求数列通项公式的十一种方法

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。

四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+，故 因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯， 则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和n a n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

例3.已知数列}{n a 中,0>n a 且)(21n n n a na S +=,求数列}{n a 的通项公式.解:由已知)(21nn n a na S +=得)(2111---+-=n n n n n S S nS S S , 化简有nS S n n =--212,由类型(1)有nS S n ++++= 32212,又11a S =得11=a ,所以2)1(2+=n n S n ,又0>n a ,2)1(2+=n n s n ,则2)1(2)1(2--+=n n n n a n此题也可以用数学归纳法来求解. 二、累乘法1.适用于：1()n n a f n a +=----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏ 例4已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯例5.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2，3，…），则它的通项公式是n a =________.解：已知等式可化为：[]0)1()(11=-++++n n n n na a n a a0>n a (*N n ∈)∴(n+1)01=-+n n na a ,即11+=+n na a n n∴2≥n 时，n n a a n n 11-=- ∴112211a a aa a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=--- =121121⋅⋅--⋅- n n n n =n 1. 评注：本题是关于n a 和1+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到n a 与1+n a 的更为明显的关系式，从而求出n a .练习.已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式. 答案：=n a )1()!1(1+⋅-a n -1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11-+=+n na a n n 转化为),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型 （1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c cd λ所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列， 所以11)1(1-⋅-+=-+n n c c d a c d a 即：1)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n . 规律：将递推关系d ca a n n +=+1化为)1(11-+=-++c da c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列}1{-+c d a n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c da c c d a n n逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系d ca a n n +=+1中把n 换成n-1有dca a n n +=-1,两式相减有)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式.)(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：121(2),n n a a n -=+≥又{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列12n n a ∴+=，即21n n a =-解法二：121(2),n n a a n -=+≥两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥，故数列{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……练习．已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a 。

答案：1)21(1+=-n n a2．形如：nn n q a p a +⋅=+1(其中q 是常数，且n ≠0,1)①若p=1时，即：nn n q a a +=+1，累加即可.②若1≠p 时，即：n n n q a p a +⋅=+1，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以1+n p .目的是把所求数列构造成等差数列即：n nn n n q p p q a p a )(111⋅+=++,令n n n p a b =，则n n n q pp b b )(11⋅=-+,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以1+n q .目的是把所求数列构造成等差数列。

即：q q a q p q a n n n n 111+⋅=++,令n nn q a b =,则可化为q b q p b n n 11+⋅=+.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设)(11n n n n p a p q a ⋅+=⋅+++λλ.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求p ≠q ，否则待定系数法会失效。

例7已知数列{}n a 满足1112431n n n a a a -+=+⋅=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一（待定系数法）：设11123(3n n n n a a λλλ-++=+⋅)，比较系数得124,2λλ=-=，则数列{}143n na--⋅是首项为111435a --⋅=-，公比为2的等比数列， 所以114352n n n a ---⋅=-⋅，即114352n n n a --=⋅-⋅解法二（两边同除以1+n q）：两边同时除以13n +得：112243333n n n n a a ++=⋅+，下面解法略 解法三（两边同除以1+n p ）：两边同时除以12+n 得：nn n n n a a )23(342211⋅+=++，下面解法略 练习.（2003天津理） 设a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=--．证明对任意n≥1，12)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-；3．形如b kn pa a n n ++=+1(其中k,b 是常数，且0≠k ) 方法1：逐项相减法（阶差法） 方法2：待定系数法通过凑配可转化为))1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-; 解题基本步骤： 1、确定()f n =kn+b2、设等比数列)(y xn a b n n ++=，公比为p3、列出关系式))1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-,即1-=n n pb b4、比较系数求x,y5、解得数列)(y xn a n ++的通项公式6、解得数列{}n a 的通项公式例8在数列}{n a 中，,23,111n a a a n n +==+求通项n a .（逐项相减法） 解： ，,231n a a n n +=+①∴2≥n 时，)1(231-+=-n a a n n ，两式相减得2)(311+-=--+n n n n a a a a .令n n n a a b -=+1,则231+=-n n b b 利用类型5的方法知2351+⋅=-n n b 即13511-⋅=--+n n n a a ②再由累加法可得213251--⋅=-n a n n .亦可联立①②解出213251--⋅=-n a n n .例9.在数列{}n a 中，362,2311-=-=-n a a a n n ,求通项n a .（待定系数法）解：原递推式可化为y n x a y xn a n n ++-+=++-)1()(21 比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为12-=n n b b 所以{}n b 是一个等比数列，首项299611=+-=n a b ,公比为21.1)21(29-=∴n n b 即：nn n a )21(996⋅=+-故96)21(9-+⋅=n a n n .4．形如cn b n a pa a n n +⋅+⋅+=+21(其中a,b,c 是常数，且0≠a )基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。