非正弦交流电路
20200403非正弦交流电有效值计算与应用法
习题课一：非正弦式交流电有效值的计算与应用一、交流电有效值的定义：指对做功或发热有效。
让某个交流电和一个直流电对同样大小的电阻加热，如果在相等的时间内它们产生的热量相等，那么交流电的有效值就等于直流电的数量大小。
（注意4个相等：被加热电阻相等、时间相等、发热量相等，则交流电的有效值与直流的数量大小相等）交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的，与电流的方向无关，但一般与所取的时间的长短有关，在无特别说明时，是以一个周期的时间来计算有效值的。
二、3个结论提示：⑴、按此定义某一直流电的有效值就是直流电本身。
应用见例1。
⑵、线性变化电流的有效值=平均值=（最大值+最小值）÷2。
⑶、“完整”的标准正弦交流电的有效值和最大值的关系为：E E m 2=，I I m 2=，U U m 2=。
注意：如果通电时间较短（短至1/4周期），但在起止时刻恰好等于正余弦的0值或峰值，也是满足前述关系的，见例2。
如果起止时刻不等于正余弦的0值或峰值，就不成立，见例0。
例0：有一正弦交流电的最大值为10伏,加在一直流电阻为10欧的纯电阻上。
已知它的周期为0.2秒，则它在0.05秒内的发热量可能为：（A 、B 、C ）A 大于0.25焦，B 小于0.25焦，C 等于0.25焦，D 一定为0.25焦。
三、非正弦式交流电有效值的计算方法与例题方法说明：⑴、按有效值的定义通过加热来计算。
⑵、通常计算工作一个周期内的发热量。
⑶、为计算为一个周期内的发热量，焦耳热公式中所用的U 和I 仍然需要是有效值，如例3中前2秒内的有效值是20/2，后1秒内的有效值是10/2。
具体步骤：1、分析一个周期内不同时间段的电流特点，确认每一时段的有效值。
2、计算它在一个周期内的发热量。
3、根据有效值定义（交流、直流发热量相等）列方程计算出有效值。
【例1】计算下图所示交流电的有效值，如果该交流电加在一个5Ω的电阻元件上，它在4个周期内产生的焦耳热是多少。
电路原理课件10非正弦周期电流电路
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非正弦周期电流电路 工程上傅里叶级数常用另一种形式：
f ( t ) = A0 + A1mcos(1t + 1 ) + = A0 + Akm cos( k1t + k )
k =1
= a0 + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )]
交流稳态分析
暂态分析
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非正弦周期电流电路
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非正弦周期电流电路 用晶体管特性图示器测 量晶体二极管的电压电流关 系。
实验表明： 在低频工作条件下，晶
体二极管的电压电流关系是
u-i 平面上通过坐标原点的 一条曲线。
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非正弦周期电流电路
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非正弦周期电流电路
f ( t ) = a0 + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )] k =1 因 bk = 0 f ( t ) = a + [a cos( k t ) b sin( k t )] 0 k 1 k 1 k =1 a k = 0 2. 奇函数： f (t) = f (t)，有 a0 = 0
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非正弦周期电流电路
10.1 非正弦周期信号的谐波分析
一、非正弦周期函数分解为傅里叶(Fourier)级数 满足狄里赫利条件的周期函数 f(t) = f(t + kT)[式中T 为周期函数 f(t)
的周期，k = 0，1，…]，可展开为收敛的傅里叶级数：
