武汉大学2011-2012上学期高数期中试题

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湖北省高三数学上学期期中联考试题理新人教A版

高三数学理科试卷考试时间：2012年11月19日上午8：00-10：00 试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡相应的位置）．1．设数列{x n }满足ln x n ＋1＝1＋ln x n ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝10.则x 21＋x 22＋x 23＋…＋x 30的值为 ( )A ．11·e 20B ．11·e 21C ．10·e 21D ．10·e 202．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1 OA →＋a 2009OC →，且A 、B 、C 三点共线(O 为该直线外一点)，则S 2009等于 ( )A ．2009 B.20092C ．22009D ．2－20093．在锐角△ABC 中，若1tan ,1tan -=+=t B t A ，则t 的取值范围是（） A ．（－1，1）B ．（1，+∞）C ．（)2,2-D ．+∞,2(）4设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，3c =，则,,a b c 大小关系（） A. a b c << B. b a c << C. c<a<b D. a c b <<5．已知函数f (x )＝2sin(wx ＋φ)(w ＞0,0＜φ＜π)，且函数的图象如图所示，则点(w ，φ)的坐标是 ( )A ．(2，π3)B ．(4，π3)C ．(2，2π3)D ．(4，2π3)6．设0＜x ＜1，a ，b 都为大于零的常数，则a 2x ＋b 21－x的最小值为( )A ．(a －b )2B ．(a ＋b )2C ．a 2b 2D ．a 27．已知数列｛a n ｝为等差数列，若11101a a <-，且它们的前n 项和为S n 有最大值，则使得S n ＜0的n 的最小值为（）A ．11B ．19C ．20D ．218．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．已知对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =;则对任意的a b S ∈，，给出下面四个等式:(1)()**a b a a =(2)[()]()****a b a a b a= (3)()**b b b b =(4)()[()]****a b b a b b = 上面等式中恒成立的有( ) A ．（1）、（3） B ．（3）、（4）C ．(2)、（3）、（4）D ．（1）、（2）、（3）、（4）9．设奇函数f(x )在[—1，1]上是增函数,且f (—1)= 一1，若函数，f (x )≤t 2一2 a t+l对所有的x ∈[一1,1]都成立,则当a ∈[-1，1]时，t 的取值范围是 ( )A ．一2≤t ≤2B 21-≤t ≤21 C.t ≤一2或t = 0或t ≥2 D ．t ≤21-或t=0或t ≥2110．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，动点P 在以点C 为圆心，1为半径的圆上，若(,)AP AB AD R λμλμ=+∈，则2λμ+的取值范围是（）A ．[3B ．[322-+C ．[31010-+D ．[3,31010-+第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝1，∠B ＝45°，△ABC 的面积S ＝2，那么△ABC 的外接圆的直径等于__________．12.若函数52)(23+-+=x ax x x f 在区间（21,31）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数，则实数a 的取值范围是_____ ______.13 已知)(x f 是偶函数，当+∈R x 时， ,0)1(,)()(=>'f xx f x f 且则关于x 的不等式0)(>xx f 的解集是___________ 14、已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满3])21()1(1[(OC OB OA λλλ++-+-=）（λ∈R ）, 则P 的轨迹一定过△ABC 的__________15.设N=2n（n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N 。

