ，则实数a 的取值范围是 ． 12．（5分）若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()f x 的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则对称点(,)P Q 是函数()f x 的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对” )．已知函数2241,0()2,0x x x x f x x e ⎧++<⎪=⎨⎪⎩则()f x 的“友好点对”有个．二.选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分） 13．（5分）函数111y x =-+的值域是( ) A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(-∞，1)(1⋃，)+∞D ．(,)-∞+∞14．（5分）若a b c >>，0a b c ++=，则下列各是正确的是( ) A ．ab ac >B ．ac bc >C ．||||a b b c >D ．ab bc >15．（5分）已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设2()()F x x f x =，则()F x 是( )A ．奇函数，在(,)-∞+∞上单调递减B ．奇函数，在(,)-∞+∞上单调递增C ．偶函数，在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增D ．偶函数，在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递减 16．（5分）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为( )AB ．2C ．4D．三.解答题（14+14+14+16+18＝76分） 17．（14分）已知函数2()21f x ax ax =++．（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间（不需要过程）； （2）已知函数()y f x =在区间[3-，2]上的最大值为2，求实数a 的值． 18．（14分）设函数()|2|f x x a =-，()2g x x =+． （1）当1a =时，求不等式()()()f x f x g x +-的解集；（2）求证：1(),(),()222b b f f f -中至少有一个不小于12．19．（14分）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0x ∈，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当[16x ∈，40]时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”． （1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）20．（16分）已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数． （1）求实数m 的值（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明（3）当(,2)x n a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值．21．（18分）若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数．（1）已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[1-，0]上的32-增长函数，并说明理由；（2）已知函数()||f x x =，且()f x 是区间[4-，2]-上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分）①如果对任意正有理数q ，()f x 都是R 上的q -增长函数，判断()f x 是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；②如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x 时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围．2020-2021学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1．（4分）已知全集{|210}U x x =<，{|27}A x x =<<，则A = [7，10] ． 【解答】解：{|210}U x x =<，{|27}A x x =<<， ∴[7A =，10]，故答案为：[7，10]．2．（4分）设实数a 满足2log 4a =，则a = 16 ． 【解答】解：2log 4a =，42a ∴=， 即16a =， 故答案为：16．3．（4分）已知幂函数235()(1)m m f x m x --=-的图象不经过原点，则实数m = 2 ．【解答】解：幂函数235()(1)m m f x m x --=-的图象不经过原点，11m ∴-=且2350m m --<，则实数2m =， 故答案为：2．4．（4分）函数2()21f x x ax =--在区间[1，3]上为严格减函数的充要条件是 3a ． 【解答】解：函数2()21f x x ax =--是开口向上的抛物线，对称轴方程为x a =， 所以()f x 在(,)a -∞上单调递减，若函数2()21f x x ax =--在区间[1，3]上为严格减函数， 则3a ．所以函数2()21f x x ax =--在区间[1，3]上为严格减函数的充要条件是3a ． 故答案为：3a ．5．（4分）函数22()log (1)f x x =-的定义域为 (1,1)- ． 【解答】解：要使函数有意义，必须210x ->，解得11x -<< 故答案为：(1,1)-．6．（4分）设函数2,0(),0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，若()9f α=，则α= 9-或3 ．【解答】解：由题意可得09αα⎧⎨-=⎩或209αα>⎧⎨=⎩9α∴=-或3α=故答案为：9-或37．（5分）若函数()(1)x f x a a =>在[1-，2]上的最大值为4，则其最小值为 12． 