f ( t ) = a0 + [a1cos(1t ) + b1sin(1t )] + [a2cos(21t ) + b2sin(21t )] + + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )] + = a0 + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )]
电工技术-第十二章 非正弦交流电
❖ 2. 负载方面
❖ 电路中含有非线性元件，则元件在外加电压的作用下， 电路中的电流不与电压成正比变化。
例如半波整流电路，虽然电源电动势是正弦波，但电 路中的电流及负载上所输出的电压却是非正弦的。
（a）半波整流电路
（b）电路的电流波形
图12-1-2 半波整流的电路与波形
二、非正弦周期量的傅里叶级数表达式
❖ 二次以上谐波统称为高次谐波，频率均为 基波频率的整数倍。
❖ 实验和理论分析都证明：
❖非正弦交流电可以被分解成一 系列频率成整数倍的正弦成分。
❖也就是说，我们在实际工作中 所遇到的各种波形的周期信号， 都可以由许多不同频率的正弦 波组成。
❖ 两个不同频率的正弦电压相加的情况。
设 u1 Um sint
X Ln nL
X Cn
1
nC
电阻是一个恒定值。
❖ （3）分别计算各谐波分量单独作用时电路 中的电流或电压。
❖ （4）利用叠加原理，把所求得的同一支路 的各电流分量（或电压分量）进行叠加， 即可得各支路电流（或电压）。
本章小结
❖ 一、非正弦量的（傅里叶级数）分解 ❖ 1. 周期性的非正弦电压或电流均能被分解为一系列
❖ 凡是奇次对称的信号都只有基波、三次、五次等奇次谐波，而不存在直 流成分以及二次、四次等偶次谐波。
（a）
（b）
（c）
图12-1-4 奇次对称性波形
2. 偶次对称性
❖ 偶次对称谐波的特点是： ❖ 波形的后半周期重复前半周期的变化，且符号相同（即前半
周与后半周都是正的），波形所具有的这种性质被称为偶次 对称性。
《电工技术》
第十二章 非正弦交流电
12-1 非正弦量的 （傅里叶级数）分解与计算
第十二章 非正弦周期电流电路
is1
is3
华东理工大学 上 页 下
页
§12-3 有效值、平均值和平均功率
一. 有效值
根据周期量有效值的定义, 为其方均根值:
I
1 T
0
T
[it ] dt U
2
1 T
0
T
[u t ]2 dt
it I 0 I km cos(k1t k )
k 1
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
（三角函数的正交性）
U 0 I 0 U 1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
Um Im 式中 : U k , Ik , k uk ik , k 1,2, 华东理工大学 2 2
0
ui
t
+ uo
③非正弦激励下的线性电路
0
－
+
0
t
ui
t
uo
0
t
页
－ 华东理工大学 上 页 下
§12-2 周期函数分解为傅里叶级数 (谐波分析) 一. 数学分析
设非正弦周期电流i(t)=i(t+T) ,当满足狄里赫利条件 ( ① i(t)在一周期内连续or有有限多个第一类间断点; ② i(t)在一周期内有有限多个极大值与极小值 )时, 可展成收敛的傅里叶级数：
I av
1 T i dt 0 T
例：正弦电流的平均值 为 1 T 2 I av 0 I m cost dt I M 0.898 I M 0.637 I T 恒定分量（直流分量） 磁电系仪表：
电磁系仪表： 全波整流仪表：
电气学院《电路-非正弦周期电流电路和信号的频谱》课件
k =1
例 周期性方波 的分解
直流分量 t
三次谐波
t
基波 t
五次谐波 七次谐波 t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
频谱图
时域
U
Um
T
t
4U m
=U0
U0
3
w 3w
频域
U0
5w
5w
U = 4Um (coswt + 1 cos 3wt + 1 cos 5wt + )
π
13-4 非正弦周期电流电路的计算
一、一般步骤：
1） 将激励为非正弦周期函数展开为傅立叶级数： f (w t) = A0 + Ak m cos(kw t + k ) k =1 2） 将激励分解为直流分量和无穷多个不同频率的 正弦激励分量； 3） 求各激励分量单独作用时的响应分量：