2012学年第一学期期中考试高三(文科)数学试卷

2012学年第一学期期中考试高三（文科）数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.第 Ⅰ 卷（选择题共50分）注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则)(B A C U ⋂等于 (A){2,3} (B){1,4,5} (C){4，5} (D){1,5} 2． =︒330tan (A)3 (B)3- (C)33 (D)33- 3．函数f (x )=234lg(1)x x x -+++-的定义域是（A ）[-1,4]（B ）[1,4] （C ）(1, 4] （D ）（-1, 4]4．若b a ,为实数，则“1≤+b a ”是“21≤a 且21≤b ”的 (A)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件5．o2o3-sin70=2-cos 10(A)12(B)22(C) 2(D) 326．函数13y x =的图像是7．在△ABC 中，点M 满足0=++MC MB MA ，若 0=++AM m AC AB ，则实数m 的值是 (A)3 (B)23 (C) 23- (D)3- 8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且224,6a S ==，则64n nS a +的最小值是 (A)7 (B)152(C) 8(D)172(A)(B) (C)(D)9．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--≤-+01033022y x y x y x ，则x y +的最小值是（A ）0 （B ）1-/（C ）1 （D ）210．函数()M f x 的定义域为R ，且定义如下： 1(),()0(),M x M f x x M ∈⎧=⎨∉⎩（其中M 为非空数集且R M ⊆），在实数集R 上有两个非空真子集A 、B 满足A B =∅，则函数()1()()()1A B A B f x F x f x f x +=++的值域为(A) ∅(B) {12}(C) {1} (D) {12,1} 第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：将卷Ⅱ的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.11．公差为1的等差数列{}n a 满足2469a a a ++=，则579a a a ++的值等于▲． 12．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则实数k =▲．13．若sin α＋cos α＝12，则sin 2α＝▲．14．在直角三角形ABC中，，1,==⊥AC AB AC AB DC BD 21=，则CD AD ⋅的值等于▲．15．函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如图所示，则(0)f 的值是▲．16．类比等差数列求和公式的推导方法，解决下列问题：设()()sin sin 30x f x x =︒-，则()()()()()12293159f f f f f ︒+︒++︒+︒++︒=__ ▲___．17．等比数列{}n a 中，120121,9a a ==，函数122012()()()()2f x x x a x a x a =---+，则曲线()y f x = 在点(0,(0))f 处的切线方程为 __▲__ ．三、解答题：本大题共5小题．共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,且满足sin 3cos b A a B =．(Ⅰ)求角B 的值； (Ⅱ)若25cos25A =，求sin C 的值． 19．（本题满分14分）函数22x y -=和213y x =的图象如图所示，xy O 3π712π2-（第15题图）其中有且只有1x x =、2x 、3x 时，两函数数值相等，且1230x x x <<<，o 为坐标原点． (Ⅰ)请指出图中曲线1C 、2C 分别对应的函数； (Ⅱ)现给下列二个结论： ①当(,1)x ∈-∞-时，22x -<213x ； ②2(1,2)x ∈；请你判定是否成立，并说明理由．20．(本题满分14分)已知二次函数)0,,,()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f ，0)0()2(==-f f ，)(x f 的最小值为1-．(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)设1)()()(+--=x f m x f x g ，若)(x g 在]1,1[-上是减函数，求实数m 的取值范围. 21．(本题满分15分)已知数列}{n a ，}{n b 满足：291=a ，n n n a a 2621⋅=-+， 12+-=n n n ab (*N n ∈)．(Ⅰ)证明数列}{n b 为等比数列．并求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； (Ⅱ)记数列}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若对任意的∈n N*都有nn n b mT S ≤，求实数m 的最小值．22．（本题满分15分）设1x 、)(212x x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点. (Ⅰ)若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)若,22||||21=+x x 求实数b 的最大值；(Ⅲ)函数)()()(1x x a x f x g --'=若,,221a x x x x =<<且求函数)(x g 在),(21x x 内的最小值．（用a 表示）高三数学（文科）参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．请将答案填在答题卡对应的位置上．三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,且满足sin cos b A B =．第19题图(Ⅰ)求角B 的值； (Ⅱ)若25cos25A =，求sin C 的值．解：(Ⅰ)由正弦定理BbA a sin sin =及已知条件sin 3cos b A a B =得…………………2分 B A A B cos sin 3sin sin =,………………………………………………………4分又因为0sin ≠A ,所以B B cos 3sin =，即3tan =B ，……………………6分又),0(π∈B ,所以3π=B ;…………………………………………………………7分(Ⅱ)因为25cos25A =，所以5312cos 2cos 2=-=A A ,………………………9分又),0(π∈A ,所以54sin =A ，由(Ⅰ)知32π=+C A ，………………11分所以10334sin 32cos cos 32sin )32sin(sin +=-=-=A A A C πππ．…………14分 19．