【解答】解：函数()(1)x f x a a =>在[1-，2]上单调递增， 最大值为f （2）24a ==，解得2a =；所以()2x f x =在[1-，2]上的最小值为11(1)22f --==． 故答案为：12． 8．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与3x y =的图象关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若f （a ）1=-，则a 的值是13- ． 【解答】解：函数()y g x =的图象与3x y =的图象关于直线y x =对称 ∴函数()y g x =与3x y =互为反函数则3()log g x x =，又由()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称 3()log ()f x x ∴=-，又f （a ）1=-3log ()1a ∴-=-，13a =-故答案为：13-．9．（5分）如果关于x 的方程|5||3|x x a -++=有解，则实数a 的取值范围是 [8，)+∞ ． 【解答】解：由于|5||3|x x -++表示数轴上的x 对应点到5和3-对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x 的不等式|5||3|x x a -++=有解，可得8a ， 实数a 的取值范围是[8，)+∞． 故答案为：[8，)+∞．10．（5分）若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是 (-∞，4)(4-⋃，)+∞ ．【解答】解：定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数， ∴函数()f x 是在(,0)-∞上是增函数，又(4)0f -=，f ∴（4）0=，由()0xf x >，得0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，解得4x >或4x <-．x ∴的取值范围是(-∞，4)(4-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，4)(4-⋃，)+∞．11．（5分）函数()(221)x x f x lg a -=++-的值域是R ，则实数a 的取值范围是 (-∞，1]- ． 【解答】解：函数()(221)x x f x lg a -=++-的值域是R ， 必须满足：2210x x a -++->， 即1(22)x x a ->-+，由于函数()1(22)x x g x -=-+的最大值为1-． 所以实数a 的取值范围是(-∞，1]-． 故答案为：(-∞，1]-．12．（5分）若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()f x 的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则对称点(,)P Q 是函数()f x 的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对” )．已知函数2241,0()2,0x x x x f x x e ⎧++<⎪=⎨⎪⎩则()f x 的“友好点对”有2 个．【解答】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数2241(0)y x x x =++<的图象关于原点对称的图象， 看它与函数2(0)xy x e =交点个数即可． 如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2． 即()f x 的“友好点对”有：2个． 故答案为：2．二.选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分） 13．（5分）函数111y x =-+的值域是( ) A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(-∞，1)(1⋃，)+∞D ．(,)-∞+∞【解答】解：因为101x ≠+， 故1111x-≠+， 故函数111y x =-+的值域{|1}y y ≠． 故选：C ．14．（5分）若a b c >>，0a b c ++=，则下列各是正确的是( ) A ．ab ac >B ．ac bc >C ．||||a b b c >D ．ab bc >【解答】解：a b c >>，0a b c ++=，0a c ∴>>． ab ac ∴>．故选：A ．15．（5分）已知函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设2()()F x x f x =，则()F x 是( )A ．奇函数，在(,)-∞+∞上单调递减B ．奇函数，在(,)-∞+∞上单调递增C ．偶函数，在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增D ．偶函数，在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递减【解答】解：1,01,0()0,00,0()1,01,0x x f x x x f x x x ->>⎧⎧⎪⎪-===-==-⎨⎨⎪⎪<-<⎩⎩，()f x ∴为奇函数，又2()()F x x f x =，22()()()()()F x x f x x f x F x ∴-=--=-=-，()F x ∴是奇函数，可排除C ，D ． 又222,0()()0,0,0x x F x x f x x x x ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩，()F x ∴在(,)-∞+∞上单调递增，可排除A ，故选：B ．16．（5分）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为( )AB ．2C ．4D．【解答】解：22222211111121025(5)()(5)()()a ac c a c a a c a ab a a b a b a b b a b ++-+=-+++=-++---， 22()()24b a b a b a b +--=，当且仅当2a b =时取等号， 2222214424()a a a b a b aa ∴++=-，当且仅当a =时取等号， ∴222211121025(5)044()()a ac c a c a ab a a b b a b ++-+=-+++=--，故选：A ．三.