(1) 直流分量作用：直流分析（C开路，L短路）求Y0;
（2）基波分量作用：角频率为w （正弦稳态分析）求y1; （3）二次谐波分量作用：角频率为2w （正弦稳态分析）求y2;
………………
4) 时域叠加：y(t)= Y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + ……
例：图示电路中 us (t) = 40 + 180 coswt + 60 cos(3wt + 45)
二、非正弦周期函数的有效值
若 u(wt) = U0 + Ukm cos(kwt + k ) k =1
则： U =
U
2 0
+ U12
+
非正弦周期电流电路分析
非正弦周期电流电路分析简介非正弦周期电流电路是一种电路，其中电流的波形不是正弦曲线。
这种电路通常由非线性元件或者非理想元件构成，导致电流波形发生变化。
本文将对非正弦周期电流电路进行分析，探讨其中的特点和应用。
非正弦周期电流的产生非正弦周期电流可以由多种方式产生，包括以下几种常见情况：1.非线性元件的非线性特性导致电流波形变化。
例如，二极管在反向偏置时会产生非线性特性，导致电流波形不是正弦曲线。
2.非理想元件的特性导致电流波形变化。
例如，电感元件的饱和和饱和恢复会导致电流波形非正弦。
3.控制信号或输入信号的特性导致电流波形变化。
例如，方波、脉冲或其他非正弦的控制信号输入到电路中时，会引起电流波形的变化。
非正弦周期电流的特点非正弦周期电流具有以下几个特点：1.波形失真：由于非线性元件或非理想元件的特性，非正弦周期电流的波形会失真。
这种失真包括高次谐波的增加或者波形畸变。
2.频谱分布：非正弦周期电流的频谱分布比正弦电流更加复杂。
由于波形的非线性和不规则，频谱中会包含多个谐波成分。
3.能量损耗：非正弦周期电流的能量损耗比正弦电流更大。
由于电流波形的非正弦特性，导致电路中存在额外的损耗。
4.信号干扰：非正弦周期电流会产生更多的信号干扰。
由于频谱中存在多个谐波成分，这些谐波会干扰其他电路或设备的正常运行。
非正弦周期电流电路分析方法对于非正弦周期电流电路的分析，可以采用以下方法：1.线性电路分析：首先将非正弦周期电流分解为多个谐波成分，然后对每个谐波成分进行线性电路分析。
通过将各个谐波成分的响应叠加，可以得到整个非正弦周期电流电路的响应。
2.时域分析：使用时域分析方法，通过观察电流波形的变化来理解非正弦周期电流电路的工作情况。
这种方法适用于简单的电路，可以直接观察电流波形的特点。
3.频域分析：使用频域分析方法，对非正弦周期电流的频谱进行分析。
通过观察频谱中的谐波成分，可以了解电流波形的非正弦特性。
4.仿真分析：使用电路仿真软件，对非正弦周期电流电路进行仿真分析。
非正弦周期交流电路
解 由公式可知，等效正弦电流的有效值为
I ( 0.8)2 (0.25)2 0.593 A
2
2
平均功率为
P
U1I1
cos
1
311 2
0.8 2
cos 85
10.8
W
正弦电压与等效正弦电流之间的相位差为
arc
cos
P UI
arc
cos
10.8 311 0.593
85.2
2
例 方波信号激励的电路。
U0 RI S0
20 78 .5106
1.57 mV
IS0
R u0
2. 基波 作用 is1 100 sin106 t μ A
20Ω R
为了便于分析与计算，通常可将非正弦周期电压和电
流用等效正弦电压和电流来代替。等效的条件是：等
效正弦量的有效值应等于已知非正弦周期量的有效值，
等效正弦量的频率应等于非正弦周期量的基波的频率，
用等效正弦量代替非正弦周期电压和电流后，其功率
必须等于电路的实际功率。这样等效代替之后，就可
以用相量表示。等效正弦电压与电流之间的相位差应
cos
k
d
1 2
[sin(k
0
1)
sin(k
1)]d
1 2
[
cos(k 1) k 1
cos(k 1) k 1
]0
11 k 1 k 1
2 k2 1
即
Ckm
4Um (k2 1)
0
( k为偶数) ( k为奇数)
A0
2Um
Bkm 0
Ckm
4Um (k2 1)
( k为偶数)
可得
k
第5章 非正弦交流电路
第五章 非正弦交流电路1．周 期 为 T 的 非 正 弦 信 号 可 以 分 解 为 傅 立 叶 级 数 的 条 件 为( )。