函数22x y -=和213y x =的图象如图所示，其中有且只有1x x =、2x 、3x 时，两函数数值相等，且1230x x x <<<，o 为坐标原点．(Ⅰ)请指出图中曲线1C 、2C 分别对应的函数； (Ⅱ)现给下列二个结论： ①当(,1)x ∈-∞-时，22x -<213x ； ②2(1,2)x ∈；请你判定是否成立，并说明理由．解：（Ⅰ）1C 为213y x =，………3分2C 为22x y -=； ………5分（Ⅱ）结论①成立，理由如下：函数22x y -=在(,1]-∞-上是增函数，∴(,1)x ∈-∞-时，2121228x ---<=．…7分又函数213y x =在(,1]-∞-上是减函数，∴(,1)x ∈-∞-时，22111(1)333x >⨯-=而1183<，所以当(,1)x ∈-∞-时，22123x x -<；……………10分结论②成立，理由如下：构造函数221()23x f x x -=-，则11(1)0,(2)063f f =>=-<∴()f x 在区间(1,2)内有零点．…14分20．已知二次函数)0,,,()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f ，第19题图0)0()2(==-f f ，)(x f 的最小值为1-．(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)设1)()()(+--=x f m x f x g ，若)(x g 在]1,1[-上是减函数，求实数m 的取值范围. 解:（Ⅰ）由题意设)2()(+=x ax x f ，…………………………………………2分 ∵ )(x f 的最小值为1-，∴ 0>a ，且1)1(-=-f ，∴ 1=a ，…………4分∴ x x x f 2)(2+= ． ………………………………………………………7分（Ⅱ）∵ 1)1(2)1()(2++--=x m x m x g ，………………………………8分 ① 当1=m 时，14)(+-=x x g 在[-1, 1]上是减函数，∴1=m 符合题意．……………………………………………………10分 ② 当1≠m 时，对称轴方程为：mmx -+=11， ⅰ）当01>-m ，即 1<m 时，抛物线开口向上，由111≥-+mm，得 m m -≥+11 ， ∴ 10<≤m ；……12分 ⅱ）当01<-m ，即 1>m 时，抛物线开口向下，由111-≤-+mm ，得 m m +-≥+11， ∴1>m ．……13分综上知，实数m 的取值范围为[)∞+,0．………………………14分21．已知数列}{n a ，}{n b 满足：291=a ，n n n a a 2621⋅=-+； 12+-=n n n ab (*N n ∈)．(Ⅰ)证明数列}{n b 为等比数列．并求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； (Ⅱ)记数列}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若对任意的∈n N*都有nn n b mT S ≤，求实数m 的最小值．解：（Ⅰ）由已知得1212)2(2+++-=-n n n n a a ，……………………………………2分所以n n b b 211=+，因为211=b ，所以}{n b 为等比数列．………………………………………4分所以n n b )21(=， ……………………………………………6分进而n n n a )21(21+=+． ……………………………………………7分（Ⅱ）1211422121)2121()222(2132+--=++++++++=++n n n n n nn T S 124+⋅=n (10)分则nn n m 21421)124(+=+⋅≥对任意的∈n N*成立． ……………………12分所以数列}214{n +是递减数列，所以29)214(max =+n所以m 的最小值为29． ……………………………………………………15分22．设1x 、)(212x x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点. (Ⅰ)若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式； (Ⅱ)若,22||||21=+x x 求实数b 的最大值；(Ⅲ)函数)()()(1x x a x f x g --'=若,,221a x x x x =<<且求函数)(x g 在),(21x x 内的最小值．（用a 表示）解：).0(23)(22>-+='a a bx ax x f -------------------------------------------------------1分（1）2,121=-=x x 是函数)(x f 的两个极值点，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⨯--=+-332132212aa a ab 可得⎩⎨⎧-==9,6b a ------------------------------- ------------3分 x x x x f 3696)(23--=∴ -------------------------------------------------------------------4分（2）∵1x 、)(212x x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点，0)()(21='='∴x f x f ，∴21,x x 是方程02322=-+a bx ax 的两根，∵32124a b +=∆， ∴0>∆对一切R b a ∈>,0恒成立，而3,322121ax x a b x x -=⋅-=+，0>a ，021<⋅∴x x ， ,3494)3(4)32(4)(||||||222212212121a a b a a b x x x x x x x x +=---=-+=-=+∴………6分由).6(3,22349422||||222221a a b a ab x x -=∴=+=+得………………7分 .60,0)6(3,022≤<≥-∴≥a a a b ………………………………………… 8分令.369)(),6(3)(22a a a h a a a h +-='-=则)(0)(,40a h a h a ∴>'<<时在（0，4）内是增函数； 0)(,64<'<<a h a 时∴h (a )在（4，6）内是减函数．∴4=a 时，)(a h 有极大值为96，(]6,0)(在a h ∴上的最大值是96，∴b 的最大值是.64…………………………………………………………………10分（3）∵x 1、x 2是方程0)(='x f 的两根， )0(23)(22>-+='a a bx ax x f,31,,31221-=∴=-=⋅x a x a x x -------------------------------------------------11分∴)()()(1x x a x f x g --'=)31)(31(3)31())(31(3--+=+--+=a x x a x a a x x a ----------12分对称轴为2a x =，0>a ，),(),31(221x x a a =-∈∴ []12)23()312(3)312)(312(3)2()(22min+-=+-=--+==∴a a a a a a a a a g x g ．-- ------15分。