解答题（14+14+14+16+18＝76分） 17．（14分）已知函数2()21f x ax ax =++．（1）若实数1a =，请写出函数()3f x y =的单调区间（不需要过程）； （2）已知函数()y f x =在区间[3-，2]上的最大值为2，求实数a 的值． 【解答】解：（1）当1a =时，2()21f x x x =++， 该函数在(1,)-+∞上为增函数，在(,1)-∞-上为减函数， 又3x y =是增函数，由复合函数的单调性可得， 函数()3f x y =的增区间是(1,)-+∞，减区间是(,1)-∞-；（2）当0a =时，函数()y f x =为常数函数，在区间[3-，2]上无最值；当0a >时，函数2()21f x ax ax =++的对称轴方程为1x =-，在[3-，2]上先减后增，当2x =时，函数取得最大值为812a +=，则18a =；当0a <时，函数2()21f x ax ax =++的对称轴方程为1x =-，在[3-，2]上先增后减， 当1x =-时，函数取得最大值为12a -+=，则1a =-．故18a =或1a =-．18．（14分）设函数()|2|f x x a =-，()2g x x =+． （1）当1a =时，求不等式()()()f x f x g x +-的解集；（2）求证：1(),(),()222b b f f f -中至少有一个不小于12．【解答】（1）解：当1a =时，|21||21|2x x x -+++，1242x x x ⎧-⎪⎨⎪-+⎩无解；112222x x ⎧-<<⎪⎨⎪+⎩，解得102x <；1242x x x ⎧⎪⎨⎪+⎩，解得1223x ． 综上，不等式的解集为2|03x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）证明：若1(),(),()222b b f f f -都小于12，则1122112211122a b a b a ⎧-<+<⎪⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，前两式相加得1122a -<<与第三式1322a <<矛盾．故1(),(),()222b b f f f -中至少有一个不小于12． 19．（14分）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0x ∈，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当[16x ∈，40]时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”． （1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【解答】解：（1）当(0x ∈，16]时，设2()(12)84(0)f x b x b =-+<，2(16)(1612)8480f b =-+=，14b ∴=-，∴21()(12)844f x x =--+．当(16x ∈，40]时，0.8()log ()80f x x a =++， 由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-， 0.8()log (15)80f x x ∴=-+．综上，20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）当(0x ∈，16]时，令21()(12)84684f x x =--+<，得[0x ∈，4]，当(16x ∈，40]时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -+≈，[30x ∴∈，40]，故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟．20．（16分）已知函数1()log (0,1)1amx f x a a x -=>≠-是奇函数． （1）求实数m 的值（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明（3）当(,2)x n a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值．【解答】解：（1）函数1()log (0,1)1a mx f x a a x -=>≠-是奇函数， ∴对定义域任意x ，恒有()()0f x f x -+=，即11011aa mx mx log log x x +-+=---， 解得1m =-或1m =（舍去），∴实数m 的值为1-．------（3分）（2）由（1）得12()(1)11a a x f x log log x x +==+--， 当1a >时，()f x 在(1,)+∞上递减，当01a <<时，()f x 在(1,)+∞上递增． 现证明如下： 设12111x t x x +==+--， 121x x ∀>>，211212122()22011(1)(1)x x t t x x x x --=-=<----， 12t t ∴<，当1a >时，12log log a a t t <，即12()()f x f x <，即()f x 在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，12log log a a t t >，即12()()f x f x >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增．----（8分）（3）由题意知()f x 是定义域为(-∞，1)(1⋃，)+∞的奇函数．①当(n ，2)(a -⊆-∞，1)-，即21a --，即01a <<时，由（2）知()f x 在(,2)n a -上为增函数，由值域为(1,)+∞，得1121a n log n a +⎧⎪-⎨⎪-<⎩，无解．②当(n ，2)(1a -⊆，)+∞，即12n a -，有3a >，由（2）知在(,2)n a -上()f x 为减函数，由值域为(1,)+∞，得1113a n a log a =⎧⎪-⎨=⎪-⎩，解得a =1n =．------（12分） 21．（18分）若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数．