(a) 满 足 狄 利 赫 利 条 件 (b) 无 条 件 (c) 必 须 平 均 值 为 零2．某 周 期 为 0.02 s 的 非 正 弦 周 期 信 号，分 解 成 傅 立 叶 级 数 时， 角 频 率 为 300 πrad / s 的 项 称 为 ( )。
(a) 三 次 谐 波 分 量 (b) 六 次 谐 波 分 量 (c) 基 波 分 量3．应 用 叠 加 原 理 分 析 非 正 弦 周 期 电 流 电 路 的 方 法 适 用 于( )。
(a) 线 性 电 路 (b) 非 线 性 电 路 (c) 线 性 和 非 线 性 电 路 均 适 用4．非 正 弦 周 期 电 流 的 有 效 值 I 用 公 式 表 示 即 ( )。
(a) I I I I I =+++++012L L N(b) I I I I I =+++++()01212L L N (c) I I I I I =+++++()02122212L L N 25．下 图 中 非 正 弦 周 期 电 流 的 频 率 为 ( )。
(a) 0.05 kHz (b) 0.1 kHz (c) 10 kHzt /ms6．图 中 周 期 电 压 的 频 率 为 ( )。
(a) 500 kHz (b) 1 000 kHz (c) 0.5 kHz1234mVsu //t m 07．某 周 期 为 0.02 s 的 非 正 弦 电 流，其 5 次 谐 波 频 率 f 5 为( )。
(a) 10 Hz (b) 250 Hz (c) 50 Hz8．已 知 电 流 i t t =++︒10232330sin sin()ωω A ，当 它 通 过 5 Ω 线 性 电 阻 时 消 耗 的 功 率 P 为( )。
(a) 845 W (b) 325 W (c) 545 W9． R ，L ，C 串 联 交 流 电 路 在 ω=ω0 时 发 生 谐 振， u L 的 最 大 值 发 生 在( )。
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第9章非正弦交流电路学习指导与题解一、基本要求1．建立几个频率为整数倍的正弦波可以合成为一非正弦周期的概念。
明确一个非正弦周期波可以分解为一系列频率为整数倍正弦波之和的概念（即谐波分析）、谐波中的基波与高次谐波的含义。
了解谐波分析中傅里叶级数的应用。
2．掌握波形对称性与所含谐波分量的关系。
能根据波形的特点判断所含谐波的情况。
了解波形原点选择对所含谐波的影响。
3．掌握非正弦周期电压和电流的平均值（即直流分量）和有效值的计算。
能根据给定波形计算出直流分量。
能根据非正弦周期波的直流分量和各次谐波分量，计算出它的有效值。
4．掌握运用叠加定理和谐波分析计算非正弦交流电路中的电压和电流的方法。
5．建立同频率的正弦电压和电流才能形成平均功率的概念。
掌握运用叠加定理和谐波分量计算非正弦交流电路中和平均功率。
二、学习指导在电工技术中，电路除了激励和响应是直流和正弦交流电和情况外，也还遇到有非正弦周期函数电量的情况。
如当电路中有几个不同频率的正弦量激励时，响应是非正弦周期函数；含有非线性元件的电路中，正弦激励下的响应也是非线性的；在电子、计算机等电路中应用的脉冲信号波形，都是非正弦周期函数。
因此，研究非正弦交流电路的分析，具有重要和理论和实际意义。
本章的教学内容可分为如下三部分：1．非正弦周期波由谐波合成的概念；2．非正弦周期波的谐波分析；3．非正弦交流电路的计算。
着重讨论非正弦周期波谐波分析的概念，非正弦周期量的有效值和运用叠加定理计算非正弦交流电路的方法。
现就教学内容中的几个问题分述如下。
（一）关于非正弦周期波的谐波的概念非正弦周期波是随时间作周期性变化的非正弦函数。
如周期性变化的方波、三角波等。
这类波形，与正弦波相比，都有变化的周期T和频率f，不同的是波形而已。
f t，可几个频率为整数倍的正弦波，合成是一个非正弦波。
反之，一个非正弦周期波()以分解为含直流分量（或不含直流分量）和一系列频率为整数倍的正弦波。
这些一系列频率为整数倍的正弦波，就称为非正弦周期波的谐波。
其中频率与非正弦周期波相同的正弦波，称为基波或一次谐波；频率是基波频率2倍的正弦，就称为二次谐波；频率是基波频率3倍的正弦波，称为三次谐波；频率是基波频率k 倍的正弦波，称为k 次谐波，k 为正整数。