武汉大学高数上往届试题

武汉大学2008–2009学年第一学期《高等数学B》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算limn→∞[︃n−n3−1n(n+2)]︃.2.计算limx→0(sin x)·ln(1+2x)1−cos2x.3.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=t+sin ty=f(x−t)f二阶可导,求d2yd x2.4.计算π/2−π/2sin x(x+cos x)d x.5.设f′(ln x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1,0<x≤1x,x>1且f(0)=0,求f(x).6.计算反常积分+∞(1+2x)e−2x d x.二.(15分)已知函数y=(x−1)3(x+1)2,求:1.函数f(x)的单调增加、单调减少区间,极大、极小值;2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.三.(12分)设有点A(3,1,−2)和直线l:x−4=y+32=z1,1.试求过点A且通过直线l的平面方程;2.求点A到直线l的距离.四.(12分)设f(x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩e2x+b,x≤0sin ax,x>0问:1.a,b为何值时,f(x)在x=0处可导;2.若另有F(x)在x=0处可导,证明F[f(x)]在x=0处可导.五.(12分)一铅直倒立在水中的等腰三角形水闸门,其底为6米,高为3米,且底与水面相齐,求:1.水闸所受的压力(水的比重为1);2.作一水平线将此闸门分为上下两部分,使两部分所受的压力相等.六.(7分)设f(x)在区间[0,1]上连续,且1f(x)d x=0,证明:对于任意正整数k,在(0,1)内至少存在一点ξ,使kξf(x)d x=f(ξ).武汉大学2009–2010学年第一学期《高等数学B 》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算lim x →0x −arctan x e x 3−12.求解微分方程y ′′−6y ′+9y =0的通解.3.计算 1−1x 2(1+√1+x 2sin x )d x4.计算 +∞0e −√x d x .5.求曲线⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩x = t 1cos u u d u y = t 1sin u u d u 自t =1到t =π2一段弧的长度.6.设y =1x 2+3x +2,求y (n ).二.(8分)已知u =e xy ,其中y =f (x )由方程y 0e t 2d t = x 20cos t d t 确定,求d u d x .三.(8分)设x 1=1,x n =1+x n 1+x n(n =1,2,···),试证明数列{x n }收敛,并求lim n →∞x n .四.(8分)证明结论:可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数,并说明此结论的几何意义.五.(15分)已知函数y =x 3+4x 2,求1.函数f (x )的单调增加,单调减少区间,极大、极小值.2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.六.(12分)已知函数y =y (x )满足微分方程y ′′−y ′=2(1−x ),且x 轴为曲线y =y (x )的过原点的一条切线,在曲线y =y (x )(x ≥0)上某B 点处作一切线,使之与曲线、x 轴所围成平面图形的面积为112,试求:1.曲线y =y (x )的方程;2.切点B 的坐标;3.由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积.七.(7分)若f (x )在[a ,b ]上连续,且f (a )=f (b )=0及f ′(a )f ′(b )>0,则f (x )在(a ,b )内至少存在一点ξ,使f (ξ)=0.武汉大学2010–2011学年第一学期《高等数学B 》试题一.计算题:(每题7分,共56分)1.求由方程ln xy =e x +y 所确定的隐函数y =y (x )的导数d y d x .2.求lim x →0√2−√1+cos x √1+x 2−1.3.求lim x →0+ x0sin t 3d tx 0cos t 2d t .4.(7分)求lim n →∞1n [︃(︃x +2n )︃+(︃x +4n )︃+···+(︃x +2n n )︃]︃.5.求不定积分 1√1+e 2xd x .6.求定积分 π/2x (1−sin x )d x .7.求方程y ′+2xy =xe −x 2的通解.8.设f ′(x )=e −x 2,lim x →+∞f (x )=0,求 +∞0x 2f (x )d x .二.(7分)证明当0<x <π2时,sin x >2πx .三.(10分)设抛物线y =ax 2+bx +c 过原点,当0≤x ≤1时,y ≥0.又已知该抛物线与x 轴及直线x =1所围成的图形的面积为13,试确定a ,b ,c 使此图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积V 最小.