数学期望理论及其应用

目录1.摘要 (2)2.数学期望理论简述 (3)3.数学期望理论的应用 (5)3.1在证明等式和不等式中的应用 (5)3.2在投资理财问题中的应用 (7)3.3在天气预测问题中的应用 (8)3.4在求职决策问题中的应用 (8)3.5在委托代理问题中的应用 (9)3.6在法律纠纷问题中的应用 (10)4.结论 (11)5. 参考文献 (12)6. 致谢 (12)数学期望理论及其应用摘要：数学期望是概率统计中一个重要的数字特征，在理论研究和实际问题解决方面有着广泛的应用.本文通过列举一些理论上和现今实际生活中相关的问题，同时利用数学期望的相关理论进行解决，从而达到理论联系实际的目的. 关键词：概率统计；数学期望；决策The Mathematic Expectation Theory and its Application Abstract:The mathematic expectation is an important digital characteristic in the probability statistics, which has the widespread application in the fundamental research and the actual problem solution aspect. This article through enumerates some theoretically the question which is related with the nowadays practical life, simultaneously carries on the solution using mathematic expectation's correlation theories, thus achieves the apply theory to reality the goal.Key words:Probability statistics；Mathematic expectation；Decision-making一、 数学期望理论简述数学期望是概率论发展早期就形成的一个数字特征,也是其他诸如方差、高阶矩等数字特征的基础.它反映的是随机变量的平均取值，而随机变量又分为离散型随机变量和连续型随机变量，下面先简单介绍这两种随机变量的数学期望定义及相关性质.1. 离散型随机变量的数学期望1.1一维离散型随机变量的数学期望设X 是离散型随机变量，它的概率函数是,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k如果 1k k k |x |p ∞=∑收敛，则定义X 的数学期望为∑∞==1)(k kk p x X E可以看出，离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.1.2二维离散型随机变量的数学期望若(ξ,η)是一个二维离散型随机变量,其联合分布列为i j ij p(ξ=a ,η=b )=p ,i,j =1,2,...又),(y x g 是实变量x,y 的单值函数,如果11ij ij i j |g(a ,b )|p ∞∞==<∞∑∑则定义二维随机变量(ξ,η)的数学期望为11(,)i j iji j Eg g(a ,b )p ξη∞∞===∑∑上述是二维离散型随机变量的数学期望，对一般的n 维随变量可以进行推广也有相应的定理成立，在这里就不再多述了.2. 连续型随机变量的数学期望2.1一维连续型随机变量的数学期望设x 是连续型随机变量，其密度函数为)(x f .如果|x |f(x)dx ∞-∞⎰ 收敛，定义连续随机变量x 的数学期望为()E X x f(x)dx ∞-∞=⎰ 可以看出，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分. …2.2二维（n 维）连续型随机变量的数学期望若(ξ,η)是一个二维连续型随机变量，其密度函数为(,)p x y ，又(,)f x y 是二元函数，则随机变量ζ=(ξ,η)数学期望为E ζ=Ef(ξ,η)f(x,y)p(x,y)dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰这里也要求上述积分绝对收敛.如同1.2中所述，上述仅对二维的情况进行了叙述，对于n 维的情况也同样可以推广得到相应的结论，在这里也不再多述.3. 随机变量函数的数学期望设已知随机变量x 的分布， 那么x 的某个函数g(X)的数学期望基本公式如下：设x 是一个随机变量，g(X)Y =，则k=1,X ,X k k g(x )p E(Y)=E[g(X)]g(x)f(x)dx ∞∞-∞⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰离散连续 其中，当x 是离散时, x 的概率函数为()(), 1, 2,k K K P x P x x P k ====；当x 是连续时x 的密度函数为f(x).4. 条件数学期望设随机变量X 在Y=yj 条件下的条件分布列为i j P ，又 ∞<∑∞=j i i i p x1则称i=1ii j x p ∞∑为X 在Y=yj 条件下的数学期望，简称条件期望，记为j E(X Y =y ).5. 数学期望的性质对于随机变量的数学期望有如下几点性质，这些性质在解决一些问题或是证明相关定理中有重要应用.(1)若a ξb ≤≤,则ξE 存在,且有b E a ≤≤ξ.特别,若C 是一个常数,则EC=C .(2)对于一二维离散型随机变量(ξ,η),若ξE ,ηE 存在,则对任意的实数),(,,2121ηξk k E k k 存在且ξξηξE k E k k k E 2121)(+=+(3)又若ξ,η是相互独立的,则ξηE 存在且ηξξηE E E ⋅=)(以上是对数学期望基本定义和性质的一个简述，其中关于定理和相关性质的证明参见文献[1].对这些理论知识的叙述是为了方便在后文例举问题中的应用，当然在整个概率统计中关于数学期望的定理和性质远不止这些，但在这里没有必要进行全面而详细的论述。