人们通常将二次及二次以上的谐波，统称为高次谐波。
（二）关于谐波分析的方法在电路分析中，将非正弦周期波的分解，应用傅里叶级数展开的方法，分解为直流分量（或不含有）和频率为整数倍的一系列正弦波之和，称为傅里叶分析，又称为谐波分析。
一人周期为T 的函数()f t ，如果满足狄里赫利条件﹡，则()f t 可以展开为如下三角级数：01()(cos sin )k k k f t A A k t B k t ωω∞==++∑这是一个无穷级数，由法国人傅里叶（Fourier ）提出来的，故称为傅里叶级数。
式中0A ，k A ，k B 称为傅里叶系数，由如下公式计算得出：00001()()2()cos 2()sin TTk Tk A f t dtT A f t k tdtT B f t k tdtT ωω===⎰⎰⎰直流分量0A 是()f t 一周期时间内的平均值，称直流分量。
1k =的正弦波，称为基波；2k =的正弦波，称为二次谐波；k n =的正弦波，称为n 次谐波。
当k 为奇数时，称为奇次谐波；k 为偶数时，称为偶次谐波。
非正弦周期波的傅里叶级数展开，关键是计算傅里叶系数的问题。
在电工技术中，遇到的非正弦周期波，都满足狄里赫利条件的，均可展开为傅里叶级数。
常见的非正弦周期波的傅里叶级数展开式，已在手册及教材中列出，如下表所示，以供查用。
常见非正弦周期波的傅里叶级数展开式()f t 波 形 图()f x 傅里叶级数展开式22()(1sin cos 2cos 4)2315mA f t t t t πωωωπ=+---L﹡ 狄利赫利条件：()f t 在〔2T -，2T 〕 或〔0，T 〕区间，（1）除有限个第一类间断点外，其余各点连续；（2）只有有限个极点。
()f t 波 形 图()f x 傅里叶级数展开式2222()(1cos 2cos 4cos6)31535m f t A t t t ωωωπ=----L411()(sin sin 3sin 5)35m f t A t t t ωωωπ=+++L211()(sin sin 2sin 3)23m f t A t t t ωωωπ=-+-L1111()[(sin sin 2sin 3)]223m f t A t t t ωωωπ=-+++L2811()(sin sin 3sin 5)925m f t A t t t ωωωπ=-+-L2811()(cos cos3cos5)925m f t A t t t ωωωπ=+++L411()(sin sin sin 3sin 3sin 5sin 5)925m f t A t t t αωαωαωαπ=+++L331111()(cos3cos 6cos9)283580m f t A t t t ωωωπ=+-+-L（三）关于波形对称性与所含谐波分量的关系在电工技术中遇到的非正弦周期波，许多具有某种对称性。
在对称波形中，傅里叶级数中，有些谐波分量（包括直流分量。
因直流分量是0k =的零次谐波分量）不存在。
因此，利用波形对称性与谐波分量的关系，可以简化傅里叶系数的计算。
1．波形对称性与谐波分量的关系 有如下几个对称性与谐波分量的关系 有如下几个对称性波形及其傅里叶系数情况。
（1）偶函数 ()f t 波形对称于纵坐标，满足()f t =()f t -条件，如图9-1所示。
则0k B =，傅里叶级数中只含0A 和cos k A k t ω∑项，k =1，2，3，…。
亦即这类对称性非正弦周期波，只含直流分量和一系列余弦 函数的谐波分量。
（2）奇函数 ()f t 波形对称于坐标原点，满足 图9-1 偶函数波形举例()()f t f t =--条件，如图9-2所示。
则00A =，k A=0，傅里叶级数中，只含sin kB k t ω∑项，k =1，2，3，…。
亦即这类对称性非正弦周期波，只含一系列正弦函数的谐波分量。
（3）奇半波对称函数 若()f t 波形移动半周()2T ±与 原波形成镜像，即对横轴对称，满足()()2Tf t f t =-±条件。
如图9-3所示，()f t 波形不对称于纵轴和原点，故它图9-2 奇函数举例 不是偶函数和奇函数，只是移动()2T±与原波形对称于 横轴，则傅里叶系数中，00A =，k A 和k B 中k 为奇数，即k =1，3，5，…。
这类非正弦周期波只含奇次谐波。
所以，这类奇半波对称函数()f t ，称为奇谐波函数。