四.(7分)试判断函数f (x )=lim n →∞x 2n −1−1x 2n +1的间断点及其类型.五.(10分)设函数f (x ),g (x )满足f ′(x )=g (x ),g ′(x )=2e x −f (x ),且f (0)=0,g (0)=2,求f (x ),g (x )的表达式.六.(10分)设函数f (x )在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f (0)+f (1)+f (2)=3,f (3)=1,试证:必存在ξ∈(0,3),使f ′(ξ)=0.武汉大学2011–2012学年第一学期《高等数学B》试题一.计算题:(每题8分,共56分)1.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=arcsin√1−t2y=1+t2,求d2yd x2.2.求limx→0e x−e sin x(x+x2)ln(1+x)arcsin x.3.已知limx→∞(︂x−ax+a)︂x=+∞a2xe−2x d x,求常数a的值.4.计算不定积分d x√ax+b+d(a 0).5.求定积分1x(1−x4)32d x.6.求解微分方程d yd x=x3y3−xy.7.设ϕ(x)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2xxe t2d tx,x 0a,x=0求a的值使得ϕ(x)在x=0处连续,并用导数的定义求ϕ′(0).二.(5分)设a n=(︃1+1n)︃sinnπ2,证明数列{a n}没有极限.三.(10分)设y=y(x)c满足微分方程y′′−3y′+2y=2e x,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2−x+1在该点的切线重合,求y=y(x).四.(11分)已知函数y=x−1x2+1,求函数的增减区间，凹凸区间，极值、拐点和渐近线.五.(10分)求曲线y=e x,y=sin x,x=0,x=1所围成的平面图形的面积S,并求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积.六.(8分)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使f′′(ξ)=g′′(ξ).武汉大学2012–2013学年第一学期《高等数学B 》试题一.(5分)若lim x →x 0g (x )=0,且在x 0的某去心邻域内g (x ) 0,lim x →x 0f (x )g (x )=A ,则lim x →x 0f (x )必等于0,为什么？二.(8分)设f (x )=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ae x +be −x −c sin 2x ,x ∈(︁−π2,−π2)︁且x 0,1,x =0.试确定a ,b ,c 的一组值,使得f (x )在x =0处连续.三.(6分)设f (x )在x =a 处二阶可导,且f (a )=f ′(a )=0,f ′′(a )=1,求极限limx →a f (x )sin(x −a )(e x −e a )3.四.(5分)指出f (x )=11+e 1x 的间断点及其类型.五.(5分)设u ,v 均是x 的可微函数,y (x )=ln √u 2+v 2,求d y .六.(5分)求函数I (x )=x e ln t t 2−2t +1d t 在区间[e ,e 2]上的最大值.七.(5分)求 −1−2d xx √x 2−1.八.(5分)求微分方程y ′′+3y ′=cos 2x 的通解.九.(5分)若在x 0的某去心邻域内|f (x )|≤α(x ),且lim x →x 0α(x )=0,试证明:lim x →x 0f (x )=0.十.(5分)设y =y (x )由方程y =f [2x +ϕ(y )]所确定,其中f 与ϕ都是可微函数,求y ′.十一.(6分)设f (x )=lim t →∞x (︃1+1t)︃4xt ,求f ′′(x ).十二.(6分)求函数y =(x −1)3√x 2的极值.十三.(8分)求由不等式sin 3x ≤y ≤cos 3x ,0≤x ≤π4所确定的区域的面积.十四.(8分)设f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f (0)=0,对任意x ∈(0,1)有f (x ) 0,证明存在c ∈(0,1)使得n f ′(c )f (c )=f ′(1−c )f (1−c ).(n 为自然数).十五.(8分)设f (x )在[0,+∞)上连续,0<a <b .若 +∞0f (x )x d x 收敛,证明 +∞0f (ax )−f (bx )x d x =f (0)ln b a.十六.(10分)设位于第一象限的曲线y =f (x )过点⎛⎜⎜⎜⎜⎝√22,12⎞⎟⎟⎟⎟⎠,其上任意一点P (x ,y )处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分.(1)求曲线y =f (x )的方程.(2)已知曲线y =sin x 在[0,π]上的弧长为l ,试用l 表示曲线y =f (x )的弧长.。