下面重点来叙述数学期望在理论研究和实际生活中的广泛应用.二、 数学期望应用例举(一) 数学期望在证明等式或不等式中的应用在数学分析中常常要证明一些等式或不等式，常用的方法是利用归纳法或中值定理等.在这里本文将根据等式和不等式的特点，构造相应的概率模型或引进适当的随机变量，利用随机变量的数学期望来证明等式或不等式.例1 证明下列等式：112n k n n k kCn -==∑， （1） 211(1)2n k n n k k C n n -==+∑， （2）分析：上面两个等式通常可以用排列组合的相关知识来进行证明，但从等式的形式可以看出，它们和概率论中二项分布公式有些相近，所以在这里我们可以先构造一个二项分布模型，利用数学期望，用概率方法来证明.证明：先构造概率模型：假设某型号的高射炮向某一目标单独射击n 次，其每次射中目标的概率是p ，以ξ表示其射中目标的次数，则ξ服从二项分布，有()(1),0,1,2,...,k k n k n p k C p p k n ξ-==-=0(1)nk k n k n k E kC p p ξ-==-∑设1,1,2,...,0,i i n ξ⎧==⎨⎩。

第i 次射击击中目标；第i 次射击未击中目标 12...n ξξξξ=+++ ，,1,2,...,i E p i n ξ==因而1n i k E E np ξξ===∑，即1(1)nk k n k nk kC p p np -=-=∑ 令12p =，得112n k n n k kC n -==∑，（1）式得证. 因为22[][D() D()(1)E E np p ξ=(ξ)]+ξξ=-于是22()(1)E np np p ξ=+-又因为220(1)nk k n k n k E k C p p ξ-==-∑ 所以220(1)()(1)n k k n k n k k C p p np np p -=-=+-∑ 取12p =，则有 2201(1)22nn k n k n n k C =+⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 故220(1)2n k n n k k C n n -==+∑因此（2）式得证.从以上的证明过程可以看出，在构造出适当的概率模型之后，可以利用数学期望，用概率方法进行证明.在证明（1）式过程中主要利用离散型随机变量数学期望的基本定义，再结合二项分布随机变量的数学期望公式E np ξ=得出最后等式；而（2）式的证明主要是利用了数学期望的性质（3），进行简单变换、推导，从而证明结论.例2 对于可积函数()g x ，（()0g x >），试证明2()()()b b a adx g x dx b a g x ≥-⎰⎰. 分析：这个不等式的证明在数学分析中可以利用中值定理来证明，但也可以引入适当的随机变量，用概率方法来证明，在证明过程中需要应用下面概率论中的一个定理，该定理的证明可参见文献[2].定理：设ξ为(),,F p Ω上的随机变量，若()f x 为定义在某区间I 上的连续的下凸函数，则有([])[()]f E E f ξξ≤.若()f x 为I 上的上凸函数，则有([])[()]f E E f ξξ≥.证明：令[,]U a b ξ⊂，()y g x =为严格正函数，则()g ηξ=为正随机变量。

考察(0,)+∞上的连续下凸函数1()f x x=，对该函数运用上述定理，有11()()E E ηη≤，从而1()()1E E ηη≥. 而11()()()()E g x p x dx g x dx g x dx b a b a η∞∞∞-∞-∞-∞===--⎰⎰⎰， 111111()()()()E p x dx dx dx g x g x b a b a g x η∞∞∞-∞-∞-∞===--⎰⎰⎰. 故 111()1()g x dx dx b a b a g x ∞∞-∞-∞≥--⎰⎰ 也即21()()()g x dx dx b a g x ∞∞-∞-∞≥-⎰⎰ 结论得证.一般的在数学分析的证明当中，最常用的方法是利用中值定理，但在某些情况下，比如说所给函数的条件比较有限，利用中值定理方法也可能不能很好或方便的解决，这个时候就需要其他的方法.而该题证明的主要思路是引进随机变量，从而构造随机变量函数结合上述定理，利用连续型随机变量数学期望的定义便可直接得出结论。

因而，利用数学期望理论来解决此类问题有些时候会显得更加的方便和简洁，特别是在所给函数条件相对有限的情况下，此例所示的方法可供参考.(二) 数学期望在实际生活中的应用数学期望理论在实际生活中的应用主要体现在它是代表随机变量取值的平均值，因而可以利用其来进行决策-优化，从而帮助主体采取最优化的决策来达到最优的结果.下面将例举相关几个方面的例子来说明数学期望在实际生活中的广泛应用.1. 投资理财问题投资理财的目的是利用手中闲散货币进行货币再生，即所谓的“钱生钱”.在现实生活中投资有很多种方式，如债券，股票，期货，保险，存入银行，房地产等等，这些都属于投资理财问题。