以上是三种对称波形及其谐波分量情况，下面 再介绍半波重叠波和四种双重对称性波形及其谐波 分量情况。
（4）半波重叠函数 若()f t 波形移动半波()2T ± 与原波形重叠，满足()()2Tf t f t =±条件。
如图9-4 所示，()f t 不对称于纵轴和原点，故它不是偶函数和 奇函数，只是移动2T±与原波形重叠。
则傅里叶系数 图 9-3 奇半波对称波形举例k A 和k B 中k 为偶数，即k =0，2，4，6，…。
这类非正弦周期波只含偶次谐波。
所以，这类半波重叠函数，称为偶偕波函数。
图 9-4 半波重叠函数波形举例 图 9-5 奇函数且半波对称波形举例（5）奇函数且奇半波对称 若()f t 波形满足()()f t f t =--和()()2Tf t f t =-±两个条件。
如图9-5所示，()f t 波形对称于原点，是奇函数，且移动2T±与原波形对横轴成镜像对称，又是奇半波对称函数。
则傅里叶系数中00A =，0k A =，k B 中k 为奇数，即k =1，3，5…。
傅里叶级数中只含sin kB k t ω∑项的奇次谐波。
所以，这类奇函数且半波对称波，只含正弦函数的奇次谐波。
(6) 偶函数且奇半波对称 ()f t 波形满足()f t=()f t -和()()2Tf t f t =-±两个条件。
如图9-6所示，()f t 波形对称于纵坐标，是偶函数，且移动2T±与原波形对横轴成镜像对称，又是奇半波对称函数。
则傅里叶系000k A B ==，k A 中k 为奇数，即k =1，3，5…。
傅里叶级数中只含cos kA k t ω∑项的奇次谐波。
所以，这类偶函数且奇半波对称对称波，只含余弦函数的奇次谐波。
（7）偶函数且半波重叠 ()f t 波形满足()()f t f t =-和()()2Tf t f t =±两个条件。
如图9-7所示，()f t 波形对称于纵轴，是偶函数，且移动2T±与原波形重叠，又是半波重叠函数。
则傅里叶系数中，0k B =，k A 中k 为偶函数，即k =0，2，4，6，…。
傅里叶级数中只含0A 和cos kA k t ω∑项的偶次谐波。
所以，这类偶函数且半波重叠波，只含余弦函数的偶次谐波，包含直流分量。
（8）奇函数且半波重叠 ()f t 波形满足()()f t f t =--和()()2Tf t f t =±两个条件，如图9-8所示。
()f t 波形对称于原点，是奇函数，且移动2T±与原波形重叠，又是半波重叠函数。
则傅里叶系数中，00A =，0k A =，k B 中的k 为偶数，即k =2，4，6，…。
傅里叶级数中只含sin kB k t ω∑项的偶次谐波。
所以，这类奇函数且半波重叠波，只含正弦函数的偶次谐波。
图9-7 偶函数且半波重叠波形举例 图 9-8 奇函数且半波重叠波形举例﹡2。
非对称性非正弦周期波谐波分析的简化计算（1）非对称性非正弦周期波()f t ，可以分解为偶部()ef t 和奇部0()f t 之和。
偶部()ef t 是对称于纵轴的偶函数，奇部0()f t 是对称于原点的奇函数。
即 0()()()ef t f t f t =+1()[()()]2e f t f t f t =+-01()[()()]2f t f t f t =--图9-9 非对称性非正弦周期波()u t 及其偶部()eut 和奇部0()u t 波形图然后，利用波形的对称性来简化傅里叶系数的计算。
例如，如图9-9（a ）所示的非对称性非正弦周期电压波()u t ，它的偶部()eu t 为如图9-9（b ）所示，是偶函数且半波重叠波，从上述波形对称性可知，它的傅里叶级数只含0A 和cos kA k t ω∑项的偶次谐波。
即2111()[cos 2cos 4cos6]31535e mmU U u t t t t ωωωππ=+----L 奇部0()u t 如图9-9(c )所示，它是一正弦函数，即01()sin 2m u t U t ω=故非对称性非正弦周期波()u t 的傅里叶级数展开式为0()()()21sin [cos 22311cos 4cos 6]1535e m m m u t u t u t U U U t t t t ωωππωω=+=++----L（2）将非对称性非正弦周期波移动坐标原点位置，便可提到对称性波形，从而可以简化傅里叶级数展开式的计算。