高数上期中考试

武汉大学《高等数学》（上）期中试卷（2010级统考考试时间 100分钟）班级姓名学号成绩 1（10分）求极限2011lim()sin x x x x→-。

2（10分）求曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程。

3（10分）求函数()(2f x x =-[1,2]-上的最大值和最小值。

4（10分）322()2221设由确定y y x y y xy x =-+-=，()求的驻点，y y x =并判断它是否为极值点。

5（10分）设1/,0()10,0x xx f x e x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩，求()f x '。

6（10分）设常数0k >，判断方程ln 0xx k e-+=在(0,)+∞内实根的个数，并说明理由。

7（10分）已知曲线L 的方程为221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩，（1）讨论L 的凹凸性；（2）过点(1,0)-引L 的切线，求切线的方程。

8（10分）（1）写出()x f x e =的带有佩亚诺型余项的3阶麦克劳林公式；（2）确定常数A 、B 、C 的值，使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++。

9（10分）在椭圆22221x y a b+=的第一象限部分上求一点P ，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围面积最小（其中0,0a b >>，椭圆面积s ab π=）。

10（10分）设)(x f 在[,]a b 上具有二阶导数，且()()0f a f b ==及()()0f a f b +-''⋅>。

证明：（1）在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ=；（2）在区间(,)a b 内至少存在一点η，使()0f η''=。

中国矿业大学《高等数学》（上）期中试卷参考评分标准（2009级统考考试时间 100分钟）1（10分）求极限2011lim()sin x x x x→-。

武汉市部分重点中学度上学期期中联考高一数学答案

武汉市部分重点中学2011-2012学年度上学期期中联考高一数学评分细则11、1412、113、223x x -+-14、3-15、2a ≥三、解答题（16-19题每小题12分，20题13分，21题14分） 16、（1）B A ⊆1225m m -≥-⎧∴⎨+≤⎩即13m -≤≤ 13m ∴-≤≤……6分（2）依题意得：15m -≥或22m +≤- 即6m ≥或4m ≤-……12分17、（1）依题意得1030x x +>⎧⎨->⎩，()f x ∴的定义域为{|13}x x -<<……2分令2(1)(3)(1)4t x x x =+-=--+，(1,3)(0,4]x t ∈-∴∈……4分 4[log ,)a y ∴∈+∞……6分（2）由(2)()log x a f x ≤得：log a 2(2)(23)log x ax x -++≤ 01a <<，21320232x x x x x ⎧-<<⎪∴>⎨⎪-++≥⎩……9分解得：0x ∴<≤∴不等式的解集为(0……12分18、（1）将0.1,1t y ==代入得0.1a = ……3分（2）当00.1t <≤时，设y kt =，将0.1,1t y ==代入得10k =10y t ∴=……5分②当0.1t ≥时，0.111()=()1616t a t y --=综上所述0.110,00.11(),0.116t t t y t -<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩……8分（3）①当0.1t ≥时，由0.11()0.2516t ->得20.211()44t -> 即20.21t -<∴0.10.6t ≤< ……10分 ②当00.1t <≤时，由100.25t >得0.0250.1t <≤ 0.60.0250.575-=小时∴学生离开教室的时间至少有0.575小时。

武汉大学2012-2013第一学期期中试题及答案(1)

= 2n−1 x2 cos(2x + nπ ) + 2n−1 nx cos(2x + (n − 1)π ) + 2n−3 n(n −1) cos(2x + (n − 2)π )
2
2
2
4) dy = d (sin(x2 + 1))4
= 4(sin( x2 + 1))3d sin( x2 + 1)
= 4(sin(x2 + 1))3 cos(x2 + 1)d (x2 + 1)
1 x2 2 x2
− lim x→0
2 x2 3 x2
=
−1 6
2)
由
lim ln(x
x→0
1
+ e2 x )sin x
=
lim ln(x + e2x )
x→0
x
=
lim
x→0
1 + 2e2x x + e2x
= 3,
1
得 lim( x + e2x )sin x = e3 ； x→0
3) 由
lim ln( 2 π x→+∞
2) 3) 且有
f
′(0)
=
lim
x→0
f
(x) − 0 x
=
lim
x→0
g(x) − e−x x2
= lim g′(x) + e−x = lim g′′( x) − e−x = 1 (g′′(0) − 1) .
x→0
2x
x→0
2
2
当 x ≠ 0 时，
f
′( x)
= ⎜⎜⎝⎛
g(x) − e−x x

湖北省武汉市部分重点中学11-12学年高二上学期期中考试(数学理)

绝密★启用前湖北省部分重点中学2011—2012学年度上学期高二期中考试数学试卷（理科）命题人：武汉四中程轲审题人:四十九中唐宗保本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分,共150分，考试用时120分钟.★祝考试顺利★第I卷(选择题共50分）一、选择题:本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直到型循环结构为2．设A、B是两个任意的事件，下面哪一个关系是正确的A．A B A+=D．AB A⊂+=B．AB A⊃C．A AB A3．某校有下列问题：①高三毕业班500名学生中，O型血有200人,A 型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为研究血型与色弱的关系,需从中抽取一个容量为20的样本；②高二年足球队有11名运动员,要从中抽出2人调查学习负担情况。

方法：Ⅰ.随机抽样法Ⅱ。

系统抽样法Ⅲ。

分层抽样法。

其中问题与方法能配对的是A ．①Ⅰ ②ⅡB ．①Ⅲ ② ⅠC ．①Ⅱ ②ⅢD ．①Ⅲ ②Ⅱ 4．将二进制数218(1111)位转换成十进制形式是A ．217－2B ．218－2C ．218－1D ．217－15．“回归”这个词是由英国著名的统计学家Francils Galton 提出来的。