（1）已知函数()g x x =，函数2()h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[1-，0]上的32-增长函数，并说明理由；（2）已知函数()||f x x =，且()f x 是区间[4-，2]-上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分） ①如果对任意正有理数q ，()f x 都是R 上的q -增长函数，判断()f x 是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；②如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x 时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）()g x x =是：因为[1x ∀∈-，0]，333()()()0222g x g x x x +-=+-=>； 2()h x x =不是，反例：当1x =-时，311(1)()(1)1224h h h -+==<-=． （2）由题意得，||||x n x +>对于[4x ∈-，2]-恒成立，等价于2222x nx n x ++>，即220nx n +>对[4x ∈-，2]-恒成立，因为0n >，所以22nx n +是关于x 的一次函数且单调递增，于是只需280n n -+>， 解得8n >，所以满足题意的最小正整数n 为9．（3）①不是构造,()1,Rx x Q f x x x C Q ∈⎧=⎨-∈⎩，则对任意的正有理数q ， 若x Q ∈，则x q Q +∈，因此()()f x q x q x f x +=+>=； 若R x C Q ∈，则R x q C Q +∈，因此()11()f x q x q x f x +=+->-=．因此()f x 是R 上的q -增函数，但()f x 不是增函数．②根据题意，当0x 时，22()||f x x a a =--，则当2x a 时，2()2f x x a =-，当20x a 时，()f x x =-，由奇函数的对称性可知： 当2x a -时，2()2f x x a =+，当20a x -时，()f x x =-， 则可得函数图象如图：易知图象与x 轴交点为2(2M a -，0)，2(2N a ，0)，因此函数()f x 在2[a -，2]a 上是减函数，其余区间上是增函数， ()f x 是R 上的4-增长函数，则对任意的x ，都有(4)()f x f x +>， 易知当220a x -时，()0f x ，为保证(4)()f x f x +>，必有(4)0f x +>，即242x a +>， 故220a x -且242x a +>，所以244a >，解得11a -<<，a∈-．故答案为(1,1)。
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2020-2021学年上海市控江中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线y2=4x，直线l过焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1+x2=3，则AB中点到y轴的距离为（）A．3 B．C．D．4参考答案：B【考点】抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系．【分析】利用已知条件求出A、B的中点的横坐标即可．【解答】解：直线l过抛物线的焦点且与抛物线y2=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，x1+x2=3，AB中点的横坐标为：，则AB中点到y轴的距离为：．故选：B．2. 下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1=1，a n=3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇参考答案：B【考点】F6：演绎推理的基本方法；F7：进行简单的演绎推理．【分析】本题考查的是选归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．【解答】解：A是演绎推理，C、D为类比推理．只有C，从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．故选B3. 已知集合A={1，a}，B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，若A∩B≠?，则a等于（）A．2 B．3 C．2或4 D．2或3参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠?，可得b值．【解答】解：∵B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}={2，3}，集合A={1，a}，若A∩B≠?，则a=2或a=3，故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．4. 某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法参考答案：D5. 以原点O引圆（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2+1的切线y=kx，当m变化时切点P的轨迹方程是（）A．x2+y2=3 B．（x﹣1）2+y2=3 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=3 D．x2+y2=2参考答案：A【考点】轨迹方程．【分析】本题宜借助图形，由图知|OP|2=|OC|2﹣|PC|2，设P（x，y），表示出三个线段的长度，代入等式整理即得．【解答】解：根据题意画出示意图，设圆心为C，切点P的坐标为P（x，y），则发现图中隐含条件．|OP|2=|OC|2﹣|PC|2∵|OP|2=x2+y2，|OC|2=m2+4，|PC|2=r2=m2+1，故点P的轨迹方程为x2+y2=3故选A6. 已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增，如果且，则的值（）A、恒大于0B、恒小于0C、可能为0D、可正可负参考答案：B7. 关于、的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有解的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件[学*科*网]C．充分且必要条件D．既非充分也非必要条件参考答案：D略8. 对于两个变量进行回归分析时，分别选择了4个模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（）A 模型1，相关指数为0.89B 模型2，相关指数为0.98C 模型3，相关指数为0.09D 模型4，相关指数为0.50参考答案：B9. 