1889年，他在研究祖先与后代身高之间的关系时发现,身材较高的父母，他们的孩子也较高,但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高;身材较矮的父母，他们的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们的父母的平均身高高。

Galton 把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”。

根据他研究的结果,在儿子的身高y 与父亲的身高x 的回归方程ˆya bx =+中，b 的值A ．在(－1,0）内B ．在（－1，1）内C ．在（0，1)内D ．在[1,)+∞内 6．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如上图,由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4。

武汉大学2011-2012 A试卷_答案

武汉大学2011 —2012学年度第一学期《工程随机数学》试卷（A ）答案学院专业班学号姓名分数一、单项选择题（共15题，每题2分，共30分）1.（a ）2. (c)3.(b)4.(d)5.(a)6.(d)7.(d)8.(d)9.(c) 10.(c) 11.(a)12.(c) 13.(b) 14.(b) 15.(b)二、填空题（共10空，每空2分，共20分）1、 P(AUB)=___0.8______.2、f(z)=___. 3、P(0<Z<1)=__0.75__.4、P{Y=4}=___0.189__.5、≤≥-}2|4{|X P __1__.6、∧p =___.7、21n /Y n /X ~ __F （n1,n2）_. 2/n Y X ~ t(n2) 8、置信区间为____⎪⎪⎭⎫⎝⎛±2/ασz n X ___. 9、E [<X(t)>]= u x (t) 。

三、计算题（共5题，每题10分，共50分）1 设随机变量（X ，Y ）概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k 。

（2）求P {X <1, Y <3} （3）求P (X <1.5}（4）求P (X+Y ≤4}解：分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x2 设随机变量（X 1，X 2）具有概率密度。

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武汉大学2011-2012上学期高数期中试题一、试解下列各题（6分/小题） 1、x →2、求函数2(2)sin ()(4)x xf x x x +=-的间断点，并指出类型。

3、设函数()y y x =由方程42ln xy x y +=确定，求函数()y y x =在1,1x y ==处的一阶导数和二阶导数。

4、设()f x 有二阶导数，且()0f x '≠，()x g y =与()y f x =互为反函数，试用(),()f x f x '''来表示(),()g y g y '''。

5、求对数螺线e θρ=（由极坐标方程给出）在点()2,,2e ππρθ⎛⎫= ⎪⎝⎭处的切线的直角坐标方程。

6、一飞机在离地面2km 的高度，以200/km h 的速度飞行到某目标上空，以便进行航空摄影，试求飞机飞行到该目标正上方时，摄影机转动的角速度。

7、求极限31cos sinln(1tan )x xx e e x -→-+。

8、求极限()213cos cos cos 444lim n n n n n n n n πππ→∞-⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

解：1、222200lim2lim1cos 1cos x x x x x x xx x→→→==+-+-002242lim2lim 2sin 2cos 3x x x x x x →→===++2、2(2)sin ()(4)x xf x x x +=-的间断点：0,2,2x =-。

2(2)sin 1lim ()lim (4)2x x x x f x x x ±±→→+==- 0x =是第一类跳跃间断点。

222(2)sin lim ()lim(4)x x x xf x x x →→+==∞- 2x =是第二类无穷间断点。

2222(2)sin sin sin2lim ()limlim (4)(2)8x x x x x x f x x x x x →-→-→-+===-- 2x =-是第一类可去间断点。

3、把y 看作x 的函数，42ln xy x y +=两边对x 求导324y xy y y x''++= 再两边对x 求导()232222412y xy y y y y x ''''''+-=+ ()3222222332422124xy y xy x x y x yy y x y x +'=-''--''=-()32(1,1)(1,1)2222233(1,1)(1,1)214221244xy y xy x x y x y y y x y x +'==-''--''==--4、1()()g y f x '=' 2311()1()()()()()()()()d d d dx f x f x g y g y dy dy f x dx f x dy f x f x f x '''''''====-=-'''''5、对数螺线的参数方程cos sin x e y e θθθθ⎧=⎨=⎩ cos sin (cos sin ),(cos sin ),cos sin dx dy dy dy dx e e d d d d dx θθθθθθθθθθθθθθ+=-=+==- 22cos sin 1cos sin dy dx ππθθθθθθ==+==--当2πθ=时20,x y e π==。

所求切线方程：2y x e π=-+。

6、以目标为原点，水平线与飞机飞行同向为x 轴，向上为y 轴，建立直角坐标系。

飞机飞行的直线：2y =。

以飞机和原点连线与飞机飞行方向的夹角为参数θ。

飞机飞行直线的参数方程2cot 2x y θ=⎧⎨=⎩。

2cot x θ=两边对t求导得22sin dx d dt dtθθ=-。

2sin 2d dx dt dtθθ=-。

()222sin 100/2d dxdtdt ππθθθθ===-=-弧度h 。

（负号表示顺时针转动） 7、()3331cos sin sin 1cos sin 0ln(1tan )1tan lim sin xxxx xx x e ex e exx x---→→-+-=-()()()()()323002322320020001cos sin sin 3sin cos 1cos sin 2lim2lim sin 1cos sin 3sin cos 1cos sin 4limsin 3sin cos 1cos sin 4lim 4limsin 3sin cos 1cos 4lim 4lim 4lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→---+--==---+--=---=+-=-+3220sin 4lim 40206x x x x x→-=-+-=8、()213cos cos cos 444lim n n n n n n n n πππ→∞-⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()2132sin cos2sincos2sin cos 444444lim2sin4222422sin sin sin sin sin 44444lim 2sin42sin1124lim lim lim 2sin2sin2444n n n n n n nnnn n nn nn n n n n n n n nn n n n n nnnππππππππππππππππππ→∞→∞→∞→∞→∞-+++=-+-++-=====⋅二、（8分）设0lim ()x x f x A →=，极限0lim ()x x g x →不存在，试问极限[]0lim ()()xxf xg x →+是否存在？并证明之。

解：[]0lim ()()xxf xg x →+不存在。

证：假设[]0lim ()()x xf xg x B →+=存在。

则 [][]0lim ()lim ()()()lim ()()lim ()x x x x x x x x g x f x g x f x f x g x f x B A →→→→=+-=+-=-也存在，矛盾。

故[]0lim ()()x xf xg x →+不存在。

三、（8分）求数列223nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的最大项。

（已知ln1.50.41≈）解：记()22()03xf x x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭。

2222()2ln 333x xf x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222ln 0333xxx x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在0x >有唯一解2ln1.5x =。

20,0ln1.52()0,ln1.520,ln1.5x f x x x ⎧><<⎪⎪⎪'==⎨⎪⎪<>⎪⎩()f x 在20,ln1.5⎛⎤ ⎥⎝⎦严格单调增加，在2,l n 1.5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调减少。

2l n 1.50.414.9l n 1.5≈⇒≈。

445422222502(4)416,(5)5(4)33333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅=⋅> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

故223n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的最大项是52253⎛⎫⎪⎝⎭。

四、（8分）当,αβ取何值时，函数21cos ,0()sin ,0x x f x xx x αβ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在0x =处连续；何时在0x =处可导？解：001lim ()lim cos 0x x f x x xα++→→==存在的充要条件是0α>。

()2lim ()lim sin (0)x x f x x f ββ-+→→=+==。

可见，()f x 在0x =处连续的充要条件是0α>且0β=。

10()(0)1(0)lim lim cos 0x x f x f f x x xα++-+→→-'===存在的充要条件是1α>。

200()(0)sin (0)lim lim 0x x f x f x f x x---→→-'===。

可见，()f x 在0x =处可导的充要条件是1α>且0β=。

五、（8分）设函数()f x 是周期为2012的连续函数。

证明：存在[]0,2011ξ∈使得()(1)f f ξξ=+。

证：记()()(1)F x f x f x =-+。

由()f x 的性质知，()F x 是周期为2012的连续函数。

(0)(1)(2011)(0)(1)(1)(2)(2011)(2012)(0)(2012)0F F F f f f f f f f f +++=-+-++-=-=根据连续函数的最值性质，存在[]12,0,2011x x ∈使得12()0()F x F x ≤≤。

根据介值定理，在12,x x 确定的闭区间上存在ξ，从而[]0,2011ξ∈，使得()0F ξ=，即()(1)f f ξξ=+。

六、（10分）设()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且满足条件(),()f x a f x b ''≤≤，其中,a b 都是非负常数。

c 是()0,1内任意一点，证明()22b fc a '≤+。

证：在c 点写泰勒公式，()()21()()()()2f x f c f c x c f x c ξ'''=+-+- ()()211(0)()()0()02f f c f c c f c ξ'''=+-+-()()221(1)()()1()12f f c f c c f c ξ'''=+-+-()()222111(1)(0)()()1()22f f f c f c f c ξξ'''''-=+--()()()222222222211()(1)(0)()1()2211(1)(0)()1()22212f c f f f c f c f f f c f c b a c c ξξξξ'''''=---+''''≤++-+⎡⎤≤+-+⎣⎦记()22()(1)01g x x x x =-+<<。