已知,则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A10. 若函数不是单调函数，则实数的取值范围（）A． B． C ． D ．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若集合有且只有一个元素,则实数a的取值集合是___________.参考答案：或【分析】讨论两种情况，结合判别式为零即可得结果.【详解】当时，，合题意；当时，若集合只有一个元素，由一元二次方程判别式得．综上，当或时，集合只有一个元素，故答案为.【点睛】本题主要考查集合的表示方法以及元素与集合的关系，属于中档题.集合的表示方法，主要有列举法、描述法、图示法、区间法，描述法表示集合是最常用的方法之一，正确理解描述法并加以应用的关键是一定要清楚：1,、元素是什么；2、元素的公共特性是什么.12. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点P 在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e 的取值范围为 ．参考答案：解一：由定义知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得．即的最大值为．解二：设，由焦半径公式得，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最大值为．13. 已知x ＞0，y ＞0，且x +y ＝6，则的最大值为_____参考答案：2 【分析】由题意结合均值不等式的结论和对数的运算法则确定的最大值即可.【详解】，，且；，当且仅当时取等号；；；的最大值为2．故答案为：2．14. 过直线y =x 上一点作圆的两条切线l 1，l 2当l 1，l 2关于直线y =x 对称时，l 1，l 2的夹角的大小为 ▲ ．参考答案：15. 复数z 满足方程i ＝1－i ，则z ＝________.参考答案：－1＋i16. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_________.参考答案： a<0.略17. 中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（2，0）的椭圆的标准方程是__________.参考答案：或三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分l2分)已知函数．(I)当m=1时，求的单调区间；(Ⅱ)若曲线y=在点(2,)处的切线与直线y=平行，求m的值. 参考答案：略19. 已知、、分别是的三个内角、、所对的边，（1）、若面积求、的值；（2）、若，且，试判断的形状．参考答案：解：（1）、（2）、，。
在中，，所以所以是等腰直角三角形。
20. 已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11（1）写出函数f（x）的递减区间；（2）求函数f（x）的极值；（3）当x∈[﹣2，4]时，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可；（2）根据函数的单调性求出函数的极大值和极小值即可；（3）求出函数f（x）在[﹣2，4]的最大值，得到关于c的不等式，解出即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x﹣3）（x+1），令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，故f（x）在（﹣1，3）递减；（2）由（1）f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，+∞）递增，故f（x）极大值=f（﹣1）=16，f（x）极小值=f（3）=﹣16；（3）由（2）f（x）在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，4]递增，而f（4）=﹣9，故f（x）在[﹣2，4]的最大值是16，故c2＞16，解得：c＞4或c＜﹣4．【点评】本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．21. （本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换如图，向量被矩阵M对应的变换作用后分别变成，（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求在作用后的函数解析式.参考答案：（Ⅰ）待定系数设M=求得，……………3分（Ⅱ）在的图象上任取一点，被M作用的点为，代入后得： (7)分22. 设函数f（x）=2xlnx﹣1．（1）求函数f（x）的最小值及曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【分析】（1）求出函数的导数，求得单调区间，可得极值、最值；求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得切线方程；（2）由题意可得a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，构造函数h（x）=lnx﹣﹣，h′（x）=﹣+=﹣，求解最大值，即可求解a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=2xlnx﹣1的导数为f′（x）=2（lnx+1），当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有x=取得极小值，也为最小值，且为﹣﹣1；可得曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=2，切点为（1，﹣1），曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=2（x﹣1），即为2x﹣y﹣3=0；（2）不等式f（x）≤3x3+2ax恒成立，可得：a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=lnx﹣﹣，h′（x）=﹣+=﹣，h′（x）=0，得：x=1，x=﹣（舍去），当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴当x=1时，h（x）max=﹣2，∴a≥﹣2，∴实数a的取值范围：[﹣2，+∞）．。